Suma

Suma
Para otros usos de este término, véase Suma (desambiguación).
«Adición» redirige aquí. Para la reacción química homónima, véase Reacción de adición.
3 + 2 = 5 manzanas.1
La adición o suma es una operación básica por su naturalidad, que se representa con el signo (+),
el cual se combina con facilidad matemática de composición en la que consiste en combinar o
añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el
proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado,
la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.
En términos científicos, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números
(naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos,
como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que
tengan su imagen en ellos.
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar
la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de
un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría
de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos
casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta
operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.
Índice
[ocultar]

1 Propiedades de la suma

2 Notación

3 Tabla

4 La tabla de sumar en forma cartesiana

5 Realizar una suma

6 Véase también

7 Referencias

8 Enlaces externos
[editar]Propiedades
de la suma

Propiedad conmutativa: si el orden de los factores cambia no altera el resultado: a+b=b+a.

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la
suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.2 Un ejemplo es: a+(b+c) =
(a+b)+c.

Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a,
existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento
opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números
naturales.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la
suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 =
6*4 + 3*4.

Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un
número natural. Por ejemplo a+b=c.
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al
infinito.
[editar]Notación
Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la
suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.
También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los
términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los
números omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.
En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio, y se representa con la
letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros números naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

es la suma de todos los números racionales de la forma 1/k2. Como idea que se
acerca esta es una suma infinita que nunca termina; es decir, se suman todos los elementos de
unconjunto infinito; sim embargo, en realidad se calcula el límite de la sucesión cuyo n término
es la suma primeros n términos de la serie
Hay que recordar que los números no tienen fin, por lo tanto son infinitos.
[editar]Tabla
Para realizar una suma de la parte de la tabla de sumar, en la que se representa la suma de los diez
primeros números, que se aprende por memorización, conocida esta tabla se pueden realizar sumas
de números de cualquier número de cifras.
Tabla de sumar
Tabla del 1
1+ 0= 1
1+ 1= 2
1+ 2= 3
1+ 3= 4
1+ 4= 5
1+ 5= 6
1+ 6= 7
1+ 7= 8
1+ 8= 9
1 + 9 = 10
1 + 10 = 11
Tabla del 2
2+ 0= 2
2+ 1= 3
2+ 2= 4
2+ 3= 5
2+ 4= 6
2+ 5= 7
2+ 6= 8
2+ 7= 9
2 + 8 = 10
2 + 9 = 11
2 + 10 = 12
Tabla del 3
3+ 0= 3
3+ 1= 4
3+ 2= 5
3+ 3= 6
3+ 4= 7
3+ 5= 8
3+ 6= 9
3 + 7 = 10
3 + 8 = 11
3 + 9 = 12
3 + 10 = 13
Tabla del 4
4+ 0= 4
4+ 1= 5
4+ 2= 6
4+ 3= 7
4+ 4= 8
4+ 5= 9
4 + 6 = 10
4 + 7 = 11
4 + 8 = 12
4 + 9 = 13
4 + 10 = 14
Tabla del 5
5+ 0= 5
5+ 1= 6
5+ 2= 7
5+ 3= 8
5+ 4= 9
5 + 5 = 10
5 + 6 = 11
5 + 7 = 12
5 + 8 = 13
5 + 9 = 14
5 + 10 = 15
Tabla del 6
6+ 0= 6
6+ 1= 7
6+ 2= 8
6+ 3= 9
6 + 4 = 10
6 + 5 = 11
6 + 6 = 12
6 + 7 = 13
6 + 8 = 14
6 + 9 = 15
6 + 10 = 16
Tabla del 7
7+ 0= 7
7+ 1= 8
7+ 2= 9
7 + 3 = 10
7 + 4 = 11
7 + 5 = 12
7 + 6 = 13
7 + 7 = 14
7 + 8 = 15
7 + 9 = 16
7 + 10 = 17
Tabla del 8
8+ 0= 8
8+ 1= 9
8 + 2 = 10
8 + 3 = 11
8 + 4 = 12
8 + 5 = 13
8 + 6 = 14
8 + 7 = 15
8 + 8 = 16
8 + 9 = 17
8 + 10 = 18
Tabla del 9
9+ 0= 9
9 + 1 = 10
9 + 2 = 11
9 + 3 = 12
9 + 4 = 13
9 + 5 = 14
9 + 6 = 15
9 + 7 = 16
9 + 8 = 17
9 + 9 = 18
9 + 10 = 19
Tabla del 10
10 + 0 = 10
10 + 1 = 11
10 + 2 = 12
10 + 3 = 13
10 + 4 = 14
10 + 5 = 15
10 + 6 = 16
10 + 7 = 17
10 + 8 = 18
10 + 9 = 19
10 + 10 = 20
[editar]La
tabla de sumar en forma cartesiana
Otra forma de representar la tabla de sumar es en forma cartesiana. En esta representación, la
primera fila y la primera columna contienen los números que se van a sumar, y en la intersección de
cada fila con cada columna se muestra la suma de ambos números.
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
[editar]Realizar
una suma
El procedimiento estándar para efectuar sumas de varios números,
llamados "sumandos", es el siguiente:
Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en
columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades(U),
a la izquierda las decenas(D), la siguiente las centenas(C), la
siguiente los millares(M), etc.
La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:
Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales,
colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10
las decenas se acumulan como un sumando más en la fila de acarreo.
En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en
la columna siguiente.
En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran
unidades.
Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior
como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.
Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de
acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).
En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14,
el 4 del 14 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo.
Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda
las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.
En la columna de los millares tenemos 1 de acareo más el 1 de sumando que sumados dan 2, que
se pone en la parte inferior como resultado, al no haber mas sumandos damos por finalizada la
operación.
Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a
los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones
auxiliares sería el siguiente:
Resta
5–2=3
La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una
operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el
resultado se conoce como diferencia o resto.
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b = c, entonces c–b = a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de
la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es
mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición
estaría excluido del conjunto . Esto implica la ampliación del conjunto de los números naturalescon
un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros Z, que incluye a los naturales.
Esto también es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales
positivos.
A continuación se comienza restando la cifra de la columna de unidades del minuendo al
sustraendo, teniendo en cuenta que si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se
suma a la cifra 10 unidades, colocando en la línea de acarreo sobre la columna siguiente (las
decenas) un 1, que se sumará a la cifra del sustraendo de las decenas. Una vez hecho esto se
restan las cifras de minuendo a sustraendo de la columna unidades y se escribe la cifra resultado en
la línea de resto de la misma columna. De igual manera, se procede en la columna de las decenas,
centenas, unidades de millar, etc. sin olvidar sumar los acarreos de columnas anteriores al
sustraendo debido a la suma de diez unidades en la columna anterior a la cifra del minuendo si éste
es menor que el sustraendo.
La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún
efecto.
Como ejemplo ilustrativo del proceso de restado de dos números, se utilizarán el 1419 y 751,
obteniéndose:
La comprobación del resultado como «Resto o Diferencia» se hace sumando dicho resultado con el
sustraendo, ya que en toda resta se cumple que: Sustraendo + Diferencia = Minuendo, o sea, el
resultado de dicha suma debe de ser el minuendo, en este caso ejemplo sería 668+751=1419.
Multiplicación
Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación.
Propiedad conmutativa:
3×4 = 12 = 4×3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces
como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por
tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al
concepto de área geométrica.
El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se
multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar o
número que se está multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque
esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté
definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los
conjuntos numéricos), pero puede ser útil cuando se ocupa para referirse al multiplicador de una
expresión algebraica (ej: en "a2b + a2b + a2b" ó "3a2b", 3 es el multiplicador, mientras que "a2b" es el
multiplicando).
En álgebra moderna se suele usar la denominación "cociente" o "multiplicación" con su notación
habitual"·" para designar la operación externa en unmódulo, para designar también la segunda
operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0),
o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. La operación inversa de
la multiplicación es la división.
[editar]Notación
La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se
suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen enFORTRAN),
pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A
veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión
innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se
puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar
confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el
nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras
dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes [] o llaves { }.
Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.
Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con
cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir
explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos
términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo
que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de
infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando ncrece
indefinidamente].
Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:
mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:
.
Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la
línea de texto:
En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.
Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que
proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).
Esto se define así:
El subíndice
mínimo (
indica una variable que recorre los números enteros desde un valor
, indicado en el subíndice) y un valor máximo ( , indicado en
el superíndice).
[editar]Definición
Cuatro bolsas de tres globos da un total de doce globos (3×4=12).
La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:
Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí
mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión
anterior:
m·n = m + m + m +...+ m
tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m

m·5 = m + m + m + m + m = 5m
[editar]Propiedades
[editar]Propiedad
conmutativa
Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades
interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros
ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo
que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general
para dos números cualquiera x y y:
x·y = y·x
[editar]Propiedad
asociativa
La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que
consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:
(x·y)z = x(y·z)
En la notación algebraica, los paréntesis indican que las
operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con
preferencia a cualquier otra operación.
Por ejemplo:
(8×3)×2 = 8×(3×2)
24×2 = 8×6
48 = 48
[editar]Propiedad
distributiva
La multiplicación también tiene lo que se
llama propiedad distributiva con la suma,
porque:
x·(y + z) = x·y + x·z
Así mismo:
(x + t)·(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz
9×(3+5)=(9×3)+(9×5)=27+45=72
[editar]Elemento
identidad
(neutro)
Es de interés saber que cualquier
número multiplicado por la unidad
(1) es igual a sí mismo.
Ejemplos:
1·x = x
1·4 = 4
es decir, la multiplicación
tiene un elemento
neutro que es el 1.
[editar]Elemento
cero
El producto entre cualquier
número x y 0, es siempre
igual a cero. A esto se le
conoce como la propiedad
cero de la multiplicación.
Ejemplos:
0·x = 0
0·4 = 0
[editar]Conexi
ón con la
geometría
Desde un punto
de vista
puramente
geométrico, la
multiplicación
entre 2 valores
produce un área
que es
representable. Del
mismo modo el
producto de 3
valores produce
un volumen
igualmente
representable. Y
en general el
producto de
cualquier número
de valores
mayores de 0
produce un
resultado
geométrico
representable sea
éste más o menos
intuitivo y más o
menos fácil de
representar.
[editar]Produc
to de
números
negativos
El producto de
números
negativos también
requiere
reflexionar un
poco. Primero,
considérese el
número -1. Para
cualquier entero
positivo m:
(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m
Éste es un
resultado
interesante
que muestra
que cualquier
número
negativo no
es más que
un número
positivo
multiplicado
por -1. Así
que la
multiplicación
de enteros
cualesquiera
se puede
representar
por la
multiplicación
de enteros
positivos y
factores -1.
Lo único que
queda por
definir es el
producto de (1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1)
=1
[editar]Des
de
números
enteros
a
números
complejo
s
De esta
forma, se
define la
multiplicación
de
dos enteros.
Las
definiciones
pueden
extenderse a
conjuntos
cada vez
mayores
de números:
primero el
conjunto de
las fracciones
o números
racionales,
después a
todos
los números
reales y
finalmente a
los números
complejos y
otras extensio
nes de los
números
reales.
[editar]Defi
nición
recursiva
Una
definición rec
ursiva de la
multiplicación
puede darse
según estas
reglas:
x·0 = 0
x·y = x + x·(y-1)
dond
exe
s
una
canti
dad
arbitr
aria
eye
s
un n
úmer
o
natur
al.
Una
vez
el
prod
ucto
está
defin
ido
para
los
núm
eros
natur
ales,
se
pued
e
exte
nder
a
conj
unto
s
más
gran
des,
com
o ya
se
ha
indic
ado
anter
iorm
ente.
División
El término división puede hacer referencia a dividir objetos, dividir cantidades de números o a los
siguientes artículos:

Matemática:

División (matemáticas), la operación aritmética inversa de la multiplicación.

División euclídea o división euclidiana, también llamada algoritmo de la división, es un
teorema matemático.


División larga, división por galera, son algoritmos de división euclidiana.

División polinomial, es un algoritmo de división para polinomios.
Biología:

División (biología), un concepto de biología equivalente a filo o tipo.

División celular, el proceso de reproducción de las células mediante el que se originan
dos o más células hijas.

Fuerzas armadas:

División militar, una gran unidad formada por dos o más brigadas provista de servicios
auxiliares.
Raíz cuadrada
Expresión matemática de "raíz cuadrada de X".
En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número que
elevado al cuadrado, es igual al primero (con esta definición cada número complejo admite
exactamente dos raíces cuadradas (estas son iguales en módulo). A veces se abrevia como raíz,
siendo su símbolo:
. Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con
exponente ½. El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es
posible definir la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales
negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones
diferentes de cero admiten sólo dos raíces cuadradas.
Índice
[ocultar]

1 Historia

2 Función raíz cuadrada

o
2.1 Propiedades generales
o
2.2 Irracionalidad de las raíces cuadradas
o
2.3 Radicales jerarquizados cuadrados
o
2.4 Fracciones continuas
o
2.5 Aproximaciones enteras
3 Extensión de la función raíz cuadrada
o
3.1 La raíz cuadrada en los números complejos
o
3.2 Raíces cuadradas en los cuaterniones
o



3.3 Raíz cuadrada de matrices
4 Cálculo de raíces cuadradas
o
4.1 Algoritmo
o
4.2 Utilizando logaritmos
o
4.3 Algoritmos para máquinas
5 Construcción geométrica de la raíz cuadrada
o
5.1 Pasos a seguir para la construcción geométrica
o
5.2 Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB
6 Raíces cuadradas útiles
o
6.1 Raíz cuadrada de 2
o
6.2 Raíz cuadrada de 3
o
6.3 Raíz cuadrada de 5

7 Raíces cuadradas módulo n

8 Véase también

9 Referencias
o
9.1 Notas
o
9.2 Bibliografía
o
9.3 Enlaces externos
[editar]Historia
Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas
geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia
1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces
cuadradas.1 En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la
raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C.
(posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces
cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.2 Aryabhata en su
tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con
varios dígitos.
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo
particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz
cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que
supuso un hito en la matemática de la época.
Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos,
la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números
imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que
cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra).
La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.
Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos,
como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad
para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las
herramientas matemáticas más elementales hoy en día.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:
"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes
de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".3
Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calcula en 1613 raíz cuadrada aproximando
por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la Matemática.
El símbolo de la raíz cuadrada
fue introducido en 1525 por el matemático Christoph
Rudolff para representar esta operación4 5 que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de
álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la
letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el
aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que
pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para
representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del
radicando.
Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz
cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero
no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al
desarrollo de los números complejos.
[editar]Función
raíz cuadrada
La gráfica de la función
es una semiparábolacon directriz vertical.
La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número
real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual
a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se
expresa equivalente de las siguientes maneras:
Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número
entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:
ya que:
El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye
a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la
raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen
existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser
expresada como cociente de dos números enteros.
[editar]Propiedades
generales
Gráfica de la ecuación:
La función raíz cuadrada
conjunto
es una función cuyo dominio e imagen es el
(el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un
valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos
losnúmeros reales no negativos x, y:



La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números
algebraicos;
es racional si y sólo si
es un número racional que puede escribirse
como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es
de unnúmero natural. Sin embargo,

, entonces se trata
es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de
un cuadrado en la longitud de su lado.

Contrariamente a la creencia popular,
no necesariamente es igual a
mantiene sólo para los números no negativos
positivo, y entonces
reales

, pero cuando
. Por lo tanto,
,
es un número
para todos los números
(véase valor absoluto).
Suponga que
y
son números reales, y que
, y se desea encontrar
muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que
raíz cuadrada de
no es
, sino el valor absoluto
equivalentemente
. Un error
. Esto es incorrecto, porque la
, una de las reglas descritas
anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que

. La igualdad se
,o
.
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se
calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el
conjugado, véase Binomio conjugado):
y es válida para todos los números no negativos

La función
e
que no sean ambos cero.
es continua para todos los números no negativos
todos los números positivos
(no es derivable para
y derivable para
ya que la pendiente de
la tangente ahí es∞). Su derivada está dada por

Las Series de Taylor de
usando el Teorema del binomio:
converge para
.
en torno a
se pueden encontrar
[editar]Irracionalidad
de las raíces cuadradas
Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si
estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales,
que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es
decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional,
nunca un número racional.
Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie
de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las
propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo
si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.
Si
fuera racional se debería poder expresar como
con p, q enteros y
primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que
, lo
que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente
impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto
como
se expresan en
función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.
Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un
discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de
entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía
pitagórica.
No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado
mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la
matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular
gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su
nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y
posteriormente Euclides llegó a un método más general.
[editar]Radicales
jerarquizados cuadrados
Artículo principal: Radical jerarquizado.
La identidad
implica que
repeticiones sucesivas:
Por razones análogas se obtiene:
, y por
;
o que
;
Si r es una entidad estrictamente superior a uno,
Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números
contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la
resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números
famosos como el número áureo o el número pi.
[editar]Fracciones
continuas
Artículo principal: Fracción continua.
Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como
fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780.
Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no
cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir,
donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un
sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples,
porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.
[editar]Aproximaciones
enteras
Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad
de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros
naturales. Las primeras dadas por:
CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27
RAÍZ
1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5
Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la
construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un
incremento de manera regular. Más precisamente:

El cero es repetido una vez.

El 1 tres veces.

El 2 cinco veces

El 3 siete veces.

El 4 nueve veces.
El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar.
La prueba reside sobre la identidad siguiente:
[editar]Extensión
[editar]La
de la función raíz cuadrada
raíz cuadrada en los números complejos
Raíz cuadrada compleja.
Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.
Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan
las dos hojas.
El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el
cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener
una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible
trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números
complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número
negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i
(a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y
llamado unidad imaginaria, que se define tal que
. Utilizando
esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero
notamos que también tenemos
, así que (−i) es
también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números
reales, se dice que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general,
si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada
principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente
imaginario. Eso es debido a que
, por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible
demostrar la igualdad en donde uno quiera
Por los argumentos dados,
no puede ser ni positivo ni
negativo. Esto crea un problema: para el número complejo
no podemos definir
de
,
para ser la raíz cuadrada “positiva”
.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto
dos números W tales que
cuadradas de
. Por ejemplo, las raíces
son:
y
La definición general de
está introduciendo el
siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado
en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después
fijamos el valor principal a:
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en
todas partes excepto en los números reales no
positivos, donde no es incluso continua. La
antedichaserie de Taylor para
sigue
siendo válida para el resto de los números
complejos x con |x| < 1.
Ahora bien, sea un número complejo;
de este modo podemos expresar lo siguiente;
elevando al cuadrado ambos miembros
de la ecuación;
de manera que obtenemos un
sistema de ecuaciones, que puede
ser resuelto;
1.
2.
en este sentido, y en general, para
un número complejo expresado en
forma rectangular, por medio de
estas fórmulas se obtiene:
donde
(e
l valor absoluto o módulo del
número complejo), y el signo de
la parte imaginaria de la raíz
coincide con el signo de la parte
imaginaria del radicando.
Observe que debido a la
naturaleza discontinua de la
función de la raíz cuadrada en
el plano complejo, la
ley
es
en general falsa, y tiene toda
potencia en un conjunto
determinado. Es incorrecto si se
asume que esta ley es la base
de varias demostraciones
inválidas, por ejemplo el
demostrar que
:
Donde la tercera igualdad
tiene que ser vista como:
Al no
considerarse,
normalmente las
dos ramas de la
función raíz
cuadrada, puede
inducir a errores
en la
consideración de
esta operación.
Cada número
complejo se
puede escribir en
su forma polar
como:
ya que
entonces
es fácil
ver que:
[edit
ar]R
aíc
es
cu
adr
ad
as
en
los
cu
ate
rni
on
es
Con
los
núm
eros
com
plejo
s
está
aseg
urad
o
que
sólo
exist
e un
núm
ero
finito
de
raíce
s nésim
as
de la
unid
ad.
Así
por
ejem
plo 1
tiene
sólo
dos
raíce
s
com
pleja
sie
−i.
Sin
emb
argo,
en
losn
úmer
os
cuat
ernió
nico
s
hay
un
núm
ero
infini
to de
raíce
s
cuad
rada
s de
-1:
de
hech
o el
conj
unto
de
solu
cion
es
form
a
una
esfer
a en
el
espa
cio
tridi
men
sion
al.
Para
ver
esto,
sea
q=a
+ bi
+ cj+
dk u
n
cuat
ernió
n, y
supó
ngas
e
que
su
cuad
rado
es
−1.
En
térmi
nos
de a,
b, c
yde
sa
asun
ción
impli
ca
que
E
s
t
e
c
o
n
j
u
n
t
o
d
e
e
c
u
a
c
i
o
n
e
s
r
e
a
l
e
s
t
i
e
n
e
i
n
f
i
n
i
t
a
s
s
o
l
u
c
i
o
n
e
s
.
P
a
r
a
s
a
t
i
s
f
a
c
e
r
l
a
s
ú
l
t
i
m
a
s
t
r
e
s
e
c
u
a
c
i
o
n
e
s
d
e
b
e
t
e
n
e
r
s
e
q
u
e
a
=
0
o
b
i
e
n
b
=
c
=
d
=
0
,
s
i
n
e
m
b
a
r
g
o
,
e
s
t
a
ú
l
t
i
m
a
p
o
s
i
b
i
l
i
d
a
d
n
o
p
u
e
d
e
d
a
r
s
e
y
a
q
u
e
a
l
s
e
r
a
u
n
n
ú
m
e
r
o
r
e
a
l
l
a
p
r
i
m
e
r
a
e
c
u
a
c
i
ó
n
i
m
p
l
i
c
a
r
í
a
q
u
e
a
2
=
−
1
,
p
e
r
o
e
s
o
e
s
i
m
p
o
s
i
b
l
e
p
a
r
a
u
n
n
ú
m
e
r
o
r
e
a
l
.
P
o
r
t
a
n
t
o
a
=
0
y
b
2
+
c
2
+
d
2
=
1
.
E
n
o
t
r
a
s
p
a
l
a
b
r
a
s
.
N
ó
t
e
s
e
q
u
e
s
ó
l
o
u
n
c
u
a
t
e
r
n
i
ó
n
q
u
e
s
e
a
i
g
u
a
l
a
u
n
n
ú
m
e
r
o
r
e
a
l
n
e
g
a
t
i
v
o
p
u
e
d
e
t
e
n
e
r
u
n
n
ú
m
e
r
o
i
n
f
i
n
i
t
o
d
e
r
a
í
c
e
s
c
u
a
d
r
a
d
a
s
.
T
o
d
o
s
l
o
s
d
e
m
á
s
t
i
e
n
e
n
s
ó
l
o
d
o
s
r
a
í
c
e
s
(
o
e
n
e
l
c
a
s
o
d
e
l
0
u
n
a
ú
n
i
c
a
r
a
í
z
)
.
L
o
a
n
t
e
r
i
o
r
i
m
p
l
i
c
a
q
u
e
l
a
e
c
u
a
c
i
ó
n
:
t
i
e
n
e
i
n
f
i
n
i
t
a
s
s
o
l
u
c
i
o
n
e
s
,
s
i
t
u
a
d
a
s
s
o
b
r
e
l
a
e
s
f
e
r
a
u
n
i
d
a
d
.
[
e
d
i
t
a
r
]
R
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
d
e
m
a
t
r
i
c
e
s
L
a
e
x
i
s
t
e
n
c
i
a
d
e
u
n
p
r
o
d
u
c
t
o
d
e
m
a
t
r
i
c
e
s
p
e
r
m
i
t
e
d
e
f
i
n
i
r
l
a
r
a
í
z
d
e
u
n
a
m
a
t
r
i
c
e
s
c
o
m
o
a
q
u
e
l
l
a
m
a
t
r
i
z
q
u
e
m
u
l
t
i
p
l
i
c
a
d
a
p
o
r
s
í
m
i
s
m
a
d
a
l
a
o
r
i
g
i
n
a
l
.
S
i
e
s
u
n
a
m
a
t
r
i
z
d
e
f
i
n
i
d
a
p
o
s
i
t
i
v
a
u
o
p
e
r
a
d
o
r
,
e
n
t
o
n
c
e
s
e
x
i
s
t
e
e
x
a
c
t
a
m
e
n
t
e
u
n
a
m
a
t
r
i
z
d
e
f
i
n
i
d
a
p
o
s
i
t
i
v
a
u
o
p
e
r
a
d
o
r
t
a
l
q
u
e
;
e
n
t
o
n
c
e
s
d
e
f
i
n
i
m
o
s
.
D
a
d
a
u
n
a
m
a
t
r
i
z
r
e
a
l
s
u
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
e
s
t
á
d
e
f
i
n
i
d
a
s
i
s
u
e
s
p
e
c
t
r
o
p
u
n
t
u
a
l
e
s
t
á
f
o
r
m
a
d
o
p
o
r
n
ú
m
e
r
o
s
p
o
s
i
t
i
v
o
s
,
s
i
e
l
e
s
p
e
c
t
r
o
n
o
f
u
e
r
a
e
s
t
r
i
c
t
a
m
e
n
t
e
p
o
s
i
t
i
v
o
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
d
e
u
n
a
m
a
t
r
i
z
i
n
v
o
l
u
c
r
a
r
á
m
a
t
r
i
c
e
s
c
o
n
c
o
e
f
i
c
i
e
n
t
e
s
c
o
m
p
l
e
j
o
s
.
M
á
s
g
e
n
e
r
a
l
m
e
n
t
e
,
p
a
r
a
c
a
d
a
m
a
t
r
i
z
u
o
p
e
r
a
d
o
r
n
o
r
m
a
l
e
x
i
s
t
e
n
o
p
e
r
a
d
o
r
e
s
n
o
r
m
a
l
e
s
t
a
l
e
s
q
u
e
.
E
n
g
e
n
e
r
a
l
,
h
a
y
m
u
c
h
o
s
d
e
e
s
o
s
o
p
e
r
a
d
o
r
e
s
p
a
r
a
c
a
d
a
y
e
n
t
o
n
c
e
s
l
a
f
u
n
c
i
ó
n
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
n
o
p
u
e
d
e
s
e
r
d
e
f
i
n
i
d
a
s
a
t
i
s
f
a
c
t
o
r
i
a
m
e
n
t
e
p
a
r
a
o
p
e
r
a
d
o
r
e
s
n
o
r
m
a
l
e
s
.
E
n
c
i
e
r
t
a
m
a
n
e
r
a
s
e
p
u
e
d
e
d
e
c
i
r
q
u
e
l
o
s
o
p
e
r
a
d
o
r
e
s
d
e
f
i
n
i
d
o
s
p
o
s
i
t
i
v
o
s
s
o
n
s
i
m
i
l
a
r
e
s
a
l
o
s
n
ú
m
e
r
o
s
r
e
a
l
e
s
p
o
s
i
t
i
v
o
s
,
y
l
o
s
o
p
e
r
a
d
o
r
e
s
n
o
r
m
a
l
e
s
s
o
n
s
i
m
i
l
a
r
e
s
a
l
o
s
n
ú
m
e
r
o
s
c
o
m
p
l
e
j
o
s
.
P
a
r
a
u
n
a
m
a
t
r
i
z
"
A
"
r
e
a
l
s
i
m
é
t
r
i
c
a
d
e
f
i
n
i
d
a
p
o
s
i
t
i
v
a
e
x
i
s
t
e
u
n
a
l
g
o
r
i
t
m
o
m
u
y
s
e
n
c
i
l
l
o
y
c
o
m
p
u
t
a
c
i
o
n
a
l
m
e
n
t
e
e
f
i
c
i
e
n
t
e
p
a
r
a
c
a
l
c
u
l
a
r
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
d
e
e
s
t
e
i
m
p
o
r
t
a
n
t
e
t
i
p
o
d
e
m
a
t
r
i
c
e
s
.
E
l
a
l
g
o
r
i
t
m
o
e
s
e
l
s
i
g
u
i
e
n
t
e
:
6
E
l
s
í
m
b
o
l
o
"
\
=
"
i
n
d
i
c
a
e
l
p
r
o
c
e
s
o
d
e
e
l
i
m
i
n
a
c
i
ó
n
G
a
u
s
s
i
a
n
a
.
E
s
t
e
m
é
t
o
d
o
e
s
u
n
a
e
x
t
e
n
s
i
ó
n
d
e
l
a
l
g
o
r
i
t
m
o
b
a
b
i
l
ó
n
i
c
o
p
a
r
a
e
l
c
á
l
c
u
l
o
d
e
r
a
í
c
e
s
c
u
a
d
a
r
a
d
a
s
d
e
n
ú
m
e
r
o
s
p
o
s
i
t
i
v
o
s
o
r
d
i
n
a
r
i
o
s
.
[
e
d
i
t
a
r
]
C
á
l
c
u
l
o
d
e
r
a
í
c
e
s
c
u
a
d
r
a
d
a
s
A
r
t
í
c
u
l
o
p
r
i
n
c
i
p
a
l
:
C
á
l
c
u
l
o
d
e
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
.
H
o
y
e
n
d
í
a
e
x
i
s
t
e
n
m
u
c
h
o
s
m
é
t
o
d
o
s
p
a
r
a
c
a
l
c
u
l
a
r
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
,
h
a
b
i
e
n
d
o
a
l
g
u
n
o
s
a
p
t
o
s
p
a
r
a
e
l
c
á
l
c
u
l
o
m
a
n
u
a
l
y
o
t
r
o
s
m
e
j
o
r
a
d
a
p
t
a
d
o
s
a
l
c
á
l
c
u
l
o
a
u
t
o
m
á
t
i
c
o
.
[
e
d
i
t
a
r
]
A
l
g
o
r
i
t
m
o
C
u
a
n
d
o
v
a
m
o
s
a
r
e
a
l
i
z
a
r
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
c
o
n
s
u
m
é
t
o
d
o
d
e
r
e
s
o
l
u
c
i
ó
n
u
s
u
a
l
p
o
d
e
m
o
s
v
e
r
l
a
s
p
a
r
t
e
s
e
n
l
a
s
q
u
e
s
e
d
i
v
i
d
e
,
a
u
n
q
u
e
l
a
s
e
s
e
n
c
i
a
l
e
s
d
e
é
s
t
a
n
o
t
i
e
n
e
n
p
o
r
q
u
é
a
p
a
r
e
c
e
r
o
s
e
r
u
s
a
d
a
s
s
o
l
a
m
e
n
t
e
e
n
l
a
o
p
e
r
a
c
i
ó
n
p
a
r
a
s
e
r
c
a
l
c
u
l
a
d
a
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
.
S
e
g
ú
n
e
s
t
a
i
m
a
g
e
n
,
p
o
d
e
m
o
s
v
e
r
q
u
e
l
a
s
p
a
r
t
e
s
d
e
l
a
s
q
u
e
s
e
c
o
m
p
o
n
e
;
s
o
n
:
1.
2.
3.
4.
5.
[
e
d
i
t
a
r
]
U
t
i
l
i
z
a
n
d
o
l
o
g
a
r
i
t
m
o
s
S
e
s
i
m
p
l
i
f
i
c
a
e
l
c
á
l
c
u
l
o
u
t
i
l
i
z
a
n
d
o
l
o
g
a
r
i
t
m
o
s
y
s
u
s
p
r
o
p
i
e
d
a
d
e
s
e
m
p
l
e
a
n
d
o
l
a
t
a
b
l
a
s
d
e
l
o
g
a
r
i
t
m
o
s
o
r
e
g
l
a
s
d
e
c
á
l
c
u
l
o
.
[
e
d
i
t
a
r
]
A
l
g
o
r
i
t
m
o
s
p
a
r
a
m
á
q
u
i
n
a
s
C
a
l
c
u
l
a
d
o
r
a
s
,
h
o
j
a
s
d
e
c
á
l
c
u
l
o
y
o
t
r
o
s
s
o
f
t
w
a
r
e
s
t
a
m
b
i
é
n
s
e
u
s
a
n
c
o
n
f
r
e
c
u
e
n
c
i
a
p
a
r
a
c
a
l
c
u
l
a
r
r
a
í
c
e
s
c
u
a
d
r
a
d
a
s
.
L
o
s
p
r
o
g
r
a
m
a
s
d
e
s
o
f
t
w
a
r
e
p
o
n
e
n
t
í
p
i
c
a
m
e
n
t
e
b
u
e
n
a
s
r
u
t
i
n
a
s
e
n
s
u
e
j
e
c
u
c
i
ó
n
p
a
r
a
c
o
m
p
u
t
a
r
l
a
f
u
n
c
i
ó
n
e
x
p
o
n
e
n
c
i
a
l
y
e
l
l
o
g
a
r
i
t
m
o
n
a
t
u
r
a
l
o
l
o
g
a
r
i
t
m
o
,
c
o
m
p
u
t
á
n
d
o
s
e
d
e
s
p
u
é
s
l
a
r
a
í
z
c
u
a
d
r
a
d
a
d
e
x
u
s
a
n
d
o
l
a
i
d
e
n
t
i
d
a
d
:
o
;
.
;
.
;
;
.