Función Potencia

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería en Industrias
Funciones
Modulo Nº 5
Tipos Importantes de Funciones
Función raíz cuadrada
La ecuación que representa a la función raíz cuadrada corresponde a:
f ( x)  a  bx  c
El dominio de la función corresponde a los valores obtenidos al desarrollar la desigualdad a
+ bx  0. Una vez obtenido el dominio, se elabora una tabla de valores, se grafica y se
obtiene el recorrido.
Ejemplo: Graficar la función f ( x)  2x  5 , determinar su dominio y recorrido.
Obtengamos el dominio desarrollando la desigualdad 2x – 5  0, de donde se determina que
x  2,5.
x
f(x)
2,5
0
3
1
4
1.7
5
2.2
6
2.6
Luego el dominio de la función f ( x)  2x  5 corresponde al intervalo 2,5, y el
recorrido al intervalo 0,
Función Potencia
1.1
Definición y ejemplos
La función potencia se define como:
f : 
x  f ( x)  axn  c; a y c  , a  0, n  
en donde a, c y n son constantes, a es un número real distinto de cero, c es un número real y
n un número natural.
Algunos ejemplos de la función potencia son:
1. f ( x)  2 x 2 , a=2, n=2, c=0
2. f ( x)  3x5 + 4, a=3, n=5, c=4
3. f ( x) 
1.2
4 2
4
x - 2, a= , n=2, c=-2
5
5
Gráfico
Una forma clara y precisa de estudiar una función es a través de su gráfico, así es
que.. ¡manos a la obra!
He aquí los gráficos de las funciones potencias anteriores:
1. Gráfico de la
función
f ( x)  2 x 2
2. Gráfico de la
función
f ( x)  3x5  4
3. Gráfico de la
función
f ( x) 
4 2
x 2
5
Como puedes observar las gráficas corresponden a curvas en el plano que toman
diferentes formas dependiendo de los valores de a, c y n.
Funciones exponencial
Dado un número a real y positivo, llamamos función exponencial de base a, a la función
f(x) = ax, cuyas propiedades generales son:

Es una función inyectiva.

Si a = 0 la función siempre vale 1.

Es siempre positiva: su recorrido es R+ y la gráfica está en el semiplano positivo de
ordenadas.

La recta y = 0 es una asíntota horizontal.
Si a > 1

Es una función creciente. Una función f(x) es creciente si cuando x crece, f(x) también
crece.

Para x > 0 la función siempre es mayor que 1.

Para x < 0 la función siempre está en [0, 1
Si a   0, 1 [

Es una función decreciente. Una función f(x) es decreciente si cuando c crece, f(x)
decrece.

Para x > 0 la función siempre está en [ 0, 1 .

Si x < 0 la función es mayor que 1.

La recta y = 0 es una asíntota horizontal.
Ejemplos:
Función logarítmica
Dado un número "a" positivo y distinto de 1. Llamamos función logarítmica de base a la
función f(x) = logax cuyas propiedades son:
 Es la función inversa de y = ax
 Esta bien definida sólo para valores positivos.
 En x = 0 la función no existe y presenta una asíntota vertical.
 Para x = 1 la función siempre vale 0, sea cual sea la base a, la gráfica pasa por el punto
(1,0).
 Si a >1 la función es creciente y si a <1 la función es decreciente.
Ejemplos:
Definición:
Logaritmo de base a de un número n, es el exponente al que debemos elevar el número
a, positivo y distinto de 1, para obtener el número n:
loga n  X  a x  n

Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no se indica la base en su
escritura así escribimos:
log x

en vez de
log10 x
Si la base del logaritmo es el número e, se llama logaritmo natural ó neperiano, en honor
a John Neper, o Napier, un matemático escocés de la segunda mitad del siglo XVI que
estudió e inventó los logaritmos.
Para estos logaritmos se usa la notación ln x, así escribimos:
ln x
en vez de loge x
Algunos ejemplos de la función logaritmo son:
1.
f ( x)  log5 x , a =5
2.
f ( x)  loge x , a =e
3. f ( x)  log10 x , a =10
He aquí los gráficos de las funciones logaritmos anteriores:
1. Gráfico de la
función
f ( x)  log5 x
2. Gráfico de la
función
f ( x)  loge x
3. Gráfico de la
función
f ( x)  log10 x
Ejercicios Propuestos
1. El geólogo C.E.F.. Richter ideó la fórmula: a M  log10 E / E0 
que relaciona la magnitud M con la energía E de un terremoto. Después de varios
ajustes alcanzó en 1956 el resultado: a  1.5, E0  2,5 1011 ergios ( E0 es la energía del
movimiento de tierra más pequeño registrado de manera instrumental).
a) ¿Cuál es la razón entre la energía del terremoto de Antofagasta M  7.3 y el que
afectó a Kobe (Japón), ambos en1995?.
b) ¿Cuál es la magnitud según la escala de Richter de una bomba H de10 megatones, es
decir, una bomba de hidrógeno cuya energía es equivalente a 10 millones de toneladas
de TNT? (Una tonelada de TNT libera una energía de 4.2 · 106 ergios).
9. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta bajo la
influencia de fuerzas de viscosidad es:
vt   c e kt en donde c y k son constantes
positivas. ¿En qué momento la velocidad es igual a la mitad de la velocidad inicial?.
10.
El ruido del sonido se mide en: decibeles (en honor a A.G.Bell, 1847 - 1922,
inventor del teléfono). Un sonido tan débil que apenas puede escucharse, tiene una
intensidad I 0  102 w / m 2 , a una frecuencia de 1000 herts. La sonoridad en, de un sonido
con intensidad I se define como: I  10 logI / I 0  . Encontrar la intensidad del sonido de
la banda Rockera Deep Purple si su concierto en Santiago tuvo una magnitud de 120 dB .
11.La razón de cambio de la presión atmosférica
P con respecto a la altitud h es
proporcional a, siempre que la temperatura sea constante.
Esta relación implica que: Ph  P0 e kh , donde P0 es la presión a nivel del mar y
k
constante de proporcionalidad. A una temperatura de 15º C la presión es de 101.3
kPa
nivel del mar y de 87.14
kPa
es la
a
a una altitud h  1000m . ¿Cuál es la presión atmosférica a
la que trabajan los mineros de Chuquicamata?.