IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2014
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Serie 3
1 a
1. Considere la matriz para M = 1 a + 1
1 a − 1
a2
(a + 1)2 , para a ∈ ℝ.
(a − 1)2
a) Calcular el rango de la matriz M en función de los valores del parámetro a. [1 punto]
x 1
b) Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales M . y = 1 según los valores del parámetro a. [1
z 1
punto]
a)
1 a
a2 1 a
a2
a2
1 a
(a + 1)2 − a 2 ≡ 0 1 2a + 1 ≡ 0 1 2a + 1 ⇒ M = 0 1 2a + 1 = 2
(a − 1)2 − a 2 0 − 1 − 2a + 1 0 0 2
0 0
2
∀a ∈ ℜ ⇒ A = 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3
1 a
M = 0 1
0 −1
a2
b)
1 a
A = 1 a +1
1 a −1
a2
(a + 1)2
(a − 1)2
1 a
=0 1
0 −1
a2
(a + 1)2 − a 2
(a − 1)2 − a 2
= 1⋅
1
2a + 1
= −2a + 1 + 2a + 1 = 2 ≠ 0 ⇒
− 1 − 2a + 1
∀a ∈ ℜ ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
1
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
2. Considere el punto A = (1 , 2 , 3).
a) Calcular el punto simétrico del punto A respecto de la recta de ecuación
r: (x, y, z) = (3 + λ, 1 , 3 - λ). [1 punto]
b) Calcular el punto simétrico del punto A respecto del plano que tiene por ecuación π : x + y + z = 3 [1
punto]
a) Hallaremos un plano α que contenga al punto A y sea perpendicular a la recta r, cuyo vector director es
el del plano que es perpendicular al vector AG, en donde G es el punto genérico del plano, y, por ello, el
producto escalar, de ambos, nulo y la ecuación pedida del plano.
Calcularemos el punto de corte Q de la recta y el plano α que es el punto medio de A y su simétrico A’
respecto a la recta.
v r = (1 , 0 , − 1)
⇒ v r ⊥ AG ⇒ v r ⋅ AG = 0 ⇒
AG = (x , y , z ) − (1 , 2 , 3) = (x − 1 , y − 2 , z − 3)
(1 , 0 , − 1) (x − 1 , y − 2 , z − 3) = 0 ⇒ x − 1 − z + 3 = 0 ⇒ α ≡ x − z + 2 = 0
x = 3 + λ
x = 3 + (− 1) = 2
r ≡ y = 1 ⇒ 3 + λ − (3 − λ ) + 2 = 0 ⇒ 5 + λ − 3 + λ = 0 ⇒ 2λ = −2 ⇒ λ = −1 ⇒ Q
y =1
z = 3 − λ
z = 3 − (− 1) = 4
1 + x A'
2
=
⇒ 1 + x A' = 4 ⇒ x A' = 3
2
2 + y
A'
⇒ 2 + y A' = 2 ⇒ y A' = 0 ⇒ A' (3 , 0 , 5)
1 =
2
4 = 3 + z A' ⇒ 3 + z = 8 ⇒ z = 5
A'
A'
2
b) Determinaremos una recta s que pase por el punto A y que sea perpendicular al plano π por lo que el
vector director de ella es el vector director del plano. El punto T de intersección de la recta buscada con el
plano π es el punto medio entre A y su simétrico A’’
x = 1+η
v s = vπ = (1 , 1 , 1) ⇒ s ≡ y = 2 + η ⇒ 1 + η + 2 + η + 3 + η = 3 ⇒ 3η + 6 = 3 ⇒ 3η = −3 ⇒ η = −1
z = 3 +η
1 + x A ''
0=
⇒ 1 + x A'' = 0 ⇒ x A' = −1
2
x = 1 + (− 1) = 0
2 + y A ''
⇒ 1 + y A'' = 2 ⇒ y A' = 1 ⇒ A' ' (− 1 , 1 , 1)
T y = 2 + (− 1) = 1 ⇒ 1 =
2
z = 3 + (− 1) = 2
2 = 3 + z A '' ⇒ 3 + z = 4 ⇒ z = 1
A ''
A'
2
2
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
3. Un nadador está en el mar en un punto N, situado a 3 km de una playa recta, y justo en frente de un
punto S, situado en la playa junto al agua; y quiere ir a un punto A, situado también junto al agua ya 6
km del punto S, de modo que el triángulo NSA es rectángulo en el vértice S. El nadador nada a una
velocidad constante de 3 km / h y camina a una velocidad constante de 5 km / h.
a) Si P es un punto entre el punto S y el punto A que está a una distancia x de S, demostrar que el
tiempo, en horas, que necesita el nadador para nadar el punto N al punto P y caminar desde el punto P
x2 + 9 6 − x
[1 punto]
+
3
5
t (x ) =
hasta el punto A es determinado por la expresión
b) Calcular el valor de x que determina el tiempo mínimo necesario para ir del punto N al
punto A, pasando por P. ¿Cuál es el valor de este tiempo mínimo? [1 punto]
3 Km
N
P
S
A
X
6 Km
a)
2
NP
2
2
2
=
NP = 3 + x ⇒ NP = x + 9 ⇒ t natación =
espacio
3
⇒
tiempo =
velocidad
NP 6 − x
PA = 6 − x ⇒ t ca min ar =
=
5
5
t ( x ) = t natación + t ca min ar =
x2 + 9
3
⇒
x2 + 9 6 − x
+
3
5
b)
x
1
2x
1
1 5x − 3 x 2 + 9
5x − 3 x 2 + 9
t ' (x ) = ⋅
− =
− =
⇒ t ' (x ) = 0 ⇒
=0⇒
3 2 x2 + 9 5 3 x2 + 9 5
3 x2 + 9
3 x2 + 9
(
)
5 x − 3 x 2 + 9 = 0 ⇒ 5 x = 3 x 2 + 9 ⇒ 25 x 2 = 9 x 2 + 9 ⇒ 25 x 2 = 9 x 2 + 81 ⇒ 16 x 2 = 81 ⇒
9
x=
81
81
4
⇒x=±
⇒
x =
9
16
16
x = − ⇒ No es solución
4
x2 + 9 − x2
2x
x2 + 9 −
x
1
1
1
9
3
x2 + 9
2 x2 + 9
t ' ' (x ) = ⋅
=
⋅
= ⋅
=
2
2
2
2
2
3
3
3 x +9 x +9
x +9
x +9
x + 9 x2 + 9
3
9
t ' ' (x ) =
> 0 ⇒ Mínimo ⇒ x = Km
4
9 2
9 2
+
9
9
+
4
4
2
(
)
(
)
3
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Continuación
b)Continuación
2
9
81
15
+9 6− 9
+9
4
4 = 16
t=
+
+ 4 =
3
5
3
5
225
15
3
3 5 3 8
16
+ = 4 + = + = = 2 horas
3
4
3 4 4 4 4
4. Calcular el área de la región del plano limitada en el primer cuadrante para las gráficas de las funciones y
2
2
= x , y = 4x e y = 9. [2 puntos]
x2 = 0 ⇒ x = 0
Puntos de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 2
4 x = 0 ⇒ x = 0
4x 2 = x 2 ⇒ x = 0
x=3
Puntos de corte entre funciones ⇒
x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ⇒
x = −3
3
=
x
2
9
9
2
2
⇒
4 x = 9 ⇒ x = ⇒ x = ±
3
4
4
x = −
2
3
2
3
2
3
3
2
3
3
3
[ ]
1
A = ∫ 4 x dx − ∫ x dx + ∫ 9 dx − ∫ x dx = 3∫ x dx + 9 ∫ dx − ∫ x dx = 3 ⋅ ⋅ x 3
3
3
3
3
3
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
0
[ ]
1
3
+ 9 ⋅ [x ]3 − ⋅ x 3
3
2
3
3
2
2
3
3 1
3 1
27 27 27 216 − 27
3 27
+ 9 ⋅ − ⋅ 27 − =
+
+
A = − 0 3 + 9 ⋅ 3 − − ⋅ 33 − =
2 3
2 3
8 8
2
24
2 8
2
3
A=
3
81 + 324 + 189 594 297 2
=
=
u
24
24
12
4
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3
5. Sean r y s las rectas de ℝ de ecuaciones
r:
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z +1
x−2
y
=y=
4
3
s: (x , y , z) =
(1 + 2α , 3 – α , 4 + 3α), con α ∈ ℝ.
a) Comprobar que los puntos medios de los segmentos que tienen un extremo situado sobre la
recta r y el otro extremo situado sobre la recta s forman un plano. [1 punto]
b) Encuentre la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax + By + Cz = D) del plano del apartado
anterior. [1 punto]
a) Hallaremos el vector que une los puntos generales de cada recta y utilizando los puntos de corte,
hallaremos el punto medio de cada uno
x = 2 + 3λ
3 3λ
2 + 3λ + 1 + 2α 3 + 3λ + 2α
=
+α
x= +
x=
r : y = λ
2 2
2
2
z = −1 + 4λ
λ + 3−α 3+ λ −α
3 λ α
⇒ Puntos medios ⇒
=
⇒ y= + −
y=
2 2 2
2
2
x = 1 + 2α
λ
α
λ
α
3
1
4
4
3
3
4
3
−
+
+
+
+
+
s : y = 3−α
z =
z = + 2λ + 3α
=
2
2
2
2
z = 4 + 3α
Ecuación que depende de dos parametros y un punto la ecuzción de un plano que contiene un punto
3 1
3 3 3
, , y tres vectores ⇒ v1 = , , 2 ≡ (3 , 1 , 4
2 2
2 2 2
)
1 3
v 2 = 1 , − ,
≡ (2 , − 1 , 3
2 2
)
b)
3
3
x = 2 + 3λ + 2α
x−
2
3
π ≡ y = + λ −α ⇒ π ≡ 3
2
2
3
z = + 4λ + 3α
2
y−
3
2
1
−1
z−
4
3
3
2
=0⇒
3
3
3
3
3
3
3x − +8y − −3z − −2 z − + 4 x − −9 y − = 0 ⇒
2
2
2
2
2
2
3
21 3 15
3
3
3
7 x − − y − − 5 z − = 0 ⇒ 7 x − y − 5z −
= 0 ⇒ 7 x − y − 5z − = 0 ⇒
+ +
2
2 2 2
2
2
2
π ≡ 14 x − 2 y − 10 z − 3 = 0
5
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6. Responda a las siguientes cuestiones:
2
a) Demostrar que si A es una matriz cuadrada que satisface la igualdad A = I, donde I es la
-1
1 2
matriz identidad, entonces A es invertible y A satisface (A- ) = I. [1 punto]
b) Calcular la expresión general de las matrices de la forma
2
a b
con b ≠ 0 que
A =
c 2
satisfacen la igualdad A = I. [1 punto]
a)
( )
2
2
1 1
= = 1 ⇒ A −1 = 12 = 1 ⇒ A −1 = I
A = 1 ≠ 0 ⇒ Existe A −1 ⇒ A −1 =
A 1
2
2
A2 = I ⇒ A = 1 ⇒
2
2
1
1
2
A = −1 ≠ 0 ⇒ Existe A −1 ⇒ A −1 =
=
= −1 ⇒ A −1 = (− 1) = 1 ⇒ A −1 = I
A −1
( )
b)
a
A 2 =
c
−2
A= 3
−
b
3
2
2
a + bc = 1 ⇒ (− 2 ) − 1 = −bc ⇒ c = − b
b a b a 2 + bc ab + 2b 1 0 b (a + 2 ) = 0 ⇒ a + 2 = 0 ⇒ a = −2
=
⋅
=
⇒
⇒
2 c 2 ac + 2c bc + 4 0 1
c (a + 2 ) = 0
3
bc + 4 = 1 ⇒ bc = −3 ⇒ c = −
b
b
2
6
0
