Funciones matematicas y sus graficas

Curso de Química Teórica
Escuela de Ciencias Químicas
Facultad de Ciencias
UPTC
PhD. Jovanny Arlés Gómez Castaño
Los números arábigos son los símbolos más utilizados para representar
números. Se les llama "arábigos" porque los árabes los introdujeron en
Europa aunque, en realidad, su invención surgió en la India. El mundo le
debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración
de base 10, llamado de posición, así como el descubrimiento del 0 (llamado
"sunya" o "bindu" en lengua sánscrita), aunque los mayas también
conocieron el 0. Los matemáticos persas de la India adoptaron el sistema, de
quienes lo tomaron los árabes. Para el momento en que se empezaron a usar
en el norte de África, ya tenían su forma actual, de allí fueron adoptados en
Europa en la Edad Media. Su uso aumentó en todo el mundo debido a la
colonización y comercio europeos.
En Europa la noción de cero fue expresada de varias formas. Eventualmente,
probablemente para expresar deudas, fue necesario inventar digitos
negativos. Los requerimientos comerciales condujeron al uso de
fraccionarios, como cocientes de números enteros. El conjunto formado
entre los números y las fracciones (como cocientes de los números)
conforma el grupo de los números racionales.
La relación entre los decimales y los fraccionarios racionales es de
importancia, particularmente en las aplicaciones computacionales
modernas:
Considere, por ejemplo, el siguiente numero
x  0,616161...
multiplicando por 100 obtenemos
100 x  61,6161...  61  x
luego,
61
x
"fraccion racional"
99
En general, si una expresión decimal contiene una serie de dígitos
repetitivos (periódicos), como lo es el 61 en el ejemplo anterior,
corresponderá a un número racional.
Sin embargo, la mayoría de las fracciones decimales no contienen una serie
de números repetitivos y por lo tanto no son racionales. Dichos números
corresponden entonces a los números irracionales. Ejemplos:
3  1,732051;
  3,1415926536 
En conjunto de los números racionales e irracionales corresponde a los
números reales.
En términos coloquiales una función es una relación existente entre dos
grupos o conjuntos de elementos, X (el dominio) y Y (el codominio), en la
cual, a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento y del
codominio.
En términos matemáticos se diria que una función relaciona cada xX con
un (y solo un) yY tal que f(x)=y.
Comúnmente el símbolo x se le denomina variable independiente y al
símbolo y, variable dependiente.
En fisicoquímica, al igual que en las otras ramas de la ciencia, existen
innumerables ejemplos en donde una o más variables de un sistema
dependen de otras variables del sistema.
Tal vez uno de los casos más representativos lo constituyan las leyes
empiricas de los gases ideales, en donde, la modificación de una o varias de
las variables temperatura, presión, volumen, o cantidad de masa de un
sistema gaseoso ocasiona la subsecuente variación de una o varias de las
variables restantes, originando un nuevo estado físico del sistema.
Para ilustrar mejor la importancia de las funciones matemáticas en
fisicoquímica tomemos por ejemplo la Ley de Boyle, que relaciona la
variación del volumen de una masa dada de una gas a temperatura
constante con respecto su presión. Esta relación puede ser expresada
matemáticamente de la forma
f  P  V
A partir de los datos cuidadosamente consignados de los experimentos
iniciales, Boyle encontró que el volumen de un gas atrapado varia
inversamente con el cambio de la presión ejercida sobre el gas. En este caso,
la función anterior puede ser escrita más adecuadamente como
C (T )
f  P, T   V 
P
donde C(T) es una constante positiva que depende proporcionalmente de la
temperatura absoluta T. Lógicamente la relación entre V y P puede ser
también definida de la forma
C (T )
f V , T   P 
V
Ejemplo: supongamos que una serie de medidas del volumen de un gas
atrapado en la parte final de un tubo de vidrio en forma de U conteniendo
mercurio han sido realizadas a medida que la presión ejercida sobre este gas
ha sido variada
A simple vista podríamos notar, efectivamente, una
variación inversa entre los valores de V y los valores
de P, es decir, a mayor presión ejercida sobre el gas,
menor volumen del gas. Sin embargo, si graficamos
una cuadrícula, resultante de unir líneas paralelas
provenientes de un eje horizontal cuya escala
(equidistante) concuerda con un rango de valores lo
suficientemente amplio para ubicar en el todos los
datos de presión del gas (la variable independiente)
con las líneas paralelas provenientes de un eje vertical
(también equidistante) con un rango que pueda
abarcar todos los valores de Volumen (variable
dependiente), y dentro de ella ubicamos puntos de
coordenadas (p, v) podríamos extraer mucha más
información y hacer un análisis más profundo que el
caso anterior.
A simple vista podríamos notar, efectivamente, una
variación inversa entre los valores de V y los valores
de P, es decir, a mayor presión ejercida sobre el gas,
menor volumen del gas. Sin embargo, si graficamos
una cuadrícula, resultante de unir líneas paralelas
provenientes de un eje horizontal cuya escala
(equidistante) concuerda con un rango de valores lo
suficientemente amplio para ubicar en el todos los
datos de presión del gas (la variable independiente)
con las líneas paralelas provenientes de un eje vertical
(también equidistante) con un rango que pueda
abarcar todos los valores de Volumen (variable
dependiente), y dentro de ella ubicamos puntos de
coordenadas (p, v) podríamos extraer mucha más
información y hacer un análisis más profundo que el
caso anterior.
A simple vista podríamos notar, efectivamente, una
variación inversa entre los valores de V y los valores
de P, es decir, a mayor presión ejercida sobre el gas,
menor volumen del gas. Sin embargo, si graficamos
una cuadrícula, resultante de unir líneas paralelas
provenientes de un eje horizontal cuya escala
(equidistante) concuerda con un rango de valores lo
suficientemente amplio para ubicar en el todos los
datos de presión del gas (la variable independiente)
con las líneas paralelas provenientes de un eje vertical
(también equidistante) con un rango que pueda
abarcar todos los valores de Volumen (variable
dependiente), y dentro de ella ubicamos puntos de
coordenadas (p, v) podríamos extraer mucha más
información y hacer un análisis más profundo que el
caso anterior.
Este tipo de sistema rectangular de dos
coordenadas (dos dimensiones), es conocido como
sistema
de
coordenadas
cartesianas
(o
simplemente plano cartesiano), y fue propuesto
inicialmente por el matemático de origen francés
René Descartes.
El eje horizontal o eje de las exis es conocido como
eje de las abcisas, mientras que el eje vertical es
conocido como eje de las ordenadas. El punto de
intersección de los ejes es conocido como el origen.
Observe que los puntos en la describen más
claramente la relación - inversamente proporcional existente entre la Presión y el volumen del gas. La
curva continua y simétrica que resulta de unir con
una línea los puntos discretos de la gráfica
correspondería a una hipérbola y dada la condición
que los valores fueron medidos a una temperatura
constante, dicha hipérbola correspondería a un
isoterma cuya ecuación correspondería a
PV  C T  o yx  C
Note ahora que si graficamos el recíproco del
volumen (1/V) contra la presión obtenemos un
comportamiento lineal de los puntos, descrito por
una recta que pasa por el origen. En este caso, la
función puede ser ahora determinada por la
ecuación
f  x   mx  c
Aquí la variable dependiente x es igual a 1/V y la
variable independiente, y = f(x), a P. Los términos m
y c son constantes, donde c corresponde al valor
intercepto de la recta en el eje de las ordenadas (en
este caso muy cercano a cero, c = 0), y m al valor
numérico de la pendiente de la recta (hasta este
momento desconocido).
Para obtener entonces una ecuación específica, a partir de los datos de la
tabla, que permita "predecir" los valores de P para "cualquier" valor de 1/V
dado, debemos recurrir a un análisis matemático conocido como regresión
lineal de mínimos cuadrados. Este análisis nos permite encontrar la
ecuación que se ajusta a la mejor línea recta de la gráfica (cuya sumatoria de
desviaciones de los valores de coordenadas sea la mínima). Los valores de c y
m, necesarios para realizar la mínima suma de las desviaciones cuadradas,
pueden ser hallados mediante las siguientes dos ecuaciones:
 y cN  m x
 xy  c x  m x
donde N corresponde al número de puntos de coordenadas (x,y).
2
Reemplazando los valores de la tabla tenemos que:
442,562  7c  m 1, 2583
96, 24111  c 1, 2583  m  0, 273919 
multiplicando la primera ecuacion por 1,2583 obtenemos
556,876  c  8,8081  m 1,5833
multiplicando la seguda ecuacion por 7 obtenemos
673,688  c  8,8081  m 1,9174 
restando la primera ecuacion de la segunda encontramos
116,812  0  0,3341
donde,
116,812
m
 349,632
0,3341
Con lo que encontramos un valor para c de aproximadamente 0,373. por
tanto la ecuación de la línea de regresión del cambio de volumen del gas
respeto a la presión es:
y  349,632 x  0,373
Si aproximamos 0,373 a cero entonces
1
P  349,632  
V 
Por métodos geométricos puede comprobarse que la pendiente de una recta
puede ser hallada también usando alguna de las siguientes expresiones
m  tan  
y2  y1 y
o m

x2  x1 x
donde alpha corresponde al ángulo de inclinación de la recta respecto al eje
de las abcisas.
Muchos problemas matemáticos en ciencias no pueden ser resueltos
gráficamente usando el plano cartesiano; en estos casos el problema puede
ser resuelto usando coordenadas "circulares" o "curvilíneas". Dos ejemplos
de sistemas que usan este tipo de coordenadas son el sistema de
coordenadas polares planas y el sistema de coordenadas polares esféricas.
Considere el plano de coordenadas formado por los
ejes x y y de la Figura 1.1. Como se muestra cada
punto (x,y) en este sistema de dos dimensiones
puede ser asociado con las propiedades de un
triángulo rectángulo. Note por ejemplo, que la
magnitud de x coincide con la longitud del lado b y la
magnitud de y con la del lado a del triangulo ABC. De
esta forma encontramos que
a
b
sen  y cos 
r
r
y por lo tanto,
x  b  r cos y y  a  rsen
De acuerdo a lo anterior cada punto (x,y) puede ser
transformado a un punto en un sistema de
coordenadas
polares
planas
mediante
la
determinación de sus valores de r y θ (r, θ). La
relación de transformación inversa puede ser
encontrada por simple trigonometría de las siguiente
forma
y rsen
-1  y 

 tan  o  =tan  
x r cos
x
y r  x2  y 2
Una extensión del sistema de coordenadas
polares planas a tres dimensiones genera el
sistema de coordenadas polares esféricas.
Un punto en este sistema esta representado
por tres números: r, la distancia de un
punto desde el origen; , el ángulo que la
línea r hace con el eje z; y , el ángulo que
la línea OA hace con el eje x.
Dado que
c
d
a
cos   , sen  , y sen 
a
a
r
y debido a que la longitud de c es
numéricamente igual a x, d a y, y b a z, podemos
escribir
x  r sen cos 
y  r sen sen
z  r cos
Las ecuaciones transformación inversas se
encuentran de la siguiente forma
y rsen sen
 y

 tan  o   tan  1 
x rsen cos 
x
r   x2  y2  z2 
1/ 2
z
z
1
cos 
o   cos
1/ 2
r
x

y

z
 2 2 2
Las funciones exponenciales son funciones del tipo
f  x  a
x
donde a > 0.
Por ejemplo, una importante función exponencial utilizada ampliamente
en fisicoquímica, y de hecho en todas las ramas de la ciencia, es la función
f  x  e
x
donde e (euler) es una constante infinita que se aproxima al valor
2,7182818285..., un número irracional, que puede ser definido por
cualquiera de los dos siguientes límites (equivalentes)
n
 1
lim 1    e o
n 
 n
lim 1  n 
1n
n 0
e
Observe así mismo que el número e puede ser también definido por la
serie
y que por ende la función exponencial y = exp(x) puede ser definida como
Resulta apropiado mencionar aquí que la derivada, termino a término, de
la función anterior es
que correspondería exactamente a la función de partida, es decir, la
derivada de la función exp(x) es la misma exp(x), (d/dx) exp(x) = exp(x).
El término d/dx corresponde luego a un operador, ya que su acción sobre
la función devuelve la misma función multiplicada por un autovalor, en
este caso igual a 1 (los operadores serán tratados más adelante).
Note, que todas las curvas
comparten el punto (0, 1), a causa
de que a0 = 1 para cualquier valor de
a.
Note también, que las funciones no
presentan valores de cero, ya que a
medida que la función se acera a
cero la variable dependiente x
tiende a .
La función inversa de la exponencial es conocida como función logarítmica, o
simplemente logaritmo, representada por la ecuación
donde a es conocida como la base del logaritmo. Un logaritmo puede ser por
tanto definido como el exponente o potencia x (argumento) a la cual un
número a (base) es elevado para que de un número y, donde a > 0. Esto es,
si ax = y, entonces loga(y) = x, en otras palabras, "el logaritmo en base a de y
es igual a x“:
ax  y

log a ( y)  x
Ejemplo: si 102 = 100, entonces el logaritmo en base 10 de 100 es 2
Logaritmo de la base. Dado que cualquier número elevado a la potencia 1 es
igual al mismo número, resulta evidente que el logaritmo en base a de un
número a es 1:
Logaritmo de 1. De forma análoga al caso anterior deducimos que el
logaritmo en base a de 1 es 0:
Logaritmo de un producto. El logaritmo del producto de dos números m y n
es igual a la suma de los logaritmos de m y n:
Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos números m y n es
igual a la diferencia de los logaritmos de m y n:
Logaritmo de una potencia. El logaritmo de m elevada a la potencia n es
igual a n multiplicado por el logaritmo de m:
Logaritmo de una raiz. El logaritmo de la raiz n de m es igual al producto
entre el logaritmo de m y el inverso de n:
Hasta el momento hemos trabajando con logaritmos sin especificar el valor
de la base, es decir, las reglas expuestas arriba son aplicativas a cualquier
logaritmo sin importar cual sea su base (recordar que a  0). No obstante, y
dado que en ciencia es comun trabajar con notación en base 10 (notación
científica), en la cual los números son expresados en potencias de 10
(ejemplos: C = 2,99792458 x 108 m.s-1; Na = 6,02214199x1023 mol-1), es
conveniente usar logaritmos en base 10, log10(x) = y. Tales logaritmos son
denominados como logaritmos comunes, y se escriben simplemente como
log(y). La relación entre las funciones exponenciales en base 10 y sus
correspondientes logaritmos comunes es presentada en la siguiente tabla
Cuando la base del logaritmo corresponde a e entonces estamos hablando de
logaritmo natural o neperiano (ln).
Formalmente, ln(x) puede ser definido como el área bajo la curva de la
función f(x) = 1/x entre 1 y a, dada por la integral
Por ejemplo, el logaritmo natural de 2, ln(2), es igual a 0,6931471806, valor
que corresponde al área bajo la curva entre x = 1 y x = 2 de la función y = 1/x.
En la figura siguiente se muestran las curvas correspondientes a las
funciones logarítmicas ln(x) = y, log(x) = y; y log2(x). Allí se puede
observar cómo los valores base de los logaritmos son determinados
gráficamente por el intercepto con el eje de las ordenadas a un valor de 1
(y = 1), debido a que a1 = a y por consiguiente loga(a) = 1. Similarmente,
para un valor de y = 2 encontramos un valor igual a la base elevada al
cuadrado, para un valor de y = 3 un valor igual a la base elevada al cubo y
así sucesivamente, ya que loga(dn) = n. Observe además que los valores
base de los logaritmos pueden ser también definidos por la recta
tangencial que pasa por el origen para cada función (ver por ejemplo
flecha punteada verde para la función ln(x)).
En vista que las dos funciones logarítmicas más usadas son las funciones ln y
log (que difieren solo en su base), resulta conveniente encontrar una
expresión que nos permita la interconversión de una en la otra. Para ello
consideremos la ecuación
ye
x
Obteniendo el logaritmo en base 10 de la ecuación anterior tenemos que
 
log  y   log e x  x log  e 
Recordemos, sin embargo, que x = ln(y). Sustituyendo esto en la ecuación
anterior encontramos que
log  y   ln  y .log  e   ln  y .log  2,718
Pero como el log(2, 718) = 0, 4343, entonces
o lo que es equivalente
log  y   0,4343ln  y 
ln  y   2,303log  y 
(Nota: el número 2,303 (o su recíproco) es un importante valor que aparece
en muchas fórmulas en fisicoquímica.
Las relaciones anteriores son expresiones que nos permiten relacionar
fácilmente un logaritmo natural con uno común y viceversa, sin embargo,
puede suceder que necesitemos relacionar matemáticamente un logaritmo
con una base diferente a 10 con uno natural; en cuyo caso necesitaremos una
expresión más general. Dicha expresión puede ser deducida a partir del hecho
de que todas las funciones logarítmicas sin importar su base comparten el
punto (1, 0). y la singularidad del logaritmo natural, cuya gráfica es la única
que presenta una recta tangencial con pendiente igual a 1 en
x = 1. Luego, la expresión general buscada corresponde a
log a  x  
ln  x 
ln  a 
Las principales propiedades de los exponentes son mostradas a continuación:
logarítmicas ya vistas anteriormente.
a
mn
 d .d
 a 
m
a
a
mn
n m
n
m
n
d
mn
m
d
 n
d
a
m
n
Un número complejo es un número compuesto de una parte real x y una
parte imaginaria iy, donde i  1 (o lo que es lo mismo, i2 = -1).
Un número complejo, z, puede ser representado por la siguiente ecuación
z  x  iy
Es decir, un número real corresponderá a aquel donde y = 0 y un número
imaginario puro a aquél en donde x = 0.
Es posible representar los
números complejos a través de
un sistema de coordenadas. La
parte real del número complejo
corresponde al eje de las
abscisas, mientras que la parte
imaginaria pura es ubicada en el
eje de las ordenadas
Como x = rcos() y y = rsen(),
cualquier número complejo
puede ser también escrito de la
forma
z  x  iy  r cos    irsen  
 r  cos  isen 
 rei
luego
ei  cos  isen
El valor “r" de la ecuación anterior,
llamado el módulo o el valor
absoluto, puede ser hallado por la
siguiente ecuación

r x y
2
2

1
2
 z
En este caso r corresponde al radio
de un círculo con centro en el
origen. El ángulo θ, llamado el
ángulo
fase
o
argumento,
simplemente describe la rotación
de z en el plano complejo.
El cuadrado del valor absoluto, z2,
resulta ser idéntico al producto de
z = x + iy y su complejo conjugado
(o simplemente conjugando), z* = x
– iy. El conjugado de un número
complejo es formado cambiando el
signo de la parte imaginaria.
z z   x  iy  x  iy   x  y  z

2
2
Debe notarse que en términos de
valores absolutos

z  z  x2  y
1
2 2

r
2
Para encontrar otra relación útil entre sen y cos ; en el plano complejo
podemos expandir la función en términos de una serie de Maclaurin (las
series de expansión serán discutidas en detalle más adelante)
luego,
que es idéntica a la serie de expansión para ei
De esta manera podemos escribir que
y