Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Sistemas con más incógnitas que ecuaciones.
Comenzamos analizando un sistema homogéneo con n incógnitas y
m ecuaciones, tal que m < n, es decir un sistema homogéneo con
más incógnitas que ecuaciones:
 a11x 1



a m1x 1
  
a1m x m
  
a1n x n
 0
   a mn x n
 0

   a mm x m
Veremos que todo sistema de este tipo tiene infinitas soluciones,
para lo cual basta mostrar una solución no trivial de un tal sistema,
porque cualquiera de los infinitos múltiplos de ésta también es
solución del sistema en cuestión.
La matriz asociada de este sistema:
 a11

A=  

a
 m1
 a1m


 a mm
 a1n 

  

 a mn 
es “oblonga” (más larga que ancha) y su forma escalonada reducida
es la matriz Rmxn.
Si R tiene una columna nula, digamos la k – ésima, entonces el
vector columna nx1:
0
 

 
 1
 

 
0
Con un uno en su coordenada k y ceros en el resto, es una solución
no trivial del sistema que estudiamos.
Si R no tiene columnas nulas, entonces es de la forma:
1



0
R= 
0


0

 0 b11  b1k 

 
   

 1 b s1  b sk 
 0
 
 0
0

0



0

0






En este caso el vector columna nx1
  b 1k 


  


  b sk 


 0 


  
 1 


es una solución no trivial al sistema homogéneo.
Una vez establecido que todo sistema homogéneo con más
incógnitas que ecuaciones tiene infinitas soluciones, sólo resta
estudiar los sistemas no homogéneos con más incógnitas que
ecuaciones.
Considere el sistema no homogéneo: (1) Ax = b con más
incógnitas que ecuaciones, es decir; A tiene más columnas: n, que
filas: m y sea (2) Ax = 0 su sistema homogéneo asociado.
Como vimos, el sistema (2) tiene infinitas soluciones. Ahora bien, el
sistema (1) podría ser inconsistente, sin soluciones, pero si es
consistente, entonces su solución general se expresa como la suma
de una solución particular del mismo más la solución general del
sistema homogéneo, de donde tiene infinitas soluciones.
En la siguiente tabla resumimos las posibles situaciones para
sistemas con más incógnitas que ecuaciones:
Tabla para sistemas con más incógnitas que ecuaciones
Tipo de sistema
Conjunto de soluciones
Homogéneo
Infinitas soluciones
consistente
Infinitas soluciones
No homogéneo
inconsistente Vacío
Falta ilustrar con ejemplos cada uno de los casos presentados, para
lo cual se invita al estudiante a revisar el siguiente material, en donde
encontrará los ejemplos ilustrativos de cada caso.