UNIDAD N°9 TRIANGULOS 20 DE OCT DE 2014

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno o la Alumna: _____________________________Grupo:10º ______
Sección: Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 9
Triángulo
9.0 ÁREA: Geometría
9.1 OBJETIVOS
 Repasar
los
conceptos
fundamentales del triángulo.
 Utilizar las nociones geométricas
para
realizar
problemas
de
triángulo de su entorno.
 Resolver problemas geométricos
de triángulos y demostraciones
geométricas.
9.2 INTRODUCCIÓN
El triángulo es el polígono más
sencillo, pero no por eso el menos
interesante. Cuando miramos a nuestro
alrededor
encontramos
triángulos
forman
que
parte
los
de
construcciones, de objetos, de figuras,
etc. Esto es evidencia de que a pesar
de su simplicidad, el triángulo puede
tener
tanta
desenvolvimiento
utilidad
de
en
el
todas
las
cuestiones geométricas de situaciones
Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
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de la vida real.
Su estructura rígida, indeformable, lo hace
imprescindible en las construcciones de tendidos eléctricos, de
puentes, de techos, etc. A pesar de su aparente fragilidad y de
lo sencillo de su composición, muchas de las estructuras
construidas a base de triángulos tienen una belleza serena y
espectacular al mismo tiempo.
La Geometría es utilizada todos los días en nuestra vida, y uno
de los motivos que impulso su desarrollo fue la necesidad de
medir la tierra. La palabra Geometría procede del griego: Geo,
que significa tierra y metrón que significa medida.
En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas
del Río Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y era
necesario
redefinir
la
separación
entre
terrenos.
Un
instrumento de medida, que utilizaban los agrimensores
egipcios, eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de
tal forma que les fuera fácil la construcción de los ángulos
rectos que formaban las parcelas.
Un triángulo, en Geometría, es un polígono determinado por
tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no
se encuentran alineados, es decir: puntos no colineales).
Los tres puntos de intersección de las rectas son los vértices y
los segmentos de recta, son los lados del triángulo. Dos lados
contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Si el triángulo está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre
poco común para este tipo de polígonos. Si el triángulo está contenido en una superficie esférica,
se denomina triángulo esférico. Representado, en Cartografía, sobre la superficie terrestre, se
denomina triángulo geodésico.
9.3 DEFINICIONES

Triángulo: es la figura geométrica conformada por tres segmentos de recta.

Triángulo: es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta.

Triángulo: es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres
segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.
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9.4 ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
Todo triángulo1 tiene elementos primarios y elementos secundarios. Los elementos primarios o
principales de un triángulo son los lados, vértices y los ángulos (interiores y exteriores). Y los
elementos secundarios son: altura, bisectriz, simetral, mediana o transversal de gravedad.
Observación: el triángulo es la figura geométrica cerrada más simple que existe, y se distingue por
poseer tres ángulos interiores y carecer de diagonales.
9.4.1 ELEMENTOS PRINCIPALES O PRIMARIOS DE UN TRIÁNGULO
Los elementos primarios de un triángulo son:

Los vértices de un triángulo: son los puntos de
confluencia o intersección entre cada dos lados del
triángulo, y también son los puntos extremos o
puntos donde concurren los lados de un ángulo.
Por acuerdos realizados internacionalmente, los vértices
no se consideran propiamente como un elemento, es
decir, cuando se resuelven problemas sobre triángulos solo se consideraran: 3 lados y 3 ángulos.
Los vértices de los ángulos se nombran con letras mayúsculas, tales como: A, B, C, …, Z.

Los lados del triángulo: son los segmentos de recta. Se designan de dos formas:
1) Con letras minúsculas, así: a, b, c, …, z y que corresponden a la letra que nombre el
vértice opuesto.
2) Con dos letras mayúsculas y un símbolo en forma de barra, sobre ellas, así:
AB , BC , AC

Los ángulos del triángulo: son las aberturas que forman los lados del triángulo, y existen dos
tipos:

Los
ángulos
interiores:
son
los
ángulos que lo forman cada par de
lados consecutivos del triángulo, y
según la figura son: ,  y .

Los
ángulos
exteriores:
son
los
ángulos formados por un lado del
triángulo y su prolongación en la región exterior, y según la figura son: ,  y .
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9.4.2 ELEMENTOS SECUNDARIOS O NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Los elementos notables o secundarios de un triángulo son:
 Las alturas: son los segmentos perpendiculares a un
lado o a su prolongación desde el vértice opuesto.
La altura de un triángulo se designa con la letra h y un
triángulo tiene tres alturas, una por cada lado, por lo que se
denota así: ha, hb y hc.
El punto O de confluencia o
concurrencia de las tres alturas se llama ortocentro.
 Las bisectrices: son las rectas que dividen cada ángulo
del triángulo por la mitad. Se designa con la letra b y un
triángulo tiene tres bisectrices, una por cada ángulo, por
lo que se denota así: b, b y b..
El punto O de
confluencia o concurrencia de las tres bisectrices se llama
incentro.
El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita
en el triángulo.
 Las mediatrices o simetrales: son las rectas perpendiculares
a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio. Se
designa con la letra S y un triángulo tiene tres simetrales o
tres mediatrices. El punto O de confluencia o concurrencia
de las tres mediatrices se llama circuncentro.
El circuncentro es el centro de una circunferencia
circunscrita al triángulo, y la circunferencia pasa por los tres
vértices.
 Las medianas o transversales de gravedad: son los
segmentos trazados desde los vértices hasta el punto
medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres
mediabas o transversales de gravedad, una por cada
lado del triángulo, y se designa con las letras m ó t. El
punto G de confluencia o concurrencia de las tres
medianas o transversales de gravedad se llama
baricentro.
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La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo, así: FD  12 AC DE  12 AB
EF  12 CB . Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos
congruentes.
9.5 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
 La suma de los ángulos internos o interiores
de un triángulo es igual a dos ángulos rectos;
es decir, suman 180º.
En la figura, α + γ + ε = 180º. Además, γ = β y
ε = δ por ser ángulos alternos internos.
 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a
la suma de los dos ángulos internos o interiores no
adyacentes; es decir,  = α + ε.
 Un ángulo interior y exterior de un
triángulo son
suplementarios, es decir, suman 180°,  + γ = 180º.
 La suma de los ángulos agudos de un triángulo es igual a un ángulo recto; es decir, suman
90º,  +  = 90º.
 Todo triángulo tiene dos regiones, una interior y otra exterior.
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9.6 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
9.6.1 CLASIFICACIÓN, SEGÚN SUS ÁNGULOS

Triángulo acutángulo: es el triángulo que tiene tres ángulos
agudos.

Triángulo rectángulo: es el triángulo que tiene un
ángulo recto y dos agudos.

Triángulo obtusángulo: es el triángulo
que tiene un ángulo obtuso y dos
agudos.
9.6.2 CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Triángulo equilátero: es el triángulo que tiene sus tres
lados de la misma medida.
También sus ángulos
interiores son de igual medida y cada uno mide 60°.

Triángulo isósceles: es el triángulo que tiene dos lados de
igual medida y sus ángulos de la base también son de igual
medida.
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
Triángulo escaleno: es el triángulo que
tiene sus tres lados de distinta medida,
también sus ángulos.
9.7 CÁLCULO DEL ÁREA Y EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
El procedimiento para calcular el área de un triángulo es el siguiente:
 El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura todo eso, dividido
entre dos Área del triángulo 
Base  Altura
.
2
El procedimiento para calcular el perímetro de un triángulo es el siguiente:
 El perímetro de un triángulo es suma de la medida de la longitud de sus tres lados. Es
decir, Perímetro del triángulo  AB  BC  AC
Ejemplo 1: Hallar el área de un triángulo, si la base mide
30 metros y la altura es de 15 metros .
Solución:
AB  CD 30m  15m 450m 2
A 


 225m 2
2
2
2
Respuesta: El área del triángulo es de 225 m 2 .
9.7.1 CÁLCULO DEL ÁREA Y EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
 Área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos, dividido entre dos.
 El perímetro de un triángulo rectángulo es suma de la medida de sus tres lados,
p  AB  BC  AC
p  c  a  b
Ejemplo 2: Hallar el área de un triángulo rectángulo, si
sus catetos miden 7,7 cm y 4,6 cm .
Solución: Área del triángulo 
Base  Altura
2
AB  AC 7,7cm  4,6cm 35,42cm 2


 17,71cm 2
2
2
2
Respuesta: El área del triángulo es de 17,71 cm 2 .
A 
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Ejemplo 3: Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si sus catetos miden 6 cm y 8 cm , y la
hipotenusa es de 10 cm .
Solución: Perímetro del triángulo  AB  BC  AC
p  AB  BC  AC  c  a  b  10 cm  6 cm  8 cm  24 cm
Respuesta: El perímetro del triángulo es de 24 cm .
9.8 TEOREMA DE PITÁGORAS (CASO PARTICULAR)
En todo triángulo rectángulo, “la suma de los cuadrados
construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido
sobre la hipotenusa”. Y esto se expresa matemáticamente, así:
c2  a2  b2
Ejemplo 4: Sea  ABC , un triángulo rectángulo en C, calcula la
medida de la hipotenusa si sus catetos miden AC  8 cm y CB  4 cm , y
calcula su área y perímetro.
Solución: el  ABC , CB  a  4 cm , AC  b  8 cm y AB  c  ?
c2  a2  b2
BC  AC
2
4 cm  8 cm
A 
2
32 cm 2
A 
2
A  16 cm 2
A 
c 2  4cm   8cm 
2
2
c 2  16cm 2  64cm 2
c 2  80cm 2
c 2  80cm 2
c  80cm 2  8,9cm
p  AB  BC  AC  c  a  b  8,9 cm  4 cm  8 cm  20,9 cm
Respuesta: La hipotenusa es c  8,9 cm , su área es de 16 cm 2 y su perímetro es 20,9 cm .
Ejemplo 5: Sea  ABC , un triángulo rectángulo en C,
calcula la medida de la hipotenusa si sus catetos miden
AC  6 cm y BC  8 cm , y calcula su área y perímetro.
Solución: el  ABC , BC  a  8 cm , AC  b  6 cm y
AB  c  ?
c2  a2  b2
c 2  8cm   6cm 
2
2
c 2  64 cm 2  36 cm 2
c 2  100 cm 2
BC  AC
2
8 cm  6 cm
A 
2
A 
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c  100 cm 2
A 
c  10 cm
48 cm 2
 24 cm 2
2
p  AB  BC  AC  c  a  b  10 cm  8 cm  6 cm  24 cm
Respuesta: La hipotenusa es c  10 cm , su área es de 24 cm 2 y su perímetro es 24 cm
Ejemplo 6: Sea  ABC , un triángulo rectángulo en C, calcula
la medida del cateto AC  b  ? , si la hipotenusa mide
AB  c  20 cm y el otro cateto es BC  a  12 cm . Hallar su
área y perímetro.
Solución: el  ABC , BC  a  12 cm y AC  b  ?
c2  a2  b2
b c a
2
2
A 
2
b 2  20 cm   12 cm 
2
2
b 2  400 cm 2  144 cm 2
b 2  256 cm 2
b 2  256 cm 2
b  16 cm
BC  AC
2
12 cm  16 cm
A 
2
192 cm 2
A 
2
A  96 cm 2
p  AB  BC  AC  c  a  b  20 cm  12 cm  16 cm  48 cm
Respuesta: El cateto es b  16 cm , su área es de 96 cm 2 y su perímetro es 48 cm
Ejemplo 7: Sea  ABC , un triángulo rectángulo en C,
calcula la medida del cateto BC  a  ? , si la hipotenusa
mide AB  c  17 cm y el otro cateto es AC  b  8 cm . Hallar
su área y perímetro.
Solución: el  ABC , AC  b  8 cm y, BC  a  ?
c2  a2  b2
a 2  17cm   8 cm 
2
2
a 2  289 cm 2  64 cm 2
a 2  225 cm 2
a 2  225 cm 2
a  15 cm
BC  AC
2
15 cm  8 cm
A 
2
120 cm 2
A 
2
A  60 cm 2
A 
a2  c2  b2
p  AB  BC  AC  c  a  b  17 cm  15 cm  8 cm  40 cm
Respuesta: El cateto es a  15 cm , su área es de 60 cm 2 y su perímetro es 40 cm
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PRACTICA Nº 1
I.
Resuelva los siguientes problemas de triángulo rectángulo, hallando el lado que hace falta al
triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras:
1. Sea  ABC un triángulo rectángulo en C , si sus datos son: c  20 cm y a  12 cm
2. Sea  ABC un triángulo rectángulo en C , si sus datos son: c  17 cm y b  8 cm
3. Sea  ABC un triángulo rectángulo en C , si sus datos son: b  24 cm y a  10 cm
II. De los anteriores problemas de triángulo rectángulo, hallar su área y
su perímetro.
III. Calcula el área de un triángulo si la base mide 8 m y la altura 5 m:
IV. Dados los triángulos rectángulos, hallar la medida del lado que hace falta:
V. Dados los triángulos rectángulos, hallar la medida del lado que hace falta:
VI. Calcula la medida de la diagonal de ambas figura:
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