Capítulo 2 - Módulo de Probabilística

2. Análisis combinatorio
2.1. Introducción.
Imagina que quieres saber de cuántas formas pueden acomodarse 15 libros en un estante sin importar el orden
en que éstos vayan, o imagina que quieres escoger 5 personas de 100 que están excelentemente calificadas
para realizar una importante labor en tu empresa, o imagina que quieres conocer de cuántas formas distintas se
puede llegar de Bello a Envigado, pasando por Medellín y utilizando todas las rutas de buses posibles.
¿Será que existe una forma rápida y poco tediosa de hallar todos estos eventos para cada uno de estos
experimentos?
Pues, sí. La respuesta la podemos encontrar en el análisis combinatorio.
2.2. Análisis Combinatorio.
El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar los sucesos anteriores, para luego obtener la
probabilidad de que un evento suceda cuando se encuentra dentro de este experimento.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden
ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:
Si un trabajo o evento puede hacerse de n 1 maneras diferentes y cuando sea hecho, puede hacerse un
segundo trabajo independiente, de n2 modos diferentes y luego un tercer trabajo de n3 maneras diferentes y así
sucesivamente; entonces el número total de maneras diferentes en que los trabajos se pueden realizar es:
n1 x n2 x n3
Ejemplo:
Suponiendo que una persona tiene 2 opciones para ir de la ciudad A a la ciudad B (A pie-bicicleta). Una vez que
llega a la ciudad B tiene 3 opciones de llegar a la ciudad C (avión, auto, barco).
De cuántas formas diferentes puede realizar el viaje de A a C pasando por B?
n1 = 2 y n2 = 3
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El número de formas distintas es n1 x n2 = 2 x 3 = 6 formas distintas para llegar de A a C, pasando por B.
Este procedimiento anterior se conoce como la Regla Multiplicativa:
2.2.1. Regla Multiplicativa:
Si un procedimiento A1 puede realizarse de n1 formas y por cada una de éstas un segundo procedimiento, sea
este A2, puede efectuarse de n2 formas y por cada una de estas dos, un tercer procedimiento sea A 3 pueda
efectuarse de n3 formas, entonces tenemos que los procedimientos A1, A2, A3 .....Ak pueden realizarse de
n1 x n2 x n3 x.....x nk formas distintas
En donde n1 , n2 ,..., nk son el tamaño de los conjuntos y k es el número de conjuntos posibles.
En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden presentar cada uno de los sucesos a
observar.
Ejemplo:
La Uniremington desea regalar dos seminarios, uno de la facultad de sistemas y otro de la facultad de
administración, al mejor egresado de la última promoción. ¿De cuántas formas diferentes puede el estudiante
hacer selecciones de dos seminarios, teniendo en cuenta lo siguiente? :
Que en la facultad de sistemas se cuenta con los siguientes seminarios: C++, Visual Basic, Java Scrip,
Access, Asp, Front Page, Photo Shop y el Coreldraw, mientras que en la facultad de administración se cuenta
con: Comercio exterior, Economía y finanzas, Técnicas de control interno, Gestión administrativa con énfasis en
el liderazgo y Auditoria administrativa.
n1
n2
Comercio Exterior
Economía y finanzas
Técnicas de control interno
Gestión administrativa con énfasis en el
liderazgo
Auditoria administrativa
n1 = 8
n2 = 5
C++
Visual Basic
Java Scrip
Access
Asp
Front Page
Photo Shop
Corel Draw
n1 x n2 = 8 x 5 = 40
El estudiante puede hacer la escogencia de 40 formas distintas
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En el análisis combinatorio también se definen las permutaciones, con o sin repetición, y las combinaciones.
2.2.2. Regla de Permutaciones (u ordenaciones) con repetición
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son
ordenaciones de n objetos de N que se han dado.
Ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso n= 2 y
N=4.
Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.
En general, si se toman n objetos de N, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas
son: N n
Otra nomenclatura
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este
caso r=2 y n=4.
Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En
total son 16.
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con
repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n
r
2.2.3. Regla de Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
Si de un conjunto de N elementos se extraen un subconjunto de n elementos, los cuales van a tener un orden
determinado. Entonces tenemos que el número de posibles eventos, está dado por:
PnN 
N!
( N  n)!
En donde N es el tamaño del conjunto mayor y n es el subconjunto que se extrae del conjunto mayor.
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(En la calculadora use la tecla nPr para calcular las permutaciones sin repetición de elementos)
Otra nomenclatura
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr =
Ejemplo 1: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones de dos elementos, sin repetición se
pueden obtener?
Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.
Realízalo utilizando la fórmula.
Ejemplo 2: Corona lanza su más reciente colección 2003-2004 que trae consigo una variedad de productos
como son: baldosas, griferías, porcelanas sanitarias y vajillas. Donde cada producto cuenta con una amplia
gama de distintos acabados
De los seis principales puntos de ventas en Medellín se desean seleccionar 3, ubicando en orden de
importancia al punto que más ventas haya tenido en los últimos seis meses, y si aún no se conoce el resultado
final en ventas de cada punto, ¿de cuántas maneras se podrían ocupar los tres primeros puestos?
P36 
6
6! 6*5* 4*3!
 
 120
(6  3)! 3!
3!
Los tres mejores puntos de ventas se pueden seleccionar de 120 formas distintas
2.2.4. Regla de Combinaciones
Si seleccionamos de un conjunto de N objetos un subconjunto de n objetos, sin importar el orden y sin
repetición, entonces se dice que es una combinación de N objetos tomados de n en N. Y el número de
resultados posibles está dado por:
N
N!
 
 n  n !( N  n)!
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(En la calculadora use la tecla nCr para calcular las permutaciones sin repetición de elementos)
Ejemplo 1: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se
pueden obtener?
Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos.
Ejemplo 2: Corona seleccionará entre los 50 vendedores que atienden el mercado nacional, un grupo de 10
vendedores para con ellos cubrir el 60% del crecimiento en las ventas, estas ventas estarán localizadas en tres
nichos del mercado de las principales ciudades del país.
¿De cuántas formas posibles podemos organizar grupos de 10 vendedores para cubrir estas ciudades?
N = 50
n = 10
 50 
50!
= 1.027227817
 
10  10!(50  10)!
Los grupos de 10 vendedores para cubrir las principales ciudades se pueden seleccionar de 1.027227817
formas posibles.
2.2.5. Regla de Particiones.
Si un conjunto mayor se reparte en subconjuntos, con la condición de que la unión de los subconjuntos sean
igual al conjunto mayor, entonces el número de resultados posibles está dado por:
N!
n1 !* n2 !* n3 !* n4 !*......nk !
En esta regla debe cumplirse que: N = n1 + n2 + n3 + n4 + ... + nk
Ejemplo: En la clase de probabilística hay 22 alumnos y el profesor desea organizar cuatro grupos de cuatro
personas y uno de seis personas para resolver los talleres A, B, C, D, E.
¿De cuántas formas puede el profesor realizar esta asignación?
N = 22 alumnos
K = 5 talleres distintos (A, B, C, D, E.)
Taller A = 4 personas
Taller B = 4 personas
Taller C = 4 personas
Taller D = 4 personas
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Taller E = 6 personas
22!
= 4.705319619
4!* 4!* 4!* 4!*6!
El profesor puede realizar la asignación de 4.705319619 formas distintas.
2.2.6. El Factorial de un Número.
Las reglas de conteo, en especial la regla multiplicativa, nos remite automáticamente al factorial de un número
natural, que se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el cero y rango los
números naturales. El factorial de un número n, denotado n!, se define como:
Ahora, si n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado, incluso para una
computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n!:
donde e = 2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.
En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero no negativo n.
Por ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
2.2.7. Ejercicios Propuestos
1. Usted cuenta con 12 analistas de sistemas y desea asignar tres al trabajo 1, cuatro al trabajo 2 y cinco al
trabajo 3. ¿De cuántas formas distintas puede efectuar esta asignación?
2. Se contratarán 5 administradores de un grupo de 100 solicitantes. ¿De cuántas maneras podemos
seleccionar grupos de 5 administradores?
3. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes
condiciones?:
El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada uno.
El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada uno) y cinco
respuestas de falso - verdadero.
4. Un político envía un cuestionario a sus electores para determinar sus inquietudes acerca de seis importantes
problemas nacionales: desempleo, violencia, medio ambiente, impuestos, defensa nacional y salud. El
encuestado debe seleccionar los cuatro problemas que más le interesen y ordenarlos por su importancia
asignándoles los números 1, 2, 3 ó 4; con el 1 indicando el mayor interés y el 4 el menor interés. ¿De cuántas
maneras puede responder un ciudadano el cuestionario?
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5. Un comité de estudiantes de la universidad tiene 5 miembros. ¿De cuántas formas puede alcanzar una
decisión mayoritaria a favor de algo?
(Nota: una decisión mayoritaria favorable se alcanza si y sólo si, exactamente tres miembro votan
favorablemente, o exactamente cuatro miembros votan favorablemente o si los cinco miembros votan
favorablemente.)
6. Un director de funerales debe asignar 15 dolientes a tres limusinas: seis a la primera, cinco a la segunda y
cuatro a la tercera. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto?
7. Un mesero toma la siguiente orden de una mesa con siete personas: tres hamburguesas, dos hamburguesas
con queso y dos sánduches de carne. Al regresar con la comida, olvidó quien ordenó cada cual y sólo coloca un
alimento en frente de cada persona. ¿De cuántas formas puede hacer esto?
8. Una mano de póker consiste en 5 cartas sacadas de una baraja de 52. La mano se dice que es "póker" o
cuatro de la misma clase si cuatro de las cartas tienen el mismo valor. Por ejemplo, las manos con cuatro
números 10 o cuatro sotas o cuatro números 2 son manos de póker. ¿Cuántas de tales manos son posibles?
9. Una moneda se tira 10 veces y se anota el resultado después de cada tirada. ¿Cuántos eventos posibles
existen?
10. Suponga que el metro de Medellín tiene 20 estaciones, cuántas clases de tiquetes deben ser impresos si
los nombres de los puntos de partida y de llegada aparecen en cada tiquete?
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