Matemáticas Bachillerato LOGSE/Herramientas de aritmética

Matemáticas Bachillerato.
Herramientas de aritmética
Números Racionales
Se dan por conocidos los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, ... hasta el infinito.
El conjunto de todos ellos se lo representa con una
Los enteros (
) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 3, -3,...
La definición de números racionales es:
tales que
Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos
números enteros.
Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos
tienen una expresión finita o periódica.
son todos números
racionales.
Representación de números racionales sobre la recta
Números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como una fracción o
lo que es lo mismo no se pueden expresar en su forma decimal como un número finito o
periódico todos son infinitos y no periódicos. Son irracionales:



si p no es un cuadrado perfecto
siendo en general p un número entero y p no es una potencia n-ésima
Números como π ó e
Un apunte final, en cualquier intervalo de dos números hay infinitos números
irracionales.
Números reales. Recta Real
Denominamos a todo el conjunto de números reales. En la recta real cada punto
corresponde a un número real, de ahí su nombre.
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☻ Aproximación decimal de un número real
Como ya se ha visto un número real se puede aproximar y también se puede representar
sobre la recta real
Entero o decimal exacto
Vamos intentar representar un número al azar, el 3,24 por ejemplo, buscamos el 3,2
primero, "ampliamos" buscamos el 3,24 y marcamos.
Decimal periódico
Hacemos con la regla una recta oblicua a la
primera y que mida un múltiplo del
denominador dividimos esta nueva recta en
tantas partes como indique el denominador (si
el denominador es 7 dividimos en siete partes),
unimos sus extremos y trazamos las paralelas.
Radical cuadrático
Podemos representar un radical
cuadrático teniendo en cuenta el teorema
de Pitágoras. En el ejemplo, se muestra
como se ha representado
Resto de irracionales
En este caso se toma su expresión aproximada decimal y se afina tanto como se quiera
empleando el método mostrado en decimales exactos.
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Intervalos y semirrectas
Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la
recta real:
NOMBRE SIMBOLO
Intervalo
abierto
SIGNIFICADO
REPRESENTACIÓN
Números comprendidos entre a y b.
Intervalo
cerrado
Números comprendidos entre a y b,
ambos incluidos.
Intervalo
semiabierto
Números comprendidos entre a y b,
b incluido.
Números comprendidos entre a y b,
a incluido.
Números menores que a.
Semirecta
Números menores o iguales que a.
Números mayores que a.
Números mayores o iguales que a.
Expresión decimal aproximada. Errores
La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener
muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.
Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras
significativas) si hay un escarabajo paseándose por ahí o bien se produce erosión en la
cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3
cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos
últimos serían medidas aproximadas.
Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con
el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta
diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.
El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos
acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por
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encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y
1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.
El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de
medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de
medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el
primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el
valor real.
Notación científica
La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.
Tiene tres partes:



Una parte entera de una sola cifra
Las otras cifras significativas como la parte decimal
Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra
Ejemplo:
 Operaciones con números en notación científica
Productos
Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con
los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay
que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación
siga siendo científica.
Cocientes
Sumas y restas
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Fijemonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un
exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en
notación científica otra vez.
Radicales
Nomenclatura:
es el radical es el radicando y es el índice de la raíz.
Ya se ha visto que

Si
existe para cualquier y cualquier

Si
existe sólo para valores impares de
Forma exponencial de los radicales
ya que
ya que
Propiedades de los radicales
ya que
Aplicaciones

Simplificar radicales

Pasar radicales a índice común. ¿Qué es más grande,
,
ó
?
Por lo tanto
ya que
5
☻ Aplicaciones

Sacar fuera de la raíz los factores que nos convengan.

Agrupar radicales
ya que
☻ Aplicaciones

Gracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un
solo radical:
ya que
ya que
No se pueden sumar radicales distintos, sólo los semejantes (aquellos que tras
simplificarlos tienen el mismo radicando y el mismo índice)
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Es decir, yo no puedo sumar
ni tampoco
En cambio sí que puedo sumar
Hay veces que no es evidente:
A veces (muchas) nos interesará 'quitar' las raíces del denominador. Esto se hace
multiplicando numerador y denominador por la expresión adecuada (este proceso se
denomina racionalizar)
Logaritmos
Motivación
En el pasado los logaritmos eran muy útiles para calcular productos de números muy
grandes (recordemos que no había calculadoras). Hoy en día se utilizan entre otras cosas
para representar en un mismo gráfico diferentes órdenes de magnitud, los decibelios al
fin y al cabo son logaritmos.
Logaritmos decimales
Un logaritmo decimal de un número se designa como
número al que hay que elevar el
para obtener
, y el resultado es el
La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extrañado, por eso es
bueno que se hagan pruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el
a base de tanteo 102,3 = 199 102,4 = 251 102,35 = 223 y luego comprobar que
vale log 245 con la calculadora.
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Logaritmos de base cualquiera
Se define el logaritmo en base
exponente al que hay que elevar
de , y se escribe como
para obtener
, el
Logaritmo Neperiano
Es un logaritmo en base e. Se representa como ln
logex = lnx
Propiedades

El logaritmo de la base es uno

El logaritmo de 1 es cero para cualquier base

Logaritmo de un producto

Logaritmo de un cociente

Logaritmo de una potencia

Logaritmo de una raíz

Cambio de base
Si nos fijamos esta propiedad nos permite
calcular logaritmos de base cualquiera con una calculadora que solo disponga de
logaritmo decimal.
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