HOJA 2 Sistemas soluciones

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
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HOJA 2 (Sistemas de ecuaciones) - SOLUCIONES
1) Se han resuelto aquí usando la forma reducida de la matriz (método de Gauss-Jordan).
También sería válido simplemente con la forma escalonada (método de Gauss)
⎛ 1 0 0 ⎞
⎛ 1 3 −2 ⎞
⎜
⎟
A) La matriz ampliada del sistema es A*= ⎜
,
forma
reducida:
⎟
⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 4 6 1 ⎟
⎝ 0 0 1 ⎠
⎝ 9 −1 0 ⎠
En ella se aprecia que rg(A) = 2, rg(A*) = 3 → S.Incompatible.
B)
⎛ 2 3 2 1 ⎞ ⎛ 1 0 −2 −4 ⎞
rg(B) = 2, rg(B*) = 2,
→
⎟
⎜
⎟ ⎜
3 ⎠
⎝ −1 1 4 7 ⎠ ⎝ 0 1 2
nº incóg. = 3
→
S.C.I.
Incógnitas principales (pivotales): x, y. Parámetros: z=α.
Pasando los parámetros al segundo miembro y despejando las incógnitas principales se obtiene
x = −4+2 α, y = 3−2α. Así, la solución general es: ( −4+2 α, 3−2α, α )
Se puede comprobar que se verifica el sistema con una solución particular, por ejemplo (–4, 3, 0).
⎛ 3 −1 2 4 6 ⎞
C) ⎜ −2 1 3 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 1 8 −2 8 ⎠
⎛ 1 0 5 1 7 ⎞
→ ⎜ 0 1 13 −1 15 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠
rg(C) = 2, rg(C*) = 2, nº incóg. = 4 → S.C.I.
Incógnitas principales: x1, x2. Parámetros: x3 = α, x4 = β. Solución general: ( 7−5α−β, 15−13α+β , α, β)
Se puede comprobar con una solución particular, por ejemplo (7, 15, 0 ,0) , o bien ( 1, 3, 1, 1), etc.
⎛ 1 3 −2 ⎞
D) ⎜ 4 6 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 7 9 4 ⎠
⎛ 1 0
⎜
→⎜ 0 1
⎜
⎝ 0 0
⎞
⎟
⎟ rg(D) = 2, rg(D*) = 2, nº incóg. = 2
⎟
0 ⎠
5
2
−3
2
→ S.C.D. Solución: ( 5 , −3 )
2
2
Se puede comprobar que esta solución verifica el sistema.
⎛ 1
3 0 ⎞
⎟
6 0 ⎟
⎝ 9 −1 0 ⎠
E) ⎜ 4
⎜
⎛ 1 0 0 ⎞
⎟ rg(E) = 2, rg(E *) = 2, nº incóg. = 2 → S.C.D ,
⎜ 0 1 0 ⎟
⎝ 0 0 0 ⎠
→⎜
y es homogéneo, por tanto su solución única es (0, 0).
F)
⎛ 2 3 2 0 ⎞ ⎛ 1 0 −2 0 ⎞
rg(B) = 2, rg(B*) = 2,
→
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎝ −1 1 4 0 ⎠ ⎝ 0 1 2 0 ⎠
nº incóg. = 3
→
S.C.I.
Incógnitas principales (pivotales): x, y. Parámetros: z=α. Solución general: ( 2 α, –2α, α )
Se puede comprobar que se verifica el sistema con una solución particular, por ejemplo (2, –2, 1).
2) Relación entre los sistemas B y F: El sistema F es el sistema homogéneo asociado a B.
La solución de F se obtiene a partir de la solución de B, eliminando los términos independientes:
Solución de B = ( −4+2 α, 3−2α, α ) −−> Solución de F = ( 2 α, –2α, α )
También, la solución de B se puede obtener a partir de la solución de F, sumándole una solución particular:
si por ejemplo disponemos de la solución particular ( −4, 3, 0 ) para B, entonces:
( −4, 3, 0 )
+
( 2 α, 2α, α ) = ( −4+2 α, 3−2α, α )
Sol. partic. de B + Sol. general de F =
Sol. general de B
⎛ a
2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ c
3) a) Efectuando los productos ⎛ 1
b ⎞
⎟
d ⎠
y ⎛ a b ⎞⎛ 1
2 ⎞,
⎜
⎟
⎝ c d ⎠ ⎜⎝ −1 −1 ⎟⎠
e igualando ambos resultados,
⎧ a + 2c = a − b ⎫
⎧
b + 2c = 0
⎪
⎪
⎪
se obtienen las ecuaciones ⎪ b + 2d = 2a − b ⎪ , es decir ⎪ −2a + 2b + 2d = 0
⎨
⎬
⎨
⎪ −a − c = c − d ⎪
⎪ −a − 2c + d = 0
⎪⎩ −b − d = 2c − d ⎪⎭
⎪⎩
−b − 2c = 0
que es un sistema de ecuaciones en las incógnitas a, b, c, d .
⎛ 0 1 2 0
En forma matricial: ⎜ −2 2 0 2
⎜
⎜ −1 0 −2 1
⎜⎝ 0 −1 −2 0
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎠ ⎜⎝
a
b
c
d
⎞ ⎛ 0
⎟ ⎜
⎟ =⎜ 0
⎟ ⎜ 0
⎟⎠ ⎜⎝ 0
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
⎛ 0 1 2 0
⎞
⎟ , la matriz ampliada es ⎜ −2 2 0 2
⎜
⎟
⎜ −1 0 −2 1
⎟
⎜⎝ 0 −1 −2 0
⎟⎠
⎛ 1
Escalonando dicha matriz ampliada se obtiene ⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜⎝ 0
0
1
0
0
0
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
2 −1 0 ⎞
⎟
2 0 0 ⎟
0 0 0 ⎟
0 0 0 ⎟⎠
Así rg(A) = 2 = rg(A*) , es un SCI, con incógnitas principales (pivotales) a,
b , parámetros c, d.
Pasando los parámetros al segundo miembro y despejando las incógnitas principales:
⎧⎪ a = −2c + d
⎨
⎩⎪ b = −2c
⎫⎪
⎬
⎭⎪
Solución:
a = –2c+d
b = –2c
c=c
d=d
y por tanto todas las matrices buscadas son de la forma
⎛ −2c + d −2c ⎞
.
⎜
⎟
c
d ⎠
⎝
Se puede comprobar con una de ellas, por ejemplo ⎛ −2 −6 ⎞ viendo que ⎛ 1
⎜
⎝ 3
⎟
4 ⎠
⎛ a b c ⎞
b) Buscamos las matrices ⎜ d e f ⎟ que cumplan:
⎜
⎟
⎜⎝ g h i ⎟⎠
Si consideramos las incógnitas en su orden alfabético
es:
2 ⎞ ⎛ −2 −6 ⎞ = ⎛ −2 −6 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ −1 −1 ⎠
⎧ a +d+g =1
⎪
⎨ b+e+ h =1
⎪ c+f +i=1
⎩
⎫
⎪
⎬ , sistema con 9 incógnitas.
⎪
⎭
a, b, c, d, e, f, g, h, i, el sistema en forma matricial
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
1 0 0 1 0 0 1 0 0 ⎞⎜
⎜
0 1 0 0 1 0 0 1 0 ⎟⎟ ⎜
0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎠⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟ ⎛ 1
⎟ ⎜
⎟ =⎜ 1
⎟ ⎝ 1
⎟
⎟
h ⎟
i ⎟⎠
a
b
c
d
e
f
g
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎞
y la matriz ampliada es ⎜ 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 ⎟ , que ya está escalonada.
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 ⎠
Incógnitas principales: a,
b, c. Parámetros: d, e, f, g, h, i.
Pasando los parámetros al segundo miembro, y despejando las incógnitas principales
⎧ a = 1− d − g
⎪
resulta ⎨ b = 1 − e − h
⎪ c = 1− f − i
⎩
a, b, c,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛ 1− d − g 1− e − h 1− f − i
Con lo cual todas las matrices buscadas son de la forma ⎜
d
e
f
⎜
⎜⎝
g
h
i
⎞
⎟.
⎟
⎟⎠
⎛ −2 −4 −6 ⎞
Se puede comprobar con una de ellas, p.ej. para d=0, e=1, f=2, g=3, h=4, i=5 se obtiene ⎜
⎟
⎜ 0 1 2 ⎟
⎝ 3 4 5 ⎠
que cumple el requisito pedido en el enunciado.
⎛
⎜
4) Al escalonar la matriz ampliada del sistema se obtiene ⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
2
5
0
0
0
1
m +1
0
⎞
⎟
⎟ , por tanto:
⎟
⎟⎠
Si m ≠ –1: rg(A) = 2, rg(A*) = 3, sistema incompatible.
Si m = –1: rg(A) = 2, rg(A*) = 2, nº incóg. = 2 → S.C.D.
⎛ 1
⎜ 0
⎜ 0
⎜ 0
⎝
Lo resolvemos en este caso: ⎜
2
5
0
0
0
1
0
0
⎞
−2 ,
⎟ → solución (
⎟
5
⎟
⎟⎠
)
5) Al ser cuadrada la matriz de coeficientes, se puede calcular el determinante: det(A)=
1 −1 −2
3 b −2 = 4b – 8
1 4 2
Además, por ser un sistema homogéneo, rg(A*) será el mismo que rg(A), ya que la columna de ceros no aporta
ningún pivote. Así pues, esto ya permite clasificar el sistema.
Si b≠2, se tiene det(A) ≠0 y por tanto rg(A)=3, rg(A*) = 3, nº incóg = 3.
Por tanto en este caso es SCD, y sólo tiene la solución trivial (0,0,0).
Si b=2, se tiene det(A)=0 y por tanto rg(A) = 2, rg(A*) = 2, nº incóg = 3
En este caso es S.C.I. Además de la solución trivial (0,0,0), hay infinitas soluciones no triviales.
Por tanto el valor de b pedido, para que haya soluciones no triviales, es b=2.
Resolvámoslo en ese caso.
⎛ 1 −1 −2 0
Para b=2 la matriz ampliada del sistema es ⎜ 3 2 −2 0
⎜
⎝ 1 4 2 0
⎞
⎟ . su forma reducida es
⎟
⎠
⎛ 1 0
⎜
⎜ 0 1
⎜
⎝ 0 0
para resolver por Gauss-Jordan. Incógnitas principales: x, y. Parámetro: z = α. Solución: (
6) La matriz de coeficientes es C=
0 ⎞
⎟
0 ⎟ ,
⎟
0 ⎠
−6
5
4
5
0
α, −4 α , α )
5
⎛
⎛ 3 − k −1 ⎞
−1 0 ⎞
, matriz ampliada 3 − k
⎜
⎟
⎜
⎟
2−k 0 ⎠
2−k ⎠
⎝ 0
⎝ 0
Al igual que en el ejercicio anterior, calcular det(C) es suficiente para clasificar este sistema homogéneo.
det(C) = 3 − k −1
0
2−k
=(3−k) (2−k ) [observar que se trata del polinomio característico de A, que aparece factorizado]
Se observa que det(C) se anula cuando k =3 ó k =2. Así pues, en estos casos:
Si k =3 ó k =2. det(C) = 0 → el rango de C no es máximo, por tanto será rg(C)=1.
Al ser un sistema homogéneo, también será rg(C*) = 1. El número de incógnitas es 1.
Por tanto en estos casos es SCI. Además de la solución trivial (0,0), existen infinitas soluciones no triviales.
Los valores pedidos de k, para que haya soluciones no triviales, son k=2, k=3.
Resolvámoslo en estos casos.
k =2
La matriz ampliada es ⎛ 1 −1 0 ⎞ , ya está escalonada. Incógnita principal (pivotal) x, parámetro y=α.
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 ⎠
La ecuación es x–y = 0 .
Pasando el parámetro al segundo miembro y despejando la incógnita principal, resulta x= α.
Solución: (α, α).
Comprobar que se verifican las igualdades del sistema para una solución particular, por ejemplo (1,1).
k =3
La matriz ampliada es ⎛ 0 −1 0 ⎞ , escalonando → ⎛ 0 −1 0 ⎞ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 0 −1 0 ⎠
⎝ 0 0 0 ⎠
Incógnita principal (pivotal) y, parámetro x=β.
La ecuación es –y = 0 . Despejando la incógnita principal: y=0.
Solución: (β, 0).
Comprobar que se verifican las igualdades del sistema para una solución particular, por ejemplo (2,0).
Lo resolvemos en los demás casos (k ≠3 y k ≠2)
En estos casos se tiene: det(C) ≠ 0, por tanto rg(C) = 2 = rg(C*)
Es un SCD, homogéneo, y por tanto sólo tiene la sol. trivial (0,0).