Teoria de matrices 133549 221107 5362

MATRICES
 CONTENIDO DEL TEMA:
 Concepto de matriz de orden n x m
 Clases de matrices según su forma
 Tipos de matrices cuadradas
 Suma de matrices
 Producto de un escalar por una matriz
 Producto de matrices
 Transposición de matrices. Matriz simétrica y
hemisimétrica
Definición
 La matriz se usa en la vida cotidiana, en
juegos, como el de “barquitos”, en una
clasificación de una competición deportiva
o en la cotizaciones de la bolsa.
 En estas tablas numéricas, cada valor tiene
un significado preciso, y para mayor
facilidad de consulta, los números están
repartidos en filas y columnas.
 Por conclusíón: una matriz es la
ordenación de m x n, de elementos
ordenados en filas y columnas.
1. Concepto de matriz m x n.
Se llama matriz de orden m x n a la aplicación que a cada
elemento del producto cartesiano M x N le asigna un
a ij
número real
 En otras palabras, a cada par ordenado de
números naturales se le asigna un número real. Así
tenemos un conjunto de m x n números reales que
se acostumbra a escribir distribuidos en m filas
(horizontales) y n columnas (verticales e
introducidos entre paréntesis.
Diapositiva siguiente
Suma de matrices
– Solo se pueden sumar dos matrices si tienen las mismas
dimensiones.
– Dadas dos matrices de orden n x m:
A 
a 
b 
ij
B 
ij
– Su suma es de dimensión:
A  B  aij  bij 
– Cada elemento se obtiene sumando los elementos de las
matrices sumandos que están en la misma posición.
– Ejemplo
la suma de matrices presenta una estructura de
grupo abeliano, cumple las cuatro
propiedades siguientes:




Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
Conmutativa: A+B=B+A
Elemento neutro: es la matriz nula
Elemento opuesto: Para cada matriz A existe su
opuesta (-A), que se obtiene cambiando en A los
signos de todos sus elementos, tal que A+(-A)=N.
2. Clases de matrices según
su forma.
 matriz fila( 1x n) :
–
1
 matriz columna (m x 1):
 matriz cuadrada, n=m:
2 6
5
 
9
3
 
 2 5


9 7
 Matriz diagonal,escalar, unidad, nula y
triangular
1. Producto de un escalar
por una matriz.
 Dada
una matriz A=(aij) de orden n x m y
un número real k (escalar), se llama matriz
producto de A por k a la matriz de orden n
x m cuyo elemento genérico es de la
forma:
kA  (kaij )

Ejemplo
Propiedades del producto de
un escalar:
 Distributiva respecto a la suma de
escalares: (k+k')A=kA+k'A
 Distributiva respecto a la suma de
matrices: k(A+B)=kA+kB
 Asociativa mixta: (kk')A=k(k'A)
 Producto por el elemento unidad de R:
1.A=A
1. Producto de matrices.
 Dos matrices sólo son multiplicables si
el número de columnas de la primera es
igual al número de filas de la segunda,
si son de órdenes n x m (la primera) y
m x p (la segunda, se obtiene una
matriz de orden n x p.
Propiedades del producto de
matrices:
 Asociativa: (AB)C=A(BC)
AB 
 No es conmutativa ya que, en general,
BA
 Matriz unidad: Toda matriz cuadrada A de orden n multiplicada
por la matriz identidad del mismo orden queda inalterada, o sea
AI=A:
 a11 a12  1 0   a11 a22 
     
  A
A  I  
 a21 a22   0 1  a21 a22 
 El producto de matrices no es simplificable, AB=AC no implica
que B=C.
 El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, o
sea A(B+C)=AB+AC.
1. Trasposición de matrices.
Matriz simétrica y hemisimétrica.
 Se llama matriz traspuesta de la matriz
A de orden n x m y la representamos
por A’ a la matriz de orden m x n que se
obtiene cambiando las filas por las
columnas.
 a11 a12 

A  
 a 21 a 22 
 a11 a21 

A  

a
a
 12 22 
t
Propiedades:
 La traspuesta de la traspuesta es la matriz
inicial, (A’)’=A
 La traspuesta de una suma de matrices es la
suma de las traspuestas, (A+B)t=At+Bt.
 La traspuesta de un producto de matrices es
el producto de las traspuestas en orden
inverso, o sea: (AB)t=BtAt
Se llama matriz simétrica a una matriz
cuadrada en la que los elementos simétricos
respecto de la diagonal principal son iguales,
esto es cuando aij=aji.
En una matriz simétrica, la traspuesta coincide
con la propia matriz.
 Se llama matriz hemisimétrica a una matriz
cuadrada en la que los elementos simétricos
respecto a la diagonal principal son números
opuestos, esto es cuando aij=-aji
 En una matriz hemisimétrica los elementos de
la diagonal principal han de ser nulos.

1. Potencia de una matriz
cuadrada.
–Es el producto matricial de n matrices
iguales a A, esto es:
A  A  A  A........ ...... A
n
n