A T E G

PAG 1-2_Guía matemática 4 16-08-11 11:32 Página 1
AUTORES TEXTO
PARA EL
ESTUDIANTE
Y
GUÍA DIDÁCTICA
PARA EL
PROFESOR
MARIO ZAÑARTU NAVARRO
LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.
FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
LICENCIADA
MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,
MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
EN
MAURICIO RAMOS RIVERA
LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA
LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA
UNIVERSIDAD DE CHILE
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El material didáctico Guía Didáctica para el Profesor,
correspondiente al Texto Matemática 2º, para
Segundo Año de Educación Media, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones
Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
COORDINACIÓN DEL PROYECTO:
EUGENIA ÁGUILA GARAY
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:
VIVIANA LÓPEZ FUSTER
EDICIÓN:
JAVIERA SETZ MENA
AYUDANTE DE EDICIÓN:
ALDO PEREIRA SOLIS
AUTORES TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y
AUTORES GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR:
MARIO ZAÑARTU NAVARRO
FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO
MAURICIO RAMOS RIVERA
CORRECCIÓN DE ESTILO:
ISABEL SPOERER VARELA
ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO
DOCUMENTACIÓN:
PAULINA NOVOA VENTURINO
MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES
La realización gráfica ha sido efectuada
bajo la dirección de:
VERÓNICA ROJAS LUNA
COORDINACIÓN GRÁFICA:
CARLOTA GODOY BUSTOS
COORDINACIÓN LICITACIÓN:
XENIA VENEGAS ZEVALLOS
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:
XIMENA MONCADA LOMEÑA
MARIELA PINEDA GÁLVEZ
FOTOGRAFÍAS:
ARCHIVO SANTILLANA
CUBIERTA:
XENIA VENEGAS ZEVALLOS
PRODUCCIÓN:
GERMÁN URRUTIA GARÍN
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones,
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILE
Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A.
ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1567 - 3
Inscripción N° 186.187
www.santillana.cl
La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.
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Índice
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FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
6
Introducción
6
Escenario educacional
8
Concepción del subsector de aprendizaje
12
Fundamentos del proyecto
18
Habilidades del pensamiento
20
Evaluación en Matemática
21
Instrumentos de evaluación
26
Razonamiento matemático y resolución de problemas
30
Relación entre los CMO de Educación Media
ORGANIZACIÓN INTERNA DEL TEXTO
34
Estructura del Texto
34
Organización del Texto
36
ORGANIZACIÓN DE LA GUÍA DIDÁCTICA
38
Unidad 1: Números y raíces
38
Propósito de la unidad
38
Esquema de la unidad Números y raíces
39
Propuesta de planificación de la unidad
40
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
43
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante
60
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
65
Bibliografía
66
Evaluación final. Material fotocopiable
Índice
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| Índice
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Unidad 2: Expresiones algebraicas fraccionarias
68
Propósito de la unidad
68
Esquema de la unidad
69
Propuesta de planificación de la unidad
70
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
72
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante
85
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
89
Bibliografía
90
Evaluación final. Material fotocopiable
Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales
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Propósito de la unidad
92
Esquema de la unidad
93
Propuesta de planificación de la unidad
94
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
97
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante
109
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
113
Bibliografía
114
Evaluación final. Material fotocopiable
116
Taller de evaluación 1. Material fotocopiable.
118
Unidad 4: Semejanza
118
Propósito de la unidad
118
Esquema de la unidad
119
Propuesta de planificación de la unidad
120
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
122
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante Índice | 4
136
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
141
Bibliografía
142
Evaluación final. Material fotocopiable
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Índice
144
168
Unidad 5: Circunferencia
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Propósito de la unidad
144
Esquema de la unidad
145
Propuesta de planificación de la unidad
146
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
148
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante
160
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
165
Bibliografía
166
Evaluación final. Material fotocopiable
Unidad 6: Datos y azar
168
Propósito de la unidad
168
Esquema de la unidad
169
Propuesta de planificación de la unidad
170
Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio
del Texto para el Estudiante
172
Indicaciones y orientaciones para las páginas de desarrollo
del Texto para el Estudiante
182
Indicaciones y orientaciones para las páginas de cierre
del Texto para el Estudiante
185
Bibliografía
186
Evaluación final. Material fotocopiable
188
Taller de evaluación 2. Material fotocopiable.
190
Solucionario Evaluaciones finales y Talleres de evaluación.
Índice
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Fundamentación teórica
INTRODUCCIÓN
La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios para 2º Medio del sector Matemática, establecidos en el
Ajuste Curricular, e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales con
los contenidos y actividades centrales presentados.
La propuesta Matemática 2º Medio consiste en el Texto para el Estudiante, la Guía
Didáctica para el Profesor y el Hipertexto.
El Texto para el Estudiante se basa en la concepción de aprendizaje constructivista,
de este modo, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidos
correspondientes a su nivel, a partir de situaciones contextualizadas, en las que
mediante el razonamiento espontáneo los y las estudiantes activen sus
conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades y
ejemplos resueltos. La evaluación se considera en todas las etapas del proceso de
aprendizaje, de manera transversal.
La Guía Didáctica para el Profesor es una herramienta que permite articular y llevar
a cabo cada contenido tratado en el Texto explicando claramente aquellos
conceptos claves para la comprensión del contenido, las relaciones principales que
se puedan establecer y sus referencias teóricas, con el objeto de sustentar y ampliar
los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar las
distintas actividades presentadas en el Texto para el Estudiante.
El Hipertexto consiste en un material educativo multimedial diseñado para ampliar
las instancias de aprendizaje de los jóvenes, que complemente las actividades del
Texto y aproveche los recursos tecnológicos disponibles, y que el y la estudiante
pueda resolver de manera autónoma. Contiene actividades de motivación,
ejercitación y profundización y evaluaciones diagnósticas y sumativas, de modo que
el o la estudiante pueda autoevaluarse independiente de sus actividades en clases.
ESCENARIO
EDUCACIONAL
A diez años de iniciada la Reforma Curricular de la Educación Básica y Media, el
Ministerio de Educación ha desarrollado un proceso de revisión del currículum, para
responder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia.
Esta revisión es parte de una política de desarrollo curricular que busca mejorar
cíclicamente el currículum a la luz de su implementación y de los cambios que se
van experimentando en la sociedad. Lo anterior se relaciona directamente con las
características de la sociedad actual: el currículum debe ser capaz de responder
oportunamente a la rápida generación de cambios en el conocimiento, a las
transformaciones constantes del mundo productivo y a las nuevas demandas
formativas que van surgiendo. Así, el ministerio ha estado elaborando una propuesta
de ajuste curricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacional.
Si bien este proceso de ajuste es de mayor envergadura que las modificaciones
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Introducción
realizadas hasta la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, puesto que
se mantiene el enfoque de la Reforma, es decir, el currículum sigue estando
orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son
relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos de la
sociedad actual.
La propuesta de ajuste curricular tiene entre otros, los siguientes objetivos.
Con respecto a los sectores de aprendizaje:
• Mejorar la redacción de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos
Obligatorios, para precisar su extensión y mejorar su claridad.
• Mejorar la secuencia curricular y la articulación entre ciclos.
• Visibilizar la presencia de las habilidades en Contenidos Mínimos Obligatorios.
• Reducir la extensión del currículum (especialmente en ciencias sociales y naturales).
• Fortalecer la presencia transversal de Tecnologías de la Información y
Comunicación (TIC), en la Educación Básica y Media.
Con respecto a temas de organización del currículo:
• Homologar la nomenclatura de las asignaturas en Educación Básica y Media.
• Homologar los Objetivos Fundamentales Transversales en Educación Básica
y Media.
• Mejorar la presencia de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales en primer ciclo.
• Definir objetivos y contenidos específicos de Inglés.
• Revisar la definición de niveles en primer ciclo básico, único que tiene definidos
OF/CMO para dos años escolares.
• Revisar la formulación diferenciada humanístico-científica.
En el sector Matemática, se reordenó el sector con una nueva organización de
cuatro ejes curriculares: Números, en el que se introducen los distintos sistemas
numéricos, con énfasis en las operaciones y situaciones que cada sistema permite y
resuelve; Álgebra, el cual introduce al estudiante en el uso de símbolos para
representar y operar con cantidades y en la noción de función y el estudio de
algunas de ellas en particular; Geometría en el que se da diferentes enfoques para
el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición;
y Datos y Azar, que introduce el tratamiento de datos y modelos para el
razonamiento en situaciones de incerteza y propone desarrollar conceptos y
técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades.
Además, contempla un eje trasversal de razonamiento matemático, de modo que
se explicite en cada eje la resolución de problemas, la exploración de caminos
alternativos y el modelamiento de situaciones o fenómenos, así como el desarrollo
del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, la
búsqueda de regularidades y patrones y la discusión de la validez de las
conclusiones.
Esta reorganización tiene el propósito de acercar el currículum del sector a la
exigencia internacional y a pruebas internacionales en las que participa nuestro país,
ya que el análisis mostró que muchos contenidos eran tratados tardíamente en
nuestro currículum, o bien, de manera muy acotada.
Fundamentación teórica
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Como parte complementaria del ajuste curricular, se han elaborado los Mapas de
Progreso del Aprendizaje, que describen la secuencia típica que sigue el
aprendizaje, en las áreas o dominios que se consideran fundamentales en la
formación de los estudiantes, en los distintos sectores curriculares. Estos establecen
una relación entre currículum y evaluación, orientando lo que es importante evaluar
y entregando criterios comunes para observar y describir cualitativamente el
aprendizaje logrado. Los aprendizajes en Matemática se organizan en cuatro Mapas
de Progreso correspondientes a los ejes curriculares anteriormente mencionados en
que se organiza el sector.
CONCEPCIÓN
DEL SUBSECTOR DE APRENDIZAJE
La propuesta Matemática 2º Medio responde a una concepción de la Matemática
reflejada en los Ajustes Curriculares y en los Requerimientos para la Elaboración de
Textos Escolares. Desde esta perspectiva, el sector Matemática tiene como
propósito formativo enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección
de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento
crítico y autónomo en todos los estudiantes.
De acuerdo a lo anterior, el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática
cumple los siguientes grandes objetivos:
• Proporcionar herramientas conceptuales para analizar la información cuantitativa
presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al
desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción e
impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática.
• Contribuir a que los y las estudiantes valoren su capacidad para analizar,
confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas y el
análisis de situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad
matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y
el ajuste a modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias,
la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos para
hallar soluciones.
Los cuatro ejes en los que se organizan los aprendizajes y el conocimiento
matemático que conforman los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos
Obligatorios articulan la experiencia formativa de los alumnos y alumnas a lo largo
de los años escolares. Estos ejes articulan la propuesta Matemática 2º Medio.
• Números: este eje constituye el centro del currículo matemático. Incluye los
aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los
diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes de
la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática misma. Se organiza en
torno a diferentes ámbitos y sistemas numéricos, de modo que cada uno de
estos permita resolver problemas que los precedentes dejaron sin resolver.
Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los números
naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales.
Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra sus
motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes.
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Introducción
• Álgebra: este eje introduce al estudiante en el uso de símbolos para representar
y operar con cantidades. El álgebra provee de un lenguaje a la Matemática, por
ende, contribuye y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y
datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de
algunas de ellas en particular.
• Geometría: este eje se orienta, inicialmente, al desarrollo de la imaginación
espacial, al conocimiento de objetos geométricos clásicos y algunas de sus
propiedades. En particular, propone relacionar formas geométricas de dos y tres
dimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Además,
se introduce la noción de medición de figuras planas. Progresivamente se
introduce el concepto de demostración y se amplía la base epistemológica de la
geometría, mediante las transformaciones rígidas en el plano, los vectores y la
geometría cartesiana. De este modo, se da diferentes enfoques para el
tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamaño y la posición.
• Datos y Azar: este eje introduce el tratamiento de los datos y modelos para el
razonamiento en situaciones de incerteza. Incluye los conocimientos y las
capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos. Provee de
modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados
contextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las que
interviene el azar. Son también temas de estudio conceptos básicos que
permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la
probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables y distinguir entre los
fenómenos aleatorios y los deterministas.
El razonamiento matemático, abordado transversalmente en los ejes anteriores,
busca lograr aprendizajes referidos a la resolución de problemas, formulación de
conjeturas y verificación de la validez de los procedimientos y relaciones. De este
modo, la formación matemática y, por tanto, la propuesta Matemática 2º Medio
debe apelar a las bases del razonamiento matemático, incluyendo el desarrollo de
sus habilidades centrales, como la estimación y aproximación, el cálculo mental, la
comunicación, el uso de herramientas matemáticas, la manipulación aritmética y
algebraica, el manejo de información, clasificación, comparación, secuenciación,
análisis de las partes y el todo, identificación de patrones y relaciones, inducción,
deducción, visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.
En cuanto a la resolución de problemas específicamente, se debe promover el
desarrollo de habilidades referidas a la comprensión del problema, búsqueda,
comparación y puesta en práctica de caminos de solución, el análisis de los datos y
de las soluciones, la interpretación de los resultados en función del contexto, entre
otras. La resolución de problemas se debe trabajar en forma transversal a los
contenidos, considerando sus cinco componentes de forma interconectada:
• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para
resolver problemas matemáticos. En particular: conceptos numéricos, geométricos,
algebraicos y estadísticos.
Fundamentación teórica
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• Habilidades: se refiere a las habilidades que se espera que los estudiantes sean
capaces de desarrollar en cada contenido: estimación y aproximación, cálculo
mental, comunicación, uso de herramientas matemáticas, manipulación de tipo
aritmética y algebraica y manejo de información.
• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución
de problemas matemáticos:
– Habilidades de razonamiento: clasificar, comparar, secuenciar, análisis de las
partes y el todo, identificación de patrones relaciones, inducción, deducción,
visualización espacial y relaciones lógicas entre afirmaciones.
– Heurística para resolver problemas: simulación, uso de diagramas o modelos,
listado sistemático, búsqueda de patrones, razonamiento en reversa, usar el
concepto de antes y después, ensayo y error, hacer suposiciones, reformular
el problema, simplificar el problema y resolver parte del problema.
• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática:
placer de hacer Matemática, aprecio por la belleza y poder de la Matemática,
confianza en el uso de la Matemática y perseverancia en la resolución de un
problema.
• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento
propio durante la resolución de problemas. Se promueven instancias que
permitan al estudiante: monitoreo constante y consciente de las estrategias y
procesos mentales usados al realizar una labor, búsqueda de maneras alternativas
de realizar una labor y chequear cuán razonable y apropiada es una respuesta.
Considerando que el conocimiento matemático forma parte del acervo cultural de
la sociedad y es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la
necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más
variados ámbitos; el aprendizaje de la Matemática debe buscar consolidar,
sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y
alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en
los niveles que lo precedan.
En este sentido, el desarrollo de los contenidos debe promover la conexión de los
contenidos previos con los nuevos contenidos, integrando el conocimiento. Para
ello, es necesario que el proceso de aprendizaje tenga una base en contextos
significativos para los alumnos y alumnas, que permitan favorecer la comprensión
por sobre la mecanización de los procedimientos y el aprendizaje de reglas. Estas
situaciones deben ser motivadoras y desafiantes para los y las estudiantes, pero su
característica fundamental es que el contenido a estudiar sea necesario para
enfrentar dichas situaciones. Luego de esta contextualización, es importante realizar
el proceso inverso de descontextualización, de modo de sistematizar y ubicar los
conceptos emergentes en el plano puramente matemático.
En relación con lo anterior, las actividades de aprendizaje que se desarrollan en esta
propuesta están orientadas a facilitar, potenciar y reforzar la comprensión y
aplicación de los contenidos, de manera que los y las estudiantes vayan
profundizando en sus conocimientos. Estas actividades dan cuenta de distintos
propósitos:
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Introducción
• Ejercitar los conceptos centrales, procedimientos y habilidades, permitiendo una
real apropiación de los nuevos contenidos.
• Abstraer los contenidos, es decir, ubicar las ideas matemáticas surgidas en
contextos de diario vivir o en la experimentación, en el contexto matemático
pertinente.
• Generalizar los aprendizajes, aplicando los conceptos construidos a situaciones
nuevas, reconociendo el valor de la Matemática.
• Sistematizar los contenidos estudiados.
Así mismo, las actividades propiamente colaborativas cobran especial relevancia,
dando espacios para la exploración, experimentación y la investigación, junto con la
comunicación, confrontación de ideas y fundamentación de opiniones e ideas.
El sector Matemática también es concebido como una oportunidad para el desarrollo
personal. En este sentido, es importante favorecer la confianza de los y las
estudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, una actitud positiva hacia
la Matemática y la autonomía del pensamiento.
Del mismo modo, la enseñanza de la Matemática promueve, además, el desarrollo de
los Objetivos Fundamentales Transversales de forma integrada con los contenidos
centrales, entre los cuales encontramos:
• Aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de
género, de condición física, opinión u otras.
• Respeto de la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes
de todas las personas.
• Preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente.
• Desarrollo de las habilidades del pensamiento.
La evaluación en el sector Matemática considera tanto los procesos como los
resultados de estos, siendo parte inherente del proceso de aprendizaje, de modo
que las actividades de aprendizaje contemplan preguntas que promueven la
evaluación. Esta recoge los aprendizajes centrales y a su vez es desafiante para los
alumnos y alumnas, midiendo destrezas, habilidades y conocimientos de diversas
formas. Además, considera diferentes propósitos, que se materializan en
evaluaciones diagnósticas, formativas y sumativas, junto con promover instancias de
reflexión sobre los propios procesos y sus resultados.
Finalmente, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del
sector Matemática incluyen el uso de tecnologías digitales, de Internet y softwares
especializados. Estas tecnologías, además de contribuir a presentar la Matemática en
una mayor diversidad de medios y modos, de apelar a los intereses de los jóvenes
y de facilitar la exploración y el estudio de procesos que requieren operaciones
repetidas, permiten tratar la Matemática desde una perspectiva más amplia y realista.
De esta manera, las herramientas tecnológicas, sitios web y softwares complementan
el desarrollo, la comprensión y la aplicación de los contenidos del sector.
Fundamentación teórica
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FUNDAMENTOS
DEL PROYECTO
La metodología utilizada en la propuesta Matemática 2º Medio tiene como punto
de partida los fundamentos pedagógicos derivados de la Reforma Educacional
Chilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Ajuste Curricular
y a los requerimientos generales para la elaboración de Textos escolares de
Segundo Año Medio, presentados por el Ministerio de Educación.
Los objetivos generales de nuestra propuesta son:
• Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los
alumnos y alumnas poseen como resultado de su interacción con el medio y lo
realizado en cursos anteriores.
• Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del
aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan
intervenir activamente en ella.
• Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento
matemático y de la resolución de problemas, a través de situaciones, problemas
y desafíos que favorezcan la integración de diferentes dimensiones de la
Matemática.
• Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemática,
desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder de
la Matemática, la confianza en el uso de la Matemática y la perseverancia en la
resolución de problemas.
Los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:
• Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un
nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel
señaladas en los Ajustes Curriculares y en los Mapas de Progreso del Aprendizaje.
• Presentar los contenidos en contextos significativos, que den cuenta de la
necesidad de utilizar el nuevo contenido.
• Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de los
y las estudiantes, promoviendo el razonamiento espontáneo respecto del nuevo
contenido. Conectar el contenido nuevo de manera explícita con contenidos
previos, profundizando e integrando el conocimiento.
• Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos
involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos. Incluir
justificaciones simples de los conceptos y procedimientos cuando sea pertinente.
• Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada
contenido, a través de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivel
de los y las estudiantes.
• Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitan
naturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirse
en instancias de evaluación permanente.
• Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la
aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas.
• Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático y
de la resolución de problemas, como son la selección de los datos, la búsqueda
y puesta en práctica de estrategias de resolución y la interpretación de resultados
en función del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje.
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Fundamentos del proyecto
• Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la
heurística de la resolución de problemas.
• Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los
contenidos y procedimientos centrales estudiados.
• Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitan
tomar conciencia de los cognitivos y sus resultados y monitorear el proceso de
pensamiento propio durante la resolución de problemas.
• Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales de forma
integrada con el tratamiento de los contenidos.
• Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la Matemática de forma
integrada con el tratamiento de los contenidos.
• Incluir instancias evaluativas diagnósticas, formativas y sumativas en las cuales se
evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas
evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos a través
de actividades diversas y desafiantes.
• Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre
los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el
desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición.
En la metodología de nuestra propuesta, se consideran, además, aspectos
curriculares referidos a los ejes en que se organiza el currículo en el sector, el Mapa
de Progreso del Aprendizaje del eje Números y operaciones y el Mapa de Progreso
de las TIC. Para este último, junto al texto escolar, los estudiantes tendrán a su
disposición el apoyo de un Hipertexto, que es el conjunto de recursos multimedia
que tienen una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y en
movimiento, animaciones y sonidos.
Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentos
pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada unidad del texto impreso:
inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos, se presentan diversos recursos
que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas,
actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de los
contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursos
destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada,
enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextos
distintos, evaluar sumativamente y sintetizar.
Respecto de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, estos complementan las
actuales herramientas curriculares, estableciendo una relación entre currículo y
evaluación, orientando lo que es importante evaluar y entregando criterios comunes
para observar y describir cualitativamente el aprendizaje logrado. De esta forma, no
constituyen un nuevo currículo, ya que no promueven otros aprendizajes; por el
contrario, pretenden profundizar la implementación del currículo, promoviendo la
observación de las competencias claves que se deben formar. Es por esto que en
nuestra propuesta, el Mapa de Progreso de Números (único MPA publicado hasta
el momento por el Ministerio de Educación para el sector) es considerado de forma
integrada en el tratamiento de los contenidos, orientando la progresión de los
contenidos en el nivel y los aprendizajes centrales que es importante evaluar.
Fundamentación teórica
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Los aprendizajes descritos en este mapa progresan considerando tres dimensiones
que se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significado
de los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los que
pertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/o
permiten resolver.
• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del
significado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, las
relaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva
información a partir de información dada.
• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección,
aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas y la
argumentación y la comunicación de estrategias y resultados.
El Mapa de Números describe el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan desde Primer
Año Básico hasta Cuarto Año Medio. En estos 7 niveles, se describe una secuencia
que los alumnos y alumnas recorren a diferentes ritmos. A continuación, se
presenta cada uno de estos niveles.
MAPA DE PROGRESO DE NÚMEROS
NIVEL
NIVEL 7
Sobresaliente
14
DESCRIPCIÓN
Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les
dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas
o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y
flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios,
utilizando diversas estrategias, y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza
lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.
NIVEL 6
Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números
complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no
admiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve
problemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya
utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de
los procedimientos o conjeturas.
NIVEL 5
Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden ser
escritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de los
números racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en forma
algebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados.
Utiliza las potencias de base racional y exponente racional y sus propiedades, para simplificar cálculos,
y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican
descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. Argumenta sus
estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad
de conjeturas.
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Mapas de Progreso del Aprendizaje
NIVEL
DESCRIPCIÓN
NIVEL 4
Comprende que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza al
estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre las
cuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las
potencias de base racional y exponente entero y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelve
problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer
relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados
obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.
NIVEL 3
Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa en
forma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar,
estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar.
Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números
decimales para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números
decimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos
contextos que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un
procedimiento, estrategia o conjetura planteada.
NIVEL 2
Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular.
Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un
objeto, una colección de objetos o una unidad de medida y realiza comparaciones entre números
decimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales,
comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones y
cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples.
Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no
están necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado. Justifica la
estrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a través de ejemplos.
NIVEL 1
Utiliza los números naturales hasta 1 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular
cantidades de objetos y magnitudes. Comprende que, en estos números, la posición de cada dígito
determina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estas
operaciones y la relación entre ellas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar como
adiciones o sustracciones de dos números naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades.
Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias
simples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares,
en que los datos están explícitos y cuya estrategia de solución está claramente sugerida en el
enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.
Extraído de:
• Mapas de progreso del aprendizaje.
Ministerio de Educación. 20 de enero 2008. www.mineduc.cl/biblio.
Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las TIC. En relación a
ellas, el ajuste curricular postula el fortalecer su presencia a través de la
incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje
transversal. En ese sentido, el Mapa de Progreso de las TIC es considerado al
momento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que los
alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por
otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.
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El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones:
• Tecnología. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan
las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/
inmediato/ próximo (no virtual).
• Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y
evalúa su pertinencia y calidad.
• Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes
creativos propios.
• Ética. Uso responsable de la información y comunicación.
Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles y para cada uno de
ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas
serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Algunos de estos niveles, por
dimensión, son:
Dimensión Tecnología
NIVELES
VARIABLES
INDICADORES
Nivel 6
15–17 años
3º y 4º medio
Utiliza y combina distintos programas como
procesador de texto, planillas de cálculo,
plantillas de presentación y dispositivos
periféricos para desarrollar productos
multimediales simples (glosario).
• Transporta información con dispositivos auxiliares y
trabaja archivos en distintos programas.
• Utiliza programas como el MindManager para
organizar información.
• Utiliza herramientas de productividad sin importar
el tipo de programas.
Nivel 5
13–14 años
1º y 2º medio
Utiliza y combina distintos programas como
procesador de texto, planillas de cálculo,
plantillas de presentación y dispositivos
periféricos para desarrollar productos
multimediales simples (glosario).
• Produce hipertextos.
• Traspasa/ incorpora video o sonido a
presentaciones Powerpoint.
• Incorpora movimiento en sus presentaciones.
• Graba y edita videos.
Nivel 4
11–12 años
7º y 8º básico
Utiliza diversos programas como procesador
de texto, planillas de cálculo y plantillas de
presentación, para escribir, editar y ordenar
información, exportando información de un
programa a otro y de algunos dispositivos
periféricos.
• Exporta gráficos a formato de procesador de texto.
• Utiliza cámara digital.
• Crea presentaciones con incorporación de
movimiento en plantillas de Powerpoint.
• Vincula información en las presentaciones.
• Mezcla música con imágenes estáticas y en
movimiento en sus presentaciones.
• Utiliza el corrector ortográfico.
Dimensión Comunicación
NIVELES
VARIABLES
INDICADORES
Nivel 6
15–17 años
3º y 4º medio
Participa en comunidades virtuales
desarrollando intereses particulares.
• Participa activamente en redes de interés, conoce
diariamente lo que sucede en ella.
Nivel 5
13–14 años
1º y 2º medio
Publica información propia en plataformas
virtuales, como blogs, y retroalimenta a otros.
• Mantiene actualizado su sitio (blog, fotolog
o página web).
• Inicia debates virtuales.
Nivel 4
11–12 años
7º y 8º básico
Participa en espacios interactivos de sitios web,
de debate e intercambio de información y
produce documentos en forma colectiva.
• Utiliza el control de cambios.
• Participa en foros de curso.
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Mapas de Progreso del Aprendizaje
Dimensión Información
NIVELES
VARIABLES
INDICADORES
Nivel 6
15–17 años
3º y 4º medio
Utiliza bases de datos para requerimientos
específicos de información en buscadores
especializados.
• Localiza y recupera información de fuentes
mundiales como UN u otro organismo
transnacional.
• Busca datos directamente en fuentes primarias
de información.
Nivel 5
13–14 años
1º y 2º medio
Recupera información de Internet en forma
autónoma utilizando buscadores especializados
y metabuscadores. Evalúa la información
utilizando los criterios específicos de la calidad
de la información electrónica.
• Utiliza operadores boleanos para buscar
información.
• Evalúa con diversos criterios la calidad de una
página web.
• Sabe utilizar un tesauro.
• Realiza búsquedas en metabuscadores.
Nivel 4
11–12 años
7º y 8º básico
Recupera, guarda y organiza información en
distintos formatos, extraída de sitios web
recomendados por el profesor, y navega
libremente en Internet. Identifica y utiliza los
criterios básicos de evaluación de la
información: la actualidad, autoría y
pertenencia.
•
•
•
•
•
•
•
•
Utiliza diversos buscadores electrónicos.
Guarda URL que le interesan.
Busca música y videos en sitios especializados.
Busca elementos que le permiten analizar la validez
de la información (autor, fecha y fuente).
Busca fuentes de información en catálogos de autor,
materia o título.
Identifica en los datos de la URL la relevancia e
interés del sitio (extensiones).
Identifica fuentes primarias y secundarias.
Diferencia hechos de opiniones.
Dimensión Ética
NIVELES
VARIABLES
INDICADORES
Nivel 6
15–17 años
3º y 4º medio
Respeta las nomas éticas en su participación • Guarda adecuadamente información confidencial.
en espacios virtuales. Reconoce y valora la • Comparte información con su entorno.
transparencia y democratización de la • Participa en actividades de difusión de las
información de la red y hace extensivos los
oportunidades de la red en su comunidad.
accesos a su comunidad.
Nivel 5
13–14 años
1º y 2º medio
Conoce la regulación legal de utilización del • Conoce las consecuencias legales de interferir
en la comunicación on-line.
espacio virtual y las normas de seguridad de
la red (claves, pirateo y hackeo) y aplica • Identifica en el contenido de las páginas mensajes
criterios de buenas prácticas.
discriminatorios o ilegales.
• Emplea buenas maneras al usar correo electrónico
(Netiquette).
Nivel 4
11–12 años
7º y 8º medio
Cita las fuentes desde donde ha extraído • No abre correos desconocidos.
información y utiliza convenciones bibliotec- • Borra los spam.
nológicas básicas para registrarlas (bibliografía • Cita correctamente las fuentes virtuales de
o linkografía). Discrimina y se protege de la
información (implica conocer nociones de
información y ofertas de servicios que
propiedad intelectual, derechos de autor y plagio).
pueden ser perjudiciales para él/ella.
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HABILIDADES
DEL PENSAMIENTO
El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de gran
importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de
formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito
matemático de forma autónoma y eficaz. De esta manera, las actividades a desarrollar
por los alumnos y alumnas de Tercer Año Medio, propuestas en el Texto para el
Estudiante y en la Guía Didáctica para el profesor, buscan promover el desarrollo de
estas habilidades mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición.
Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados han
jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio
internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de
la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así,
las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los
alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta
manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores.
A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta
propuesta. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras
habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el
conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este
conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no
debe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues
esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.
Recordar
Reconocer/
Identificar
Recordar definiciones, vocabulario, unidades, hechos numéricos, propiedades de los números,
propiedades de las figuras planas y convenciones matemáticas.
Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes
de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes;
expresiones algebraicas simplificadas y figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.
Calcular
Conocer procedimientos algorítmicos para +, –, •, : o una combinación de estas operaciones;
conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar
expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una
cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones
algebraicas y numéricas y reunir términos semejantes.
Usar herramientas
Usar las matemáticas y los instrumentos de medición, leer escalas y dibujar líneas, ángulos o
figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para
construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.
Clasificar
Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes;
tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase y ordenar números y objetos
según sus atributos.
Representar
Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en
diagramas, tablas, cuadros y gráficos, y generar representaciones equivalentes de una entidad o
relación matemática dada.
Formular
Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.
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Habilidades del pensamiento
Distinguir
Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada –por ejemplo un conjunto
de datos– de aquellas que no se pueden plantear así.
Seleccionar
Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya
un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría
esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o
unidades apropiadas.
Representar
Generar una representación apropiada, por ejemplo, una ecuación o un diagrama, para
resolver un problema común.
Interpretar
Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar
un conjunto de instrucciones matemáticas.
Aplicar
Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas
matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a
los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.
Verificar o comprobar
Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es
la solución de un problema.
Formular hipótesis,
conjeturar o predecir
Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar
conjuntos de conjeturar o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad,
transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.
Analizar
Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas,
analizar datos estadísticos univariantes, descomponer figuras geométricas para simplificar la
resolución de un problema, dibujar la red de un sólido dado poco conocido y hacer inferencias
válidas a partir de información dada.
Evaluar
Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de
problemas, método, demostración, etc.
Generalizar
Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la
resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y
más aplicables.
Conectar
Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes, hacer conexiones entre
diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas y vincular ideas u
objetos matemáticos relacionados.
Sintetizar o integrar
Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados y combinar
resultados para llegar a un resultado ulterior.
Resolver problemas
Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es
muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar
procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.
Justificar
Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante
referencia a propiedades o resultados matemáticos y desarrollar argumentos matemáticos
para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.
Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.
Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.
Fundamentación teórica
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EVALUACIÓN
EN
MATEMÁTICA
La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un
proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales
sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado.
En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación
y calificación.
Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de
estructuración. Puede ser un proceso de clasificación o de generación de categorías
a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con
categorías o escalas conocidas.
Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que
pertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados
de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o
la estudiante y el estándar o criterio seleccionado.
Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una
posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.
El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje,
ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo
se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando
antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué
aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes
de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el
docente crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a
través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos.
Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la
aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.
• Evaluación diagnóstica. Se integran al inicio de cada unidad, para identificar los
conocimientos previos con los cuales el y la estudiante se enfrentará a los nuevos
aprendizajes y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de
aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales.
• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la unidad y dado su carácter procesual,
permitirá al y la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a
tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.
La evaluación formativa también es considerada dentro de cada unidad en la
sección MI PROGRESO. Con estas instancias, se busca monitorear el proceso de
aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados.
• Evaluación sumativa. Se presenta al cierre de la unidad y entrega información
acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados, dando
la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles.
Además, al finalizar cada unidad de esta Guía, se presenta una evaluación sumativa
en la sección EVALUACIÓN FINAL (Material fotocopiable), que evalúa los
contenidos trabajados a lo largo de toda la unidad.
Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca
determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver
problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento
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Evaluación en Matemática
empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y la
actitud presentada frente al problema a resolver, además, permite conocer el estado
del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y
cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la
cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental.
El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas
entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina
estructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo
conceptos de orden superior.
El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de
tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él
se distinguen tres niveles:
• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas
aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación.
• Razonamiento en matemática: conjunto de enunciaciones y procesos asociados
que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o
premisas y unas reglas de inferencia.
• Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una
estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.
INSTRUMENTOS
DE EVALUACIÓN
En el proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos que
permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se
presentan algunos instrumentos que puede utilizar con sus alumnos y alumnas.
Evaluación de mapas conceptuales
Los mapas conceptuales son un medio para visualizar conceptos y relaciones
jerárquicas entre conceptos. Tienen por objeto "representar relaciones significativas
entre conceptos en forma de proposiciones", es decir, dos o más términos
conceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman una
unidad con un significado.
Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo de los y las estudiantes con los mapas
conceptuales, Bartels propone tres categorías y para cada una establece cuatro criterios
de desempeño a los cuales le asigna un puntaje que se muestra a continuación:
Conceptos y terminología
3 puntos.
Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y
una notación y una terminología adecuada.
2 puntos.
Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra
algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.
1 punto.
Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos
conceptuales profundos.
0 punto.
No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.
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Conocimiento de las relaciones entre conceptos
3 puntos.
Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo
ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones
adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando
como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.
2 puntos.
Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada
estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando
como resultado un mapa fácil de interpretar.
1 punto.
Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y
usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como
resultado un mapa difícil de interpretar.
0 punto.
Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.
Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual
3 puntos.
Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un
conocimiento de las relaciones entre estos.
2 puntos.
Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones
erradas.
1 punto.
Realiza muchas conexiones erradas.
0 puntos.
Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm
Evaluación de proyectos realizados por estudiantes
Considerar como punto de partida los intereses o motivaciones personales al
momento de plantear estrategias que permitan alcanzar logros en el aprendizaje,
permite plantear el conocimiento como un desafío más atractivo y eficaz para los y
las estudiantes.
La realización de proyectos estimula a los y las estudiantes a plantearse un desafío,
ya que surge a partir de sus propios intereses o necesidades, por lo cual el
aprendizaje del tema investigado se hace más significativo.
La pauta siguiente establece tres áreas de observación respecto del trabajo de los y las
estudiantes, en donde es importante observar y orientar su desempeño, a saber: la
formulación del proyecto, el desarrollo del proceso de investigación y, por último, la
presentación de los resultados.
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Evaluación en Matemática
PROYECTO:
INTEGRANTES:
FORMULACIÓN
BIEN
MAL
NECESITA
MEJORAR
Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para
orientar su investigación.
Plantea en forma clara el problema a investigar.
Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación
(plan de trabajo).
Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.
DESARROLLO
Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).
Discute con otros compañeros acerca de los avances de su investigación.
Presenta avances parciales de su trabajo.
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para
presentar los resultados de su investigación.
Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia
del proyecto.
Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados
de su trabajo.
Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad
de la información presentada.
Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes
con el problema investigado y con los objetivos planteados.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm
Fundamentación teórica
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Evaluación de la comunicación de procedimientos
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, es indispensable la
comunicación de los procedimientos realizados por los y las estudiantes en la
resolución de problemas.
La comunicación en Matemática es fundamental, ya que obliga a detenerse sobre el
propio pensamiento para precisarlo, justificarlo y clarificarlo. Informar sobre lo
realizado implica la reconstrucción de la acción realizada.
Para potenciar este proceso metacognitivo, en el cual sus alumnos y alumnas deben
explicitar el razonamiento aplicado, se sugiere aplicar una pauta como la que se
presenta a continuación, la cual permite evaluar la exposición oral de los resultados
obtenidos en la resolución de un problema matemático.
PROBLEMA:
INTEGRANTES:
LOGRADO
MEDIANAMENTE
LOGRADO
Explica el problema.
Identifica y explica la pregunta del problema.
Explica claramente los procedimientos realizados en la
resolución.
Presenta más de una solución (en caso que sea posible).
Pregunta por otras soluciones a la clase.
Extiende el problema mediante la presentación a la clase de un
problema nuevo derivado del presentado.
Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la
única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?,
¿qué pasa si...?
Responde las preguntas realizadas por la clase.
Se expresa en forma audible y clara.
Escucha las ideas de otras personas.
Fuente: adaptación de documento extraído de www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm
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POR LOGRAR
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Evaluación en Matemática
Técnicas de observación
Consisten en evaluar aspectos que difícilmente se evaluarían con otras técnicas o
instrumentos, como, por ejemplo, los aspectos afectivo y psicomotor. Los
instrumentos utilizados para estos casos son:
• Lista de control: este tipo de instrumento requiere de la delimitación de las
categorías de la conducta a observar.
• Participación: se utiliza la lista de participación para registrar la frecuencia con que
los alumnos y alumnas aportan verbalmente ideas relacionadas con el tema de
la clase.
• Escala de evaluación: consiste en una serie de frases precedidas por una
gradación donde el profesor o profesora indica, según su apreciación, el nivel en
que se encuentran sus estudiantes en relación al estado ideal de una característica
específica. Las escalas de evaluación pueden ser: escalas numéricas, escalas gráficas
o escalas comparativas.
Para evaluar a sus alumnos y alumnas a través de la observación, usted puede
elaborar una escala gráfica como la que se presenta a continuación.
CONOCIMIENTO Y HABILIDADES, PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS,
DESTREZAS Y ACTITUDES.
SÍ
NO
Intenta comprender de qué trata un problema.
Relaciona los datos en la solución de un problema.
Utiliza más de una estrategia en la solución de problemas.
Verifica la solución.
Maneja la calculadora.
Maneja instrumentos de medición.
Se observa motivado frente a la resolución de problemas.
Trabaja en colaboración con otros.
Es perseverante.
Fuentes consultadas:
• Evaluación del aprendizaje matemático. Alternativas para innovar. En: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/alternativas.htm
• Barrón Rodríguez, H. La evaluación de las matemáticas en el aula, México. material de apoyo, Dirección General de Educación
Secundaria Técnica, SEP, 2003
• Oteíza, F.; Montero, P.; Rencoret, M. La matemática en el aula: contexto y evaluación. Santiago, Chile. Ministerio de Educación,
Programa MECE media, 1997.
Fundamentación teórica
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RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nos
enfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la manera
más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la
creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un
problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas
situaciones que impliquen un desafío.
Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la
que el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan
explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o
generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender
procedimientos algoritmos u otros tópicos matemáticos.
Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante,
interactuando con desafíos especialmente diseñados en un ambiente cooperativo y
estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas
situaciones pueden ser:
• Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o
generar procedimientos para buscar y reconocer una solución.
• Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de
aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule.
• Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que
involucre el uso de modelos matemáticos.
En nuestra propuesta, el trabajo de razonamiento matemático y resolución de
problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco
componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y
metacognición.
• Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para
resolver problemas matemáticos.
• Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean
capaces de desarrollar en cada contenido.
• Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución
de problemas matemáticos.
• Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática.
• Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento
propio durante la resolución de problemas.
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| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Razonamiento matemático
Polya propone un modelo para resolver situaciones problema en un plan que
consiste en cuatro pasos:
1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles
dentro del contexto del problema.
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta
del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?,
¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay
datos que no son necesarios para resolver el problema?
2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo
desconocido.
¿Qué puedes hacer con los datos que tienes para responder correctamente
la pregunta?
3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado.
Implementa la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente
el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso.
Al desarrollar tu plan, verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro que
cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto?
4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida.
¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes
obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes "ver" la respuesta de
una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver
otro problema?
Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a
través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos
descritos. En la sección CÓMO RESOLVERLO (del Texto para el Estudiante), se
plantean problemas en diversos contextos, con el objetivo que sean recepcionados
por los alumnos y alumnas como un desafío y los estimule a utilizar todos los
recursos de los cuales disponga. Además, se determina una estructura clara de los
pasos a seguir para resolverlos.
Fundamentación teórica
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Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla que especifica
los indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas.
NO COMPRENDE
COMPRENSIÓN
DEL PROBLEMA
O DE LA
SITUACIÓN
COMPRENSIÓN
DE
CONCEPTOS
MEDICIÓN
(LONGITUD,
MASA Y
CAPACIDAD)
VERIFICACIÓN
DE
RESULTADOS
Y/O
PROGRESOS
28
EN PROCESO, LOGRO PARCIAL
LOGRO, APLICACIÓN
• No intenta entender
el problema.
• Entiende mal
el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete parte
del problema.
• Puede que tenga alguna idea acerca
del problema.
• Puede expresar en sus propias palabras o
interpretar coherentemente el problema.
• Comprende las condiciones principales.
• Elimina la información innecesaria.
• Tiene una idea acerca de la respuesta.
• No modela los
conceptos rutinarios
correctamente.
• No puede explicar
el concepto.
• No intenta resolver
el problema.
• No hace conexiones.
• Demuestra un entendimiento parcial
o satisfactorio.
• Puede encontrar y explicar usando
una variedad de modos.
• Está listo para hacer conexiones
acerca de cómo y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimientos y experiencias anteriores.
• Puede crear problemas relacionados.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• Aplica correctamente reglas o algoritmos
cuando usa símbolos.
• Conecta cómo y por qué.
• Aplica el concepto a problemas o
situaciones nuevas.
• Hace y explica conexiones.
• Realiza lo pedido y va más allá.
• Hace comparaciones
directas entre objetos.
• No puede ordenar
objetos de acuerdo a
su medida.
• No distingue diferencias
entre distintas unidades
de medida.
• Puede ordenar y comparar usando
unidades no estándares.
• Puede estimar y medir usando
unidades no estándares.
• Puede resolver algunos problemas
relacionados con medida.
• Puede estimar y medir usando unidades
estándares.
• Puede utilizar incrementos fraccionarios
para medir.
• Puede resolver problemas relacionados.
• Hace conjeturas poco
realistas.
• No usa estrategias para
refinar la estimación.
• No puede modelar o
explicar la estrategia
especificada.
• No puede aplicar
estrategias unidas a
explicaciones.
• Refina conjeturas o estimaciones
mediante particiones/comparaciones.
• Demuestra poseer estrategias,
otras le faltan.
• No puede modelar o explicar la
estrategia cuando le preguntan.
• Refina conjeturas o estimaciones
mediante particiones y comparaciones.
• Puede modelar, explicar y aplicar una
estrategia cuando le preguntan.
• Demuestra poseer estrategias.
• Usa estimación cuando es apropiado.
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su
respuesta es o no
razonable.
• Revisa cálculos y procedimientos.
• Puede investigar razones si existen
dudas.
• Chequea racionalidad de los resultados.
• Reconoce sin razones.
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
continúa en la sgte. pág.
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Resolución de problemas
EN PROCESO,
LOGRO PARCIAL
NO COMPRENDE
LOGRO, APLICACIÓN
• No hace planteamientos.
• No puede proceder sin
instrucciones ni asistencia.
• Comete graves errores al
recolectar o mostrar datos.
• Puede recolectar y desplegar
datos, dada una forma de
registrarlos.
• Tiene errores menores al
recolectar y desplegar datos.
• Puede corregir errores en
momentos críticos.
• Puede recolectar y desplegar en
forma organizada.
• Clasifica en forma exacta y
apropiada.
INTERPRETACIÓN
Y SÍNTESIS DE
RESULTADOS
• No hace planteamientos para
resumir y describir datos.
• Puede responder preguntas
simples relacionadas con los
datos, si es requerido.
• No puede comunicar resultados
en forma rudimentaria.
• Resume y describe datos
apropiadamente.
• Puede generar una respuesta
a una pregunta relacionada
con los datos.
• Puede comunicar resultados en
forma rudimentaria.
• Expresa conclusiones e
interpretaciones válidas.
• Hace generalizaciones.
• Comunica resultados en forma
clara y lógica.
APLICACIÓN DE
CONCEPTOS,
PROCEDIMIENTOS
Y ESTRATEGIAS
• No intenta.
• Se apoya en otros para
seleccionar y aplicar estrategias.
• Su trabajo no es comprensible.
• No puede explicar su trabajo o
estrategia adecuadamente.
• Selecciona estrategias
inadecuadas.
• Su implementación no es lógica
ni ordenada.
• Usa estrategia si se lo piden.
• Reconoce estrategias.
• Puede explicar estrategias.
• Usa un limitado número de
estrategias.
• Puede seleccionar una
estrategia, pero puede necesitar
ayuda en su implementación.
• Puede presentar su trabajo en
una forma aceptable.
• Genera nuevos procedimientos.
• Extiende o modifica la estrategia.
• Conoce o usa diversas
estrategias.
• Usa estrategias en forma flexible.
• Reconoce cuando una
estrategia es aplicable.
• Presenta su trabajo en forma
lógica y coherente.
DISPOSICIÓN
(VALORES Y
ACTITUDES)
• Demuestra ansiedad o disgusto.
• Se retira o es pasivo durante
la clase.
• Cede fácilmente y se frustra
en la clase.
• Necesita un apoyo frecuente,
atención y retroalimentación.
• Se aplica a la tarea.
• Participa activamente en las
actividades de aprendizaje.
• Esta dispuesto a intentar
nuevos métodos.
• Responde si le preguntan, pero
puede que no tome la iniciativa.
• Demuestra confianza
en su trabajo.
• Es persistente cuando intenta
varios enfoques.
• No se da por vencido.
• Es curioso, muestra flexibilidad.
• Hace muchas preguntas.
• No intenta hacer conexiones.
• No puede extender ideas en
nuevas aplicaciones.
• Hace el mínimo esperado.
• Puede reconocer problemas o
aplicaciones similares.
• Hace conexiones.
• Propone y explora conexiones.
• Puede crear problemas paralelos
variando las condiciones del
problema original.
• Puede aplicar ideas en nuevas
aplicaciones.
RECOLECCIÓN Y
ORGANIZACIÓN
DE DATOS
GENERALIZACIÓN Y
CONEXIONES
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
Fuentes consultadas:
• Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas.
Alambra Longmam. Madrid. 1991.
• Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”. En:
Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid, 1996.
• www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html
Fundamentación teórica
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29
30
MEDIO
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Interpretación y cálculo de la raíz enésima de un
número real, establecimiento de sus propiedades
y su relación con las potencias de exponente
racional.
Interpretación y cálculo de logaritmos,
establecimiento de sus propiedades y
su relación con las potencias y raíces.
NÚMEROS,
Interpretación y cálculo de potencias
de base racional y exponente entero.
Determinación y aplicación de propiedades.
EJE
Transformación de números decimales infinitos
periódicos y semiperiódicos a fracción.
Aproximación del valor de un número irracional
por defecto, por exceso y por redondeo.
EDUCACIÓN MEDIA,
Aproximación de racionales a través de
redondeo y truncamiento y reconocimiento de
las limitaciones de la calculadora para aproximar
decimales.
DE
Extensión de las nociones de adición,
sustracción, multiplicación, división, potencia a
los números complejos y establecimiento de
procedimientos de cálculo de estas operaciones.
CMO
Formulación de conjeturas y demostración de
propiedades relativas a los números complejos
en situaciones simples tales como: el producto
de un número complejo con su conjugado es
un número real; la adición, sustracción,
multiplicación, división y elevación a potencia
de números complejos es un número complejo.
Identificación de la unidad imaginaria como
solución de la ecuación x2 + 1 = 0 y su
utilización para expresar raíces de índice par
de números reales negativos.
ENTRE LOS
Resolución de problemas en contextos diversos
que involucran números racionales o potencias
de base racional y exponente entero, enfatizando
el análisis crítico de los procedimientos de
resolución y de los resultados obtenidos.
Ubicación de algunas raíces en la recta
numérica, exploración de situaciones
geométricas en que ellas están presentes y
análisis de la demostración de la irracionalidad
de algunas raíces cuadradas.
MEDIO
Caracterización de los números complejos y de
los tipos de problemas que permiten resolver.
3º
RELACIÓN
16:44
Sistematización de procedimientos de cálculo
escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas
de adiciones, sustracciones, multiplicación y
divisiones con números racionales y su aplicación
en la resolución de problemas.
MEDIO
Caracterización de los números irracionales y
números reales, reconocimiento de propiedades
de los números y de las operaciones y su uso
para resolver diversos problemas.
2º
18/11/09
Representación de números racionales en la
recta numérica y establecimiento de algunas
propiedades de estos números y de las
operaciones tales como: entre dos números
racionales siempre existe por lo menos otro
número racional; la suma, la diferencia, el
producto y el cuociente de dos números
racionales es siempre un número racional.
Caracterización de los números racionales y de
los tipos de problemas que permiten resolver.
1º
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Page 30
SEGÚN AJUSTE CURRICULAR
MEDIO
Resolución de problemas asociados a sistemas
de ecuaciones lineales con dos incógnitas en
contextos variados. Discusión de la existencia
y la pertinencia de las soluciones.
EJE
ÁLGEBRA,
Resolución de problemas asociados a ecuaciones
de segundo grado con una incógnita. Análisis de
la existencia y pertinencia de las soluciones de
acuerdo con el contexto en que se plantea el
problema.
EDUCACIÓN MEDIA,
Modelamiento de situaciones o fenómenos
asociados a funciones cuadráticas.
DE
Uso de un software gráfico en la interpretación
de la función afín, análisis de las situaciones que
modela y estudio de las variaciones gráficas que se
producen por la modificación de sus parámetros.
CMO
Representación y análisis gráfico de la función
f(x) = ax 2 + bx + c, para distintos valores de a,
b y c. Discusión de las condiciones que debe
cumplir la función cuadrática para que la curva
interseque el eje x (ceros de la función). Uso de
software para el análisis de las variaciones de la
gráfica de la función cuadrática a partir de la
modificación de sus parámetros.
ENTRE LOS
Deducción de la fórmula de la ecuación general
de segundo grado y discusión de sus raíces y su
relación con la función cuadrática.
RELACIÓN
Planteo y resolución de sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas, y representación y
análisis de las soluciones en el plano cartesiano
usando un software gráfico.
MEDIO
Resolución de ecuaciones de segundo grado
con una incógnita por completación de
cuadrados, por factorización o por inspección,
con raíces reales o complejas. Interpretación de
las soluciones y determinación de su pertenencia
al conjunto de los números reales o complejos.
3º
16:44
Análisis de las distintas representaciones de la
función lineal, su aplicación en la resolución de
diversas situaciones problema y su relación con
la proporcionalidad directa.
MEDIO
Resolución de situaciones en las que sea
necesario simplificar, sumar, restar, multiplicar
y dividir fracciones algebraicas simples, con
binomios tanto en el numerador como en el
denominador.
2º
18/11/09
Resolución de ecuaciones de primer grado
con una incógnita y coeficientes literales y su
aplicación en la interpretación y transformación
de fórmulas.
Establecimiento de relaciones entre expresiones
algebraicas no fraccionarias mediante eliminación
de paréntesis, reducción de términos
semejantes, productos, productos notables y
factorización.
1º
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Page 31
Relación entre los CMO
de Educación Media
SEGÚN AJUSTE CURRICULAR
Fundamentación teórica
|
31
32
MEDIO
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Aplicación de la suma de vectores para
describir composiciones de traslaciones en el
plano cartesiano.
Descripción de la homotecia de figuras planas
mediante el producto de un vector y un escalar.
Uso de un procesador geométrico para
visualizar en forma dinámica las relaciones que
se producen al desplazar figuras homotéticas
en el plano.
GEOMETRÍA,
Notación y representación gráfica de vectores
en plano cartesiano y su aplicación para
describir traslaciones de figuras geométricas
en el plano cartesiano.
EJE
Identificación de ángulos del centro y ángulos
inscritos en una circunferencia, formulación y
verificación de conjeturas que relacionan la
medida del ángulo del centro con la del
correspondiente ángulo inscrito.
EDUCACIÓN MEDIA,
Aplicación de la noción de semejanza a la
demostración de relaciones entre segmentos en
cuerdas y secantes en una circunferencia.
DE
Análisis de las soluciones de sistemas de dos
ecuaciones con dos variables y su interpretación
a partir de las posiciones relativas de rectas en
el plano: condiciones analíticas del paralelismo,
coincidencia y de la intersección entre rectas.
CMO
Aplicación del teorema de Tales sobre trazos
proporcionales. División interior de un trazo en
una razón dada y uso de un procesar
geométrico para verificar relaciones.
Interpretación y determinación de la pendiente
y del intercepto de una recta con el eje de las
ordenadas y la relación de estos valores con las
distintas formas de la ecuación de la recta.
Determinación de la ecuación de la recta que
pasa por dos puntos.
ENTRE LOS
Identificación y utilización de criterios de
semejanza de triángulos para el análisis de la
semejanza en diferentes figuras planas y la
deducción de los teoremas de Euclides relativos
a la proporcionalidad de trazos en el triángulo
rectángulo.
MEDIO
Determinación de la distancia entre
dos puntos en el plano cartesiano y su
aplicación al cálculo de magnitudes lineales en
figuras planas.
3º
RELACIÓN
16:44
Relación del concepto de congruencia con las
transformaciones isométricas y utilización de
los criterios de congruencia de triángulos para
realizar construcciones geométricas, resolver
problemas y demostrar propiedades en
polígonos.
MEDIO
Caracterización del concepto de semejanza de
figuras y su reconocimiento de formas
semejantes presentes en el entorno.
2º
18/11/09
Construcción de figuras geométricas en el plano
cartesiano por traslación, reflexión y rotación en
ángulos de 90º y 180º.
Identificación del plano cartesiano y su uso
para representar puntos y figuras geométricas.
1º
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Page 32
SEGÚN AJUSTE CURRICULAR
MEDIO
Resolución de problemas en contextos de
incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades
mediante el modelo de Laplace o las frecuencias
relativas, dependiendo de las condiciones del
problema.
Resolución de problemas de cálculo de
probabilidades aplicando las técnicas del cálculo
combinatorio, diagramas de árbol y propiedades
de la suma y producto de probabilidades.
Uso de técnicas combinatorias para obtener el
número de elementos de un espacio muestral
en casos finitos.
Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de probabilidades condicionales y sus
propiedades en diversos contextos.
DATOS
Exploración de la Ley de los Grandes Números a
partir de la repetición de experimentos aleatorios,
con apoyo de herramientas tecnológicas y su
aplicación a la asignación de probabilidades.
EJE
Realización de estimaciones de la media de una
población a partir de la obtención de las medias
de distintas muestras extraídas (de igual tamaño)
de dicha población. Mejoramiento de la estimación
a medida que aumenta el tamaño de las muestras.
EDUCACIÓN MEDIA,
Empleo de elementos básicos del muestreo
aleatorio simple, en diversos experimentos, para
inferir características de una población finita a
partir de muestras extraídas.
DE
Justificación de la representatividad de una
muestra a partir de la población estudiada y la
manera en que dicha muestra ha sido escogida.
CMO
Uso del modelo binomial para describir
situaciones o experimentos, cuyos resultados
pueden ser categorizados usando el lenguaje de
“éxito” y “fracaso”.
ENTRE LOS
Caracterización de un conjunto de datos
agrupados en intervalos, mediante el cálculo de
medidas de tendencia central (media, moda y
mediana) y medidas de posición (percentiles y
cuartiles), en diversos contextos y situaciones.
Aplicación del concepto de esperanza de una
variable aleatoria en diversas situaciones,
interpretación gráfica y conexión natural con
la media aritmética anteriormente estudiada.
RELACIÓN
Comparación de las características de dos o más
conjuntos de datos haciendo uso de indicadores
de tendencia central, posición y dispersión.
MEDIO
Hacer uso de simulaciones digitales para verificar
la convergencia entre la distribución teórica de
una variable aleatoria y la correspondiente
gráfica de frecuencias en experimentos
aleatorios discretos.
3º
16:44
Obtención de información por medio de la
lectura de medidas de tendencia central y
posición a partir de conjuntos de datos obtenidos
desde diversas fuentes.
MEDIO
Determinación del rango, varianza y desviación
estándar, aplicando criterios referidos al tipo de
datos que se están utilizando, en forma manual
y mediante el uso de herramientas tecnológicas.
2º
18/11/09
Organización y representación de datos,
extraídos de diversas fuentes, usando histogramas,
polígonos de frecuencia y de frecuencias
acumuladas, construidos manualmente y con
de herramientas tecnológicas.
Obtención de información a partir de datos
presentados en histogramas, polígonos de
frecuencia y de frecuencias acumuladas.
1º
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Relación entre los CMO
de Educación Media
Y AZAR, SEGÚN AJUSTE CURRICULAR
Fundamentación teórica
|
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16:44
Page 34
Organización interna del Texto
ESTRUCTURA
DEL
TEXTO
El Texto Matemática 2º Medio se organiza en 6 Unidades, con los siguientes títulos:
Texto Matemática 2º Medio
Unidad
Unidad
Unidad
Unidad
Unidad
Unidad
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Números y raíces
Expresiones algebraicas fraccionarias
Sistemas de ecuaciones lineales
Semejanza
Circunferencia
Datos y azar
ORGANIZACIÓN
DEL
TEXTO
Cada Unidad tiene tres momentos pedagógicos: Inicio, Desarrollo y Cierre
En el Inicio se considera:
• Entrada de Unidad: en estas páginas se explicitan los aprendizajes que se
espera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la unidad y se
presentan actividades de motivación y activación de experiencias y
conocimientos previos.
• ¿Cuánto sabes?: actividades de evaluación diagnóstica que permitirá evaluar
los contenidos que son prerrequisitos de la Unidad.
• ¿Qué debes recordar? Resumen de los principales conceptos que servirán
de base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad.
En el Desarrollo se considera:
• Páginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploración,
activación del razonamiento espontáneo de los estudiantes, construcción y
aplicación de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimientos,
demostraciones, etc. Incluye una sección que define, describe o formaliza los
conceptos tratados.
En estas páginas, la información se complementa con las siguientes secciones:
– Herramientas tecnológicas: sección con actividades para trabajar con
calculadora, planillas de cálculo, software o programas ocupacionales.
– Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitirán al
alumno evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes.
– ¿Cómo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y las
actividades relacionadas con cada uno, de modo que el alumno y alumna
pueda autoevaluarse.
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| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Organización del Texto
Además, el tratamiento del contenido incluye la siguiente información secundaria:
– Recuerda que...: permite recordar contenidos o procedimientos aprendidos
en años anteriores que sean necesarios para desarrollar las actividades a
resolver.
– No olvides que...: permite enfatizar la revisión continua de sus procedimientos,
análisis de la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respecto
del contexto, etc.
– Glosario: permite incorporar vocabulario matemático.
Para la consolidación del aprendizaje, se presentan las siguientes secciones:
• Cómo resolverlo: sección orientada a presentar problemas resueltos, de
manera que el y la estudiante aprenda distintas estrategias de resolución. En cada
página, se plantea un problema resuelto paso a paso (comprender, relacionar,
calcular, comprobar) y se presentan problemas en los que pueda aplicar lo
aprendido.
• En terreno: sección orientada a aplicar lo aprendido en la unidad en un contexto
de índole laboral, con variada información, de modo que parte de la dificultad
para el alumno y alumna sea discernir qué información le es útil para responder
las preguntas.
– Investiguemos…: contiene las indicaciones para realizar un trabajo
colaborativo, basado en la temática de la sección anterior, pero
solicitando investigación adicional de parte de los alumnos.
– Evaluemos nuestro trabajo: consiste en preguntas para realizar la
autoevaluación y la coevaluación respecto del trabajo colaborativo
realizado.
En el Cierre se considera:
• Síntesis de la Unidad: síntesis de los contenidos tratados en la unidad a
través de mapas conceptuales; incluye un listado de preguntas de
verdadero o falso, enfocadas a contenidos conceptuales y problemas de
desarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados.
• Evaluación de la Unidad: sección de evaluación sumativa. Consiste en un
listado de preguntas de selección múltiple.
Organización interna del Texto
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Organización de la Guía Didáctica
La Guía para el Profesor está organizada a partir de las siguientes secciones:
• Propósito de la unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo que
se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la unidad.
• Propuesta de planificación de la unidad: en una tabla se organizan los contenidos
mínimos obligatorios, los contenidos de la unidad, aprendizajes esperados,
recursos didácticos, tipos de evaluación y el tiempo estimado para el desarrollo
de la unidad.
• Esquema de la unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos
trabajados en la unidad.
• Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlo
con el trabajo de los contenidos de la unidad.
Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada unidad, se
distinguen:
Páginas de INICIO
• Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten
orientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes con
respecto a los contenidos de la unidad.
• Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las
del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.
• Evaluación diagnóstica: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación
de las actividades propuestas en la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto para el
Estudiante, a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que
presentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridos en
años anteriores. Además, se presentan los criterios de evaluación por cada ítem
y se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalúan en
cada actividad.
• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles
dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación diagnóstica
presentada en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.
Páginas de DESARROLLO
• Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las
habilidades que se trabajan en cada actividad.
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| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Organización de la Guía Didáctica
• Información para el docente: se dan sugerencias metodológicas e indicaciones
con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso
de recursos, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades
en los y las estudiantes. Además, se plantean sugerencias o aclaraciones
específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades,
formalizaciones, etc.
• Variantes metodológicas: para los temas más complejos se presentan sugerencias
y estrategias distintas a las presentadas en el Texto para el Estudiante, de manera
de asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y formas
de aprendizaje.
• Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/o
ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando.
• Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus
estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.
• Mi progreso: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación de las
actividades propuestas en la sección MI PROGRESO del Texto para el Estudiante,
a través de una rúbrica que permitirá medir el nivel de logro que presentan los y
las estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Además, se
presentan los criterios de evaluación por cada ítem y se incluye un cuadro en el
que se detallan las habilidades que se evalúan en cada actividad.
• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles dificultades
que pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder
subsanarlos o evitarlos.
• En terreno: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta
sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de
vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad.
Páginas de CIERRE
• Síntesis: en esta sección, se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo
aprendido y se proponen preguntas que permitirán detectar y clarificar las dudas
que aún presenten sus estudiantes.
• Evaluación: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD, permitiendo evaluar los logros alcanzados por
sus alumnos y alumnas en la unidad.
• Posibles dificultades en la evaluación y remediales: se indican las posibles
dificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluación presentada en el
Texto para el Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.
• Ejercicios resueltos: en esta sección, se plantean orientaciones para trabajar la
resolución de problemas.
• Evaluación fotocopiable: esta sección tiene como objetivo orientar la aplicación
de un instrumento de evaluación sumativa que puede fotocopiar y aplicar a sus
estudiantes al finalizar la unidad. Además, se incluye una pauta que incorpora las
habilidades que evalúa cada ítem y los puntajes otorgados.
Organización de la Guía Didáctica|
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Números
y raíces
Unidad
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por los
alumnos y alumnas en relación al estudio de los conjuntos numéricos. Los números irracionales se
introducen a través del concepto de números decimales infinitos no periódicos ni semiperiódicos. De
aquí se deduce que no es posible escribir un número irracional como un cuociente entre dos racionales.
Como parte de los números irracionales, son estudiadas las raíces enésimas y sus propiedades, para
la resolución de operatoria con raíces y su relación con potencias de exponente fraccionario. Los y
las estudiantes aprenderán a estimar raíces cuadradas no exactas. Además, utilizando las propiedades
de las raíces, podrán calcular algunas cuando estas resulten ser números enteros. Por otro lado, los
alumnos y alumnas trabajarán en esta unidad con las ecuaciones que contienen raíces, aprenderán a
resolverlas e interpretar sus soluciones. También se estudiará el concepto de logaritmo, sus propiedades
y su relación con las potencias además de la resolución de ecuaciones logarítmicas y algunas de sus
aplicaciones en la ciencia como son, por ejemplo, la medición del pH de una sustancia, la energía liberada
durante un sismo o el cálculo del nivel de intensidad sonora.
A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y
las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos
matemáticos y cotidianos.
A continuación, se presenta esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Aplicaciones
Números y raíces
Números irracionales
Raíces
Logaritmos
Ubicación en la
recta numérica
Orden
Concepto
Ecuaciones
con radicales
Operaciones
Propiedades
Aproximación
Propiedades
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| Unidad 1
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Potencias
Ecuaciones
logarítmicas
• Identificación de situaciones que
muestran la necesidad de ampliar los
números racionales a los números
reales, reconocimiento de algunas de
las propiedades de los números y de
las operaciones y su uso para resolver
diversos problemas.
• Aproximación del valor de un
número irracional por defecto, por
exceso y por redondeo.
• Ubicación de algunas raíces en la
recta numérica, exploración de
situaciones geométricas en que ellas
están presentes y análisis de la
demostración de la irracionalidad
de algunas raíces cuadradas.
• Análisis de la existencia de la raíz
enésima en el conjunto de los
números reales, su relación con las
potencias de exponente racional y
demostración de algunas de sus
propiedades.
• Interpretación de logaritmos, su
relación con potencias y raíces,
deducción de sus propiedades y
aplicaciones del cálculo de
logaritmos a la resolución de
problemas en diversas áreas del
conocimiento.
• Uso de un software gráfico en la
interpretación de funciones
exponenciales, logarítmicas y raíz
cuadrada, análisis de las situaciones
que modela y estudio de las
variaciones que se producen por la
modificación de sus parámetros.
CMO
DE LA UNIDAD
• Números racionales en
la recta numérica.
• Números irracionales.
• Números reales.
• Aproximación de un
número irracional.
• Raíces cuadradas y
raíces cúbicas.
• Ubicación de raíces en
la recta numérica.
• Irracionalidad de algunas
raíces cuadradas.
• Cálculo de raíces
enésimas y sus
propiedades.
• Relación entre raíces
enésimas y potencias
de exponente racional.
• Situaciones que
involucran raíces.
CONTENIDOS
ESPERADOS
• Caracterizar los números
irracionales como
aquellos que no pueden
ser escritos como un
cuociente entre dos
números enteros.
• Caracterizar los números
reales como aquellos
que corresponden a la
unión de los números
racionales e irracionales.
• Utilizar los números
reales en la resolución
de problemas, reconocer
sus propiedades y
realizar aproximaciones
por defecto, por exceso
y por redondeo.
• Ubicar algunas raíces en
la recta numérica y
explorar algunas
situaciones geométricas
en que ellas están
presentes.
• Analizar la demostración
de la irracionalidad de
algunas raíces cuadradas.
• Interpretar y calcular la
raíz enésima de un
número real y reconocer
algunas propiedades.
• Relacionar las raíces
enésimas con las
potencias de exponente
racional.
APRENDIZAJES
RECURSOS
DIDÁCTICOS
• Regla
• Identifican números
• Calculadora
irracionales.
• Ubican raíces no
científica
• Compás
exactas en la recta
numérica.
• Analizan la
demostración de la
irracionalidad de
algunas raíces cuadradas.
• Ordenan y comparan
números reales.
• Aproximan números
irracionales por defecto,
por exceso y por
redondeo.
• Comprenden el
concepto de raíz
cuadrada y cúbica.
• Interpretan y calculan
raíces no exactas.
• Establecen propiedades
de las raíces enésimas.
• Interpretan y calculan
la raíz enésima de un
número real.
• Relacionan las raíces
enésimas con las
potencias de exponente
racional.
INDICADORES
DE EVALUACIÓN
16:46
• Sumativa:
páginas 66 y 67
del Texto para el
Estudiante y 66 y 67
de la Guía Didáctica
para el Profesor.
18/11/09
• Formativa:
página 24, 41 y 59
del Texto para el
Estudiante.
• Diagnóstica:
páginas 14 y 15
del Texto para el
Estudiante.
TIPOS
Tiempo estimado: 15 a 20 horas
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Números y raíces
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PÁGINAS 12 - 13
Páginas de entrada
En la imagen se muestra la presencia de la famosa sucesión de Fibonacci en la
naturaleza, y con esto puede comenzar a conversar sobre los números irracionales,
su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por ejemplo, en el
arte, en la geometría y en la economía, entre otras.
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
El número irracional e, también está presente en diversos ámbitos; por ejemplo,
en Economía, se utiliza para explicar modelos económicos predictivos; en
Biología, para explicar el crecimiento de las poblaciones; en Salud, para estudiar
enfermedades de carácter epidémico, etc.
También podría conversar sobre otro número irracional muy interesante y atractivo,
el número de oro φ. Este número también está relacionado con la sucesión de
Fibonacci. Por ejemplo, si dividimos dos números consecutivos de la sucesión de
Fibonacci (el mayor dividido por el menor), el resultado de aproximará cada vez más
al número de oro a medida que utilizamos números más grandes de la sucesión.
Este número es también encontrado en diversas manifestaciones de la naturaleza y
de las proporciones humanas, además ha sido utilizado en muchas obras de arte,
como, por ejemplo, en las de Da Vinci y Dalí.
En el libro El Código Da Vinci, de Dan Brown, se dedican varias páginas a las
maravillas del número φ. Sería interesante que leyera o invitara a leer a sus
estudiantes algunas páginas de este libro. Las páginas que hacen referencia al
número de oro son: 117 - 126.
También, en el magnífico libro de H.S.M. Coxeter, Fundamentos de geometría,
Editorial Limusa. México. 1971. El capítulo 11 del libro está totalmente dedicado al
tema. Puede encontrar allí breves discusiones históricas y aplicaciones a la morfología
de las plantas, además de problemas relacionados y algunas de sus soluciones.
Más información sobre el número φ puede encontrar en los siguientes sitios.
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/
alumnado/index.html
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
PÁGINAS 14 - 15
¿Cuánto sabes?
Ítem
1, 2 y 3
40
Habilidades que
se evalúan
Calcular.
4
Aplicar y calcular.
5
Conectar y calcular.
Evaluación diagnóstica
En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el
nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos
de esta unidad.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una
evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes criterios:
Ítem
Ítem
Ítem
Ítem
Ítem
1:
2:
3:
4:
5:
descomponer números como producto de factores primos.
determinar si las igualdades dadas son verdaderas.
calcular expresiones aplicando propiedades de las potencias.
resolver problemas aplicando potencias.
calcular expresiones aplicando propiedades de las raíces.
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
Ítem
1
2
3
4
5
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Descompone
correctamente todos lo
números dados como
producto de factores
primos.
• Los números utilizados en
cada descomposición son
factores de los números
correspondientes.
• Todos los factores
utilizados en cada
descomposición son
números primos.
• Descompone correctamente
más de tres números dados
como producto de factores
primos.
• Las descomposiciones
incorrectas se pueden deber a:
- Descomponer los números
dados, pero todos o
algunos de los factores son
números compuestos.
- Los números utilizados no
son factores de un número
dado.
- No descompone los
números en factores.
• Descompone
correctamente tres
números como producto
de factores primos.
• Las descomposiciones
incorrectas se pueden deber a:
- Descomponer los números
dados, pero todos o
algunos de los factores son
números compuestos.
- Los números utilizados
no son factores de un
número dado.
- No descompone los
números en factores.
• Descompone correctamente
menos de tres números como
producto de factores primos.
• Las descomposiciones
incorrectas se pueden deber a:
- Descomponer los números
dados, pero todos o
algunos de los factores son
números compuestos.
- Los números utilizados no
son factores de un
número dado.
- No descompone los
números en factores.
• Determina correctamente
si todas las igualdades dadas
son verdaderas.
• Resuelve correctamente
todas las operaciones dadas.
• Aplica correctamente
las propiedades de las
potencias en todos
los casos.
• Determina correctamente
si más de tres de las
igualdades dadas son
verdaderas.
• Resuelve correctamente la
mayoría de las operaciones
dadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las potencias
en la mayoría de los casos.
• Determina correctamente
si tres de las igualdades
dadas son verdaderas.
• Resuelve correctamente
la mitad de las operaciones
dadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las potencias
en la mitad de los casos.
• Determina correctamente
si menos de tres de las
igualdades dadas son
verdaderas.
• Resuelve correctamente
menos de la mitad de las
operaciones dadas.
• Aplica incorrectamente las
propiedades de las potencias
en la mayoría de los casos.
• Aplica correctamente las
propiedades de las potencias
en todos los casos.
• Calcula correctamente
todas las expresiones dadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las potencias
en la mayoría de los casos.
• Calcula correctamente
más de seis expresiones.
• Aplica correctamente las
propiedades de las potencias
en la mitad de los casos.
• Calcula correctamente seis
expresiones.
Aplica incorrectamente las
propiedades de las potencias
en la mayoría de los casos.
Calcula correctamente
menos de seis expresiones.
• Comprende el enunciado
de cada problema.
• Traduce correctamente a
lenguaje algebraico el
enunciado de cada problema.
• Resuelve correctamente
los dos problemas.
• Da respuesta a los dos
problemas.
• Comprende el enunciado
de cada problema.
• Traduce correctamente a
lenguaje algebraico el
enunciado de los dos
problemas.
• Resuelve correctamente un
problema y el otro está
incompleto o medianamente
correcto.
• Da respuesta a un problema.
• Comprende el enunciado
de un problema.
• Traduce correctamente a
lenguaje algebraico el
enunciado de un problema.
• Resuelve correctamente
un problema.
• Da respuesta a un
problema.
• No comprende el
enunciado del problema.
• No traduce correctamente
a lenguaje algebraico el
enunciado de cada problema.
• Resuelve incorrectamente
los dos problemas.
• No da respuesta a los
problemas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las raíces en
todos los casos.
• Calcula correctamente
todas las expresiones dadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las raíces en
la mayoría de los casos.
• Calcula correctamente
más de cuatro expresiones.
• Aplica correctamente las
propiedades de las raíces en
la mitad de los casos.
• Calcula correctamente
cuatro expresiones.
• Aplica incorrectamente las
propiedades de las raíces en
la mayoría de los casos.
• Calcula correctamente
menos de cuatro expresiones.
Números y raíces
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Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el concepto de
número primo, lo cual dificulta la realización del ítem. Para remediar esta situación,
podría recordarles cuáles son los números primos y darles algunos ejemplos.
Además, muestre a sus estudiantes cómo descomponer un número como producto
de factores primos. Un buen ejercicio sería mostrar varias descomposiciones y
pedir a los estudiantes que las analicen y determinen si estas son descomposiciones
primas de ciertos números.
En los ítems 2, 3 y 5 podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden las
prioridades de las operaciones ni las propiedades de las potencias y de las raíces, lo
cual complicaría el desarrollo correcto de los ejercicios presentados. Para ayudarlos,
recuérdeles cuáles son las prioridades de las operaciones y muéstreles su aplicación
en diversos ejercicios de distinta dificultad, para que puedan distinguir las prioridades
adecuadas. Sería conveniente que presentara a sus estudiantes ejercicios resueltos
que contengan algún tipo de error en el procedimiento para que ellos puedan
detectarlo, y de esta forma se familiarizarán con las prioridades y podrán aplicarlas
de forma correcta en el futuro. Del mismo modo, recuerde a sus alumnos y
alumnas las propiedades de las potencias y de las raíces, muestre su utilidad e ilustre
diversos ejemplos, para que las recuerden. Es importante hacer notar que un mismo
ejercicio se puede resolver aplicando distintas propiedades.
Evaluación de conocimientos
previos.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar antes de comenzar la
unidad, a modo de introducción.
42
En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no recuerden cómo calcular el
área y perímetro de un cuadrado y el volumen de un cubo, lo que impediría la
correcta resolución de los problemas. Para remediar esta situación, podría recordar
cómo realizar estos cálculos, entregándoles las fórmulas correspondientes,
acompañadas de algunos ejemplos cotidianos.
En el ítem 5, podría ocurrir que los y las estudiantes no recuerden propiedades
básicas de las raíces cuadradas. Si lo considera necesario, lleve a cabo un ejemplo
donde descomponga la cantidad en dos factores y luego en dos raíces (el problema
inverso al pedido).
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINAS 16 - 17
Números racionales en la recta numérica
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Una afirmación simple de recordar es que dados dos números racionales cualesquiera
siempre existe otro número racional entre ambos. En términos de orden, corresponde
a afirmar que dados dos números racionales distintos existe otro mayor que el menor
y menor que el mayor. Para probar lo anterior, puede indicar que para encontrar un
número racional que esté entre otros dos, basta con sumar los dos números y tomar
la mitad. Si los números originales eran a y b, la semisuma
a+b
será
y ese número se representa como el punto medio del segmento ab.
2
a+b
Es simple demostrar que el número
está entre a y b. En efecto, si a < b,
2
se suma a ambos lados a y se obtiene 2a < a + b, por lo que dividiendo por 2
a+b
la desigualdad, se obtiene a <
. También, a partir de a < b, se suma b
2
a ambos lados de la desigualdad y se obtiene que a + b < 2b, de donde se
a+b
concluye que
< b. Observe que esto es válido para dos números reales
2
cualesquiera (propiedad de densidad).
PÁGINAS 18 - 19
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Representar y
verificar.
2
Clasificar.
Números irracionales
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Los alumnos y alumnas ya han trabajado con números irracionales, su operatoria y
propiedades, el objetivo de estas páginas es abordarlos desde su perspectiva histórica,
aprovechando, además, el teorema de Pitágoras para representarlos geométricamente.
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Clasificar.
Actividades complementarias
2y3
Calcular y clasificar.
1. ¿Cuál es la expresión correcta?
4
Calcular y ordenar.
a2 + b > a +
b
2a
o
a2 + b < a +
b
2a
2. Verifica, sin usar calculadora, la notable aproximación encontrada por Herón,
célebre ingeniero alejandrino del año 100 d. C., para el número irracional π.
35 312
32 647
π
<
<
67 441
62 351
6
No se conocen los detalles de cómo obtuvo este sabio esta prodigiosa desigualdad.
3. ¿Existirán números positivos a y b tal que
a + b sea un número natural?
4. El número 3 – 2 2 · 3 + 2 2 , ¿es irracional?
Ampliación de conceptos
numéricos y de operatoria.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como complemento a
la introducción de los números
irracionales.
Números y raíces
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Comentarios
• El aporte de la Historia de la
Matemática en la entrega de los
contenidos es muy valioso y sin
duda enriquece el proceso de
enseñanza-aprendizaje. Situar a los
y las estudiantes en el contexto
histórico, presentarles, por ejemplo,
las distintas formas en que el ser
humano ha aproximado números
irracionales son elementos que
tienden a crear un ambiente
favorable al aprendizaje.
5. Sea AB = a el trazo que está dividido por el punto P en dos segmentos de
los cuales PA > PB. Para que P divida al trazo AB en sección áurea, debe
cumplirse que: PA : AB = PB : PA.
x
A
Por lo tanto:
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y2
Reconocer/identificar
y calcular.
3
Ordenar.
4
Evaluar.
PÁGINAS 22 - 23
En tu cuaderno
Actividad
44
Habilidades que
se desarrollan
1
Calcular.
2
Calcular.
3
Reconocer/identificar
y calcular.
P
B
x
a–x
=
a
x
a. Resuelve y comprueba que:
PA =
a(
a
5 – 1) y PB = (3 –
2
2
b. Calcula
PÁGINAS 20 - 21
a–x
5)
PA
. ¿A qué conjunto numérico pertenece el número obtenido?
PB
Números reales
Indicaciones para el docente
Es importante considerar a los números reales como los números formados por
los racionales y los irracionales y abordar diversos tipos de problemas que
involucran números reales y que requieren la aplicación de los procedimientos y
propiedades de las operaciones.
También, se sugiere mencionar que los números reales seguirán apareciendo de
aquí en adelante permanentemente y que son fundamentales en la construcción
de conceptos como el de función y en la generalización de algunos resultados.
Aproximación de un número irracional
Indicaciones para el docente
Sería interesante mencionar como motivación que, en cálculos concretos motivados
por aplicaciones, es común usar aproximaciones que representen a los números
decimales infinitos involucrados. Un computador, por ejemplo, si no está llevando
a cabo una operación simbólica, debe representar un número irracional por una
secuencia finita de números enteros (de otro modo requeriría una ¡memoria
infinita!). Es decir, debe hacer una aproximación. La precisión adecuada para tal
objeto dependerá del contexto de la aplicación. Desde el punto de vista práctico,
los métodos para aproximar son de gran importancia. Los párrafos introductorios
de la unidad darán a los alumnos y alumnas una buena idea de la importancia de
hacer una aproximación adecuada. En este contexto, puede plantear como tarea
el problema 1 de las actividades complementarias.
| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
Actividades complementarias
1. Se desea pintar un estanque de agua cilíndrico de 100 m de diámetro. ¿Cómo
afectaría la aproximación usada para π al cálculo de la cantidad de pintura
necesaria para el proyecto? Usa las aproximaciones usadas por Tatiana en la
página 22 del Texto. ¿Es posible que quede “demasiada” superficie sin pintar si
la aproximación usada es “gruesa”?
2. ¿Hasta qué cifra decimal es exacta la aproximación hecha por los hindúes
(300 a.C.) en la expresión
4 2+ 2
≈
?
3
π
3. Usando la aproximación: a2 + b ≈ a +
PÁGINA 24
b
, calcula
2a
45 y 5 .
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y
alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como
una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro
Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: clasificar los números dados en racionales e irracionales.
Ítem 2: determinar entre qué números enteros se ubican los números irracionales
del ítem anterior.
Ítem 3: ordenar de mayor a menor los grupos de números dados.
Ítem 4: ordenar de menor a mayor los números dados.
Ítem 5: aproximar por exceso y por defecto los números dados.
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1y2
Calcular y clasificar.
3, 4 y 5
Clasificar.
Para los ítems 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de
conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
2
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Calcula correctamente
el valor de todas las
expresiones dadas.
• Clasifica correctamente
todos los números dados
en racionales e irracionales.
• Calcula correctamente el
valor de más de tres
expresiones dadas.
• Clasifica correctamente
más de tres de los números
dados en racionales e
irracionales.
• Calcula correctamente el
valor de tres expresiones
dadas.
• Clasifica correctamente
tres de los números dados
en racionales e irracionales.
• Calcula correctamente el
valor de menos de tres
expresiones dadas.
• Clasifica correctamente
menos de tres de los
números dados en
racionales e irracionales.
• Determina entre qué
números enteros se ubican
todos los números
irracionales del ítem anterior.
• Determina entre qué
números enteros se ubican
más de tres de los números
irracionales del ítem anterior.
• Determina entre qué
números enteros se ubican
tres de los números
irracionales del ítem anterior.
• Determina entre qué
números enteros se ubican
menos de tres de los
números irracionales del
ítem anterior.
Números y raíces
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• Calcula correctamente
el valor de todas las
expresiones dadas.
• Ordena correctamente de
mayor a menor todos los
grupos de números dados.
• Calcula correctamente
el valor de todas las
expresiones dadas.
• Ordena correctamente de
mayor a menor más de dos
grupos de números dados.
• Calcula correctamente el
valor de la mayoría de las
expresiones dadas.
• Ordena correctamente de
mayor a menos dos grupos
de números dados.
• Calcula correctamente el
valor de la mitad o menos
de las expresiones dadas.
• Ordena correctamente de
mayor a menor menos de
dos grupos de números
dados.
• Calcula correctamente
el valor de todas las
expresiones dadas.
• Ordena correctamente de
menor a mayor todos los
números obtenidos.
• Calcula correctamente el
valor de las expresiones
dadas cometiendo un error.
• Ordena correctamente de
menor a mayor los
números, cometiendo un
error.
• Calcula correctamente el
valor de las expresiones
dadas cometiendo dos o
tres errores.
• Ordena correctamente de
menor a mayor los
números, cometiendo dos o
tres errores.
• Calcula correctamente el
valor de las expresiones
dadas cometiendo más de
tres errores.
• Ordena correctamente de
menor a mayor los
números, cometiendo más
de tres errores.
• Aproxima correctamente
por exceso y por defecto
los resultados obtenidos.
• Aproxima correctamente
por exceso y por defecto
más de tres de los
resultados obtenidos.
• Aproxima correctamente
por exceso y por defecto
tres de los resultados
obtenidos.
• Aproxima correctamente
por exceso y por defecto
menos tres de los resultados
obtenidos.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En los ítems 1 y 2, es importante enfatizar en las prioridades de las operaciones y
la eliminación de paréntesis para reducir las expresiones dadas, y con ello obtener
conclusiones acertadas sobre el tipo de número que es: racional o irracional. Estos
simples puntos permitirán que sus estudiantes puedan simplificar procedimientos,
ya que en muchos casos se eliminarán expresiones más complejas.
En los ítems 3 y 4, sus estudiantes podrían tener inconvenientes para dividir
números decimales y, por ello, obtener resultados incorrectos, lo cual provocaría
errores al ordenar los números dados. Para evitar esto, es conveniente recordar y
practicar constantemente diversos procedimientos para dividir números decimales,
para que cada estudiante pueda optar por el método que le resulte más adecuado.
En el ítem 5, se sugiere que muestre a sus estudiantes cómo utilizar la calculadora
con números irracionales, sobre todo para que noten la diferencia al trabajar con
calculadoras no científicas y científicas, pues esta última respeta las prioridades de
las operaciones y la primera no, situación que produce resultados erróneos al
seguir una secuencia de izquierda a derecha.
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINAS 25 - 26
Raíces cuadradas y raíces cúbicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
En estas páginas se presenta la definición de la raíz cuadrada de un número a,
representada por a . Recuerde que este tema lo trabajaron en cursos anteriores.
El trabajo algebraico con raíces cuadradas se realiza a través de situaciones que
involucran no solo la resolución algebraica, sino también el análisis de sus soluciones.
Es conveniente hacer énfasis en que, al contrario de lo que sucede con las raíces
cuadradas, todo número real a posee una raíz cúbica.
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Representar y aplicar.
2
Evaluar y justificar.
3
Representar, evaluar
y aplicar.
Recuerde a sus estudiantes que las raíces cuadradas pueden ser construidas con
regla y compás, sobre una recta numérica. Sin embargo, las raíces cúbicas no
pueden ser construidas con regla y compás, al igual que el famoso problema de la
trisección de un ángulo, que no puede ser resuelto utilizando estos implementos.
2
Es conveniente precisar que para b ≥ 0 las soluciones de la ecuación x = b son los
números reales
b y – b ; y que no hay solución real para valores negativos de b.
• Verifique mediante ejemplos numéricos que la relación a + b = a + b no
se cumple.
Actividades complementarias
1. Encuentra el radio de una esfera cuyo volumen es 64π.
2. Encuentra la arista de un cubo el cual tiene el mismo volumen que el cilindro,
de radio igual al radio de la esfera anterior (ejercicio 1) y de altura igual a la
mitad del radio.
3. Investiga sobre la siguiente pregunta. ¿Es verdad que la suma de las raíces cúbicas
de dos números es otra raíz cúbica? Fundamenta tu respuesta.
PÁGINAS 27 - 28
Ubicación de raíces en la recta numérica
Indicaciones para el docente
A partir de las actividades propuestas, guíe a sus estudiantes a reconocer las
diferencias entre un número racional y un irracional. Además, sería interesante
hacer nuevas reflexiones sobre el tema de las aproximaciones decimales.
Actividades complementarias
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Representar.
2
Representar y
justificar.
Puede proponer que, con el apoyo de una calculadora, encuentren entre qué
números se ubican las raíces cuadradas de 0,4; 0,04; 0,9 y 2,5, entre otras.
Números y raíces
|
47
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PÁGINAS 29 - 30
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Analizar y aplicar.
Irracionalidad de algunas raíces cuadradas
Indicaciones para el docente
En esta sección se presenta una antigua demostración que se remonta a Euclides
(en el año 300 a.C): la irracionalidad de 2 . La demostración puede resultar difícil
de entender a sus alumnas y alumnos. Para guiarlos a través de ella, será necesario
primero lograr una buena compresión del método de demostración (ver Glosario,
página 29) acentuando que, si se ha pensado correctamente, las contradicciones
son imposibles (la Lógica nos dice que las proposiciones o son verdaderas o son
falsas, pero no ambas). Si se ha llegado a una contradicción es por una equivocación:
justamente suponer que la hipótesis era falsa.
Actividades complementarias
1. Probar que si a y b son números racionales, entonces a + b 2 es un número
irracional. ¿Puede el producto de dos de tales números ser racional?, ¿y su suma?
2. Probar que 3 2 es un número irracional.
x
3. Probar que no existe un número racional tal que 2 = 3.
PÁGINAS 31 - 32
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Evaluar y justificar.
Raíces enésimas
Indicaciones para el docente
Aquí se introduce el concepto de raíz enésima de un número real, para
posteriormente establecer sus propiedades y su relación con potencias de
exponente racional. Además, se proponen actividades para que los y las estudiantes calculen la raíz enésima de casos particulares.
Actividades complementarias
1. Determine si existen las siguientes raíces o sumas de raíces.
Aprender a diferenciar
expresiones racionales de
las irracionales.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al finalizar el análisis de
irracionales y propiedades de
las potencias.
a.
6
4096
c.
b.
6
–1+ 2 1
d. 2 + 11 2048
5
–293
e.
3
–1331+ 5 16807
f.
6
–4096
2. Verifique o muestre en cada caso que la igualdad es cierta.
a.
10
2
2 5 = 10 1024
b. 4 81 = 9
c.
4
108 = 10 4
1
2
=
2
2
d.
3. Verifique mediante algunos ejemplos que
a.
48
n
a+b ≠ n a + n b
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b.
n
a–b ≠na – nb
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINAS 33 - 34
Cálculo de raíces enésimas y sus propiedades
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Enfatice las siguientes propiedades:
• La raíz enésima de un producto es igual a las raíces enésimas de cada uno de
los factores y recíprocamente.
• La raíz enésima de un cociente es igual al cuociente entre la raíz enésima del
dividendo y la raíz enésima del divisor, y recíprocamente.
• Una raíz cuyo índice está dado por el producto de dos factores puede
expresarse como una raíz doble que tiene como índice cada uno de los
factores y recíprocamente.
• Si en una raíz enésima se multiplica o se divide el índice y exponente por el
mismo número, el valor de la raíz no varía.
PÁGINAS 35 - 36
Actividad
1, 2, 3 y 4
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Conocer y memorizar las
propiedades de las potencias.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al repasar las propiedades
de potencias, como aprendizaje
de fórmulas
Relación entre raíces enésimas y potencias de exponente racional
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Un error frecuente es no hacer la transferencia de la representación de raíces a
las potencias, o sea, no escribir las raíces como una expresión con exponente
racional. Que los alumnos y alumnas manejen estas notaciones les facilitará
deducir propiedades de las raíces tales como n m a = n·m a y determinar la
falsedad de n m a = n+m a .
Actividades complementarias
1. ¿Qué condiciones deben satisfacer m y n para que
n·m
a=
n+m
para todo a ≥ 0 ?
a
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y3
Reconocer/identificar.
2y4
Reconocer/identificar
y calcular.
5
Calcular.
6
Aplicar.
7
Interpretar y calcular.
8
Aplicar.
2. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia.
a.
3 2
a
b.
4 5 2 −1
c.
a b
n
m
3. Si se sabe que si m y n son enteros a · a = a
que
n
m n m +n
a
n+m
, ¿se cumple
a m a = n+m a ? En caso contrario, ¿a qué es igual n a m a ?
Relacionar raíces y potencias de
exponente racional.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de haber explicado
las propiedades de las raíces y
potencias.
Números y raíces
|
49
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PÁGINAS 37 - 40
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
Actividad
Situaciones que involucran raíces
Indicaciones para el docente
Es probable que las ecuaciones con radicales resulten difíciles de manejar a sus
estudiantes. Ellos deben entender que pueden existir problemas que no tengan
1
Calcular y verificar.
2, 3, 4 y 5
Evaluar y analizar.
de x, se obtiene que ¡1 = –1!, por lo que no existe un número real x que cumpla
6
Calcular.
la ecuación planteada. La ecuación es en sí contradictoria. Otra forma en que
7
Aplicar.
solución. Por ejemplo 3 1+ x = 3 x – 1 , al elevar al cubo y cancelar las raíces
puede reconocerse una ecuación sin solución se da en los ejemplos 2 y 3 del
Texto. Se sugiere enfatizar estos ejemplos.
2
Errores frecuentes
Se ha dicho que la ecuación x = a posee dos soluciones, una de ellas positiva a
• Es usual que erróneamente se
la que hemos llamado raíz cuadrada de a,
escriba 25 ≈ ± 5 , sabiendo que
25 = 5 y, por lo tanto, – 25 = –5.
a . La otra solución es – a .
Matemáticamente hablando, no es mejor una solución que la otra. Cuando una
ecuación cuadrática aparece en el contexto de las aplicaciones, a menudo ha de
seleccionarse la solución pertinente al problema. Por ejemplo, si se considera el
movimiento bidimensional de un proyectil, una expresión válida para la coordenada
y del proyectil es y = y –
0
1 2
gt (escogemos el origen del tiempo cuando el
2
proyectil pasa a una altura y ). Si se quiere determinar en qué momento el proyectil
0
se encuentra en el suelo (y = 0), se debe resolver (y ) ·
0
2
2
= t y ambas soluciones
g
son admisibles; corresponden a los momentos de salida y llegada del proyectil al
suelo. Si nos piden encontrar el momento en que el proyectil se encontraba a una
y
altura 0 , luego de haber alcanzado su altura máxima (y ), la ecuación a resolver
2
0
冢 冣
y
2
2
es 0 · = t , pero en este caso la solución pertinente es la positiva.
g
2
Actividades complementarias
1. El área de un cuadrado es x. Si esta es aumentada en dos unidades cuadradas,
el lado del nuevo cuadrado es igual al lado del cuadrado original más 1.
Finalmente, ¿cuál es el área del cuadrado?
2
2. Sea s la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, dada por s = 1 g · t ,
donde g es la aceleración de gravedad y t es el tiempo transcurrido.
2
a. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el primer segundo?
b. ¿Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en el tercer segundo?,
¿y en el décimo segundo?
c. Si un cuerpo se dejara caer desde 2 000 m de altura, ¿qué distancia
recorrería en el último segundo?
50
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINA 41
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el
cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem
Ítem
Ítem
Ítem
Ítem
1:
2:
3:
4:
5:
resolver operaciones con raíces cuadradas y cúbicas.
resolver operaciones con raíces enésimas.
relacionar raíces enésimas y potencias de exponente racional.
resolver ecuaciones con radicales.
aproximar raíces cuadradas.
Mi progreso
Habilidades que
se evalúan
Ítem
1, 2, 3, 4 y 5
Calcular.
Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel
de desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
2
3
4
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Realiza correctamente
todas las operaciones con
raíces.
• Determina correctamente
si todas las igualdades
presentadas son verdaderas
o falsas.
• Realiza correctamente
tres operaciones con raíces.
• Determina correctamente
si dos de las igualdades
presentadas son verdaderas
o falsas.
• Realiza correctamente
dos operaciones con raíces.
• Determina correctamente
si una de las igualdades
presentadas son verdaderas
o falsas.
• Realiza correctamente
menos de dos operaciones
con raíces.
• No determina
correctamente si las
igualdades presentadas son
verdaderas o falsas.
• Resuelve correctamente
todas las operaciones con
raíces.
• Reduce los resultados
obtenidos cuando es posible.
• Resuelve correctamente
más de tres operaciones
con raíces.
• Reduce los resultados
obtenidos cuando es posible.
• Resuelve correctamente
tres operaciones con raíces.
• No reduce los resultados
obtenidos.
• Resuelve correctamente
menos de tres operaciones
con raíces.
• No reduce los resultados
obtenidos.
• Resuelve correctamente
todas las operaciones con
potencias y raíces.
• Aplica correctamente las
propiedades de las
potencias y raíces.
• Expresa el resultado final
como una sola raíz.
• Resuelve correctamente
más de tres operaciones
con potencias y raíces.
• Aplica correctamente las
propiedades de las
potencias y raíces.
• Expresa el resultado final
como una sola raíz.
• Resuelve correctamente
tres operaciones con
potencias y raíces.
• Aplica correctamente
algunas de las propiedades
de las potencias y raíces.
• Solo en algunos casos
expresa el resultado final
como una sola raíz.
• Resuelve correctamente
menos de tres operaciones
con potencias y raíces.
• No aplica correctamente
las propiedades de las
potencias y raíces.
• No expresa el resultado
final como una sola raíz.
• Resuelve correctamente
todas las ecuaciones con
radicales.
• Las soluciones encontradas
son pertinentes a las
ecuaciones originales.
• Resuelve correctamente
tres ecuaciones con radicales.
• Las mayoría de las
soluciones encontradas son
pertinentes a las ecuaciones
originales.
• Resuelve correctamente
dos ecuaciones con radicales.
• Dos de las soluciones
encontradas son pertinentes
a las ecuaciones originales.
• Resuelve correctamente
menos de dos ecuaciones
con radicales.
• Algunas soluciones
encontradas no son
pertinentes a las ecuaciones
originales.
Números y raíces
|
51
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Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes tengan problemas para operar
con raíces debido a que no están familiarizados con las propiedades de las raíces
y su utilidad para reducir expresiones, y que las apliquen de manera incorrecta.
Es importante que los alumnos y alumnas conozcan y manejen perfectamente
cada una de las propiedades de las raíces y de las potencias, para ello es
importante que las recuerde a través de variados ejemplos. Enfatice en la
inexistencia de propiedades para las operaciones de adición y sustracción cuando
trabajamos con raíces.
En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar con potencias no
simplifiquen los resultados obtenidos y con ello las raíces obtenidas sean más
complicadas. Para evitar esto, recuerde la importancia y utilidad de simplificar
cuando sea necesario, pues de este modo se obtienen expresiones más simples.
Por otro lado, es importante que mencione la utilidad que tiene amplificar
fracciones para obtener fracciones con igual denominador y con esto poder
reducir expresiones a una sola raíz.
En el ítem 4, al resolver ecuaciones con radicales puede ocurrir que los y las
estudiantes no apliquen adecuadamente las prioridades de las igualdades o no presten
atención a si las soluciones encontradas son correctas respecto de las ecuaciones
planteadas. Es fundamental que comprendan cómo resolver este tipo de ecuaciones
de manera correcta y verifiquen las soluciones encontradas. Para ello, ejercite con los
y las estudiantes diversas ecuaciones con radicales, que presenten distintos niveles de
dificultad y, además, verifique las soluciones que se obtienen.
PÁGINAS 42 - 45
En tu cuaderno
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Logaritmos
Indicaciones para el docente
Para abordar el tema de los logaritmos, se propone a los y las estudiantes calcular
algunas multiplicaciones sin la ayuda de una calculadora. Insista en que deben
resolverlas con lápiz y papel, se pretende que con algunos ejercicios aprecien lo
difícil y engorroso que podía volverse calcular una simple multiplicación antes de
la invención de las calculadoras. Después, se sugiere que resuelvan estas
multiplicaciones observando las tablas de potencias presentadas, como un
acercamiento a lo que fueron las tablas de logaritmos.
Es importante que enfatice a sus alumnos y alumnas que los logaritmos están
definidos únicamente para valores positivos tanto del argumento como de la base
del logaritmo. Insista en la relación entre los logaritmos y las potencias, ya que
escribiendo la ecuación exponencial correspondiente pueden comprender qué se
les está pidiendo y calcular el logaritmo.
52
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
Actividades complementarias
1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.
a. log2 64
d. log13 2197
b. log325 325
e. log19 361
c. log2 256
f. log0,4 0,064
2. Halla el argumento de los siguientes logaritmos.
a. log6 x = 1
d. log0,05 x = 3
b. log2 x = 5
e. log0,25 x = –2
c. log10 x = –4
f. log3 x = 60
3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a. log2 512 + log3 243 – log8 64
b. –5 log8 64 + 7 log7 49 – 3 log10 100
c. 6 log9 81 – 3 log10 10 000 + 4 log0,2 0,04
PÁGINAS 46 - 47
Propiedades de los logaritmos
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
En estas páginas, se muestra que tal como se relacionan los valores de una potencia con
los de su correspondiente raíz enésima, estos valores también pueden representarse
utilizando logaritmos. Una forma que tienen sus estudiantes de verificar que esto se
cumple es leer cada expresión según su definición:
Actividad
1, 2 y 3
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
• loga b = c, dice que “c es el exponente de la potencia de base a para
obtener b”.
c
• a = b, dice que “b es el valor de la potencia de base a y exponente c”.
• a = c b , dice que “a es la base de la potencia que, con exponente c, tiene
valor b”.
Las propiedades de los logaritmos se abordan a partir de la definición de logaritmo
y las propiedades de las potencias. Enfatíceles que siempre el valor de a, la base,
debe ser positivo y distinto de 1.
Actividades complementarias
1. Utiliza la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo con
respecto a la base indicada y calcula su valor.
a. log32 8; a base 2.
c. log361296; a base 6.
b. log9 27; a base 3.
d. log9 6561; a base 3.
Números y raíces
|
53
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2. Aplicando la propiedad de cambio de base, calcula los siguientes logaritmos sin
usar calculadora.
PÁGINAS 48 - 49
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
a. log49 343
c. log169 2197
b. log225 15
d. log27 81
Propiedades de las operaciones de los logaritmos
Actividad inicial
1
Desarrollar.
2
Reducir.
En estas páginas se muestra que, a partir de las propiedades para las operaciones con
potencias, se pueden establecer propiedades para las operaciones con logaritmos.
Enfatice a sus estudiantes que al aplicar logaritmos, el producto se relaciona con la
suma y el cociente con la resta, para que no cometan los errores que se mencionan
en la sección No olvides que...
3
Calcular y evaluar.
Actividades complementarias
Actividad
1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos.
a. log2 (8 · 32)
c. log3
冢 81 冣
b. log5 (25 · 125)
d. log 1
冢
7
27
343 · 49
7
冣
2. Escribe cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia
de logaritmos.
x
a. loga
yz
b. logb
xy
z
2
c. loga (x – 6x + 9)
⎛ 3⎞
⎜ 5⎟
d. logb ⎜ a ⎟
⎝ c4 ⎠
3
3
e. logb (x – y )
f. logm
b a
c3
3. Expresa como un solo logaritmo.
a. 4 loga x – 3 loga y + 1
2
b. loga (x – 81) – loga (x – 9)
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3
3
c. logm (a + b ) – 2 logm (a + b)
3
7
4
d. 3 (logm a – logm d ) – 4 logm b
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
4. Sabiendo del log 2 = 0,30, log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69, calcula los siguientes
logaritmos sin usar calculadora.
a. log 6
b. log
d. log 0,024
5
3
e. log
c. log 0,125
f. log
PÁGINAS 50 - 52
4
27
5
36
4
27
Ecuaciones logarítmicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados
para resolver ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, es recomendable
convertirla en otra equivalente en la cual no aparezcan logaritmos, para esto, se ha de
intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: logb f(x) = logb g(x). Entonces
empleamos antilogaritmos (pues la función logaritmo es uno a uno) para simplificar la
ecuación obteniendo f(x) = g(x), que se resuelve con los métodos habituales. También
se puede aplicar propiedades de los logaritmos en la ecuación logarítmica para obtener
m
una ecuación equivalente del tipo: logb f(x) = m, de donde se obtiene que f(x) = b , para
luego resolver en forma habitual.
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Actividades complementarias
1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los
valores obtenidos satisfacen la ecuación.
a. log (x + 4) + log (x – 6) = 2 log (x – 2)
b. log (6x + 5) + log (x + 7) = log (3x + 4) + log (2x + 5)
2
c. log (x + 8) + log (x + 4) = log (x + 8x + 24)
2
3
d. 3 log x + log x + log x – 4 log x = 2
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas.
Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen el sistema.
a.
log2 x + log2 y = 5
3
4
log2 x – log2 y = 8
b. 21 log2 x + 35 log3 y = 112
–20 log2 x – 35 log3 y = –110
5
3
4
2
c. log3 x + log3 y = 13
log3 x – log3 y = 6
d. 5 log2 x + 3 log3 y = 8
4 log2 x – 7 log3 y = –3
Números y raíces
|
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PÁGINAS 53 - 54
En tu cuaderno
Actividad
1, 2 y 3
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
4
Calcular e investigar.
5
Calcular, analizar y
demostrar.
Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas
Indicaciones para el docente
Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de sonido,
llamadas belio y decibeles, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Así
un decibel se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal (base
10) del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada
como referencia.
La escala de medida Richter, para la intensidad de un sismo, utiliza una escala
logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no
corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial,
es decir, un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que un terremoto
de grado siete y cien veces menor que uno de grado ocho.
Posibles dificultades en las actividades
Al resolver los problemas, los alumnos y alumnas necesitarán utilizar una calculadora
científica para poder determinar algunos valores. Es conveniente que solicite la
calculadora como material indispensable para dicha clase, o bien que escriba en la
pizarra los valores asociados a los problemas, para que los y las estudiantes trabajen
correctamente.
Actividades complementarias
1. Encuentra 冤H +冥 aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH.
a.
b.
c.
d.
Plátanos, pH = 5
Amoníaco doméstico, pH = 11,9
Huevos, pH = 8
Levadura, pH = 8,4
2. El terremoto ocurrido el 21 de abril de 2007, en el fiordo de Aisén, fue de 6,3
grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo?
56
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINAS 55 - 58
Herramientas tecnológicas
Para facilitar el uso de las herramientas tecnológicas computacionales propuestas,
presentamos un tutorial para instalar y utilizar el programa GeoGebra.
En tu cuaderno
Habilidades que se desarrollan
Tutorial de instalación del programa
Usar herramientas, interpretar,
analizar y aplicar.
GeoGebra es el software que se utilizará en esta Unidad. El programa es de libre
disposición en Internet y se puede encontrar en la página www.geogebra.org
Antes de comenzar su clase, es recomendable que previamente instale el programa
en cada uno de los computadores que se van a utilizar, para prevenir dificultades en
el proceso de instalación. Por ejemplo, es posible que los computadores tengan
autorización solo del administrador para instalar programas; esto evita que los y las
estudiantes bajen programas para fines no académicos en los computadores. En este
caso, solicite al administrador de los computadores su autorización para instalar el
programa.
Luego, debe verificar si cada computador cuenta con conexión a Internet. Si es así,
ingrese a la página www.geogebra.org y siga los pasos que se señalan en la página 55
del Texto del Estudiante.
En caso contrario, puede descargar el programa de algún computador que sí tenga
conexión y después copiarlo en los demás. Para esto verifique si el computador
tiene puerto USB o lector de CD. En cada caso necesitará grabar el programa en
un pendrive o en un CD, respectivamente.
Para descargar el programa al CD o pendrive se debe:
Ingresar a la página www.geogebra.org, y luego hacer clic en el botón Download,
tal como el de la imagen.
Después, se abrirá una página donde se muestran varias opciones de descarga, según
el sistema operativo de cada computador. Si los computadores que va a utilizar usan
Windows, haga un clic sobre la opción
y luego elija guardar. Se recomienda traspasar el archivo al escritorio del computador,
para después copiarlo a un CD o pendrive. El archivo tiene un tamaño de 14,9 MB,
por lo que la descarga demorará entre 10 y 30 minutos, dependiendo de la rapidez
de la conexión a Internet que disponga.
Posteriormente, abra el archivo en cada uno de los computadores que necesita,
haciendo doble clic sobre el ícono, y siguiendo los pasos de instalación que
aparecen en pantalla.
Números y raíces
|
57
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a)
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Tutorial de uso del programa
a) Todas las funciones, una vez que son graficadas aparecen en la
ventana de vista algebraica y en la de vista gráfica. En la ventana
de vista algebraica, se puede desactivar la gráfica alguna de las
funciones, presionando el botón verde que aparece junto a la
función y dejándolo en blanco.
Si al escribir la función, no se ve su gráfica, entonces se necesita
realizar un acercamiento o zoom, de la siguiente manera:
b)
b) En la barra de herramientas, que aparece en la parte superior
de la ventana, se encuentra el botón Desplazar Vista Gráfica.
Esta herramienta permite desplazar todo el plano cartesiano,
así como también permite alejarse
o acercarse
para
observar los puntos o las gráficas de las funciones.
c)
c) Si desea cambiar la graduación de los ejes, debe ingresar en
barra de menú a Opciones y luego Vista Gráfica.
d) Luego, se desplegará una ventana donde puede realizar las
variaciones que considere pertinentes en los ejes X e Y.
Seleccione el eje que va a modificar.
Si selecciona 1, entonces aparecen los valores 1, 2, 3, 4, 5, etc.,
en eje seleccionado. Si selecciona 5, entonces aparecen los
valores 5, 10, 15, 20, etc., en ese eje.
Razón entre los ejes X e Y. Si se escribe 1 : 2, entonces en el
plano cartesiano la distancia correspondiente a 1, en el eje X,
corresponde a 2 en el eje Y.
d)
Permite especificar el intervalo de valores que aparecen en la
vista gráfica de cada eje.
58
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
PÁGINA 59
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y
alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como
una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro
Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias.
Ítem 2: Calcular logaritmos.
Ítems 3 y 4: Aplicar propiedades de los logaritmos.
Ítem 5: Resolver ecuaciones logarítmicas.
Ítem 6: Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.
Ítem 7: Reconocer propiedades de los logaritmos.
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1
Aplicar.
2
Calcular.
3y4
Representar.
5
Interpretar, calcular y
verificar o comprobar.
Posibles dificultades en la evaluación
6
Aplicar.
En el ítem 1, es posible que sus estudiantes no relacionen correctamente los valores
indicados con las filas y columnas en las que deben buscar los valores correspondientes.
Recuérdeles que cada columna corresponde a todas las potencias que tienen la misma
base. Luego, la base del logaritmo les indica en qué columna pueden buscar el valor del
argumento para calcular correctamente el logaritmo.
En el ítem 2, recuerde a los alumnos y alumnas cómo se relacionan los logaritmos y las
potencias, de modo que verbalicen los logaritmos como ecuaciones exponenciales, por
ejemplo, log6 216 se puede leer: ¿Cuál es el exponente de la potencia de base seis, tal
que el valor de la potencia es 216?
En el ítem 3, un error frecuente es que los y las estudiantes apliquen algunas
propiedades, pero no desarrollen exhaustivamente la expresión. Enfatíceles que
deben transformar todas las raíces, potencias, productos y cocientes que tenga el
argumento del logaritmo.
En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas cometan errores respecto de la
prioridad de las operaciones. Recuérdeles que si no hay paréntesis, se resuelven
primero los productos y cocientes y después las sumas y restas, siempre de izquierda
a derecha.
En el ítem 5, enfatice a sus estudiantes que siempre deben verificar la solución
algebraica en la ecuación original y constatar que los todos logaritmos que tenga la
ecuación estén bien definidos, esto es, su argumento sea positivo. En caso contrario,
esta solución no satisface la ecuación.
En el ítem 6, los alumnos y alumnas necesitarán de una calculadora científica para
calcular el valor correspondiente a la solución; en caso de no tener acceso a dichos
dispositivos, se sugiere que ellos y ellas escriban la expresión que les permitiría
obtener el resultado, lo más simple posible.
En el ítem 7, enfatice que para justificar que una afirmación es falsa, basta mostrar
un contraejemplo. En cambio, para justificar que es verdadera, se debe argumentar
matemáticamente, es decir, con una demostración.
7
Analizar y justificar.
Números y raíces
|
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A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar el desempeño
de sus estudiantes en la evaluación formativa.
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
1
• Calcula correctamente
todos los logaritmos,
utilizando la tabla vista
en la Unidad.
• Calcula correctamente
todos los logaritmos, por
inspección.
• Calcula correctamente uno
o dos logaritmos.
• No comprende cómo
utilizar la tabla de
potencias para calcular
los logaritmos.
2
• Calcula correctamente
• Calcula correctamente
todos los logaritmos,
todos los logaritmos, por
mediante la ecuación
inspección.
exponencial correspondiente.
• Calcula correctamente
algunos logaritmos, porque
comete errores numéricos.
• No relaciona los
logaritmos con
las potencias
correspondientes.
3
• Desarrolla correctamente • Desarrolla ambas
ambas expresiones,
expresiones, pero comete
aplicando las propiedades.
errores al aplicar
las propiedades.
• Desarrolla una o ambas
• Desarrolla una o ambas
expresiones, pero comete
expresiones, pero
errores numéricos o de signos comete errores al
al aplicar las propiedades.
aplicar las propiedades.
4
• Reduce correctamente
ambas expresiones,
aplicando las propiedades.
• Reduce correctamente al • Reduce correctamente al
menos dos expresiones,
menos dos expresiones,
pero comete errores al
pero comete errores
aplicar las propiedades.
numéricos o de signos.
• Reduce una o ambas
expresiones, pero
comete errores al
aplicar las propiedades.
5
• Resuelve correctamente
todas las ecuaciones
logarítmicas.
• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente
todas las ecuaciones
a lo menos dos de
logarítmicas, pero no
las cuatro ecuaciones
comprueba sus soluciones.
logarítmicas.
• Resuelve correctamente
una o ninguna de las
ecuaciones logarítmicas.
6
7
• Responde correctamente • Plantea y resuelve
• Plantea correctamente
el problema, planteando la correctamente todas las
la ecuación, pero
ecuación y resolviéndola
ecuaciones que le permiten
comete errores al
correctamente.
dar respuesta a cada una de despejar la incógnita,
las preguntas, pero necesita
obteniendo un valor
orientación para
incorrecto. Aun así, formula
comprender el problema y
una respuesta para
elaborar la respuesta.
responder la pregunta.
• Comete errores en el
planteamiento de la
ecuación que resuelve
el problema.
• Marca la alternativa en
• Marca la alternativa en
forma correcta justificando forma correcta, pero no
su decisión.
justifica su decisión.
• Marca una alternativa
incorrecta o la omite.
PÁGINAS 60 - 61
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1 (Pág. 44)
Interpretar, seleccionar
y aplicar.
1 (Pág. 45)
Interpretar, seleccionar
y aplicar.
60
• Puede decidir si algunas de las
afirmaciones es verdadera,
pero no logra determinar la
respuesta correcta.
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin
embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para
que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además,
esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que
permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda
que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender,
planificar, resolver y revisar.
| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para
evaluar la resolución de problemas planteados.
Logro, aplicación
Comprensión
del problema o
situación
En proceso, logro parcial
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
No comprende
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete
parte del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
conceptos
o algoritmos cuando usa
símbolos.
• Conecta cómo y por qué.
• Aplica el concepto a
problemas o a
situaciones nuevas.
• Hace y explica conexiones.
• Realiza lo pedido y va más allá.
• Demuestra un entendimiento
parcial o satisfactorio.
• Puede demostrar y explicar
usando una variedad de
modos.
• Está listo para hacer
conexiones acerca de cómo
y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimiento y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
• Chequea racionalidad de los
resultados.
• Reconoce sin razones.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
Actividades complementarias
1. El número de días de un año no bisiesto, 365, es un número muy especial. Es el
único que corresponde a la suma de tres cuadrados de números consecutivos y
también es la suma de los siguientes dos cuadrados. ¿Cuáles son estos números?
2. Da valores a las siguientes letras para que se verifique cada igualdad.
2
a. (AA) = ALA
b.
PAPI = SI
3. Los siguientes números irracionales se inventaron siguiendo una regla.
Descúbrela, escríbela y aplícala para encontrar las cinco cifras decimales que
siguen en cada caso.
a. 0,102103210…
c. 5,1525354…
b. 10,212031304140…
d. 1,1010010001…
Números y raíces
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PÁGINAS 62 - 63
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y2
Aplicar.
3y4
Analizar, aplicar y
conectar.
Investiguemos...
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Evaluar.
2
Analizar.
3
Conectar y seleccionar.
4
Analizar, aplicar y
representar.
PÁGINAS 64 - 65
Síntesis de la Unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar.
En terreno
Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar algunos de los contenidos
de la unidad con alguna aplicación o trabajo práctico. La unidad plantea construir
en forma geométrica una aproximación del numero π.
Podría sugerir a sus estudiantes, además, encontrar un valor aproximado para π,
usando un papel cuadriculado o un programa para graficar (Graphmatica es
una buena opción). Recuerde a sus alumnos y alumnas que un círculo de radio
1 unidad tiene un área de π unidades2. Pídales que piensen en qué factor
determinará que la aproximación encontrada por este método sea buena. Pueden
usar una calculadora y/o computador para verificar.
Para complementar esta actividad, podría pedirles que investiguen acerca de
métodos no geométricos de aproximar π. Una expresión para tener en mente
es la serie:
π
1 1 1
= 1– + – + ...
4
3 5 7
Pídales que exploren qué tan buenas aproximaciones de π se logran a medida
que se toman cada vez más términos de la serie. Para comparar, pueden usar
valores calculados con un computador (la mayoría de los sistemas operativos
poseen una calculadora científica como accesorio).
Haga notar las aproximaciones en términos de números racionales dadas en la
introducción a la sección. Realmente, en la construcción de los números reales
está involucrada la idea de aproximar mediante números racionales. Recuerde
que los números enteros fueron construidos a partir de los naturales y los
racionales a partir de estos últimos. Los números irracionales también pueden
ser construidos a partir de los racionales como una especie de límite de una
secuencia de números racionales. La construcción usada es menos elemental que
las ya conocidas. Una referencia al respecto se encuentra el libro de M. Spivak,
Cálculo infinitesimal, segunda edición, Editorial Reverté, 1992, Capítulo 28.
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y
alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos
trabajados en toda la unidad. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica
de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus
aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado
sus estudiantes.
En esta sección, los y las estudiantes resumen y organizan a través de un mapa
conceptual los conceptos fundamentales trabajados en la unidad.
Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácter
conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos
trabajados en la unidad.
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
• ¿Es posible ubicar números irracionales en la recta numérica? ¿Cómo lo harías?
Da un ejemplo.
• ¿Puedo expresar un número irracional como fracción?, ¿por qué?
• ¿Qué tipo de número decimal es un número irracional?
• ¿Qué números irracionales conoces? Da algunos ejemplos.
• ¿Todas las raíces son números irracionales? Explica.
• ¿Es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo? Explica.
• ¿Siempre se puede calcular la raíz cúbica de un número negativo? Explica y da
algunos ejemplos para justificar tus respuestas.
• ¿Qué relación existe entre las potencias y las raíces?
• ¿Qué propiedades de las raíces conoces?
• ¿Qué es racionalizar una expresión?
• ¿Para qué sirve la racionalización?
• ¿Cómo definirías las ecuaciones con radicales?
• ¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Explica y da un ejemplo.
PÁGINAS 66 - 67
Repasar conceptos y definiciones
claves de la Unidad.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como síntesis para
integrar conceptos y definiciones
de la unidad.
Evaluación de la Unidad
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de 13 preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente 13 preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de 13 preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En los ítems 16, 17 y 18, se podría presentar una dificultad relacionada con
los conceptos de diagonal, perímetro y área de un cuadrado. Para ello, se
recomienda hacer un breve repaso de estos contenidos geométricos.
• En el ítem 8, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden que
cualquier número elevado a 0 es 1. Para evitar esto, se recomienda repasar esta
propiedad antes de la evaluación.
• En los ítems 1, 3, 4 y 6 puede que tengan dificultades para resolver la expresión
presentada, para ello recuérdeles las propiedades de las raíces. Es importante que
los alumnos y alumnas conozcan muy bien cada una de las propiedades, pues de
esta forma podrán trabajar de manera óptima con las raíces.
• En el ítem 5, puede ocurrir que sus estudiantes quieran resolver el ejercicio
desarrollando el cuadrado de binomio asociado. Otra opción de resolución
es expresar todos los términos en función de una misma raíz, luego
reducir términos semejantes y finalmente elevar al cuadrado. Para esto es
importante que puedan descomponer raíces para expresarlas en función de
otras. Muéstreles ambas formas de resolución para que puedan notar que
un método puede ser más conveniente que el otro.
Evaluación
Habilidades que
se evalúan
Ítem
1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
10, 11, 12,
13, 14, 15
y 19
9, 16, 17 y 18
Calcular.
Aplicar y calcular.
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva y,
además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
Números y raíces
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• En los ítems 7 y 12, puede que los y las estudiantes tengan dificultad para
encontrar el valor aproximado de la raíz dada, para ello es importante que
aprendan cómo encontrar el valor de raíces no exactas con algún método
conveniente, si es que no usan calculadora.
• En el ítem 9, el inconveniente estaría en que los alumnos y alumnas no
recuerden el concepto de superficie total y también cómo calcularla en un
cubo. Se recomienda explicar el concepto a través de la red de un cubo,
mostrando que está compuesto por 6 cuadrados. Por lo tanto, el área total
del cubo sería 6 veces el área de cada cuadrado.
• En el ítem 10, los alumnos y alumnas se podrían complicar al tratar de
resolver la potencia del trinomio presentado. Muestre que la mejor opción
en ejercicios de este tipo es expresar todos los términos en función de una
misma raíz, luego reducir términos semejantes y finalmente elevar a la sexta.
Para esto, es importante que puedan descomponer raíces para expresarlas
en función de otras, por ello es fundamental que practiquen estos contenidos
con diversos niveles de dificultad.
• En el ítem 11, puede suceder que no recuerden cómo simplificar este tipo de
expresiones. Para ello, puede explicar el proceso de racionalización de raíces,
cuya finalidad es eliminar las raíces en el denominador, o bien, pídales que
trabajen con potencias, transformando la raíz en potencia, y luego aplicar la
propiedad de división de potencias de igual base.
• En el ítem 13, podría provocar complicación en los y las estudiantes resolver
una composición de raíces. Recuérdeles que es conveniente dejar expresado
todo en una sola raíz. Para ello, deben comenzar introduciendo términos de
adentro hacia afuera, considerando los índices de las raíces involucradas y
aplicando las propiedades de las raíces. También pueden
trabajar expresando todo como potencias y aplicando sus propiedades.
• En el ítem 14, puede suceder que los alumnos y alumnas se confundan al
operar con raíces y elevar al cuadrado. Recuérdeles que al elevar a dos se
elimina una raíz cuadrada, quedando la cantidad subradical. Nuevamente es
importante que tengan presente las propiedades de las raíces y las potencias
para operar con mayor facilidad.
• En el ítem 15, se podría presentar la dificultad relacionada con aplicar
correctamente las propiedades de las igualdades para resolver la ecuación
con radicales. También puede ocurrir que no verifiquen los valores de x
encontrados en la ecuación original en algunos casos que el valor encontrado no
satisface la ecuación con radicales presentada. Para evitarlo, exija a sus alumnos y
alumnas verificar esto cada vez que resuelvan una ecuación de este tipo.
• En el ítem 19, se podría presentar dificultades relacionadas con las operatorias
con raíces y potencias. Se recomienda enfatizar en su utilidad y mostrar lo fácil
que resulta la resolución del ejercicio al aplicar los conocimientos y
propiedades sobre potencias y raíces.
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| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 1
Evaluación final
En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que
le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con
los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos
temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.
El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la
siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
1
Calcular.
2 puntos
2 puntos
2
Analizar.
2 puntos
2 puntos
3y4
Calcular.
2 puntos cada una
4 puntos
5y6
Analizar.
2 puntos cada una
4 puntos
7, 8, 9, 10 y 11
Calcular.
2 puntos cada una
10 puntos
12
Aplicar y calcular.
2 puntos
2 puntos
13 y 14
Calcular.
2 puntos cada una
4 puntos
Puntaje total
Total
28 puntos
BIBLIOGRAFÍA
• Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003.
• Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.
• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.
• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.
• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.
• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.
• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.
• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.
Sitios web
• El portal de la educación: www.educarchile.cl
• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Números y raíces
|
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Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. El valor de
81
es:
121
5. ¿En cuál de los siguientes casos
irracional?
x es siempre
A. 0,11
B.
I. x es par.
II. x es impar.
III. x es primo.
9
11
C. 0,9
A.
B.
C.
D.
E.
D. 0,99
E.
11
9
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
2. ¿Cuál de las alternativas es falsa?
A.
2 es irracional.
B. π es irracional.
C.
2 + 3 es real.
D.
324 es irracional.
6. Si x representa el área de un cuadrado,
entonces, ¿cuál expresión representa el
perímetro del cuadrado?
A.
E. Toda fracción es un número real.
x
B. 2 x
C. 4 x
D. 4x
3. El resultado de 3 2 + 32 – 50 es:
A.
E. x
8
B. 3 2
C. 12 2
D. −2 2
E. 2 3
7.
(
A. 7
B. 24 5
C. 0
D. –25 5
E. 47
66
| Unidad 1 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
)
+
8
4
A. 7 6 + 3
B.
4. (5 2 – 3 )(5 2 + 3 ) =
7
8
10
C. 4
D.
7+ 3
E. 10
( ( 3) ) =
2
2
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Evaluación final
Material fotocopiable
8. La expresión
A.
3
4
B.
3
2
C.
6
8
6
2
3
8
D.
E.
2
3
es equivalente a:
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
2
A.
B.
C.
D.
E.
(
3 – 2)( 3 + 2)
es:
6
A.
1
100
B.
2
10
C.
2
100
A. 6
1
6
C. −
los
los
los
los
los
números
números
números
números
números
naturales son racionales.
racionales son naturales.
naturales son reales.
enteros son racionales.
irracionales son reales.
12. La hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles
–2
cuyos catetos miden 10 es:
9. El valor de
B.
Todos
Todos
Todos
Todos
Todos
1
6
D. 10 2
2
6
E. Ninguna de las anteriores.
C.
E. 100 2
13. Encuentra el valor de x en la ecuación
log2 x + log2 x = 2.
10. Para ubicar geométricamente el número 5
en una recta numérica, se puede construir un
triángulo rectángulo de catetos:
A. 1 y
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
2
D. x = 2,5
B. –1 y
3
C. –1 y
5
D. 1 y 2
E. –1 y – 3
E. x = 3
1
14. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:
3
A. 3
B.
–1
1
27
C. 9
D. 12
E. 2
Números y raíces
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2
Unidad
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Expresiones
algebraicas
fraccionarias
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por los
alumnos y alumnas en relación al estudio de las expresiones algebraicas. Ellos ya han aprendido a
representar relaciones entre valores conocidos y desconocidos mediante expresiones algebraicas, a
desarrollar productos notables y a factorizar. También, han aprendido a resolver ecuaciones de primer
grado con una incógnita. En este curso utilizarán esos conocimientos para escribir, evaluar y operar
con fracciones algebraicas. Primero, analizarán las fracciones para determinar en qué valores se anulan
o se indeterminan. Luego, aprenderán a simplificar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas, basados
en la factorización y en los productos notables, y a sumar y restar fracciones algebraicas, calculando
el mínimo común múltiplo correspondiente. Además, los alumnos y alumnas trabajarán con las
ecuaciones que involucran fracciones algebraicas, aprenderán a resolverlas e interpretar sus soluciones.
A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y
las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos
matemáticos y cotidianos.
A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Planteamiento de problemas
Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Ecuaciones
Expresiones algebraicas
fraccionarias
Restricciones
Orden
Simplicación
Operaciones
Denominador
distinto de 0
Multiplicación
Adición
68
| Unidad 2
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
División
Sustracción
• Establecimiento de
estrategias para
simplificar, sumar, restar,
multiplicar y dividir
fracciones algebraicas
simples, con binomios
tanto en el numerador
como en el denominador y determinación
de aquellos valores que
indefinen una expresión
algebraica fraccionaria.
CMO
DE LA UNIDAD
• Fracciones algebraicas.
• Comparación de
fracciones algebraicas.
• Análisis de fracciones
algebraicas.
• Restricciones en
fracciones algebraicas.
• Simplificación de
fracciones algebraicas.
• Multiplicación de
fracciones algebraicas.
• División de fracciones
algebraicas.
• Mínimo común múltiplo
de expresiones
algebraicas.
• Adición de fracciones
algebraicas.
• Sustracción de
fracciones algebraicas.
• Ecuaciones que
involucran fracciones
algebraicas.
• Situaciones que
involucran fracciones
algebraicas.
CONTENIDOS
ESPERADOS
• Identificar las fracciones
algebraicas.
• Establecer relaciones de
orden entre fracciones
algebraicas.
• Simplificar fracciones
algebraicas utilizando
factorización y
productos notables.
• Resolver ejercicios de
adición, sustracción,
multiplicación y división
de fracciones
algebraicas.
• Explicar y expresar
algebraicamente
relaciones cuantitativas
incluidas en diversos
problemas. Resolver
esos problemas y
analizar las soluciones.
APRENDIZAJES
• Identifican las fracciones
algebraicas.
• Ordenan y simplifican
fracciones algebraicas.
• Calculan sumas, restas,
productos y cuocientes
de fracciones
algebraicas.
• Interpretan fracciones
algebraicas.
• Explican y expresan
algebraicamente
relaciones cuantitativas
incluidas en diversos
problemas.
• Traducen problemas
a ecuaciones que
involucran fracciones
algebraicas.
• Resuelven ecuaciones
que involucran
fracciones algebraicas,
analizan las condiciones
de existencia de sus
soluciones.
INDICADORES
DIDÁCTICOS
• Computador con planilla
de cálculo.
• Calculadora científica.
RECURSOS
DE EVALUACIÓN
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• Sumativa: páginas 104 y
105 del Texto para el
Estudiante y 90 y 91
de la Guía Didáctica
para el Profesor.
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• Formativa: páginas
86 y 97 del Texto para
el Estudiante.
• Diagnóstica: páginas
70 y 71 del Texto
para el Estudiante.
TIPOS
Tiempo estimado: 5 a 6 semanas
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Expresiones algebraicas fraccionarias
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PÁGINAS 68 - 69
Páginas de entrada
La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introducir
y motivar a los alumnos y alumnas en el estudio y aprendizaje de las expresiones
algebraicas fraccionarias y otros contenidos relacionados.
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
PÁGINAS 70 - 71
¿Cuánto sabes?
Ítem
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1
Calcular.
2
Evaluar y justificar.
3
Calcular.
Completamente logrado
En la imagen se muestra la presencia de la proporción áurea en las construcciones
griegas y con esto puede comenzar a conversar sobre las expresiones algebraicas
fraccionarias, su importancia y su presencia en diferentes ámbitos, como, por
ejemplo, en las ciencias, en la ingeniería y en la economía, entre otras. La solución
de esta ecuación corresponde al número de oro φ, ya comentado en la Unidad 1.
Evaluación diagnóstica
Para identificar los conocimientos previos que poseen los alumnos y alumnas, se
presenta una evaluación diagnóstica, titulada ¿Cuánto sabes? En ella se evalúan las
habilidades que a continuación se describen e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: Resolver operatoria combinada de números racionales (con y sin
paréntesis). Simplificar según pertinencia.
Ítem 2: Determinar la validez de propiedades de los números racionales. Justificar.
Ítem 3: Resolver operatoria algebraica, reconociendo además términos semejantes.
Logrado
Medianamente logrado
• Resuelve correctamente
todas las operaciones
combinadas.
• Resuelve correctamente
más de tres operaciones
combinadas.
2
• Determina validez de
todas las expresiones. Es
capaz de justificar.
• Determina validez de más • Determina validez de tres
de tres expresiones. Es
expresiones. Es capaz de
capaz de justificar al menos justificar el 50%.
el 50%.
• Determina validez de
menos de tres expresiones.
Es capaz de justificar menos
del 50%.
3
• Resuelve correctamente
todas las operatorias
algebraicas.
• Resuelve correctamente
más de cinco operatorias
algebraicas.
• Resuelve correctamente
menos de cinco operatorias
algebraicas.
1
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• Resuelve correctamente
tres operaciones
combinadas.
Por lograr
• Resuelve correctamente
cinco operatorias
algebraicas.
• Resuelve correctamente
menos de tres operaciones
combinadas.
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, los errores frecuentes en operatoria combinada son no respetar el
orden de las operaciones, a lo que se agrega lo siguiente:
- En la adición de racionales, sumar directamente, por ejemplo:
2 3 5
+ = .
3 2 5
- Confundir la multiplicación con la división de números racionales.
- No respetar el orden de los paréntesis.
- En ejercicios como e y f, suelen no respetar ley de los signos cuando un signo
negativo antecede a un paréntesis.
En el ítem 2, en las aseveraciones b y e, no interpreta correctamente el cuociente,
cuando uno de los elementos es cero. Aclarar este concepto basándose en que:
a
Si = c ⇔ bc = a .
b
En el ítem 2, en la aseveración c, la principal dificultad es simplificar de la forma:
a+b
a+b a b
b
= b , pero se debe recordar que :
= + = 1+ ≠ b
a
a
a a
a
En el ítem 3, se sugiere repasar la reducción de términos semejantes, ya que los y
las estudiantes tienden a confundir la adición con la multiplicación de expresiones
algebraicas, luego calcularán, por ejemplo, de la siguiente forma:
6
6
3
4
12
• 2x + 5x = 7x
12
• 3x – 5x = 15x
Es importante realizar una revisión de la evaluación diagnóstica de manera individual,
para así conocer las realidades de cada estudiante. También sería interesante realizar
una revisión general en el pizarrón, lo que les permitiría reconocer sus errores,
corregirlos y aclarar dudas evitando posteriores errores conceptuales.
Actividades complementarias
1. Factoriza las siguientes expresiones:
2
a. 16 – (x – y) =
4
b. x – 289 =
3
c. 1 000a – 27 =
2
2
2
d. 1 – a + 3b – 3ab =
6
6
9
9
e. x – y =
f. p – q =
2. ¿A qué hora, después del mediodía, los punteros del reloj coinciden? (Si es
necesario, indique a los y las estudiantes que después del mediodía los punteros
se juntan entre la 1 y las 2).
Deben plantear la ecuación:
1
x
=
12
x + 60
Aprendizaje de conceptos claves
a tratar en la unidad.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información. Localiza y
recupera información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de haber avanzado
en los conceptos claves de la
unidad, como ejercitación.
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PÁGINAS 72 - 73
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Analizar y aplicar.
2
Calcular.
3
Interpretar y
reconocer/identificar.
Fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
Un buen método para ayudar a sus estudiantes a trabajar con fracciones algebraicas,
es verlas y tratarlas como una extensión de las fracciones numéricas. Por lo tanto, se
sugiere recordar la operatoria y propiedades de fracciones antes de comenzar.
Se sugiere que recuerde el orden de fracciones, porque podría asumir el alumno o
alumna que la mayor expresión de velocidad es a , solo porque t + 5 es mayor.
t+5
Actividades complementarias
Errores frecuentes
• El alumno o alumna cree que la
mayor rapidez en el problema
inicial es t + 5, esto es porque
confunde los conceptos tiempo y
rapidez.
En la sección En tu cuaderno,
un error común es pensar que
1 minuto y diez segundos es lo
mismo que 1,10 minutos.
Para motivar a los estudiantes en el estudio de las fracciones o expresiones
racionales, se les puede pedir su IMC (índice de masa corporal), el cual relaciona la
masa M (kg) y la altura de una persona h (m). Se define mediante la expresión
racional:
M
IMC = 2
h
Se sabe que lo ideal es registrar un IMC = 30, así por ejemplo, una mujer de
1,63 m de alto y de 90 kg o un hombre de 94,5 kg y 1,70 m de altura, tienen más
posibilidades de enfermar que una persona con un IMC ideal.
Actividades sugeridas
1. Calcula con los datos anteriores, el IMC de un grupo de compañeros y
compañeras.
2. Valora con x = 3, a = 2 y b = 1 las siguientes expresiones:
Aprendizaje de la nomenclatura
de términos de un polinomio.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar previo al análisis aritmético
de las expresiones algebraicas
fraccionarias.
a.
2
1− a
1⎛ 1
1 ⎞
+ ⎜
+
=
(1 − ax ) − (a + x ) 2 ⎝ 1 − x 1 + x ⎟⎠
a+b a−b
+
3
3
ab − a b
b. a − b a + b ⋅
a − b a + b a2 + b2
+
a+b a−b
Si primero se simplifica, el cálculo se hace más fácil.
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
PÁGINAS 74 - 75
Comparación de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Para los ejemplos dados, asegúrese que los alumnos y alumnas comprendan por
qué una expresión es mayor que otra. En el caso del ejemplo 1, mencione que en
la expresión de la izquierda se tiene un número positivo más 1, que es un número
positivo siempre, dividido por otro número positivo, resulta un número positivo;
en cambio, en la de la derecha, si 0 < n <1 el numerador de la fracción resulta un
número negativo, con lo que la expresión es negativa. Pueden verificarlo también
asignando valores numéricos para n.
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Calcular y clasificar.
Actividades complementarias
Se recomienda, como actividad de investigación, trabajar con la propiedad de
tricotomía que indirectamente es utilizada para crear la desigualdad:
a
a+1
<
. Luego, esta actividad puede estar orientada a investigar tanto el
b+1
b
concepto de tricotomía como en qué propiedades se ha utilizado para realizar
una demostración. También, se pueden sugerir actividades en que se utilice
directamente este concepto.
PÁGINAS 76 - 77
Análisis de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Estas páginas tienen como objetivo la reflexión y análisis de expresiones algebraicas
especiales, como son aquellas con denominador igual a uno, cero, etc. Además,
se motiva a los y las estudiantes para analizar qué sucede con una determinada
expresión si sus valores aumentan o disminuyen.
1
Como por ejemplo, la expresión
.
x+2
Actividades complementarias
1. Determina el valor de la expresión en cada caso.
a.
x+2
con x muy grande.
x–3
b.
2a + 5
con a muy grande.
3a + 1
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y3
Analizar.
2
Verificar.
Errores frecuentes
• Confunden valores de expresiones
que involucran unos o ceros, por
1
ejemplo:
cuando n = 0; se
n
suelen confundir con el valor cero
para la expresión. Para evitar estos
errores, es necesario explicar a los y
las estudiantes que, en algunas
expresiones, ciertos valores de las
variables pueden no estar definidas.
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PÁGINAS 78 - 79
Herramientas tecnológicas
Habilidades que se desarrollan
Usar herramientas e interpretar.
Errores frecuentes
• Generalmente, se cree que para
que una fracción esté determinada,
el denominador debe ser mayor
que 0 y sus elementos al menos
distintos de cero, por esto,
se sugiere enfatizar que no es
siempre así.
Restricciones en fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
El estudio de restricciones algebraicas fraccionarias constituye un tema importante,
por lo cual, se debe motivar a los y las estudiantes a buscar valores para los cuales
una cierta expresión algebraica está indeterminada.
Es importante que los alumnos y alumnas logren comprender que para el análisis
de expresiones algebraicas se deben dar variados valores numéricos y así revisar el
comportamiento de cada una de ellas.
Interesa que los y las estudiantes analicen las condiciones de existencia del valor
numérico que puede tener una expresión racional.
1
2x + 3
Por ejemplo,
no está definida para x = , esto significa que dicha expresión
5
5x – 1
toma valores muy grandes, no expresables numéricamente. ¿Qué sucede si x se
hace muy grande?
En este caso, se puede usar la equivalencia:
3
2+
3 1
2x + 3
x
=
, en la cual y , se reducen a cero cuando x se hace
1
x
x
5x – 1
5−
x
2x + 3
muy grande. Tenemos que el valor de la fracción algebraica
,
5x – 1
2
cuando x es grande, es .
5
2
x –1
Distinto es el caso de expresiones como
, que se pueden simplificar siempre
x–1
y cuando x ≠ 1.
2
Así tenemos:
x –1
(x – 1)(x + 1)
=
= x + 1.
x–1
x–1
2
Para x = 1 el valor de
x –1
está indefinido.
x–1
Actividades complementarias
Pida a sus estudiantes que determinen entre qué valores se encuentra una expresión
4
algebraica. Por ejemplo, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión x ?
Analizar expresiones algebraicas tales como, 2n o 2n + 1, de manera de descubrir
que representan números pares e impares, respectivamente, para lo cual se
propone asignar diferentes valores numéricos a n.
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
1. Verifica si el valor de la variable es una restricción para la fracción en cada caso.
2
a.
25m – 81
–9
con m =
5m + 9
5
2
2x + 5x + 3
b.
con x = –1
x+1
PÁGINAS 80 - 81
Simplificación de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
El objetivo de estas páginas es relacionar las propiedades y procedimientos de
fracciones numéricas con propiedades y procedimientos de expresiones algebraicas
fraccionarias. Interesa que los alumnos y alumnas relacionen los ejercicios de tipo
aritméticos con aquellos algebraicos, constatando que los resultados obtenidos en
estos son generalizaciones obtenidas del caso algebraico.
1 1 1
Por ejemplo: analizar el valor numérico de ; ; , etc., y luego comparar con el
2 3 4
1
análisis de la expresión .
x
Es posible que algunos estudiantes presenten problemas para aplicar propiedades
aritméticas a problemas algebraicos. Para ello, pida que en forma paralela efectúen
operaciones con fracciones y la correspondiente operación de expresiones
fraccionarias que las representen, para luego comparar los resultados.
Puede pedir que completen un cuadro como el siguiente:
1
1
a
1
1
2
3
7
4
49
1
Calcular.
2
Interpretar y calcular.
Errores frecuentes
• Los y las estudiantes pueden
caer en el error de factorizar la
2
2
expresión 12x – 12 como 12(x ).
Variante metodológica
3 4
⋅
16 9
Habilidades que
se desarrollan
Actividad
a
b
2
⋅
• En el caso de la expresión
2
12 x − 12
, el alumno o
16( x + 3)( x + 1)
alumna tiende a simplificar solo
12
, ignorando que el numerador
16
está compuesto por un binomio.
b
a
2
a
b
:
(a + b ) (a + b )2
Aprendizaje del procedimiento
para simplificar expresiones
algebraicas complejas.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como ejercitación de
repaso de fracciones algebraicas.
Expresiones algebraicas fraccionarias
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Importa que los alumnos y alumnas visualicen la relación entre ambos tipos de
ejercicios: el aritmético y el algebraico; que puedan proponer otros ejemplos a
partir de la forma general y constaten que los resultados que se obtienen son
particularizaciones del caso general dado por el álgebra.
Posibles dificultades
Comúnmente, los y las estudiantes confunden el modelo aditivo con el multiplicativo,
y por tanto, el significado del producto ab con la suma a + b. Para remediar esta
dificultad, se propone la comparación de productos y adiciones de la manera
aritmética; por ejemplo: calcular 124 + 21 y 124 · 21 y, luego, comparar los resultados.
PÁGINAS 82 - 83
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Multiplicación de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
El problema propuesto en el Texto permite que usted muestre a sus estudiantes
la relación entre las operaciones con fracciones numéricas, que ellos realizan
habitualmente, con las mismas operaciones, pero con fracciones algebraicas.
Si ellos no comprendieran el desarrollo propuesto, asigne valores adecuados a
las variables, por ejemplo, a = 12, b = 6, c = 36, P = 144, Q = 540 y R = 72,
y resuelva el problema, paso a paso, tal como está descrito en el Texto. Luego,
revise el procedimiento para las fracciones algebraicas. Insista en que la forma
de operar es la misma, solo que ahora se opera con términos algebraicos en lugar
de números.
Es importante que sus estudiantes factoricen correctamente las expresiones
algebraicas, porque, en muchos casos, factorizar las expresiones contenidas en el
numerador y denominador facilita la simplificación en el caso de la multiplicación y
división de fracciones algebraicas, así como el cálculo del mcm, es fundamental
para resolver la adición y sustracción de fracciones algebraicas.
Aprendizaje del procedimiento
para simplificar expresiones
algebraicas progresivas.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como autoevaluación en
la simplificación de fracciones
algebraicas.
76
Actividades complementarias
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones factorizando previamente e indicando
las restricciones.
a.
2a − 4b
2
⋅
a
2
6a + 3ab a − 4b
3
b.
2
3
3a − 15a
2
a + 12a + 35
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⋅
c.
2
2
a + 14a + 49
4
a − 25a
2
2
6a + 4b
9a − 9b
⋅
3a − 3b 36a2 + 48ab + 16b2
d. 4x − 2y ⋅ 6x − 6y ⋅
2
x −y
2
y
2
2
x
18x − 9y
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
PÁGINAS 84 - 85
División de fracciones algebraicas
Frecuentemente, la división de fracciones algebraicas se muestra como un
procedimiento que se resuelve mecánicamente, ya que pocas veces los y las
estudiantes le encuentran sentido o no ven para qué puede utilizarse. El problema
propuesto en el Texto es un buen ejemplo de cómo se aplica la división de
fracciones algebraicas, especialmente cuando no se conocen las medidas específicas,
pero sí las relaciones entre ellas, como en este caso.
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Supervise si sus estudiantes utilizan correctamente los productos notables para
simplificar algunas fracciones antes o después de la división. Si no es así, es
recomendable que realice un repaso, en particular sobre cómo factorizar un
trinomio con un término común, que es el caso más general y, eventualmente,
incluye el cuadrado de binomio y la suma por diferencia.
Enfatice a sus alumnos y alumnas que, pese a que una fracción algebraica sin
simplificar puede ser igualmente correcta, es mejor que acostumbren a
presentarla simplificada o bien factorizada, sobre todo si este resultado se va a
utilizar en nuevos cálculos o para estimar algunos valores numéricos. Puede
mostrar en el pizarrón un desarrollo en paralelo, con y sin simplificación, para que
ellos noten cómo, a medida que se resuelve cada nueva operación, sus cálculos se
pueden volver muy engorrosos.
Actividades complementarias
1. Resuelve las siguientes divisiones factorizando previamente e indicando las
restricciones.
2
a. x − ax : a ⋅ (x − a)
2
x +a
2
x
2
2
bx − ab x − 2ax + a
:
b.
2
2
a
b
2
c.
d.
4m + 12mn + 9n
3
m +m
5p + 10q
2
2
2
2
:
:
2
6m + 9n
2
m −1
p − 4q
2
Aprendizaje del procedimiento
para el cálculo de operaciones
con fracciones algebraicas.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar para ejercitar la
simplificación de fracciones
algebraicas en más de una variable.
2
p + p − 20 p − p − 12
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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PÁGINA 86
Mi progreso
Ítem
1
Habilidades que
se evalúan
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera la habilidad que se detalla en el
cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ordenar.
2y3
Evaluar.
4y5
Aplicar.
Ítem 1: ordenar fracciones algebraicas.
Ítem 2: determinar para qué valores se anula y se indefine una fracción algebraica.
Ítem 3: determinar para qué valores una fracción algebraica es positiva.
Ítem 4: resolver multiplicaciones de fracciones algebraicas.
Ítem 5: resolver divisiones de fracciones algebraicas.
Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Ordena correctamente
• Ordena correctamente
• Ordena correctamente
• No ordena correctamente
las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas en las fracciones algebraicas de
todos los grupos dados.
dos de los grupos dados.
un grupo dado.
ningún grupo dado.
• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente
los valores de x en todas
los valores de x en tres de los valores de x en dos de los valores de x en menos
2 y 3 las fracciones algebraicas.
las fracciones algebraicas.
las fracciones algebraicas.
de dos fracciones algebraicas.
• Resuelve correctamente
todas las operaciones con
4 y 5 fracciones algebraicas.
• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente
dos de las operaciones con una operación con fracfracciones algebraicas.
ciones algebraicas.
• No resuelve correctamente ninguna operación
con fracciones algebraicas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, podría ocurrir que sus estudiantes olviden aplicar los valores
considerados de las variables para ordenar las expresiones dadas y, por lo tanto,
podrían obtener conclusiones erradas sobre el orden correcto de las fracciones. Para
evitar esto, recuerde a sus estudiantes la importancia de los valores de las variables
para determinar el orden correcto en que deben estar las expresiones
En el ítem 2, los y las estudiantes podrían tener inconvenientes para decidir si se
buscan valores de x para los cuales las fracciones se anulan o quedan indefinidas. Para
evitar esto, previo a la actividad recuerde a sus estudiantes las condiciones de una
fracción se anula cuando su numerador se hace cero y su denominador es distinto de
cero y que una fracción queda indefinida cuando su denominador se hace cero.
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
En el ítem 3, podría ocurrir que sus estudiantes solo observen los signos de los
números que tiene la fracción para decidir si es positiva o no. Recuérdeles que esto
depende del signo del numerador y del denominador, si son iguales, la fracción es
positiva.
En el ítem 4, los alumnos y alumnas suelen multiplicar directamente, y después
simplificar el resultado, lo cual no siempre es fácil de realizar por la eventual
complejidad de las expresiones resultantes. Para evitar esto, recuerde a los y las
estudiantes que, de ser posible, simplifiquen las expresiones antes de realizar la
multiplicación.
Por otro lado, en el ítem 5, al tratarse de divisiones, los y las estudiantes suelen
pensar que deben multiplicar directamente, lo cual no lleva al resultado correcto.
Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que para dividir fracciones algebraicas,
se debe transformar en una multiplicación por el inverso multiplicativo del divisor.
PÁGINAS 87 - 88
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Estas páginas tienen como objetivo generalizar el cálculo de mcm mediante la
descomposición prima, de manera de facilitar cálculos del tipo algebraico y las
operatorias básicas (adición, sustracción, multiplicación y división).
Se recomienda comenzar calculando el mcm entre factores numéricos y, paso a paso,
ir generalizando hasta llegar a determinar el mcm entre expresiones algebraicas.
Variantes metodológicas
Para evitar problemas con la factorización para calcular el mcm entre expresiones
algebraicas, se recomienda el siguiente tipo de actividad:
Completa la siguiente tabla y, luego, saca tus conclusiones.
Expresiones
1 1 1
, ,
2 4 6
Mínimo común múltiplo
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y2
Reconocer, interpretar
y calcular.
Errores frecuentes
• Los y las estudiantes pueden
considerar solo triángulos
rectángulos para la imagen del
problema inicial, donde los catetos
corresponden a las medidas a y b,
pero no considera otro tipos de
triángulos, o simplemente cometen
el error de medir como a uno de
los lados de un triángulo y como b
otro de los lados del mismo, sin
considerar que este último no
corresponde a la altura.
1 1 1
,
,
n n2 n 4
2 13 15
,
,
a 4a a2
2 13 15
,
,
5 20 25
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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Actividades complementarias
Reconocimiento de una expresión
algebraica factorizable de una que
no lo es.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al terminar de explicar los
métodos de factorización.
Pedir a los y las estudiantes que obtengan el mínimo común múltiplo de algunas
expresiones algebraicas que involucren la aplicación de productos notables,
por ejemplo:
El mcm entre los denominadores de:
1
2
n −b
Actividad
1y2
3
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Representar y calcular.
a + 2ab + b
2
;
b
es
(a + b )
El mcm entre los denominadores de:
2n
En tu cuaderno
2
(a + b )
2
PÁGINAS 89 - 90
a
;
2
b
n + b es
;
n+b n−b
;
Adición de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
Estas páginas tienen como objetivo la aplicación de los contenidos de simplificación,
factorización y el cálculo del mcm, por lo cual, se propone un repaso antes de
desarrollar las páginas.
Por ejemplo, encontrar el mcm entre 20, 400 y 160 000, o bien, encontrar el mcm
2
4
entre x, x , x .
Actividades complementarias
Errores frecuentes
• Una dificultad puede estar dada
por errores en la factorización y
en la aplicación de productos
notables. Por ejemplo, confundir
suma por su diferencia con
cuadrado de binomio. Para
remediar esto, muestre
representaciones geométricas
de los productos notables
comúnmente usados.
Puede entregar a los y las estudiantes procedimientos de adición y sustracción de
expresiones algebraicas, y pedir que encuentren errores en dichos procedimientos.
Pida que inventen un ejercicio para resolver y que sea revisado por un compañero
o compañera.
Una actividad posible es trabajar con fracciones de distinto denominador (sin
a
c
ad + bc
.
igualar los denominadores) con el siguiente procedimiento: + =
b
d
bd
Con esto se obtiene el mismo resultado pero, en ocasiones, es necesario
simplificar la expresión resultante.
1. Resuelve las siguientes adiciones factorizando previamente cuando sea necesario.
a.
b.
80
x
2
x −4
+
2
5
+
x −2 x +2
5
2
a − 5a − 6
+
4
2
a −4
| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
c.
d.
12
2
a − 4a − 5
3x + 2
2
x + 5x + 6
+
+
2
3
+
a +1 a − 5
2 − 4x
2
x + x −2
+
3x − 7
2
x + 2x − 3
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
PÁGINAS 91 - 92
Sustracción de fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Tanto en la adición como en la sustracción de fracciones algebraicas, los y las
estudiantes pueden demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque
se demoren en reconocer los factores de cada expresión algebraica o también
porque se confundan fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicar
mecánicamente. Asegúrese de que sus estudiantes dispongan de tiempo suficiente
para terminar los ejercicios y, luego, comparar sus respuestas con las de sus
compañeros y compañeras.
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
Insista en comparar cómo se resuelve la adición y sustracción de fracciones
numéricas con la adición y sustracción de fracciones algebraicas. Esto les permitirá
comprender mejor el procedimiento. Si observa que la dificultad radica en que no
han aprendido correctamente las operaciones con fracciones numéricas, es
indispensable realizar un repaso completo de estas operaciones.
Actividades complementarias
1. Resuelve las siguientes sustracciones factorizando previamente cuando
sea necesario.
a.
b.
c.
d.
x −3
2
x + 7x + 6
−
2x − 1
2
x + 5x − 6
p+q p −q
4pq
−
−
p − q p + q p2 − q2
u+3
2
u + 6u + 8
−
m−7
2
m − 2m − 15
u−3
2
u + 8u + 16
−
m+5
2
m + 7m + 12
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
81
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PÁGINAS 93 - 94
En tu cuaderno
Actividad
1y2
3
Habilidades que
se desarrollan
Analizar y aplicar.
Calcular.
Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
Es posible que la lectura de los enunciados de los problemas correspondientes
a las ecuaciones resulte tediosa para los alumnos y alumnas; en este caso, se
sugiere realizar juegos de rapidez para motivar la lectura e incentivar la invención
de problemas, poniendo a prueba su creatividad. De la geometría se pueden
extraer muchos y variados ejemplos; se pueden plantear ejercicios interesantes
usando semejanza de triángulos.
Es importante mencionar a los y las estudiantes la utilidad de aplicar la factorización
y simplificación de expresiones algebraicas para resolver una ecuación que involucra
fracciones algebraicas, ya que esto evita hacer cálculos innecesarios.
Errores frecuentes
• Los y las estudiantes suelen
confundirse al plantear
algebraicamente un problema,
elementos tales como ocho veces
con la octava parte.
Se sugiere recordar al alumno y alumna, para evitar complicaciones en la resolución
de ecuaciones (que es el objetivo de la unidad), realizar en el pizarrón una tabla de
codificaciones algebraicas claves, tales como: el doble de un número, el sucesor de
un número, el inverso de un número y el opuesto de un número, entre otros.
Actividades complementarias
1. A la base de un rectángulo se le añaden 5 cm. ¿Cuánto debe añadirse a la altura
para que el área del rectángulo resultante sea el doble de la del primero?
Resolución de ecuaciones
algebraicas fraccionarias.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al explicar la metodología
de resolución de ecuaciones
fraccionarias.
x
a
5
b
2. Averigua en qué consiste el teorema de la bisectriz y luego utilízalo para
resolver el siguiente problema.
La bisectriz del ángulo en C divide al tercer lado en dos segmentos cuya
diferencia es 12 cm. Calcula la medida de dicho lado.
C
36
20
A
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| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
x
x + 12
B
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
PÁGINAS 95 - 96
Situaciones que involucran fracciones algebraicas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
El objetivo de estas páginas es que el alumno y alumna traduzca situaciones al
lenguaje algebraico y las resuelva utilizando ecuaciones, para esto es necesario que
logre comprender que fórmulas matemáticas y expresiones algebraicas tienen un
nivel de independencia en contextos numéricos.
Como por ejemplo, escribir en lenguaje algebraico:
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Representar y analizar.
2
Formular, representar
y aplicar.
a. El doble de un número aumentado en 15 unidades.
b. La edad de dos personas suman 57 años.
c. La edad que tenían hace cinco años, etc.
Recuerde a los y las estudiantes los pasos a seguir para la resolución de un problema:
•
•
•
•
•
•
Leer el problema.
Analizar el procedimiento a seguir.
Plantear la situación problemática.
Resolver.
Redactar la respuesta.
Evaluar la pertinencia de la solución obtenida.
Como el enunciado del problema dice que una llave se demora la mitad de la
otra, se prestará a confusión que para el desarrollo del problema se escribió 2x
y no x , que es la codificación adecuada. Se propone explicar a los y las estudiantes
2
por qué se realiza esta codificación y que, dependiendo la forma de plantear la
situación, es igual de adecuado cualquiera de las dos expresiones algebraicas.
Actividades complementarias
Errores frecuentes
• Una dificultad a la cual se
enfrentan los y las estudiantes, es
el traducir una situación dada
verbalmente a un lenguaje escrito.
Para esto, se recomienda practicar
con casos simples.
• El hecho que una llave trabaje la
mitad que otra puede confundir a
los y las estudiantes, ya que estos
asumirán que ambas trabajan
1,5 horas, por lo tanto responderán
(incorrectamente) diciendo que
como 1,5 · 2 = 3, entonces
bastarán dos períodos de tiempo.
• Si 1 corresponde a una de las
1. Resuelve los siguientes problemas.
a. El triple de un número más 90 unidades es igual a su doble aumentado en tres.
b. La edad de dos hermanos están en la razón de m es a n; si uno de ellos
tiene 3b + 12 años, expresa la edad del otro hermano en función de b.
c. Un curso de 24 estudiantes contrata un bus para un paseo escolar; el día
a
llaves, el alumno o alumna tenderá
a suponer, que si la otra llave tarda
una hora más, esto se podrá escribir
1
como la expresión + 1.
a
de la salida 4 de los jóvenes se enferman y no asisten, por lo que la cuota
a pagar por cada uno sube a $ 2 000. ¿Cuánto cobró el bus?
d. Un automovilista demora 8 horas en recorrer la distancia que separa dos
ciudades; su hermano demora 2 horas menos empleando una rapidez
superior en 20 km/h. ¿Cuál es la distancia que separa a las ciudades?
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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PÁGINA 97
Mi progreso
Ítem
1, 2, 3 y 4
Habilidades que
se evalúan
Calcular.
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos y
alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar como
una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el cuadro
Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: hallar mcm de expresiones algebraicas.
Ítem 2: resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas.
Ítem 3: resolver ecuaciones con fracciones algebraicas.
Ítem 4: resolver problemas que involucran fracciones algebraicas.
Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel
de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
• Encuentra en dos de los
grupos el mcm que
corresponde.
Por lograr
1
• Encuentra en todos los
grupos el mcm que
corresponde.
• Encuentra en tres de los
grupos el mcm que
corresponde.
• Encuentra en menos de
dos grupos el mcm que
corresponde.
2
• Resuelve correctamente
todas las operaciones de
adición y sustracción.
• Resuelve correctamente • Resuelve correctamente • Resuelve correctamente
más de tres operaciones de tres operaciones de adición menos de tres operaciones
adición y sustracción.
y sustracción.
de adición y sustracción.
3
• Resuelve completamente • Resuelve completamente • Resuelve completamente • No logra resolver ninguna
y correctamente todas las dos ecuaciones.
una ecuación.
ecuación completamente.
ecuaciones.
4
• Resuelve completamente • Resuelve el problema con • Resuelve correctamente
y correctamente el proble- errores, pero escribe
el problema, por tanteo.
ma.
correctamente la ecuación.
• No logra resolver el
problema.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, podría ocurrir que sus alumnos y alumnas no visualicen con facilidad
cómo aplicar el procedimiento para encontrar el mcm de las expresiones
correspondientes. Para ayudarlos, recuérdeles que deben factorizar las expresiones
de cada grupo, a fin de encontrar el mcm requerido con mayor facilidad.
En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las adiciones y
sustracciones no recuerden el procedimiento y simplemente sumen y resten
numeradores y denominadores por separado y, con ello, los resultados obtenidos
sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde el procedimiento
de adición y sustracción de fracciones numéricas, y que esto se extiende a las
fracciones algebraicas.
84
| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes al operar las ecuaciones no
a c
recuerden la propiedad = ⇔ ad = bc o no la apliquen correctamente y los
b d
resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitarlo, previo a la actividad recuerde
esta propiedad de las fracciones para resolver el ejercicio correctamente.
En el ítem 4, podría ocurrir que los y las estudiantes no traduzcan adecuadamente al
lenguaje algebraico, y con ello los resultados obtenidos sean incorrectos. Para evitar
esto, previo a la actividad recuerde el procedimiento de traducir del lenguaje usual al
lenguaje algebraico, y notar este hecho para resolver adecuadamente el problema.
PÁGINAS 98 - 99
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin
embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que
los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta
resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite
aclarar posibles dudas que sus estudiantes puedan mantener.
Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de
problemas:
En tu cuaderno
Actividad
1y2
(Pág. 86)
1, 2 y 3
(Pág. 87)
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar, calcular y
verificar.
Aplicar, calcular y
verificar.
Comprender:
Los y las estudiantes deben leer atentamente las instrucciones del problema. Y
realizar un análisis de la resolución propuesta.
En caso de que se presenten alumnos o alumnas con dificultad para entender los
problemas, se sugiere que:
a. Repase de la fórmula de área de un rectángulo.
b. Repase el concepto de codificación algebraica.
c. Repase ecuaciones literales de primer grado.
AC
2
cm , utilizando los conceptos de despejar una
mq
incógnita en una ecuación literal de primer grado, además de la sustitución de
incógnitas.
e. Realice diagramas que le permitan a los alumnos y alumnas situar correctamente
ancho y largo de cada rectángulo.
d. Explique, por qué x =
Planificar:
El alumno y alumna debe planificar una estrategia similar para resolver a las preguntas
siguientes que no se encuentran resueltas, considerando, además, conceptos como
proporciones, evaluación de expresiones algebraicas y conceptos físicos como
velocidad.
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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Resolver:
Los y las estudiantes deberán manejar la operatoria algebraica, cálculo de áreas y
generalización de estas a través de conceptos algebraicos.
Revisar:
Enfatice en lo importante que es revisar cada resultado, su pertinencia según el
contexto del problema y la comprobación de los métodos utilizados.
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para
evaluar la resolución de problemas planteados.
Logro, aplicación
Comprensión
del problema o
situación
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
En proceso, logro parcial
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete
parte del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
No comprende
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
• Demuestra un entendimiento
conceptos
o algoritmos cuando usa
parcial o satisfactorio.
símbolos.
• Puede demostrar y explicar
• Conecta cómo y por qué.
usando una variedad de
• Aplica el concepto a problemodos.
mas o a situaciones nuevas.
• Está listo para hacer
• Hace y explica conexiones.
conexiones acerca de cómo
• Realiza lo pedido y va más allá.
y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimientos y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
• Chequea racionalidad de los
resultados.
• Reconoce sin razones.
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
PÁGINAS 100 - 101
En terreno
Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos
en la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionada
con la ley de enfriamiento de Newton.
Se recomienda que esta actividad sea realizada de forma individual y al término
de esta formar grupos de 3 personas para comentar y comparar las soluciones
obtenidas.
También puede trabajar con una planilla de cálculo y obtener una tabla relacionando
la estimación de la hora de muerte con la temperatura del cadáver, considerando
una misma temperatura ambiental. Esto permitirá que visualicen de mejor forma el
comportamiento de la temperatura del cadáver a medida que pasa el tiempo y cómo
esto permite determinar la hora de muerte de las personas.
Para complementar esta actividad, podría pedir a sus alumnos y alumnas que
investiguen sobre otros contextos en los cuales este modelo resulte útil para
determinar la temperatura de ciertos objetos.
PÁGINAS 102 - 103
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y2
Usar herramientas
y calcular.
3, 4 y 5
Analizar y aplicar.
Investiguemos...
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Evaluar.
3
Analizar y aplicar.
4
Aplicar y representar.
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y
alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos
trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues
los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,
permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.
En esta sección se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los
conceptos fundamentales trabajados en la unidad.
Síntesis de la Unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar.
Como actividades de consolidación, se presentan afirmaciones de carácter
conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos
trabajados en la unidad.
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
• ¿Qué debe analizarse en una fracción algebraica?, ¿cómo lo harías? Da un ejemplo.
• ¿Se puede expresar una fracción algebraica como fracción?, ¿en qué casos?
• ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con fracciones algebraicas? Explica y da
un ejemplo.
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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PÁGINAS 104 - 105
Evaluación
Ítem
1, 2 y 3
Habilidades que
se evalúan
Analizar y clasificar.
4
Analizar.
5
Conjeturar y analizar.
6, 7 y 8
9
Calcular.
Reconocer/Identificar.
10, 11 y 12
Calcular.
13 y 14
Aplicar.
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva y,
además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
88
Evaluación de la Unidad
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de 10 preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente entre ocho y diez preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de ocho preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales:
• En los ítems 1, 2 y 3, se podría presentar una dificultad relacionada con el
concepto de orden en fracciones algebraicas. Para ello, se recomienda mostrar
algunos ejemplos de cómo valorizar para determinar el orden correcto.
• En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden a qué se
refiere una restricción en una fracción algebraica. Para evitar esto, se recomienda
recordarles que se relaciona con los valores en que la fracción se indefine.
• En los ítems 6, 7 y 8, podría pasar que los y las estudiantes no recuerden los
productos notables y su correspondiente desarrollo, o bien, que confundan
división y multiplicación de fracciones algebraicas. Se sugiere que antes realice
un breve repaso de los principales productos notables.
• En los ítems 10 y 12, se podría presentar una dificultad relacionada con el
concepto de mínimo común múltiplo, aplicado a fracciones algebraicas. O bien,
que sumen horizontalmente, error heredado de las fracciones algebraicas. Para
evitar esto, se recomienda recordarles el proceso de adición y sustracción de
fracciones y compararlo con el procedimiento para sumar y restar fracciones
algebraicas, y cómo obtener el mcm en el caso de las expresiones algebraicas.
• Como todos los ítems son de selección múltiple, la información que entrega la
alternativa seleccionada por los y las estudiantes es limitada, es difícil saber
cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o
equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente,
se sugiere que en estos ejercicios pida que realicen algún tipo de desarrollo
en cada pregunta, para poder detectar en qué se están equivocando y ayudarlos
a alcanzar los niveles de logro que se espera para los contenidos de esta unidad.
| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 2
Evaluación final
En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que
le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con
los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos
temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.
El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la
siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
Total
1, 2 y 3
Reconocer/Identificar.
2 puntos cada una
6 puntos
4
Calcular.
2 puntos
2 puntos
5
Reconocer/Identificar.
2 puntos
2 puntos
6
Analizar.
2 puntos
2 puntos
7y8
Calcular.
2 puntos cada una
4 puntos
9
Aplicar.
2 puntos
2 puntos
10 y 11
Calcular.
2 puntos cada una
4 puntos
Puntaje total
22 puntos
BIBLIOGRAFÍA
• Brown, Dan. El Código Da Vinci, Traducción Ediciones Urano, S.A. Barcelona, España, 2003.
• Smullyan Raymond, Satan. Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995.
• Stewart, Ian. De aquí al infinito. Drakontos. España, 1998.
• De la Peña, José Antonio. Álgebra en todas partes. Ciencia para todos. Fondo de Cultura Económica. México, 1999.
• Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995.
• Paulos, John Allen. Érase una vez un número. Libros para pensar la ciencia. España, 1999.
• Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.
• Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.
Sitios web
• El portal de la educación: www.educarchile.cl
• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
89
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Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
2 4
1. Simplifica
6a x
y expresa usando solo
3 3
2a x
exponentes positivos.
A. 3ax
D.
3
ax
A. 0,89
B. 0,9
3
E.
x
5 7
B. 3a x
C. 8,9
D. 89
3x
C.
a
E. Ninguno de los valores anteriores.
2 3
2. Al simplificar
(–2a b)
se obtiene:
2 2
(–4ab )
3
4
a
A. –
2b
D. a
b
A. 1
C.
a
E.
x +y
xy
2
x+y
xy
3
2b
2
9x
7
y
2
x
7
9y
se obtiene:
6
D.
9x
y
A. duplicar.
B. mantener igual.
7
E.
1 1 1
= + ,
P Q R
si P y R se reducen a la mitad, entonces,
para que se mantenga la igualdad, el valor
de Q se debe:
6. (Ensayo PSU, 2004) En la igualdad
−2
⎛ 2 ⎞
⎛ −2 ⎞
x ⎟
3x ⎟
⋅ ⎜
3. Al simplificar ⎜⎜
⎜ −2 ⎟
−3 ⎟
⎝y ⎠
⎝ y ⎠
9y
2
x
2
x
C.
9y
90
2x + 2y
xy
ab
E.
2
−1
B.
D.
2
5
A.
5. (Ensayo PSU, 2004) Si x e y son números enteros
x
y
distintos de 0, entonces
+
es igual a:
y
x
B. 2
4
a
B. –
2b
C.
4. (Ensayo PSU, 2004) Si t = 0,9 y r = 0,01;
t–r
entonces
es igual a:
r
| Unidad 2 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
C. reducir a la mitad.
D. cuadruplicar.
E. reducir a la cuarta parte.
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Evaluación final
Material fotocopiable
⎛
2 ⎞ ⎛
2 ⎞
b ⎟ ⎜
b ⎟
: a+
10. El resultado de ⎜a +
es:
⎝ a +b⎠ ⎝ a −b⎠
7. (Educarchile, PSU, 2004) Si a ≠ b,
entonces
1 1
− es:
a b
b−a
3
A.
A. ab
B.
B.
1
ab
1
C. −
ab
C.
D. 0
D.
E.
1
a−b
E.
8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve:
A.
y +1
x
B.
1
x +1
C.
y +1
2x
D.
E.
1 1 1
: +
x y x
x
x+y
y
x+y
A.
3
3
3
3
a +b
a −b
3
(a + b )
3
3
3
3
a −b
a +b
a−b
a+b
a−b
3
3
a +b
11. El resultado de
⎛ x y ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛a b ⎞
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ es:
⎝ y x ⎠ ⎝b a ⎠ ⎝ y x ⎠ ⎝b a ⎠
A.
ab xy
+
xy ab
⎛ ab xy ⎞
B. 2 ⎜ + ⎟
⎝ xy ab ⎠
C.
9. Una llave puede llenar una tina en 5 minutos
y otra lo hace en 6 minutos. Si se abren ambas
llaves al mismo tiempo, ¿cuánto tardan en llenar
la tina las dos juntas?
(a − b )
1 ⎛ ax by ⎞
⎜ + ⎟
2 ⎝ by ax ⎠
⎛ ay xb ⎞
D. 2 ⎜ + ⎟
⎝ xb ay ⎠
E.
ax by
−
by ax
11
minutos.
30
B. 11 minutos.
C. 30 minutos.
D.
30
minutos.
11
E.
11
minutos.
2
Expresiones algebraicas fraccionarias
|
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U3 PAG 92-115
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16:49
3
Unidad
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Sistemas de
ecuaciones
lineales
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
Los sistemas de ecuaciones lineales son un tema central dentro de los contenidos trabajados en la
Educación Media, debido a su gran aplicabilidad en variados contextos matemáticos y del mundo real.
Por ello, la enseñanza de este tema se realiza a través de la resolución de problemas provenientes de
diferentes contextos cotidianos, dando, de esta forma, sentido a las ecuaciones y variables utilizadas.
La intencionalidad de esta unidad no es solo que los alumnos y alumnas se centren en la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales, sino también que sean capaces de modelar distintas situaciones
problemáticas con estos sistemas y además puedan interpretar los resultados obtenidos, de acuerdo al
contexto del problema planteado. Por ello, los sistemas de ecuaciones lineales deben ser concebidos
como una herramienta para la resolución de problemas, y no solo como un contenido matemático
alejado de la realidad. Sin embargo, es importante la ejercitación de diversos sistemas de ecuaciones,
para que puedan analizar los distintos casos según el número de soluciones que tenga el sistema de
ecuaciones, a través de diferentes métodos de resolución, incluida su interpretación gráfica con la
ecuación de la recta.
A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Análisis de las soluciones
Pertinencia de las soluciones
Resolución de problemas
Aplicación
Ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Sistemas de
ecuaciones lineales
Incógnitas auxiliares
Métodos de resolución
Tipos de soluciones
92
| Unidad 3
Método gráfico
Métodos algebraicos
Solución única
Rectas secantes
Igualación
Infinitas soluciones
Rectas coincidentes
Sustitución
No tiene solución
Rectas paralelas
Reducción
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
• Reconocimiento de
sistemas de ecuaciones
lineales como modelos
que surgen de diversas
situaciones o
fenómenos.
• Resolución de problemas
asociados a sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incógnitas en
contextos variados,
representación en el
plano cartesiano usando
un software gráfico y
discusión de la existencia
y pertinencia de
las soluciones.
CMO
DE LA UNIDAD
• Ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
• Planteo de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
• Método gráfico.
• Análisis de las
soluciones en el plano
cartesiano.
• Método de igualación.
• Método de sustitución.
• Método de reducción.
• Análisis algebraico
sobre la existencia de
soluciones.
• Estudio de las
soluciones.
• Otros sistemas
asociados a sistemas de
ecuaciones lineales.
CONTENIDOS
ESPERADOS
• Plantear y resolver
sistemas de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas.
• Conocer y utilizar
diversos métodos de
resolución de sistemas
de ecuaciones.
• Representar sistemas de
ecuaciones lineales en
el plano cartesiano
utilizando un
software gráfico.
• Analizar las soluciones
de sistemas de
ecuaciones lineales
representados en el
plano cartesiano.
• Discutir la existencia y
pertinencia de las
soluciones de
problemas asociados
a sistemas de
ecuaciones lineales.
• Resolver problemas que
involucren sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
APRENDIZAJES
• Plantean y resuelven
sistemas de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas.
• Conocen y utilizan
diversos métodos de
resolución de sistemas
de ecuaciones.
• Representan sistemas
de ecuaciones lineales
en el plano cartesiano
utilizando un
software gráfico.
• Analizan las soluciones
de sistemas de
ecuaciones lineales
representados en el
plano cartesiano.
• Discuten la existencia y
pertinencia de las
soluciones de
problemas asociados
a sistemas de
ecuaciones lineales.
• Resuelven problemas
que involucren sistemas
de ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
INDICADORES
DIDÁCTICOS
• Regla
• Computador
RECURSOS
DE EVALUACIÓN
16:49
• Sumativa: páginas 140 y
141 del Texto para el
Estudiante y 114 y 115
de la Guía Didáctica
para el Profesor.
18/11/09
• Formativa: página 102 y
133 del Texto para el
Estudiante.
• Diagnóstica: páginas 108
y 109 del Texto para
el Estudiante.
TIPOS
Tiempo estimado: 15 a 20 horas
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Sistemas de ecuaciones lineales
|
93
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PÁGINAS 106 - 107
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
Páginas de entrada
La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tiene
como propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizaje de
los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, sus métodos de resolución
y el análisis de sus soluciones. La intencionalidad de la introducción presentada
también es mostrar a los alumnos y las alumnas que este contenido matemático
es posible encontrarlo en variados temas del mundo real, como la aleación de
metales como el oro.
Chile es un país de grandes reservas minerales, por eso la extracción de minerales
metálicos y no metálicos ha sido un factor de gran importancia para la economía
de nuestro país, ya que ha permitido el crecimiento de la economía chilena. La
extracción de cobre, es nuestra principal fuente de recursos, ya que somos el
principal exportador de cobre en el mundo.
Más información sobre la minería en Chile, puede encontrar en el sitio web del
Ministerio de Minería de Chile: www.minmineria.cl.
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
PÁGINAS 108 - 109
¿Cuánto sabes?
Ítem
Ítem
1
94
Habilidades que
se evalúan
1
Recordar.
2
Calcular.
3
Calcular y analizar.
4
Usar herramientas.
5
Calcular.
6
Analizar.
7
Representar y calcular.
Completamente logrado
Evaluación diagnóstica
En estas páginas, se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el
nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de
esta unidad.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta
una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes
criterios:
Ítem 1: responde las preguntas planteadas.
Ítem 2: resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Ítem 3: determina si los pares de ecuaciones dadas son equivalentes, justificando
su respuesta.
Ítem 4: grafica funciones lineales y afines en el plano cartesiano.
Ítem 5: evalúa expresiones algebraicas.
Ítem 6: determina si las proposiciones dadas son verdaderas, justificando sus
respuestas.
Ítem 7: determina las variables involucradas en cada problema, plantea la ecuación
correspondiente, la resuelve y verifica la pertinencia de la solución encontrada.
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Responde correctamente • Responde correctamente • Responde correctamente • Responde correctamente
todas las preguntas
más de tres de las pregun- tres de las preguntas
menos de tres de las preplanteadas.
tas planteadas.
planteadas.
guntas planteadas.
• Las explicaciones y
• La mayoría de las
• La mitad de las explica• Las explicaciones y
respuestas entregadas son explicaciones y respuestas
ciones y respuestas entre- respuestas entregadas son
claras y completas.
entregadas son claras y
gadas son claras y compoco claras e incompletas.
completas.
pletas.
| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Ítem
2
3
4
5
6
7
Completamente logrado
• Resuelve correctamente
todas las ecuaciones
planteadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las igualdades para resolver las
ecuaciones.
Logrado
• Resuelve correctamente
más de tres de las ecuaciones planteadas.
• Aplica correctamente las
propiedades de las igualdades para resolver las
ecuaciones.
Medianamente logrado
• Resuelve correctamente
tres de las ecuaciones
planteadas.
• Aplica correctamente en
la mitad de los casos las
propiedades de las igualdades para resolver las
ecuaciones.
Por lograr
• Resuelve correctamente
menos de tres de las
ecuaciones planteadas.
• Aplica incorrectamente
las propiedades de las
igualdades en la mayoría
de los casos para resolver
las ecuaciones.
• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente
en todos los casos si los
en la mayoría de los
en dos casos si los pares
en menos de dos casos si
pares de ecuaciones precasos si los pares de
de ecuaciones presentadas los pares de ecuaciones
sentadas son equivalentes. ecuaciones presentadas
son equivalentes.
presentadas son equiva• Aplica correctamente
son equivalentes.
• Aplica correctamente en
lentes.
las propiedades de las
• Aplica correctamente las
la mitad de los casos las
• Aplica incorrectamente
igualdades para determinar propiedades de las igualpropiedades de las iguallas propiedades de las
las equivalencias.
dades para determinar las
dades para determinar las
igualdades en la mayoría
equivalencias.
equivalencias.
de los casos para determinar las equivalencias.
• Dibuja correctamente un • Dibuja correctamente un • Dibuja correctamente un • Dibuja de forma incorrecta
plano cartesiano.
plano cartesiano.
plano cartesiano.
un plano cartesiano.
• Grafica correctamente
• Grafica correctamente
• Grafica correctamente
• Grafica correctamente
todas las funciones dadas.
más de tres de las funtres de las funciones
menos de tres de las funciones dadas.
dadas.
ciones dadas.
• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente
el valor de todas las
el valor de más de cuatro el valor de cuatro de las
el valor de menos de
expresiones presentadas
de las expresiones preexpresiones presentadas
cuatro de las expresiones
considerando los valores
sentadas considerando los considerando los valores
presentadas considerando
dados.
valores dados.
dados.
los valores dados.
• Aplica correctamente las • Aplica correctamente las • Aplica correctamente
• Aplica incorrectamente
propiedades de las
propiedades de las opera- las propiedades de las
las propiedades de las
operaciones.
ciones.
operaciones en cuatro de operaciones la mayoría
los casos presentados.
de los casos.
• Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente • Determina correctamente
si todas las proposiciones
si más de tres de las
si tres de las proposiciones menos de tres de las
dadas son correctas.
proposiciones dadas son
dadas son correctas.
proposiciones dadas son
• Justifica adecuadamente
correctas.
• Justifica adecuadamente
correctas.
cada una de las proposi- • Justifica adecuadamente
tres de las proposiciones • Justifica adecuadamente
ciones dadas.
más de tres de las
dadas.
menos de tres de las
proposiciones dadas.
proposiciones dadas.
• Para todos los enunciados • Para más de dos de los
planteados, define las
enunciados planteados,
variables, plantea una
define las variables,
ecuación, resuelve la
plantea una ecuación,
ecuación y verifica la perresuelve la ecuación y
tinencia de la solución
verifica la pertinencia de
encontrada.
la solución encontrada.
• Para dos de los enuncia- • Para menos de dos de los
dos planteados, define las
enunciados planteados,
variables, plantea una
define las variables,
ecuación, resuelve la
plantea una ecuación,
ecuación y verifica la perresuelve la ecuación y
tinencia de la solución
verifica la pertinencia de
encontrada.
la solución encontrada.
Sistemas de ecuaciones lineales
|
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En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para responder
las preguntas relacionadas con funciones y sus parámetros. En caso de advertir un
conocimiento insuficiente, puede repasar los conceptos básicos, tales como:
ecuación, incógnita, solución, gráfica de una función afín y recta, ya que esto será
de utilidad para el estudio de esta unidad.
En el ítem 2, podría ocurrir que los y las estudiantes resuelvan de manera
incorrecta las ecuaciones, ya que aplican de forma errónea las propiedades de
las igualdades. Evite esto explicando y repasando cada una de estas propiedades.
Además, mencione la importancia de verificar la solución encontrada en la
ecuación correspondiente remplazando la incógnita por el valor obtenido.
En el ítem 3, podría ocurrir que los y las estudiantes determinen incorrectamente
si cada par de ecuaciones presentadas son equivalentes, ya que aplican de forma
errónea las propiedades de las igualdades. Evite esto explicando y repasando cada
una de estas propiedades.
En el ítem 4, podrían suceder que los alumnos y alumnas no recuerden cómo
graficar funciones afines. Para solucionar este inconveniente, recuerde a sus
estudiantes cómo graficar utilizando tabla de valores o a través de la pendiente
(m) y la intersección con el eje y (n), en una función de la forma f(x) = mx + n.
En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas hayan olvidado de la prioridad
de las operaciones aritméticas y cometan errores en tal sentido. Otro error
común es que eliminen mal los paréntesis de una expresión, no considerando,
por ejemplo, un signo negativo delante de un paréntesis. Es fundamental repasar
esto, ya que evaluar una expresión algebraica es el método de comprobar una
solución, procedimiento que se utilizará constantemente en esta unidad.
Aprendizaje de conceptos claves
a tratar en la unidad.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de introducir los
conceptos claves de la unidad,
como ejercitación.
En el ítem 6, podría presentar problemas la justificación de las proposiciones, ya
que puede que no recuerden estos contenidos. Sería conveniente que recordara
los principales conceptos con este contenido, ya que están estrechamente
relacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
En el ítem 7, el principal problema podría estar en que los alumnos y alumnas
pueden tener dificultades para definir variables y expresar problemas como
ecuaciones. En particular, pueden tener dificultades para expresar en términos
matemáticos, expresiones tales como “el triple de un número”, “la mitad de
un número”, “un número dobla al otro” o expresar como una ecuación
2
x
“dos números están en proporción de 2 : 7” o sea
=
, etc. Puede
7
y
remediar esto haciendo una lista de tales expresiones en el pizarrón y sus
equivalentes en términos de operaciones o ecuaciones. Es importante que sus
estudiantes acostumbren resolver problemas y que vean las ecuaciones y los
sistemas de ecuaciones como una herramienta para la resolución de problemas y
no como un contenido aislado de su aplicación real.
冢
96
| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
冣
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
PÁGINAS 110 - 111
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Se busca introducir el tema de estudio de la unidad discutiendo primero el
concepto de ecuación lineal en dos incógnitas.
El estudiante debe comprender que una ecuación lineal con dos incógnitas puede
manipularse tal como las ecuaciones con una incógnita. Es decir, mediante algunas
operaciones (similares a las utilizadas para resolver una ecuación), se obtienen
ecuaciones equivalentes.
En general, una ecuación lineal con dos incógnitas podrá tener soluciones finitas
si se restringe el conjunto en el cual se buscan las soluciones. Por ejemplo, en el
problema planteado al inicio, puesto que x e y representan una cantidad de
discos, deben ser números enteros y además cumplir tanto 0 <
– x<
– 55 como
<
0<
y
55,
de
modo
que
la
ecuación
tiene
como
solución
a
todos
los pares de
– –
números enteros que cumplen lo anterior.
Cuando no se plantea tal restricción, se asume que el conjunto donde se busca la
solución corresponde a los números reales, tanto para x como para y. Por lo
tanto, las soluciones son infinitas. Puede plantear algunos problemas para clarificar
este punto, las actividades complementarias 1 y 2, son pertinentes.
Actividades complementarias
1. Considera la ecuación x + y = 10, ¿cuántas soluciones hay si solo se admite
como solución pares de números naturales? Escríbelas. ¿Y si se admite pares
de números enteros?, ¿y si se busca la solución entre pares de reales?
2. La velocidad de un móvil con aceleración constante una dimensión y el tiempo
2
se relacionan mediante la ecuación v = (10 m/s – 5 m/s · t). Responde:
a. ¿En qué momento del tiempo el móvil está en reposo?
b. ¿El móvil está acelerando o desacelerando?
c. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el móvil lleve una velocidad
de –100 m/s?
d. ¿Qué velocidad llevaba el móvil cuando el reloj estaba en 0?
3. Si x > 0, encuentra algunas soluciones a la ecuación x = y – x.
Actividad
1y3
Habilidades que
se desarrollan
Calcular.
2
Interpretar,
representar y calcular.
4
Interpretar y
representar.
Errores frecuentes
• Un error común al resolver
ecuaciones es trasladar una
cantidad de un lado a otro de la
igualdad sin el correspondiente
cambio de signo, ya que el alumno
o la alumna podría no entender
en realidad el procedimiento. Se
sugiere dar un ejemplo, mostrando
que de esta forma no se obtiene
una ecuación equivalente o
mostrando que para eliminar una
cantidad de un lado de la ecuación
ha de sumarse la misma cantidad,
pero con signo contrario, a ambos
lados de la ecuación. Visualmente,
el resultado de esta operación
(que entrega una ecuación
equivalente) es que dicha cantidad
“pasa al otro lado” de la ecuación
con signo contrario. Lo mismo
puede hacerse en el caso de la
multiplicación.
4. Si tengo 3 masas de 1 kg, una ubicada en el origen (0), otra ubicada a una
distancia x del origen y una tercera ubicada a una distancia y del origen. La ley
de gravitación de Newton dice que la fuerza que sentirá la masa central será
1
1
F=– 2 +
(un signo negativo significa que la fuerza tira la masa
2
x
(y – x)
hacia la izquierda, en este caso el primer término es la contribución de la masa
en el origen. Un signo positivo indica una fuerza hacia la derecha, en este caso
el segundo término corresponde a la fuerza ejercida sobre la segunda masa
por la tercera). Determina algunas posiciones de las masas 2 y 3 de modo que
la fuerza sobre la masa central sea cero (esté en equilibrio).
a. Si y = 20 m, encuentre la posición de equilibrio de la masa central.
Sistemas de ecuaciones lineales
|
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PÁGINAS 112 - 113
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Representar y
analizar.
1y2
3
Verificar.
Aplicación de un sistema de
ecuaciones a la resolución de un
problema.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como un introducción
a la aplicación de los sistemas
de ecuaciones.
PÁGINAS 114 - 117
Herramientas tecnológicas
Actividad
1
Representar y
calcular.
2
Representar y
analizar.
3y4
98
Habilidades que
se desarrollan
Analizar.
Planteo de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Indicaciones para el docente
En esta sección se introduce el concepto central de la unidad. En Internet puede
encontrar variados ejemplos de aplicaciones de tales ecuaciones a la economía,
ciencias, ingeniería, matemática aplicada, etc., de modo que puede dedicar unos
minutos de su clase para motivar a sus alumnos y alumnas hablándoles al respecto.
Tal vez encuentre en alguna biblioteca el libro Fundamentos de Álgebra, de
C. Allendoerfer y C. Oakley, McGraw-Hill, 1967. En este libro, además de
encontrar excelente material sobre casi todos los contenidos de la matemática
secundaria, encontrará particularmente bien explicadas aplicaciones referentes a
oferta y demanda y optimización (programación lineal) y también muchos
problemas resueltos o con sus respuestas.
Un punto a destacar es que la solución de un sistema es siempre un par de
números. Decir que una solución es, por ejemplo, x = 6, no tiene sentido.
Método gráfico
Indicaciones para el docente
En esta sección se establece finalmente la conexión entre función afín y ecuación
lineal con dos incógnitas. De este modo, los y las estudiantes pueden representar
una ecuación lineal en dos incógnitas como una recta.
No obstante, si se presentase un sistema de la forma 3x + y = 18, x = 45, no
podríamos usar las gráficas de la funciones afines para interpretar la segunda
ecuación como una recta. No toda recta corresponde a la gráfica de una función
2
afín, en particular la recta L = 冦(x, y) ∈ ⺢ : x = 3冧, corresponde a la ecuación en
dos variables x = 3 y no es la gráfica de una función afín ni de ninguna clase.
Sistemas tales como 3x + y = 18, x = 45, tienen sentido, y para efectos de
representación en el plano son dos rectas. El alumno o alumna debe entender la
ecuación x = 3, no como un punto en la recta real, sino como la recta vertical
correspondiente. Es posible que también causen dificultad ecuaciones tales como
y = –17, que corresponde a una recta horizontal. Claro está que sería una
pérdida de tiempo resolver uno de tales sistemas mediante el método gráfico,
pues, por su forma, su solución está casi explícita.
Cuando se intenta resolver un sistema gráficamente, puede resultar difícil
determinar con precisión, a partir del dibujo, cuál es efectivamente la solución.
Es muy importante entonces que los alumnos y alumnas comprueben siempre
las soluciones obtenidas.
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Actividades complementarias
Puede aprovechar Graphmatica para resolver el siguiente problema:
1. Dos automóviles emprenden un viaje desde Santiago a Puerto Montt. El
segundo automóvil retrasa su partida en 30 minutos. Si el primer automóvil
mantiene una velocidad constante de 80 km/h y el segundo mantiene
120 km/h, ¿alcanzará el segundo automóvil al primero antes de llegar a
Puerto Montt?, ¿y si la velocidad del primer automóvil fuera 119 km/h?
(Use que la posición de un cuerpo que se mueve con velocidad constante
está dada por s(t) = s0 + vt, donde s0 es la posición del cuerpo en t = 0 y
t el tiempo).
Extracción de información de la
forma gráfica de un sistema de
ecuaciones.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar una vez enseñada la
relación entre la posición de las
rectas en el plano cartesiano y los
sistemas de ecuaciones lineales.
Note que la pregunta ¿alcanzará el segundo automóvil…? puede decidirse
gráficamente sin necesidad de resolver sistema alguno, graficando la ecuación
correspondiente a cada auto y fijándose si el punto que representa la solución
tiene coordenada s menor que la distancia a Puerto Montt.
Problemas de cinemática en una dimensión pueden servir como motivación al
estudio gráfico de ecuaciones.
PÁGINAS 118 - 119
Análisis de las soluciones en el plano cartesiano
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
El método gráfico ayuda a decidir el problema de la existencia y unicidad de las
soluciones para algunos sistemas. En todos los ejemplos planteados en el Texto,
ocurre que uno puede observar cuándo dos rectas coinciden, son paralelas o son
secantes. Es importante que los alumnos y alumnas entiendan que esto puede
hacerse en casos especiales.
También es difícil, en general, encontrar la solución exacta, salvo en algunos casos.
De todas maneras, usando programas graficadores, que tengan funciones que
permiten cambiar la escala o ampliar una determinada zona del plano, se puede
estimar una solución con tantos decimales como se quiera.
Para ilustrar lo anterior, puede utilizar Graphmatica para llevar a cabo la siguiente
actividad demostrativa.
El que dos rectas parezcan paralelas cerca del origen no quiere decir que en
efecto lo sean. Por ejemplo, consideremos el sistema:
y = 2,00x + 1
y = 2,01x + 2
Grafique el sistema y pregunte ¿se puede afirmar que las rectas son paralelas?
Aunque con la escala predeterminada, parece que lo son, realmente no es así.
Vaya al menú View resalte la opción Scrollbars. Aparecerán barras de deslizamiento
horizontal y vertical. Utilícelas para moverse al punto de intersección de las dos
rectas. Utilice el botón Zoom In y estime la solución del sistema.
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Representar y
analizar.
2
Representar y
calcular.
3
Conjeturar y evaluar.
Reconocimiento en el plano cartesiano de rectas secantes, paralelas y
coincidentes y su relación con
sistemas de ecuaciones lineales
compatibles e incompatibles.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como ejercitación para aplicar
los conceptos a casos concretos.
Sistemas de ecuaciones lineales
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Actividades complementarias
1. Pídales a sus alumnos y alumnas que inventen un sistema, de modo las
ecuaciones parezcan paralelas cerca del origen, pero las rectas que
representan se intersectan en realidad muy lejos del origen. Como indicación
puede decirles que se fijen en las ecuaciones de la actividad anterior ¿En qué
son distintas?, ¿en qué son casi iguales? Deben usar Graphmatica.
2. Estimar con 8 decimales (ver unidad Números y raíces) la solución del
sistema.
− 2 x + 5 5y = −1
5x − 7 2 y = 1
Para ello, pueden usar la función Zoom In y acotar cada una de las componentes
de la solución, tal como se explica en la unidad Números y raíces.
PÁGINA 120
Mi progreso
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1
Interpretar y verificar.
2
Analizar.
3
Calcular y analizar.
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en el
cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones dados.
Ítem 2: determinar si las afirmaciones dadas son verdaderas.
Ítem 3: decidir si los sistemas dados tienen solución sin resolverlos.
Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel
de desempeño alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
1
• Reconoce correctamente
todos los planos cartesianos.
• Encuentra las soluciones
a todos los sistemas de
ecuaciones.
• Verifica cada una de las
soluciones encontradas.
• Reconoce correctamente
dos planos cartesianos.
• Encuentra las soluciones
a dos de los sistemas de
ecuaciones.
• Verifica cada una de las
soluciones encontradas.
• Reconoce correctamente
un plano cartesiano.
• Encuentra las soluciones
a menos de dos de los
sistemas de ecuaciones.
• Verifica algunas de las
soluciones encontradas.
• No reconoce correctamente
los planos cartesianos.
• No encuentra las
soluciones de los sistemas
de ecuaciones.
• Verifica cada una de las
soluciones encontradas.
2
• Determina correctamente
si todas las afirmaciones
dadas son verdaderas o
falsas.
• Justifica de forma clara y
completa todas sus
respuestas.
• Determina correctamente
si tres de las afirmaciones
dadas son verdaderas o
falsas.
• Justifica de forma clara
y completa tres de sus
respuestas.
• Determina correctamente
si dos de las afirmaciones
dadas son verdaderas o
falsas.
• Justifica de forma clara y
completa dos de sus
respuestas.
• Determina correctamente
si menos de dos de las
afirmaciones dadas son
verdaderas o falsas.
• Justifica de forma poco
clara e incompleta sus
respuestas.
100
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Ítem
3
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Determina correctamente
en todos los casos si los
sistemas planteados tienen
o no solución.
• Argumenta de forma clara
y completa su decisión.
• Determina correctamente
en dos de los casos si los
sistemas planteados tienen
o no solución.
• Argumenta de forma clara
y completa su decisión.
• Determina correctamente
en uno de los casos si los
sistemas planteados tienen
o no solución.
• Argumenta de forma
poco clara e incompleta su
decisión.
• Determina incorrectamente
en todos los casos si los
sistemas planteados tienen
o no solución.
• Argumenta de forma
poco clara e incompleta su
decisión o no argumenta
sus decisiones.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades para
reconocer la representación gráfica de cada sistema de ecuaciones, y por esto sus
soluciones encontradas sean incorrectas. Para solucionar esto, refuerce las
condiciones que permiten reconocer la gráfica de las ecuaciones a través sus
parámetros, es decir, la pendiente y la intersección con el eje Y
En el ítem 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas justifiquen de manera
incorrecta las afirmaciones planteadas, debido básicamente a que no comprendan
bien la relación entre los tipos de rectas y los tipos de soluciones en un sistema
de ecuaciones lineales. Para corregir esto, es importante que aclare esto a sus
estudiantes explicando cada uno de estos conceptos, para que en el futuro no
tengan problemas como estos.
En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para
determinar si los sistemas de ecuaciones dados tienen solución, debido a que no
están familiarizados ni acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades, tales
como amplificar o simplificar ecuaciones. Para evitar problemas como estos,
muestre constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes
y más sencillas que se pueden obtener al aplicar estas propiedades, de tal modo
que ellos en otras ocasiones puedan visualizar equivalencias en diversas ecuaciones.
PÁGINAS 121 - 122
Método de igualación
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
El método de igualación es el más simple de los métodos presentados en esta
unidad. El problema se reduce finalmente a resolver dos ecuaciones lineales con
una incógnita. Se sugiere hacer hincapié en que cuando se ha encontrado una
solución para, por ejemplo la incógnita x, puede remplazarse este valor en
cualquiera de las dos ecuaciones originales, puesto que, por definición, una
solución del sistema es un par de números que satisface ambas ecuaciones.
Actividad
1
2y3
Habilidades que
se desarrollan
Calcular y clasificar.
Aplicar y calcular.
Sistemas de ecuaciones lineales
|
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Page 102
PÁGINAS 123 - 124
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Calcular y clasificar.
2, 3, 4 y 5
Aplicar y calcular.
PÁGINAS 125 - 126
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Calcular y clasificar.
2
Verificar o comprobar.
Método de sustitución
Indicaciones para el docente
En esta sección se le exige al alumno un correcto manejo de expresiones
algebraicas. Debe insistirles en eliminar paréntesis y simplificar cuando sea posible.
En particular, al operar fracciones con expresiones algebraicas en su denominadores.
Se sugiere recalcar que cuando se ha encontrado una solución para una incógnita,
puede remplazarse este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales.
Método de reducción
Indicaciones para el docente
El método presentado en esta sección es, en esencia, el método que consiste en
buscar una solución transformando el sistema en uno equivalente cuya solución sea
inmediata. En la literatura matemática, los métodos conocidos como eliminación
gaussiana o reducción mediante operaciones elementales son básicamente esto.
Estos métodos son más generales y permiten manejar sistemas de cualquier
número de ecuaciones, además de ser particularmente apropiados para
programarse en una computadora. Puede motivar a sus estudiantes averiguando
sobre aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales a la economía, ingeniería,
programas de videojuegos y ciencias en general.
Si le parece, puede mostrar que convenientemente aplicado este método permite
en realidad resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, o cuatro o
cinco, etc. He aquí un ejemplo de cómo hacerlo con un sistema de tres ecuaciones
y tres incógnitas:
3x + 2y – z = 8
x – y + 2z = –3
x+y+z=2
La estrategia es obtener un sistema equivalente que contenga una ecuación
donde solo aparece z, otra donde solo aparece z e y, por último una donde
aparecen x, z e y. Conservemos las dos primeras ecuaciones y la última la
cambiamos por la resta de la segunda con la tercera:
x − y + 2z = −3
→ −2y + z = −5
x+y+z =2
O sea eliminamos x de la tercera ecuación. Obtenemos el sistema equivalente:
3x + 2y – z = 8
x – y + 2z = – 3
–2y + z = – 5
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| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Ahora eliminemos x de la segunda ecuación. Para hacer esto, podemos cambiar
la segunda ecuación por la primera menos 3 veces la segunda:
⎪⎧ 3x + 2y − z = 8 ⎪⎫
−⎨
⎬ → 5y − 7z = 17
⎪⎩3 · ( x − y + 2z = −3)⎪⎭
Llegamos al sistema equivalente:
3x + 2y – z = 8
5y – 7z = 17
–2y + z = – 5
Ahora solo resta eliminar y de la tercera ecuación. Podemos cambiar la tercera
ecuación por 2 veces la segunda ecuación más 5 veces la tercera:
.
⎪⎧2 ( 5y − 7z = 17) ⎪⎫
+⎨
⎬ → −9z = 9
⎪⎩ 5 (−2y + z = −5)⎪⎭
Obtenemos, finalmente, el sistema equivalente:
3x + 2y – z = 8
5y – 7z = 17
–9z = 9
Ahora es sencillo resolver el sistema. La tercera ecuación dice que z = –1.
Remplazando este en la segunda, se obtiene 5y + 7 = 17, es decir y = 2.
Finalmente, se remplaza z = –1 e y = 2 en la primera ecuación que queda
3x + 4 + 1 = 8 y, por lo tanto, x = 1.
El trío de números x = 1, y = 2 y z = –1 es una solución del sistema.
Otra aplicación de tales ideas es la siguiente:
Consideremos un sistema general.
ax + by = e
cx + dy = f
Puede mostrar cómo se resuelve este en general: se multiplica la primera
ecuación por c y se le restamos la segunda multiplicada por a:
⎧⎪c ⎡⎣ax + by = e ⎤⎦ ⎫⎪
−⎨
⎬ → bcy − ady = ce − af
⎩⎪a ⎡⎣cx + dy = f ⎤⎦⎪⎭
Factorizando por y la ecuación anterior queda: y(bc – ad) = ce – af. La solución es:
y=
af – ce
ad – bc
Todo esto funciona si ad – bc ≠ 0. Si se resuelve de manera similar para x, se
obtiene:
de – bf
x=
ad – bc
Sistemas de ecuaciones lineales
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Conocimiento de los métodos
de resolución de sistemas de
ecuaciones.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al concluir los tres
métodos algebraicos, como
ejercitación.
Es decir se pueden obtener expresiones algebraicas para obtener las soluciones,
siempre que el sistema cumpla que ad – bc ≠ 0. Estas no son más que las
expresiones obtenidas mediante el método de Cramer. Este último método
podría ser interesante de plantear una vez que el o la docente sienta que sus
estudiantes manejan los métodos de resolución. Puede servir incluso como una
forma de comprobar la validez de las soluciones obtenidas mediante los métodos
anteriores. Sin duda, jamás se aprenderá matemáticas mediante la memorización
de fórmulas, no obstante esto, tampoco se debe despreciar la confortable rutina
de su uso.
Debe insistirse en la correcta manipulación de expresiones algebraicas en dos
variables, con ejemplos tales como:
(5x + 8y) – 2(17x –
9
y) = (5 – 2 · 17)x + (8 + 9)y = –29x + 17y
2
Los errores de signo son también comunes a todo nivel. Una forma de evitarlos
es aconsejar orden al momento de escribir el desarrollo de una solución. Si el
alumno o la alumna no está seguro de una manipulación se le puede decir que la
lleve a cabo en tantos pasos como le parezca pertinente a fin de evitar este tipo
de errores. Por supuesto que la mejor forma de detectar un error es comprobar
siempre la solución.
Actividades complementarias
1. Explica cómo podrías resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales con
cuatro incógnitas.
2. Observa que al resolver el sistema general (con letras como coeficientes) hemos
encontrado una fórmula para las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones
que cumpla que ad – bc ≠ 0. Con esto en mente escribe de inmediato, sin usar
ninguno de los métodos aprendidos, la solución de los sistemas:
a. −x + y = 2
b. 2x + 3y = 7
−2x + y = 0
x + 6y = −1
c. 2x + 5 5 y = −21
5 x + 2 2y = 21
3. De acuerdo con las fórmulas planteadas, si un sistema tiene coeficientes
racionales, ¿puede tener una solución (x, y) donde ya sea x o y sean
irracionales? Recuerda que suma, resta, multiplicación y división (excepto el 0)
de números racionales siempre es un número racional.
PÁGINAS 127 - 128
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Reconocer/identificar.
2
Verificar o comprobar.
104
Análisis algebraico de las soluciones
Indicaciones para el docente
Tal como se comentó en la sección anterior, aparece aquí el método de encontrar
sistemas equivalentes para resolver un sistema, ahora en el contexto de analizar
existencia y unicidad de soluciones.
Puede considerarse también, como se sugiere en el ejemplo método de igualación
en el Texto, que, al aplicar el método de reducción para resolver un sistema que
no tiene solución, se obtiene una contradicción. Puede considerar nuevamente el
ejemplo del Texto. Para eliminar cualquiera de las incógnitas, se debe restar, lo que
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
lleva a que 0 = –2, lo que es contradictorio. Luego, el sistema no tiene solución.
De igual modo, si el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas
soluciones), con cualquier método se obtiene la igualdad 0 = 0 (esto es por
que la única forma en que un sistema puede tener infinitas soluciones es que una
de las ecuaciones sea múltiplo de la otra).
En general, el concepto de sistemas equivalentes se aplica a todo tipo de sistemas
lineales y sirve tanto para resolver como para analizar las soluciones de sistemas.
Actividades complementarias
1. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones:
a. 3x – 6y + 12z = 8
–x + 2y – 4z = – 1
x+y+ z = 2
b. 2x – 4y + z = 0
c. x + y + z = 3
x+y+z = 5
2x + 2y + 2z = 1
x−y+z = 2
3x + y − z = 3
Analiza la existencia y unicidad de soluciones usando el concepto de
ecuaciones equivalentes. Si el sistema tiene una única solución, calcúlala.
2. ¿Como podrías resolver el sistema x + 2y − z = −3 ?
2x − y + z = 5
PÁGINAS 129 - 130
Pertinencia de las soluciones
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
En esta sección se le presentan al alumno o la alumna varios problemas que pueden
ser resueltos con la utilización de un sistema de ecuaciones. De este modo, se
ejemplifica en términos concretos el uso de sistemas de ecuaciones.
Puede motivar a los alumnos y alumnas interesados en ciencias o en economía
averiguando en Internet sobre posibles aplicaciones. Aunque debe advertirse que el
tratamiento de tales problemas requiere a menudo conocimientos específicos de los
campos de aplicación particulares.
Debe quedar claro que el método sugerido en la sección no es una receta universal
y siempre válida, sino más bien una lista de procedimientos a considerar a la hora de
plantear un problema en términos de ecuaciones.
También debe insistir en que una manera de advertir un error es fijarse en que las
soluciones sean adecuadas al problema planteado.
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar y calcular.
Actividades complementarias
En los problemas 1 al 7, se le pide al alumno o alumna plantear el problema en
términos de sistemas de ecuaciones. En los últimos dos problemas se le entrega
una ecuación que modela una situación y se le pide resolver un problema que
eventualmente deberá plantear usando la ecuación dada.
Sistemas de ecuaciones lineales
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1. Magdalena y Diego trabajan como obreros en una fábrica de muebles.
Magdalena fabrica 2 sillas más al día que Diego. Si trabajan juntos, fabrican
10 sillas al día, que es 2 menos de las que fabrican cuando trabajan separados.
¿Cuántas sillas fabrican cada uno cuando trabajan separados?
2. Dos números están en razón 1 : 4. Si el menor más 12 está en razón 2 : 3
con el mayor menos 12 ¿Cuáles son los números?
3. Considera la ecuación ax + by + 20 = 0, los pares (1, 3) y (–1, 2) son
soluciones de ella. Determina el valor de a y b.
4. Un rectángulo es tal que su perímetro es 42 y el cuociente entre el lado
mayor y el menor es 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
5. Los costos totales de operar una máquina anualmente están dados por la función
C(h) = F + hH. En esta función, F representa los costos fijos (mantención anual,
seguros, etc.) y H representa el costo de mantener la máquina operando una
hora (sueldo del operario, electricidad, etc.). Hace dos años, los costos de
operación fueron $ 2 500 000 y la máquina operó 300 h. El año pasado, los
costos fijos se duplicaron, se operó la máquina 400 h y los costos de operación
aumentaron en $ 1 500 000 en relación al año anterior. ¿Cuáles fueron los costos
fijos y de operación por hora de la máquina el año pasado?
6. La ecuación del gas ideal es PV = kT, donde P, V y T representan la presión,
volumen y temperatura de un gas, respectivamente, y k es una constante. Supón
que un gas encerrado en un recipiente rígido de volumen 1 000 obedece la
ecuación del gas ideal, con k = 1 (sin considerar las unidades). Se han averiado
los medidores de presión y temperatura de modo que solo se pueden medir
diferencias de ellas. Si al elevar la temperatura del gas en 2, su presión aumenta
en 3. ¿Cómo podemos determinar la presión y temperatura originales?
PÁGINAS 131 - 132
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Calcular.
2
Aplicar y calcular.
Otros sistemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales
Actividades complementarias
Es posible que, para ciertos sistemas que pueden ser resueltos mediante incógnitas
auxiliares, no exista una solución única al problema. Por ejemplo:
2
2
–x + y = –9
2
2
4x – 5y = 20
2
2
Si se usa como incógnitas auxiliares u = x y v = y , se obtiene u = 25 y v = 16, de
2
2
donde se tiene que x = 25 e y = 16. Las ecuaciones anteriores tienen soluciones
x = 5, x = –5 e y = 4, y = –4, respectivamente. Por lo tanto, las soluciones son
(5, 4), (5, –4), (–5, 4) y (–5, –4). Así que aunque se usen métodos ideados para
sistemas lineales, las soluciones no tienen que ser necesariamente una o infinitas.
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Puede suceder que un sistema se pueda resolver para las incógnitas auxiliares,
pero no tenga solución. Considere por ejemplo el sistema:
–1
1
+
= 28
x
y
1
1
+
= 22
x
y
Con incógnitas auxiliares u =
1
1
y u=
se obtiene un sistema lineal con
y
x
soluciones u = 25 y v = –3, lo que implicaría que la raíz de y es negativa. Luego,
el sistema no tiene solución.
PÁGINA 133
Resolución de sistemas en más
de dos variables o fraccionarios.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como ejercicios de
profundización de la resolución
de sistemas de ecuaciones.
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en
el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: determinar si los pares de sistemas de ecuaciones planteados
son equivalentes.
Ítem 2: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de igualación.
Ítem 3: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.
Ítem 4: resolver el sistema de ecuaciones usando el método de reducción.
Ítem 5: plantear sistema de ecuaciones con dos incógnitas y resolver.
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1
Reconocer/identificar.
2, 3 y 4
5
Calcular.
Aplicar y calcular.
Para los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
2
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Determina correctamente
si todos los pares de
sistemas de ecuaciones
dados son equivalentes.
• Aplica las propiedades de
las igualdades para obtener
ecuaciones equivalentes.
• Determina correctamente
si todos los pares de
sistemas de ecuaciones
dados son equivalentes,
pero no aplica las
propiedades de las
igualdades para obtener
ecuaciones equivalentes.
• Determina correctamente
si uno de los pares de
sistemas de ecuaciones
dados son equivalentes.
• Aplica en algunos casos
las propiedades de las
igualdades para obtener
ecuaciones equivalentes.
• No determina
correctamente si los pares
de sistemas de ecuaciones
dados son equivalentes.
• Aplica incorrectamente
las propiedades de las
igualdades o no las aplica
para obtener ecuaciones
equivalentes.
• Resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
igualación.
• Resuelve correctamente
dos de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante igualación.
• Resuelve correctamente
uno de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante igualación.
• No resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
igualación.
Sistemas de ecuaciones lineales
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Ítem
3
4
5
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Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
sustitución.
• Resuelve correctamente
dos de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante sustitución.
• Resuelve correctamente
uno de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante sustitución.
• No resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
sustitución.
• Resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
reducción.
• Resuelve correctamente
dos de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante reducción.
• Resuelve correctamente
uno de los sistemas de
ecuaciones presentados
mediante reducción.
• No resuelve correctamente
los sistemas de ecuaciones
presentados mediante
reducción.
• Define las variables,
plantea las ecuaciones,
resuelve el sistema y verifica
la pertinencia de la solución
encontrada.
• Justifica correctamente si
la solución es correcta.
• Define las variables,
plantea las ecuaciones,
resuelve el sistema, pero no
verifica la pertinencia de la
solución encontrada.
• Justifica correctamente si
la solución es correcta.
• Define las variables,
plantea las ecuaciones, pero
no resuelve el sistema.
• Justifica parcialmente si la
solución es correcta.
• Define las variables o
plantea las ecuaciones, de
forma incorrecta.
Justifica parcialmente o no
justifica si la solución es
correcta.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para
determinar si los sistemas de ecuaciones dados son equivalentes, debido a que
no están acostumbrados a aplicar propiedades de las igualdades. Para evitar
problemas como estos, muestre constantemente a sus estudiantes cómo
obtener ecuaciones equivalentes y más sencillas al aplicar estas propiedades,
de modo que en otras ocasiones ellos puedan visualizar con mayor facilidad
las equivalencias entre diversas ecuaciones.
• En los ítems 2, 3 y 4, podrían causar dificultades recordar los procesos que se
deben realizar en cada caso para encontrar la solución a los sistemas de
ecuaciones, según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamental
que sus estudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos.
Cuando ellos dominen cada uno de estos métodos, serán capaces de decidir
cuál es el más conveniente para un sistema de ecuaciones determinado, ya
que frecuentemente ocurre que para resolver un mismo sistema un método
resulta más complicado y con otro se puede obtener la solución fácilmente.
• En el ítem 5, el principal problema radica en que los alumnos y alumnas tengan
dificultades para definir las variables y expresar el enunciado del problema
como un sistema de ecuaciones. Para evitar esto, es importante que los y las
estudiantes estén habituados al proceso de resolución de problemas, y que
consideren las ecuaciones y también los sistemas de ecuaciones como una
herramienta para la resolución de problemas y no como un contenido aislado
de su aplicación real. También es importante que tengan presente el contexto
del problema y se acostumbren a verificar la pertinencia de la solución de
acuerdo al problema, como en este caso, que el número de respuestas
correctas e incorrectas debe ser un número entero positivo o cero.
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
PÁGINAS 134 - 135
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin
embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas para que
los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta
resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite
aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener. Se recomienda que
enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de problemas: comprender,
planificar, resolver y revisar.
En tu cuaderno
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar, calcular y
verificar.
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para
evaluar la resolución de problemas planteados.
Logro, aplicación
Comprensión
del problema o
situación
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
En proceso, logro parcial
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete
parte del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
No comprende
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
• Demuestra un entendimiento
conceptos
o algoritmos cuando usa
parcial o satisfactorio.
símbolos.
• Puede demostrar y explicar
• Conecta cómo y por qué.
usando una variedad de
• Aplica el concepto a problemodos.
mas o a situaciones nuevas.
• Está listo para hacer
• Hace y explica conexiones.
conexiones acerca de cómo
• Realiza lo pedido y va más allá.
y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimientos y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
• Chequea racionalidad de los
resultados.
• Reconoce sin razones.
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
Sistemas de ecuaciones lineales
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Page 110
Actividades complementarias
1. Una bolsa de azúcar tiene 60 gramos más que una bolsa de sal. Si la suma de
ambas bolsas es igual a 540 gramos, ¿cuánto pesa cada bolsa?
2. En una tienda de videos se ofrecen 2 formas de arriendo mensual. En la
primera, se cobra $ 2 400 de cargo fijo, más $ 1 500 por video; en la segunda,
se cobra $ 1 200 por cargo fijo más $ 2 000 por video.
a. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente.
b. Resuelve el sistema planteado y luego indica cuál es la oferta más conveniente.
3. Se necesita hacer un pedido de 656 litros de una solución de ácido al 23%. En
el laboratorio hay soluciones al 20% y 30%. ¿Cuántos litros de cada solución
se necesitan para responder al pedido?
4. Un químico farmacéutico desea fortificar una sustancia sintética que contiene
20% de agua del tipo A agregándole un químico con 60% de agua del tipo B.
La sustancia obtenida debe concentrar un 48% de ambas, debiendo llenarse
2 200 botellas de 1 litro. ¿Cuántos litros de agua del tipo A y del tipo B se
deben usar?
5. Un aeroplano recorre 90 millas en 3 horas con ayuda del viento a su favor.
En 3 horas y 36 minutos, realiza el viaje de regreso con el viento en contra.
A partir de estos datos, calcula:
a. La velocidad del viento.
b. La velocidad del avión sin considerar el viento.
PÁGINAS 136 - 137
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Usar herramientas.
2, 3 y 4
Aplicar.
5
Justificar.
Investiguemos...
Actividad
1y2
3
110
Habilidades que
se desarrollan
Evaluar.
Aplicar,
usar herramientas y
evaluar.
En terreno
• Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar los
contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, se
presenta una actividad sobre economía, relacionada con la oferta y demanda
de productos, específicamente la producción de madera en nuestro país, para
que los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de los sistemas
de ecuaciones lineales en temas como la economía.
• Las actividades que se presentan permitirán que los alumnos y alumnas se
interioricen en estos temas y además puedan aplicar todos los contenidos
aprendidos, como métodos de resolución (gráficos y algebraicos),
interpretación y pertinencia de resultados según el contexto.
• Para complementar la actividad del Texto para el Estudiante, sería interesante
que pudiera modelar con sus alumnos y alumnas las diversas situaciones
presentadas con algún software computacional, como Graphmatica, utilizado
en la sección Herramientas Tecnológicas del Texto para el Estudiante.
• Interesante información sobre economía y otros temas relacionados, que
puede ser de gran utilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puede
encontrar en los siguientes sitios en Internet.
- Ministerio de Economía de Chile www.economia.cl
- Ministerio de Hacienda de Chile www.hacienda.gov.cl
- Banco Central de Chile www.bcentral.cl
- Instituto Nacional de Estadísticas (INE) www.ine.cl
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
PÁGINAS 138 - 139
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y
alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos
trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues
los y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,
permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en
esta parte de la unidad.
En esta sección se sugiere a los y las estudiantes qué conceptos debiera incluir el
mapa conceptual de toda la unidad, para que ellos lo construyan en sus cuadernos,
resumiendo y organizando así los contenidos trabajados en toda la unidad.
Síntesis de la Unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar.
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado con dos incógnitas?
• ¿Ocurre lo mismo con una situación que se modela con una ecuación de
primer grado con dos incógnitas? Justifica.
• ¿Siempre es conveniente utilizar el método gráfico para resolver sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿por qué?, ¿en qué casos es útil?
• ¿Qué métodos conoces para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas?, ¿en qué consiste cada uno de ellos?
• ¿En qué hay que fijarse cuando se enfrenta a un problema que se puede
resolver con sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?, ¿qué pasos
se deben seguir para dar solución al problema?
Repaso de conceptos y
definiciones claves de la Unidad.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como síntesis para integrar
conceptos y definiciones de
la unidad.
Para aplicar los contenidos aprendidos en la unidad, puede presentar problemas
como los siguientes:
• Un grupo de amigos almuerza en un restaurante. A la hora de pagar, observan
que, si cada uno coloca $ 3 000, faltan $ 2 000 para cancelar el total, mientras
que si cada uno coloca $ 3 500, sobran $ 4 000. ¿Cuántos amigos fueron a
almorzar?, ¿cuánto deben cancelar en total?
• Una fábrica produjo hoy 1 500 unidades más que ayer, y lo que produjo
entre ayer y hoy es 3 000 unidades más que el tercio de lo que produjo ayer.
¿Cuánto produjo hoy y cuánto ayer?
Sistemas de ecuaciones lineales
|
111
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PÁGINAS 140 - 141
Evaluación de la Unidad
1, 2, 3,
5, 9 y 12
Calcular.
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de diez preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.
10, 11 y 13
Analizar.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
4, 6, 7 y 8
Analizar y calcular.
• En los ítems 1, 2, 3, 4, 5, 8 y 9, podrían causar dificultades recordar los
procesos que se deben realizar para resolver los sistemas de ecuaciones,
según el método que se utilice. Para evitar esto, es fundamental que sus
estudiantes practiquen insistentemente cada uno de estos métodos. Ellos
serán capaces de decidir cuál es el más conveniente para un sistema de
ecuaciones determinado, ya que frecuentemente ocurre que para resolver un
mismo sistema, un método resulta más complicado y con otro se puede
obtener la solución fácilmente.
• En el ítem 10, se podrían presentar inconvenientes relacionados con la
obtención de sistemas equivalentes, esto debido a las operatorias que se
hacen en las ecuaciones del sistema. Para solucionar esto, es importante que
sus estudiantes se manejen en las propiedades de las igualdades para poder
operar correctamente en las ecuaciones y así poder obtener sistemas de
ecuaciones equivalentes a los dados.
• En el ítem 11, puede suceder que los alumnos y alumnas se compliquen para
realizar cambio de variables y obtener sistemas de ecuaciones equivalentes
pero más sencillos que el original. Para remediar situaciones como esta, es
importante mostrar diversos sistemas de ecuaciones donde sea conveniente
utilizar incógnitas auxiliares, de esta forma ellos podrán enfrentar de mejor
manera futuros sistemas de ecuaciones que requieran incógnitas auxiliares.
• En el ítem 12, puede ocurrir que los alumnos no comprendan cómo
determinar qué opciones no son solución a la ecuación de primer grado con
dos incógnitas presentada, sobre todo aquellas que están representadas en
función de las variables de la ecuación. Para remediar esto, es importante
mencionar a los alumnos y alumnas que una forma efectiva de hacerlo es remplazar los valores dados en la ecuación presentada y, si se cumple la
igualdad, entonces estos valores son solución de la ecuación; también
reescribir la ecuación original como las opciones algebraicas que se entregan, si
es posible hacerlo, significa que también es solución de la ecuación.
• En el ítem 6, 7 y 13, podría ocurrir que sus estudiantes no relacionen bien el
tipo de representación de las rectas en el plano cartesiano con el tipo de soluciones en el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para evitar este
tipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes dominen muy bien
estos conceptos para poder enfrentar de buena forma futuros problemas y
preguntas de este tipo.
Evaluación
Ítem
Habilidades que
se evalúan
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva y,
además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
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| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 3
Evaluación final
En las páginas siguientes, se presenta una evaluación que puede fotocopiar y que
le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad. Con
los resultados de esta evaluación, se puede tomar la decisión de reforzar algunos
temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.
El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la
siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
Total
1, 2, 7, 10, 12 y 14
Calcular.
2 puntos cada una
12 puntos
3, 4, 6, 8 y 11
Aplicar y calcular.
2 puntos cada una
10 puntos
5, 9 y 13
Calcular y clasificar.
2 puntos cada una
6 puntos
Puntaje total
28 puntos
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.
Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.
Magnus, Hans. El diablo de los números, Editorial Siruela, Madrid, 1998.
Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.
Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.
Sociedad de Matemáticas de Chile. Matemáticas y Olimpíadas, Santiago de Chile, 1994.
Paulos, John Allen. El hombre anumérico. Libros para pensar la ciencia. España, 1997.
Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.
Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Editorial Limusa, México, 1998.
Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998.
Sitios web
• Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/
• El portal de la educación: www.educarchile.cl
• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Sistemas de ecuaciones lineales
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Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?
8x + 4y = −12
−12x + 5y = −15
A.
B.
C.
D.
E.
(0, –2)
(0, –3)
(–3, 0)
(0, 3)
Ninguna de las anteriores
2. ¿De qué sistema es solución x = 1 e y = –1?
A. 2x − 3y = 5
x+y=0
D. 2x − 3y = 5
x+y=2
B. 3x − 3y = 5
x+y=0
E. 2x − 3y = 5
−x + y = 2
C. 3x − 2y = 5
x−y=0
4. Las edades de dos personas están en la razón
7 : 4, y una de ellas tiene 6 años más que la
otra, ¿cuál es la edad de la persona mayor?
A.
B.
C.
D.
E.
6
8
12
14
No se puede determinar.
5. Al resolver el sistema, se puede afirmar que:
4x − 6y = −8
−12x + 18y = 5
A.
B.
C.
D.
E.
No tiene solución.
Tiene solo una solución.
Tiene infinitas soluciones.
Tiene dos posibles soluciones.
Ninguna de las anteriores.
6. La suma de dos números es 3 y su diferencia
es 4. ¿Cuáles son los números?
3. La medida de los ángulos BAC y BCA son,
respectivamente:
A
x+y
3x + 2y + 25
2x
B
A.
B.
C.
D.
E.
114
C
25º y 65º
30º y 60º
40º y 50º
400 y 130º
Falta información.
| Unidad 3 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
A.
B.
C.
D.
E.
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
3,5; y = –0,5
–3,5; y = –0,5
3,5; y = 0,5
4,5; y = –1,5
–4,5; y = –0,5
7. ¿Cuál es el valor de xy si 5x − y = −12 ?
x − y = −4
A.
B.
C.
D.
E.
–8
–4
2
4
8
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Evaluación final
Material fotocopiable
8. Una llave tarda cuatro veces más tiempo que
otra en llenar un recipiente. ¿Cuánto tardará
cada una por separado en llenar el recipiente,
sabiendo que cuando se abren las dos a la vez
tardan 8 horas en llenar el mismo recipiente?
Llave 1 Llave 2
16 h
4h
8h
2h
12 h
3h
10 h
40 h
2,5 h
10 h
A.
B.
C.
D.
E.
9. La representación gráfica de las ecuaciones del
sistema
A.
B.
C.
D.
E.
2x − 3y = 4
corresponde a:
−12x + 18y = 0
Dos rectas paralelas.
Dos rectas concurrentes.
Dos rectas coincidentes.
Dos rectas perpendiculares.
No corresponde a rectas.
12. En el sistema: 4x − m y = 9 , ¿qué valores
nx + 7y = −11
deben tener m y n, respectivamente, para que
la solución sea el par (2, 1)?
A.
B.
C.
D.
E.
1y9
–1 y –9
–5 y –4
5y4
Ninguna de las anteriores.
13. Sobre las soluciones del siguiente sistema
x + 2y = 5
es posible afirmar que:
−2x − 4y + 10 = 0
A.
B.
C.
D.
E.
Tiene una solución.
Tiene dos soluciones.
Tiene infinitas soluciones.
No tiene solución.
No se puede determinar.
14. Considera el siguiente sistema de ecuaciones
10. Si 6x − 20y = 80 , entonces x – y:
8x + 6y = 18
A.
B.
C.
D.
E.
14
7
–7
3,5
6
ay = kx − 4
donde a y k son constantes
8y = 3x − 12
positivas. El valor que debe tomar a y k para
que el sistema tenga infinitas soluciones es:
A. a = 3 y k = 3
B. a = 8 y k = 3
C. a = 8 y k = 1
11. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en
un corral si entre todos juntan 44 cabezas y
148 patas?
A.
B.
C.
D.
E.
30
20
14
12
29
gallinas
gallinas
gallinas
gallinas
gallinas
y
y
y
y
y
14
24
30
32
15
D. a = 8 y k = 1
3
E. a = 1 y k = 3
conejos
conejos
conejos
conejos
conejos
Sistemas de ecuaciones lineales
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Taller 1
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Taller de evaluación 1
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1.
0
x + 2 = 3, entonces x:
A. –1
D. 7
B. 1
E. 9
2
3
A.
a
D.
3
3b
C. 5
B. a
2. Si a es un número impar positivo, ¿cuál de los
siguientes números es siempre un número
irracional?
I.
11a
II.
11
2
3
a
B. 3
1–a
6. Simplifica:
–2
1+a
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y II
II y III
a
b
E. 1
III. a
A.
B.
C.
D.
E.
0 –2
5. El valor de (2ab – 2) : (3 a b) es:
A.
B.
–1
a +1
a
a
D.
a
a −1
E.
a −1
a
2
2
a −1
2
2
3.
2
–
7 –1
7 +1
2
3
1
B.
3
1
C.
6
A.
C.
a
=
D. 0
E.
3
2
3
7. (Ensayo PSU, 2004) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s)
expresión(es), al ser simplificada(s), resulta(n) 1?
I.
2a + 3
3 + 2a
2
2
a –b
II.
(a – b)
4. Si el área de un triángulo equilátero es
2
25 3 m , entonces el lado mide:
A. 5 3 m
D. 20 3 m
B. 10 m
E. 50 3 m
C. 100 cm
116
a −1
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
III.
(b – a)
2
2
2
a + b – 2ab
A.
B.
C.
D.
E.
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Taller 1
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Taller de evaluación 1
Material fotocopiable
8. (Educarchile, PSU, 2004) Resuelve y simplifica:
2
2
(3 x y )
2 2
(6 xy )
A.
x
2
4y
B.
2
x
2y
2
x
C.
4y
D.
2
x
E.
2y
2x
y
9. Un obrero puede arar un pedazo de tierra en
1
2 días y un aprendiz, en 3 días. ¿Cuánto
2
demoran si trabajan juntos, cada uno en la
misma razón?
A. 5
1
días.
2
D. 1
3
días.
11
B. 1
1
días.
2
E. 1 día.
C. 4 días.
10. En una granja con vacas y gansos, se cuentan
130 cabezas y 380 patas. ¿Cuántas vacas y
gansos hay en la granja?
A.
B.
C.
D.
E.
60 vacas y 70 gansos
100 vacas y 30 gansos
70 vacas y 60 gansos
80 vacas y 50 gansos
No se puede determinar
11. La representación gráfica de las ecuaciones del
6x + 2y = 10
sistema
corresponde a:
12x + 4y = 10
A.
B.
C.
D.
E.
12. Consuelo es 12 años mayor que Antonia. Se
sabe que en 5 años más, la edad de Antonia
será un tercio de la edad de Consuelo. Si se
desea saber sus edades, es posible afirmar que:
I. Si definimos como x la edad actual de
Consuelo e y la edad actual de Antonia, el
siguiente sistema permite determinar las
edades actuales de ambas.
x
y+5=
3
x − y = 12
II. Consuelo tiene 13 años y Antonia 1.
III. Con la información entregada no es posible
encontrar las edades pedidas.
A. Solo I
D. I y III
B. Solo II
E. I, II y III
C. I y II
13. (Ensayo PSU, 2004, DEMRE) En el sistema:
3x − my = 9
nx + 4y = −11
¿qué valores deben tener m y n para que la
solución del sistema sea el par (1, –3)?
m
n
A.
–2
1
B.
–2
–1
C.
2
1
D.
4
–23
E. Ninguna de las anteriores
dos rectas paralelas
dos rectas concurrentes
dos rectas coincidentes
dos rectas perpendiculares
No corresponde a rectas
Taller de Evaluación 1
|
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4
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Semejanza
Unidad
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
La semejanza de figuras planas es un contenido matemático que es trabajado en los distintos niveles
de la Educación Media, debido a su importancia desde el punto de vista matemático y también por
su relevancia en contextos reales.
Durante esta unidad, queremos que los y las estudiantes sean capaces de identificar figuras semejantes,
más allá de la simple visualización. Para ello, son enseñados tres importantes criterios de semejanza
y el teorema de Thales, con el objeto de que puedan reconocer matemáticamente si diferentes
figuras presentadas son semejantes, como por ejemplo al analizar la igualdad de ángulos y la
proporcionalidad de los lados correspondientes. Toda esta amplitud y profundización de contenidos
tiene como finalidad aplicar los nuevos conocimientos adquiridos en situaciones del contexto real.
Por este motivo, a lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el
propósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en
diferentes contextos matemáticos y cotidianos.
A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Positivo
General de
Thales
Thales
Centro
Negativo
Factor k
Euclides
Homotecia
Semejanza
Teoremas
Figuras planas
Triángulos
Criterios de
semejanza
Criterio AA
118
| Unidad 4
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Criterio LLL
Aplicaciones
División de un
trazo en una
razón dada
Criterio LAL
Mapas y planos
a escala
CONTENIDOS DE LA UNIDAD
• Semejanza de figuras.
• Semejanza de
triángulos: criterio
AA.
• Semejanza de
triángulos: criterio
LLL.
• Semejanza de
triángulos: criterio
LAL.
• Análisis de semejanza
en figuras planas.
• Aplicación de la
semejanza en
modelos a escala.
• Teorema de Thales.
• Teorema general de
Thales.
• División de un trazo
en una razón dada.
• Teorema de Euclides.
• Aplicaciones del
teorema de Euclides.
• Homotecia.
CMO
• Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su
relación con formas presentes en el entorno.
• Identificación y utilización de
criterios de semejanza de
triángulos para el análisis de
la semejanza en diferentes
figuras planas.
• Aplicación del teorema de
Thales sobre trazos
proporcionales. División
interior de un trazo en una
razón dada y uso de un
procesador geométrico para
verificar relaciones, en casos
particulares.
• Demostración de los
teoremas de Euclides
relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo
rectángulo, demostración del
teorema de Pitágoras y
del teorema recíproco
de Pitágoras.
• Aplicación de la noción de
semejanza a la demostración
de relaciones entre
segmentos en cuerdas y
secantes en una
circunferencia y a la
homotecia de figuras planas.
ESPERADOS
• Comprender el concepto de
semejanza y su relación con
formas semejantes presentes
en el entorno.
• Demostrar proposiciones
simples utilizando conceptos
y propiedades relacionadas con
la semejanza de figuras planas.
• Identificar y utilizar criterios de
semejanza de triángulos para
el análisis de la semejanza en
diferentes figuras planas.
• Aplicar criterios de semejanza
en modelos a escala.
• Aplicar el teorema de Thales
sobre trazos proporcionales.
• Dividir interiormente un trazo
en una razón dada y usar un
procesador geométrico para
verificar relaciones.
• Demostrar los teoremas
de Euclides relativos a la
proporcionalidad de trazos
en el triángulo rectángulo.
• Describir la homotecia de figuras
planas mediante el producto de
un vector y un escalar.
• Usar un procesador geométrico
para visualizar las relaciones que
se producen al desplazar figuras
homotéticas en el plano.
APRENDIZAJES
• Comprenden el concepto de
semejanza y su relación con
formas semejantes presentes
en el entorno.
• Demuestran proposiciones
simples utilizando conceptos y
propiedades relacionadas con
la semejanza de figuras planas.
• Identifican y utilizan criterios de
semejanza de triángulos para
el análisis de la semejanza en
diferentes figuras planas.
• Aplican criterios de semejanza
en modelos a escala.
• Aplican el teorema de Thales
sobre trazos proporcionales.
• Dividen interiormente un trazo
en una razón dada y usan un
procesador geométrico para
verificar relaciones.
• Demuestran los teoremas
de Euclides relativos a la
proporcionalidad de trazos
en el triángulo rectángulo.
• Describen la homotecia de
figuras planas mediante el
producto de un vector y un
escalar.
• Usan un procesador geométrico
para visualizar las relaciones que
se producen al desplazar figuras
homotéticas en el plano.
INDICADORES
•
•
•
•
•
•
•
TIPOS
DE EVALUACIÓN
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• Sumativa: páginas
182 y 183 del
Texto para el
Estudiante y 142
y 143 de la Guía
Didáctica para el
Profesor.
Escuadra
• Diagnóstica: páginas
Regla
142 y 143 del
Calculadora
Texto para el
Computador
Estudiante.
Internet
Cinta adhesiva • Formativa: páginas
Papel
158 y 175 del
mantequilla
Texto para el
Estudiante.
RECURSOS
DIDÁCTICOS
Tiempo estimado: 15 a 20 horas
PAG 118-143
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Semejanza
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PÁGINAS 142 - 143
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
Páginas de entrada
La imagen presentada al comienzo de la unidad del Texto para el Estudiante tiene
como propósito introducir y motivar a los alumnos en el estudio y aprendizaje
del concepto de semejanza y otros contenidos relacionados. La intencionalidad
de la introducción presentada también es mostrar a los y las alumnas que un
concepto matemático tan importante como la semejanza de figuras es posible
encontrarlo en variados aspectos cotidianos, como por ejemplo en mapas de
diversas localidades (continentes, países, ciudades, comunas, etc.), planos de
diferentes construcciones (casas, puentes, estadios, carreteras, etc.), entre otros.
La imagen presentada en el Texto para el Estudiante corresponde a una vista
aérea de la ciudad de Linares, con el propósito de ilustrar a los alumnos y alumnas
que a través de distintos tamaños fotográficos hay aspectos que se mantienen
constantes, como las formas de los sitios, los ángulos de diversas intersecciones y
las proporciones entre diferentes longitudes, y otros varían como los tamaños de
los distintos lugares, todo ello dependiendo de la altura en que son mirados.
Con esta ilustración introductoria, sus estudiantes podrán apreciar que a través
de la tecnología es posible observar distintas imágenes, que permitirán obtener
resultados semejantes.
Un ejemplo de ello es Mapcity, un sitio en Internet creado en el año 2000, cuyo
propósito es la localización y búsqueda de direcciones, que recibe mensualmente
más de un millón y medio de consultas. Mapcity también ofrece servicios a
empresas en el ámbito del marketing, gestión de ventas y logística. Hoy, Mapcity
entrega sus servicios en las principales ciudades de Latinoamérica.
Más información en www.mapcity.com
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
PÁGINAS 144 - 145
¿Cuánto sabes?
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1, 2 y 4
Calcular.
3
Analizar.
Evaluación diagnóstica
En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el
nivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos
de esta unidad.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta
una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes
criterios:
Ítem
Ítem
Ítem
Ítem
120
1:
2:
3:
4:
calcular en qué razón están las medidas de los segmentos dados.
determinar el valor de la incógnita en las proporciones dadas.
determinar si los pares de triángulos dados son congruentes.
determinar la medida de los ángulos entre paralelas.
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
1
• Determina correctamente
en todos los casos en qué
razón están las medidas de
los segmentos dados.
• Determina correctamente
en tres casos en qué razón
están las medidas de los
segmentos dados.
• Determina correctamente
en dos casos en qué razón
están las medidas de los
segmentos dados.
• Determina correctamente
en uno o en ningún caso en
qué razón están las medidas
de los segmentos dados.
• Aplica correctamente en
todos los casos la propiedad
fundamental de las
proporciones.
• Resuelve correctamente
todas las ecuaciones
formadas.
• Encuentra el valor correcto de la incógnita en todas
las proporciones dadas.
• Aplica correctamente en
todos los casos la propiedad
fundamental de las
proporciones.
• Resuelve correctamente
tres de las ecuaciones
formadas.
• Encuentra el valor
correcto de la incógnita en
tres de las proporciones
dadas.
• Aplica correctamente en
dos casos la propiedad
fundamental de las
proporciones.
• Resuelve correctamente
dos de las ecuaciones
formadas.
• Encuentra el valor
correcto de la incógnita en
dos de las proporciones
dadas.
• Aplica correctamente en
menos de dos casos la
propiedad fundamental
de las proporciones.
• Resuelve correctamente
menos de dos de las
ecuaciones formadas.
• Encuentra el valor
correcto de la incógnita
en menos de dos de las
proporciones dadas.
• Determina correctamente
si todos los pares de figuras
dadas son congruentes.
• Justifica correctamente
todas sus respuestas.
• Determina correctamente
si tres de los pares de figuras
dadas son congruentes.
• Justifica correctamente
tres de sus respuestas.
• Determina correctamente
si dos de los pares de figuras dadas son congruentes.
• Justifica correctamente
dos de sus respuestas.
• Determina correctamente
si menos de dos de los
pares de figuras dadas son
congruentes.
• Justifica correctamente
menos de dos de sus
respuestas.
• Determina correctamente
la medida de todos los
ángulos dados.
• Aplica correctamente
en todos los casos las
propiedades de los ángulos
entre paralelas.
• Determina correctamente
la medida de todos los
ángulos dados.
• Aplica correctamente
en todos los casos las
propiedades de los
ángulos entre paralelas.
• Determina correctamente
la medida de uno de los
ángulos dados.
• Aplica correctamente en
un caso las propiedades de
los ángulos entre paralelas.
• Determina incorrectamente
la medida de todos los
ángulos dados.
• Aplica incorrectamente
en todos los casos las
propiedades de los
ángulos entre paralelas.
2
3
4
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden el concepto
de razón, que es la base de esta unidad. Para remediar esta situación, podría
recordarles este concepto a través de una definición y de ejemplos claros que
permitan ayudar y no confundir. Por otra parte, muestre a sus estudiantes
que para determinar la medida del segmento AD, por ejemplo, se debe
sumar las medidas de los segmentos AB, BC y CD.
• En el ítem 2, podría suceder que sus estudiantes no recuerden cómo encontrar
el valor incógnito en una proporción. Para ello, es conveniente recordarles
la propiedad fundamental de las proporciones (a : b = c : d, si y solo
si ad = bc), y luego que apliquen las propiedades de las igualdades
como en cualquier ecuación.
Semejanza
|
121
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16:51
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• En el ítem 3, recuerde a sus alumnos y alumnas la noción de congruencia.
Ampliación de conceptos
geométricos.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar antes de comenzar la
unidad, a modo de introducción.
PÁGINAS 146 - 147
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Reconocer/Identificar.
2
Usar herramientas,
interpretar y verificar.
3
Justificar.
4y5
Usar herramientas
y justificar.
6
Evaluar y justificar.
Los dibujos mostrados sugieren que se utilice algún criterio para determinar
congruencia, esto le permitirá evaluar cuánto recuerdan sus alumnos y/o
alumnas acerca de criterios de congruencia.
• En el ítem 4, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden cómo
relacionar las medidas de los ángulos señalados. Para corregir esto,
es importante que revise las distintas igualdades entre ángulos que se
forman cuando una recta corta a dos paralelas. Dibujar ejemplos en el
pizarron es útil para aclarar este punto.
Semejanza de figuras
Información para el docente
En esta unidad se introduce en concepto de semejanza. Intuitivamente, las figuras
semejantes están relacionadas por una transformación, ya sea de dilatación o
contracción de sus longitudes, de modo que las razones entre las medidas de las
distintas rectas que componen la figura original y la dilatada es la misma, así como
los ángulos correspondientes. La razón entre sus longitudes es una medida de la
magnificación de la transformación. Un caso especial de esto es la congruencia,
donde la magnificación es igual a 1.
Dos figuras que cumplan lo anterior, pero que estén rotadas una con respecto a
otra, pueden causar cierta dificultad. Para ello, debe hacerse hincapié en la definición.
Por ejemplo, dos figuras pueden ser semejantes pero no estar “semejantemente
ubicadas”, tal como se muestra en la figura de la cámara oscura.
Actividades complementarias
1. Supón que dos triángulos cumplen que la razón entre sus correspondientes
lados es constante, ¿se puede decir que los triángulos son semejantes?,
¿es necesario verificar también que los ángulos correspondiente son iguales,
tal como se enuncia en la definición del Texto?
2. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de cómo se podría definir
semejanza, en general, para figuras que no están formadas por segmentos de
rectas. ¿Qué puedes decir de las figuras mostradas en la siguiente figura?
122
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Page 123
Orientaciones didácticas
Unidad 4
3. ¿Son semejantes las siguientes figuras?, ¿por qué?
a. En este caso, ¿se mantiene la razón entre los lados correspondientes de las
distintas partes que la componen?, ¿cuál es esta razón?
Aprendizaje de conceptos clave
a tratar en la unidad.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de introducir los
conceptos clave de la unidad,
como ejercitación.
b. ¿Por qué no se puede concluir que las figuras son semejantes? Justifica.
PÁGINAS 148 - 149
Semejanza de triángulos: criterio AA
Información para el docente
En tu cuaderno
En esta sección, se introduce uno de los tres criterios de semejanza que se
presentarán en la unidad, el criterio AA (ángulo-ángulo).
Es posible que los alumnos o las alumnas hayan olvidado que la suma de las medidas
de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. La siguiente figura
puede servir para mostrar esto:
β
α
γ
β
α
Usando las relaciones entre ángulos internos entre paralelas es sencillo concluir
que los las medidas de los ángulos α, β y γ suman 180º.
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Clasificar.
Errores frecuentes
• Los y las estudiantes pueden
confundir o ignorar que el orden
en que se escriben los vértices
de un triángulo o un polígono es
fundamental para establecer la
semejanza.
• Enfatice que, por ejemplo, si los
triángulos ABC y DEF son
semejantes, entonces los vértices
que se corresponden son:
el vértice A con el vértice D,
el B con el E y el C con el F.
Así, el lado BC se corresponde
con el lado EF, y ⱔBCA se
corresponde con ⱔEFD.
Semejanza
|
123
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Page 124
Actividades complementarias
1. Muestra que los ángulos basales de un triángulo isósceles son iguales.
2. Identifica todos los posibles triángulos en la figura (las líneas que parecen
ser paralelas, son paralelas). Determina si hay triángulos semejantes.
¿Son semejantes de a tres o más? Justifica.
A
B
C
E
D
F
G
I
H
J
K
3. Si ⌬ABC es semejante a ⌬DEF, ¿se puede decir que el ⌬DEF es semejante al
⌬ABC? Explica. Si ⌬DEF es semejante a ⌬GHI ¿Puede concluirse que ⌬ABC
es semejante a ⌬GHI? Justifica.
PÁGINAS 150 - 151
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y2
Clasificar.
3, 4 y 5
Calcular.
6
Justificar.
7
Calcular.
Semejanza de triángulos: criterio LLL
Información para el docente
En esta sección se establece el criterio LLL. Como su nombre lo indica,
es adecuado para establecer semejanza cuando se conoce las medidas de los
tres lados de cada uno de los triángulos a comparar. Los alumnos y las alumnas
deben entender que el criterio de semejanza que puedan utilizar depende de
los datos de que dispongan para un problema en particular.
Actividades complementarias
1. Considera un paralelogramo. Si tomamos una diagonal cualquiera, ¿resultarán
dos triángulos semejantes? ¿congruentes?
2. ¿Es la congruencia un caso especial de semejanza?, ¿por qué?
3. Una vez que se ha establecido semejanza entre triángulos, mediante cualquier
criterio, se puede decir ciertamente que los lados correspondientes de los
triángulos son proporcionales. Considera, por ejemplo, el caso del par de
triángulos rectángulos mostrados en la figura:
C
P
A
124
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
α
O
B
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
AP
OP
Los triángulos AOP y ABC son semejantes. De modo que
=
.
AC
CB
CB
OP
Pero esta proporción es equivalente a
=
. Observa que esto dice
AC
AP
que la razón entre el cateto opuesto a un angulo α y su hipotenusa es
independiente del tamaño del triángulo rectángulo, y solo depende del
ángulo α. ¿Qué otras razones como esta puedes descubrir?
PÁGINAS 152 - 153
Semejanza de triángulos: criterio LAL
Actividades complementarias
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
Un resultado interesante que se puede mostrar en clases, usando los criterios
hasta aquí establecidos es que si ∆ABC es semejante a ∆A’B’C’, entonces la
razón entre sus áreas es el cuadrado de la razón entre sus lados. Es decir, si se
tiene un triángulo de área 1, por ejemplo, y otro semejante, con razón 1 : 5,
entonces sus áreas estarán en relación 1 : 25. Esta relación se demuestra más
adelante en el Texto.
Actividad
3
Reconocer/
Identificar.
Esta propiedad se puede usar para demostrar geométricamente el teorema de
Pitágoras. Considera el ∆ABC, rectángulo en C. Traza la perpendicular desde
el vértice C al lado opuesto y marca el punto de intersección con el lado AB
como el punto O.
A
4
Resolver problemas.
O
B
C
1y2
Justificar.
Errores frecuentes
• En caso del criterio LAL, se
debe enfatizar que no bastan dos
lados proporcionales y un ángulo
congruente, sino que dicho ángulo
debe ser el que está formado por
los lados proporcionales, o no se
puede aplicar este criterio.
Los triángulos ABC, ACO y CBO son semejantes.
Si se denotan sus áreas por ABC, ACO y CBO respectivamente, por el resultado
ABC ACO
CBO
anterior, se tiene:
2 =
2 =
AB
AC
CB 2
Además, observando la figura, es claro que: ABC = ACO + CBO
De la primera ecuación, considerando la segunda proporción, se obtiene:
CB 2 CBO
AC 2 = ACO
Luego, componiendo proporciones:
CB 2 + AC 2 CBO + ACO
=
ACO
AC 2
Remplazando la segunda de las ecuaciones (suma de áreas) en la ecuación
anterior, se obtiene que:
AC 2 · ABC
(CB2 + AC2) =
ACO
Semejanza
|
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Finalmente, utilizando la primera proporción de la primera ecuación, es claro que
ABC AB 2
=
.
ACO AC 2
Remplazando en la ecuación anterior, se obtiene:
CB 2 + AC 2 = AB 2
O
1. En la figura, L // L’, CO = 3, BC = 5
L
y EF = 8. ¿Cuánto mide OD + DE?
L’ B
C
D
E
A
F
2. ∆ABC es semejante a ∆DEF. El ∆ABC tiene área 16 u2 y base 2 u. Si la
razón entre los lados de ∆ABC y ∆DEF es 1 : 4. ¿Se puede determinar la
altura del ∆DEF? Explica.
3. Considera dos triángulos isósceles semejantes. La razón entre sus lados es
3 : 4. ¿Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los conos
obtenidos rotando estos triángulos alrededor de su eje de simetría? Justifica.
PÁGINAS 154 - 155
En tu cuaderno
Actividad
1
2y3
4
Habilidades que
se desarrollan
Usar herramientas.
Análisis de semejanza en figuras planas
Información para el docente
Comente con sus estudiantes que no basta que, al triangular dos figuras, los
triángulos que las forman sean semejantes, también deben estar similarmente
ubicados, esto es, sus posiciones deben ser correspondientes dentro de las
figuras consideradas.
Interpretar,
representar y
calcular.
A menudo ocurre que no existe una única forma de triangular una figura.
Puede plantear problemas al respecto.
Interpretar y calcular.
Actividades complementarias
1. En las figuras se muestran dos hexágonos regulares. Con la definición dada de
semejanza para figuras planas y esta triangulación, ¿se puede mostrar que los
hexágonos son semejantes? ¿Qué otra triangulación sería más adecuada?
¿Qué criterio(s) sería(n) adecuado(s) para una triangulación de 6 triángulos
semejantes con vértice en el centro del hexágono?
126
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
2. ¿De cuántas formas se puede triangular un octágono?
3. ¿Son todos los n-ágonos regulares semejantes, para cada valor de n?, ¿qué
triangulación y criterios de semejanza serían adecuados para establecer esto?
4. ¿Son todos los rombos semejantes? Explica.
5. Determina si son semejantes un rectángulo de lados 4u y 2u con uno de
lados u y 0,5 u.
6. Un rectángulo tiene lados x e y. ¿Es semejante a un rectángulo de lados
1
?, ¿por qué?
y
1
y
x
7. ¿Como podrías definir semejanza de círculos si sabes que todos los n-ágonos
son semejantes? Comenta con tus compañeros y compañeras.
8. Usando una triangulación adecuada, enuncia y demuestra un criterio para
semejanza de rectángulos.
9. Si un rectángulo tiene lados de 2u y 16u de largo y es semejante a uno cuyo
lado menor mide 3u, encuentra la longitud del lado mayor del segundo
rectángulo.
PÁGINAS 156 - 157
Reconocimiento de los criterios de
semejanza en triángulos.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al concluir los tres criterios
de semejanza, como ejercitación
conceptual.
Aplicación de la semejanza en modelos a escala
Información para el docente
El concepto de escala suele ser un concepto difícil de entender. Intentar dibujar
diversos objetos a escala puede resultar un ejercicio aclarador para sus estudiantes.
Puede pedirles a sus alumnos y alumnas que realicen dibujos a escalas pequeñas,
por ejemplo, de 1 : 2, 1 : 3, etc., de modo que una comparación visual entre el
objeto y su representación sea inmediata.
Actividades complementarias
En tu cuaderno
Actividad
1
2, 3, 4, 5 y 6
Habilidades que
se desarrollan
Usar herramientas,
representar y
calcular.
Interpretar,
representar y
calcular.
1. ¿Cómo se relaciona el área de un cuadrado de 3 km de lado y el área de un
cuadrado que lo representa en un plano dibujado a escala de 1 : 10 000?
7
2. Si se considera la superficie de la comuna de Ñuñoa hecha por cuadrados
Usar herramientas,
representar y
calcular.
pequeños (en relación a las dimensiones de la superficie). ¿Cómo se relacionaría
el área de la comuna con el área de un plano que la representa y cuya escala
es 1 : 10 000?
3. Supón que se ha dibujado usando una escala 1 : 100 un rectángulo de lados
10 m y 5 m. Calcula las dimensiones del rectángulo que lo representa en
el plano. Verfifica que las diagonales de sus cuadrados se encuentran en
razón 1 : 100.
Semejanza
|
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Page 128
PÁGINA 158
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1y2
Analizar.
3y4
Calcular.
Calcular y analizar.
5
6y7
Calcular.
Mi progreso
En estas páginas, se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan
en el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: determinar cuál afirmación caracteriza a las figuras semejantes.
Ítem 2: determinar cuál afirmación es correcta acerca de dos cuadriláteros de
condiciones específicas.
Ítem 3: determinar la medida de los lados de un triángulo dado, utilizando
contenidos de semejanza.
Ítem 4: determinar la medida de los lados indicados de un triángulo dado,
utilizando contenidos de semejanza.
Ítem 5: determinar si dos triángulos pueden ser semejantes según
las condiciones dadas.
Ítem 6: determinar la escala del problema planteado.
Ítem 7: determinar la distancia real considerando las medidas de
un mapa a escala.
Los ejercicios 1 y 2 son ítems de selección múltiple.
Para los ejercicios 3, 4, 5, 6 y 7 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el
nivel de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
3
4
128
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Establece correctamente
las tres proporciones necesarias.
• Determina correctamente
la medida de los tres lados
del triángulo.
• Establece correctamente
dos proporciones.
• Determina correctamente
la medida de dos lados
del triángulo.
• Establece correctamente
una proporción.
• Determina correctamente
la medida de un lado del
triángulo.
• Establece incorrectamente
todas las proporciones o
no las forma.
• Determina incorrectamente
todas las medidas de los lados
del triángulo o no logra
determinarlas.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza.
Establece correctamente
las dos proporciones
necesarias.
• Determina correctamente
la medida de los dos lados
indicados.
• Justifica la elección del
criterio utilizado y los
resultados obtenidos.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza.
• Establece correctamente
las dos proporciones
necesarias.
• Determina correctamente
la medida de uno de los
lados indicados.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza.
• Establece correctamente
una proporción.
• Determina correctamente
la medida de uno de los
lados indicados.
• Aplica incorrectamente
el criterio de semejanza
o no lo aplica.
• Establece incorrectamente
las dos proporciones
necesarias o no las forma.
• Determina incorrectamente
la medida de los dos lados
indicados o no logra
determinarlas.
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
Ítem
5
6
7
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Determina correctamente
el criterio de semejanza a
utilizar.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza elegido.
• Determina si los triángulos dados son semejantes.
• Explica de forma
argumentada, completa
y clara la respuesta dada.
• Determina correctamente
el criterio de semejanza a
utilizar.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza elegido.
• Determina si los triángulos dados son semejantes.
• Explica vagamente sus
argumentos, explicándolos
de forma incompleta y
poco clara.
• Determina correctamente
el criterio de semejanza a
utilizar.
• Aplica correctamente el
criterio de semejanza elegido.
• Determina si los triángulos dados son semejantes.
• No explica los
procedimientos utilizados ni los
razonamientos realizados para
llegar a la respuesta dada.
• No determina el criterio
de semejanza a utilizar.
• No logra determinar si
los triángulos dados son
semejantes.
• No explica los
procedimientos utilizados ni
los razonamientos realizados.
• Realiza correctamente la
conversión de unidades
entre m y cm.
• Forma correctamente la
proporción necesaria.
Determina correctamente a
qué escala se encuentra
construido el plano.
• Realiza correctamente la
conversión de unidades
entre m y cm.
• Forma correctamente la
proporción necesaria.
• Determina incorrectamente
a qué escala se encuentra
construido el plano.
• Realiza incorrectamente la
conversión de unidades
entre m y cm.
• Forma correctamente la
proporción necesaria.
• Determina incorrectamente
a qué escala se encuentra
construido el plano.
• Realiza incorrectamente
la conversión de unidades
entre m y cm.
• Forma incorrectamente
la proporción necesaria
o no logra formarla.
• Determina incorrectamente
a qué escala se encuentra
construido el plano o no
logra determinar la escala.
• Forma correctamente la
proporción necesaria.
• Determina correctamente
cuál es la distancia real
entre las dos ciudades.
• Realiza la conversión de
unidades necesaria, por
ejemplo, expresar el
resultado en km.
• Forma correctamente la
proporción necesaria.
• Determina correctamente
cuál es la distancia real
entre las dos ciudades.
• No realiza la conversión
de unidades necesaria,
por ejemplo, expresar el
resultado en km o la
conversión es incorrecta.
• Forma correctamente
la proporción necesaria.
• Determina incorrectamente cuál es la distancia
real entre las dos ciudades.
• No realiza la conversión
de unidades necesaria,
por ejemplo, expresar el
resultado en km o la
conversión es incorrecta.
• Forma incorrectamente
la proporción necesaria.
• Determina incorrectamente
cuál es la distancia real entre
las dos ciudades.
• No realiza la conversión
de unidades necesaria,
por ejemplo, expresar
el resultado en km o la
conversión es incorrecta.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En los ítems 1 y 2, es importante enfatizar en las características que presentan
las figuras semejantes, relacionadas con las medidas de los ángulos y de los
lados correspondientes. Para evitar inconvenientes, sería apropiado que
muestre a sus estudiantes diversas figuras semejantes y no semejantes, en
donde ellos tengan que analizar si cumplen las condiciones de semejanza
utilizando los diversos criterios enseñados. Además, es importante recalcar
la diferencia entre figuras congruentes, para ello sería conveniente mostrar
ejemplos de congruencia y repasar los criterios involucrados.
Semejanza
|
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• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan dificultades
para encontrar las medidas del triángulo DEF, debido a que no comprenden
el significado de una razón 2 : 3 y además presentan problemas para formar
las proporciones correspondientes. Para superar este inconveniente sería
apropiado explicar el concepto de razón de semejanza y repasar la formación
de proporciones.
• En los ítems 4 y 5, puede que los alumnos y alumnas tengan dificultades para
encontrar las medidas de los lados pedidos, ya que no manejan bien los
criterios de semejanza. Para solucionarlo, es importante enfatizar en estos
criterios, ya que permiten comprobar la condición de semejanza con un
mínimo de datos. Importante también es recalcar el orden en que son
nombrados los ángulos, pues de esto depende la razón de semejanza y,
por ende, los resultados obtenidos.
• En el ítem 6, podrían ocurrir inconvenientes porque los y las estudiantes no
realizan la conversión de unidades adecuada entre cm y m, y con esto la
proporción y los resultados obtenidos serían incorrectos. Para solucionarlo,
mencione la importancia de trabajar con las mismas unidades, por ejemplo,
expresar todo en cm. También recuerde a sus estudiantes simplificar los
resultados obtenidos para expresar de manera más simple la razón
de semejanza.
• En el ítem 7, podría ocurrir que los alumnos y alumnas asocien erróneamente
la medida de longitud dada con la razón planteada. Para evitar esto, recuerde
a sus estudiantes que la menor cifra de una razón corresponde a la distancia
representada en un plano o mapa, y la mayor cifra corresponde a la
distancia real.
PÁGINAS 159 - 161
En tu cuaderno
Actividad
1, 3 y 4
2y5
130
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
Interpretar,
representar, calcular
y justificar.
Teorema de Thales
Información para el docente
En esta sección, se demuestra el teorema de Thales y su recíproco. Debe quedar
claro que el recíproco establece condiciones para que dos rectas que cortan a
dos secantes sean paralelas. De este modo, se pueden plantear condiciones sobre
los segmentos proporcionales (según el teorema), aun cuando sus medidas son
desconocidas. Por ejemplo, un tipo de problema muy común es que al alumno
o alumna se le pregunta “¿qué valor debe tener x (algún segmento a determinar
en el problema) para que las rectas sean paralelas?”
Un problema interesante es solicitar a los y las estudiantes que, a partir del
teorema de Thales planteado en la unidad, determinen si es válido lo que se
plantea al inicio de la unidad 4. Deberían intuir que rotando uno de los triángulos
que componen la figura obtenemos el caso ya planteado y, por lo tanto, las
proporciones del teorema de Thales son también válidas en este caso.
| Unidad 4 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
Actividades complementarias
1. Determina el valor de x en la siguiente figura, de manera que DE sea paralela
a AB, si AD = 10, DC = 2 y AB = 15.
Demostración geométrica en el
teorema de Thales.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como profundización.
C
E
D
x
A
B
2. Determina el perímetro de los triángulos DEC y ABC en la figura anterior.
PÁGINAS 162 - 164
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1, 2 y 3
Interpretar,
representar
y calcular.
4
Interpretar,
representar
y justificar.
Aplicación el teorema general
de Thales.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al explicar el teorema
general de Thales.
Teorema general de Thales
Información para el docente
Antes de comenzar con el tema planteado en esta sección, sus estudiantes
deberían poder reconocer todas las proporciones involucradas en la figura del
problema 3, de la sección teorema de Thales. Se recomienda mostrar todas estas
proporciones en la pizarra.
Llevar a cabo la actividad sugerida mediante el software Regla y compás ayudará a
verificar experimentalmente el teorema general de Thales. Se recomienda,
además, llevar a cabo uno de los problemas enunciados en las actividades
complementarias. Como actividad optativa y/o tarea, puede pedir la demostración
de alguno de estos problemas.
Para determinar si dos rectas son paralelas, debe verificarse que todas las
proporciones que se puedan establecer utilizando el teorema general de Thales
se cumplen al remplazar los valores correspondientes. Basta que alguna no se
cumpla para que las rectas no sean paralelas.
Semejanza
|
131
PAG 118-143
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16:51
Page 132
Errores frecuentes
• A veces los y las estudiantes
solo observan el dibujo e
inmediatamente calculan lo
que les parece apropiado, sin
leer el enunciado de la pregunta.
En este caso, si ven todos los
segmentos con valores, puede
que no sepan qué hacer.
Actividades complementarias
1. En la figura, ¿es posible determinar x, y y z si L // L’ // L’’?
2. Verifique usando el software Regla y compás que las diagonales de un
paralelogramo se bisecan mutuamente.
3. Verifique usando el software Regla y compás que el segmento que une los
puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es también paralelo
a los lados paralelos de este y que su largo es igual a la semisuma de las
medidas de los lados paralelos.
8
x
L’’
y
3
L’
5
z
L
PÁGINAS 165 - 166
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Usar herramientas.
2
Interpretar,
representar y
resolver problemas.
División de un trazo en una razón dada
Información para el docente
Cuando lleve a cabo la demostración de la proposición sobre las bisectrices, haga
ver a sus alumnos y alumnas, que, no obstante parecer un truco, la construcción
usada es correcta y fue introducida justamente para poder usar el teorema de
Thales. Al momento de llevar a cabo una demostración, es válido utilizar cualquier
resultado pertinente que ya esté demostrado. Puede plantear también el resultado
en forma de contrarrecíproca, es decir, si no se cumple la condición planteada (de la
bisectriz), entonces no se cumple la proporción.
Puesto que el resultado planteado no es nada de evidente, puede “explorarlo”
gráficamente usando el software Regla y compás.
Actividades complementarias
Conocimiento y significado
matemático de la razón áurea
y sus características.
Indicador: comparte información
con su entorno.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como profundización.
132
1. Considera un segmento AB.
a. Supón que el punto O divide al segmento en sección áurea, es decir
AB : AO = AO : BO. Calcula la proporción AO : AB. ¿Qué número se
obtiene? Construye el número tal como fue explicado en la Unidad 1.
b. Verifica con Regla y compás la validez de la proposición demostrada en el
Texto. ¿Qué sucede si el segmento DC no es bisectriz?
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
PÁGINAS 167 - 168
Teorema de Euclides
Actividades complementarias
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
1. La altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en
Actividad
dos segmentos cuyas longitudes estan en razón de 1 : 3. Encuentra la razón
entre los otros dos lados del triángulo.
1
Verificar.
2
Representar y
calcular.
3
Justificar.
2. En un triángulo rectángulo, si h = 20, y p = 4 ¿Cuanto valen a, b y c?
b
a
h
Resolución de problemas
aplicando el teorema de Euclides.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como ejercitación numérica
del teorema de Euclides.
q
p
c
PÁGINAS 169 - 170
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1, 8 y 9
Interpretar, representar
y calcular.
2, 4, y 7
Usar herramientas,
interpretar y calcular.
5
Justificar.
3y6
Aplicar.
Aplicar el teorema de Euclides al
cálculo de trazos en un triángulo.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como ejercitación al
teorema de Euclides.
Aplicaciones del teorema de Euclides
Información para el docente
Es posible que los alumnos y alumnas apliquen mal las relaciones enunciadas en
el teorema de Euclides, debe insistirse en su correcta memorización. Igualmente,
debe quedar claro que cuando se habla de la distancia desde un punto a una
recta, siempre se refiere a la distancia medida desde el punto, sobre una recta
perpendicular a la anterior y que pase por el punto, a la recta. Si se ubica este
conjunto de puntos en un triángulo, es intuitivamente claro que esta distancia
corresponde a la altura de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, es posible
aplicar el teorema de Euclides para calcularla.
C
B
A
La distancia desde el punto C al segmento AB corresponde a la medida de la
altura hc .
Semejanza
|
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PÁGINAS 171 - 174
En tu cuaderno
Actividad
1y2
3y4
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar
y calcular.
Justificar.
Homotecia
Información para el docente
El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizar y
entender para sus estudiantes. Para aclararles esto, puede dibujar en el pizarrón
algunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se invierte la orientación de los
distintos segmentos que componen una figura.
También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de la
homotecia está dentro de la figura dada, tal como se plantea el problema 2.
Puede aclarar este punto haciendo notar que el concepto de homotecia como
una transformación de la figura no guarda relación con que el centro de la
homotecia se encuentre en algún lugar particular del plano, ya que la forma de
construir la imagen de una figura bajo una homotecia es siempre la misma.
La actividad complementaria 6 puede servir como una tarea o actividad sugerida
al estudiante interesado. Finalmente, el principio de funcionamineto del aparato
es una simple semejanza de triángulos, de modo que ilustra con una aplicación los
conceptos de homotecia y semejanza presentados en la unidad. Tales principios
podrían tener aplicación, por ejemplo, en máquinas que fabrican piezas mecánicas
de cierto tamaño a partir de un molde más grande, tal como las que se usan en
la fabricación de monedas, etc.
Actividades complementarias
1. ¿Cómo se relacionan el área de un cuadrado y el área de su imagen bajo una
homotecia de razon
1
2
2 ?, ¿y si la homotecia es de razón – ?
2. ¿Qué ocurre a una figura si es transformada bajo una homotecia de razón 1?
3. ¿Una homotecia de razon negativa contrae la figura original?, ¿por qué?
4. ¿Una homotecia de razón positiva siempre dilata las longitudes? Explica.
5. Si dos figuras planas, con lados hechos de segmentos de recta, están relacionadas
por una homotecia de razón k, ¿cómo se relacionan sus perimetros?, ¿qué pasa
si el valor de k es negativo?
6. Averigua en Internet acerca del Pantógrafo de Scheiner (puede ver un
esquema en Coxeter HSM, Introduction to Geometry, página 69). Este es
un instrumento que permite realizar una copia homotética de una figura.
¿Cómo funciona?, ¿se puede usar para construir una copia homotética de
razón negativa?, ¿por qué?
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
PÁGINA 175
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan
en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:
Mi progreso
Ítem
Ítem 1: calcular las medidas de los segmentos dados.
Ítem 2: dibujar un segmento e identificar la ubicación de los puntos según la
división realizada.
Ítem 3: determinar la medida de un segmento.
Ítem 4: construir homotecias a partir de la figura y datos proporcionados.
Habilidades que
se evalúan
1
Calcular.
2
Calcular y analizar.
3
Calcular y recordar.
4
Usar herramientas.
Para los ejercicios 1, 2, 3 y 4 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel
de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
2
3
4
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Forma correctamente
todas las proporciones
necesarias.
• Opera correctamente con
todas las proporciones
formadas.
• Encuentra las medidas de
los seis segmentos pedidos.
• Forma correctamente
más de tres proporciones.
• Opera correctamente
con más de tres de las
proporciones formadas.
• Encuentra las medidas de
más de tres segmentos
pedidos.
• Forma correctamente
tres proporciones.
• Opera correctamente con
tres de las proporciones
formadas.
• Encuentra las medidas de
los tres segmentos pedidos.
• Forma correctamente
menos de tres
proporciones.
• Opera correctamente
con menos de tres de las
proporciones formadas.
• Encuentra las medidas de
menos de tres segmentos
pedidos.
• Dibuja un segmento AB
cualquiera.
• Divide correctamente el
segmento AB en las
razones pedidas.
• Identifica correctamente
los puntos Q y R.
Identifica correctamente de
qué punto está más cerca
Q y R.
• Dibuja un segmento AB
cualquiera.
• Divide correctamente el
segmento AB en las
razones pedidas.
• Identifica correctamente
los puntos Q y R.
• Identifica incorrectamente
de qué punto está más
cerca Q ó R.
• Dibuja un segmento AB
cualquiera.
• Divide correctamente el
segmento AB en las
razones pedidas.
• Identifica incorrectamente
los puntos Q y R.
• Identifica incorrectamente
de qué punto está más
cerca Q y R.
• Dibuja un segmento AB
cualquiera.
• Divide incorrectamente
el segmento AB en las
razones pedidas.
• Identifica incorrectamente
los puntos Q y R.
• Identifica incorrectamente
de qué punto está más
cerca Q y R.
• Conoce la razón áurea.
• Divide el segmento AB
en la razón aurea.
Encuentra la medida de AP.
• Conoce la razón áurea.
• Divide el segmento AB
en la razón aurea.
• No encuentra la medida
de AP o el resultado
obtenido es incorrecto.
• Conoce la razón áurea.
• No divide el segmento
AB en la razón aurea.
• No encuentra la medida
de AP o el resultado
obtenido es incorrecto.
• No conoce la razón áurea.
• No divide el segmento
AB en la razón aurea.
• No encuentra la medida
de AP o el resultado
obtenido es incorrecto.
• Copia la figura original.
• Construye correctamente
las ocho homotecias
pedidas.
• Copia la figura original.
• Construye correctamente
más de cuatro de las
homotecias pedidas.
• Copia la figura original.
• Construye correctamente
cuatro de las homotecias
pedidas.
• Copia la figura original.
• Construye correctamente
menos de cuatro de las
homotecias pedidas.
Semejanza
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Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En el ítem 1, es posible que los estudiantes tengan problemas para
construir las proporciones necesarias para encontrar las medidas requeridas.
Para evitarlo, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan y entiendan
el teorema general de Thales. También es importante hacer notar a los
alumnos y alumnas que, al establecer diferentes proporciones, es posible
llegar al resultado correcto.
• En el ítem 2, podría provocar confusión en los estudiantes el tener que hacer
varias divisiones en un mismo segmento. Si considera necesario, podría
permitirles que dibujen un segmento para cada razón dada. También señale
la opción de dibujar segmentos con medidas convenientes según la razón,
1
así por ejemplo, si dividimos AB en la razón , podrían dibujar un segmento
5
de 6 cm, ya que 1 + 5 = 6.
• En el ítem 3, podría causar inconvenientes el que los estudiantes no conozcan
cuál es la razón áurea. Podría entregárselas si considera necesario o también
podría plantearles un trabajo de investigación sobre esta razón y su presencia
en distintos ámbitos del mundo real, y de esta forma los alumnos y alumnas
no olvidarán con facilidad cuál es la razón áurea.
• En el ítem 4, es posible que los alumnos presenten problemas para realizar
las homotecias pedidas, debido a que les provoca confusión la razón k,
ya sea cuando es una fracción o cuando es un número negativo. Para evitar
este tipo de inconvenientes, es fundamental que sus estudiantes practiquen
con los distintos valores que puede tomar k (números enteros positivos,
enteros negativos, fracciones positivas y fracciones negativas).
PÁGINAS 176 - 177
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1 (pág. 168)
Aplicar y calcular.
1, 2 y 3
(pág. 169)
Aplicar y calcular.
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad;
sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas
para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas.
Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes
acciones, lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden
mantener. Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la
resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar
para evaluar la resolución de problemas planteados.
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
Comprensión
del problema
o situación
Logro, aplicación
En proceso, logro parcial
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete parte
del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
• Demuestra un entendimiento
parcial o satisfactorio.
• Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos.
• Está listo para hacer conexiones
acerca de cómo y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimientos y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
o algoritmos cuando usa
conceptos
símbolos.
• Conecta cómo y por qué.
• Aplica el concepto a problemas
o a situaciones nuevas.
• Hace y explica conexiones.
• Realiza lo pedido y va más allá.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• Chequea racionalidad de los
resultados.
• Reconoce sin razones.
No comprende
www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
Actividades complementarias
• Rodrigo estaba encumbrando un volantín, pero al hacer una mala maniobra,
se le quedó atrapado en el techo de su casa. Para calcular a qué altura se
encontraba su volantín, estiró el hilo y apoyó el extremo que tenía en su
mano en el suelo, como lo muestra la figura.
Además, pidió a su hermano menor (de 80 cm de altura) que se parara bajo
el hilo que él sujetaba.
Luego, calculó que su hermano se encontraba a 3 metros del extremo del
hilo. Además, sabía que el punto más alto de la casa se encontraba justo en
el medio del ancho de la puerta, por lo que pudo medir fácilmente esa
distancia. ¿A qué altura se encuentra el volantín de Martín?
• Se pretende dibujar un mapa, que representa las ciudades desde Arica a
Santiago, en una hoja de 30 cm de largo. Averigua las distancias entre dichas
ciudades y determina una escala adecuada para dicho mapa.
• El cuadrilátero ABCD es un cuadrado, los puntos que forman el cuadrilátero
A
D
B
C
interior dividen a cada lado en la razón 5 : 12 y esto se repite indefinidamente.
a. Demuestra que todos los cuadriláteros de la serie son cuadrados.
b. Encuentra la razón entre los lados de los cuadrados consecutivos.
c. Si el área del cuadrado rojo es 1156 cm2, calcula el área del cuadrado
ABCD y del cuadrado azul.
Semejanza
|
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PÁGINAS 178 - 179
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
Actividad
Usar herramientas
y calcular.
1y3
2, 4 y 5
Analizar.
Investiguemos...
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Verificar.
2y3
Justificar.
Usar herramientas
e interpretar.
4
PÁGINAS 180 - 181
Síntesis de la unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar y calcular.
En terreno
Esta sección del Texto para el Estudiante tiene como objetivo relacionar los
contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello se presenta
una actividad sobre planos a escala, en donde se vinculan los conceptos de
semejanza para una aplicación tan común como la construcción e interpretación
de planos a escala.
Esta actividad permitirá que sus alumnos y alumnas visualicen la aplicabilidad
cotidiana que tienen los contenidos aprendidos en la unidad en la construcción
e interpretación de planos a escala.
Hoy existen diferentes herramientas tecnológicas, como softwares computacionales
y GPS, que permiten generar mapas y planos a escala de una construcción o de
una localidad específica, con las características y precisiones que deseemos.
Se recomienda que la primera parte de esta actividad sea realizada de forma
individual y la segunda parte sea realizada en grupos de 2 personas.
Para complementar la actividad del Texto, sería interesante que investigara junto
a sus alumnos y alumnas los distintos recursos tecnológicos que están disponibles
en Internet para obtener este tipo de gráficas y, de ser posible, tratar de practicar
y crear algún tipo de plano a escala.
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnas
organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.
Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos
y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite
conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en esta parte
de la unidad.
En esta parte se resume y organiza a través de un mapa conceptual los
contenidos trabajados en toda la unidad.
Actividades complementarias
Repaso de conceptos y
definiciones clave de la Unidad.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como síntesis para integrar
conceptos y definiciones de la
unidad.
138
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
• ¿Cómo definirías figuras semejantes?
• ¿En qué situaciones se puede aplicar el teorema de Thales?
• ¿Qué relaciones se cumplen en un triángulo rectángulo según el teorema
de Euclides?
• ¿Qué es una homotecia?
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
• Si tengo el dibujo de una estrella y lo quiero copiar más pequeño y en sentido
contrario a la figura original, ¿qué condiciones debería tener el factor k?
• Realiza una homotecia de la siguiente figura considerando el centro O y
2
k= .
5
• ¿A qué se refiere razón de semejanza? Da un ejemplo donde se aplique.
• ¿Qué es el factor k de conversión de una homotecia? Da un ejemplo.
• Usa el método de la semejanza para dividir un trazo de 20 cm en la razón
3 : 4 : 5. ¿Cuáles son las medidas de cada una de las partes?
PÁGINAS 182 - 183
Evaluación de la Unidad
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de 8 preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 5 preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de 5 preguntas.
Evaluación
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1, 4, 5, 6, 7,
9, 10 y 12
Calcular.
2, 8 y 11
Analizar.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
3
Analizar y calcular.
• En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes apliquen de forma
incorrecta el teorema de Thales, y por ello las proporciones que forman
son incorrectas y producen resultados incorrectos. Para evitar este tipo de
inconvenientes, es fundamental que los alumnos dominen muy bien el
razonamiento de este teorema y no la simple mecanización de procedimientos.
Para lograr esto, es bueno ejercitar distintas figuras donde se pueda aplicar
este teorema y que las figuras sean presentadas en diferentes posiciones
para lograr una generalidad.
• En el ítem 3, podría suceder que los alumnos y alumnas tengan inconvenientes
para encontrar las relaciones que se dan en la figura. Esto se puede deber a
que no manejan las propiedades que se cumplen gracias al teorema de Thales.
Para evitarlo, es importante que trabaje con sus alumnos este teorema de
modo que lo entiendan. También recuérdeles el teorema de Pitágoras,
que se aplica en este ejercicio.
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva y,
además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
• En el ítem 4, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para encontrar
la medida de x, debido a que no distinguen los triángulos semejantes y las
relaciones que se pueden hacer con el teorema de Thales. Para evitar esto,
es fundamental que los alumnos y alumnas logren reconocer en figuras de
este tipo los triángulos semejantes y sus diversas relaciones, por ello es
importante que practique con ellos diferentes ejercicios similares.
• En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener problemas para encontrar
la medida de a, ya que no pueden reconocer los segmentos que son
proporcionales. Es importante la comprensión y aplicación correcta del
teorema de Thales, para ello, practique diversas situaciones donde sea
necesaria su aplicación.
Semejanza
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• En el ítem 6, podría suceder que sus estudiantes planteen la escala como
8 : 200 sin considerar que son distintas unidades de longitud (cm y m),
provocando esto resultados incorrectos. Para evitarlo, es importante recalcar
que siempre deben trabajar con unidades de un misma magnitud. Por lo
tanto, para este problema, deben expresar todas las medidas en cm o
bien en m.
• En el ítem 7, podría ocurrir que los y las estudiantes utilicen de forma
3
, asignando mayor
2
medida a AP que a PB. Para evitar esto, recuerde a sus estudiantes que se
debe respetar el orden de las letras dadas así como también las razones
involucradas, pues en caso contrario se obtienen resultados erróneos.
incorrecta la razón dada, es decir, que la utilicen como
• En el ítem 8, es posible que sus estudiantes tengan dificultades para determinar
cuáles de las afirmaciones dadas son correctas, ya que no establecen
correctamente las relaciones presentes en la figura. Esto se puede deber a
que no manejan bien el teorema de Thales, por ello, es importante trabajar
con él continuamente en diferentes tipos de ejercicios para que comprendan
bien las relaciones que se pueden establecer.
• En el ítem 9, podrían tener dificultades para interpretar el parámetro k y su
relación con el perímetro del triángulo transformado. Para evitar inconvenientes
en la resolución de este tipo de problemas, es importante clarificar a sus
estudiantes estos conceptos y practicar ejercicios de este tipo, para que
puedan encontrar las medidas de la figura original.
• En el ítem 10, podrían presentar complicaciones para encontrar la medida
pedida, ya que no pueden establecer las relaciones necesarias entre los
segmentos presentes en la figura, debido a que no manejan bien los criterios
para determinar la semejanza de triángulos. Para solucionar esto, es importante
que los alumnos y alumnas se acostumbren a analizar figuras e identificar
características relevantes en ellas. Todo esto se logra con la ejercitación
constante pero con sentido de aprendizaje y no simple mecanización,
pues cuando esto ocurre los alumnos se enfrentan a problemas diferentes
y no saben cómo abordarlos.
• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían tener complicaciones para
determinar cuáles de las afirmaciones son falsas, debido a que no relacionan
estas afirmaciones con el teorema de Thales. Para solucionar esto, recuérdeles
la propiedad fundamental de las proporciones.
• En el ítem 12, podría ocurrir que los alumnos y alumnas presenten problemas
para encontrar la medida del segmento pedido, ya que no dominan bien las
relaciones que se cumplen en figuras semejantes y también porque no manejan
el teorema de Thales. Para evitarlo, sus estudiantes deben conocer y aplicar
los criterios de semejanza y el teorema de Thales, a través de problemas y
ejercitación de distinta dificultad.
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Orientaciones didácticas
Unidad 4
Evaluación final
En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que le permitirá
evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con los contenidos
trabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación, se puede tomar
la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a
cabalidad por sus estudiantes.
El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la
siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
Total
1, 2, 3, 4 y 5
Calcular.
2 puntos cada una
10 puntos
6
Aplicar y calcular.
2 puntos
2 puntos
7
Analizar
2 puntos
2 puntos
8
Calcular.
2 puntos
2 puntos
9
Analizar.
2 puntos
2 puntos
10, 11, 12 y 13
Calcular.
2 puntos cada una
8 puntos
Puntaje total
26 puntos
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
•
•
•
Alsina, Claudi. Viaje al país de los rectángulos, Editorial Olimpíadas Matemáticas, Argentina, Buenos Aires. 1995.
Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles,
DLS- Euler Editores, Madrid. 1994.
Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires. 1993.
Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile. 1997.
Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires. 1992.
Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile. 1994.
Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España. 1998.
Sitios web
Descartes. Matemáticas interactivas.
http://descartes.cnice.mec.es/
El portal de la educación.
www.educarchile.cl
El paraíso de las matemáticas.
www.matematicas.net
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Semejanza
|
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Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. En la siguiente figura, m // n // r. Calcula la medida
del segmento x.
A.
B.
C.
D.
E.
3,75
5,25
4,70
2,50
3,25
A
cm
cm
cm
cm
cm
m
n
F 5 cm
r
2. Si AC = 18 cm, determina el valor de x e y,
donde m // n // r.
A
x
B
C
A.
B.
C.
D.
E.
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
y
D
m
6 E
n
3 F
r
12 cm; y = 6 cm
2 cm; y = 16 cm
4 cm; y = 14 cm
10 cm; y = 8 cm
8 cm; y = 10 cm
142
AP
AP
AP
AP
AP
=
=
=
=
=
AE
AE
AE
AE
AE
= 4,2 cm
= 4,8 cm
= 8,4 cm
= 6,3 cm
= 8,2 cm
E
b
A
B
a
6. En los triángulos ABC y DEF de la figura, se
sabe que AC // DF, CB // EF. AD = EB = 4 cm,
GE = GD = 8 cm y FG = 6 cm, entonces el área
del triángulo ABC es:
A.
B
C.
D.
E.
2
54 cm
72 cm2
108 cm2
120 cm2
180 cm2
L1
L3
3 cm y PB = 6 cm
9 cm y PB = 18 cm
6 cm y PB = 3 cm
18 cm y PB = 9 cm
9 cm y PB = 27 cm
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F
A D
G
E
B
7. En la siguiente figura AB = 4 cm, BC = (x2 – 1) cm,
DE = 7 cm, EF = (x + 1) cm, CF = 2 cm,
BE = y cm. En relación a la información
entregada, ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s)
afirmación(es) es(son) correcta(s)?
L2
3 cm
4 cm
6 cm
8 cm
10 cm
4. Un segmento AB de 27 cm está dividido
interiormente por un punto P en la razón 6 : 3.
Calcula las longitudes de los segmentos AP y PB.
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
C
3. Un punto P que se encuentra entre A y B,
donde AB = 12 cm. Determina la medida de
AP si AP : PB = 1 : 3.
A.
B.
C.
D.
E.
C
D
D
x
B 3 cm E
C 4 cm
5. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y la
diagonal BD = 10 cm. ¿Cuánto mide AE?
A
D
B
C
E
F
I. Para que L1 // L2 // L3, se debe cumplir que
11
x sea igual a
cm.
7
98
cm.
II. Si L1 // L2 // L3, el valor de y es
67
III. Aunque se conozca el valor de x e y, no es
posible determinar la medida de AD.
A.
B.
C.
D.
E.
Solo I
Solo II
I y II
I y III
I, II y III
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Evaluación final
Material fotocopiable
8. En un mapa, la distancia entre dos ciudades es
20 cm. Se sabe que la distancia real entre ellas
es de 2 000 km. ¿Cuál es la escala del plano?
¿Cuál será la distancia entre otras dos ciudades
que se encuentran a 13 cm en el plano,
respectivamente?
11. El triángulo ABC es rectángulo en C y CD
es altura. Si ⱔCAD mide 20º, ¿cuál(es) de las
siguientes parejas de triángulos son semejantes?
C
20°
A
A.
B.
C.
D.
E.
1 : 1 000 y 13 000 km.
1 : 100 y 130 km.
1 : 2 y 260 km.
1 : 100 y 1 300 km.
Ninguna de las alternativas es correcta.
D
9. En relación a los conceptos de semejanza y
congruencia, podemos afirmar que:
A.
B.
C.
D.
E.
I. Dos figuras son semejantes si las medidas
de sus segmentos homólogos son iguales.
II. Dos triángulos son congruentes cuando
la medida de sus ángulos es la misma.
III. Si se tienen dos figuras congruentes,
inmediatamente se sabe que también
son semejantes.
A.
B.
C.
D.
E.
B
I. ⌬ADC y ⌬CDB
II. ⌬ADC y ⌬ACB
III. ⌬CDB y ⌬ABC
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
12. En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2
y AB // DE, ¿cuál es el área del trapecio ADEB?
B
A.
B.
C.
D.
E.
Solo I
Solo II
Solo III
I y III
I, II y III
10. En la siguiente figura m // n // p. El valor de x es:
36
40
60
54
50
cm2
cm2
cm2
2
cm
cm2
D
A
10 cm
E
B
15 cm
AB 2
= y
BC 3
EF = DE + 3, ¿cuánto mide EF?
13. En la figura, AD // BE // CF,
m
1 cm
x
n
(x – 3)
A.
B.
C.
D.
E.
7 cm
0 cm
7 cm ó 4 cm
1 cm
Ninguna de las anteriores.
28 cm
p
A.
B.
C.
D.
E.
2
3
4
6
9
A
B
C
D
E
F
Semejanza
|
143
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5
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Circunferencia
Unidad
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
La circunferencia es una figura conocida por los y las estudiantes y ha significado desde siempre un
aporte al desarrollo de distintos ámbitos, como científicos en la invención y construcción de objetos
de forma circular, y artísticos con su presencia en importantes obras de arte.
En esta unidad, los alumnos y alumnas conocerán los elementos presentes en una circunferencia,
aprenderán algunas de sus propiedades y su aplicación. Como, por ejemplo, la relación existente
entre un ángulo del centro y los ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco,
así como también lo correspondiente a ángulos semi-inscritos, interiores y exteriores. También en
esta unidad, se aplicarán los conocimientos de semejanza aprendidos anteriormente para ver las
propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.
El propósito de esta unidad es que los alumnos aprendan a observar y analizar los ángulos presentes
en una circunferencia y puedan establecer relaciones entre ellos.
A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Circunferencia
Medida de ángulos
en la circunferencia
Ángulos del centro
Cuerdas
Ángulos inscritos
Secantes
Ángulos semi-inscritos
Secantes y tangentes
Ángulos interiores
Ángulos exteriores
144
| Unidad 5
Proporcionalidad de segmentos
de la circunferencia
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
• Identificación de ángulos
del centro y ángulos
inscritos en una
circunferencia,
demostración del
teorema que relaciona
la medida del ángulo
del centro con la del
correspondiente
ángulo inscrito.
• Aplicación de la noción
de semejanza a la
demostración de
relaciones entre
segmentos en cuerdas
y secantes en una
circunferencia y a la
homotecia de figuras
planas.
CMO
DE LA UNIDAD
• Medición de arcos.
• Ángulos del centro y
ángulos inscritos.
• Ángulos semi-inscritos.
• Ángulos interiores y
ángulos exteriores a
una circunferencia.
• Proporcionalidad entre
las cuerdas de una
circunferencia.
• Proporcionalidad entre
las secantes de una
circunferencia.
• Proporcionalidad entre
las secantes y tangentes
de una circunferencia.
CONTENIDOS
ESPERADOS
• Identificar ángulos
del centro y ángulos
inscritos en una
circunferencia.
• Relacionar la medida
del ángulo del centro
con la del
correspondiente
ángulo inscrito.
• Aplicar la noción de
semejanza en la
demostración de
relaciones entre
segmentos de cuerdas,
secantes y tangentes en
una circunferencia.
APRENDIZAJES
• Identifican ángulos del
centro y ángulos
inscritos en una
circunferencia.
• Relacionan la medida
del ángulo del centro
con la del
correspondiente
ángulo inscrito.
• Aplican la noción de
semejanza en la
demostración de
relaciones entre
segmentos de cuerdas,
secantes y tangentes en
una circunferencia.
INDICADORES
DIDÁCTICOS
• Compás
• Regla
• Computador
• Internet
RECURSOS
DE EVALUACIÓN
16:52
• Sumativa:
páginas 212 y 213
del Texto para el
Estudiante y 166 y 167
de la Guía Didáctica
para el Profesor.
18/11/09
• Formativa:
páginas 196 y 205
del Texto para el
Estudiante.
• Diagnóstica:
páginas 186 y 187
del Texto para el
Estudiante.
TIPOS
Tiempo estimado: 15 a 20 horas
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Circunferencia
|
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PÁGINAS 184 - 185
Páginas de entrada
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
La imagen presentada es una fotografía de larga exposición apuntando hacia la
Estrella Polar. Como está situada muy cerca del Polo Norte celeste, se pueden ver
las trayectorias circulares aparentes de las estrellas.
Una actividad introductoria podría ser estudiar un procedimiento clásico para
orientarse en altamar utilizando como referencia a la Estrella Polar. Como su
altitud (el ángulo con que aparece en el horizonte) disminuye conforme se avanza
hacia el Sur, entonces esta puede considerarse igual a la latitud (el arco medido
en grados, desde el ecuador al punto donde se encuentra el observador). Al
navegar en dirección Este u Oeste podía mantenerse también un curso recto y
corregir errores de brújula manteniendo la latitud polar constante.
Actividades complementarias
Perpendicular
a la elíptica
1. ¿Qué recta representa la línea del ecuador en el diagrama?, ¿qué recta
23,5º
representa la línea del horizonte para el observador?
2. El ángulo entre la línea horizontal y la dirección en la que vemos la estrella
se llama altitud de la estrella. ¿Con qué letra se señala la altitud de la Estrella
Polar para el observador situado en O?
3. ¿Con qué letra se señala la latitud del observador?
4. ¿Cuál es la relación entre la latitud del observador y la altitud de la Estrella Polar?
Plano de
la elíptica
Eje de rotación
Estrella Polar
P
D
O
Polo Norte
E
A
Líne
a de
l Ec
uad
or
C
Las respuestas a estas preguntas son, respectivamente:
1. El segmento AB indica el diámetro de la Tierra cuya circunferencia representa
la línea del ecuador. Además la recta DE representa la línea del horizonte del
observador O.
2. Como la altitud es el ángulo con que aparece una estrella en el horizonte, la
altitud de la Estrella Polar aparece indicada con la letra griega α.
3. Como la latitud es el arco medido en grados, desde la línea del Ecuador al
punto donde se encuentra el observador, es decir, el arco OB, la latitud del
observador O está indicada con la letra griega β.
4. Observa que la Estrella Polar está muy lejos de la Tierra. Si el dibujo
mantuviera las proporciones de las distancias reales y la Tierra se representara
por un círculo de 2 cm de radio, entonces la Estrella Polar estaría a unos
1 283 396 499 470 cm, es decir: 12 833 965 km. En tal caso, la recta que
determina C con el Polo Norte y OP serían prácticamente paralelas. Si las
consideramos paralelas, según el dibujo siguiente
Estrella Polar
se puede concluir que α = β.
P
Los y las estudiantes deben argumentar
por qué α = β.
B
D
O
E
Polo Norte
α
A
α
β
C
B
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| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
PÁGINAS 186 - 187
Evaluación diagnóstica
En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el
nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de
esta unidad.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta
una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes
criterios:
Ítem 1: indicar en la circunferencia los elementos dados.
Ítem 2: determinar las diferencias entre un círculo y una circunferencia.
Ítem 3: calcular la medida de los ángulos pedidos.
Ítem 4: reconocer triángulos semejantes.
Ítem
1
2
3
4
Completamente logrado
Logrado
¿Cuánto sabes?
Ítem
Habilidades que
se evalúan
1
Identificar.
2
Analizar.
3y4
Calcular.
Medianamente logrado
Por lograr
• Identifica correctamente
en la circunferencia todos
los elementos pedidos.
• Identifica correctamente • Identifica correctamente
en la circunferencia más de en la circunferencia tres de
tres de los elementos
los elementos pedidos.
pedidos.
• Identifica incorrectamente
todos los elementos dados.
• Logra distinguir la diferencia entre un círculo y
una circunferencia.
• Su argumentación es clara
y completa.
• Logra distinguir la
diferencia entre un círculo
y una circunferencia.
• Su argumentación es
clara, pero incompleta.
• No logra distinguir la
diferencia entre un círculo
y una circunferencia
o su argumentación
es incorrecta.
• Calcula correctamente las
medidas de todos ángulos.
• Aplica correctamente las
propiedades de los ángulos
presentes en triángulos.
• Calcula correctamente la
medida de dos ángulos,
uno de ellos el pedido.
• Aplica correctamente las
propiedades de los ángulos
presentes en triángulos.
• Logra distinguir la
diferencia entre un círculo
y una circunferencia.
• Su argumentación es
poco clara y muy básica.
• Calcula correctamente la
medida de un ángulo
pedido.
• Aplica incorrectamente
las propiedades de los
ángulos presentes en
triángulos.
• Reconoce correctamente • Reconoce correctamente • Reconoce correctamente
todas las parejas de
dos de las parejas de
menos de dos de las
triángulos semejantes.
triángulos semejantes.
parejas de triángulos
• Fundamenta cada caso
• Fundamenta cada caso
semejantes.
con el criterio de semejanza con el criterio de semejanza • No identifica el criterio de
correcto.
correcto.
semejanza utilizado.
• Calcula incorrectamente
la medida de los ángulos
pedidos.
• Aplica incorrectamente
las propiedades de los
ángulos presentes en
triángulos.
• No reconoce
correctamente las parejas
de triángulos semejantes.
• No identifica el criterio de
semejanza utilizado.
Circunferencia
|
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Posibles dificultades en la evaluación y remediales.
En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para identificar
correctamente los nombres de los elementos de la circunferencia presentados,
debido básicamente a que no recuerdan sus nombres ni sus características. Para
evitar problemas como estos, es conveniente que realice un repaso de todos los
elementos presentes en una circunferencia y sus características. Más interesante
y motivador sería si pudiera hacerlo a través de algún software computacional, que
permita mostrar las posiciones y variaciones de estos elementos, como,
por ejemplo, cuando se mueve una cuerda y pasa por el centro, esta pasa a ser
un diámetro de la circunferencia.
En el ítem 2, podría ocurrir que sus estudiantes no logren diferenciar entre círculo
y circunferencia, debido a que no comprenden estos conceptos o porque muchos
piensan que son términos equivalentes. Además, es posible que los alumnos y
alumnas no puedan expresar claramente estas diferencias. Para solucionar estos
inconvenientes, es importante que vuelva a explicar las diferencias entre estos
conceptos y pídales que ellos los expliquen con sus palabras, pues de esta forma
podrán enfrentar de mejor modo futuras situaciones en que deban explicar y
argumentar sobre alguna situación o contenido matemático.
Ampliación de conceptos
geométricos.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar antes de comenzar la
unidad, a modo de introducción.
PÁGINAS 188 - 189
En tu cuaderno
Actividad
1
148
Habilidades que
se desarrollan
Representar y
calcular.
En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas calculen de manera incorrecta
o simplemente no calculen las medidas de los ángulos pedidos presentes en un
triángulo, debido a que no recuerdan las propiedades fundamentales involucradas
para la resolución de este tipo de problemas. Para remediar esto, es importante
hacer un resumen con las principales características y propiedades de los ángulos
en triángulos y cuadriláteros, ya que serán de mucha utilidad para el estudio de
esta unidad.
En el ítem 4, indique a sus estudiantes que pueden aplicar sus conocimientos
sobre ángulos en un triángulo, y también medir los lados de los triángulos para
fundamentar correctamente la semejanza, en cada caso.
Medición de arcos
Indicaciones al docente
Para las mediciones de arcos o ángulos del centro, una actividad muy instructiva
es el cálculo de ángulos formados por el horario y el minutero de un reloj.
En un comienzo, los alumnos y alumnas pueden creer que el ángulo que se forma
cuando el reloj indica las 3:00 es el mismo ángulo que cuando indica las 3:30.
Un análisis sobre el funcionamiento del reloj muestra que tal suposición es
equivocada.
Esta actividad puede desarrollarse hasta un grado de precisión de segundos. Lo
cual requiere una gran habilidad de cálculos.
| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
Actividades complementarias
1. Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero cuando el
reloj marca:
a. 7:00 h
b. 9:00 h
c. 11:00 h
2.
3.
4.
5.
6.
¿Cuánto mide el arco que recorre el horario cuando transcurre 1 hora?
¿Qué ángulo recorre el horario en 24 horas?
¿Qué ángulo recorre el minutero en 24 horas?
¿Cuánto mide el arco que recorre el minutero cuando transcurre 1 minuto?
Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero cuando el
reloj marca:
a. 2:20 h
b. 3:40 h
c. 5:35 h
d. 7:05 h
7. Determina el ángulo menor que forma el horario con el minutero
cuando son las:
a. 10:20 h, con 30 segundos
b. 4:50 h, con 15 segundos
c. 7:50 h, con 10 segundos
8. El horario y el minutero están en la misma posición cuando el reloj marca las
12:00 h en punto. ¿A qué hora vuelven a encontrarse el horario y el
minutero?
9. ¿A qué hora entre las 2:00 h y las 3:00 h el horario y el minutero forman un
ángulo extendido?
PÁGINAS 190 - 193
Ángulos del centro y ángulos inscritos
Esta es una buena oportunidad para repasar conceptos elementales de geometría
como la suma de los ángulos de un triángulo y para demostrar que la suma de
dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior del tercer ángulo.
También podría considerar el estudio de la suma de los ángulos exteriores del
triángulo y, en general, de la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono.
Un caso que involucra el análisis de ángulos del centro con ángulos inscritos es el
estudio de los ángulos de un polígono regular.
Cada polígono regular se puede inscribir en una circunferencia, por ejemplo:
Pentágono regular
Hexágono regular
En tu cuaderno
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
3
Interpretar, calcular
y recordar.
4
Recordar y analizar.
Heptágono regular
Circunferencia
|
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Actividades complementarias
1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno de
los siguientes casos.
a.
d.
α
α
O
x
x
O
56º
x
x x
C
b.
e.
24º
O
α
x
O
β
2x
2x
A
C
α
2x
c.
f.
B
β
γ
D
26º
O
O
α
7x
2x
A
x
C
Reconocimiento de los ángulos
del centro e inscritos.
Indicador: genera debate.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como refuerzo teórico.
150
| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
α
B
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
PÁGINAS 194 - 195
Ángulos semi-inscritos
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Es muy importante que antes de explicar el concepto de ángulo semi-inscrito los
alumnos y las alumnas comprendan bien el concepto de recta tangente.
La tangente es una recta que toca en un punto a una curva sin atravesarla.
Puede demostrar con sus alumnos y alumnas el siguiente teorema respecto a la
tangente a una circunferencia: “Dado un punto P sobre una circunferencia con
centro en O entonces existe una única recta tangente a la circunferencia que pasa
por P. Además, la tangente es perpendicular a OP.”
Actividades complementarias
1. Calcula la medida del ángulo (o los ángulos) pedido(s) en cada uno de
los siguientes casos.
a.
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Interpretar,
representar y calcular.
Errores frecuentes
• Los alumnos y alumnas pueden
pensar que las tangentes pueden
tocar a la curva solo en un punto.
Sin embargo, la figura nos muestra
una tangente a la curva en el
punto P, que corta a la curva en
otro punto Q.
c.
α
96º
O
α
O
β
γ
100º
b. AB 艑 AC
d. α = 3x – 12
104º
Reconocimiento de las
relaciones angulares clásicas
de la circunferencia.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias
de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de ver ángulos del
centro, inscritos y semi-inscritos,
como ejercitación.
β =x+7
C
γ
β
64º
O
α
O
α
A
β
B
γ
Circunferencia
|
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PÁGINA 196
Mi progreso
1
Clasificar.
2
Calcular.
Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección
Mi progreso se sugiere que les pida sus alumnos y alumnas que construyan un
mapa conceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y
establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Este recurso puede ser
utilizado como parte del estudio, ya que permite consolidar, organizar y clarificar
sus aprendizajes, y además conocer el nivel de aprendizaje alcanzado por sus
estudiantes en esta parte de la unidad.
3
Justificar.
Actividades complementarias
Mi progreso
Ítem
Habilidades que
se evalúan
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas
como las siguientes:
• Define ángulo del centro, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito.
• ¿Es posible tener dos ángulos del centro de distinta medida si ambos están
subtendidos por el mismo arco? ¿Ocurre lo mismo con los otros tipos
de ángulos?, ¿por qué ocurre esto?
• ¿Qué tipo de triángulo es aquel inscrito en una semicircunferencia?, ¿a qué se
debe esto?, ¿podrías explicarlo?
• Si un ángulo del centro mide 68º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendido
por el mismo arco?
• Si un ángulo inscrito mide 130º, ¿cuánto mide el ángulo del centro subtendido
por el mismo arco?
• Si un ángulo inscrito mide 94º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscrito subtendido por
el mismo arco?
• Si un ángulo semi-inscrito mide 51º, ¿cuánto mide el ángulo inscrito subtendido por
el mismo arco?
• Si un ángulo del centro mide 40º, ¿cuánto mide el ángulo semi-inscrito
subtendido por el mismo arco?
• Si un ángulo semi-inscrito mide 36º, ¿cuánto mide el ángulo del centro
subtendido por el mismo arco?
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan en
el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: clasificar los ángulos dados en inscritos, semi-inscritos y del centro.
Ítem 2: determinar las medidas de los ángulos dados.
Ítem 3: justificar el procedimiento para determinar las tangentes de una
circunferencia que pasa por un punto fuera de ella.
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| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
Para los ejercicios 1, 2 y 3 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel
de conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
1
2
3
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
• Identifica correctamente
los tres ángulos dados.
• Identifica correctamente
dos de los tres ángulos
dados.
• Identifica correctamente
uno de los tres ángulos
dados.
• Identifica incorrectamente
tres ángulos dados.
• Determina correctamente
en los tres casos las
medidas de los ángulos
pedidos.
• Determina correctamente
en dos de los casos las
medidas de los ángulos
pedidos.
• Determina correctamente
en un caso las
medidas de los ángulos
pedidos.
• No determina
correctamente las
medidas de los ángulos
pedidos.
• Justifica correctamente
el procedimiento.
Las explicaciones son claras
y completas.
• Justifica correctamente el
procedimiento.
Las explicaciones son claras,
pero incompletas.
• Justifica correctamente
el procedimiento.
Las explicaciones son poco
claras e incompletas.
• Justifica incorrectamente
el procedimiento, o lo
justifica correctamente,
pero sus explicaciones son
incorrectas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, podría suceder que los alumnos y alumnas presenten dificultades para
identificar correctamente los ángulos presentados debido a que no manejan las
características de cada uno de ellos. Para solucionar esto, es importante clarificar
cada uno de estos conceptos y presentar estos tipos de ángulos en diferentes
posiciones para que los y las estudiantes se acostumbren a ellos y puedan
identificarlos con mayor facilidad.
En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para
encontrar las medidas de los ángulos, debido a que no manejan muy bien las
propiedades asociadas a ellos. Para evitar problemas como estos, muestre
constantemente a sus estudiantes cómo obtener ecuaciones equivalentes y más
sencillas, aplicando estas propiedades, de tal modo que en otras ocasiones puedan
visualizar equivalencias en diversas ecuaciones.
En el ítem 3, la principal dificultad estaría en poder justificar adecuadamente los
procedimientos dados, debido a que no están acostumbrados a expresar ni
explicar sus ideas matemáticas de forma clara y consistente. Para prevenir
situaciones como estas, es fundamental que continuamente los alumnos y alumnas
tengan que expresar sus ideas y percepciones matemáticas sobre diversos
contenidos, para acostumbrarlos a trabajar de manera analítica y justificada.
Circunferencia
|
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PÁGINAS 197 - 198
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
Reconocimiento de
ángulos exteriores e interiores
a la circunferencia.
Indicador: genera debate.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al estudiar ángulos
exteriores e interiores a la
circunferencia.
Ángulos interiores y ángulos exteriores a una circunferencia
Indicaciones para el docente
En esta sección es importante resaltar las características de los ángulos que se
relacionan con la circunferencia.
Ángulo del centro: vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito: formado por dos cuerdas y con el vértice en la circunferencia.
Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una tangente y con el vértice en
la circunferencia.
Ángulo interior: vértice en el interior de la circunferencia (por tanto, el ángulo del
centro es un caso particular de este).
Ángulo exterior: vértice en el exterior.
Destacar que los teoremas del ángulo interior y del ángulo exterior resultan de
que la suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exterior
del tercer ángulo.
Actividades complementarias
1. Verifica que el ángulo del centro es un caso particular del ángulo interior,
es decir, demuestra que el ángulo del centro es la semisuma de los arcos
que subtiende.
2. Calcula la medida de los ángulos y arcos pedida en cada caso.
a.
26º
β
b.
114º
O
α
83º
O
β
40º
α
c.
β
2x
α
3x
x
O
2x
154
| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
d.
α
O
β
28º
103º
e.
β
46º
α
O
79º
PÁGINAS 199 - 200
Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia
Indicaciones para el docente
Las tres secciones siguientes son expresiones de un mismo concepto: la potencia
de un punto respecto de una circunferencia.
Sean una circunferencia C y un punto P, y sea una recta r que pasa por P y
corta a C en dos puntos A y A’. Llamaremos potencia de P respecto de la
circunferencia C a:
En tu cuaderno
Actividad
1, 2 y 3
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
• PA · PA’ , si P es exterior a C.
• –PA · PA’, si P es interior a C.
• 0, si P pertenece a C.
La definición responde a la consideración de segmentos orientados. El producto
de distancias será positivo si P no separa los puntos A y A’ y negativo cuando
sí los separa.
Teorema A
Si desde un punto del plano interior a una circunferencia se trazan dos cuerdas,
el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección (de cada
cuerda con la circunferencia) es una constante.
Demostración
Si el punto no pertenece a la circunferencia:
Los triángulos PAB’ y PBA’ son semejantes por tener los ángulos iguales, por tanto:
Aprendizaje de las
relaciones métricas de cuerdas y
secantes en la circunferencia.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al estudiar las relaciones
métricas de cuerdas y secantes,
para aprender correctamente
las fórmulas.
PA
PB’
=
⇒ PA · PA’ = PB · PB’
PB
PA’
Si el punto pertenece a la circunferencia: PA · PA’ = 0 = PB · PB’
Circunferencia
|
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Actividades complementarias
1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos.
a.
b.
9
4
x
3
O
x
PÁGINAS 201 - 202
En tu cuaderno
Actividad
1, 2 y 3
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
x
O
9
16
Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia
Indicaciones para el docente
Teorema B
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma,
el producto de las distancias de dicho punto a los puntos de intersección de cada
secante es una constante.
Desde el punto de vista del concepto de potencia, los teoremas A y B son el
mismo.
El siguiente teorema es un aporte del concepto de potencia de un punto.
Aprendizaje de las
relaciones métricas de secantes
en la circunferencia.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes primarias.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al estudiar las relaciones
métricas de secantes y tangentes,
para aprender correctamente las
fórmulas.
Teorema
Dos pares de puntos AA’ y BB’ situados en dos rectas secantes en P verifican la
igualdad PA · PA’ = PB · PB’, sí y solo sí los cuatro puntos son concíclicos, es
decir, pertenecen a una misma circunferencia.
Actividades complementarias
1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos.
a.
10
8
9
O
x
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
b.
A
24
16
O
B
x
C
PÁGINAS 203 - 204
Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una circunferencia
Indicaciones para el docente
En tu cuaderno
Teorema
Si P es un punto exterior a una circunferencia, la potencia es también el cuadrado
del segmento PT, donde T es el punto de contacto de una tangente a la
circunferencia trazada desde P.
Demostración:
PA
PT
Los triángulos PTA y PA’T son semejantes, luego
=
entonces:
PT
PA’
2
PA · PA’ = PT
Actividad
1, 2 y 3
4
Habilidades que
se desarrollan
Interpretar,
representar y
calcular.
Interpretar, recordar
y justificar.
Teorema
La potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la
distancia del punto al centro de la circunferencia menos el cuadrado del radio.
Demostración:
P exterior
PA · PA’ = (d – r )(d + r ) = d – r
P interior
–PA · PA’ = –(r – d )(r + d ) = d – r
2
2
2
2
Actividades complementarias
1. Calcula el valor del trazo pedido en cada uno de los siguientes casos.
a.
T
x
P
4
A
5
O
B
Circunferencia
|
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2. En la figura, PB = 9 cm y AB = 7 cm. Calcula la longitud de la tangente PT
y el radio OT.
T
P
O
A
B
3. En la figura, PT es tangente, QA = 6 cm, OC = 7 cm, QT = 14 cm y
PD = 8 cm.
¿Cuánto mide PT?
A
C
Q
D
P
PÁGINA 205
Mi progreso
Ítem
1y2
Habilidades que
se evalúan
Interpretar,
representar y
calcular.
T
Mi progreso
Antes de desarrollar las actividades evaluativas presentadas en la sección Mi progreso se sugiere que les pida sus alumnos y alumnas que construyan un mapa
conceptual con el propósito de que puedan organizar, jerarquizar y establecer
relaciones entre los conceptos trabajados.
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas
como las siguientes:
•
•
•
•
•
•
•
158
O
¿Qué es una recta tangente a una circunferencia?
¿Qué es una recta secante a una circunferencia?
Define: ángulo interior, ángulo exterior.
Dibuja una recta secante a una circunferencia.
Dibuja una recta tangente a una circunferencia.
¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una cuerda?
Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia que se cortan en el
punto E, ¿cuál es la proporcionalidad que se forma?
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera las habilidades que se detallan
en el cuadro Mi Progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: calcular el valor de x en los distintos casos dados.
Ítem 2: determinar el valor de los ángulos dados en cada caso.
Para los ejercicios 1 y 2 considere la rúbrica que le ayudará a evaluar el nivel de
conocimiento alcanzado por los alumnos y alumnas.
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
1
• Determina correctamente
el valor de x en los tres
casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades en todos
los casos.
• Determina correctamente
el valor de x en dos de los
tres casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades en la mayoría
de los casos.
• Determina correctamente
el valor de x en uno de los
tres casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades solo en un
caso.
• Determina incorrectamente
el valor de x en los tres casos
dados.
• Aplica incorrectamente las
propiedades en todos
los casos.
2
• Determina correctamente
la medida de los ángulos
pedidos en los cuatro
casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades en todos
los casos.
• Determina correctamente
la medida de los ángulos
pedidos en tres de los
cuatro casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades en tres casos.
• Determina correctamente
la medida de los ángulos
pedidos en dos de los
cuatro casos dados.
• Aplica correctamente las
propiedades solo en
dos casos.
• Determina correctamente
la medida de los ángulos
pedidos en menos de dos
de los cuatro casos dados.
• Aplica incorrectamente las
propiedades en la mayoría
de los casos.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
En el ítem 1, es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para
determinar las medidas de x en los distintos casos, debido a que no manejan
bien las relaciones de proporcionalidad que se forman en la circunferencia. Para
evitarlo, muestre nuevamente a sus estudiantes estas propiedades y permítales
establecer nuevas relaciones, de modo que a futuro puedan enfrentar de buena
forma problemas como estos.
En el ítem 2, los y las estudiantes podrían presentar problemas para determinar
las medidas de los ángulos pedidos, debido a que no están familiarizados con la
relación entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores a la circunferencia.
Para evitar esto, es fundamental que los alumnos y alumnas conozcan muy bien
estas propiedades y las practiquen. Sería conveniente volver a repasarlas y clarificar
sus dudas con variados ejemplos.
Circunferencia
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PÁGINAS 206 - 207
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
Actividad
1y2
(pág. 200)
Aplicar, calcular y
verificar.
1y2
(pág. 201)
Verificar o comprobar.
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad;
sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas
para que los y las estudiantes la aprendan y la apliquen en futuros problemas.
Además, esta resolución se presenta detallada, justificando las diferentes acciones,
lo que permite aclarar posibles dudas que sus estudiantes pueden mantener.
Se recomienda que enfatice los pasos que deben seguir en la resolución de
problemas: comprender, planificar, resolver y revisar.
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para
evaluar la resolución de problemas planteados.
Logro, aplicación
Comprensión
del problema o
situación
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
En proceso, logro parcial
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete
parte del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
No comprende
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
• Demuestra un entendimiento
conceptos
o algoritmos cuando usa
parcial o satisfactorio.
símbolos.
• Puede demostrar y explicar
• Conecta cómo y por qué.
usando una variedad de
• Aplica el concepto a problemodos.
mas o a situaciones nuevas.
• Está listo para hacer
• Hace y explica conexiones.
conexiones acerca de cómo
• Realiza lo pedido y va más allá.
y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimiento y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
• Chequea la racionalidad de
los resultados.
• Reconoce sin razones.
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
Actividades complementarias
• Demuestra que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
• En la figura PB ≅ PD, verifica que AB ≅ CD.
D
C
A
O
B
• En la figura ABCD es un cuadrado y AP y BP son tangentes. Comprueba que
el triángulo APB es un triángulo rectángulo.
D
C
A
B
P
• En la figura AD ≅ DC, ¿cómo puedes probar que BD es bisectriz?
B
A
P
O
D
C
Circunferencia
|
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PÁGINAS 208 - 209
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Calcular.
2
Justificar.
3y4
Calcular
Investiguemos...
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Calcular.
2
Usar herramientas,
interpretar y analizar.
3
Analizar.
4y5
Calcular.
En terreno
• Esta sección del Texto para el Estudiante, tiene como objetivo relacionar los
contenidos aprendidos en la unidad con su aplicación real. Para ello, se
presenta una actividad sobre astronomía, relacionada con la Tierra y la Luna,
para que los alumnos y alumnas puedan visualizar la presencia real de los
contenidos aprendidos en esta unidad.
• La Tierra es un planeta espectacular que cuenta con condiciones atmosféricas,
de agua y de temperatura que permiten la existencia de vida. La Luna es un
astro que puede recorrer el firmamento terrestre y es el primer satélite
donde el hombre ha podido estar. Gracias a la tecnología, cada día podemos
obtener imágenes impresionantes de ambos elementos astronómicos.
• Las actividades que se presentan en esta sección permitirán que los alumnos
y alumnas se interioricen en estos temas y además puedan aplicar todos los
contenidos aprendidos en esta unidad y en unidades anteriores.
• Interesante información sobre astronomía y temas relacionados con la Tierra y
la Luna, además de sorprendentes imágenes de ellas, que pueden ser de gran
utilidad para trabajar con sus alumnos y alumnas, puede encontrar en
http://www.astromia.com.
PÁGINAS 210 - 211
Síntesis de la Unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar.
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y
alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos
trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues
los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además,
permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en
esta etapa de la unidad.
En esta parte, se resumen y organizan a través de un mapa conceptual los
contenidos trabajados en toda la unidad.
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
Repaso de relaciones angulares
en la circunferencia.
Indicador: genera debate.
Sugerencias metodológicas:
utilizar para aplicar y repasar
las relaciones angulares.
162
•
•
•
•
•
•
¿Qué elementos geométricos están presentes en una circunferencia?
¿Qué características tienen cada uno de ellos?
¿Qué tipos de ángulos están relacionados con la circunferencia?
¿Qué propiedades tiene cada uno de estos ángulos?
¿Cómo se relacionan estos ángulos entre sí? Da dos ejemplos para cada caso.
¿Qué diferencia existe entre una recta tangente y una recta secante a una
circunferencia?
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
• ¿Qué propiedades conoces sobre una recta tangente a una circunferencia?
• ¿Qué propiedades conoces sobre una recta secante a una circunferencia?
• ¿Qué razones de proporcionalidad se cumplen al tener dos cuerdas secantes
en una circunferencia? Da un ejemplo.
• ¿Por qué todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo
rectángulo? Explica.
PÁGINAS 212 - 213
Evaluación de la Unidad
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de nueve preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente más de cinco preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de cinco preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En el ítem 1, los alumnos y alumnas podrían contestar de forma errónea,
debido a que no conocen las características de los elementos principales en una
circunferencia. Para evitar este tipo de inconvenientes, es importante que repase
con ellos cada uno de estos elementos, para que logren identificarlos y
distinguirlos apropiadamente.
• En el ítem 2, puede suceder que los alumnos y alumnas relacionen de forma
incorrecta los ángulos inscritos y del centro presentes en la figura mostrada.
Esto se puede deber a que los y las estudiantes no conocen las relaciones
existentes entre estos tipos de ángulos. Para remediar situaciones como esta,
es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulos así
como la relación entre ellos, y de esta forma evitar futuras confusiones y
conclusiones erróneas.
• En el ítem 3, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de forma
incorrecta la medida del arco pedido, debido a que no reconocen que si se
dibujara el triángulo AOB, correspondería a un triángulo equilátero. Para
remediar esto, es importante recordar estas propiedades, de modo que se
familiaricen con ellas y no cometan los mismos errores en el futuro por falta
de conocimiento o práctica.
• En el ítem 4, puede suceder que los alumnos y alumnas establezcan relaciones
incorrectas sobre el ángulo exterior presente en la figura mostrada, o bien, que
no apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Para
remediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos estas
propiedades, y de esta forma evitar futuras confusiones y conclusiones erróneas.
• En el ítem 5, puede suceder que los y las estudiantes relacionen de forma
incorrecta los ángulos inscritos y semi-inscritos en una circunferencia, o bien,
que no apliquen la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Para
remediar situaciones como esta, es importante clarificar a los alumnos y las
alumnas las propiedades presentes en este tipo de ángulos así como la
relación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y lograr futuras conclusiones
y respuestas correctas.
Evaluación
Habilidades que
se evalúan
Ítem
3, 4, 5, 8,
9, 10, 11, 12
Calcular.
1, 2, 6 y 7
Analizar.
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva y,
además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
Circunferencia
|
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• En el ítem 6, podría ocurrir que los alumnos y alumnas relacionen de forma
incorrecta los ángulos del centro, inscritos y semi-inscritos en una
circunferencia, debido a que no están familiarizados con las relaciones
existentes entre estos tipos de ángulos. Para solucionar situaciones como esta,
es importante clarificar las propiedades presentes en este tipo de ángulos
así como la relación entre ellos, y de esta forma aclarar dudas y permitir
conclusiones y respuestas correctas.
• En el ítem 7, puede ocurrir que los alumnos y alumnas respondan de forma
incorrecta, debido a que no recuerdan que todo triángulo inscrito en una
semicircunferencia es rectángulo y además las propiedades del ángulo inscrito
en una circunferencia. Para remediar esto, es importante recordar estas
propiedades y practicarlas continuamente, de modo que no cometan los
mismos errores en el futuro por falta de conocimiento o práctica.
• En el ítem 8, los alumnos y alumnas podrían tener complicaciones para
responder correctamente debido a que no recuerdan las propiedades de las
cuerdas en una circunferencia. Para solucionar esto, es importante recordar
estas propiedades nuevamente, de modo que en el futuro puedan aplicarlas
correctamente.
• En los ítems 9 y 12, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder,
debido a que no aplican correctamente las propiedades relacionadas con
ángulos inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes,
es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos de
problemas, de modo que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos, y
en posteriores ejercicios puedan resolverlos de manera correcta.
• En el ítem 10, podría suceder que los y las estudiantes presenten
complicaciones al encontrar el valor de un segmento formado por dos
cuerdas secantes en una circunferencia que se cortan en un punto, debido a
que no manejan bien las relaciones proporcionales que se establecen en ellas.
Para evitar este tipo de inconvenientes, se recomienda que repase estas
propiedades y presente variados ejemplos donde puedan aplicarlas, de modo
que en el futuro puedan enfrentar correctamente ejercicios similares.
• En el ítem 11, los y las estudiantes podrían equivocarse al responder, debido
a que no aplican correctamente las propiedades relacionadas con ángulos
inscritos y semi-inscritos en una circunferencia. Para evitar estos inconvenientes,
es importante repasar estos contenidos y practicarlos en diversos tipos de
problemas, para que los alumnos y alumnas se familiaricen con ellos y, luego,
resuelvan correctamente futuros ejercicios de este tipo o similares.
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| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didáticas
Unidad 5
Evaluación final
En las páginas siguientes, se presenta una evaluación fotocopiable que le
permitirá evaluar los aprendizajes que han logrado los alumnos y alumnas con
los contenidos trabajados en la unidad. Con los resultados de esta evaluación,
se puede tomar la decisión de reforzar algunos temas que no hayan sido aún
comprendidos a cabalidad por sus estudiantes.
El tiempo estimado para la realización de la prueba es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la
siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
Total
1
Analizar.
2 puntos
2 puntos
2y3
Calcular.
2 puntos cada una
4 puntos
4
Analizar y recordar.
2 puntos
2 puntos
5
Calcular.
2 puntos
2 puntos
6y7
Verificar o comprobar.
2 puntos cada una
4 puntos
8, 9 y 10
Calcular.
2 puntos cada una
6 puntos
11
Analizar.
2 puntos
2 puntos
12
Calcular.
2 puntos
2 puntos
Puntaje total
24 puntos
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Coxeter, H. S. M; Greitzer, S. L. Retorno a la Geometría, Colección La Tortuga de Aquiles, DLS- Euler Editores, Madrid,
1994.
Santaló, Luis. La Geometría en la formación de profesores, Red Olímpica, Buenos Aires, 1993.
Cord. Matemáticas aplicadas, Santiago de Chile, 1997.
Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cultura Económica, México, 1992.
Gardner, Martín. Carnaval Matemático, Alianza Editorial, España, 1985.
Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992.
Matemáticas y Olimpíadas. Sociedad de Matemáticas de Chile, Santiago de Chile, 1994.
Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994.
Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998.
Sitios web
• Descartes. Matemáticas interactivas: http://descartes.cnice.mec.es/
• El portal de la educación: www.educarchile.cl
• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Circunferencia
|
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Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. En la circunferencia se traza una tangente y
una secante como lo muestra la figura. De las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s):
I. ⌬QRT ∼ ⌬QTS
II. ⱔRST ≅ ⱔRTQ
III. RQ ≅ TQ
4. Se han dibujado tres circunferencias congruentes
de radio r y centro O. ¿En cuál o cuáles de los
siguientes dibujos el triángulo es rectángulo?
I.
S
O
r
R
II.
45º
Q
T
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
r
O
D. I y II
E. II y III
2. En la circunferencia de centro O de la figura,
el ⱔBOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ⱔAED
en el triángulo isósceles AED?
III.
r
B
A.
B.
C.
D.
E.
C
A
20º
40º
50º
70º
Ninguna de las anteriores.
D
O
166
31,5º
63º
90º
126º
Otro valor.
α
A. Solo II
B. I y II
C. I y III
D. II y III
E. I, II y III
5. En la figura, ⱔCAO = 25º, ⱔCBO = 60º,
entonces el ⱔAOB mide:
3. El arco α de la figura mide:
A.
B.
C.
D.
E.
E punto de tangencia
O
E
O
63º
| Unidad 5 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
A.
B.
C.
D.
E.
170º
110º
100º
65º
60º
C
O
A
B
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Evaluación final
Material fotocopiable
10. En la figura, PA es tangente a la circunferencia
y PF es bisectriz del ⱔAPB.
Si FB = 63º, AF = 78º y ⱔAPD = 26º, el valor
de CA
es:
F
6. Con respecto a la figura es verdadero que:
115º
I. α > β
II. α + β = 115º
III. α – β = 23º
A.
B.
C.
D.
E.
O
Solo I
I y II
I y III
II y III
I, II y III
A.
B.
C.
D.
E.
α
23º
β
89º
37º
52º
115º
57,5º
O
B
A
D
C
7. De acuerdo a la figura, es verdadero que:
I. ⱔDBC = 30º
II. ⱔACB = ⱔABD
III. ⱔADB = 60º
A.
B.
C.
D.
E.
C
B
D
P
11. En la circunferencia, CD y CB son tangentes y
ⱔBOD = 90º. Entonces es verdad que:
Solo I
Solo II
I y II
I y III
II y III
O
30º
I. OBCD es cuadrado.
II. ⱔBAD =
A
ⱔDCB
2
III. ⱔABO + ⱔADO = ⱔBAD
8. El radio del circulo de la figura es 18 cm y
ⱔACB = 15º, el arco AB mide:
D
C
C
A.
B.
C.
D.
E.
3π cm
3,6π cm
6π cm
36π cm
Otro valor.
A.
B.
C.
D.
E.
O
Solo I
Solo II
Solo III
I y III
I, II y III
O
A
B
B
A
12. En la figura, PM es tangente y mide 28 cm,
PA = 14 cm. ¿Cuánto mide el radio?
9. En la figura, PQ y PT son tangentes y
ⱔQPT = 68º. El valor de ⱔQAT es:
A.
B.
C.
D.
E.
112º
248º
56º
68º
136º
M
P
T
A
O
P
A.
B.
C.
D.
E.
14 cm
42 cm
21 cm
56 cm
7 cm
A
O
B
Q
Circunferencia
|
167
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18/11/09
16:53
6
Page 168
Datos y
Azar
Unidad
PROPÓSITO
DE LA UNIDAD
El año anterior se estudiaron las medidas de tendencia central y posición. Este año estos tópicos se
complementan con las medidas de dispersión. Con ellas, y lo aprendido anteriormente, los alumnos
y las alumnas tienen las herramientas para comparar dos o más conjuntos de datos. En este mismo
contexto, se introducen los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad.
También se aborda de manera conceptual el muestreo aleatorio simple, con el fin de que los alumnos
y las alumnas se vayan familiarizando con este concepto.
Se retoma la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades, pero en esta oportunidad se le
entrega herramientas de conteo con el fin de que los alumnos y alumnas puedan resolver ejercicios
de mayor complejidad.
Por último, se ven dos propiedades importantes de las probabilidades: la regla de la suma y la regla
del producto.
A continuación, se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.
ESQUEMA
DE LA UNIDAD
Datos y Azar
Muestreo
aleatorio simple
Medidas
de dispersión
Rango
Varianza
Desviación
estándar
Comparación
de dos o más
conjuntos
Probabilidades
Probabilidad
de la unión
Probabilidad de
la intersección
Eventos
excluyentes
Eventos
independientes
Regla de la suma
Regla del producto
Homogeneidad
Heterogeneidad
Permutación
Combinación
168
| Unidad 6
Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Regla de
Laplace
Técnicas
de conteo
CONTENIDOS DE LA UNIDAD
• Medidas de dispersión.
• Medidas de dispersión
para datos agrupados.
• Comparación de dos
o más conjuntos de
datos.
• Homogeneidad y
heterogeneidad.
• Muestreo aleatorio
simple.
• Uso de Excel para
calcular medidas de
dispersión.
• Conjuntos.
• Técnicas de conteo.
• Regla de Laplace.
• Probabilidad de la
unión.
• Probabilidad de la
intersección.
CMO
• Determinación del rango,
varianza y desviación estándar,
aplicando criterios referidos
al tipo de datos que se
están utilizando, en forma
manual y mediante el uso de
herramientas tecnológicas.
• Análisis de las características de
dos o más muestras de
datos, haciendo uso de indicadores de tendencia
central, posición y dispersión.
• Empleo de elementos básicos
del muestreo aleatorio simple,
en diversos experimentos,
para inferir sobre la media de
una población finita a partir de
muestras extraídas.
• Aplicación del concepto de
variable aleatoria en diferentes
situaciones que involucran azar
e identificación de esta como
una función.
• Exploración de la Ley de los
Grandes Números, a partir de
la repetición de experimentos
aleatorios, con apoyo de
herramientas tecnológicas y su
aplicación a la asignación de
probabilidades.
• Resolución de problemas de
cálculo de probabilidades
aplicando las técnicas del
cálculo combinatorio, diagramas
de árbol, lenguaje conjuntista,
operatoria básica con conjuntos,
propiedades de la suma y
producto de probabilidades.
ESPERADOS
• Calcular e interpretar
correctamente las distintas
medidas de dispersión tanto
para datos disgregados como
para datos agrupados.
• Comparar dos o más conjuntos
de datos utilizando mediadas
de tendencia central, posición
y dispersión.
• Identificar cuándo un grupo
de datos es homogéneo o
heterogéneo utilizando
medidas de dispersión.
• Entender los conceptos de
muestreo aleatorio simple.
• Utilizar Excel para calcular
medidas de dispersión.
• Manejar conceptos básicos
de conjuntos y su operatoria.
• Utilizar técnicas de conteo para
determinar el tamaño muestral
y/o el número de elementos
favorables a un evento.
• Calcular probabilidades
utilizando la regla de Laplace.
• Utilizar las propiedades de la
probabilidad de la unión para
resolver diversos problemas.
Identificar eventos excluyentes.
• Utilizar las propiedades de la
probabilidad de la intersección
para resolver diversos problemas.
• Identificar eventos independientes.
APRENDIZAJES
RECURSOS
DIDÁCTICOS
• Calcula e interpreta
• Fichas, cartas.
correctamente las distintas
• Calculadora
medidas de dispersión tanto
simple.
para datos disgregados como
• Computador
para datos agrupados.
con acceso a
• Compara dos o más
Internet y
conjuntos de datos utilizando
planilla de
medidas de tendencia central,
cálculo.
posición y dispersión.
• Identifica cuándo un grupo
de datos es homogéneo o
heterogéneo utilizando
medidas de dispersión.
• Entiende los conceptos de
muestreo aleatorio simple, es
capaz de reconocer la población
de la cual se extrajo la muestra
y cuál es la metodología que se
utiliza para su extracción.
• Utiliza Excel para calcular medidas
de dispersión.
• Maneja conceptos básicos de
conjuntos y su operatoria. Puede
resolver distintos problemas de
unión e intersección de conjuntos.
• Utiliza técnicas de conteo para
determinar el tamaño muestral
y/o el número de elementos
favorables a un evento.
• Calcula probabilidades
utilizando la regla de Laplace
correctamente.
• Utiliza las propiedades de
la probabilidad de la unión para
resolver diversos problemas.
• Utiliza las propiedades de la
probabilidad de la intersección
para resolver diversos problemas.
INDICADORES
DE EVALUACIÓN
16:53
• Sumativa: páginas
254 y 255 del
Texto para el
Estudiante y 186
y 187 de la Guia
Didáctica para el
Profesor.
18/11/09
• Formativa: páginas
232 y 247 del
Texto para el
Estudiante.
• Diagnóstica: páginas
216 y 217 del
Texto para el
Estudiante.
TIPOS
Tiempo estimado: 20 a 25 horas
PAG 168-187
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Datos y Azar
|
169
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18/11/09
16:53
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PÁGINAS 214 - 215
Páginas de entrada
La imagen presentada al comienzo de la unidad tiene como propósito introducir
y motivar a los alumnos y las alumnas en el estudio y aprendizaje de las medidas
de dispersión.
Revise el hipertexto, para que
conozca los recursos disponibles:
ejercitación adicional, elementos
de profundización de contenidos,
links y evaluaciones.
En la imagen se muestra una bióloga pesando una rana y con esto se puede
empezar a discutir el tema de la dispersión. La bióloga quiere desarrollar un
estudio acerca de todas las ranas que habitan el lago. ¿Qué pasa si pesa una sola
rana?, ¿y si pesa dos o más?, ¿todas las ranas pesarán lo mismo? ¿Cómo se puede
resumir la información obtenida?
La imagen sirve también para introducir el concepto de muestreo, ¿por qué no se
pueden pesar todas las ranas del lago?
PÁGINAS 216 - 217
¿Cuánto sabes?
Ítem
1y2
Habilidades que
se evalúan
Aplicar y calcular.
Recordar y
representar.
3
4y5
Aplicar.
6y7
Calcular.
Ítem
1
170
Completamente logrado
• Calcula correctamente la
media, mediana y cuartiles.
• Redacta una respuesta
concreta utilizando las
unidades de medición
correspondiente.
Evaluación diagnóstica
En estas páginas se presenta una evaluación diagnóstica que permitirá medir el
nivel de desempeño que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidos de
esta unidad.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y las alumnas se presenta
una evaluación diagnóstica con el título ¿Cuánto sabes?, que incluye los siguientes
criterios:
Ítem 1: calcular la media, mediana y cuartiles para datos no agrupados.
Ítem 2: calcular la frecuencia acumulada de un conjunto de datos. Calcular la
media, mediana y cuartiles para datos agrupados.
Ítem 3: describir en forma extensa el espacio muestral y eventos asociados
a un experimento.
Ítem 4: redondear números a la décima y explicar el procedimiento.
Ítem 5: redondear números a la centésima y explicar el procedimiento.
Ítem 6: resolver ejercicios con números decimales.
Ítem 7: resolver ejercicios con fracciones.
Logrado
• Calcula correctamente la
media, mediana y cuartiles.
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Medianamente logrado
• Calcula correctamente
una o dos de las medidas
de resumen solicitadas.
Por lograr
• No calcula correctamente
ninguna de las medidas de
resumen solicitadas.
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16:53
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
Ítem
Completamente logrado
Logrado
Medianamente logrado
Por lograr
2
• Calcula correctamente, la
frecuencia acumulada, la
media, mediana y los
percentiles. Redacta una
respuesta concreta
utilizando las unidades de
medición correspondiente.
• Calcula correctamente, la
frecuencia acumulada, y al
menos tres de las medidas
de resumen solicitadas.
• Calcula correctamente, la
frecuencia acumulada y una
o dos de las medidas de
resumen solicitadas.
• No calcula correctamente
ninguna de las medias de
resumen solicitadas ni la
frecuencia acumulada.
• Describe correctamente
el espacio muestral y los
eventos asociados.
• Describe correctamente
el espacio muestral y uno
o dos de los eventos
asociados.
• Describe correctamente
el espacio muestral.
• No describe correctamente
el espacio muestral ni ninguno
de los eventos
asociados.
3
• Redondea correctamente • Redondea correctamente • Redondea correctamente • Redondea correctamente
5 ó 4 de los números
3 ó 2 de los números
al menos uno de los
4 y 5 todos los números
decimales.
decimales.
decimales.
números decimales.
• Resuelve correctamente
6 y 7 todos los ejercicios.
• Resuelve correctamente
5 ó 4 ejercicios.
• Resuelve correctamente
3 ó 2 ejercicios.
• Resuelve correctamente al
menos 1 de los ejercicios.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• En los ítems 1 y 2, los alumnos y las alumnas suelen olvidar escribir las
respuestas completas con la unidad de medición asociada. Se sugiere insistir
en este punto antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.
• En el ítem 3, en general los alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar
los elementos asociados a un evento. Por ello, es importante remarcar la
importancia del uso de diagramas o esquemas de apoyo.
• En los ítems 4 y 5, los alumnos y las alumnas pueden no recordar lo que es la
décima o la centésima, para ello se puede realizar un pequeño resumen del
tópico antes que los alumnos y las alumnas inicien el trabajo.
Aprendizaje de conceptos claves
a tratar en la unidad.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de introducir los
conceptos claves de la unidad,
como ejercitación.
• En los ítems 6 y 7, tal como se ha mencionado anteriormente, los errores más
comunes consisten en no respetar el orden de las operaciones. Refuerce este
tema con variados ejemplos que presenten distintos grados de complejidad.
Datos y Azar
|
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PÁGINAS 218 - 221
En tu cuaderno
Actividad
1
2, 3 y 4
5
Habilidades que
se desarrollan
Analizar.
Analizar y aplicar.
Calcular y justificar.
Errores frecuentes
• Los alumnos y las alumnas suelen
enredarse con el cálculo de la
varianza debido a la extensión de
la fórmula, por ello en las páginas
214 y 215 se muestra cómo
realizar este cálculo de una
manera esquematizada y
sistematizada.
• Otra dificultad a la que se
enfrentan los alumnos y las
alumnas es con las unidades de
medición, pues suelen confundirse
cuando se trabaja con valores al
cuadrado y finalmente la omiten.
Medidas de dispersión
Información para el docente
A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabilidad,
por ejemplo: el clima, el precio del pan, el tiempo que demoramos de ir un
punto a otro, etc., en general la varianza no es un concepto que se maneje
cotidianamente. Es recomendable introducir este concepto con ejemplos simples
que ayuden a sus estudiantes a entender la importancia de considerar la variabilidad
de un evento o situación. Analicen qué consecuencias pueden haber si no se
toma en cuenta en un contexto de toma de decisiones.
Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar (y en su
defecto la varianza), siempre se presenta primero el rango, pues es una medida
fácil de calcular y que grafica claramente lo que es la variabilidad de un conjunto
de datos.
Actividades complementarias
Para introducir el concepto de rango, realice ejemplos simples donde la media
sea la misma pero el rango vaya variando de caso en caso. Apóyese con el uso
de gráficos y/o diagramas. Esto le ayudará a los alumnos y las alumnas a entender
con mayor facilidad los conceptos de dispersión.
Discuta con los alumnos y las alumnas qué puede ocurrir si se supone que la
locomoción colectiva en que llegan al colegio pasará siempre a la misma hora por
determinado punto. ¿De qué manera se puede usar la variabilidad de una
situación para tomar una mejor decisión?
1. Cuando Pablo estaba en segundo medio, debió hacer una encuesta acerca de
la cantidad de hijos por familia que había en su curso, él obtuvo las siguientes
respuestas:
5–2–3–5–4–2–7–4–2–3–6–4–2–5–8–1–3–4–6–4–
3 – 5 – 3 – 5 – 3 – 4 – 4 – 2 – 4 – 3 – 3 – 3 – 2 – 1 – 4 – 2 – 4 – 3 – 4 – 3.
a. Calcula la media y la moda.
b. Calcula el rango y la desviación estándar.
Memorización de conceptos y
fórmulas de las medidas de
dispersión.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de presentar las
fórmulas para análisis de datos.
2. Sebastián, el hijo de Pablo, cursa actualmente segundo medio y debe hacer el
mismo trabajo. Sus respuestas fueron:
2–2–1–2–3–3–3–5–3–3–3–2–5–2–4–2–4–1–1–3–
4 – 2 – 1 – 2 – 3 – 2 – 2 – 3 – 1 – 3 – 3 – 1 – 2 – 1 – 1 – 3 – 5 – 3 – 1 – 3.
a. Calcula la media y la moda.
b. Calcula el rango y la desviación estándar.
• ¿Qué se puede decir al comparar la época de Sebastián con la de su padre?
172
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
PÁGINAS 222 - 223
Medidas de dispersión para datos agrupados
Información para el docente
En tu cuaderno
Usualmente nos podemos encontrar ante situaciones donde no se tienen los
datos puros de un determinado experimento, sino que solo se dispone de una
tabla resumen, y he ahí la importancia de conocer los métodos de cálculo para
datos agrupados.
Actividades complementarias
Los datos no tabulados del ejercicio 1 de la página 223 son los siguientes:
22
25
25
28
43
32
40
34
26
29
35
40
34
39
34
30
31
39
31
30
34
36
27
38
40
26
39
25
23
32
35
31
39
39
34
35
30
34
30
28
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Calcular y analizar.
Errores frecuentes
• Los errores que suelen cometer
los alumnos y las alumnas en la
sección anterior se repiten en
esta sección. Además, en este
caso los cálculos pueden parecer
más engorrosos, por eso es
importante el uso de tablas para
sistematizar los cálculos. También
pueden tener problemas para
identificar la marca de clase,
situación que se puede abordar
realizando distintos ejercicios.
Calcule en conjunto con los alumnos y las alumnas el rango, la varianza y la
desviación estándar. Comparen lo obtenido con lo calculado en el ejercicio
anterior. Discuta, ¿qué observan?, ¿estos valores son iguales a los calculados
anteriormente o existen diferencias?, ¿por qué? ¿Qué ganancia y/o pérdida hay
al calcular de uno u otra manera las distintas medidas de dispersión?
PÁGINAS 224 - 225
Comparación de dos o más conjuntos de datos
Información para el docente
Esta sección es una aplicación de lo visto en las anteriores. Calcular medidas de
tendencia central, posición y dispersión es útil para entender el comportamiento
de un conjunto de datos. Estas medidas adquieren mayor relevancia cuando
queremos ver las similitudes o diferencias de dos o más conjuntos de datos.
En tu cuaderno
Actividad
1
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar, calcular
y analizar.
Datos y Azar
|
173
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16:53
Page 174
Errores frecuentes
• Es muy común que los alumnos
y las alumnas cometan errores
conceptuales al interpretar y
comparar las medidas de tendencia
central y dispersión, lo que
impedirá que concluyan de
manera correcta.
Actividades complementarias
Dos marcas competidoras de calzado para corredores se sometieron a una prueba
para comprobar el desgaste del calzado. Cada una de ellas indicó el siguiente
número de horas de uso necesarias para que se detecte un desgaste significativo:
Marca A
Marca B
97
78
83
56
75
87
82
54
98
89
65
65
75
70
a. ¿Qué calzado parece presentar menor desgaste?
b. ¿Qué calzado parece tener el programa de control de calidad que produce un
desgaste más uniforme?
PÁGINAS 226 - 227
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1y3
Aplicar, calcular,
analizar y justificar.
2y5
Analizar y justificar.
4
Interpretar, analizar
y representar.
Errores frecuentes
• Es común que los alumnos y las
alumnas tiendan a pensar que la
homogeneidad es mejor que la
heterogeneidad o viceversa.
174
Homogeneidad y Heterogeneidad
Información para el docente
Esta sección es una aplicación, al igual que la anterior, de lo visto en las anteriores.
Al concepto de dispersión le son intrínsecos los conceptos de homogeneidad y
heterogeneidad y a la vez estos están muy relacionados con la comparación de
dos o más conjuntos de datos, por ello se decidió incluirlo en este Texto.
Actividades complementarias
Discuta con los alumnos y las alumnas distintas situaciones cotidianas donde
se observe variabilidad. Determinen en conjunto si estas tienden a ser más
homogéneas que heterogéneas y qué es lo deseable para cada una de las
situaciones.
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
1. A continuación, se presentan los resultados de dos cursos en una prueba.
2º A
3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,5 4,3 5,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,9
2,8 2,9 3,3 3,9 4,2 4,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3.
2º B
3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,1 4,1 5,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,6
5,5 5,4 4,8 4,9 3,9 5,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9.
a. ¿Qué curso tuvo mejor rendimiento en esta prueba?
b. ¿Qué curso tuvo un rendimiento más homogéneo en esta prueba?
PÁGINAS 228 - 231
Muestreo aleatorio simple
Información para el docente
El objetivo de esta sección es introducir al alumno en los conceptos de muestreo.
Es por ello, que más que en fórmulas, se profundiza en temas conceptuales de
por qué se realiza el muestreo y la importancia de que la muestra seleccionada
sea representativa de la población.
Discuta con los alumnos acerca del tema de representatividad. Puede introducir
el tema con un ejemplo simple, por ejemplo, sobre gustos musicales. Vaya eligiendo
1, 2, 3 estudiantes y así sucesivamente. A partir de las respuestas obtenidas, por
ejemplo, si encuestó a un solo estudiante que prefiere el reggaetón, afirme:
A todo el curso le gusta el reggaetón e inicie la conversación con los alumnos
y las alumnas.
Actividades complementarias
Solicite a los alumnos que durante un período de tiempo (1 ó 2 semanas) revisen
distintos medios de comunicación en busca de noticias y/o reportajes donde se
haga referencia a poblaciones y muestras. Solicite que en ellas identifiquen la
población, si se hace referencia o no al tamaño de muestra y que intenten
determinar el objetivo del estudio y la necesidad de seleccionar una muestra,
en cada caso. Una actividad para desarrollar en clases es que se compartan
algunas noticias seleccionadas, lo que pueda propiciar una discusión interesante
con respecto al tema.
1. Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.
En tu cuaderno
Actividad
1, 3 y 4
2
Habilidades que
se desarrollan
Analizar.
Aplicar, calcular
y analizar.
Errores frecuentes
• Usualmente los alumnos y las
alumnas tienen problemas para
entender los conceptos de
población y muestra y la diferencia
entre ambos. En general, por un
tema semántico, los alumnos y las
alumnas relacionan el concepto
de población a conjuntos de
personas. Se sugiere presentar
distintos ejemplos donde la
población no necesariamente
sean personas, por ejemplo,
cultivos, industrias, hogares, etc.
a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera
ininterrumpida.
b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile.
c. La masa de un grupo de cinco amigos.
d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.
Datos y Azar
|
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2. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la
conversión de sus motores a gas natural. Para ello, se decide realizar una encuesta.
Ampliación del vocabulario
estadístico.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar luego de haber presentado
los conceptos estadísticos propios
de la unidad.
a. Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra:
i. Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principales
ciudades del país.
ii. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones
más concurridas.
iii. Escoger al azar del registro de vehículos motorizados a dueños de
automóviles catalíticos y enviarles un encuestador.
b. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas y desventajas de
cada alternativa.
Herramientas tecnológicas
Habilidades que se desarrollan
Usar herramientas y analizar.
Esta actividad tiene por objetivo enseñar a los alumnos y las alumnas a utilizar una
planilla de cálculo como Excel para calcular medidas de dispersión. Además, se
recuerda (o se enseña a los alumnas y las alumnas en caso de que no lo hayan
visto con anterioridad) el cálculo de la media, mediana y percentiles.
La actividad está compuesta por dos partes: la inicial, que se recomienda que se
realice en conjunto con los y las estudiantes, con el fin de explicar detalladamente
cada uno de los pasos. Luego, se plantea un ejercicio para que los alumnos y las
alumnas desarrollen individualmente o en parejas. Se recomienda que se les
solicite que hagan un reporte con los resultados obtenidos y preparen una
presentación que pueda ser exhibida ante sus compañeros y compañeras para
discutir en conjunto los resultados. Esta es una excelente actividad para repasar
los conceptos aprendidos.
PÁGINA 232
Mi progreso
Ítem
1y2
3
176
Habilidades que
se evalúan
Calcular, analizar
y justificar.
Analizar.
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en el
cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Ítem 1: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar y rango. A partir de
estos resultados concluir acerca de la calidad de los neumáticos.
Ítem 2: calcular media, mediana, varianza, desviación estándar, rango y cuartiles. A
partir de estos resultados, concluir acerca del cambio en las emisiones de
hidrocarburos.
Ítem 3: identificar la población a la cual se hace referencia.
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
PÁGINAS 233 - 234
Conjuntos
Información para el docente
En tu cuaderno
Si bien el tópico de conjuntos no es exigido por el Ministerio de Educación, se
decidió incluir en esta parte del Texto, pues es una herramienta que facilitará
mucho la comprensión de las secciones de probabilidad.
Actividades complementarias
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1
Reconocer/identificar.
2
Calcular.
3
Verificar y justificar.
1. ¿Cuál es el conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o}
y {t, r, i, u, n, f, o}?
2. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A = {l, u, n, a} y
B = {t, r, i, u, n, f, o}?
4. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur,
que 62 leen un diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos.
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas personas no leen ningún diario?
¿Cuántos leen solo el diario El Sur?
¿Cuántos solo leen un diario de Santiago?
Representa lo anterior en un diagrama de Venn.
5. Una encuesta de 100 estudiantes sobre idiomas extranjeros arrojó el
siguiente resultado: 52 saben leer inglés, 40 saben leer francés, 24 saben
leer alemán, 19 saben leer inglés y francés, 12 saben leer francés y alemán
y 6 saben leer los 3 idiomas.
a. ¿Cuántos saben leer solamente inglés?
b. ¿Cuántos no saben leer ninguno de los 3 idiomas?
c. ¿Cuántos saben leer solo un idioma? (Como en el ejercicio anterior,
Errores frecuentes
• Los alumnos y las alumnas suelen
tener problemas en realizar
operaciones de conjuntos.
Por ello, es muy importante insistir
en el uso de diagramas de Venn
como herramienta de apoyo.
Representación de operaciones de
conjuntos mediante diagramas de
Venn.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como refuerzo conceptual
previo al estudio de probabilidades.
resolver representando los conjuntos en un diagrama de Venn).
PÁGINAS 235 - 238
Técnicas de conteo
Información para el docente
El objetivo de esta sección es entregar técnicas de conteo a los alumnos y las
alumnas, con el fin de que más adelante, mediante la regla de Laplace, puedan
calcular probabilidades de espacios muestrales más complejos a los vistos en años
anteriores. En algunas situaciones, se verán enfrentados a casos donde no es posible
determinar el tamaño del espacio muestral o el número de casos favorables a un
evento listando los elementos de este; es en esos casos donde se vuelve relevante
el uso de las técnicas de conteo.
En tu cuaderno
Actividad
1, 2, 3, 4,
5y6
7
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar y calcular.
Analizar.
Datos y Azar
|
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Page 178
Errores frecuentes
• Las alumnas y los alumnos con
frecuencia tienen dificultad en
distinguir si dos eventos son
eventos secuenciales o eventos
excluyentes, en otras palabras,
tienen problemas en discernir
si lo adecuado es utilizar la regla
del producto o la regla de
la suma.
Para explicar las técnicas de conteo, se recomienda el uso de distintos tipos de
diagramas: de árbol, casilleros, etc.
Actividades complementarias
Dado que una de las principales dificultades de esta sección es distinguir una
permutación de una combinación, se sugiere realizar actividades donde los y las
estudiantes puedan tangibilizar las diferencias. Realice actividades con cartas,
dados o fichas de colores. Plantee situaciones donde sí importe el orden y
donde no importe, solicite que en cada uno de los casos cuenten la cantidad de
posibilidades y lleven un registro en su cuaderno. También se pueden plantear
situaciones donde ellos mismos sean los involucrados.
1. En un restaurante se sirve un menú que consta de una entrada, un plato de
Aprendizaje del principio aditivo
y multiplicativo.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como refuerzo conceptual
del principio aditivo y multiplicativo.
fondo y un postre. Las posibles entradas: lechuga con palta, tomate con cebolla,
tomate relleno con choclo, pescado y huevo duro y porotos verdes. Los posibles
platos de fondo son porotos con longaniza y zapallo, cazuela de vacuno,
charquicán, tallarines con salsa de tomate y pescado al jugo con puré.
Los postres son plátano con leche condensada, manzana asada, torta, pie de
limón, gelatina con crema y flan de leche con sabor. Calcula el número total
de todos los posibles almuerzos que una persona pueda escoger de este
menú. Usa un diagrama de árbol cuando sea necesario.
2. La directiva de un curso tiene 4 cargos, presidente, vicepresidente, tesorero y
secretario. Los candidatos son:
Reconocimiento del nombre de las
técnicas de conteo.
Indicador: busca datos
directamente en fuentes
primarias de información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar al iniciar las técnicas de
conteo.
178
Presidente: Gonzalo, Macarena y Andrea
Vicepresidente: Juan, Pedro, Ana y Camila
Tesorero: Isidora y Cristóbal
Secretario: Daniela, Javier y Alberto
Calcula el número total de todas las posibles directivas que se pueden formar.
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
PÁGINAS 239 - 240
Regla de Laplace
Información para el docente
Si bien la regla de Laplace se introdujo en primero medio, el objetivo de retomarla
en Segundo Año Medio es que, luego del capítulo de técnicas de conteo, los
alumnos y las alumnas tienen más herramientas para calcular, mediante esta
regla, probabilidades de experimentos más complejos y de espacios muestrales
de mayor cardinalidad.
Aquí nuevamente los alumnos y las alumnas se enfrentarán a la dificultad de
distinguir un caso de permutación de un caso de combinación o si utilizar la
regla del producto o la suma.
Actividades complementarias
1. Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con 3 letras distintas
seguidas por 4 dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar
aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tengan como primera
letra una vocal y el último dígito sea par.
2. Se sacan dos cartas sucesivamente de una baraja sin reemplazo. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambas cartas sean mayores que 2 y menores que 8?
En tu cuaderno
Actividad
1, 2, 3, 4,
5y6
Habilidades que
se desarrollan
Identificar, aplicar
y calcular.
Errores frecuentes
• El error más común en este caso
es utilizar la regla de Laplace
para calcular probabilidades en
casos que el espacio muestral
no es equiprobable.
• Los y las estudiantes con
frecuencia tienen dificultad en
distinguir una permutación de
una combinación. Esta dificultad
está dada básicamente porque
no saben distinguir si el orden
importa o no, en cada caso.
3. En una urna, hay 7 fichas rojas, 4 amarillas, 5 verdes, 2 azules y 2 negras.
Si se extrae una de ellas al azar, calcula la probabilidad de que:
a. Sea roja.
b. Sea amarilla.
c. Sea azul
d. Sea negra.
e. Sea verde.
f. No sea roja.
g. No sea verde.
h. No sea amarilla.
i. No sea azul.
j. Sea verde o roja.
k. Sea negra o roja.
l. Sea amarilla o verde.
m. Sea amarilla, azul o negra.
n. No sea roja ni azul.
ñ. No sea verde ni negra.
o. No sea amarilla ni verde.
Datos y Azar
|
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PÁGINAS 241 - 242
En tu cuaderno
Actividad
1, 2 y 3
Habilidades que
se desarrollan
Aplicar y calcular.
Errores frecuentes
• Es común que se asuma que la
P(A U B) = P(A) + P(B).
Para mostrar que esto es cierto
solo si A 艚 B = ø son útiles los
diagramas de Venn. También es
recomendable utilizar ejemplos
donde ocurra que
P(A) + P(B) > 1, lo cual es un
error, ya que, como se vio en
años anteriores, por definición la
probabilidad de un evento está
entre 0 y 1.
Probabilidad de la unión
Información para el docente
Para introducir el concepto de la probabilidad de la unión, la sección se desarrolla
utilizado un ejemplo donde es fácil reconocer los distintos eventos y la unión
de ellos. La idea es ir construyendo, en conjunto con los alumnos y las alumnas
y utilizando la regla de Laplace, la formula para la probabilidad de la unión.
En esta sección, se ve también el caso de la probabilidad del complemento.
Se sugiere destacar su importancia utilizando ejemplos (a continuación, se
sugieren dos) donde sea más fácil calcular la probabilidad del complemento
que la probabilidad del evento en sí.
Actividades complementarias
1. Tres personas viajan en un auto. Si se supone que la probabilidad de nacer
cualquier día del año es la misma y sabemos que ninguno ha nacido en un
año bisiesto.
a. Calcular la probabilidad de que solamente una de ellas celebre su
cumpleaños ese día.
b. Calcular la probabilidad de que al menos dos cumplan años ese día.
2. Si las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo
elija color verde, blanco, rojo o azul son, respectivamente, 0,09, 0,15, 0,21 y
0,23, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil
nuevo que no tenga uno de esos colores?
Comprensión del significado de la
probabilidad de unión de sucesos.
Indicador: comparte información
con su entorno.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como refuerzo y
profundización del tema en
cuestión.
3. Se carga un dado de forma que sea dos veces más probable que salga un
número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número
menor que 4 en un solo lanzamiento, calcule la probabilidad que E ocurra.
4. Un juego consiste en lanzar dos veces un dado. El jugador gana si obtiene
dos números que sean primos entre sí.
a. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
b. Si el juego se realiza con un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8.
¿Cómo varía la probabilidad de ganar?
180
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
PÁGINAS 243 - 246
Probabilidad de la intersección
Información para el docente
Por la estructura de la malla curricular, la probabilidad de la intersección se
desarrolla sin mencionar explícitamente el tema de las probabilidades condicionales.
En consecuencia, pasa a ser primordial el uso de diagramas de árbol para el cálculo
de la probabilidad de la intersección. Las tablas de frecuencia también son útiles,
según sea el caso, para el cálculo de la probabilidad de la intersección, pues en
ellas se identifica fácilmente la intersección de eventos.
Actividades complementarias
1. Se lanza un dado tres veces sucesivas. Calcula la probabilidad de que:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Salgan los números 1, 2 y 3, respectivamente.
En los tres dados salgan números impares.
En todos los dados salga el número 5.
Ninguno de los números sea impar.
Todos los números sean mayores que 4.
En las tres tiradas salga el mismo número.
2. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las
cuales 5 están defectuosas. Se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la
caja uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad
de que ambos fusibles estén defectuosos?
3. Considere tres urnas A, B y C de modo que la urna A contiene 4 fichas blancas
y 6 negras, la urna B contiene 6 fichas blancas y 4 negras y la urna C contiene
5 fichas blancas y 5 negras. El experimento consiste en seleccionar una de las
tres urnas y extraer dos fichas, sin reposición. El mecanismo de selección consiste
2
en lanzar una moneda no equilibrada (con probabilidad de cara igual a )
3
y seleccionar la urna A si sale cara; de salir sello se elige B o C con igual
probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca, otra
negra y de seleccionar la urna C?
En tu cuaderno
Actividad
1, 2, 3, 4 y 5
Habilidades que
se desarrollan
Identificar, aplicar
y calcular.
Errores frecuentes
• Es común que se asuma que
la P(A 艚 B) = P(A) · P(B).
Para visualizar esto, se recomienda
hacer un ejercicio donde el espacio
muestral sea finito y se pueda
detallar. Defina eventos A y B tales
que P(A) · P(B) ⬆ P(A 艚 B)
Comprensión del significado de la
probabilidad de intersección de
sucesos.
Indicador: comparte información
con su entorno.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como refuerzo y
profundización del tema en
cuestión.
Datos y Azar
|
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PÁGINA 247
Mi progreso
Habilidades que
se evalúan
Ítem
1, 4 y 5
2, 3, 6 y 7
Analizar, aplicar
y calcular.
Analizar, reconocer,
aplicar y calcular.
Mi progreso
En estas páginas se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los alumnos
y alumnas aplicar lo aprendido en esta unidad. Esta instancia la puede utilizar
como una evaluación formativa que considera habilidades que se detallan en
el cuadro Mi progreso e incluye los siguientes criterios:
Item 1:
determinar la cantidad de formas en que se pueden comprar las
partes de un computador utilizando la regla del producto.
Item 2:
calcular el número de selecciones posibles utilizando la fórmula de
permutación.
Item 3:
calcular el número de equipos distintos utilizando la fórmula de
combinación.
Item 4 y 5: calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace y el uso de
técnicas de conteo para el cálculo del número de casos totales y
favorables.
Item 6:
calcular la probabilidad de la intersección.
Item 7:
calcular la probabilidad de la intersección y de la suma de eventos.
PÁGINAS 248 - 249
En tu cuaderno
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
1 (pág. 244)
Aplicar y calcular.
1 (pág. 245)
Aplicar y calcular.
Cómo resolverlo
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad;
sin embargo, en estas páginas se presentan estrategias de resolución específicas
de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la
aprendan y la apliquen en futuros problemas. Además, esta resolución se presenta
detallada, justificando las diferentes acciones, lo que permite aclarar posibles dudas
que sus estudiantes pueden mantener.
INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar
para evaluar la resolución de problemas planteados.
Logro, aplicación
Comprensión
del problema
o situación
182
• Puede expresar en sus propias
palabras e interpretar
coherentemente el problema.
• Identifica la información
necesaria.
• Tiene una idea acerca de la
respuesta.
En proceso, logro parcial
• Copia el problema.
• Identifica palabras clave.
• Puede que mal interprete
parte del problema.
• Puede que tenga alguna idea
acerca de la respuesta.
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
No comprende
• No entiende el problema.
• Entiende mal el problema.
• Como rutina pide
explicaciones.
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
Logro, aplicación
En proceso, logro parcial
No comprende
Comprensión de • Aplica correctamente reglas
• Demuestra un entendimiento
conceptos
o algoritmos cuando usa
parcial o satisfactorio.
símbolos.
• Puede demostrar y explicar
• Conecta cómo y por qué.
usando una variedad de
• Aplica el concepto a problemas
modos.
o a situaciones nuevas.
• Está listo para hacer
• Hace y explica conexiones.
conexiones acerca de cómo
• Realiza lo pedido y va más allá.
y por qué.
• Relaciona el concepto con
conocimiento y experiencias
anteriores.
• Realiza las tareas cada vez con
menos errores.
• No modela los conceptos
rutinarios correctamente.
• No puede explicar el
concepto.
• No intenta resolver el
problema.
• No hace conexiones.
Verificación de
resultados y/o
progreso
• No revisa cálculos ni
procedimientos.
• No reconoce si su respuesta
es o no razonable.
• Chequea racionalidad de los
resultados.
• Reconoce sin razones.
• Revisa cálculos y
procedimientos.
• Puede investigar razones
si existen dudas.
www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm
PÁGINAS 250 - 251
En terreno
Esta sección del Texto tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos
en la unidad con una aplicación real. Para ello, se presenta una actividad relacionada
con el IPC. Se busca que los alumnos y las alumnas conozcan una situación
concreta donde se observa variabilidad debido a diversos factores.
El propósito de esta actividad es familiarizar a los alumnos y las alumnas con el
concepto del IPC. Además a través de esta actividad los estudiantes podrán
conocer la página web del INE, fuente importante de información estadística
nacional.
Para que esta actividad cumpla su objetivo, es importante motivar a los alumnos y
las alumnas a buscar información que explique las variaciones del IPC. Por ejemplo,
con noticias que contengan información acerca de los cambios en el precio de
los bienes que componen la canasta considerada en el IPC.
En tu cuaderno
Habilidades que
se desarrollan
Actividad
1y2
3
Analizar.
Formular hipótesis,
conjeturar o predecir.
Investiguemos...
Actividad
1y2
Habilidades que
se desarrollan
Seleccionar.
3
Calcular, analizar,
justificar y conjeturar.
4
Calcular y analizar.
5
Formular hipótesis,
conjeturar o predecir.
6
Sintetizar o integrar.
Datos y Azar
|
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PÁGINAS 252 - 253
Síntesis de la unidad
Actividad
Habilidades que
se desarrollan
Mapa
conceptual
Recordar, conectar
y representar.
1
Evaluar y justificar.
2
Aplicar y calcular.
Repaso de conceptos y
definiciones claves de la Unidad.
Indicador: localiza y recupera
información.
Sugerencias metodológicas:
utilizar como síntesis para integrar
conceptos y definiciones de la
unidad.
Síntesis de la Unidad
Los mapas conceptuales, como herramienta visual permiten a los alumnos y las
alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados.
Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y
las alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite
conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes.
En esta sección se resume y organizan a través de un mapa conceptual los
conceptos fundamentales trabajados en la unidad.
Como actividades de consolidación, se presentan informaciones de carácter
conceptual y algunos problemas de aplicación, que involucran los contenidos
trabajados en la unidad.
Actividades complementarias
Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad, realice preguntas
como las siguientes:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
PÁGINAS 254 - 255
Habilidades que
se evalúan
1, 2, 3, 4, 5, 6,
Aplicar y calcular.
8, 11, 12 y 13
7, 9 y 10
Evaluación de la Unidad
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los
aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Considere lo siguiente:
Evaluación
Ítem
¿Cuál es la unidad de medición de la varianza?
¿Qué es la desviación estándar? ¿Cómo se calcula?
¿Qué se puede decir de dos conjuntos de datos que tienen la misma media?
En relación a su varianza, ¿qué se puede decir de un grupo que es homogéneo?,
¿y de uno que es heterogéneo?
¿Qué representa el rango?
¿Qué es una combinación?
¿Qué es una permutación?
¿Qué significa que dos eventos sean excluyentes?
¿Qué significa que dos eventos sean independientes?
En relación a las técnicas de conteo, ¿qué dice la regla de la suma?,
¿y la del producto?
Analizar.
Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.
Logrado, si contesta correctamente más de 9 preguntas.
Medianamente logrado, si contesta correctamente más de 6 preguntas.
No logrado, si contesta correctamente menos de 6 preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales
• Los ítems 3 y 4 son ejercicios de aplicación de la técnicas de conteo.
Como se mencionó con anterioridad, los alumnos y las alumnas tienen dificultad
en distinguir casos de permutación de casos de combinación o cuando deben
usar la regla de la suma o la regla del producto.
184
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Orientaciones didácticas
Unidad 6
• En los ítems 5, 8 y 11, los alumnos y las alumnas podrían tener dificultad en
visualizar que se trata de eventos independientes.
• En el ítem 6, al igual que en los ítems 3 y 4, los alumnos y las alumnas deben
manejar las distintas técnicas de conteo y además la regla de Laplace.
• En el ítem 10 los alumnos y las alumnas pueden no identificar correctamente
•
la población debido a que, como se mencionó con anterioridad, este concepto
solo lo relacionan a un conjunto de individuos.
En el ítem 12 los alumnos y las alumnas pueden tener dificultad en reconocer
que deben aplicar la propiedad aditiva de las probabilidades. Además, este es
un caso donde es más conveniente calcular la probabilidad solicitada mediante
el cálculo de la probabilidad del complemento. Muestre a sus alumnos la
importancia de esta propiedad.
Como complemento a esta
evaluación, el hipertexto cuenta
con una evaluación interactiva
y, además, una autoevaluación
imprimible para que sus
estudiantes evalúen su desempeño.
Evaluación final
En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y
que le permitirá evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas en la unidad.
Con los resultados de esta evaluación, puede tomar la decisión de reforzar
algunos temas que no hayan sido aún comprendidos a cabalidad por sus
estudiantes. El tiempo estimado para la realización es 60 minutos. Este tiempo
puede ser modificado según las características de sus estudiantes.
Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar
la siguiente pauta:
Ítem
Habilidades que se evalúan
Puntaje
Total
1, 2, 12 y 13
Aplicar y calcular.
2 puntos cada una
8 puntos
3 y 11
Analizar.
2 puntos cada una
4 puntos
4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
Calcular.
2 puntos cada una
14 puntos
Puntaje total
26 puntos
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
Iglesias, P.; E. Saavedra, eds. Probabilidad y Estadística Elementales. Santiago de Chile, Facultad de Matemáticas, Pontificia
Universidad Católica de Chile. 1997.
Webster, A, eds. Estadística aplicada a la Empresa y a la Economía. 2 ed. Madrid, Irwin. 1996.
Jonson. R. A, eds. Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Miller y Freund. 5 ed. Ciudad de México, Prentice Hall
Hispanoamericana. 1997.
Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Keying, Y, eds. Probabilidad & Estadística para Ingeniería y Ciencia. 8 ed. Ciudad de
México, Pearson Educación. 2007.
Datos y Azar
|
185
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18/11/09
16:53
Page 186
Evaluación final
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. Si la varianza de un conjunto de datos es 16 m2,
entonces su desviación estándar es:
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
256 m4
16 m2
4m
4 m2
2m
2. Considere el siguiente conjunto de datos:
24
42
42
46
38
32
27
40
28
46
38
La varianza y la desviación estándar son,
respectivamente:
A.
B.
C.
D.
E.
50,23
48,19
54,23
54,23
15,67
y
y
y
y
y
8,56
10,15
12,76
7,36
7,36
3. Dos entrenadores tienen un grupo de
10 corredores cada uno. Para la Maratón de
Santiago, el tiempo promedio que demoraron
estos grupos fue el mismo, sin embargo, el primer
grupo tuvo una desviación estándar menor que
el segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones son correctas?
I. En promedio, al primer grupo le fue mejor
que al segundo.
II. El desempeño del primer grupo fue más
homogéneo que el del segundo grupo.
III. En el segundo grupo, hay corredores más
lentos y/o más rápidos que en el primero.
A.
B.
C.
D.
E.
186
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
4. ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas
para subir a la micro?
I
II
III
I y II
II y III
| Unidad 6 Guía Didáctica Matemática 2o Medio
120
1
720
6
12
5. Si una prueba de opción múltiple consiste en
5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles
de las cuales solo 1 es correcta, entonces el
número de formas diferentes que un estudiante
puede elegir una respuesta a cada pregunta es:
A.
B.
C.
D.
E.
1 024
5
25
20
4
6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 niños
y 5 niñas en una fila, si los niños y las niñas se
deben alternar?
A.
B.
C.
D.
E.
362 880
20
2 880
9
2
7. Para formar un equipo de baby fútbol se necesitan
4 jugadores y un arquero, que se deben elegir
de entre un grupo de 10 jugadores y 3 arqueros.
¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?
A.
B.
C.
D.
E.
630
213
21 772 800
3 628 806
30
PAG 168-187
18/11/09
16:53
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Evaluación final
Material fotocopiable
8. En una urna hay 5 fichas rojas y 4 negras.
Se extraen dos fichas, ¿cuál es la probabilidad
de extraer una ficha negra y otra roja?
5
9
1
B.
2
1
C.
4
2
D.
9
A.
11. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
C
I. P(A) = 1 – P(A )
II. Siempre se cumple que
P(A 艚 B) = P(A) · P(B)
III. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 艚 B)
A.
B.
C.
D.
E.
E. 5
18
9. Un naipe de 52 cartas es barajado y cada uno de
cuatro jugadores A, B, C y D extrae 13 cartas.
La probabilidad de que el jugador A obtenga
todos los corazones, B todos los diamantes,
C todos los tréboles y D todas las espadas es:
1
4
4
B.
13
3
C. 52
A.
12. Se ha realizado una encuesta entre los estudiantes
de una universidad para conocer las actividades
que realizan en su tiempo libre. El 80% de los
entrevistados ve televisión o lee, el 35% realiza
ambas cosas y el 60% no lee. Si un estudiante
es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que vea televisión y no lea?
A.
B.
C.
D.
E.
(13!)4
52!
1
E.
52!
Solo I
Solo II
Solo III
I y II
I y III
0,4
0,05
0,45
0,2
0
D.
10. La probabilidad de Daniela de resolver un
1
problema es de un y la de Rodrigo es de un
4
2
. ¿Cuál es la probabilidad de que el problema
3
sea resuelto al menos por uno de ellos?
1
12
1
B.
4
1
C.
3
A.
3
4
11
E.
12
D.
13. Suponga que las especificaciones del fabricante
para la longitud de un cable de computador son
2 000 ± 10 milímetros. En esta industria, se sabe
que la probabilidad de que se produzca un cable
con una longitud mayor que 2 010 milímetros es
igual a la probabilidad de producirlo con una
longitud menor que 1 990 milímetros. Se sabe
que la probabilidad de que el procedimiento de
producción cumpla con las especificaciones es
de 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que un
cable sea muy largo?
A.
B.
C.
D.
E.
0,005
0,01
0
0,99
0,8
Datos y Azar
|
187
Taller 188-192
18/11/09
16:55
Page 188
Taller de evaluación 2
Material fotocopiable
Nombre:
Curso:
Fecha:
Marca o encierra la alternativa correcta de cada pregunta.
1. El plano de la casa de Humberto está elaborado
a escala 1 : 50. Con respecto a él se afirma:
I. Una puerta de 1,6 cm en el plano mide 80 cm
en la realidad.
II. El living en el plano es rectangular de largo
2
10 cm y ancho 6 cm; su área real es 30 m .
III. Un closet de 1,8 m reales se ve de 36 mm en
el plano.
4. El único triángulo que no es semejante a los
demás es:
A.
D.
50º
80º
5 cm
50º
B.
E.
De las afirmaciones son verdaderas.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
5 cm
50º
50º
10 cm
D. I y II
E. I y III
10 cm
80º
C.
2. En la figura p : q = 3 : 4, l // m // n,
x + y = 49 cm. El valor de y es:
80º
6 cm
50º
l
p
x
m
q
5. En el triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de
2
2
p + q + 2pq es:
y
C
n
A. 21 cm
B. 49 cm
C. 28 cm
D. 65,3 cm
E. Otro valor.
A.
B.
C.
D.
E.
3. En la figura el valor de x + y es:
y
4 cm
6. El valor de la incógnita x es:
10 cm
C
A
E
6
100
196
q
A
100 + 2pq
196 + 2pq
Ninguna de las anteriores.
G
2x + 4
B
D
6 cm
A. 6 cm
B. 15 cm
C. 9 cm
188
9 cm
F
x
82º
H
D. 24 cm
E. Otro valor.
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
A.
B.
C.
D.
E.
31,6º
38º
40,4º
190º
34º
O
3x + 2
8
h
p
B
Taller 188-192
18/11/09
16:55
Page 189
Taller de evaluación 2
Material fotocopiable
7. En la siguiente figura, calcula la medida
del ángulo α.
48º
α
A.
B.
C.
D.
E.
132º
129,5º
34º
103º
146º
O
53º
8. En la siguiente figura, calcula la medida
del ángulo α.
108º
10. ¿De cuántas maneras se pueden combinar
2 pares de zapatos, 4 de pantalones y 5 camisas?
A.
B.
C.
D.
E.
8
11
20
40
Ninguna de las anteriores.
11. Se desea crear un comité de 3 hombres y
6 mujeres. Si se dispone de 5 hombres y
9 mujeres aspirantes, los comités distintos que
se pueden formar son:
A. 420
B. 810
C. 840
D. 1 680
E. 2 100
3x
x
α
O
A. 18º
B. 72º
C. 36º
D. 54º
E. 108º
9. Calcula el valor del trazo AB en la siguiente
figura:
D
4
x+
x–
1
21
15
14
7
16
2
5
D.
8
25
B.
3
5
E. Ninguna de las anteriores.
C.
4
5
13. Un examen tiene 10 preguntas que deben
responderse con verdadero o falso. Si Felipe
responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que responda todas
correctamente?
1
12
C
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B
O
A
12. Un curso está formado por 10 hombres y
15 mujeres. La mitad de los hombres y
un tercio de las mujeres eligieron la asignatura
optativa de música. ¿Cuál es la probabilidad de
que una persona elegida al azar sea hombre o
esté en el curso optativo de música?
A.
B.
C.
D.
E.
0,1
0,5
0,0019531
0,05
0,0009765
Taller de Evaluación 2
|
189
Taller 188-192_UNIDAD 1 07-07-10 13:16 Página 190
Solucionario
Evaluación final Unidad 1, páginas 66 y 67
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
D
A
E
B
C
E
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
B
C
D
B
C
C
B
Evaluación final Unidad 2, páginas 90 y 91
1.
2.
3.
4.
5.
6.
C
B
B
D
E
C
7.
8.
9.
10.
11.
B
A
D
C
D
Evaluación final Unidad 3, páginas 114 y 115
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
A
C
D
A
A
B
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
D
A
B
C
B
C
D
Taller de evaluación 1, páginas 116 y 117
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
D
B
A
B
D
E
C
190
8.
9.
10.
11.
12.
13.
A
D
A
A
B
C
| Guía Didáctica Matemática 2o Medio
Evaluación final Unidad 4, páginas 142 y 143
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A
A
A
D
B
C
D
8.
9.
10.
11.
12.
13.
E
C
A
C
E
E
Evaluación final Unidad 5, páginas 166 y 167
1.
2.
3.
4.
5.
6.
D
B
D
E
A
E
7.
8.
9.
10.
11.
12.
C
A
C
B
E
C
Evaluación final Unidad 6, páginas 186 y 187
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
C
D
E
C
A
C
A
8.
9.
10.
11.
12.
13.
E
D
E
E
A
A
Taller de evaluación 2, páginas 188 y 189
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
E
C
E
E
A
B
D
8.
9.
10.
11.
12.
13.
A
C
D
C
B
E
Taller 188-192_UNIDAD 1 13-07-10 12:25 Página 191
Taller 188-192_UNIDAD 1 13-07-10 12:25 Página 192