Ejercicios 11

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad:
Función Logarítmica
Nombre Asignatura:
Algebra
Semana Nº:
Sigla
11
Actividad Nº
11
Lugar
MAT200
Sala de clases
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Aprendizaje 1
Identifica los coeficientes característicos de la función logarítmica.
Aprendizaje 2
Grafica de la función logarítmica como herramienta de modelamiento de problemas.
Resuelve problemas relativos al cálculo de imágenes y pre imágenes de la función
logarítmica.
Aprendizaje 3
FUNCION LOGARITMO
La
función
exponencial
tiene
una función inversa, llamada función Logaritmo,
y
intercambiemos x por y, tenemos b  x , tenemos que “y es el exponente al que se eleva
la base b para obtener x”. Reemplazando exponente por logaritmo se tiene que “y es el
logaritmo en la base b de x”, es decir;
y
y  logb x  b  x
Forma
f ( x)  logb x
con b  1
Donde
b = número real positivo, llamado
x
base
=argumento del logaritmo
El dominio de la función logaritmo es el conjunto de los números reales positivos
(sin incluir al cero).
Propiedades Importantes
1. logb b  1
2. logb 1  0
3. logb x n  n  logb x
Logaritmos Decimales
Si b  10 , se tiene que
log10 x  log x
Logaritmo natural
Si b  e , se tiene
y  loge x y se escribe y  ln x .
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I.
A PARTIR DEL MODELO LOGARÍTMICO RESPONDA.
1. Una
población
de
bacterias
cambia
según
el
modelo
logarítmico
P  12.000 ln (1  0,25 t )  1.000 donde t es el tiempo en días.
a) ¿Cuál es la población inicial de bacterias?
b) ¿Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días?
2. El
crecimiento
(altura
=
h)
de
árboles
enanos
en
un
vivero
esta
dado
h  3,5  log(0,75 t  1)  12,5 donde t es el tiempo en meses y h en centímetros.
a) Inicialmente, ¿cuál es la altura de los árboles?
b) ¿Qué altura tendrán los árboles después de 16 meses?
3. La relación entre la energía liberada E (en Joule), y la magnitud de un terremoto M
(Richter) viene dada por M 
1,74  logE / 10.000
. De esta ecuación se puede
1,63
deducir que para una variación de un solo punto en la escala de magnitudes, la
energía liberada se multiplica por 30.
a) Si un temblor libera una energía de 15.000 Joule, ¿Cuál es la magnitud del
temblor?
b) ¿Y si un terremoto libera 4,5· 1016 Joule de energía?
4. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la acidez
o la basicidad de
ciertas soluciones. Por definición,
 
pH   log H 
donde [H+] es
la concentración de iones hidrógenos en moles por litros. Aproxime el pH de las
siguientes soluciones dados sus correspondientes [H+]:
6,3 103
5
b) Zanahoria: [H+] = 1,0 10
9
c) Agua de mar: [H+] = 5,0 10
a) Vinagre: [H+] =
5. Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas
más débiles (con flujo luminoso L 0) se les asigna magnitud 6. A las estrellas más
brillantes se le asigna magnitud conforme a la fórmula:
L
M  6  2,5  log  , en
 L0 
donde L es el flujo luminoso de la estrella.
a) Determine M si L  L0
b) Determine M
si
L  100, 4  L0
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por
6. Si usted tuviera un fósil con un P% de carbono 14 en relación con una muestra viva,
 p 
ln

 100  5730 años.
entonces el fósil tendría una antigüedad T de T ( p)  
0,693
a) Si inicialmente una materia viva tiene un 99,9 % de carbono 14 . ¿Cuántos años
tiene?
b) Un fósil con un 10% de carbono 14. ¿Cuántos años de antigüedad tendría?
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO
La gráfica de una función logaritmo
f ( x)  logb x es una curva que depende de b
0  b 1
b 1
La grafica pasa por el punto (1,0) ya que
logb 1  0
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DETERMINE
LA
LOGARITMICO.
GRAFICA
CORRESPONDIENTE
A
PARTIR
DEL
MODELO
7. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M dada
por: M ( x)  log(10
3
x) . ¿Qué gráfico modela la situación?
8. Un constructor necesita saber en cuanto tiempo t se enfría totalmente un objeto que
tiene temperatura T y para ello se rige por la siguiente función:
 50  T 
t  2 log
.
 30 
¿Cuál es el gráfico que modela la situación?
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9. Se quiere saber cuántos años deberán pasar para que un auto tenga un valor de Vf
millones de pesos, ya que este se deprecia pasados los t años.
 Vf 
t  7 log
 ¿Cuál
 0,03 
es el gráfico que modela la situación?.
10. Dada la presión p del aire se quiere conocer la altura H, en metros, sobre el nivel del
mar, está dada por:
H ( p)  0,8 ln( p)  2 no ayuda a determinar esta altura. ¿Cuál es
el gráfico que modela la situación?.
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11. Un alumno de recursos naturales quiere saber en cuanto tiempo t habrá una
población especifica de abejas, P miles. Para conocer el tiempo creo la siguiente
fórmula:
t
ln(P / 50)
¿Cuál es el gráfico que modela la situación?.
 1,3
12. Un electrónico necesita calcular las redes que debe instalar a partir de un total de
router T si cada conexión tiene 3 routers. La fórmula para calcular el total de redes
está dada por: R 
log(T )
. ¿Cuál es el gráfico que modela la situación?.
log(3)
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SOLUCIONES
1. a) 1.000 bacterias.
b) 32.232 bacterias
2. a) 12,5 centímetros
b) 16,4 centímetros
3. a) 1,2 de magnitud
b) 8,8 de magnitud
4. a) 2,2 pH
b) 5 pH
5. a) 6 de magnitud
b) 5 de magnitud
6. a) 8,3 años
b) 19.039 años aproximadamente.
c) 8,3 pH
7. Modelo 3
8. Modelo 3
9. Modelo 2
10. Modelo 1
11. Modelo 2
12. Modelo 1
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