Documento 330531

TALLER DE CÁLCULO PARA ADMINISTRADORES
(MA-43)
CICLO 2006-I
Semana 4
Tutor: Lucho Canales
I. Determine
dy
dx
de los siguientes ejercicios y simplifique su resultado
y
3  2x
5x  1
f(x) 
(3x  1)
2
1  4x
II. Determine:
3
a.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de y  2xy  6x  y  1 , en un punto cuya ordenada
es –1
b.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)  x e
c.
d.
e.
Los puntos sobre la curva x  xy  y  3 donde la tangente es horizontal
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de (2xy3 + 1)3 = 2y – x; en x = 0
La razón de cambio porcentual en x = 1 para la función " y" si (2xy  y) 5  243x
f.
Estime cuánto cambiaría la función f(x)  x 2  3x  5 cuando “x” aumenta de 5 a 5.3
g.
Estime cuánto cambiaría la función f(x) 
3
2
2x 2
  en x = 1
 ln x
2
2
x
 3 cuando “x” decrece de 4 a 3.8
x 1
III. Problemas
1. El costo en dólares de producir
unidades es p(x)   x
2
x
unidades es C(x) 
1
2
x  2x  39 , el precio al cual se venden las
3
x
 4x  10 :
a. ¿Cuál es la expresión de la utilidad U(x) ?
b. Determine la utilidad real por la venta de la quinta unidad
c. Estime mediante el cálculo, la utilidad por la venta de la quinta unidad
2
2. La expresión del costo de producir “q” unidades de un bien es de la forma C(q)  a q  b q  c . El costo
marginal de producir la novena unidad es 5 US$ mientras que el costo real de producir la novena unidad es
5,1250 US$. Determine los valores de “a” y “b” sabiendo que el costo de producir 10 unidades es de 410,5
US$
3. Los consumidores compran D(p) 
40 000
unidades por año de cierto producto cuando se vende a “p”
p
dólares la unidad. Se estima que dentro de “t” años el artículo costará p (t) = 0,4t3/2 + 6,8 dólares la unidad,
¿A qué razón cambiará la demanda anual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 años?
4. Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer “x”
cientos de unidades, donde 3 p 2  x 2  k , (k es una constante). Cuando el precio es US$ 4 la unidad y está
aumentando a una tasa de 87 centavos por mes, la demanda está aumentando a razón de 174 unidades por
mes, ¿Cuál es la cantidad ofrecida cuando el precio es de US$ 5,03 la unidad?
5. Cuando el precio de cierto artículo es p dólares la unidad, los clientes demandan x cientos de unidades de
dicho producto, donde
2
2
x  3(p  1)x  p  52
a.
b.
¿Con qué rapidez cambia la demanda “x” respecto al precio cuando p = $4
¿Con qué rapidez cambia la demanda “x” respecto al tiempo cuando p = $4 la unidad y está
disminuyendo a una tasa de 20 centavos por mes?
6. Cuando el precio de cierto artículo es p dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer
2
x cientos
2
de unidades, donde 3 p  x  12 . ¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es US$ 4 la unidad y
está aumentando a una tasa de 87 centavos por mes?
7. Halle todos los números críticos para las siguientes funciones dadas y clasifique cada punto crítico como un
máximo o un mínimo relativo e encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión
y determine la concavidad. Grafique.
a. f ( x)  x4  8x2  7
b. f ( x)  0,2x5  3x3  4
c.f(x)  x 4  8x 3  18x 2  8
8. Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador medio que llega al
3
trabajo a la 8:00 a.m. habrá producido Q(t)   t 
9
2
t  15t unidades t horas mas tarde
2
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9:00 a.m.
¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9:00 a.m.?
Aplique el cálculo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 y las
9:15 a.m.
Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre la 9:00 y las 9:15 a.m.
¿En qué momento de la mañana (entre las 8:00 a.m. y las 12:00 m.) opera el trabajador con la
eficiencia máxima?
9. La producción “Q” de cierta fábrica se relaciona con los insumos “x” é “y” mediante la ecuación Q = x 2 +
2xy + 2y3. Si los niveles actuales de insumos son x = 10 é y = 20, utilice el cálculo para estimar el cambio que
debería realizarse en el insumo “y” para compensar un incremento de 0,5 en el insumo “x”, de manera que la
producción se mantenga en el nivel actual.
x2
 4 x  57 unidades monetarias. Asuma que todo lo que se
5
produce se vende y que el precio de venta unitario p depende de las x unidades vendidas y varía linealmente
de la siguiente manera:
10. El costo de producir x unidades es C ( x) 
x
8
12
16
p
7
6
5
Determine:
a. Mediante el costo marginal, el costo de producir la sexta unidad
b. El ingreso real obtenido por la venta de la cuarta unidad
c.
Si el costo de producción actual es 117 unidades monetarias, estime en cuanto cambia el costo si el
nivel de producción se incrementa en 0.5 unidad a partir de su nivel actual.