  SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS

3º de E.S.O.:Sistemas de ecuaciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS
Concepto
Ecuaciones con dos
incógnitas
Procedimiento
Una ecuación con dos incógnitas es
una expresión que, una vez reducida,
es del tipo ax+by=c, donde a, b y c
son números reales conocidos.
En una ecuación con dos incógnitas,
por cada valor que demos a una de
ellas, podemos encontrar uno para la
otra, es decir, existen infinitos pares
de números que satisfacen la
ecuación o lo que es lo mismo una
ecuación con dos incógnitas tiene
infinitas soluciones.
Ejemplo
La ecuación:
2x  3y  5 ,la podemos escribir,
despejando la “y”:
y
Si hacemos x=1 se obtiene:
y
Resolución de un
sistema de dos
ecuaciones con dos
incógnitas: Método
de sustitución
Son expresiones, que una vez
reducidas, son del tipo:
ax  by  c 

a' x  b' y  c' 
Donde a, b, c, a’, b’, c’ son números
reales conocidos.
La llave indica que las soluciones de
una de las dos ecuaciones lo han de
ser también de la otra.
Las soluciones de un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas
son únicas, son infinitas o no
existen.
-Si la solución es única, el sistema
se llama compatible determinado.
-Si hay infinitas soluciones se
llama compatible indeterminado.
-Si no existe solución se llama
incompatible.
Si despejamos en una de las dos
ecuaciones una de las dos incógnitas
y sustituimos su valor en la otra,
obtenemos una sola ecuación con
una sola incógnita
52
1
3
Si hacemos x=-2:
y
Sistemas de dos
ecuaciones con dos
incógnitas
5  2x
3
54 9
 3
3
3
Los pares (1, 1), (-2, 3), etc. Son
soluciones de la ecuación. Como
podemos dar a “x” infinitos valores,
hay infinitas soluciones.
El sistema:
xy3 

2x  y  0 
Tiene la solución única (1, 2).
El sistema:
xy1


3x  3y  3 
Tiene infinitas soluciones: (1, 0),
(1/2, 1/2), (2, -1), (4, -3), etc.
El sistema:
x  y  3

x  y  5
No tiene solución
2x  3y  5 

3x  2y  12 
Despejamos “x” en la primera
x
5  3y
2
Y sustituimos en la 2ª:
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3º de E.S.O.:Sistemas de ecuaciones.
5  3y
 2y  12
2
15  9y
 2y  12
2
15  9y  4y  24
9y  4y  24  15
13y  39
39
y
3
13
5  9
x
2
2
x  y  16 

2x  5y  53 
3
Método de
igualación.
Método de
reducción
Resolución del
sistema de
ecuaciones por el
método gráfico
Despejamos la misma incógnita en
las dos ecuaciones e igualamos los
resultados obtenidos con lo que nos
quedará una sola ecuación con una
sola incógnita
Hemos de conseguir que los
coeficientes de una de las incógnitas
sean iguales en ambas ecuaciones,
para ello podemos multiplicarlas
ambas por el resultado de dividir el
m.c.m. de los coeficientes elegidos
entre cada uno de ellos. Entonces, si
sumamos o restamos las dos
ecuaciones miembro a miembro,
eliminaremos una de las incógnitas y
podremos despejar la otra
Si despejamos en cada una de las
dos ecuaciones la “y” y elaboramos
dos tablas de valores dando a “x” el
valor que queramos y obteniendo el
correspondiente a la “y”, podemos
representar estos pares de valores en
x  16  y
53  5y
x
2
53  5y
16  y 
2
32  2y  53  5y
2y  5y  53  32
3y  21
21
y
7
3
x  16  7  9
3x  5y  17

2x  4y  4 
Vamos a igualar los coeficientes de
“x”. Multiplicando la 1ª por 2 y la 2ª
por 3 queda:
6x  10y  34 

6x  12y  12 
Restando miembro a miembro:
22y  22
22
y
 1
22
3x  5  17
17  5
x
4
3
Resuelve gráficamente:
xy6 

2x  y  9 
Tenemos:
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3º de E.S.O.:Sistemas de ecuaciones.
unos ejes de coordenadas y
obtenemos dos líneas rectas, cada
una de ellas representa a una de las
ecuaciones. Las coordenadas del
punto donde se corten son las
soluciones del sistema. Si no se
cortan (son paralelas), no existe
solución y si son coincidentes hay
infinitas
y 6x
y  2x  9
Tablas:
x
y
-2
8
-1
7
0
6
1
5
2
4
x
-2
-1
0
1
2
y
-13
-11
-9
-7
-5
Y su gráfica es:
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3
-2 -1-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Vemos que las dos rectas se
cortan en el punto x=5, y=1 que es
la solución del sistema.
Sistemas no
reducidos
Si las dos ecuaciones no están
reducidas, entes de resolver el
sistema por cualquiera de los
métodos anteriores hay que ponerlas
en la forma más reducida posible
mediante las transformaciones que
conocemos para las ecuaciones con
una sola incógnita
5(y  1)

 6
2


xy4
x
Reduciendo la 1ª:
5y  5

 6
2


xy4
2x  5y  5  12 

xy4

x
2x  5y  17 

xy4

Y ahora por el método de
reducción:
2x  5y  17

2x  2y  8 
3y  9  y  3,x  1
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3º de E.S.O.:Sistemas de ecuaciones.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES
1º Ejemplo:
2º Ejemplo:
3º Ejemplo:
En un bar se
María ha comprado un abrigo que
En una granja hay conejos y
venden bocadillos
estaba rebajado un un 15 %. Marta
gallinas. Contamos en total 50
de jamón a 3,5 y
ha comprado otro abrigo 25 más
cabezas y 160 patas ¿Cuántos
de tortilla a 2 . En
caro, pero ha conseguido una rebaja
animales hay de cada clase?
una mañana se
del 20 %, con lo que sólo ha pagado
vendieron 52
8 más que María ¿Cuál era el
Llamamos:
bocadillos y se
precio de cada abrigo?
x= nº de gallinas.
recaudaron 149
y= nº de conejos
¿Cuántos se
Llamamos:
vendieron de cada
x= precio inicial del abrigo de María
x  y  50

clase?
y= precio inicial del abrigo de Marta.

Llamamos.
x= bocadillos
vendidos de jamón.
y= bocadillos
vendidos de tortilla.
Tenemos el
sistema:
x  y  52


3,5x  2y  149 
2x  2y  104 

3,5x  2y  149 
1,5x  45
45
x
 30
1,5
y  52  30  22
Es dedir, se han
vendido 30
bocadillos de jamón
y 22 de tortilla.
Veamos si la
recaudación
coincide:
30  3,5  22  2 
 105  44  149
15x
20y

 y
 8
100
100


y  x  25
x
100x  15x  100y  20y  800 

 x  y  25

85x  80y  800 

 x  y  25

2x  4y  160 
2x  2y  100 

2x  4y  160 
2y  60
60
y
 30
2
x  50  30  20
85x  80y  800 

85x  85y  2125 
Es decir, hay 20 gallinas y 30
conejos.
5y  1325
Vamos si coinciden las patas:
1325
 265
5
x  265  25  240
20  2  30  4 
40  120  160
y
Es decir, el abrigo de maría valía 240
y el de Marta 265 .
Comprobemos:
Si al de María le descontamos el
15 % nos queda:
240 
240  15
 204
100
Y al de Marta le descontamos el 20 %
265 
265  20
 212
100
Y, efectivamente Marta ha pagado 8
más
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