2. METODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES NO LINEALES

Laboratorio de Matemáticas
PRÁCTICA 3
METODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES NO LINEALES II
1.- Hacia técnicas de convergencia rápida.
 Ejemplos que justifican la necesidad de estas técnicas
2.- Método de Newton-Raphson.
 Descripción del método iterativo. Interpretación geométrica.
 Algoritmo del método de Newton-Raphson.
 Interpretación del método de Newton-Raphson como un método de punto fijo.
 Condiciones de convergencia.
(i) Importante la elección de la aproximación inicial.
(ii) Importante que no se anule la derivada de la función.
 Convergencia cuadrática para raíces simples.
3.- Método de la secante.
 Finalidad de las variantes del método de Newton-Raphson.
 Descripción del método de la secante. Interpretación geométrica.
 Convergencia superlineal.
4.- Método de Newton-Raphson para polinomios.
 Posibilidad de no declarar la derivada de la función.
 Polinomios en forma anidada.
 Evaluación de un polinomio y su derivada en un punto. Algoritmo de Horner.
 Utilización del algoritmo de Horner en el método de Newton-Raphson.
 Método de deflación.
5.- Algunas herramientas de Matlab interesantes.
 Los comandos echo on y echo off.
 Posibilidad de introducir datos por teclado. La instrucción input.
Tol = input(‘Introduce la tolerancia deseada Tol =‘)
 Cadenas de texto por pantalla. La función disp.
disp(‘El número de iteraciones utilizado es k = ‘); k
 El comando fzero.
 El comando roots.
PROBLEMAS
MÉTODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES NO LINEALES II
1.- Utilizar los métodos de Newton-Raphson y de la secante para aproximar las
soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 105
2  ex  x 2
(a) x 
(b) 3x 2  e x  0
3
x
x
(c) e  2  2 cos( x)  6  0
(d) x 2  10 cos( x)  0
2.- La función f(x)=(4x7)/(x2) tiene un cero en x=1.75. Utilizar el método de
Newton-Raphson con las siguientes aproximaciones iniciales:
(a) x0 = 1.625
(b) x0 = 1.875
(c) x0 = 1.5
(d) x0 = 1.95
(e) x0 = 3
(f) x0 = 7
Dar una interpretación gráfica de los resultados. Aplicar ahora el método de la secante
con las aproximaciones iniciales
(a) x0 = 1.625, x1 = 1.875 (b) x0 = 1. 5 x1 = 1.95
(c) x0 = 1.9, x1 = 1.4
(d) x0 = 1.4, x1 = 1.9
(e) x0 = 3 x1 = 1.7
(f) x0 = 1.7, x1 = 3
3.- Consideremos la ecuación ex cos(x) = 1.
(a) Estimar gráficamente las dos soluciones positivas más pequeñas.
(b) Utilizar el método de Newton-Raphson y el de la secante para aproximar estas
soluciones con una tolerancia de 106. Comparar los resultados.
(c) Analizar la convergencia cuadrática del método de Newton para esta ecuación.
4.- Utilizar el programa de Newton para polinomios y la deflación para encontrar, con
una precisión de 105, las raíces de los siguientes polinomios:
(a) p(x) = x3 + 3x2 1
(b) p(x) = x4 + 2x2  x  3
(c) p(x) = x4  2x3  5x2 + 12x  5
5.- La ecuación f(x)=x3  7.5x2+18x14 tiene una raíz doble en x=2. Aplicar el método
de Newton-Raphson y observar la lentitud de la convergencia.
6.- Determinar todas las raíces de los siguientes polinomios con una precisión de 106
(a) p(x) = 0.658x5  8.68x4 + 41.6x3  88.09x2 + 79.35x  23.33
(b) p(x) = x4  8.6x3  35.51x2 +464x  998.46
(c) p(x) = 4x4  24.8x3 + 57.04x2  56.76x + 20.57
7.- En los programas hechos en las prácticas sobreescribimos la iteración antigua con la
nueva para simplificar la codificación y ahorrar memoria. Modifica los programas para
que almacenen todos los iterados en una variable vectorial x, cuya componente k-ésima
sea el iterado del paso k1 (llamando x(1) a la estimación inicial). Almacena también en
un vector y los valores de la función en los iterados. Estos vectores pueden usarse para
hacer tablas o gráficas que muestren la evolución de las iteraciones.