practio-VAR_ALEATOR-RV-2012.DOC

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS .
1) La distribución de probabilidad de una v.a. discreta X viene dada por la siguiente
tabla:
xi
pi
1
0,1
2
0,3
3
4
5
0,2
0,3
1. ¿Cuánto vale p(X=3)
2. Calcula la media y la varianza.
2) Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro
veces la de sacar cruz. Se lanza 4 veces la moneda. Se pide:
a) Anota el espacio de resultados.
b) Grafica la función aleatoria que asigna a cada resultado el número de caras.
c) La función de distribución de probabilidad y de distribución acumulada de
probabilidad.
d) Grafica de ambas funciones de probabilidad.
e) Calcula la esperanza matemática y el desvío estándar.
3) En un bolillero hay 4 bolillas rojas y 3 azules. Si extraemos sin reponer 3 bolillas y
definimos nuestra variable aleatoria (X) como el número de bolillas rojas que se
obtienen en la extracción.
Se pide:
a) la función de distribución de probabilidad y la función de distribución
acumulada.
b) la esperanza matemática y el desvío estándar.
c) la gráfica de ambas distribuciones.
4) Tenemos dos urnas, en la urna A hay 5 bolas blancas y 4 rojas y en la B hay 6
blancas y 3 rojas. Se sacan, sin reemplazamiento, dos bolas de cada urna. Sea X el nº
de bolas blancas que salen de la urna A e Y el nº de bolas blancas que salen de la
urna B. Calcular:
a) Las distribuciones de probabilidad de X e Y.
b) La distribución de probabilidad de la variable z = X + Y.
5) La función de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por:
2 x si 0  x  1
f ( x)  
0 en el resto
a) Halla la función de distribución.
b) Calcula la media y la varianza.
f ( x) 
x2 1
con x  2,5
36
, una función de densidad.
6) Sea
a) Calcula su función de distribución.
b) Calcula p(3  x  4) .
7) Una variable X aleatoria tiene por función de densidad:
x0
0
0.2 x
0  x 1

0.2
1 x  2
f ( x)  
2 x3
0.2 x  0.2
0.4
3 x4

0
4 x
Calcular:
a) P(x1)
b) P(1<x2)
c) P(2<x3)
8) El diámetro de un cable eléctrico se considera una v.a. continua X, cuya función de
densidad de probabilidad es:
si 0  x  1
Cx(1  x)
f ( x)  
en otro caso
0
a)
b)
c)
d)
Calcular el valor de C y dibujar f(x)
Determinar la función F(x) y dibujarla.
Calcular la media, mediana y varianza de la distribución
Calcular P(x<1/2), P(0x1/4), P(x1/3), P(X1/21/3<x<2/3)
9) El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de
70 Kg. y desviación típica 6 Kg. De una población de 2000 personas, calcula cuántas
tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg.
10) La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0,5.
Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al
adquirir un lavavajillas dure más de 15 años.
11) La nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que
querían ingresar en una facultad era 5,8 y la desviación típica 1,75. Fueron admitidos
los de nota superior a 6.
a) ¿Cuál fue el porcentaje de admitidos si la distribución es normal?
b) ¿Con qué probabilidad exactamente cuatro de diez estudiantes son admitidos?
12) Un tirador acierta en el blanco en el 70% de los tiros. Si el tirador participa en una
competición y tira 25 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros?
13) Tenemos dos urnas, en la urna A hay 5 bolas blancas y 4 rojas y en la B hay 6
blancas y 3 rojas. Se sacan, sin reemplazamiento, dos bolas de cada urna. Sea X el nº
de bolas blancas que salen de la urna A e Y el nº de bolas blancas que salen de la
urna B. Calcular:
c) Las distribuciones de probabilidad de X e Y.
d) La distribución de probabilidad de la variable z = X + Y.
14) Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo. En cada juego
gana o pierde 6 euros. Una persona empieza con 6 euros y dejará de jugar si antes de
la 5ª vez pierde todo su dinero o si gana 18 euros, esto es, si tiene 24 euros. Hallar:
a) el número de casos en que puede ocurrir la apuesta
b) la función de probabilidad
c) la esperanza matemática
15) La función de densidad de una variable aleatoria continua es:
ax 2  b
f ( x)  
en
0
si
x  (0,2)
otro caso
sabiendo que P(1/2<x<1) = 1/8, calcular:
a) a y b
b) La función de distribución. Representar f(s) y F(x)
e) P(x<1/2), P(/4<x<3/4), P(x>1)
16) El departamento de economía tiene 8 profesores que se destinan a un mismo
despacho. Cada profesor puede estudiar por igual en su casa o en el despacho.
¿Cuántos escritorios deben haber en el despacho para que cada uno tenga por lo
menos un escritorio el 90% de las veces?
17) Un sistema electrónico contiene 20 componentes y la probabilidad de que falle un
componente individual es de 0.15.
Se supone que los componentes fallan intermitentemente uno de otro.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen 2? ¿Y al menos 1?
b) Si uno de ellos se sabe que ya ha fallado, ¿Cuál es la probabilidad de que
fallen al menos dos?
c) Si al menos uno de ellos ha fallado, ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al
menos dos?
18) En una determinada zona geográfica, se pretende introducir un nuevo producto,
del que se espera sea pedido por un 0.4% de sus habitantes. Determinar la
probabilidad de que, consultados 1000 de estos, dicho producto, sea solicitado:
a) por tres o más
b) por cinco o menos
c) al menos dos
d) ¿Cuántos individuos se espera que soliciten dicho producto?
19) Una secretaria comete, en promedio, 2 errores por página.
a) Determinar la probabilidad de que en una determinada página no comete
ninguno.¿Y de que cometa dos errores? ¿Y más de dos?
b) Al cabo de un día la secretaria ha escrito un informe de 50 páginas. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya cometido más de 20 errores? ¿Y menos de 10? ¿Y la
probabilidad de que cometa solo 3?
20) La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo (-2,8).
a) Determinar la función de probabilidad y el valor de P(0<x<7)
b) Calcular E(x), Var (x)
21) La variable aleatoria X denota la corriente, medida en miliampares, en un alambre
delgado de cobre. Supóngase que la función densidad de probabilidad de esta variable
aleatoria es una función uniforme en el intervalo (0,20).
a) Determinar la esperanza y la varianza de X
b) ¿Cuál será la probabilidad de que por el alambre circule una corriente de más
de 10 miliamperes?¿Y entre 5 y 8 miliamperes?
22) Para la distribución exponencial:
 e x x  0
f ( x)  
en otro caso
0
Hallar:
a)
b)
c)
d)
La función de distribución
La media
La varianza
La mediana
23) El coeficiente de inteligencia es una variable aleatoria que tiene una distribución
normal con media 100 y desviación típica 16. Calcular:
a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente
inferior a 120
b) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente entre
118 y 122
c) La probabilidad de que un individuo elegido al azar, tenga una coeficiente
superior a 130
24) Supóngase que las estaturas de 800 estudiantes están normalmente distribuidas
con media 170 cm y desviación típica de 5 cm. Hallar el número n de estudiantes con
esta estatura:
a) Entre 65 y 175
b) Mayor o igual que 178 cm
25) De un instituto, se presentan 180 alumnos y alumnas al examen de acceso a la
universidad y se sabe que, de ese centro, suelen aprobar el 81% de los estudiantes
presentados. Hallar la probabilidad de que:
a) Aprueben todos
b) Aprueben menos de 120
c) Suspendan 50 o más
26) Se tira 1000 veces una moneda equilibrada y se pide:
a) Probabilidad de que el número de caras que esté comprendido entre 490 y 510
b) Intervalo (a,b) centrado en 500 que verifique que P(a<num. Caras<b) =0,95
27) Una empresa de maquinaria agrícola está interesada en predecir cuánto tiempo
que tardan los productores en renovar su tractor desde el momento en que lo
compran. A partir de información sobre las ventas de tractores en los últimos años se
determinó que la distribución de la variable “tiempo transcurrido entre la compra y la
renovación de un tractor” (en años) está dada por la siguiente función de densidad:
 1 2

x , 0  x  12
f ( x)   576
0 en cualquier otro caso
a) Comprobar que f(x) es una función de densidad y representarla gráficamente.
b) Hallar la función de distribución F(x) y representarla gráficamente.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un productor cambie su tractor después de 3
años de uso?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un productor cambie su tractor entre los 5 y 6
años?
e) Calcular e interpretar la esperanza, la varianza y el coeficiente de variación de la
variable en estudio.
28) La cantidad de pan (en cientos de Kilos) que se vende diariamente en una
panadería de cierta localidad puede ser representada por una variable aleatoria con la
siguiente función de densidad:
 Ax

f ( x)   A10  x 
0

0 x5
5  x  10
en cualquier otro caso
a) Calcular el valor que debe tener la constante A para que f(x) sea una función de
densidad.
b) Hallar la probabilidad de que en un día se vendan entre 200 y 700 kilos de pan.
c) Si en un día se venden más de 900 kilos, el dueño de la panadería paga un plus
monetario a sus empleados. Si se eligen dos días cualesquiera, ¿cuál es la
probabilidad de que sólo en uno de ellos el dueño pague el plus a sus empleados?
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