Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar

IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
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CONSUMIDORES: DEMANDA, ECUACIÓN DE SLUTSKY Y MEDICIÓN DEL BIENESTAR 1
1. Preferencias y demanda
Comenzaremos con algunos resultados preliminares sobre relaciones de preferencia. Preferencia
es un concepto usado en ciencias sociales, particularmente en economía. Asume una elección
real o imaginaria entre ciertas alternativas y la posibilidad de ordenarlas. Más generalmente,
puede verse como una fuente de la motivación. En ciencias cognitivas, las preferencias
individuales determinan la elección de los objetivos. Por ejemplo, se suele preferir la felicidad al
sufrimiento o a la tristeza. Además, usualmente se asume que se suele (aunque no siempre)
preferir un mayor consumo de un bien normal a un consumo menor. En microeconomía, las
preferencias de los consumidores y otras entidades se modelan con relaciones de preferencia.
Si S es el conjunto de todos los "paquetes" de bienes y servicios (o más generalmente los
"mundos posibles"), entonces ≾ es una relación de preferencia de S si existe una relación binaria
en S tal que A ≾ B si y sólo si B es al menos tan preferible como A. Se suele decir que "B es
débilmente preferible respecto a A". Si A ≾ B pero no se da B ≾ A, entonces el consumidor prefiere
estrictamente B a A, lo que se representa como A ≺ B. Si A ≾ B y B ≾ A entonces el consumidor se
muestra indiferente entre A y B (hecho denotado como A~B).
Normalmente se asume lo siguiente:
La relación es reflexiva: A ≾ A
La relación es transitiva: A ≾ B y B ≾ C entonces A ≾ C. Junto con la reflexividad, esto
significa que es un preorden.
La relación es completa: para todo A y B en S tenemos A ≾ B o B ≾ A o ambas (la
completitud implica reflexividad). Esto significa que el consumidor es capaz de formarse una
opinión sobre el mérito relativo de cualquier par de elementos.
Si S es un espacio topológico, entonces la relación es continua si para cada par de
sucesiones convergentes y para todo n se da xn ≾ yn. Esto se satisface automáticamente si S es
finito.
Si ≾ es transitiva y completa, entonces existe una relación racional de preferencia. En
algunos contextos, una relación transitiva y completa recibe el nombre de orden débil (o preorden
total) 2 .
Si un consumidor tiene una relación de preferencia que viola la transitividad, entonces alguien
poco escrupuloso puede sacar provecto. Supóngase, por ejemplo, que el consumidor tiene una
manzana, y prefiere las manzanas a las naranjas, las naranjas a las bananas, y las bananas a las
manzanas. Entonces, el consumidor pagaría una cantidad x para cambiar su manzana por una
banana, porque prefiere las bananas a las manzanas. Tras esto, pagaría x por cambiar su banana
por una naranja, y otra vez x para cambiar la naranja por una manzana, y así sucesivamente.
1
Ver K.C. Border, Preferences and Demand, Fall 2004; Arne Hallam, Microeconomics. M. Intriligator, op.
cit., capítulo 7. ; Wikipedia; Hal R. Varian, Microeconomic Analysis, 3rd ed., W. W. Norton & Company, Inc. ©
1992, 1984, 1978; David Friedman, Price Theory: An Intermediate Text, South-Western Publishing Co., ©
1986, 1990.
2
A veces recibe el nombre de preferencia regular. Mas-Colell, Whinston and Green (Microeconomic
Theory, © 1995, Oxford: Oxford University Press) la denominan preferencia racional, porque en otros
contextos podemos tener la noción más débil de preferencia incompleta o intransitiva.
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La completitud es más cuestionable. En la mayoría de las aplicaciones, S es un conjunto infinito y
el consumidor no es consciente de todas las preferencias. Por ejemplo, no hay por qué decidir si
se prefiere ir de vacaciones en avión o en tren si no se tiene suficiente dinero para ir de
vacaciones (aunque también se puede soñar con lo que se haría de ganar la lotería). Sin
embargo, la preferencia puede interpretarse como una elección hipotética que puede realizarse,
en lugar de un estado consciente de la mente. En este caso, la completitud asume que el
consumidor siempre puede decidirse entre si es indiferente o prefiere una opción cuando se le
presenta cualquier par de opciones.
La economía de la conducta investiga las circunstancias en las que la conducta humana es
consistente e inconsistente con estas suposiciones.
La relación de indiferencia ~ es una relación de equivalencia. Así que se tiene un conjunto
cociente S/~ de clase equivalente de S que forma una partición de S (A este conjunto de todas las
clases de equivalencia se lo denomina conjunto cociente). Cada clase de equivalencia es un
conjunto de paquetes que son igualmente preferidos.
Si sólo hay dos artículos, las clases de equivalencia pueden representarse gráficamente como
curvas de indiferencia. A partir de la relación de precedencia de S se tiene una relación de
preferencia en S/~. A diferencia de lo anterior, en este caso se habla de una relación antisimétrica
y un orden total.
Normalmente es más conveniente describir una relación de preferencia en S con una función de
utilidad, tal que u(a) ≤ u(b) si y sólo si a ≾ b. Siempre existe una función de utilidad continua si ≾ es
una relación de preferencia relacional continua en Rn. Para cualquier relación de preferencia hay
muchas funciones continuas de utilidad que la representan. Asimismo, cualquier función de
utilidad puede usarse para construir una única relación de preferencia.
Todo lo expuesto es independiente de los precios de los bienes y servicios e independiente de la
capacidad adquisitiva del consumidor. Esto determina lo realizable (lo que puede costearse). En
principio, el consumidor elige un paquete dentro de sus capacidades cuando lo prefiere al resto de
posibles paquetes, con lo que maximiza la utilidad.
No Saciedad Una relación de preferencia ≾ sobre un conjunto X alcanza un punto de saciedad x si
x es el elemento máximo, o sea si y ≾ x para todo yεX. Decimos que una relación de preferencia
es no saciada si no existe un punto de saciedad. Si (X,d) es un espacio métrico, la relación de
preferencia ≾ se dice localmente no saciada si para cada xεX y para cada ε>0, existe un punto yεX
con d(x,y)< ε e y≻x. Lo que significa que, en el caso usual de que X sea no-vacío, para cada punto
xεX y para cada ε>0 existirá un punto y≠x en X con d(y,x)<ε. Es decir, X no puede tener puntos
aislados.
Continuidad Dada una relación de preferencia ≳ 3 sobre un conjunto X, definimos los contornos
superiores estricto y débil como
P(x)={yεX: y≳x}
y
U(x)={ yεX: y≳x} .
También definimos los contornos inferiores estricto y débil:
3
La relación ≳ no requiere de una nueva definición; cumple simplemente con y ≳x si y sólo si ~( x ≾ y).( x≺y)
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P-1 (x)={yεX: x≻y}
y
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U-1 (x)={ yεX: x ≳ y } .
Si (X,d) es un espacio métrico, decimos que ≳ es continua si su grafo es cerrado.
Convexidad Si X es un subconjunto de un espacio lineal, se dice que ≳ es:
•
•
•
Débilmente convexa si y≳x ➪λy+(1-λ)x ≳ x para todo 0<λ<1.
Convexa si
y≻ x ➪λy+(1-λ)x ≻ x para todo 0<λ<1.
Estrictamente convexa si y≽x & y≠x ➪λy+(1-λ)x ≻ x para todo 0<λ<1.
La hipótesis central es que la unidad de consumo siempre elegirá la canasta preferida de entre
sus canastas accesibles. Hay que acostumbrarse a pensar en x en términos de vector, lo mismo
que en p, el vector de los precios. Por lo tanto, el producto vectorial interno px=∑l=1L plxl.
Conjunto de consumo Se denota como X al conjunto de vectores o canastas del espacio producto
RL cuyos elementos podrían ser consumidos por el individuo dadas las restricciones físicas
impuestas por el entorno. Esto significa por ejemplo, que no podría consumir una cantidad
negativa de un bien. Un supuesto típico 4 es que X=RL+ = {xεRL: xl≥0, l=1, ..., L}.
Precios Los L productos son comerciados a precios monetarios cotizados públicamente (es decir,
son conocimiento común). Más adelante veremos cómo son determinados. Los representaremos
mediante un vector p cuyos elementos, por el momento, supondremos que son todos positivos, es
decir p>>0. También se supondrá que todos los consumidores son tomadores de precios en el
sentido de que no pueden influir sobre el precio al que compran o venden un producto.
Conjunto accesible Cuando analizamos el problema más simple, el conjunto de canastas
accesibles será el de todas las canastas que el consumidor puede adquirir dentro de su
presupuesto m. Llamando m al monto de dinero disponible para hacer compras, el conjunto
mencionado viene dado por
B= {xєX; px≤m}
Este conjunto también es llamado el conjunto presupuestario walrasiano.
Existencia de una función de utilidad Si una relación de preferencias ≽ es completa, transitiva, no
saciada y continua existe luego una función de utilidad u(x) que la representa, en el sentido
siguiente: x1≽x2 si y sólo si u(x1)≥u(x2) 5 . La convexidad de las preferencias implicará la convexidad
al origen de las curvas de indiferencia. Si la función de utilidad es cuasi-cóncava sus curvas de
indiferencia son convexas, y recíprocamente.
La Tasa Marginal de Sustitución Consideremos una función de utilidad u(x1, ..., xL). Hacemos el
siguiente experimento conceptual: aumentamos el consumo del bien i; ¿en cuánto debe variar el
consumo del bien j para que la utilidad del individuo permanezca constante?
4
Más adelante se verá el tratamiento de la oferta de trabajo.
Gérard Debreu, Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function, in Decision Processes
(Thrall, Davis and Coombs, eds.), 1954. Quien formuló en primer término este resultado fue H. Wold (1943),
A Synthesis of pure demand analysis, i-iii, Skandinavisk Aktuarietidskrift, 26, 27.
5
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Resulta claro que si estamos hablando de bienes deseados por el individuo, el experimento nos
debe proporcionar una cantidad negativa. Cuando el bien i cambia en una pequeña fracción, esta
cantidad negativa recibe el nombre de “tasa marginal de sustitución”. Puede obtenerse una
expresión analítica de la TMS siguiendo el siguiente procedimiento.
Denominamos dxi y dxj a los cambios de xi y xj. Por el supuesto realizado, la variación de utilidad
debe ser cero, de modo que si la función es diferenciable:
∂u(x)/∂xi dxi + ∂u(x)/∂xj dxj =0(=du).
Reordenando términos,
dxj/dxi= − (∂u(x)/∂xi) / (∂u(x)/∂xj).
La expresión del primer miembro es la TMS entre los bienes i y j.
Los economistas distinguimos entre utilidad cardinal y utilidad ordinal. En el primer caso, la
magnitud de las diferencias de utilidad es tratada como una cantidad significativa desde el punto
de vista ético o de la conducta. La medida ordinal solamente establece un rango y no una
intensidad de preferencias. Un ejemplo importante de utilidad cardinal es la probabilidad de
alcanzar cierto objetivo.
Ambos tipos de funciones de utilidad asignan números reales (útiles) a los miembros de un conjunto de elección. Por
ejemplo, supongamos que tomar una taza de café tiene asignados 120 útiles, una taza de té 80 útiles y una taza de
agua 40 útiles. Estas mediciones permitirían concluir, dentro de la teoría de la utilidad cardinal, que la tasa de café es
dos veces mejor que la taza de té, que a su vez es dos veces mejor que la taza de agua. Pero estas afirmaciones no
tienen sentido dentro de la teoría ordinal, en la cual sólo podemos (y requerimos) decir que la utilidad de la taza de café
es mayor que la de la taza de té, que a su vez es mayor que la de la taza de agua. Por ejemplo, si la función u(x1,x2)=
x1α x2(1-α) (0<α<1) es la función de utilidad – a veces llamada función de utilidad Cobb-Douglas – las mismas
preferencias también están representadas por la función v(x1,x2)= α ln(x1)+(1-α) ln(x2). Esta función es una transformada
monótona creciente de la función u – es decir, v=ln(u) – y tiene por consiguiente las mismas curvas de indiferencia.
En consecuencia, la TMS no depende de la función de utilidad elegida para representar las
preferencias. Para apreciarlo, supongamos que v(u) es una transformada monótona de la función
de utilidad. La TMS de la nueva función de utilidad es entonces:
dxj/dxi= − v’(u) ∂u(x)/∂xi/ v’(u) ∂u(x)/∂xj = − (∂u(x)/∂xi) / (∂u(x)/∂xj).
El concepto de función de utilidad se desarrolló en el siglo XIX
dentro de los esfuerzos de explicar el mecanismo de formación de
precios por un procedimiento alternativo a la Teoría del valor-trabajo
que había sido usada tanto por los economistas clásicos como por
los economistas marxistas. La teoría en la forma más o menos
actual fue resumida por primera vez por el economista Friedrich von
Wieser, al que se le atribuye la creación del término de utilidad
marginal (Grenznutzen).
Sus contribuciones más notorias son la teoría de la imputación extraída de
Friedrich von Wieser (18511926)
su obra Der natürliche Werth (El Valor Natural - 1889); y la teoría del costo
alternativo o de oportunidad extraída de Theorie der gesellschaftlichen Wirtschaft (Teoría de la Economía
Social - 1914) en la cual acuña el término de costo de oportunidad. Se le atribuye la distinción económica
entre bienes públicos y bienes privados que posteriormente utilizaría Friedrich August von Hayek, discípulo
suyo, y la acuñación del concepto de utilidad marginal (Grenznutzen). Von Wieser acentuó la importancia
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del empresario (entrepreneur) para el cambio económico, que él vio como siendo causado por "la
intervención heroica de los hombres individuales que aparecen como líderes hacia nuevas orillas
económicas". Esta idea de mando más tarde fue fortalecida por Joseph Alois Schumpeter en su tratamiento
de la innovación económica.
La teoría del valor fue revolucionaria porque creó el debate sobre la cuestión del valor económico,
introduciendo un cálculo objetivo en una teoría subjetiva. Fue una de las primeras soluciones matemáticas
al problema de determinar los precios de los factores. Su teoría de la imputación enmendó los errores de la
teoría de su maestro Carl Menger y aún hoy en día se usa en Microeconomía en el estudio de los
consumidores para el cálculo de la sustitución discontinua de los factores.
Sus tres discípulos más conocidos fueron Ludwig von Mises, Friedrich August von Hayek y Joseph Alois
Schumpeter. En cada uno se puede observar la indiscutible influencia de Wieser. Como se mencionó, otro
aporte fundamental de Wieser a la Economía es la teoría del costo alternativo ahora llamada teoría del costo
de oportunidad que había sido ignorada por Marshall y los economistas británicos. Basándose en los
estudios de Pareto, creó los conceptos de utilidad marginal y costo de oportunidad y mediante ellos dirigió la
Economía hacia el estudio del análisis de la escasez y la asignación de recursos escasos.
De esta manera Wieser perfeccionó la teoría de Carl Menger introduciendo una definición de costo
compatible con la teoría de la utilidad marginal. También utilizó la teoría monetaria de Menger a partir de la
cual ideó una teoría monetaria propia que presentaba un estudio sobre las posibles influencias en el valor
monetario que pueden ejercer cambios en las relaciones entre la economía natural y la monetaria.
Pero lo más importante de toda su aportación es que, gracias a su introducción en la sociología, combina la
teoría austríaca de la utilidad con una teoría evolutiva de las instituciones proponiendo soluciones a la
paradoja entre la propiedad privada y la maximización de la utilidad. Wieser subrayó que los modelos
idealizados clásicos y neoclásicos descuidan aspectos fundamentales tales como la posibilidad de aparición
de monopolios y la existencia de economías de escala. Wieser descarta que modelos ideales muy refinados
por sí solos puedan tener un valor para la política económica, desarrollando por lo tanto una solución de
óptimo secundario. Entonces entra en juego el concepto de Economía Social (Gesellschaftliche Wirtschaft)
que elaboró en Theorie der gesellschaftlichen Wirtschaft (Teoría de la Economía Social), tomándolo como
prueba patrón normativa para evaluar la eficacia de la intervención pública en ciertos casos.
Por consiguiente el problema de maximización de las preferencias puede escribirse:
Max u(x)
tal que px≤m
xєX.
En este problema, la variable m constituye el ingreso o riqueza del consumidor, términos que
utilizaremos indistintamente por el momento. Una solución a este problema existirá siempre que la
función objetivo del problema sea continua y el conjunto de restricciones sea compacto (teorema
de Bolzano-Weierstrass). La función objetivo ha sido supuesta continua, y el conjunto X cerrado.
Nos quedaría averiguar si B∩X resulta también acotado, pues B también es cerrado. Ahora bien,
la no-acotación surgiría de que algún precio fuera cero y de que el consumidor deseara adquirir
una cantidad infinita de ese bien, circunstancia que supondremos no se da.
Una segunda observación: si bien la solución depende de las preferencias del individuo, no va a
depender de la función de utilidad que usemos para representarlas. ¿Por qué? Porque dada una
función de utilidad, cualquier transformación monótona creciente es una función de utilidad que
representa las mismas preferencias (Una función f: R→R es una transformada monótona de la
función de utilidad u(x) si define otra función h=f[u(x)] con ∂f/∂u>0). Es decir, tiene idénticas curvas
de nivel.
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Tercera propiedad: si todos los precios y el ingreso son multiplicados por alguna constante
positiva k, la solución no va a ser afectada. El motivo es simple: El conjunto B resultante de aplicar
la constante sería kpx≤km, que es el mismo conjunto B siempre que k>0. Esta propiedad es
llamada “homogeneidad de grado cero” de la elección óptima en términos de precios e ingreso.
Si hacemos algún supuesto de regularidad de las preferencias, podemos obtener un cuarto
resultado. Si las preferencias cumplen con el postulado de no-saciedad local, ¿es posible tener
una solución óptima x* con px*<m? No, como x* cuesta estrictamente menos que m, cualquier
canasta de X suficientemente próxima a x* también costará menos que m y seguirá siendo
factible. Recordemos que el supuesto de no-saciedad local asegura que debe existir alguna
canasta x en X próxima a x* y preferida a x*. Entonces x* no maximizaría las preferencias en B.
6
Curvas de indiferencia mostrando preferencias entre distintos paquetes de manzanas y naranjas . Entre F y D, la pendiente de la curva
viene dada por ∆O/∆A. Las pendientes de mL y Ln son prácticamente las mismas, lo que indica que – para cambios muy pequeños –
no es demasiado relevante medir el valor en términos de un poco más o de un poco menos del bien.
Ergo, la solución no puede ser del tipo px*≤m sino px*=m. Geométricamente está ubicada en la
hipotenusa del triángulo de la figura siguiente 7 . El problema puede reescribirse como
v(p,m)=max u(x)
tal que px=m.
La función v(p,m) da la máxima utilidad que se puede alcanzar a precios e ingreso dados y es
llamada función de utilidad indirecta. La canasta x que resuelve el problema es la canasta
6
Los gráficos han sido extraídos de David Friedman, Price Theory: An Intermediate Text, South-Western
Publishing Co., 1986, 1990.
7
Esto no significa que el consumidor no ahorre. Si ahorra, es porque piensa gastar el dinero en el futuro.
Reinterpretando la canasta de bienes como el plan de consumo a lo largo de toda su vida y agregando el
dinero dejado a sus familiares ó gente allegada siempre gasta todo su presupuesto.
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demandada: indica cuánto desea el consumidor de cada uno de los bienes a precios e ingreso
dados. Supondremos que existe una única canasta demandada para cada nivel de presupuesto,
sin que ello afecte en forma significativa los resultados.
Solución del problema de elección del consumidor en un mundo de 2 bienes.
B es la recta de presupuesto de un consumidor que dispone de $100
y que puede comprar naranjas (Oranges) a $1 c/u. y manzanas (Apples) a $0.50 c/u. La canasta
óptima es S, en donde la resta de presupuesto es tangente a una curva de indiferencia, dado que
no hay puntos de B en una curva de indiferencia superior a U4.
La función que vincula a la canasta demandada con p y con m es denominada la función de
demanda, que será denotada como x(p,m) 8 . Nos interesa saber bajo qué condiciones existe una
única canasta que maximiza la utilidad. Veremos luego que esto será una consecuencia del
postulado de convexidad estricta de las preferencias.
La función de demanda es homogénea de grado cero en (p,m). La razón es simple: no se altera el
conjunto B si todos los precios y la riqueza se modifican en la misma proporción y, por otro lado, la
utilidad no depende en forma directa de los precios.
8
Nuevamente estamos ante un vector de funciones [x1(p1, ...,pk,m), ...,xk(p1, ...,pk,m)]. Es lo que se
denomina una función con argumento vectorial a valor vectorial.
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La figura siguiente indica situaciones en que el punto de tangencia se produce en un punto de
esquina de la recta presupuestaria, señalando que un bien es demasiado caro con respecto al otro
bien como para realizar un consumo positivo. Ergo, el consumo es nulo: naranjas en el punto X,
manzanas en el punto Y.
2. Aplicación del método de los Multiplicadores de Lagrange
Existe un procedimiento aplicado en análisis matemático usual en varios campos de la economía,
para obtener la solución de un problema como el planteado. Ustedes verán aquí una aplicación
del capítulo III para el caso de 2 variables.
Supongamos que nuestro objetivo es resolver el siguiente tipo de problemas:
Max f(x1,x2)
x1,x2
tales que g(x1,x2)=0.
Para resolverlo hacemos uso del siguiente artificio. Construímos una función auxiliar, llamada la
lagrangiana:
L(λ,x1,x2)= f(x1,x2) – λg(x1,x2).
La variable λ es denominada el multiplicador de Lagrange. Como hemos visto antes, y ahora
repasaremos, tiene una interpretación económica 9 .
Siguiendo un esquema similar al de la maximización de una función no condicionada, debemos
ubicar en primer término los puntos extremales de la función. Éstos surgen de calcular las
condiciones de primer orden que establecen que las derivadas de la lagrangiana con respecto a
cada argumento sean nulas:
∂L/∂x1=∂f/∂x1 –λ ∂g/∂x1=0
∂L/∂x2=∂f/∂x2 –λ ∂g/∂x2=0
∂L/∂λ= -g(x1,x2)=0.
Este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (x1,x2 y λ) –no olvidar que las derivadas
parciales son funciones que pueden contener a sus argumentos. Habitualmente podrá ser resuelto
en términos de las elecciones óptimas.
9
Una interpretación posible de la lagrangiana es que hemos sustituído la función objetivo original por otra
función, imponiendo un costo por el incumplimiento de la restricción g(x1,x2).
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Pasemos ahora a analizar las condiciones de segundo orden. Recordemos que hemos
identificado un posible máximo local en el paso precedente. Ahora nos corresponde averiguar si
estamos efectivamente ante un máximo o un mínimo de la función objetivo. Esto requiere el
cálculo de todas las derivadas segundas de la lagrangiana . Como hay 3 variables, esto da lugar a
3 derivadas segundas directas. Pero tenemos que agregar a las derivadas cruzadas. En total,
computando todas las derivadas segundas, directas y cruzadas, son 9 derivadas segundas de la
lagrangiana.
Veamos en primer lugar las derivadas con respecto al parámetro de Lagrange. Es inmediato
comprobar lo siguiente:
∂2L/∂λ2=0
∂2L/∂λ∂x1=∂2L/∂x1∂λ= -∂g(x)/∂x1
∂2L/∂λ∂x2=∂2L/∂x2∂λ= -∂g(x)/∂x2
Con estos elementos podemos construir la siguiente matriz de 9 derivadas segundas:
0
-∂g(x)/∂x1
-∂g(x)/∂x2
-∂g(x)/∂x1
∂2L/∂x12
2
∂ L/∂x2∂x1
-∂g(x)/∂x2
∂2L/∂x1∂x2
∂2L/∂x22
Los términos de borde de esta matriz son los negativos de las derivadas primeras de la restricción.
Los términos interiores ∂2L/∂x22 conforman una matriz de 2 por 2, denominada matriz hessiana. A
la matriz completa la llamamos matriz hessiana orlada.
Si la matriz hessiana es definida negativa sujeta a la condición, se dice que se está en presencia
de un máximo (local) regular 10 .
Cabe notar que si multiplicamos por (-1) la primera fila y la primera columna del determinante de la
matriz hessiana orlada esto no alterará el signo del determinante (ejercicio: verificar con un
determinante cualquiera de 2 por 2). Esto hace más simple trabajar con la expresión al eliminar los
signos negativos de la primera fila y de la primera columna.
Para un mínimo (local) regular se requiere que la matriz hessiana orlada sea definida positiva
sujeta a la restricción.
Ejemplos. El chequeo de estas condiciones siempre es un poco tedioso. Consideremos por
ejemplo un determinante hessiano de 2 por 2 orlado (es decir, al que hemos agregado una
primera fila y una primera columna con las derivadas parciales de una función de restricción).
Llamemos b1, b2, a estas derivadas parciales. Quiere decir que estamos buscando el máximo (o el
mínimo) de una función sujeta a una sola restricción.
Observación importante: estos términos son números, porque las condiciones de primer orden han
identificado a un conjunto de números para x1,x2 y λ y el rol de las condiciones de segundo orden
10
Recuérdese que el máximo de una función de una variable en un punto interior exige que la primera
derivada sea nula (condición de primer orden) y que la segunda derivada sea no positiva (condición de
segundo orden). Si deseamos que esta última condición sea suficiente debemos exigir que la derivada
segunda sea negativa. Por tal motivo, se visualiza cómo la condición que se ha expresado está
generalizando el caso de una única variable independiente, ya que de ser nula la derivada podríamos
hallarnos ante un punto de inflexión.
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100
es verificar que estamos efectivamente en un máximo o en un mínimo. Y atención que las
condiciones de primer orden pueden dar lugar a soluciones múltiples, en cuyo caso las
condiciones de segundo orden nos pueden servir para discriminar entre ellas.
Llamemos hij al término componente de la matriz hessiana de la función de la cual se trata de
establecer un máximo regular (como por ejemplo una función de utilidad). En tal caso la condición
suficiente dice que la matriz hessiana debe ser definida negativa sujeta a la restricción (restricción
de presupuesto, en la cual los bj son las derivadas parciales – o sea los precios vigentes para los
distintos bienes). Para que se dé esta propiedad, en el punto extremal debe verificarse que el
determinante de la siguiente matriz:
0
b1
b2
b1
h11
h21
b2
h12
h22
sea positivo. Si existieran más variables respecto de las cuales estamos buscando un máximo, la
condición se generaliza de la siguiente manera: los menores principales naturalmente ordenados
de la matriz hessiana orlada deben tener signo alternado 11 . En el capítulo III, la condición fue
planteada así: los n-m últimos menores principales de la matriz hessiana orlada deben tener signo
alternado, empezando con el signo del primero igual a (-1)m+1= (-1)1+1>0.
Otra observación: ¿cuál es la dimensión del menor principal más pequeño? No puede ser uno, ya
que el menor principal siempre sería 0. Tampoco puede ser dos, primero porque el determinante
siempre sería igual a – b12. Que es siempre negativo. Pero lo más importante es que en este caso
estaríamos considerando la elección de una canasta compuesta por un solo bien y por lo tanto
desaparecería todo problema económico de elección. Esta conclusión es muy conveniente,
porque nos permite correlacionar el análisis gráfico de la elección con el análisis matemático.
Consideremos el caso de minimización (recordarlo para cuando tratemos el tema costos). La
condición de segundo orden análoga para un mínimo (local) regular es que los mismos
determinantes sean todos negativos. En el Capítulo III, la condición equivalente era que los
últimos n-m menores principales tengan el signo de (-1)m= (-1)1<0.
Como ya explicamos, para obtener la decisión óptima del consumidor debemos construir la
lagrangiana del problema de maximización de la utilidad, que es:
L(.)=u(x) – λ(px – m)
Esto nos proporciona las siguientes condiciones de primer orden:
∂u(x)/∂xi – λpi =0 (i=1,...,L)
px – m =0
Obtenemos L+1 ecuaciones que generalmente servirán para determinar las L+1 variables x y λ.
11
El primer menor principal es el que acabamos de construir, y debe ser positivo. El segundo menor
principal consiste en agrandar el anterior agregando una fila (abajo) y una columna (a la derecha). Decimos
que está naturalmente ordenado porque si el primer menor correspondía a las variables λ, x1 y x2, el
segundo menor principal corresponderá a las variables λ, x1,x2, y x3. En otros términos, el primer menor
principal lo obtenemos a partir del segundo menor principal suprimiendo una fila y una columna siguiendo la
dirección de la diagonal principal. Este segundo menor principal debe ser negativo. Y así sucesivamente,
con los sucesivos menores principales alternando en signo.
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101
Al efecto de interpretar el primer conjunto de condiciones, dividimos la condición i-ésima por la
condición j-ésima, con lo cual eliminamos el multiplicador de Lagrange. Así:
(∂u(x)/∂xi) / (∂u(x)/∂xj) = pi/pj para todo i,j.
De la fracción de la izquierda ya obtuvimos una interpretación. Fue denominada la tasa marginal
de sustitución entre los bienes i y j (v. pág. 94). La fracción de la derecha mide otro tipo de
sustitución: la que puede hacerse en el mercado según el precio relativo de ambos bienes. Es la
tasa económica de sustitución (TES). En una posición de máximo ambas deben igualarse. Si no
fuera así, si por ejemplo la TMS entre i,j fuera igual a 1 y la TES entre i,j fuera igual a 2, el
consumidor podría dejar de consumir 1 unidad de i y adquirir 1 unidad de j. Quedaría en la misma
curva de indiferencia (con igual TMS) y dispondría de un peso adicional para gastar. Luego, podría
mejorar su nivel de utilidad, lo que implica que la desigualdad TMS≠TES no puede verificarse.
Nos falta un paso adicional, que es examinar las condiciones de segundo orden de nuestro
problema. ¿Bajo qué condiciones la matriz hessiana de la función de utilidad es definida negativa
y satisface la restricción presupuestaria?
Para responder a esta pregunta tenemos que repasar algunos formuleos de las formas
cuadráticas definidas negativas y utilizar los elementos que ya hemos visto. Va a ser útil analizar
este punto que ya adelantamos en el Capítulo III, utilizando una notación algo diferente para
familiarizarse con el tema. En aquella oportunidad trabajamos directamente con la matriz hessiana
de la función lagrangiana; ahora lo haremos con la teoría de las formas cuadráticas.
Con los elementos ∂u(x)/∂xi ∂xj se arma la matriz hessiana de la función de utilidad – que no es
otra cosa que la matriz de sus derivadas segundas. Esta matriz denotada como D2u(x*) =
∂2u(x)/∂xi∂xj está evaluada en x*. Por este motivo estas derivadas son simplemente números.
Una forma cuadrática con esta matriz se obtiene premultiplicándola y postmultiplicándola por un
vector h. Decimos que es una forma cuadrática porque cuando se obtiene el resultado, algunas
componentes de este vector h van a estar elevadas al cuadrado y otras van a resultar productos
cruzados (por ejemplo hiDijhj). En términos vectoriales, si llamamos h’ al vector h traspuesto, la
forma cuadrática es negativa si
h'D2u(x*)h < 0
El resultado depende de cómo sean elegidos los h. Para tener una intuición económica de cómo
elegirlos, reflexionemos nuevamente sobre el problema de maximización de la utilidad.
Supongamos que hemos alcanzado el equilibrio en x*. Esto significa que si introducimos alguna
“perturbación” dx el cambio de utilidad tiene que ser cero (si no, x* no hubiera sido óptimo). Pero
si cumplimos con nuestra restricción presupuestaria, pdx=0 (el valor del ajuste de la canasta debe
ser nulo).
Volvamos ahora al punto de partida. Si cumplimos con la restricción presupuestaria, todo ajuste
que hagamos de la canasta a partir del óptimo tiene que hacernos descender nuestro nivel de
utilidad. Es decir, h'D2u(x*)h < 0 para todos los h tales que ph=0 12 .
12
En rigor no se requiere la desigualdad estricta en primer término, pero esto no correspondería a una
condición suficiente de máximo.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
102
Si ustedes analizan un poco la formalización, verán que estamos diciendo siempre lo mismo, sólo
que ahora llamé h al vector dx.
Hemos planteado la condición de la matriz hessiana de la función de utilidad como definida
negativa para todos los vectores h “ortogonales” al vector de precios 13 .
Geométricamente, esta condición significa que el contorno superior de la curva de indiferencia
“óptima” debe yacer arriba del plano de presupuesto en la canasta x* óptima.
Una última expresión en términos del hessiano orlado de la función de utilidad. Sabemos que para
un máximo de u(x) bajo restricción presupuestaria deben cumplirse signos alternantes de los
menores principales, a saber, el determinante:
0
p1
p2
p1
u11
u21
p2
u12
u22
debe ser positivo. El siguiente determinante:
0
p1
p2
p3
p1
u11
u21
u31
p2
u12
u22
u32
p3
u13
u23
u33
debe ser negativo, y así en forma sucesiva.
3. Propiedades de las funciones de demanda
Función de gasto Supongamos que x*(p, v) minimiza px (es decir, maximiza – px) sujeto a u(x)–
v=0, de manera que x* minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad v. La lagrangiana del
problema es
−px + μ(u(x) – v).
Las condiciones de primer orden del teorema de los Multiplicadores de Lagrange son entonces
(multiplicando por –1):
pi – μ* ∂u(x)/∂xi = 0 (i=1, ..., L)
y las condiciones de segundo orden son:
∑i∑j ∂u(x*)/∂xi∂xj hihj≤0 para todos los h tales que ∑i∂u(x*)/∂xi hi=0.
Definimos ahora la función de gasto
e(p,v) = px*(p, v)
y observamos que
13
Un vector y es ortogonal al vector w si se cumple que yw=0.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
103
∂e/∂pj= ∑i=1L pi∂xi*/∂pj + xj*.
La función de gasto e(p, v) proporciona así la riqueza mínima necesaria para alcanzar la utilidad v
a precios p.
Otra definición equivalente es la siguiente:
e(p, v) = Mín p x
tal que u(x) ≥ v.
Por consiguiente, proporciona el costo mínimo de obtener un nivel determinado de utilidad. En la
teoría de la producción existe un concepto análogo de función de costo. La función de gasto e(p,v)
es la función inversa de la función de utilidad indirecta previamente definida como v(p, m).
Funciones de demanda Hicksianas La función de demanda a fin de alcanzar el nivel de utilidad v a
los precios p es denominada demanda en sentido de Hicks o Hicksiana. Se denota como h(p,v).
Esta canasta cumple una propiedad muy importante, que deduciremos a partir del siguiente
Lema de Shephard: Sea hi(p,m) la función de demanda Hicksiana del bien i. Luego, si la función
de gasto e(p, v) es diferenciable en (p,v) y pi>0 (i=1, ..., L) entonces
hi (p,v)=∂e(p,v)/∂pi (i=1, ..., L).
Dem.) Sea h* la canasta minimizadora del gasto que permite obtener la utilidad v a los precios p*.
Se define una nueva función:
g(p)=e(p,v) – ph*.
Como e(p,v) es la forma más barata de adquirir el nivel de utilidad v, esta función siempre es no
positiva. En p=p*, g(p*)=0. Como éste es el valor máximo de g(p), su derivada debe anularse:
∂g(p*)/∂pi= ∂e(p*,v)/∂pi − hi* = 0 (i=1, ..., L).
Luego, la canasta que minimiza el gasto del consumidor viene dada por el vector de derivadas de
la función de gasto con respecto a los precios. (QED)
Recordando la definición de la función de gasto, es inmediato que hi(p,v)=∂e(p,v)/∂pi para i=1,..., L
si existe la derivada y pi>0. Las funciones de demanda Hicksianas a menudo son llamadas
funciones de demanda compensadas, porque pueden ser construídas modificando los precios y el
ingreso de manera de mantener al consumidor en su nivel de utilidad inicial. Los cambios del
ingreso compensan los cambios de los precios. Estas funciones no son directamente observables,
porque dependen de la utilidad que no es directamente observable. Pero las funciones de
demanda x(p,m) sí lo son – por lo menos a nivel del mercado – y son denominadas funciones de
demanda ordinarias o Marshallianas.
Identidades. Conviene recordar las siguientes identidades:
(1) e(p,v(p,m)) ≡ m. Es decir, la riqueza mínima para alcanzar la utilidad v(p,m) es m.
(2) v(p,e(p,u)) ≡ u. O sea, la utilidad máxima con el ingreso e(p,u) es u.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
104
(3) xi(p, m) ≡ hi(p, v(p,m)). La demanda Marshalliana con riqueza m es igual a la demanda
Hicksiana con utilidad v(p,m).
(4) hi(p, u) ≡ xi(p, e(p, u)). La demanda Hicksiana al nivel de utilidad u es igual a la demanda
Marshalliana con ingreso e(p,u).
Teorema: Sean los dos problemas siguientes:
[I]
Máx u(x)
sujeto a px ≤m.
[II]
Mín px
sujeto a u(x)≥v.
Supongamos que la función de utilidad es continua y que las preferencias satisfacen el supuesto
de no saciedad local. Luego, si existen soluciones a ambos problemas, son válidas las dos
proposiciones siguientes: la maximización de la utilidad implica la minimización del gasto, y la
minimización del gasto implica la maximización de la utilidad. Sea x* una solución de (I) y v=u(x*).
Dem.) 1º) Demostraremos en primer término que (I) implica (II). Sea x’ la solución de (II). Luego
px’<px* y u(x’) ≥ u(x*). Por la no saciedad local, existe una canasta x’’ suficientemente próxima a
x’ tal que px’’<px*=m y u(x’’)>u(x*). Luego x* no puede ser solución de (I).
2º) Sean x* la solución de (II) y m=px*>0. Negamos la tesis a fin de demostrar (I) por el absurdo.
Sea x’ la canasta que resuelve (I) de tal manera que u(x’)>u(x*) y px*=m. Como px*>0 y la
utilidad es continua, podemos hallar 0<t<1 tal que ptx’<px*=m y u(tx’)>u(x*). Luego, x* no podría
ser solución de (I).
4. La ecuación de Slutsky
Hemos visto que las funciones de demanda compensadas no son
directamente observables. Pero ahora veremos que su derivada
puede ser obtenida a partir de datos observables, a saber las
derivadas de la demanda Marshalliana con respecto al precio y al
ingreso. Llegamos así a uno de los resultados centrales de la
teoría de la demanda, la ecuación de Slutsky. La ecuación puede
ser escrita de la siguiente manera:
∂xj(p,m)/∂pi= ∂hj(p,v(p, m))/∂pi - ∂xj(p,m)/∂m xi(p,m)
Dem.) Sean precios e ingreso fijados en (p*,m*) y u*=u(x*). Por
identidad es válido que:
hj(p,u*) ≡ xj(p,e(p,u*)).
Diferenciando con respecto a pi y evaluando la derivada en p* se
obtiene:
Evgeny Evgenievich Slutsky (18801948)
∂hj(p*,u*)/∂pi = ∂xj(p*,m*)/∂pi + ∂xj(p*,m*)/∂m . ∂e(p*,u*)/∂pi
Reemplazando en el último término ∂e(p*,u*)/∂pi=xi* y reordenando se obtiene la ecuación de
Slutsky:
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
105
∂xj(p*,m*)/∂pi = ∂hj(p*,u*)/∂pi − ∂xj(p*,m*)/∂m. xi* (QED)
Según J. J. O'Connor y E. F. Robertson, Slutsky era hijo de Evgenii Slutskii, un profesor. Su familia se
trasladó desde la provincia de Yaroslavl, situada en la Rusia occidental, hacia Ucrania donde fue admitido
en un gimnasio clásico, con énfasis en el estudio de las matemáticas y de las ciencias físicas. Recibió una
medalla de oro en las olimpíadas de matemáticas de 1899. Luego de su período escolar, Slutsky entró a la
Universidad de Kiev en 1899 para estudiar matemáticas. Rápidamente se vio complicado con la política
estudiantil y participó en refriegas que tuvieron lugar en la universidad. Dos estudiantes habían sido
expulsados de la Universidad por sus puntos de vista políticos y Slutsky participó en reuniones ilegales de
grupos de estudiantes con el fin de brindar su apoyo a los dos estudiantes expulsados demandando que se
los admitiera nuevamente. Las revueltas estudiantiles fueron atendidas convocando a los estudiantes por un
período al ejército. Esto fue precisamente lo que sucedió con Slutsky en enero de 1901, pero no fue
convocado por demasiado tiempo y pronto regresó a la Universidad de Kiev. Al año siguiente entró en
problemas nuevamente, y esta vez fue expulsado y se le prohibió estudiar en ninguna institución rusa de
educación superior. Por consiguiente, no tuvo oportunidad de completar sus estudios ni en Kiev ni en ningún
otro lado de Rusia.
A Slutsky no le quedó otra opción que irse del país – si quería estudiar – y entró finalmente al Politécnico de
14
Munich en 1902. En su autobiografía escribe: “En Munich estudié con seriedad a Ricardo, Marx, Lenín ...
A esa altura ya había preparado un plan de trabajo de aplicación de las matemáticas a la economía.”
Logró completar sus estudios de ingeniería en Munich y regresó a Kiev en 1905. La situación política en
Kiev por entonces había cambiado, porque la Revolución Rusa había comenzado temprano ese mismo año
con desfiles imponentes, huelgas, rebeliones armadas y motines militares. La prohibición a Slutsky de
estudiar en instituciones de educación superior rusas carecía de sentido en medio de la nueva situación
política, por lo que pudo retornar a la Universidad de Kiev. En esta oportunidad buscó hacer un curso más
orientado por sus intereses políticos, y cursó economía política en la Facultad de Derecho. Se graduó con
Medalla de Oro en 1911 por su paper La teoría de la utilidad marginal.
Su interés por la estadística creció cuando se encontró con A. V. Leontovich en 1912. Leontovich era un
fisiólogo que había estudiado las ideas estadísticas de Gauss y Pearson y le trasmitió a Slutsky material
sobre técnicas estadísticas. Slutsky quedó rápidamente atrapado por estas obras, y el mismo año de 1912
publicó un texto en Kiev titulado La teoría de la correlación. Desde enero de 1913 hasta 1926 dictó clases
en el Instituto de Comercio de Kiev, en el cual fue promovido como profesor en 1920. En 1926 se trasladó a
las oficinas estadísticas de Moscú donde comenzó a desempeñarse en enero de ese año.
Las oficinas gubernamentales formaban parte del Instituto de Coyuntura dirigido por N.D. Kondratiev,
considerado como un economista líder y consejero de las autoridades soviéticas en materia de políticas
agropecuarias. Slutsky había sostenido a la revolución pero a partir de entonces fue mucho más cuidadoso
al expresar sus puntos de vista. En su autobiografía, escribe: “...cuando el capitalismo colapsó en Rusia y
tuve que describir a grandes rasgos las características de un orden económico socialista planificado, desde
el punto de vista de la economía matemática desaparecieron las bases para hacerlo. Estudiar el proceso
económico bajo el socialismo y la época de transición demandaba un tipo de conocimiento, de metodología,
y de capacidades distinto que aquél para el que yo estaba preparado.”
Las políticas de Stalin fueron mucho más duras a partir de 1929. Es probable que Slutsky lo previera así, y
decidió mantenerse alejado del asesoramiento sobre decisiones de política económica. Siguió trabajando y
publicando sobre los fundamentos de la teoría de la probabilidad que resultaba un tópico político seguro.
Efectivamente, aquellos que, como Kondratiev, habían asesorado en materia económica al gobierno, se
encontraban en una posición sumamente difícil. El Instituto de Coyuntura fue cerrado en 1930 y Kondratiev
fue arrestado y finalmente ejecutado: hacia fines de los años 1920, los planificadores soviéticos se
decidieron a impulsar la industrialización a marcha forzada, en detrimento de la agricultura, lo que fue
criticado por Kondratiev. En la primavera de 1930 fue arrestado bajo la acusación de ser dirigente de un
14
B Gnedenko, E E Slutskii : biographicheskii ocherk, in Izbrannye trudy (Moscú, 1960).
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
106
"Partido de Trabajadores Campesinos" y deportado a Siberia sin juicio. Allí se alojó en un viejo monasterio
en el que pudo seguir trabajando por algún tiempo. Finalmente, a pesar de haber enfermado gravemente,
en 1938 fue condenado a muerte y fusilado. Otros altos funcionarios del Instituto sufrieron el destierro pero
Slutsky fue el único capaz de continuar sin problemas con su carrera. Evidentemente, ello es prueba de su
habilidad en evitar verse envuelto en áreas controvertidas.
Luego de la clausura del Instituto de Coyuntura en 1930 Slutsky comenzó a aplicar sus capacidades
estadísticas a la meteorología, asumiendo un cargo en el Instituto Central de Meteorología en 1931. Trabajó
allí hasta 1934, y desde entonces ingresó al Instituto de Matemáticas y de Mecánica de la Universidad de
Moscú, en la cual comenzó a dar clases. A partir de 1938 trabajó en el Instituto Matemático Steklov de la
Academia de Ciencias de la URSS.
Como estadístico, Slutsky fue influído por la obra de Pearson como ya se dijo, y se interesó tanto por los
fundamentos de los métodos estadísticos que estudió como por su aplicación a la economía, y, más tarde
en su carrera, a las ciencias naturales. Cuando estaba en el Instituto de Comercio de Kiev, Slutsky produjo
su ecuación fundamental de la teoría del valor en economía. Su trabajo apareció en el paper Sulla teoria del
bilancio del consumatore traducido para su publicación en Giornale degli Economisti (1915). Esta
contribución fue ignorada y sólo mucho más tarde, hacia 1934, el mismo principio fue investigado en forma
independiente por John Hicks y R.G.D. Allen, época en la cual obtuvo un eventual reconocimiento de la
profesión.
Slutsky introdujo conceptos estocásticos de límites, derivadas e integrales entre 1925 y 1928 cuando
trabajaba en el Instituto de Coyuntura. En 1927 demostró que, sometiendo una sucesión de promedios
móviles a una sucesión de shocks aleatorios independientes se generaba una sucesión casi periódica. Este
trabajo estimuló la creación de procesos estacionarios estocásticos. “Así como las olas del mar que se
suceden entre sí no se repiten la una a la otra perfectamente, así también los ciclos económicos no repiten
ciclos anteriores ni en duración ni en amplitud. El ojo del observador instintivamente descubre en las olas de
un cierto orden otras olas más pequeñas, de modo que la idea de análisis armónico, a saber, que las
posibilidades de expresar las irregularidades en la forma y en la magnitud de las olas por medio de la suma
15
de fluctuaciones regulares sinusoidales aparece en su mente de manera espontánea” . También estudió la
correlación de series vinculadas para un número limitado de pruebas. Obtuvo condiciones para que una
función aleatoria sea medible en 1937.
Slutsky hizo una amplia aplicación de sus teorías. Además de la economía, también estudió la actividad
solar utilizando datos a partir del año 500 A.C. Otras aplicaciones fueron tópicos tan diversos como el precio
de los cereales y el estudio de los cromosomas.
Barnett 16 describe a Slutsky como “de carácter fascinante y complejo”. También afirma: “Políticamente no
fue miembro de ningún partido y su carácter era reservado.”
Entre sus obras cabe destacar las siguientes:
"On the Criterion of Goodness of Fit of the Regression Lines and on the Best Method of Fitting them
to Data", 1914, Journal of Royal Statistical Society.
"Sulla teoria del bilancio del consummatore", 1915, Giornale degli Economisti.
"Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte", 1925, Matematischen Annalen.
"The Summation of Random Causes as the Source of Cyclical Processes", 1927 (in Econometrica,
1937).
"Sur un criterium de la convergence stochastique des ensembles de valeurs éventuelles", 1929,
Comptes Rendu des séances de l'Academie des Sciences.
15
En el enfoque de Slutzky y Ragnar Frisch – que retomaría la idea central de Slutsky -- a partir de eventos
aleatorios, la suma de una serie de oscilaciones amortiguadas definirían el patrón de movimiento de una
serie económica.
16
V Barnett, “E E Slutsky : Mathematical statistician, economist, and political economist?”, J. Hist. Economic
Thought 26 (10) (2004).
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
107
"Quelques Propositions sur les Limites Stochastiques Éventuelles", 1929, Compte Rendu des
séances de l'Academie des Sciences.
Tables for the Computation of the Incomplete Gamma Function and the Chi-Square Probability
Distribution, 1950.
Selected Works of Eugen Slutsky, 1960.
Propiedades destacables:
1. La matriz de los términos de sustitución {∂hj(p,u)/∂pi} = (∂2e(p,u)/∂pi∂pj) es semidefinida negativa
porque la función de gasto es cóncava.
Dem.) Veamos en primer término la propiedad de concavidad. Sean (p,h) y (p’,h’) dos
combinaciones de precios y demandas y p’’=tp+(1-t)p’ (0≤t≤1). Por tanto,
e(p’’,v) = w’’h’’ = tph’’+(1-t)p’h’’.
Dado que h’’ no es necesariamente la canasta más barata para alcanzar la utilidad v a precios p’
o a los precios p, se tiene que ph’’≥e(p,v) y p’h’’≥e(p’,v). Luego,
e(p’’,v) ≥ t e(p, v) +(1-t) e(p’,v).
Esto demuestra que la función de gasto es cóncava. En el caso uni-dimensional, la derivada
segunda de una función cóncava debe ser negativa o nula en todo punto. En el caso multidimensional, esta propiedad se generaliza cuando la matriz de derivadas segundas es
semidefinida negativa en todo punto (QED).
2. La matriz de los términos de sustitución es simétrica. En efecto,
∂hj(p,u)/∂pi = ∂2e(p,u)/∂pj∂pi = ∂2e(p,u)/∂pi∂pj = ∂hi(p,u)/∂pj
3. Tomando en cuenta el resultado 1 anterior, el efecto compensado del propio precio es no
positivo. Luego, las curvas de demanda hicksianas tienen en términos generales pendiente
negativa o nula. Sabemos que esto tiene que ser así porque los términos diagonales de una
matriz semidefinida negativa no pueden ser positivos:
∂hi(p,u)/∂pi = ∂2e(p,u)/∂pi2≤ 0.
4. La matriz de sustitución (∂xj(p,m)/∂pi)+(∂xj(p,m)/∂m)xi es una matriz simétrica y semidefinida
negativa. Como señala Varian, éste constituye un resultado no intuitivo, según el cual una
combinación particular de derivadas con respecto al precio y al ingreso debe dar como resultado
una matriz semidefinida negativa.
El resultado siguiente no se sigue directamente de la ecuación de Slutsky, sino más bien de
propiedades de las funciones de gasto y de utilidad indirecta:
5. Identidad de Roy
Si x(p,m) es la función de demanda Marshalliana, por lo tanto:
xi(p,m) = −(∂v(p,m)/∂pi)/ (∂v(p,m)/∂m) (i=1, ..., L)
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
108
siempre que el segundo miembro esté bien definido y que pi>0, m>0.
Dem.) Supóngase que x* proporciona la utilidad máxima u* en la combinación (p*,m*). Según las
identidades de las pág. 103-104, se tiene que
x(p*, m*) ≡ h(p*, u*).
u*≡v(p,e(p, u*).
Esta última identidad significa que, cualesquiera sean los precios, si se le da al consumidor el
ingreso mínimo para comprar la utilidad u* a tales precios, su utilidad máxima será u*. Al ser una
identidad podemos derivarla con respecto a pi y obtener
0 = ∂v(p*,m*)/∂pi +∂v(p*,m*)/∂m ∂e(p*,u*)/∂pi.
Reacomodamos los términos, tenemos en cuenta la primera de las identidades, y obtenemos:
xi(p*, m*) ≡ hi(p*,u*) ≡ ∂e(p*, u*)/∂pi ≡ [∂v(p*,m*)/∂pi] / [∂v(p*,m*)/∂m]
(QED), ya que esta identidad se cumple para todos los (p*,m*) y x* = x(p*,m*).
6. Estática comparativa, usando las condiciones de 1º orden en un modelo con 2 bienes
Las condiciones de 1º orden las volvemos a escribir de la siguiente manera:
p1x1(p1,p2,m)+p2x2(p1,p2,m)-m≡0
∂u((x1(p1,p2,m),x2(p1,p2,m))/∂x1 – λp1≡0
∂u(x1(p1,p2,m),x2(p1,p2,m))/∂x2 – λp2≡0
Ahora diferenciamos con respecto a p1 pero escribimos el resultado en forma de matriz. Así, la
primera fila de esta diferenciación sería:
-p1(∂x1/∂p1) –p2(∂x2/∂p1) ≡ x1
Luego de diferenciar las dos identidades siguientes, vamos a construir el sistema como el
producto de una matriz (3x3) por un vector columna (3x1), igual a otro vector columna (3x1):
0
-p1
-p2
-p1
u11
u21
-p2
u12
u22
∂λ/∂p1
∂x1/∂p1
∂x2/∂p1
≡
x1
λ
0
Utilizando la regla de Cramer, resolvemos en términos de ∂x1/∂p1 lo que proporciona:
∂x1/∂p1 =
│0
│-p1
│-p2
x1
λ
0
-p2 │
u12 │/ H
u22 │
siendo H el determinante del sistema, que corresponde al de la matriz hessiana orlada y en una
posición de máximo debe ser H>0.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
109
Calculamos el determinante del numerador que proporciona la solución expandiéndolo por medio
de los cofactores de la segunda columna, y así tenemos:
∂x1/p1= λ │0 -p2 │-x1 │-p1 u12 │
│-p2 u22 │
│-p2 u22 │
El 1º término es el efecto sustitución que resulta negativo. Volvamos a las condiciones de 1º orden
y diferenciamos con respecto a m, lo que da lugar al siguiente producto de matriz por vector:
0
-p1
-p2
-p1
u11
u21
-p2
u12
u22
∂λ/∂m
∂x1/∂m
∂x2/∂m
≡
-1
0
0
Por la regla de Cramer,
∂x1/∂m =
│-p1
│-p2
u12 │/ H
u22 │
Sustituyendo este término en la ecuación que obtuvimos para ∂x1/p1 identificamos a esta parte
como el efecto ingreso de la ecuación de Slutsky.
Representación gráfica de ambos efectos.
Canastas óptimas para 3 niveles de ingreso distintos (manzanas – apples – y naranjas – oranges – ) X es la canasta óptima para un
ingreso de $100, Y para un ingreso de $125 y Z para un ingreso de $150 (niveles representados por B1, B2 y B3). Ambos bienes son
normales porque su consumo se incrementa a medida que crece el ingreso o riqueza En la figura 3-5, las naranjas – oranges – son un
bien normal, pero las manzanas – apples – son un bien inferior: Su consumo disminuye al crecer el ingreso. La línea IEP es el sendero
de expansión del ingreso (Friedman, ob. cit.)
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
110
Cambio del precio relativo de ambos bienes (figura a) y cambio del ingreso (b). En la figura a, se altera el precio relativo, pero no el
ingreso real. En la figura (b) el precio relativo se mantiene constante pero aumenta el ingreso real
(David Friedman, ob. cit.)
Un descenso del precio de las manzanas da lugar a un efecto sustitución sobre el consumo de manzanas que opera siempre en
sentido inverso (A=>B, con ingreso real constante) y a un efecto ingreso (B=>C, positivo si las manzanas son un bien normal. El
resultado es la expansión A=>C, que se encuentra ubicada sobre el Sendero de Expansión del Ingreso (PEP). (Friedman, ob. cit.)
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
111
Derivación gráfica de las curvas de demanda Marshalliana e Hicksiana
Derivación gráfica de las curvas de demanda Hicksianas y Marshallianas (Friedman, ob. cit.)
7. Integrabilidad de la función de utilidad
Como hemos visto, la solución directa del problema de maximización de utilidad conduce a una
matriz de términos de sustitución
∂hi(p,u)/∂pj = (∂xi(p,m)/∂pj + ∂xi(p,m)/∂m xj(p,m))
simétrica y semidefinida negativa.
Ahora bien, supongamos que tenemos un sistema de funciones de demanda que tienen una
matriz de sustitución simétrica y semidefinida negativa. ¿Podemos decir que existe
necesariamente una función de utilidad a partir de la cual estas funciones de demanda han sido
derivadas? Éste es el llamado problema de la integrabilidad y tiene respuesta afirmativa.
Entrar en un tratamiento de este problema nos llevaría al territorio de las ecuaciones en derivadas
parciales que constituye un tema de matemática avanzada. Para nuestro objetivo, basta con saber
que la condición necesaria y suficiente de integrabilidad es que los términos
∂xi(p,m)/∂pj + ∂xi(p,m)/∂m ∂e(p,u)/∂pj
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
112
sean simétricos. Pero como hemos visto ésta es precisamente la restricción de los términos de
Slutsky. Luego estas restricciones implican que las funciones de demanda pueden ser integradas
a fin de hallar una función de gastos consistente con el comportamiento de elección observado.
8. Preferencia revelada
Paul Samuelson en 1948 propuso un enfoque que, partiendo de observaciones de cómo se
comporta el consumidor – en términos de elecciones – se preguntó qué relaciones de preferencia
están involucradas en dichas observaciones.
Claramente, si ptxt≥ptx, es decir que el consumidor eligió xt cuando x era accesible desde el punto
de vista de su presupuesto, entonces u(xt)≥u(x). Se dice en este caso que xt resultó directamente
preferida a x y escribimos xtRDx y concluimos que u(xt)≥u(x).
También está claro que – por el supuesto de no-saciedad local – si tenemos
(*)
ptxt>ptx
debemos obtener que u(xt)>u(x). En este caso se dice que xt resultó directamente preferida a x en
forma estricta. Es decir, (xtPDx).
Ahora realizamos una serie de comparaciones de a pares, tales xtRDxj, xjRDxm, ... xnRDx. En este
caso se dice que xt se revela preferida a x y escribimos xtRx. Si suponemos que los datos fueron
generados por la maximización de la utilidad, se concluye que xtRx implica u(xt)≥u(x).
Sean dos observaciones xt y xs. Tenemos una forma de determinar si u(xt)≥u(xs) y una condición
observable (*) para determinar si u(xs)>u(xt). Por supuesto, ambas condiciones no pueden ser
satisfechas en forma simultánea. Esto lleva a la siguiente afirmación conocida como Axioma
Generalizado de la Preferencia Revelada:
Si xt es revelado preferido a xs luego xs no puede ser revelado estrictamente a xt.
Es decir, xtRxs implica psxs≤psxt. Un teorema debido a Afriat 17 expone distintas condiciones
equivalentes a la satisfacción del Axioma Generalizado de la Preferencia Revelada:
Sea (pt,xt) un número finito de observaciones de vectores de precio y canastas de consumos (t=1,
..., T). Las siguientes condiciones (1) a (4) son equivalentes:
(1) Los datos satisfacen el Axioma Generalizado de la Preferencia Revelada.
(2) Existe una función de utilidad no saciada localmente y que racionaliza los datos. Por
“racionalizar los datos” se entiende que esta función alcanza su máximo dentro del conjunto
presupuestario en la(s) canasta(s) elegida(s). O sea, u(xt)≥u(x) para todo x tal que ptx≤ptxt.
(3) Existen números positivos (ut,λt) (t=1, ..., T) que satisfacen las “desigualdades de Afriat”:
us≤ut+λtpt(xs – xt) para todos los pares t,s.
17
Afriat, S. (1967), “The construction of a utility function from expenditure data”, Int. Econ. Rev., 8.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
113
(4) Existe una función monótona de utilidad, localmente no saciada, continua y cóncava, que
racionaliza los datos.
Los números de Afriat ut y λt pueden ser interpretados como los niveles de utilidad y las utilidades
marginales del ingreso consistentes con las elecciones realizadas. Algunos economistas rescatan
como resultado notable de este teorema que la condición (2) implique la condición (4): si existe
alguna función de utilidad no saciada localmente que racionalice los datos, debe existir una
función de utilidad cóncava que también los racionaliza. Por lo tanto, si la función de utilidad
tuviera una curvatura errónea en algunos puntos, esos puntos nunca serían observados porque no
satisfacen las correctas condiciones de segundo orden. Luego, los datos del mercado no permiten
rechazar las hipótesis de convexidad y monotonía de las preferencias. Son hipótesis no refutables.
9. Análisis de Slutsky discreto
Usando matemáticas discretas podemos obtener una ecuación análoga a la de Slutsky. En primer
término escribimos la siguiente identidad aritmética:
xi(p+Δp, m) – xi(p, m) = xi(p+Δp, m+Δm) - xi(p,m) – [xi(p+Δp, m+Δm) – xi(p+Δp, m)]
Ahora suponemos que Δp=(0,...,Δpj, ..., 0).
Luego la variación compensadora del ingreso (en sentido de Slutsky) es Δm=xj(p,m)Δpj. Divido a
la identidad miembro a miembro por Δpj y despejo de la variación compensadora Δpj=Δm/xj(p,m),
luego:
xi(p+Δp, m) – xi(p,m)
xi(p+Δp,m+Δm) – xi(p,m)
[xi(p+Δp,m+Δm) – xi(p+Δp,m)]
───────────── = ─────────────── - xj(p,m) ───────────────────
Δpj
Δpj
Δm
Podemos interpretar estos términos de la forma siguiente:
Δxi
Δxi
∆xi
── = ─── │comp – xj ───
Δpj
∆m
Δpj
Esta ecuación es el análogo discreto de la ecuación de Slutsky, que descompone el cambio de la
demanda del bien i cuando cambia el precio j en un efecto sustitución (en cuánto cambia la
demanda del bien i cuando cambia el precio del bien j y el ingreso es ajustado a efectos de
mantener posible el nivel original de consumo) y efecto ingreso (en cuánto cambia la cantidad
demandada del bien i cuando los precios se mantienen constantes pero el ingreso cambia,
multiplicado por la demanda del bien j).
10. Las dotaciones en la restricción presupuestaria
Esta parte es necesaria para analizar la generación del ingreso del consumidor. Una dotación es
un vector ω = (ω1,..., ωk) de distintos bienes que el consumidor puede vender a los precios de
mercado p. Esto da lugar al ingreso m=pω. El problema del consumidor es ahora
max x u(x)
sujeto a px=pω
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
114
Usando los procedimientos ya empleados, hallaremos una función de demanda x(p,pω). La
demanda neta de i es xi-ωi. Esta diferencia puede ser positiva o negativa, dependiendo de si
desea tener más o menos de un bien que lo que tiene en su dotación.
En este modelo, los precios influyen sobre el valor de lo que el consumidor tiene para vender así
como sobre el valor de lo que desea vender. Vamos a apreciar este resultado por medio de la
ecuación de Slutsky. En primer término, diferenciamos la demanda con respecto al precio:
dxi(p,pω)
∂xi(p,pω)
∂xi(p,pω)
────── = ────── │pω=const + ———— ωj .
∂pj
∂m
dpj
El primer término del segundo miembro puede ser expandido mediante la ecuación de Slutsky,
que era:
∂hi (p,u)
∂xi(p,m)
∂xi(p,m)
────── = ─────── + ────── xj(p,m)
∂pj
∂pj
∂m
Juntando los términos tenemos:
dxi(p,pω)
∂hi(p, u)
∂xi(p,pω)
———— = ————— + —————— (ωj – xj) .
∂pj
∂m
dpj
Por lo tanto, el efecto ingreso depende de la demanda neta del bien j más que de su demanda
bruta.
Para un bien normal, ante un incremento de su precio tanto el efecto sustitución como el efecto
ingreso empujan a una reducción de su consumo. Pero si el consumidor es un vendedor neto de
ese bien, el efecto ingreso tiene una dirección contraria que puede llevarlo a consumir más de ese
bien.
Oferta de trabajo Esto es lo que puede ocurrir en este caso. El consumidor elige entre dos bienes,
consumo (c) y trabajo (l). La función de utilidad la escribimos como v(c,l) y el problema de
maximización es:
max c,l v(c,l)
tal que pc=wl+m.
El trabajo se comporta más como un “mal” que como un bien en la función de utilidad, y aparece
del lado derecho de la restricción presupuestaria. Transformaremos el problema para hacerlo más
homogéneo con el que hemos venido tratando. Llamaremos L0 a la disponibilidad máxima de
horas que el consumidor puede trabajar y luego L=L0-l constituye el ocio. Si la función de utilidad
que depende de consumo y ocio es escrita u(c, L0-l)=v(c,l) el problema puede ser reescrito como:
max c,l u(c, L0-l)
pc+w(L0-l)=w L0 + m
Usando la definición L=L0-l:
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
115
maxc,L u(c,L)
tal que pc+wL=w L0 +m
Este problema es formalmente del mismo tipo que los analizados hasta ahora, donde el
consumidor vende su dotación de trabajo y luego recompra una parte como ocio.
La ecuación de Slutsky es entonces:
dL(w,p,m)
∂L(p,w,u)
∂L(p,w,m)
────── = ────── + ─────── (L0 – L).
dw
∂w
∂m
El término entre paréntesis es siempre no negativo (disponibilidad total de tiempo menos ocio).
Luego la derivada de la demanda de ocio con respecto al salario es la suma de un número
negativo y de otro positivo. Un aumento del salario puede conducir a un incremento o a un
decrecimiento de la cantidad ofrecida de trabajo. ¿Por qué? Porque un aumento del salario hace
que el trabajador tenga más dinero, y ello puede aumentar su demanda de ocio.
11. Funciones de utilidad homogéneas y homotéticas
Se define a una función f:Rn→R como homogénea de 1er grado si y sólo si f(tx)=tf(x) para todo
t>0. Una función es homogénea de grado k>0 si y sólo si f(tx)=tk f(x).
Una función es homotética si y sólo si f(x)=g(h(x)) siendo g una función estrictamente creciente
(g’(.)>0) y h es homogénea de grado 1.
Luego, una función homotética es una transformación creciente de una función homogénea. Como
las funciones de utilidad están definidas hasta una transformada creciente, suponer que las
preferencias pueden ser representadas por una función homotética es equivalente a suponer que
pueden ser representadas por una función homogénea de grado 1. Puede demostrarse entonces
el siguiente teorema:
Funciones de utilidad homotéticas implican funciones de demanda lineales en el ingreso.
Dem) 1) Recordemos que una función de utilidad homotética puede ser considerada sin pérdida
de generalidad como una función homogénea de 1er grado en sus argumentos.
2) Si la función de utilidad es homogénea de grado 1, la función de gasto del consumidor puede
ser escrita e(p, u*)= u* e(p,1) con u(x)≥u(x*)=u*.
3) A su vez, este resultado implica que la función de utilidad indirecta es del tipo
v(p,m) = v(p)m
4) Por la identidad de Roy, las funciones de demanda serán del tipo
xi(p,m)= xi(p) m.
O sea, las funciones de demanda resultarán lineales en el ingreso (QED).
12. Agregación de bienes
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
116
Un problema típico que se plantea en economía es la reducción del número de dimensiones. Por
ejemplo, tratar de construir un índice de cantidad escalar X=g(x) y un índice escalar de precios
P=f(p). ¿Bajo qué condiciones encontraremos agregaciones de precios y cantidades que nos
proporcionen el mismo comportamiento que los precios y cantidades ordinarios?
Hay dos condiciones conocidas en la literatura: la separabilidad Hicksiana y la separabilidad
funcional. Su tratamiento es el siguiente.
Separabilidad Hicksiana En este caso, el vector p siempre es proporcional a un vector base fijo p0
de tal manera que p=tp0. Es decir, cierta categoría de bienes, por ejemplo los alimentos, tienen
precios que se mueven siempre hacia arriba o hacia abajo en la misma proporción.
Vamos a tratar el caso de dos bienes, uno de ellos resultante de una agregación. Por
consiguiente, el problema de maximización sería:
max x,z u(x, z)
tal que px+qz=m
Si los precios relativos de los bienes x permanecen constantes, se tendrá p=Pp0. Definimos los
índices de precio y de cantidad para los bienes-x mediante:
P=t
X=p0x.
Con estos índices, la función de utilidad indirecta resultante es:
V(P,q,m)= maxx,z u(x, z)
tal que Pp0x + qz = m.
La función de utilidad indirecta tiene las propiedades habituales (cuasiconvexidad, homogeneidad
en precios e ingreso, etc.). Aplicando el teorema de la envolvente se puede recuperar la función
de demanda de los bienes-x mediante la identidad de Roy:
X(P,q,m) = - (∂V(P,q,m)/∂P) /(∂V(P,q,m)/∂m) = p0x(p,q,m).
Luego, X(P,q,m) resulta un índice adecuado de cantidad de los bienes-x: ya que obtenemos el
mismo resultado si primero sumamos los precios y luego maximizamos U(X,z) que si
maximizamos u(x,z) y luego procedemos a sumar las cantidades.
La función de utilidad directa dual de V(P,q,m) puede obtenerse como
U(X,z) =minP,q v(P,q,m)
sujeto a PX+qz=m.
Por construcción, esta función de utilidad directa tiene la propiedad de que
V(P,q,m) = maxX,z U(X,z)
tal que PX+qz=m.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
117
Los índices de precio y cantidad así construídos se comportarán como precios y cantidades
habituales. La agregación Hicksiana permite escribir la función de demanda por z (un único bien)
como
z=z(P,q,m)
La homogeneidad de grado 0 en precios e ingreso permite también escribir:
z=z(q/P,m/P)
lo que indica que la demanda de los bienes z termina siendo una función de sólo dos variables: el
precio relativo del propio bien con relación al precio agregado (q/P) y el ingreso real de los
consumidores (m/P) 18 .
Separabilidad funcional Este es el caso en que las preferencias del consumidor pueden ser
escritas como u(x,z)=U(v(x),z) con U(v,z) como una función creciente de v. A v(x) la llamaremos la
subutilidad de x. En tal caso decimos que la función U es débilmente separable. Las soluciones
óptimas serán x(p,q,m) y z(p,q,m). Llamemos mx al presupuesto óptimo gastado en los bienes x,
es decir px(p,q,m). Con una función débilmente separable, la elección óptima de los bienes x
puede hallarse resolviendo el siguiente problema de maximización de la subutilidad:
max v(x)
sujeto a px=mx.
Por lo tanto, la demanda de los bienes x dependerá solamente de sus propios precios p y del
ingreso a gastar mx. Los precios de los bienes restantes sólo serán relevantes al determinar mx..
13. Ayuda-Memoria de la Teoría de la Demanda 19
[1] Maximización de la utilidad
Maximizar u(x) sujeto a m − p · x = 0
x
[2] Minimización del gasto
Minimizar p · x sujeto a u(x) − v = 0
x
[3] Solución de [1] – Funciones ordinarias (Walrasianas) de Demanda
x*(p, m)
Maximización de la utilidad
[4] Solución de [2] – Funciones compensadas (Hicksianas) de Demanda
h(p, v)
18
Minimización del gasto
P será usualmente derivado de un índice de precios al consumidor (IPC) si los precios relativos se
mantienen inalterados.
19
V. K. C. Border, Crib Sheet on Demand Theory.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
[5] x(p,m) es homogénea de grado cero en (p,m) Maximización de la utilidad
[6] h(p, v) es homogénea de grado 1 en p
Minimización del gasto
[7] Función de Utilidad Indirecta
Maximización de la utilidad
v(p,m) = u(x*(p,m))
v es cuasi-convexa en (p,m) y homogénea de grado cero en (p,m)
[8] Función de Gasto
Minimización del gasto
e(p,v) = p h(p, v)
e es cóncava en p y homogénea de grado 1 en p.
[9] Equivalencias
x*(p,m) = h(p,v(p,m))
h(p,v) = x*(p, e(p,v))
m= e(p,v(p,m))
v=v(p,e(p,v))
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
[10] Lagrangiana
L(x,λ; p, m) = u(x) +λ (m – px)
L(x, μ; p, v) = px – μ(u(x)-v)
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
[11] Derivadas parciales con respecto a los parámetros
∂ L(x, λ; p, m)/ ∂pj= - λxj
∂ L(x, μ; p, v)/ ∂pj = xj
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
∂ L(x, λ; p, m)/ ∂m = λ
∂ L(x, μ; p, v)/ ∂v = μ
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
[12] Teorema de la envolvente
∂ v(p,m)/ ∂pj = - λ*(p,m) xj*(p,m)
∂ e(p,v)/ ∂pj = hj(p,v)
∂ v(p,m)/ ∂m = λ*(p,m)
∂ e(p,v)/ ∂pj = μ(p,v)
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
Maximización de la utilidad
Minimización del gasto
[13] Identidad de Roy
xj*(p,m) = - (∂v(p,m)/∂pj)/(∂v(p,m)/∂m)
Maximización de la utilidad
[14] Lema de Hotelling-Shephard
hj(p,v) = ∂e(p,v)/ ∂pj
[15] Ecuación de Slutsky. Derivada a partir de
h(p,v) = x*(p, e(p,v)) ➨
Minimización del gasto
118
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
119
∂hi(p,v)/∂pj = ∂xi*(p,e(p,v))/∂pj + ∂xi*(p,e(p,v))/∂m ∂e(p,m)/∂pj .
Pero ∂e(p,m)/∂pj = hj(p,v) = xj*(p, e(p,v)). Fijamos m=e(p,v) ➨
∂hi(p,v)/ ∂pj = ∂xi*(p,m)/ ∂pj + xj*(p,m). ∂xi*(p,m)/ ∂m ➨
∂xi*(p,m)/ ∂pj = ∂hi(p,v)/ ∂pj − xj*(p,m). ∂xi*(p,m)/ ∂m
en la cual v=v(p, m) y se descompone el efecto del cambio de un precio en un efecto sustitución y
un efecto ingreso.
[16] Relaciones de reciprocidad
Como ∂hi(p,v)/ ∂pj =∂2e(p,v)/∂pi∂pj y e es cóncava en p, su matriz Hessiana es semidefinida
negativa y simétrica. Por consiguiente, la matriz:
[∂xi*(p,m)/ ∂pj + xj*(p,m). ∂xi*(p,m)/ ∂m]
es semidefinida negativa y simétrica. En consecuencia, los elementos de la diagonal principal
satisfacen:
∂hi(p,v)/ ∂pi = ∂xi*(p,m)/ ∂pi + xi*(p,m). ∂xi*(p,m)/ ∂m ≤ 0,
y por lo tanto se obtienen las “inesperadas” relaciones de reciprocidad siguientes:
∂xi*(p,m)/ ∂pj+xj*(p,m) . ∂xi*(p,m)/ ∂m = ∂xj*(p,m)/ ∂pi+xi*(p,m) . ∂xj*(p,m)/ ∂m.
14. Medición del bienestar del consumidor
Hemos apreciado distintas maneras de introducir las preferencias del consumidor: la función de
utilidad directa, la función de utilidad indirecta, la función de gasto (que da lugar al llamado análisis
costo-eficiencia). Introduciremos ahora dos métricas adicionales y consideraremos el análisis
Hicksiano de las variaciones compensadora y equivalente.
Métrica Monetaria de la Función de Utilidad
Esta métrica proporciona el costo mínimo de alcanzar la utilidad de una canasta x a precios dados
p. Es decir:
m(p,x) = e(p, u(x)).
Esta métrica define el costo más bajo de adquirir canastas tan buenas como x. La métrica de la
utilidad monetaria es llamada a veces la “función de ingreso mínimo” o “función de compensación
directa”.
Métrica Monetaria de la Función de Utilidad Indirecta
Para vectores de precios p y p0 e ingreso m, la métrica monetaria de la función de utilidad
indirecta se define mediante:
μ(p,p0,m) = e(v(p0,m), p)
donde v(p0,m) es la utilidad indirecta del consumidor a precios p0 e ingreso m. Esta función define
el costo mínimo de adquirir canastas a precios p que proporcionen al menos la utilidad obtenida
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
120
cuando los precios son p0 y el ingreso es m. A veces recibe la denominación de “función de
compensación indirecta”.
Variaciones Compensadora y Equivalente
Medidas Ideales de Cambio del Bienestar Consideremos dos situaciones del “mundo”. En la
primera (el status quo) el consumidor enfrenta precios p0 y dispone de un ingreso m0. En la
segunda situación, el consumidor advierte que los precios han pasado a ser pj y tiene un ingreso
mj. El consumidor obtendrá niveles de utilidad dados por v(p0,m0) en el estado inicial y por v(pj,mj)
en el estado j. Si todo lo que nos interesa saber es cuál estado es óptimo, esta medida es
suficiente. La utilidad es una medida ordinal de manera que el consumidor estará mejor o peor
según que v(pj,mj) sea mayor o menor que v(p0,m0). El problema de usar una medida ordinal es
1º) que no permite comparaciones entre individuos, y 2º) que no proporciona un índice de la
intensidad de satisfacción de las preferencias en v(pj,mj) versus v(p0,m0).
John R. Hicks 20 propuso dos medidas de “disposición al pago” para permitir la medición monetaria
de los cambios de bienestar.
Definición 1 (Variación Equivalente o EV) La EV se define como el monto de dinero pagado a un
individuo a precios e ingreso base que lo conduce al mismo nivel de satisfacción que el generado
por el cambio de los precios:
EV=e(p0 ,v(pj ,mj)) −e(p0,v(p0,m0)) = e(p0 ,v(pj ,mj)) − m0.
Si no hay cambio del ingreso entre ambas situaciones, como m = e(p0 ,v(p0,m))= e(pj ,v(pj,m))
podemos escribir esta expresión de la manera alternativa siguiente:
EV = e(p0,v(pj,mj)) − e(p0,v(p0,m0)) = e(p0,v(pj,m)) − e(p0,v(p0,m)).
La EV puede ser interpretada como un monto monetario que el consumidor aceptaría en lugar del
cambio de los precios, y resultará negativa si el cambio de precios (y del ingreso, si lo hay) lo deja
en peor situación.
Definición 2 (Variación Compensadora o CV). La CV mide el monto monetario adicional que el
consumidor necesitaría para alcanzar su nivel inicial de utilidad luego del cambio de precios (o de
un cambio de la calidad del producto, o por la introducción de nuevos bienes). Refleja los nuevos
precios y el antiguo nivel de utilidad. Se usa aplicando la función de gastos, e(p,v) de la siguiente
manera:
CV= e(pj, v(pj,mj)) −e(pj,v(p0,m0)) = mj −e(pj,v(p0,m0))
Si no hay cambio del ingreso entre ambas situaciones, como m = e(p0 ,v(p0,m))= e(pj ,v(pj,m)) es
posible escribir estas expresiones de la manera alternativa siguiente:
EV = e(p0,v(pj,m)) − m
CV = e(pj, v(pj,m)) −e(pj,v(p0,m)) = m −e(pj,v(p0,m)).
20
Hicks, J. R. “The Rehabilitation of Consumers’ Surplus”, Review of Economic Studies 8, 1941, y “The Four
Consumers’ Surpluses”, Review of Economic Studies 11, 1943.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
121
La CV es el negativo del monto que un consumidor estaría exactamente dispuesto a aceptar de un
planificador que permitiera que el cambio de precios tuviera lugar. Como la compensación tiene
lugar a los precios expost, en su cálculo se utilizan los precios después del cambio.
Análisis gráfico A ingreso y precios (m, p0) la canasta óptima es x(m,p0) en la curva de
indiferencia U0. Al caer el precio del bien 1, la recta de presupuesto rota hacia afuera y el
consumidor se desplaza al punto x(m,p1) en la curva de indiferencia U1 (v. gráfico siguiente). La
CV mide el monto de ingreso que debe quitarse al consumidor a los nuevos precios, más bajos,
para que permanezca en el viejo nivel de utilidad. Se ubica en el punto x(m-CV,p1). CV viene dada
por la distancia vertical entre las dos rectas de presupuesto a lo largo del eje vertical.
En la segunda figura, a ingreso y precios (m,p0) la canasta óptima está en x(m,p0) en la curva de
indiferencia U0. Al caer el precio del bien 1, la recta de presupuesto rota hacia afuera y el
consumidor se desplaza al punto x(m,p1) sobre la curva de indiferencia U1. La EV mide el monto
de ingreso que debe ser dado al consumidor a los viejos precios, más altos, para que alcance el
nuevo nivel de utilidad a los viejos precios. El consumidor, a los precios viejos más elevados y con
el mayor ingreso, se ubicará en x(m+EV,p0). EV viene dada por la distancia vertical entre las dos
rectas de presupuesto a lo largo del eje vertical.
Relación con las curvas de demanda Hicksianas
Por el lema de Shephard hemos visto que
hi (p,v)=∂e(p,v)/∂pi (i=1, ..., L).
En este lema, hi(..) es la función de demanda Hicksiana del bien i. Depende del nivel de utilidad y
de los precios de todos los bienes. Sea una situación en la que cambia el i-ésimo precio y
escribamos hi(p,v) =hi(pi,p-i’,v) donde p-i’ representa a todos los precios excepto pi. La variación
equivalente de un cambio del precio i-ésimo de pi0 a pi1 se define como:
EV=e(pi0,p-I,v(m,pi1,p-I)-e(pi0,p-I,v(m,pi0,p-I)) = e(pi0,p-I,v(m,pi1,p-I)-e(pi0,p-I,v(m,pi1,p-I))
x2
U0
U1
CV
0
x(m,p1)
x(m,p )
x(m-CV,p1)
x1
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
x2
U0
122
U1
EV
x(m,p0)
x(m+EV,p0)
x(m,p1)
x1
En términos de una integral de línea, EV no es otra cosa que:
pi0
∫ h (p ,p ,v(p ,p ,m))dp
i
i
-I
’
1
i
’
-I
i
pi1
Por consiguiente, el cambio de excedente del consumidor medido por EV puede ser representado
por el área que yace entre pi0 y pi1 y hacia la izquierda de la curva de demanda Hicksiana del bien
i asociada con el nuevo nivel de utilidad v(pi1,p-I,m). La notación p-i indica a los otros precios ≠pi.
En forma similar,
pi0
∫ h (p ,p ,v(p ,p ,m))dp
i
i
-I
’
0
i
’
-I
i
pi1
representa la CV asociada con la curva de demanda Hicksiana del bien i vinculada con el nivel
inicial de utilidad v(pi0,p’-I,m).
Teorema Para un bien normal, con el cambio de un único precio, EV>CV en el caso de descenso
del precio y EV<CV para un incremento del precio. Esta relación cambia de dirección si el bien en
cuestión es inferior. Si el bien no registra efecto-riqueza, EV=CV.
Excedente del Consumidor
Si xi(p, m) es la función de demanda Marshalliana del bien i-ésimo, consideremos ahora un
cambio desde pi0 a pi1. El área a la izquierda de la curva ordinaria de demanda del bien i-ésimo es
llamada el excedente del consumidor siguiendo a Alfred Marshall 21 . El pensamiento de Marshall
es tributario de los trabajos de Jules Dupuit – ingeniero, matemático y economista francés. Dupuit
trabajó como ingeniero al servicio del gobierno de su país. Al intentar solucionar los problemas
21
A. Marshall, Principles of Economics, 9th Edition, New York: 1961.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
123
que plantea la política de precios de los ferrocarriles y otros servicios públicos, desarrolló un
pensamiento económico original que lo hace precursor del marginalismo.
Las cuestiones ingenieriles lo llevaron al campo de la economía, donde fue un
autodidacta. Su artículo de 1844 De la Mesure de l’Utilité des Travaux Publics
(Annales des Ponts et Chaussées, 2d. Series, Vol. 8) (reimpreso en K.J. Arrow
and T. Scitovsky, Readings in Welfare Economics, 1969; transl. R.H. Barback)
se ocupaba de decidir cuál debía ser el peaje óptimo de un puente. Aquí
introdujo su curva de utilidad marginal decreciente. A medida que aumenta el
consumo de un bien, la utilidad marginal de ese bien declina para el usuario.
Luego a peajes más reducidos (a más baja utilidad marginal), más gente usará
el puente (mayor consumo). Recíprocamente, cuando aumenta la cantidad
(más gente utilizando el puente), la disposición a pagar por ese bien mostrará
una declinación. Esto significa que el concepto de utilidad marginal decreciente
debería traducirse en una curva de demanda de pendiente negativa. De esta
manera, identificó a la curva de demanda con una curva de utilidad marginal,
Arsène Jules Étienne J.
Dupuit (1804-1866)
que fue la primera vez que un economista ofrecía una teoría de la demanda
derivada de la utilidad marginal, demostrando su afirmación. La lógica de Dupuit
presentaba ciertos puntos débiles, empero, porque la utilidad marginal es particular de un individuo mientras
que la demanda de mercado es un concepto agregado. Tampoco dibujó una curva de oferta y, por
consiguiente, no obtuvo una determinación genuina del precio. Dupuit también definió el concepto de
“utilidad relativa” como el área por debajo de la curva de demanda/utilidad marginal y por encima del precio
y la utilizó como una medida de los efectos de bienestar de distintos precios – llegando a la conclusión de
que el bienestar público es maximizado cuando el precio (o peaje) es cero. Ésta fue conocida más tarde
como el “excedente del consumidor” de Marshall.
Matemáticamente el excedente del consumidor viene dado por la expresión:
pi0
∫ x (p ,p ,m)dp .
i
i
-I
’
i
1
pi
Equivalencia entre Excedente del Consumidor y Variaciones Compensadora y Equivalente
No es difícil demostrar que si las preferencias del consumidor son cuasilineales del tipo x0+u(x1),
en el sentido de que la función de utilidad indirecta del consumidor adopta la forma cuasilineal 22 :
v(p,m) = g(p)+m
el excedente del consumidor será igual a la VE, que a su vez se igualará a la CV.
En efecto, como la función inversa de demanda del bien i viene dada por pi(xi)=u’(xi) la utilidad
asociada con un nivel dado de consumo de i puede ser recuperada de la función inversa de
demanda mediante una simple integración:
x1
x1
u(x1) – u(0) =
22
∫
0
u’(t) dt =
∫
0
p1(t) dt.
Las funciones de utilidad cuasilineales son lineales con respecto a uno de sus argumentos (en general el
bien numerario). Por ejemplo, podrían adoptar la forma U(x,y) = u(x) + by, donde b es una constante
positiva. Por lo tanto, si u'(x)>0 y u''(x)<0, las curvas de indiferencia son paralelas. Como se supone que en
general las funciones de utilidad son ordinales, se puede suponer sin pérdida de generalidad que b = 1.
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
124
Representación gráfica del excedente del consumidor según Friedman. El triángulo sombreado es el EC de
comprar palomitas de maíz a $1/caja. El área coloreada ABEDC es el incremento de EC si el precio
baja de $1/caja a $0.50/caja.
La utilidad total de consumir x1 consistirá de la utilidad de consumir el bien 1, más la utilidad de
consumir el bien 0 de la función de utilidad cuasilineal x0+u(x1):
x1
u(x1(p1)) + m – p1x1(p1)=
∫
0
p1(t) dt + m – p1x1(p1).
Si se deja de lado a la constante m, la expresión del segundo miembro es el área debajo de la
curva de demanda del bien 1 menos el gasto realizado en el bien 1. En forma alternativa, es el
área a la izquierda de la curva de demanda. Podemos visualizar este resultado utilizando también
la función de utilidad indirecta v(p1)+m. Por la identidad de Roy, x1(p1) = − v’(p1). Integrando,
∞
v(p1)+m =
∫
p1
x1(t) dt + m.
O sea, se trata del área hacia la izquierda de la curva de demanda hasta abajo, al precio p1. Si el
bien i es normal, el excedente Marshalliano sobre-estimará la variación compensadora y
subestimará la variación equivalente, tanto para aumentos como para disminuciones de pi. Si el
bien i-ésimo es inferior, el excedente Marshalliano subestimará la variación compensadora y
sobre-estimará la variación equivalente, tanto para aumentos como para disminuciones de pi. Si
los efectos riqueza sobre el bien son despreciables, el excedente Marshalliano será una buena
aproximación de ambas mediciones.
Hemos visto previamente la definición de la métrica monetaria de la función de utilidad indirecta
e(v(p0,m), p). Con esta métrica evaluada a dos niveles de precio diferentes podemos obtener una
medición de las variaciones compensadora y equivalente que nos permitirá apreciar gráficamente
la aproximación implícita del excedente del consumidor de Marshall. En la figura siguiente, éste es
IV. Consumidores: Demanda, Ecuación de Slutsky y Medición del Bienestar
125
Acotación del Excedente del Consumidor (Extraído de R. Willig)
igual al área p11aep10 . Si el bien es normal, CV viene
representada por el área p11bep10 y EV por p11afp10. En
ausencia
de
efecto-riqueza,
el
excedente
del
consumidor=CV=EV. Esta es la aproximación sugerida por
Willig 23 que formaliza así la idea de que la no-constancia de
la utilidad marginal del ingreso no es muy relevante
desarrollando cotas al excedente del consumidor que lo
vinculan directamente con las variaciones compensadora y
equivalente basadas en elasticidades-precio e ingreso.
Obtiene las cotas suponiendo que las funciones
Marshallianas de demanda son generadas por consumidores
que maximizan su utilidad y usa la métrica de la función de
utilidad indirecta, para desarrollar una relación aproximada
entre el excedente del consumidor, CV y EV. Cabe añadir que
aunque el error de aproximación sea pequeño para bienes
individuales, al considerarse un amplio número de bienes el
error agregado puede ser grande. Hausman 24 también ha
puntualizado que, aunque el error de aproximación sea
pequeño, puede no serlo como porcentaje de la pérdida de peso muerto.
23
Robert D. Willig
R. Willig, “Consumer’s Surplus Without Apolog”, The American Economic Review, Vol. 66, Nº 4 (Sep.
1976).
24
J.A. Hausman, “Exact Consumer’s Surplus and Deadweight Loss”, The American Economic Review 71
(1981).