TRABAJOS PRÁCTICOS BIO 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA
FACULTAD DE HUMANIDADES
CARRERA: PROFESORADO EN BIOLOGÍA
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS DE ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDAD
Docentes a cargo:
 Titular A/C: Inés González de Rubiano
 Jefe de Trabajos Prácticos: Prof. Enrique Sandoval
www.funcionestadistica.jimdo.com
AÑO 2015
U.Na.F.
Facultad de Humanidades
Profesorado en Biología
1
TRABAJO PRÁCTICO N° 1
ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Ejercicio nº 1: Para cada uno de los siguientes casos describa:
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la población?
¿Cuál es la muestra?
¿Cuál es la unidad estadística, de análisis o de observación?
¿Cuáles son las posibles variables de análisis?
i) Una compañía de telefonía celular desea conocer la proporción de clientes que
opinan que el servicio ha mejorado en el último trimestre.
ii) Una casa de venta de electrodomésticos quiere conocer el tiempo promedio en que
los clientes regresan por servicio técnico.
iii) La municipalidad de la ciudad pretende conocer el grado de satisfacción de los
habitantes de una ciudad con respecto al servicio de transporte público de pasajeros.
iv) En una encuesta política para tratar de pronosticar el resultado de una elección de la
Capital Federal. Para ello se seleccionan 1000 electores.
v) Se desea saber el nivel académico en matemática de los alumnos de una escuela y
para ello aplica una prueba escrita a 5 alumnos por división.
vi) Se quiere conocer el nivel académico en matemática de los alumnos de la Educación
Secundaria de la provincia.
vii) Un grupo de senadores quiere realizar un estudio de jerarquía de valores de los
miembros de un Tribunal de Justicia. Los miembros acceden y se le aplican
cuestionarios y test de diferentes tipos.
viii) Se realiza un examen de ingreso a la carrera de medicina para conocer el nivel
con el que llegan los alumnos a la Facultad.
Ejercicio nº 2: Clasifique las variables que aparecen en las siguientes situaciones
indicando además su escala de medición.
Variable
Estatura de los alumnos que cursan la secundaria
Clasificación
Cuant. continua
Escala
Diámetro de los troncos de árboles de la ciudad
Clasificación de los sujetos según su nacionalidad
Nominal
Clasificación de los sujetos según su estado civil
Cargos en una empresa
Duración de un examen
Cantidad de alumnos aprobados por cada división
Edad en años cumplidos
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2
Clase socioeconómica (alta, media, baja)
Edad
Cantidad de aciertos en una prueba de 10 preguntas.
Cantidad de mensajes enviados por teléfonos
celulares.
Diagnóstico psicológico (neurosis, histeria, psicosis)
Orden de mérito obtenido en un concurso.
Tiempo en responder un mensaje en un contestador.
Número de preguntas que hace un alumno en clase.
Título máximo alcanzado por docentes de una
Facultad
Ejercicio n° 3: Los datos que se consignan a continuación corresponden a los 20
integrantes de una comisión de trabajos prácticos que cursaron en 1989. La información
está referida a las variables.
Sexo
Edad
Peso
Estado civil
1:
Masculino
En años
cumplidos
En
kilogramos
2:
Femenino
1: Soltero
2: Casado
3:Unión de
hecho
En
puntos
En
centímetros
1: Muy de
acuerdo
2:De
acuerdo
3:Poco de
acuerdo
Cantidad de
miembros
de la familia de
origen
Memoria visual
Talla
Opinión acerca de la
gestión del rector
4:En
desacuerdo
n° de
sexo edad peso est. civil cant flia opinión mem visual talla
orden
1
2
23 51,4
1
3
1
30
162
2
2
23 53,6
2
5
2
27
155
3
2
24
55
1
7
2
26
170
4
1
19 58,3
1
4
1
34
153
5
1
21 62,2
1
4
1
26
174
6
2
26
61
2
3
3
27
177
7
1
21 63,5
1
3
1
23
180
8
1
28 57,8
2
5
3
40
169
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9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
21
30
22
22
22
21
22
21
21
19
19
31
59,4
64
62
61,2
64,9
65,5
63,4
64,8
66,6
71,6
73,2
80,1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
4
4
3
4
6
6
5
4
3
3
3
6
1
1
1
3
2
2
1
1
3
3
1
1
29
25
22
37
35
36
33
31
38
34
31
39
160
166
170
166
169
175
170
182
175
180
187
171
a) Clasifique todas las variables de estudio.
b) Construya una tabla de distribución de frecuencias absolutas para una variable
cualitativa y grafique apropiadamente.
c) Construya una tabla de distribución de frecuencias para una variable
cuantitativa discreta
d) Construya una tabla de distribución de frecuencias para una variable
cuantitativa continua.
e) Realice los gráficos correspondientes a las tablas de los puntos c) y d).
f) Realice algunas interpretaciones.
Ejercicio n° 4: Complete los encabezados de la siguiente tabla de distribución de
frecuencias con fi, fri,fa y fra según corresponda e interprete los valores resaltados
en negrita
Cantidad de
materias aprobadas
0
200 0,10 200 0,10
1
450 0,13 250 0,23
2
750 0,15 300 0,38
3
1050 0,15 300 0,53
4
1450 0,20 400 0,74
5
1750 0,15 300 0,89
6
1950 0,10 200 0,99
7
1970 0,01
20 1,00
Total
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4
TRABAJO PRÁCTICO N° 2
MEDIDAS DE RESUMEN
Ejercicio nº 1: Calcule media, mediana y modo para la siguiente serie que corresponde
a las temperaturas mínimas, en grados centígrados, registradas en 15 ciudades
argentinas durante el mes de julio de 2012
16 10
2
0 -1,5
3 -2 -0,5
19 20 17 - 6 29
28 21
Ejercicio n° 2: Los siguientes valores son las calificaciones en Matemática de diez
alumnos de nivel secundario.
2
3
5
8
8
7
2
3
4
6
a) Calcule el interprete las medidas de tendencia central.
Ejercicio n° 3: Se realizó una prueba de conocimiento con un test adecuado. Se
presentaron 43 estudiantes de carreras de grado de universidades públicas. Los
resultados fueron los siguientes
32
90
120
130
110
105
86
87
85
77
75
33
39
44
45
60
60
70
75
46
76
77
80
95
91
101
102
100
113
100
40
130
90
67
79
45
56
70
77
48
110
111
133
a) Calcule las medidas de tendencia central. Interprete.
b) Calcule los cuartiles e interprete.
c) Calcule el percentil 5 y el percentil 95. Interprete.
Ejercicio n° 4:Calcule la media, mediana, modo, cuartiles y los percentiles 5 y 95 de
la siguiente tabla de distribución de frecuencias
Número de
materias aprobadas
0
1
2
3
4
5
6
Total
fi
30
150
200
300
250
200
20
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Ejercicio n° 5: Sea la variable X: “número de hijos” por persona y que está
representada en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
Número
de síntomas
2
3
4
5
Total
a)
b)
c)
d)
fi
30
60
70
90
Calcule las medidas de tendencia central e interprete
Calcule los cuartiles e interprete
Calcule el decil 7
Calcule el percentil 12
Ejercicio n° 6: Consideren los siguientes valores obtenidos en mediciones de
diámetros de troncos de árboles autóctonos en centímetros.
X
fi
20 – 30
1
30 – 40
9
40 – 50
30
50 – 60
50
60 – 70
70
70 – 80
90
80 – 90
40
90 – 100
10
100 – 110
5
110 – 120
5
Total
a) Calcule las medidas de tendencia central e interprete.
b) Calcule los cuartiles e interprete.
c) Calcule el percentil 65
d) Calcule el modo y la mediana gráficamente.
e) Calcule los cuartiles gráficamente.
Ejercicio n° 7: Se desea comparar la ganancia de peso en una raza animal según dos
tipos de dietas (A y B). Se asignan los animales a cada dieta al azar, luego de un cierto
tiempo se mide la ganancia de peso (peso final – peso inicial) y se agrupan los datos en
la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Ganancia de peso (kg) Frecuencia (dieta A) Frecuencia (dieta B)
10 – 15
40
3
15 – 20
43
5
20 – 25
43
16
25 – 30
52
42
30 – 35
12
38
35 – 40
5
43
40 – 45
3
40
45 – 50
2
13
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Complete el siguiente cuadro resumen de las principales medidas de posición,
estudie la forma de cada distribución y comente los resultados. Confeccione un
gráfico de cajas y brazos (Box-plot) para cada categoría de dieta.
GRUPO
A
B
Mín
Máx
Media
Mediana
Modo
Q1
Q3
Ejercicio n° 7: La siguiente serie corresponde a mediciones de temperaturas en °C.
9
– 20
18
33
10
15
12
20
a) Calcule las siguientes medidas de dispersión:
i.
ii.
iii.
iv.
Rango.
Varianza
Desviación estándar.
Coeficiente de variación.
Ejercicio n° 8: Calcule las siguientes medidas de dispersión para la variable X=
“número de materias aprobadas” estudiadas en el práctico anterior
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rango
Varianza
Desvío estándar
Coeficiente de variación
Rango intercuartílico
Rango entre percentiles
Número de
materias aprobadas
0
1
2
3
4
5
6
Total
fi
30
150
200
300
250
200
20
Ejercicio n° 9: Calcule las medidas de dispersión citadas en el ejercicio anterior para
el siguiente conjunto de datos.
Número
fi
de síntomas
30
2
60
3
70
4
90
5
Total
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Ejercicio n° 10: Los siguientes datos fueron extraídos de la base de datos de un
centro cardiológico. Las variables consideradas son: SEXO: 1: Varón 2: Mujer ,
FUMA: Cant de cigarrillos diarios, PESO: en kg y FRECAR: Frecuencia cardiaca.
PACIEN EDAD SEXO FUMA PESO FRECAR
1
63
2
1
71
80
2
52
2
1
64
90
3
55
2
1
76
60
4
56
2
2
80
72
5
69
2
1
74
76
6
43
1
3
60
96
7
53
1
1
61
75
8
57
1
1
65
68
9
55
2
1
83
76
10
42
1
2
96
96
11
47
1
1
95
78
12
58
1
2
79
68
13
44
2
1
83
80
14
55
2
1
80
70
15
48
1
3
86
58
16
60
2
4
65
90
17
53
1
1
76
96
18
66
1
2
68
83
19
64
2
4
91
60
20
48
2
3
85
70
A partir de estos datos, realice un análisis descriptivo completo de las distintas variables
completando el siguiente cuadro y considerando datos simples y agrupados.
N
Media
Mediana
Modo
Varianza
D.E.
C.V
FRECAR
PESO
Ejercicio nº 11: Se han aplicado dos tipos de productos químicos A y B como
fertilizantes a una misma especie vegetal dividida en dos parcelas. Luego de un cierto
tiempo se midió el rendimiento en cada parcela y se obtuvieron las siguientes medidas.
Químico A
Químico B
Media = 7.5 mm. Media= 8 mm.
S = 2 pts
S = 3 pts.
a) ¿Qué interpretación puede hacerse en cuanto a la variabilidad de los datos?
Ejercicio n° 12: La siguiente salida de computadora corresponde al análisis realizado
sobre la base de datos del ejercicio 6.
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8
Medidas resumen
sexo
1
1
1
2
2
2
Variable
edad
peso
talla
edad
peso
talla
n
5
5
5
15
15
15
Media D.E.
22,00 3,46
61,46 3,33
170,20 10,38
23,07 3,49
63,48 7,54
170,67 8,55
Mín Máx Mediana
19,00 28,00 21,00
57,80 65,50 62,20
153,00 180,00 174,00
19,00 31,00 22,00
51,40 80,10 63,40
155,0 187,00 170,00
Q1
21,00
58,30
169,00
21,00
59,40
166,00
Q3
21,00
63,50
175,00
24,00
66,60
177,00
a) Interprete los valores resaltados en negrita
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9
TRABAJO PRÁCTICO N° 3
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Ejercicio n° 1: Supongamos que registramos datos de dos variables en un grupo de
estudiantes. Al comienzo del curso medimos su nivel de inteligencia mediante un test
apropiado, y al final del curso, evaluamos su rendimiento mediante la nota media
obtenida. Los datos son los que figuran en la tabla.
1
9
5
Sujeto
Inteligencia (X)
Rendimiento (Y)
2
12
5
3
6
1
4
9
4
5
7
2
6
9
2
7
5
1
8
9
3
9
7
3
10 11 12 13 14 15
3 10 6 11 4 13
1 4 2 5 2 5
Queremos estudiar la relación entre estas dos variables, por lo tanto se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Identifique la variable respuesta (dependiente) y la regresora (independiente)
Confeccione el diagrama de dispersión.
Halle la recta de los mínimos cuadrados y represéntela.
Calcule el coeficiente de correlación lineal e interprete.
Calcule el coeficiente de determinación e interprete.
Estime el rendimiento de un alumno cuya inteligencia es de 8 puntos.
Ejercicio n° 2: Para estudiar la relación entre la biomasa y el pH en un medio de
cultivo, se midió la biomasa (gr) para valores de pH entre 3 y 7 registrándose 10
mediciones.
Biomasa (gr)
pH
6,35
3
5,83
3,8
5,69
3,9
6,03
4
7,03
4,5
7,26
5,3
8,85
6
8,86
6,8
9,46
7
9,69
7
a) Indique cuál es la variable respuesta (dependiente) y cuál la regresora
(independiente).
b) Confeccione el diagrama de dispersión.
c) Represente la recta de los mínimos cuadrados e interprete los parámetros del
modelo estimado.
d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
e) Estime la biomasa para un pH de 5.
Ejercicio n° 3: Las notas de 10 alumnos en Matemática y en Lengua vienen dadas en
la siguiente tabla:
Matemática
Lengua
2
2
4
2
5
5
5
6
6
5
6
7
7
5
7
8
8
7
9
10
a) Confeccione el diagrama de dispersión.
b) Estudie la tendencia de los datos y ajuste a través de la recta de los mínimos
cuadrados.
c) Determine mediante un coeficiente adecuado el grado y sentido de la relación
lineal entre ambas variables.
d) Estime el puntaje en lengua de un alumno que en matemática obtuvo un 3.
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10
e) Calcule el interprete el coeficiente de determinación.
f) Calcule el error estándar e interprete.
Ejercicio n° 4: Para estudiar el efecto de las aguas residuales de las alcantarillas que
afluyen a un lago, se toman medidas de la concentración de nitrato en el agua. Para
monitorizar la variable se ha utilizado un antiguo método manual.
Se idea un nuevo método automático. Si se pone de manifiesto una alta correlación
positiva entre las medidas tomadas empleando los dos métodos, entonces se hará uso
habitual del método automático. Los datos obtenidos son los siguientes:
Manual (X)
Automático (Y)
25
30
40
80
120
150
75
80
150
200
300
350
270
240
400
320
450
470
575
583
a) Halle el coeficiente de correlación y el de determinación entre las variables.
¿Conviene usar el nuevo método?
b) Halle la ecuación de la recta de regresión.
c) Calcule el error estándar.
d) ¿Cuál sería la medición tomada en forma automática si manualmente se obtuvo
500mg?
Ejercicio n° 5: Los investigadores están estudiando la correlación entre obesidad y la
respuesta individual al dolor. La obesidad se mide como porcentaje sobre el peso ideal
(X). La respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de reflejo de flexión nociceptiva
(Y), que es una medida de sensación de punzada. Se obtienen los siguientes datos:
X
Y
89
2
90
3
75
4
30
4.5
51
5.5
75
7
62
9
45
13
90
15
20
14
a) ¿Qué porcentaje de la varianza del peso es explicada mediante un modelo de regresión
lineal por la variación del umbral de reflejo?
b) Estudie la posible relación lineal entre ambas variables, obteniendo su grado de ajuste.
c) ¿Qué umbral de reflejo podemos esperar para un porcentaje de sobrepeso de 10?
Ejercicio nº 6: Estos datos corresponden a edad, talla y peso de 10 alumnos.
Alumno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X=Edad
(años)
20
21
21
20
23
22
18
31
19
19
Y=Peso
(kg)
50
55
59
48
64
45
48
58
70
66
Z=Talla
(cm)
163
160
162
161
164
155
150
158
170
163
A partir de estos datos se pide:
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a) Analice la correlación entre la variable peso y cada una de las variables citadas
e indique con cuál de ellas existe una relación más fuerte.
b) Halle la ecuación de la recta de los mínimos cuadrados para cada relación.
c) Estime el peso de una persona de 180 cm de altura.
d) Estime el peso de una persona de 27 años.
Ejercicio n° 7: Para cada uno de los siguientes pares de variables, indique qué tipo de
correlación lineal poseen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Precio de oferta un producto Vs. Demanda de dicho producto.
Horas de estudio Vs. Calificación obtenida.
Talla Vs. Peso.
Cantidad de veces que se rinde un mismo examen Vs. Cantidad de errores
cometidos.
Frecuencia cardíaca Vs. Tensión arterial.
Asistencia a clases Vs. Nota final obtenida.
Cantidad de Precipitación Vs. Rendimiento de un cultivo.
Valoración de la violencia de los programas preferidos por niños Vs.
Agresividad de dichos niños.
Temperatura de un líquido Vs Solubilidad
Ejercicio n° 8: Existen muchos programas estadísticos que estiman modelos de
regresión de manera muy sencilla y veloz. La salida de un programa ofrece muchos
resultados, de los cuales nosotros utilizaremos la que corresponden a lo aprendido y que
podemos ubicarlos en el siguiente cuadro que corresponde al ejemplo del Ejercicio n°1:
Análisis de regresión lineal
Variable
N
Rendimiento (Y)
R²
15
Coeficiente de
determinación
R² Aj ECMP AIC BIC
0,75 0,74 0,81 39,81 41,93
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
const
Inteligencia (X)
Est. E.E.
-0,73 0,63
0,47 0,07
LI(95%)
LS(95%)
T
-2,08 0,62 -1,16 0,2652
0,31 0,63 6,31 <0,0001
Ordenada al
origen, o sea a
p-valor
Pendiente de la
recta, o sea b
Teniendo en cuenta la forma de leer los números correspondiente al análisis de
regresión, consideren la siguiente salida de computadora, en la cual se realizó un análisis
para determinar si el peso de un grupo de niños de entre 5 y 12 años puede explicarse a
partir de su talla.
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Análisis de regresión lineal
Variable
PESO
N
382
R²
0,68
R² Aj ECMP
AIC BIC
0,68 32,82 2416,95
2428,78
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef Est. E.E. LI(95%)
LS(95%)
T
p-valor
const -62,63 3,34 -69,19 -56,07 -18,76 <0,0001
TALLA
0,71 0,03
0,66 0,76 28,29 <0,0001
A continuación se pide lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
Escriba la ecuación de la recta de regresión
Represéntela gráficamente.
Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal.
Interprete el coeficiente de determinación
Ejercicio n° 9: Se lleva a cabo un estudio, por medio de detectores radioactivos, de la
capacidad corporal para absorber hierro y plomo. Participan en el estudio 10 sujetos. A
cada uno se le da una dosis oral idéntica de hierro y plomo. Después de 12 días se mide
la cantidad de cada componente retenida en el sistema corporal y, a partir de ésta, se
determina el porcentaje absorbido por el cuerpo. Se obtuvieron los siguientes datos:
Porcentaje de hierro (X)
Porcentaje de plomo (Y)
17
8
22
17
35
18
43
25
80
58
85
59
91
40
92
30
96
43
100
58
a) Determine la intensidad de la relación entre las variables.
b) Obtenga la recta de regresión.
c) Prediga el porcentaje de plomo absorbido por un individuo cuyo sistema corporal
absorbe el 15% del hierro ingerido.
d) ¿En qué porcentaje la variabilidad de la absorción de plomo es explicada por la
variabilidad de absorción de hierro?
Ejercicio n° 10: En un ensayo clínico realizado tras el posible efecto hipotensor de un
fármaco, se evalúa la tensión arterial diastólica (TAD) en condiciones basales (X), y
tras 4 semanas de tratamiento (Y), en un total de 14 pacientes hipertensos. Se obtienen
los siguientes valores de TAD:
X (mm Hg)
Y (mm Hg)
95
94
100
85
102
88
104
84
100
85
95
80
95
92
98
80
102
90
96
76
100
90
96
102
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TRABAJO PRÁCTICO N° 4
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1: En cada una de las siguientes situaciones, determine el espacio
probabilístico Ω.
EXPERIMENTO
“Arrojar una moneda y observar el lado que cae”
Ω
{C,X}
“Arrojar dos dados y observar la suma de puntos obtenida”
“Elegir una bolilla de un recipiente que contiene dos rojas y
tres azules”
“Registrar el peso de un niño”
“Observar el resultado de un partido de futbol del equipo
nacional”
“Registrar la temperatura en un instante del día”
“Verificar las inasistencias mensuales de un docente”
“Elegir dos bolillas de un recipiente que contiene dos rojas y
tres azules”
“Seleccionar una persona y observar género y profesión de un
grupo en el cual hay varones, mujeres y los mismos son
médicos y contadores”
Ejercicio nº 2: Se extrae una bolilla de una urna que contiene 6 bolillas rojas, 4
blancas y 5 azules. Determine la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Salga roja.
No salga azul.
Salga roja o azul.
Salga blanca y roja.
Ejercicio nº 3: Considere la situación del Ejercicio nº 2 pero esta vez se extraen dos
bolillas sin reposición. Determine la probabilidad de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sacar dos rojas.
Sacar roja la primera y blanca la segunda.
Sacar una sola roja.
Sacar al menos una azul.
Sacar como máximo una blanca.
Sacar ninguna blanca.
Ejercicio nº 4: Calcule nuevamente las probabilidades del Ejercicio nº 3
considerando esta vez el experimento con reposición.
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Ejercicio n° 5: Cuatro equipos están jugando un torneo de futbol. En la primera
ronda, el equipo 1 jugará con 2, y 3 jugará con 4. Acto seguido, los ganadores
jugarán por el campeonato y los otros dos también jugarán pero por el ercer puesto.
Un posible evento puede ser denotado por 1324, esto representa el orden en que
terminó cada equipo, en este caso 1 quedó primero habiendo derrotado a 2 en el
primer juego y a 3 en el segundo. Asimismo, en el partido por el tercer puesto 4 cayó
ante 2. A partir de esta situación se pide:
a)Enumere todos los elementos de Ω
b)Si A representa el evento: 1 gana el torneo, enumere todos los elementos del
subconjunto A.
c)Si B representa el evento 2 gana el torneo, enumere todos los eventos del
subconjunto B.
d) Enumere todos los eventos de AB y AB
Ejercicio nº 6: Un grupo de personas fueron clasificadas según sexo y estado civil
obteniéndose la siguiente tabla de contingencia
Mujeres
Varones
TOTAL
Solteros
11
13
Casados
15
6
Divorciados
7
8
TOTAL
Si elegimos una persona al azar, calcule la probabilidad de que:
a) Sea varón.
b) Sea mujer y esté casada.
c) Sea soltero sabiendo que es varón.
d) Sea varón sabiendo que es soltero.
e) Sea divorciada o sea mujer.
f) Sea mujer siendo soltera.
g) Sea soltera o casada.
h) Sea varón o mujer.
Ejercicio n° 7: Un grupo de personas fue clasificada según disciplina y rendimiento
académico en Bueno, Regular y Malo y fueron agrupadas en la siguiente tabla
DISCIPLINA
BUENO
REGULAR
MALO
TOTAL
RENDIMIENTO ACADÉMICO
BUENO REGULAR MALO TOTAL
9
10
4
23
8
13
5
4
1
20
Complete la tabla y responda:
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un alumno que tenga disciplina y
rendimiento malos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un alumno con buen rendimiento y conducta
regular?
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c) Si elegimos un alumno que tiene mala conducta, ¿Cuál es la probabilidad de
que tenga buen rendimiento?
d) ¿Qué es más probable, elegir un alumno bueno en disciplina y bueno en
rendimiento? Justifique.
Ejercicio n° 8: Sean A y B dos eventos que verifican: P(A)=0,32 ; P(B)=0,85 y
P(B/A)=0,8, calcule P(A/B).
Ejercicio n° 9: Una urna contiene 10 bolillas numeradas de 1 a 10. Las bolillas 1 a 4
son rojas, y las 5 a 10 son azules. Se extrae una bolilla y consideramos los siguientes
eventos:
A: “ la bolilla tiene el número 3”
B: “la bolilla es roja”
a) Calcule P(A/B) y P(B/A)
Ejercicio n° 10: Considere el espacio muestral Ω = {1, 2, 3} y el experimento elegir
dos números con reposición.
a) Defina los elementos que forman el evento A = “la suma obtenida es impar”
b) Defina los elementos que forman el evento B = “la suma obtenida es par”
c) Defina los elementos que forman el evento C = “la suma obtenida es igual que
5”
d) ¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B?
e) ¿Son mutuamente excluyentes los eventos B y C?
f) Calcule P(A)
g) Calcule P(C).
h) Calcule la probabilidad de A o B.
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TRABAJO PRÁCTICO N° 5
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Ejercicio n° 1: Considere el experimento arrojar simultáneamente dos dados
equilibrados y la variable aleatoria X= “suma de puntos obtenida” y complete la
siguiente tabla
x
p(x)
P(x)
∑p(x)=
x . p(x)
∑ x.p(x)=
a) ¿Representa esta tabla una distribución de probabilidad?
b) ¿Cómo se llama el resultado obtenido en la sumatoria de la última columna? ¿Qué
significado tiene?
Ejercicio n° 2: En un grupo de personas hay 2 varones y 5 mujeres. Considere el
experimento seleccionar dos personas al azar con reposición y la variable aleatoria
X= “cantidad de varones seleccionados”. Halle la distribución de probabilidad y la
esperanza matemática. Interprete.
Ejercicio n° 4: Sea X una variable aleatoria que representa el número de animales
vacunados la última semana contra una cierta enfermedad y conociendo que:
X
p(X)
1
0.05
2
0.08
3
0.17
4
0.35
5
0.22
6
0.10
7
0.03
se pide:
a) Compruebe que se trata de una distribución de probabilidad.
b) Calcule E(x) y V(x)
c) Calcule P(x<3), P(4<x<7) y P(x>5)
Ejercicio n° 5: El número de inasistencias de un empleado durante una semana es una
variable aleatoria y su función de probabilidad es: P( X )  k  0,04 X , con X= 0, 1 , 2 ,
3, 4 y 5.
a) Halle el valor de k teniendo en cuenta las propiedades de la función de
probabilidad P(X).
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b) Calcule P(a  X  b) siendo a = 2 y b = 4.
c) Calcule P( X  3)
Ejercicio n° 6: El siguiente gráfico corresponde a una función de probabilidad.
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
a)
b)
c)
d)
2
3
4
Calcule P(x=2)
Calcule P(x<2)
Calcule P(x=2 o x=3)
Calcule P(x≥3)
Ejercicio n° 7: Sea X una variable aleatoria discreta que tiene distribución binomial de
parámetros n= 5 y p=0.25.(X ~Bi(5 ; 0.25)) Calcule las siguientes probabilidades:
a)
b)
c)
d)
P( X
P( X
P( X
P( X
 2)
 4)
 3)
 3)
Ejercicio nº 8: Un aserradero informa que 15% de los rollizos que recibe tiene algún
tipo de plaga por lo que hay que someterlos a un tratamiento antes de comenzar con el
proceso de producción de muebles. Si un determinado día llega un camión con rollizos
y se examinan 10 de ellos, calcule la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
Ninguno tenga plagas.
Solo uno tenga plagas.
A lo sumo dos estén con plagas.
Al menos uno esté con plagas.
Ejercicio nº 9: Se extraen 4 bolillas con reemplazo de una urna que contiene 5 blancas
y 3 negras.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan al menos 2 blancas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ninguna negra?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga a lo sumo dos blancas?
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Ejercicio nº 9: Una empresa sabe que el 10% las facturas que confeccionan sus
empleados son incorrectas. Si un día determinado el gerente desea examinar al azar 7
facturas.
a) ¿Qué probabilidad hay de que no encuentre ninguna incorrectamente
confeccionada?
b) ¿Qué probabilidad hay de que exactamente encuentre tres mal confeccionadas?
c) ¿Qué probabilidad hay de encontrar exactamente cuatro bien confeccionadas?
d) ¿Cuál es el número esperado de facturas mal confeccionadas?.
Ejercicio n° 10: Suponga que el 30% de todos los estudiantes que tienen que comprar
un texto para un curso particular desean uno nuevo, mientras que el 70% restante desea
comprar uno usado. Considérese seleccionar 25 compradores al azar
a)¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar del número que desean comprar
un ejemplar nuevo?
b)¿Cuál es la probabilidad de que el número que desea ejemplares nuevos esté a más de
dos desviaciones estándar del valor medio?
Ejercicio nº 11: Sea X una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro
  3 . (X ~ Po(3)).Calcule las siguientes probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P( X = 3)
P(X < 4)
P(X=0)
P(X > 2)
P(X  2)
P(X < 3)
P(X  3)
Ejercicio n° 12: La probabilidad de una semilla no germine es igual a 0.002. Encuentre
la probabilidad de que en un lote de 2500 semillas no germinen:
a)
b)
c)
d)
Cuatro semillas.
Menos de dos semillas.
Más de una semilla.
Tres semillas o más.
Ejercicio nº 13: Una compañía de seguros, basándose en estudios realizados con
anterioridad, ha descubierto que existe una probabilidad de 0,00001 de que una persona
del grupo de edades de 50 a 60 años fallezca, a causa de una enfermedad, durante el
período de un año. Si la compañía tiene 100.000 asegurados en ese grupo de edad, ¿Cuál
es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar 4 pólizas debido a muerte por esa
causa?.
Ejercicio n° 14: El número de mutaciones que ocurren en un carácter genético en un
período de un mes es cinco.
a) Calcule la probabilidad de que en un mes se registren seis mutaciones.
b) Calcule la probabilidad de que en un mes haya al menos tres mutaciones.
c) Calcule la probabilidad de que en dos meses haya cinco mutaciones.
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d) Calcule la probabilidad de que en tres meses no haya mutaciones.
e) Calcule la probabilidad de que en dos meses haya a lo sumo 10 mutaciones.
Ejercicio n° 15: Los casos de gripe registrados tienen un promedio semanal de 9. A
partir de esta información calcule:
a) La probabilidad de que en dos meses se registren 15 casos.
b) La probabilidad de que en un mes registren casos como mínimo 14 casos.
c) La probabilidad de que se registren al menos diez casos en una semana.
Ejercicio nº 16: Sea Z la variable aleatoria normal estandarizada de parámetros 0 y 1.
(Z ~ N(0 ; 1)). Calcule las siguientes probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
P( – 1 < z < 1.5)
P(-2 < z < -0.5)
P( z < 1.05)
P(z > -0.25)
P(z < -0,25)
P(0,28 < z < 1,8)
P(z < -1)
P(z > 1)
P(z > 0,54)
P(0 < z < ∞)
Ejercicio n° 17: Halle el valor de Z0 que cumpla la condición indicada en cada caso.
a)
b)
c)
d)
P(Z< Z0) = 0.8023
P(Z> Z0) = 0.1002
P(Z< Z0) = 0.3263
P(Z> Z0) = 0.9177
Ejercicio nº 18: Los salarios de un grupo de obreros siguen una distribución normal con
media igual a $380 y desviación estándar igual a $70. Calcule cuántos obreros ganan:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Menos de $296.
Más de $320.
Entre $240 y $420.
Entre $390 y 410.
Entre $350 y $375.
Exactamente $320.
Ejercicio nº 19: El tiempo que funciona un televisor sin registrar fallas tiene distribución
normal con media igual a 4 años y desvío estándar 1 año y medio.
a) Calcule la probabilidad de que un televisor dure más de 5 años.
b) Calcule la probabilidad de que un televisor dure entre 4 y 6 años.
c) ¿Cuál tiene que ser el tiempo de garantía que debe ofrecer el fabricante si quiere
que la probabilidad de que el televisor funcione hasta ese tiempo sea de 0.4?.
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Ejercicio n° 20: El promedio de alturas de plantas de maíz de un cierto híbrido es de
1.40m y el desvío estándar 0.20m. Suponiendo que la altura es una variable que tiene
distribución normal, halle la probabilidad de que una planta elegida al azar mida:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Entre 1.10 y 1.50m.
Entre 1.00 y 1.35m
Más de 1.60m
Más de 1.30m.
Menos de 1.10m.
Menos de 1.60m.
Ejercicio n° 21: Calcule en cada caso los valores de z que determinan la región
simétrica sombreada.
Función de densidad
0,40
Normal(0,1): p(evento)=0,9500
Densidad
0,30
0,20
95%
0,10
0,00
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
Variable
Función de densidad
0,50
Normal(0,1): p(evento)=0,9250
Densidad
0,38
0,25
92,5%
0,13
0,00
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
Variable
Función de densidad
0,40
Normal(0,1): p(evento)=0,0594
Densidad
0,30
0,20
0,10
5,9%
0,00
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
Variable
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TRABAJO PRÁCTICO N° 6
INDICADORES: TASAS, RAZONES Y PROPORCIONES
Ejercicio nº 1: En una población de 25000 habitantes se diagnostican 1500
pacientes con diabetes. Calcule la razón entre población diabética y población no
diabética.
Ejercicio nº 2: Interprete las siguientes tasas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Tasa Bruta de Mortalidad = 90/00
Tasa de Escolarización = 92%
Tasa de Mortalidad Infantil = 160/00
Tasa de Desgranamiento = 15%
Tasa de Repitencia = 20%
Tasa de Retención = 85%
Ejercicio nº 3: Los siguientes datos fueron extraídos del Censo Nacional de Población
y Vivienda llevado a cabo en el año 2001(Fuente: www.indec.gov.ar)
POBLACIÓN Y SUPERFICIE ARGENTINA EN 2001
TOTAL
VARONES
MUJERES
SUP (Km2)
36.260.130
17.659.072
18.601.058
2.780.406
POBLACIÓN Y SUPERFICIE FORMOSA EN 2011
TOTAL
VARONES
MUJERES
SUP (Km2)
486.559
244.160
242.399
72.066
DEFUNCIONES GENERALES TOTAL PAÍS EN 2011
TOTAL
VARONES
MUJERES
275.577
148.336
127.241
DEFUNCIONES DE MENORES DE 1 AÑO TOTAL DEL PAÍS AÑO 2000
11651
NACIDOS VIVOS TOTAL PAÍS AÑO 2000
701878
A partir de estos datos elija calcule e interprete los siguientes indicadores:
a) Dos tasas brutas y una específica.
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b) Dos razones.
c) Dos proporciones.
Ejercicio n° 4: La población de la Provincia de Formosa en el año 2001 era de 486.559
habitantes y la de Corrientes 930.991 según el censo de ese año.
En el 2010 la población de Formosa ascendió a 530.162 y la de Corrientes a 992.595.
a) Calcule el incremento intercensal de la población en cada provincia. ¿Qué provincia
tuvo mayor aumento en la cantidad de habitantes?
b) Calcule la proporción de incremento de la población en cada provincia. ¿Qué
provincia tuvo una mayor proporción de aumento en su población?
Ejercicio n° 5: Los resultados de una encuesta muestra los siguientes datos:
Total de encuestados: 160
Solteros: 137
Casados: 10
Unidos de hecho: 13
Obtenga el porcentaje de alumnos de la muestra (total de inscriptos 475), el porcentaje
de solteros, de casados y de unidos de hecho.
Ejercicio n°6: En la ciudad A, en al año 2009 cuya población es 9500 varones y 8870
mujeres, se detectaron 35 personas con diagnóstico de cáncer de cuello uterino y 97 con
cáncer de pulmón, en el primer grupo fallecieron 7 personas y en el segundo 11. Calcule
los indicadores de salud que se pueden obtener con estos datos. Interprete.
Ejercicio n° 7: En 2003, el barrio Juan D. Perón de la ciudad de Formosa tenía una
población de 8500 habitantes. En ese período ocurrieron 186 nacimientos y 30
defunciones generales. Una de las muertes fue por causa vinculada al embarazo, 12
afectaron a menores de 1 año (5 de menos de 27 días). Hubo 23 nacidos con bajo peso.
A partir de esta información obtenga:
a)
b)
c)
d)
Tasa de natalidad
Tasa de mortalidad general
Tasa de mortalidad infantil
Proporción de nacidos con bajo peso.
Ejercicio n° 8: A partir de los siguientes datos de una escuela de educación primaria
Total matriculados en 2° año: 125
Alumnos repitientes de 2° año : 15
Alumnos que promocionaron a 3er año: 98
Calcule:
a)
b)
c)
Tasa de repitencia
Tasa de retención
Tasa de desgranamiento
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Ejercicio n° 9: En una pequeña localidad no se registran todos los nacimientos que se
producen. ¿Qué ocurre con la tasa de mortalidad infantil en esos casos? ¿Qué ocurriría
si se comenzara a registrar todos los nacimientos?
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