guiaestudio7 conpauta parcial2 graficacionfunciones diferencial905

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía de Estudio No.7 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada: Graficación mediante el Cálculo Diferencial
(Guía Complementaria No.7 – 2do Parcial)
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún
momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un
formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar
especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I
Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de
Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en
el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado
que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del
conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
A.-) Para los ejercicios mostrados en los incisos del No.1 – No.13, determine todas sus características
como ser: dominio, asíntotas, interceptos, intervalos de monotonía, máximos-mínimos, intervalos de
concavidad y puntos de inflexión, con el objetivo final de realizar la gráfica de la función propuesta.
1.-) f ( x)  3 x  x 3
4
8.-) f ( x) 
x 2  3x  2
2
2.-) f ( x)  x  2 x  8
3.-) f ( x) 
4
x 1
5.-) f ( x ) 
6.-) f ( x) 
 x  2

 x 1 
9.-) f ( x)  ln
x2
x2
4.-) f ( x ) 
2 x
x2  x  4
x 1
x  ln  x 
 ex 
x2 1
10.-) f ( x) 
x4
x2
 2x3 
 30 x
4
2
11.-) f ( x)  x 3e 2 x
12.-) f ( x) 
x
1 x2


13.-) f ( x )  x  ln x 2  1
7.-) f ( x)  ln

 x 1


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Bibliografía Utilizada en la Selección/Solución de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning
Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill
Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.
Universidad de Chile. Santiago de Chile.
11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma
de Honduras (UNAH). Tegucigalpa, Honduras.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República
Bolivariana de Venezuela.
13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.
Santiago de Chile, Chile.
14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
15. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa.
Universidad de Valencia. Valencia, España.
16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José
Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
JUCELO1209® D.R.2015
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Guía de Estudio No.7 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada: Graficación mediante el Cálculo Diferencial
(Guía Complementaria No.7 – 2do Parcial)
SOLUCIONARIO v1.0
1.-) f ( x )  3x  x 3
1.) Do min io  R



Ix  P  3 , 0 ; P 0 , 0 ; P  3 , 0
2.) Puntos de corte  
Iy  P0 , 0 

3.) A sin totas  N / A

4.) Criterio de la 1era Derivada
puntos críti cos

f ' x   0  3  3x 2  0
2
f ' ( x )  3  3x  
x  1

f ' x  N.E.  N / A

Mínimo  P 1,2 ;
Creciente   1,1;
Máximo  P 1,2 
Decreciente   ,1U1,  

5.) Criterio de la 2da Derivada
puntos críti cos

f " x   0  6 x  0
f " ( x )  6 x  
x0

f " x  N.E.  N / A
puntos de inf lexión  P0,0 
concava hacia abajo  0,  ;
concava hacia arriba   ,0 
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2.-) f ( x )  x 4  2x 2  8
1.) Do min io  R
Ix  P 2 , 0 ; P  2 , 0 
2.) Puntos de Corte  
Iy  P0 ,  8 
3.) A sin totas  N / A

4.) Criterio de la 1era Derivada
f ' x   0  4 x 3  4 x  0
f ' (x)  4 x 3  4 x 


x 4x2  4  0
x  0 ; 4x2  4  0
; x  1
 f ' x  N.E.  N / A
Mínimo  P 1,9 , P 1,9 ; Máximo  P 0,8 
Creciente   1,0 U1,  ; Decreciente   ,1U0,1

5.) Criterio de la 2da Derivada
2
f " ( x )  12 x  4 
f " x   0  12 x 2  4  0
x 1
 f " x  N.E.  N / A
3
Puntos de inf lexión  P  1 ,8.56 , P  1 ,8.56 
3
3

 

Cóncava hacia arriba    , 1 U 1 ,   Cóncava hacia abajo   
3  3 


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1 , 1 
3
3
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3.-) f ( x ) 
x4  1
x2
1.) Do min io  R  x  0
Ix  no tiene
2.) Puntos de Corte  
Iy  no tiene
V  x  0

                            

x4  1
H  lim
   N/A
x  x 2


3.) A sin totas                              

O  y  mx  b  N / A

x4  1

4
m  lim x 2  lim x  1  

x 
x  x 3
x

4.) Criterio de la 1era Derivada
4 x x   x  12x   4 x  2x  2x   4 x  2x  2x  2x  2x  2x x
x
x
x
x
x 
2x  1
f ' x   0  x  1  0
f ' x   N.E.  x  0
f ' (x) 


3
f ' x  
2
4
5
5
2 2
5
5
4
4
5
4
4
4
x3
4

1
4
3
x0
x  1
Mínimo  P 1,2 , P 1,2 ; Máximo  no tiene
Creciente   1,0 U1,  ; Decreciente   ,1U 0,1

5.) Criterio de la 2da Derivada
f " x   2
f " x  
4 x x   x
x 
3
3
4
   2 4 x  3x
 1 3x 2
3 2

2x 2 x 4  3
x6
  2x
6
6
x6
4
3
x4

 3x 2
  2 4x


6
 3x 6  3x 2
x6
f " x   0  2 x 4  3  0
x 4  3
x  43
N/A

2
x 6  3x 2
x6
f " x  N.E.  x 4  0
x0
pero x  0 está fuera del
do min io de f x 
Puntos de Inflexión  N / A
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4.-) f ( x ) 
x2
2x
1.) Do min io  R  x  2
 Ix  P0 , 0 
2.) Puntos de corte  
Iy  P0 , 0 
V  x  2

                               

x2
H  lim
  N/A
x  2  x

                               

O  y  mx  b  y   x  2
3.) A sin totas  
x2

x2

2  x  lim
 1
m  xlim

x   2x  x 2
x


 x2

 x2

x 2  x 2  x 
2x
  1x   lim 
 x   lim
 lim
 2
b  lim 











x
x
x
x
2
x
2
x
2
x
2



x








4.) Criterio de la 1era Derivada
2x 2  x   x 2  1  4 x  2x 2  x 2
2  x 2
2  x 2
f ' x   0  4 x  x 2  0
4x  x 2
x 4  x   0

f ' (x) 
2
x  0; 4  x  0
2  x 
f ' x  
x4
f ' x N.E.  2  x   0
2x
2

pero x  2 está fuera del
do min io de f x 
Mínimo  P0,0 ; Máximo  P 4 ,8
Crecimiento  0,2U2,4 ; Decrecimiento   ,0 U4 ,  

5.) Criterio de la 2da Derivada
4  2x 2  x 2  4 x  x 2   22  x   1  4  2x 2  x 2  24 x  x 2 2  x   4  2x 2  x   24 x  x 2 
2  x 4
2  x 4
2  x 3
3
f ' x  N.E.  2  x   0
f " x   0  8  0
8  4 x  4 x  2x 2  8x  2x 2
8
2x




3
3
N/A
pero x  2 está fuera del
2  x 
2  x 
do min io de f x 
Puntos de inf lexión  N / A; Cóncava arriba   ,2; Cóncava abajo  2,  
f " x  
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5.-) f ( x ) 
x2  x  4
x 1
1.) Do min io  R  x  1
Ix  P 1.562 , 0  ; P 2.562 , 0 
2.) Puntos de Corte  
Iy  P0 ,  4 
V  x  1

                       

x2  x  4
H  lim
 0 N/A
x 
x 1

                       

O  y  mx  b  y  x
3.) A sin totas  

x2  x  4

x2  x  4
x 1
lim
1
m  lim
x 
x 
x
x2  x


x2  x  4
x 2  x  4  x x  1
x2  x  4  x2  x
b  lim
 1x   lim
 lim
0
x 
x 
x 
x 1
x 1
x 1




4.) Criterio de la 1era Derivada
f ' x  
2x  1x  1  x 2  x  4 1  2x 2  2x  x  1  x 2  x  4  x 2  2x  5
x  12
x  12
x  12
2
f ' x  N.E.  x  1  0
2
f ' x   0  x  2x  5  0
no tiene ceros
Mínimo  no tiene;

x 1
pero x  1 está fuera del do min io de f x 
Máximo  no tiene
Crecimiento   ,1U1,  ; Decrecimiento  N / A

5.) Criterio de la 2da Derivada
2x  2x  12  x 2  2x  5  2x  1  1  2x  2x  12  2x 2  2x  5x  1
x  14
x  12 2
2x  2x  1  2x 2  2x  5  2x 2  2x  2x  2  2x 2  4 x  10   8

x  13
x  13
x  13
3
f " x  N.E.  x  1  0
f " x   0  8  0

x 1
f " x  
N/A
pero x  1 está fuera del do min io de f x 
Puntos de Inflexión  N / A;
Cóncava arriba   ,1;
Cóncava abajo  1,  
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6.-) f ( x )  x  lnx 
1.) Do min io   0 , 
Ix  N / A
2.) Puntos de Corte  
Iy  N / A
cálculo por métodos númeri cos 
V  x  0

                                     
H  lim x  lnx     N / A

x 
                                     

O  y  mx  b  N / A
3.) A sin totas  
1 
 x  lnx  




  lim  x   lim  lnx    lim  1   L ' H lim  x 
m  xlim


 x    x  x    x  x   x 
 
x  
x
 1 








 lim  1   lim  1   0
 x   x  x   x 







4.) Criterio de la 1era Derivada

f ' x   1 x
2
f ' x   0 
1
2


x 2 x
x x 2
x 2
1 


x
2x
2x x
2x x
f ' x  N.E.  2 x  0
x 2  0
x0

x4
pero x  0 está fuera del do min io de f x 
Mínimo  P  4 ,0.614 ;
Creciente  4 ,  ;
Máximo  N / A
Decreciente  0,4 

5.) Criterio de la 2da Derivada


 1 

2 x   x  2 2
2 x
f " x   

4x2
f " x   0  4  x  0
16  x
x 2 x 4 4 x

4x2
4x2
f " x  N.E.  4 x 2  0

x0
pero x  0 está fuera del do min io de f x 
Puntos de inf lexión  P 16,1.227 
Cóncava hacia arriba  0,16 ;
Cóncava hacia abajo  16,  
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 ex 


 x 1
7.-) f ( x )  ln
1.) Do min io  1 , 
Ix  N / A
2.) Puntos de corte  
Iy  N / A

V  x  1

                                          


 1 





x 
 ex 

e
1
 e x    ln lim
H  lim ln
  ln lim
  ln     N / A
 x  x
1
x   x  1 
x  x  1  1







x 
x 




x
e
e 


 e 


3.) A sin totas                                             
O  y  mx  b  N / A


 ex 

ln

1 1
 x 1
x

x  1  lim x  2  1

  lim ln e  lnx  1  lim x  lnx  1  L ' H lim
m
lim


x 
x 
x 
x 
x  x  1
x
x
x
1

x
 e 

  x  lim ln e x  lnx  1  x  lim x  lnx  1  x   lim lnx  1  
b  lim ln

x
x 
x 
x 


x
1





 
 
4.) Criterio de la 1era Derivada
 
 ex 
  ln e x  lnx  1  x lne   lnx  1  x  lnx  1
f x   ln
 x 1


f ' x   0  x  2  0
1
x 1 1 x  2



f ' (x)  1 

x 1
x 1
x 1
x2
Mínimo  P  2,2;
Creciente  2,  ;
f ' x  N.E.  x  1  0
x 1
pero x  1 fuera del do min io de f x 
Máximo  N / A
Decreciente  1,2

5.) Criterio de la 2da Derivada
f " x  
1x  1  x  21  x  1  x  2  1
x  12
x  12
x  12
2
f " x  N.E.  x  1  0
f " x   0  1  0
N/A

x 1
pero x  1 fuera del do min io de f x 
Puntos de inf lexión  N / A
Cóncava hacia arriba  1,  ;
Cóncava hacia abajo  N / A
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x 2  3x  2
8.-) f ( x ) 
x2  1
1.) Do min io  R
Ix  P 1 , 0 ; P 2 , 0 
2.) Puntos de corte  
Iy  P0 ,  2 
V  N / A

                                

x 2  3x  2
1 y 1
3.) A sin totas  H  lim
x 
x2  1

                                

O  N / A

4.) Criterio de la 1era Derivada
f ' x  
2x  3x 2  1  x 2  3x  22x   2x 3  2x  3x 2  3  2x 3  6 x 2  4 x
x
2

1
x
2
2

1
2
f ' x   0  3x 2  2 x  3  0
2
3x  2 x  3
f ' x  N.E.  x 2  1  0







x
0
.
72
x
1
.
39
f ' (x) 
2
N/A
x2  1
x  0.72; x  1.39

2



Mínimo  P 1.39,0.08 ; Máximo  P 0.72,3.08 
Creciente   ,0.72 U1.39,  ; Decreciente   0.72,1.39 

5.) Criterio de la 2da Derivada
6 x  2x 2  1
f " x  

2

 
x
2
1

4
6 x 3  6 x  2 x 2  2  12 x 3  8 x 2  12 x

x
2

 3x 2  2 x  3  2 x 2  1  2 x

1
3

f " x   0   6 x 3  6 x 2  18 x  2  0

 6x 3

6 x  2x 2  1  3x 2  2x  3  4 x
x  1
 6 x  18 x  2  6 x  6 x  18 x  2 

x  1
x  1
2
2
2
3
3
3
2
2

3

3
2
 x  1.37 x  0.11x  2.26   0  f " x N.E.  x  1  0
N/A
x  1.37; x  0.11; x  2.26
Puntos de Inflexión  P 1.37,2.78 ; P0.11,1.66 ; P2.26,0.054 
Cóncava hacia arriba   ,1.37 U0.11,2.26 ; Cóncava hacia abajo   1.37,0.11U2.26,  
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 x  2
9.-) f ( x )  ln

 x 1
1.) Do min io     ,  1  U   2 ,  
Ix  N / A
2.) Puntos de corte  
Iy  N / A
 V  x  1 , x  2


 x 2
 x  2 

3.) A sin totas  H  lim ln
  ln lim 
   ln1  0  y  0
x   x  1 
 x   x  1  

O  N / A


4.) Criterio de la 1era Derivada
x 2
f x   ln
  lnx  2   lnx  1
 x 1 
1
1
x  1  x  2 
3



f ' x  
x  2x  1 x  2x  1
x  2 x 1
f ' x   0  3  0
N/A
f " x  N.E.  x  2 x  1  0

x  2; x  1
pero x  2, x  1 no forman parte del do min io
Mínimo  N / A; Máximo  N / A
Creciente   ,1U2,  ; Decreciente  N / A

5.) Criterio de la 2da Derivada
f ' x  
f " x  
3
3
3
 2
 2
x  2x  1 x  x  2x  2 x  x  2
0x 2  x  2  32x  1 
x
2
x 2

2
f " x   0  2x  1  0
x1
2
pero x  1 no forma parte del
2
do min io
Puntos de Inflexión  N / A
Cóncava hacia arriba   ,1;
 32x  1
x  2x  1
2

 32 x  1
x  22 x  12
f " x N.E.  x  2  x  1  0
x  2; x  1
pero x  2, x  1 no forman parte del
do min io
2

2
Cóncava hacia abajo  2,  
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10.-) f ( x ) 
x4
x2
 2x 3 
 30 x
4
2
1.) Do min io  R
Ix  P 3.34 , 0 ; P0 , 0 
2.) Puntos de corte  
Iy  P0 , 0  Ix resuelto calculadora
V  N / A

3.) A sin totas  H  N / A
O  N / A


4.) Criterio de la 1era Derivada
f ' ( x )  x 3  6 x 2  x  30
f ' x   0  x 3  6 x 2  x  30  0
x  3x  2x  5  0
 f ' x  N.E.  N / A
x  3; x  2; x  5
Mínimo  P 2,42 , P 5,43.75  ;
Creciente   2,3U5,  ;
Máximo  P 3,51.75 
Decreciente   ,2 U3,5 

5.) Criterio de la 2da Derivada
f " ( x )  3x 2  12 x  1
f " x   0  3x 2  12 x  1  0
x  0.082x  4.082  0
 f " x  N.E.  N / A
x  0.082; x  4.082
Puntos de Inflexión  P 0.082,2.462 , P 4.082,47.506 
Cóncava hacia arriba   ,0.082 U4.082,  ,
Cóncava hacia abajo   0.082,4.082 
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11.-) f ( x )  x 3e 2 x
1.) Do min io  R
Ix  P0 , 0 
2.) Puntos de Corte  
Iy  P0 , 0 
V  N / A

                         
H  lim x 3 e 2 x    N / A

x 
3.) A sin totas                           

O  y  mx  b  N / A

3 2x
m  lim x e  lim x 2 e 2 x  

x 
x 
x

4.) Criterio de la 1era Derivada
    

f ' x   3x 2 e 2 x  x 3 e 2 x  2  3x 2 e 2 x  2 x 3 e 2 x  x 2 e 2 x 3  2 x 
f ' x   0  x 2 e 2 x 3  2 x   0
x 2  0;
e 2 x  0;
x  0;
N / A;
3  2x  0
 f ' x  N.E.  N / A
x  3
2
3
Mínimo  P 
,0.168 ; Máximo  N / A
2
Creciente   3 ,  ; Decreciente   , 3
2
2







5.) Criterio de la 2da Derivada
f ' x   3x 2 e 2 x  2 x 3 e 2 x
    
     
f " x   3 2 x  e 2 x  x 2 e 2 x  2  2 3x 2 e 2 x  x 3 e 2 x  2

 6 xe 2 x  6 x 2 e 2 x  6 x 2 e 2 x  4 x 3 e 2 x  6 xe 2 x  12 x 2 e 2 x  4 x 3 e 2 x

f " ( x )  2 xe 2 x 3  6 x  2 x 2



f " x   0  2 xe 2 x 3  6 x  2 x 2  0
2x
 0;
2x 2  6 x  3  0
x  0;
e
x  0;
N / A;
x  2.37 x  0.64   0
x  0;
N / A;
x  2.37;
 f " x  N.E.  N / A
x  0.64
Puntos de inf lexión  P  2.37,0.116 , P 0.64 ,0.073, P0,0 
Cóncava hacia abajo   ,2.37 U 0.64 ,0 ;
Cóncava hacia arriba   2.37,0.64 U0,  
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12.-) f ( x ) 
x
1  x2
1.) Do min io  R
Ix  P0 , 0 
2.) Puntos de Corte  
Iy  P0 , 0 
V  N / A

                               

x
0y0
3.) A sin totas  H  lim
x  1  x 2

                               

O  N / A

4.) Criterio de la 1era Derivada
f ' x  
11  x 2   x 2x   1  x 2  2x 2
1  x 
1  x 
2 2


1  x2
1  x 
f ' x  N.E.  1  x   0
2 2
f ' x   0  1  x 2  0
1  x

2 2
2 2



N/A
Mínimo  P  1, 1 ; Máximo  P 1, 1
2
2
Creciente   1,1; Decreciente   ,1U1,  

5.) Criterio de la 2da Derivada
 2x 1  x 2 
f " x  
2

 

 1  x 2  2 1  x 2  2x
1  x 
2 4

f " x   0  2 x 3  6 x  0

2x 3  6 x
1  x 
2 3


2x x 2  3  0

2 x  0;
x2  3  0
x  0;
x 3
 2x 1  x 2   1  x 2   4 x
1  x 
2 3



 2x  2x 3  4 x  4 x 3
1  x 
2 3

3
2
0
 f " x  N.E.  1  x
N/A




Puntos de Inflexión  P  3 ,  3 , P 0,0 , P 3 , 3 
4
4




Cóncava hacia arriba   3 ,0 U 3 ,  ;




Cóncava hacia abajo   , 3 U 0, 3
Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial

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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

13.-) f ( x )  x  ln x 2  1

1.) Do min io     ,  1 U   1 , 
Ix  P 1.148 , 0 

2.) Puntos de Corte  Iy  N / A
* *Ix fue calculado por métodos númeri cos 

V  x  1

                                    
H  lim x  ln x 2  1    N / A

x 
                                    

O  y  mx  b  N / A

3.) A sin totas  
2x
 ln x 2  1 
 x  ln x 2  1 

x
x2  1


  lim 1  L ' H lim
  lim    lim 
m  lim 
 x 
 x    x  x  
x 
x 
x
x
1






 lim 1  lim 2 x  1  0  1
x  x 2  1
 x 

x  ln x 2  1  1x   lim  ln x 2  1   lim ln x 2  1  
b  xlim

x 
x 

4.) Criterio de la 1era Derivada


f ' x   1 
2x
x2  1

x 2  1  2x
x2  1










 





x 2  2x  1
x2  1
f ' x   0  x 2  2 x  1  0
f ' x  N.E.  x 2  1  0
x  0.41x  2.41  0 
x  1
x  0.41; x  2.41
pero x  1, está fuera del do min io de f x 
Mínimo  P 2.41,0.84 ; Máximo  N / A
Creciente   ,1U2.41,  ; Decreciente  1,2.41

5.) Criterio de la 2da Derivada
f " x  
2x  2x 2  1  x 2  2x  12x   2x 3  2x  2x 2  2  2x 3  4 x 2  2x
x
2

1
2
f " x   0  2 x  2  0

N/A
2
Puntos de Inflexión  N / A;


x
2

1
2

2x 2  2
x
2
1

2
2
f " x  N.E.  x 2  1  0
x  1
pero x  1, está fuera del do min io de f x 
Cóncava hacia abajo  N / A;
Cóncava hacia arriba   ,1U1,  
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