EXAMEN DE Ã LGEBRA, FEBRERO 2002 PN TEORÃ A:

EXAMEN DE Ã LGEBRA, FEBRERO 2002 PN
TEORÃ A:
1.- Razona adecuadamente o proporciona un contraejemplo: Dos planos (subespacios vectoriales de
dimensión 2) siempre se cortan (se interceptan) en una recta (subespacio vectorial se dimensión 1)
2.- Sean tres vectores de ninguno nulo, tales que:
>
>
Determinar el rango de los vectores
de
3.- Discutir y calcular el rango de la siguiente matriz en función de los valores de los parámetros de y
4.- Sea una aplicación lineal dada por:
¿ Es usted capaz de encontrar dos vectores distintos u, v tales que f(u)=f(v)=0?. Razone su respuesta..
Sea (E,g) un espacio euclÃ−deo y sea V un subespacio vectorial de E. Se tiene que Luego:
¿Puede usted afirmar que
5.- Defina los siguientes conceptos: base de un espacio vectorial, rango de una matriz, espacio ortogonal a uno
dado en un espacio vectorial euclÃ−deo, núcleo de una aplicación lineal.
6.- Demuéstrese que si f es una aplicación lineal entonces f(0)=0
7.- Demuéstrese que si es una aplicación lineal entonces kerf es un subespacio vectorial de
8.- Demuéstrese que una condición suficiente para que una aplicación lineal entre dos subespacios
vectoriales de la misma dimensión sea isomorfismo es que f sea inyectiva.
EXAMEN DE Ã LGEBRA FEBRERO 2002 PN
PROBLEMAS
1.- Sea
• Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal inyectiva y si es posible, una base del Ker f
• Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal epiyectiva
• Sean:
Calcular ; y
2.- Sea una aplicación lineal dada por :
1
;;
• Factorice por el método L-U la matriz A de la aplicación lineal f cuando consideramos en la base
• Encuentre un vector de tal que f(a,b,c)=(1,2,3)
• Sea otra base que se relaciona con la anterior por las fórmulas siguientes: ;
Calcule la matriz asociada a f en la base de
3.- Sea:
• Calcule los valores propios de la aplicación lineal que tiene la matriz A por matriz asociada
• Calcule donde es la matriz identidad de orden tres.
4.-Sea un espacio euclÃ−deo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones
es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;
• Sea V =Calcule las ecuaciones paramétricas de y las ecuaciones implÃ−citas de
• Dé una base de . ¿Están en suma directa?
• Calcule una base ortonormal de
EXAMEN DE Ã LGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN
TEORÃ A:
1.- Teorema de la base. Enunciado y demostración.
2.-Dada la base B, formada por los vectores u=(1,1,2) y v=(2,1,1), amplÃ−ese a una base B´ del total
utilizando el teorema de Steinitz.
3.- DefÃ−nase el concepto de base. Demuéstrese si los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) forman base.
4.- DefÃ−nase el concepto de coordenadas. Calcúlense las coordenadas en la base B={(1,-2),(2,1)} del
vector w=(4,7).
5.- Se considera la matriz A= expresada en la base canónica. Calcúlese dicha matriz en la base
B={(2,2),(1,-1)}.
6.- Demuéstrese que si T es un isomorfismo entonces su matriz asociada es invertible.
7.- DefÃ−nase el rango de una matriz. Calcúlese el rango de A=
8.- Dados los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) determÃ−nese a partir de ellos y con el producto escalar usual una
base ortonormal.
EXAMEN DE Ã LGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN
PROBLEMAS:
1.- Consideremos los subespacios U, V, W contenidos en , definidos como sigue:
• Calcular las dimensiones y una base de los espacios V, V W
• Obtener las ecuaciones paramétricas e implÃ−citas de W U
2
• Obtener un subespacio suplementario de V W
2.- Dado el endomorfismo de definido por f(x,y,z)=(x´,y´,z´) donde
Se pide:
• Calcular a y b para que (1,1,b) no esté en la imagen de f
• Calcular todos los valores de a y b para que el Ker f tenga un único elemento
• Encontrar para a=-1 y b=1 una solución del sistema f(x,y,z)=(1,1,1)
3.- Calcular usando para ello propiedades de diagonalización de:
4.- Sea un espacio euclÃ−deo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones
es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;
Sea V =
• Dar una base de ¿Están estos subespacios en suma directa?
• Calcule una base ortonormal de
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