¿Cómo simplificar expresiones algebraicas? 2

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¿Cómo simplificar expresiones algebraicas?
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
OBJETIVOS:
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de los comandos [simplify] y [combine] del submenú desplegable
Transformación del menú Acción para simplificar expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones en el conjunto
de los números reales y los números complejos.
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS:
Expresión algebraica: Es una expresión en la cual aparecen:
Números enteros naturales, enteros relativos, racionales, irracionales)
Variables (letras del alfabeto)
Símbolos de instrucciones (operaciones +, −, ×, ÷ ; funciones inversa, potencia, radicales)
Signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }.
y que se transforma en un número cuando todas las variables que aparecen en ellas son sustituidas por números.
Simplificar una expresión algebraica: Es hallar una expresión algebraica más sencilla que la expresión original, que
tome los mismos valores que la expresión original para los mismos valores de las variables y, entre todas estas
expresiones, determinar cuál es la más simple. No existe un criterio único para determinar cuál es la expresión
más simple. Se puede, según los casos, adoptar alguno de los siguientes criterios:
La expresión más simple puede ser la expresión que se escribe con el menor número de signos.
La expresión más simple puede ser la expresión que hace aparecer mejor ciertas propiedades.
La expresión más simple puede ser la expresión que se presta mejor a los cálculos donde debe intervenir.
Expresión algebraica equivalente: Una expresión algebraica es equivalente a otra si toma los mismos valores
cualesquiera sean los valores asignados a las variables en ambas expresiones.
Expresión algebraica racional: Es una expresión algebraica de la forma
P(x)
, donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Q(x)
Simplificación de una expresión algebraica racional: La simplificación de una expresión algebraica racional reposa
ac a
= (c ≠ 0) . Para simplificar una expresión racional, es necesario que el numerador y
sobre la siguiente propiedad
bc b
el denominador sean previamente factorizados. Si no es posible factorizarlos, o si no hay factor común entre ambos, la
expresión algebraica racional no se puede simplificar. Simplificar o reducir una expresión algebraica a su mínima
expresión es transformarla de tal manera que el máximo común divisor del numerador y denominador sea igual a
1. Para reducir expresiones algebraicas racionales al mismo denominador, hay que calcular el denominador común
que debe ser el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores de los términos de la expresión algebraica racional
original. En consecuencia es importante en el proceso de simplificación elegir el Mínimo Común Múltiplo de todos los
denominadores de los términos de la expresión algebraica racional original, para evitar tener que realizar cálculos
largos y tediosos, y ahorrar así otra simplificación suplementaria al final.
Divisor (de): Se dice que un número a es un divisor de un número b si y solo si existe un número n tal que b = na .
Múltiplo (de): Se dice un número a es un múltiplo de un número b si y solo si existe un número n tal que a = nb .
1
Máximo común divisor (MCD): Es el mayor de los divisores comunes de varias expresiones algebraicas. La regla
práctica para calcularlo es la siguiente:
1. Descompone las expresiones algebraicas en producto de factores primos.
2. Considera los factores comunes con su menor exponente.
3. Multiplica esos factores.
Mínimo común múltiplo (MCM): Es el menor de los múltiplos comunes a varias expresiones algebraicas. La regla
práctica para calcularlo es la siguiente:
1. Descompone las expresiones algebraicas que aparecen como denominadores en la expresión algebraica
racional original en producto de factores primos.
2. Considera los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
3. Multiplica esos factores.
Racionalizar expresiones algebraicas irracionales: Consiste en hacer desaparecer las expresiones radicales del
numerador o del denominador según lo exige el problema. El proceso de racionalización se realiza multiplicando la
C
C
expresión algebraica irracional E por su conjugada E , de tal manera que el producto ExE sea una expresión
algebraica racional, es decir sin radicales.
1
b
b
=
=
;
a b a b b ab
1
=
a b ±c
1
a bmc
(a
=
a b ±c d
)(
b ±c a b mc
)
=
a b mc
a2 b − c 2
a bmc d
(a
)(
b ±c d a b mc d
)
=
;
a bmc d
a2 b − c 2 d
Criterios de divisibilidad de xn ± yn por x ± y donde n es un número entero natural:
xn − yn es siempre divisible por x − y , y se tiene que:
i= n
xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + ... + x2 yn−3 + xyn−2 + yn−1 ) = (x − y) ∑ xn−i yi
i=1
n
n
x + y nunca es divisible por x − y .
xn − yn es divisible por x + y si n es par, y se tiene que:
i= n
xn − yn = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − ... − x2 yn−3 + xyn−2 − yn−1 ) = (x + y) ∑ ( −1)i+1 xn−i yi
i=1
n
n
x + y es divisible por x + y si n es impar, y se tiene que:
i=n
xn + yn = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − ... + x 2 yn−3 − xyn−2 + yn−1 ) = (x + y) ∑ ( −1)i+1 xn−i yi
i=1
En consecuencia de lo anterior se deduce que:
cuando n es par:
n
x − y = n x − n y  xn−1 + n xn−2 y + n xn−3 y 2 + L + n yn−1 


(
n
x − y = n x + n y  xn−1 − n xn−2 y + n xn−3 y 2 + L − n yn−1 


cuando n es impar:
(
)
)
n
x − y = n x − n y  xn−1 + n xn−2 y + n xn−3 y 2 + L + n yn−1 


n
x + y = n x + n y  xn−1 − n xn−2 y + n xn−3 y 2 + L + n yn−1 


(
(
)
)
2
Descomposición de una expresión algebraica racional en expresiones algebraicas racionales simples:
1.-
A1
A2
An
P(x)
=
+
+ ... +
(a1x + b1 )(a2 x + b2 )...(an x + bn ) a1x + b1 a2 x + b2
an x + bn
donde a cada factor lineal a1x + b1 que
aparece una sola vez como factor en el denominador, le corresponde una fracción simple de la forma
A1
a1x + b1
en
donde A1 es una constante diferente de cero.
P(x)
2.-
p
(a1x + b1 )(a2 x + b2 )
=
A1
+
a1x + b1
B1
(a2 x + b2 )
B2
+
2
+ ... +
(a2 x + b2 )
Bp
(a2 x + b2 )p
donde a cada factor lineal a2 x + b2
que aparece p veces como factor en el denominador, le corresponde la suma de p fracciones simples cuyos
denominadores serán el factor a2 x + b2 elevado sucesivamente a los exponentes 1,2,3,...,p y cuyos numeradores
serán respectivamente las constantes B1, B2, ..., Bp diferentes de cero.
3.-
P(x)
2
2
A1x + B1
=
2
(a1x + b1x + c1 )(a2 x + b2 x + c 2 )...(an x + bn x + cn )
2
a1x + b1x + c1
A 2 x + B2
+
2
+ ... +
a 2 x + b2 x + c 2
An x + Bn
an x 2 + bn x + cn
donde a
cada factor cuadrático irreducible a1x 2 + b1x + c1 que aparece una sola vez como factor en el denominador, le
A1x + B1
corresponde una fracción simple de la forma
en donde A1 y B1 son constantes no simultáneamente
a1x 2 + b1x + c1
nulas.
4.-
P(x)
2
2
p
(a1x + b1x + c1 )(a2 x + b2 x + c 2 )
A1x + B1
=
2
(a1x + b1x + c1 )
C1x + D1
+
2
(a2 x + b2 x + c 2 )
+
C2 x + D2
2
2
(a2 x + b2 x + c 2 )
+ ... +
Cp x + Dp
2
(an x + bn x + c n )p
donde a cada factor cuadrático irreducible a2 x 2 + b2 x + c 2 que aparece p veces como factor en el denominador, le
corresponde la suma de p fracciones simples cuyos denominadores serán el factor a2 x 2 + b2 x + c 2 elevado
sucesivamente a los exponentes 1,2,3,...,p y cuyos numeradores serán respectivamente los factores lineales
C1x + D1 , C2 x + D2 , ..., Cp x + Dp donde C1, D1 y C2, D2 y ... y Cp, Dp son constantes no simultáneamente nulas a
la vez.
OPERACIÓN CON LA CALCULADORA:
Cuando se activa el menú secundario Transformación del menú desplegable
Acción, aparece un listado de comandos relacionados con diversos problemas de
transformación y expansión.
El segundo comando [simplify], como lo indica la pantalla adjunta, permite la
simplificación de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones
(Ine).
Sintaxis del comando [simplify]:
simplify(Expresión)
El séptimo comando [combine], como lo indica la pantalla adjunta, permite la
transformación al mismo denominador común de una suma de expresiones
algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine) y a la vez las reduce si es
posible.
Sintaxis del comando [combine]:
combine(Expresión)
3
¿Cómo simplificar una expresión algebraica?
El comando [simplify] transforma una expresión numérica racional e irracional a su mínima expresión.
1.
Simplifique las siguientes expresiones numéricas:
a)
648
1512
b)
123 45
77
−
+
270 175 882
200 − 32 + 72
c)
d)
1
2+ 3
+
2
6
−
2
3+ 3
(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono
del panel de iconos.
(2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(3) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y presione la tecla [Keyboard] para
activar el teclado virtual y toque la lengüeta [2D] para acceder al teclado plantilla de
matemática natural.
(4) Toque seguidamente [ ] / [6] / [4] / [8] / [▼] / [1] / [5] / [1] / [2] / [Ejec] para introducir
la fracción numérica y aparece en la línea de salida de la pantalla la fracción
irreducible equivalente.
(5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(6) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [1] / [2] / [3] /
[▼] / [2] / [7] / [0] / [►] / [–] / [ ] / [4] / [5] / [▼] / [1] / [7] / [5] / [►] / [+] / [ ] / [7] / [7] /
[▼] / [8] / [8] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión numérica racional y aparece en
la línea de salida la expresión numérica racional reducida a su mínima expresión.
(7) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
] / [2] / [0] / [0] /
(8) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [
[►] / [–] / [
] / [3] / [2] / [►] / [+] / [
] / [7] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión
numérica irracional y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión
numérica irracional reducida a su mínima expresión.
(9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(10) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [2]
/ [+] / [
] / [3] / [►] / [►] / [+] / [ ] / [
] / [2] / [▼] / [
] / [6] / [►] / [►] / [–] / [ ]
/ [2] / [▼] / [3] / [+] / [
] / [3] / [Ejec] para introducir la expresión numérica irracional
y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión original racionalizada y
reducida a su mínima expresión. El comando [simplify] racionaliza los términos
de una expresión numérica irracional y la reduce a su mínima expresión.
2.
a)
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:
−26a2 b3 x
4 2
91ab y
b)
y2
2xy2
x2
+
−
x − y x + y x 2 − y2
(11) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(12) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [–] / [2] / [6] /
[VAR] / [a] / [^] / [2] / [b] / [^] / [3] / [x] / [▼] / [9] / [1] / [a] / [b] / [^] / [4] / [y] / [^] / [2] /
[Ejec] para introducir la expresión algebraica racional y aparece en la línea de salida
de la pantalla la expresión algebraica racional simplificada a su mínima expresión. El
comando [simplify] simplifica los términos de una expresión algebraica racional
y la reduce a su mínima expresión.
4
c)
(x + 1)2
(13) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
] / [ ] / [x] /
(14) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [
[^] / [2] / [▼] / [x] / [–] / [y] / [►] / [+] / [ ] / [y] / [^] / [2] / [▼] / [x] / [+] / [y] / [►] / [–] /
[ ] / [2] / [x] / [▼] / [x] / [^] / [2] / [–] / [y] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la suma de
expresiones algebraicas racionales y aparece en la línea de salida de la pantalla la
expresión simplificada a su mínima expresión. El comando [simplify] simplifica la
suma de expresiones algebraicas racionales y la reduce a su mínima expresión.
(15) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(16) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [
] / [(] / [x] / [+] /
[1] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica irracional y aparece
en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica irracional simplificada a su
mínima expresión en el conjunto de los números reales.
(17) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
] / [(] / [x] / [+] /
(18) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [
[1] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica irracional y aparece
en la línea de salida de la pantalla la misma expresión algebraica irracional en el
conjunto de los números complejos.
El comando [combine] transforma una expresión algebraica racional, una ecuación racional, una inecuación
racional, bajo la forma respectivamente de una expresión algebraica racional, una ecuación racional y una
inecuación racional equivalente, con denominador común, y reducida si es posible.
3.
a)
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:
1
1
1
+ −2−
x−7 x
3x + 8
b)
1
1
1
+ = 2+
x−7 x
3x + 8
(19) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(20) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]
/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]
[8] / [Ejec] para introducir la suma de expresiones algebraicas racionales y aparece
en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con
su denominador común.
(21) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(22) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]
/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [=] / [2] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]
[8] / [Ejec] para introducir la ecuación algebraica racional y aparece en la línea de
salida de la pantalla la ecuación algebraica racional equivalente en la cual cada
miembro ha sido reducido por separado a su denominador común.
(23) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(24) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]
/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [<] / [2] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]
[8] / [Ejec] para introducir la inecuación algebraica racional y aparece en la línea de
salida de la pantalla la inecuación algebraica racional equivalente en la cual cada
miembro ha sido reducido por separado a su denominador común.
5
c)
1
1
1
+ < 2+
x−7 x
3x + 8
En los dos últimos ejemplos se observa que la transformación resultante tanto en la ecuación como en la inecuación
en sus expresiones equivalentes con denominador común se realiza por miembros separados. Si se desea el
denominador común a ambos miembros de la ecuación racional como la inecuación racional se debe pasar todo
el segundo miembro en el primer miembro como se ilustra a continuación:
1
1
1
1
1
1
+ −2−
=0
e)
+ −2−
<0
d)
x−7 x
3x + 8
x−7 x
3x + 8
(25) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(26) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]
/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]
[8] / [►] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación algebraica racional y aparece en
la línea de salida de la pantalla la ecuación algebraica racional equivalente con su
denominador común completo.
(27) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(28) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]
/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]
[8] / [►] / [<] / [0] / [Ejec] para introducir la inecuación algebraica racional y aparece
en la línea de salida de la pantalla la inecuación algebraica racional equivalente con
su denominador común completo.
Se quiere mostrar a través del siguiente ejemplo como responden los diferentes comandos: combine, simplify, factor
y rfactor a la misma expresión algebraica racional siguiente
2x2 + x − 3
− x 2 + 2x + 3
+
−5x 2 + 19x − 12
2x 2 + 5x + 3
(29) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(30) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [2] / [x] / [^] /
[2] / [+] / [x] / [–] / [3] / [▼] / [–] / [x] / [^] / [2] / [+] / [2] / [x] / [+] / [3] / [►] / [+] / [ ] / [–]
[5] / [x] / [^] / [2] / [+] / [1] / [9] / [x] / [–] / [1] / [2] / [▼] / [2] / [x] / [^] / [2] / [+] / [5] / [x] /
[+] / [3] / [Ejec] para introducir el comando combine, la expresión algebraica racional
original, y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional
equivalente con su denominador común factorizado. Se puede observar que el
denominador común contiene factores lineales de la forma (ax + b) y/o (x + b) .
2x ^ 2 + x − 3
−5x ^ 2 + 19x − 12
+
2x ^ 2 + 5x + 3
− x ^ 2 + 2x + 3
deslizando la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta
obtener dicha expresión resaltada y toque [ ] para copiar esta expresión y
colocarla en el portapapeles.
(31) Seleccione con el lápiz táctil la expresión
(32) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(33) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [ ] / [Ejec] para
introducir el comando factor, pegar la expresión algebraica racional original, y
aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional
equivalente con su denominador común factorizado. Se puede observar que el
denominador común contiene factores lineales de la forma (ax + b) y/o (x + b) .
6
.
(34) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(35) Toque [Acción] / [Transformación] / [rfactor] y seguidamente [ ] / [Ejec] para
introducir el comando rfactor, pegar la expresión algebraica racional original, y
aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional
equivalente con su denominador común factorizado. Se obtiene un resultado
expresado de manera diferente que con los comandos [combine] y [factor] pero
equivalente. La diferencia primordial está en que el denominador común está escrito
b

como el producto de factores lineales de la forma a.  x +  y/o ( x + b ) y el
a

a

a x a x
a
xn an−1xn
numerador como an .  0 + 1 + 1 + ... + n− 2
+
+ xn  .
 an

an
an
a
an


(36) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(37) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [Ejec] para
introducir el comando simplify, pegar la expresión algebraica racional original y
aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional
equivalente con su denominador común factorizado. Se obtiene el mismo resultado
que con los comando [combine], [factor] y [simplify]. Se puede observar que el
denominador común contiene factores de la forma (ax + b) y/o (x + b) .
En conclusión se puede observar que los comandos [combine], [factor] y [simplify] dan el mismo resultado. El
comando [rfactor] da un resultado equivalente con el denominador común escrito como el producto de factores
b

lineales si los hay de la forma a.  x +  y/o ( x + b ) .
a

4. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:
1.-
2.-
a2
b2
c2
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
1
2
a − 4b
2
+
1
2
b
−
−
(a − b)(a − 2b) (a + b)(a − 2b) a3 − 2a2 b − ab2 + 2b3

b2 + c 2 − a2
3.-  1 +

2bc

4.-
a
 1 + b + c b2 + c 2 − (b − c)2
×
×

a+b+c
 1− a
b+c
x 2 − yz
y 2 − xz
z2 − xy
+
+
y+z
z+x
x+y
1+
1+
1+
y
x
z
a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b)
+
+
+
a−c + b−c
b−a + c−a
c −b
5.- a − b
2
2
(b − c)
(c − a)
(a − b)2
1+
1+
1+
(a − b)(a − c)
(b − c)(b − a)
(c − a)(c − b)
b + c − 2a
6.-
3
(b − c)
3
b −c
3
+
(a − b)(a − c)
2
b + bc + c
c + a − 2b
+
2
3
(c − a)
3
3
c −a
+
(b − c)(b − a)
2
c + ca + a
a + b − 2c
+
2
3
(a − b)
3
a −b
7
3
+
(c − a)(c − b)
a2 + ab + b2