Clase Práctica 01

TÓPICOS DE MATEMÁTICA
CLASE PRÁCTICA No 1
Tema 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Competencias:

Representar e interpretar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales en R2 y R3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de Gauss y Gauss -Jordan.

Analizar el valor que debe tener un parámetro para que un sistema de ecuaciones
lineales sea: determinado, indeterminado, incompatible.

Modelar diversas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en problemas
vinculados a la ingeniería.
EJERCICIOS
1. a) Dada la ecuación
i)
3x - 4y = 12
ii) x = 2
Determine el conjunto solución en R2 e interprétela gráficamente.
b) Dada la ecuación
i) x - 2y = 4
ii) x = -3
iii) 2x -3y +z=-6
Determine el conjunto solución en R3 e interprétela gráficamente.
2. a) Muestre geométricamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no
tengan solución
b) Muestre geométricamente un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas
que sea indeterminado.
c) Muestre geométricamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que sea
indeterminado.
3. Los siguientes gráficos corresponden a un sistema de ecuaciones lineales. Clasifique cada uno
de acuerdo a su conjunto solución . Justifique.
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Coord: Julio Sánchez Espinoza
1
i)
y
ii)
o
z
x
y
x
iii)
iv)
z
y
X
y
x
4. a) Al escalonar la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se obtuvo las
siguientes matrices. Clasifique y resuelva el sistema.
1 3  2 8 


i) 0 1 2  3


0 0  1 2 
1 3 2  4 


ii) 0 0 2 0


0 0 0 0 
b) Se tiene un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1,x2 y x3 en la cuál al escalonar
su matriz aumentada, se obtuvo la siguiente matriz equivalente:
1
0

0
0
2
0
0
3
0
 1
2 
0 
i) ¿Cómo clasifica el sistema?
ii) ¿Cuál su conjunto solución?
iii) Grafique cada una de las ecuaciones resultantes finales.
5. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
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2
a)
c)
x1
3 x1
 2 x2
 2 x2
 x3
 x3


0
2
2 x1
5 x1
 x2
 6 x2
 2 x3
 3 x3


5
2
x1
 3 x2
 x3
 3
x1
3x1
 x1
 2 x2
4 x2
 6 x2
 x3
 2 x3
 x3
 2 x3
 x4
 2 x4
 x4
x1  x2
3x1  x2
b)
x1  2 x2
2
 8
1
7
d)
 x3
 2 x3
 2 x3
3x3
x1  x2
4 x1  x2
6 x1  x2
 x4
 3x4
 x4
 x4
0
7
 1
9
 x3  0
 5 x3  0
 3x3  0
6. Resolver el sistema:
x1  x2
3x1  x2
x1  2 x2
 x3
 2 x3
 2 x3
3x3
 x4
 3x4
 x4
 x4
0
7
 1
9
7. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan.
a) 2x1+ 3x2 - 4x3 + x4 = 5
x1 - x2 + 2x3 + x4 = 2
x2 - 3x3 -3x4 = -4
3x1 + 2x2- 2x3 +2x4 = 7
b) 2x1
- x4 = 3
x1 - x2
- x4 = 3
x1 + x2 + x3
= 0
2x2+ x3 + 4x4 = -2
8. Resuelva el sistema:
x1
4 x1
7 x1
10x1
 2x2
 5x 2
 8x 2
 11x 2
 3x 3
 6 x3
 9 x3
 12x 3
0
0
0
0
9. (PC1 2001-0 UPC) Para que valor (es) de  el sistema de ecuaciones lineales:
x + (2+  ) y = 1

(1-3 ) x +
4y = 3- 
I. Es indeterminado.
II. Es determinado.
III. Es incompatible.
10. Considere el sistema:
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3
2 x1
 x1
4 x1
 3x 2
 7 x2
 11x 2
 5x3  0
 x3  0
 ax3  0
¿Qué valor de “a” hará que el sistema tenga soluciones no triviales?
11. Determine los valores de a y b para que el sistema:
3x1 - 2x2 + x3 = b
5x1 - 8x2 + 9x 3 = 3
2x1 + x 2 + ax 3 = -1
i) Tenga solución única
ii) No tenga solución
iii) Tenga un número infinito de soluciones
12. Si la matriz aumentada de un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas x1,x2 y x3 es
la siguiente:
 1
 2


 3
 2
1
1
1

1
 2
1
3



a) Determine el valor o valores de  para que el sistema tenga solución única , y para cada
valor respectivo de  determine los valores de las incógnitas x1,x2 y x3 .
b) Determine el valor de  para que el sistema sea indeterminado , y encuentre el conjunto
solución respectivo del sistema.
13. Conteste las siguientes preguntas que le ayudaran a organizar este tema:
a. ¿A que se llama matriz ampliada de un sistema de ecuaciones?
b. ¿Cuáles son las transformaciones elementales en una matriz ampliada?
c. ¿Qué es una matriz escalonada?
d. ¿cuándo se dice que una matriz esta en la forma escalonada reducida?
e. ¿En que consiste el método de Gauss?, ¿y el de Gauss -Jordan?
f. ¿Cómo se reconoce que un sistema de ecuaciones lineales es imposible?
g. Si el sistema es compatible ¿Cómo se sabe si es determinado o no?
h. ¿ Cuando un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas ( m > n ) tiene solución
única ?
i. ¿Puede un sistema de ecuaciones lineales homogéneo indeterminado con 3 incógnitas
tener como solución a x1=-2+3t , x2= -5-t ,x3= 7-2t ; para todo t  R? ¿Por qué?
Problemas de aplicación
Para la resolución de cada problema se debe emplear la siguiente estrategia:
1. Identificar las incógnitas del problema asignándoles variables.
2. Formular un modelo matemático que permita relacionar las variables de las incógnitas con
E d u a c alos
c i ódatos
n P r o del
f e s problema,
i o n a l p a r aanalizando
E j e c u t i v olas
s limitaciones que presente.
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3. Resolver el modelo matemático obtenido.
4. Formular la respuesta del problema.
4
1.- Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos
diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 horas diarias.
El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de
los cuatro productos está dada por:
maquina 1
maquina 2
maquina 3
Producto1
1
2
1
Producto2
2
0
2
Producto3
1
1
3
Producto 4
2
1
0
Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos
en un día de 8 horas, bajo el supuesto de que cada máquina se usa las ocho horas completas y
que al menos se requiere producir una unidad de cada producto.
2.- Fueron estudiados tres tipos de alimentos, fijada la misma cantidad (1 gramo) se determinó:




El alimento I tiene una unidad de vitamina A, 3 de vitamina B y 3 de vitamina C.
El alimento II tiene 2, 3, 2 unidades respectivamente de las vitaminas A, B, y C.
El alimento III tiene 3, 3, 1 unidades respectivamente de las vitaminas A, B, y C.
Si son necesarias 14, 18 y 10 unidades de las vitaminas A, B y C para un régimen
alimenticio, se pide:
i) Obtenga un modelo matemático que permita determinar la cantidad de cada uno de los
alimentos que se necesitan para el régimen alimenticio deseado.
ii) Si optamos por un régimen alimenticio que tenga cada tipo de alimento y en gramos
exactos, ¿cuánto de cada tipo es necesario?.
3.- Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza
del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de
carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa
y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3
unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25
unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos,
i) Determine el modelo matemático indicando las incógnitas respectivas, que permita hallar
cuántas onzas de comida se necesitan de cada alimento?
ii) ¿Determine cuántas onzas de cada comida se necesitan?
4.- Asignación de recursos. Una pequeña compañía constructora ofrece tres tipos de casas. El
primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto , 2 unidades de madera para la cancelería
y 5 unidades de madera para estructuras. Los del tipo dos y tres requieren 2, 3, 5, y 4, 2, 6
unidades , respectivamente , de concreto, madera para la cancelería y madera para estructuras.
Si cada mes la compañía dispone de 60 unidades de concreto, 40 unidades de madera para la
cancelería y 100 unidades de madera para estructuras .
a) Determine el modelo matemático, señalando cada una de las incógnitas asignadas y las
limitaciones que presenten.
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5
b) Del sistema obtenido en (a) calcule el número de los diferentes tipos de casas que la
compañía podrá construir al mes si usa todos los materiales de que dispone y si al menos
debe construir una casa de cada tipo.
c) Indique el número de casas que debe vender para obtener el máximo ingreso bruto si una
casa del tipo uno la vende a $ 25 000 , una del tipo dos a $ 30 000 y una del tipo tres a $ 35
000 .
5.- (PC UPC) Kimberly Clark vende maquinas limpiadoras de alfombras. El modelo EZ-1000
pesa 10 kilos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo compacto pesa 20 kilos y
viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo comercial pesa 60 kilos y viene en una caja de
28 pies cúbicos. Cada uno de sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio y
puede contener un máximo de 440 kilos . Para que un camión esté totalmente cargado ,
encuentre el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo
siguiente:
a) Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático que
involucre a todas las incógnitas.
b) Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe llevar cada
camión para que esté totalmente cargado.
c) Si una unidad del modelo EZ-1000 cuesta $20 , una unidad del modelo compacto $30 y
una unidad del modelo comercial $50 ¿cuál es el mínimo ingreso que podría obtener un
camión en una entrega ? y ¿cuál es el máximo ingreso que podría obtener?
6. (PC UPC) Se va a construir un gran edificio de departamentos usando técnicas de construcción
modular. La distribución de los departamentos en cualquier piso dado se escoge entre uno de tres
diseños de piso básicos. El diseño A tiene siempre 18 departamentos en un piso e incluye 3
unidades con tres dormitorios,7 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseño
B tiene siempre 4 unidades con tres dormitorios, 4 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio.
Cada piso del diseño C tiene siempre 5 unidades con tres dormitorios, 3 con dos dormitorios y 9
con un dormitorio . Suponga que el edificio tiene un total de x1 pisos del diseño A, x2 pisos del
diseño B y x3 pisos del diseño C.
a) Formule un modelo matemático que permita diseñar el edificio con exactamente un total
de 66 unidades con tres dormitorios, 74 unidades con dos dormitorios y 136 unidades con
un dormitorio.
b) Resuelva el modelo obtenido en (a) e indique si es posible diseñar tal edificio. Si se
pudiera , ¿hay más de una manera? Explique su respuesta.
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