Más problemas de normal y binomial.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DISTRIBUCIÓN NORMAL.
1. Una empresa vendedora de automóviles recibe el pago al contado del 20% de sus ventas. En un
determinado día ha vendido 5 unidades:
a) ¿Qué tipo de variable aleatoria es la forma de pago?
Sol: B(5, 0'2)
b) ¿Qué probabilidad de que al menos dos unidades se hayan vendido al contado?
Sol:
0'2627
c) ¿Qué probabilidad hay de que un máximo de 2 unidades se hayan vendido a plazos?
Sol: 0'0579
d) Hallar el número esperado de ventas al contado.
Sol: 1
e) Hallar la varianza de la variable.
Sol: 0'8
2. A nivel nacional el 70% de los clientes de una entidad bancaria declara estar satisfecho de los
servicios de la misma. Una sucursal realiza un sondeo a 10 clientes de la misma.
a) ¿Qué tipo de variable aleatoria es el nº de clientes que contestan estar satisfechos?
Sol: B(10,0'7)
b) ¿Qué probabilidad hay de que a lo sumo 6 clientes respondan estar satisfechos?
Sol:
0'6172
c) ¿Qué probabilidad hay de que entre 3 y 6 clientes declaren estar satisfechos? Sol: 0'6066
d) Hallar el nº esperado y la varianza de la variable.
Sol: 7 y 2'1.
3. La ruleta de un casino consta de 40 casillas numeradas del 1 al 40. Los números acabados en 1,
2, 3, 4 ó 5 son rojos, y el resto negros. Puesta en marcha la ruleta, se consideran los sucesos siguientes:
A = el resultado es un nº de la primera decena, B = el resultado es un nº par y C = el
resultado es un nº rojo. Averigua:
a) La probabilidad p(C - A).
Sol: 3/8
b) La probabilidad de que el nº sea de la 1ª decena, sabiendo que es rojo. Sol: 1/4.
c) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Y los sucesos A y C?
Sol: A y B son inde-
pendientes, A y C son independientes.
4. El 4% de los disquetes de un ordenador que fabrica una determinada empresa resulta defectuoso. Los disquetes se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcular la probabilidad de que en una
caja no haya ninguno defectuoso.
Sol: 0'8154
5. La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es 0'45. Se lanza la moneda 7 veces.
Calcula la probabilidad de que:
a) Salgan exactamente 3 caras.
Sol: 0'2918
b) Salgan al menos 3 caras.
Sol: 0’ 6835
c) Salgan a lo sumo 3 caras.
Sol: 0’ 6082
6. Se lanza 3 veces un dado de 4 caras y se considera el suceso salir cara 1. Calcula la esperanza
matemática y la varianza.
a) Mediante la distribución de probabilidad.
Sol: 0'7499 y 0'5623
b) Mediante los parámetros n y p de la distribución binomial.
Sol: 0'75 y 0'5625
7. En un grupo de 100 alumnos se anotan las faltas a clase a lo largo de un trimestre, obteniendo
los siguientes resultados:
1
Nº de faltas
0
1
2
3
Nº de alumnos
7
50
41
2
a) Ajusta una distribución binomial a estos datos.
Sol: B(3, 0'46)
b) Compara los resultados teóricos con los experimentales. ¿Es bueno el ajuste?
Sol:
X
0
1
2
3
Experimentales
7
50
41
2
Teóricos
16
41
33
9
El ajuste no es bueno.
8. Se lanzan al aire 3 monedas y se pide:
a) Escribir el espacio muestral.
Sol: E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC,
XXX}
b) Suceso A = obtener 0 caras.
Sol: A = {XXX}
c) Suceso B = obtener 1 cara.
Sol: B = {CXX, XCX, XXC}
d) Suceso C = obtener 2 caras.
Sol: C = {CCX, CXC, XCC}
e) Suceso D = obtener 3 caras.
Sol: D = {CCC}
9. Se elige al azar uno de los 50 primeros números naturales.
a) Calcula la probabilidad de que el nº elegido sea cuadrado perfecto.
Sol: 7/50.
b) Sabiendo que el nº elegido es múltiplo de 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea cuadrado
perfecto?
Sol: 1/8
10. Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) La suma de ptos aparecidos es 7 y la diferencia igual a 3.
Sol: 1/18
b) La suma de ptos aparecidos es 7 si se sabe que su diferencia es igual a 3.
Sol: 1/3
11. En un examen de Matemáticas se ha evaluado de 0 a 20 puntos, obteniendo el 67% de los alumnos puntuaciones iguales o inferiores a 12’2 y el 9% ha obtenido puntuaciones superiores a 16’7.
La distribución de las puntuaciones es normal. Calcula la media y la desviación típica. Sol: x  10 ,
 = 5.
12. Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribución N(4’2, 1’3).
Calcula:
a) Número de alumnos con nota entre 5 y 7.
Sol: 9 alumnos
b) Número de alumnos con nota entre 4 y 6.
Sol: 17 alumnos
13. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 g y desviación típica 20 g. Un
almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcula:
a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 kg.
b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que esté entre 160 y 200 kg.
Sol: 668 kilos
Sol: 6.826 kilos.
14. El Gobierno de Navarra ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado
de COU y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 44 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores de COU, halla:
2
a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años?
Sol: 27
b) ¿Cuántos de 55 años o más?
Sol: 13
15. En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de
media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso osSol: 0’4868
cile entre 80 g y la media?
16. La duración media de un lavavajillas es de 15 años, con una desviación típica igual a 0’5 años. Si
la vida útil de electrodomésticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comSol: 0’0228
prar un lavavajillas éste dure más de 16 años.
17. Aproximando con una distribución normal, calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda
100 veces, el número de caras obtenido esté comprendido entre 45 y 55.
Sol: 0’ 6318
18. Una compañía de autobuses realiza un estudio sobre el número de veces que semanalmente
utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos se distribuyen N(10,3). Calcula la probabilidad de que un usuario utilice el autobús:
Sol: 0’3707
a) Más de 11 veces.
Sol: 0’2514
b) Menos de 8 veces.
19. El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de 45 mm:
a) Determina su desviación típica, sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga su diámetro mayor de 50 mm es igual a 0’006.
Sol: 1’99
b) Si se analizan 820 piezas, ¿cuántas tendrán el diámetro comprendido entre 39’7 mm y 43’5
mm?
Sol: 183 piezas.
20. Se sabe, después de una larga serie de observaciones, que sólo superan una cierta prueba el
10% de los presentados. De un conjunto de 500 aspirantes, ¿cuál es la probabilidad de que
aprueben más de 80?
Sol: 0
21. Se lanza un dado 600 veces. Probabilidad de obtener un as, más de 90 veces y menos de 110.
Sol: 0’ 7016
22. En un examen se propone un test con cuatro posibles respuestas en cada una de las 200 cuestiones pregunta. Sabiendo que sólo una de las cuatro respuestas es correcta, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno acierte más de 40 si contesta al azar?
Sol: 0’ 9394
23. El 5% de las piezas obtenidas en cierto proceso de fabricación resultan defectuosas. ¿Cuál es la
probabilidad de que en 1000 piezas fabricadas resulten defectuosas menos de 35? Sol: 0’ 0122
3