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Función Exponencial
Def.: Sea b∈IR+-{1}, se llama función
exponencial de base b, denotada por
Expb, a la función
Expb:IR→ IR+
x→y=Expb(x)= bx
Ejemplo: Sea Exp3:IR→IR+
x → y=Exp3(x)=3x
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y=3x
1/81
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
81
Dom(Expb)=IR y Rec(Expb)=IR+
bx≠0 ∀x∈IR no corta el eje x pero es asintótica a él
Si b>1 se cumple:
a)X1< x2 → Expb(x1) < Expb(x2), es extrictamente
creciente.
b) X > 0 → Expb(x)>1
c) X < 0 → 0< Expb(x)<1
Expb(0)=1 ∀b∈IR+-{1}
Expb(x) es inyectiva
Expb(x) es sobreyectiva
Luego Expb(x) es biyectiva tiene función inversa
Ejemplo: Sea Exp 1/3:IR→IR+
x → y=Exp 1/3(x)=(1/3)x
x
-4
Y=(1/3)x 81
-3 -2
-1 0
1
27 9
3 1
1/3 1/9 1/27 1/81
Dom(Expb)=IR y
2
3
4
Rec(Expb)=IR+
bx≠0 ∀x∈IR no corta el eje x pero es asintótica a él
Si0< b<1 se cumple:
a)X1< x2 → Exp b (x1) > Expb(x2), es extrictamente
decreciente.
b) X < 0 → Expb(x)>1
c) X > 0 → 0< Expb(x)<1
Expb(0)=1 ∀b∈IR+-{1}
Expb(x) es inyectiva
Expb(x) es sobreyectiva
Luego Expb(x) es biyectiva tiene función inversa
Propiedades: Sean a,b∈IR+-{1},y
sean x,y∈IR
•
•
•
•
•
•
•
bx+y=bxby
bx-y=bx/by
b0 =1
(ab)x=axbx
b-x= 1/bx
bx-y=bx/by
bx=byսx=y
• Ejemplo: Trazar la gráfica de
f: IR →IR+
x →y= 3 − x + 2
2
g: IR →IR+
x − 3
3
x →y=
Analizar la inyectividad y sobreyectividad de las
funciones anteriores.
F:IR→IR+
x →y=
3
− x2 +2
• Sabemos que la base es 3 es mayor que uno
x
-4 -3
− x +2
3
Y=
3-14 3-7
2
-2 -1
3-2 31=3
0
1
2
32=9 31=3 3-2
3
3-7
f no es inyectiva por ejemplo
–1 ≠1 y f(-1)=f(1)=3
Recorrido de f es ]0, 9]
f no es sobreyectiva por que
Rec(f) ≠Cod(f)
f no biyectiva
g: IR →IR+
x →y= 3 x −3
• Resolviendo el exponente de la función se
obtiene la siguiente función por tramo:
y=f(x)=
x
3.0001 4
Y=3x-3 30.0001
3
 3 x −3
 − x +3
3
si x > 3
si x ≤ 3
5
6
7
32
33
34
• Para la otra función tenemos:
x
3
Y=3-x+3 1
2
1
0
-1
31
32
33
34
Su grafica es :
F no es inyectiva pues 2≠4
y f(2)=f(4) =3
Recorrido de f es [ 1, + ∝ [
f no es sobreyectiva ¿por
qué?
f no es biyectiva ¿por qué?
Función inversa de la exponencial(Expb(x)) es la
función logaritmo en base b ( logb(x))
Def.: Logb:IR+ → IR, b se llama base (b ∈IR+-{-1})
x →y= logb(x)
Se llama función logaritmo con base b
Obs.:a) y = logb(x) ↔ by = x
b) Si la base del logaritmo es “10” se llama
logaritmo común o Biggs y se denota por :
log10(x) = log(x).
c) Si la base del logaritmo es “e” se denomina
loagritmo natural y se denota por:
loge(x) = ln(x)
De la observación anterior se tiene que
y = logb(x) ↔ by = x
Ejemplos:
a) Log2(16)=x ↔ 2x = 16 =24 ↔x=4
b) logx(81)= 4 ↔x4 = 81 = 34 ↔ x = 3
c) Log5(x)= 6 ↔ 56 = x ↔ x= 15625
d) Log1/2(16) =x ↔
e) Log4(x)=-1/2 ↔
f) Logb(125)=3 ↔
Graficar la función a) y=log3(x)
• El dom(f) =IR+
x
1/27 1/9 1/3 1
Y=Log3(x) -3
-2
-1
0
3
9
27 81 243
1
2
3
4
5
Rec(f) =IR, la función es estrictamente
creciente Si b>1
Se observa que :
Si b> 1 y x>1 , entonces log b (x)>1
Si b > 1 y 0<x<1 , entonces log b (x)< 0
Log3(1)=0, log3(3)=1, en genera log b
(1)l=0 y logb(b)=1
La función es inyectiva y sobreyectiva .
Luego es biyectiva su función inversa es
la función exponencial con base b=3
Graficar la función b) y= log 1/3(x)
• Dom(f) =IR+
x
1/81
Y= log 1/3(x) 4
1/27 1/9 1/3 1
3
3
-1 -2 -3
2
3
0
9 27 81
-4
Rec(f) =IR , f es estrictamente
decreciente si 0<b<1
Se observa que :Logb(1)=0 y Logb(b)=1
f inyectiva y sobreyectiva. Luego f es
biyectiva. Su su función inversa es la
función exponencial con base b = 1/3
Si 0<b<1 y 0<x<1 entonces logb(x) >1
Si 0<b<1 y x>1 entonces logb(x)< 0
Ejemplo: Sea f: IR →IR
, tal que
x →y=f(x)=e-x,
a) ¿Es f una función inyectiva? Justifique su
respuesta.
b)¿ Es f una función sobreyectiva? Justifique su
respuesta.
c)¿Posee inversa la función? Si su respuesta es
afirmativa defina la función inversa, es decir ,
indique dominio, codominio y ecuación de
definición. Si su respuesta es negativa, restringir
convenientemente la función de f de modo que
acepte inversa y luego defina la inversa de la
función restringida.
d)Dibuje el gráfico de la función f y su inversa en
el mismo par ejes coordenados.
Solución
{
Dom( f ) = x ∈ IR / ∃! y ∈ IR ∧ y = e − x
Dom( f ) = IR
{
−x
}
}
Re c( f ) = y ∈ IR / ∃x ∈ IR ∧ y = e ∧ y > 0
Re c( f ) = {y ∈ IR / ∃x ∈ IR ∧ ln y = − x ∧ y > 0}
Re c( f ) = {y ∈ IR / ∃x ∈ IR ∧ − ln y = x ∧ y > 0}
Re c( f ) = IR +
f es Inyectividad pues
Sean
f ( a ) =
a , b
∈
IR
f (b ) ⇒
⇒
⇒
( Dom
e − a
− a
a
=
( f ))
= e −
= − b
b
b
Luego f es inyectiva.
f no es sobreyectiva por que Rec(f) = IR+
≠Cod(f)=IR, luego habrá que restringir el
codominio para que la función sea
sobreyectiva, en efecto,
f*:IR→ IR+
x → f*(x)= e-x
Es una función inyectiva y sobreyectiva,
entonces f* es biyectiva, es decir tiene
función inversa definida por :
f*-1:IR+→IR
x →f*-1(x)=-lnx
Su gráfica es:
Propiedades : ∀x,y,b,aεIR+, con
b≠1y a ≠1 se verifica:
a) logb(x•y)= logb(x) + logb(y)
b) logb(x/y) = logb(x) - logb(y)
donde n ∈IR
c) logb(xn) = n logb(x)
log
log b ( x ) =
log
d)
e) logb(bx)=x
logb ( x)
f)
b
g) logb(1)=0
h) logb(b)= 1
=x
(x)
a (b )
a
(Cambio de base)
Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas
• Resolver las siguientes ecuaciones:
b) 4x=6(4x*x)
a) 3x+3-x=2
c) e2x-8= 28
d) 52x-1=2
e) 4x = 28
f) 2*3x+1= 23x
g) 2x-2= e3x-1
h) log3(3x-4)=3
i) logx3= 3-1
j) log3(2x2+17x)=2
k) 2ln(x+2)-lnx=ln8
l) 2lnx=ln4+ln(x+3)
Sean f:A⊆IR →IR
x →y=f(x)
Encontrar
a) Dom(f)
b) Rec(f)
c) ¿es inyectiva? Justifique su respuesta
d) ¿Es sobreyectiva? Justifique su respuesta
e) ¿Posee inversa la función? Si su respuesta es
afirmativa defina la función inversa, es decir , indique
dominio, codominio y ecuación de definición. Si su
respuesta es negativa, restringir convenientemente la
función de f de modo que acepte inversa y luego
defina la inversa de la función restringida.
d)Dibuje el gráfico de la función f y su inversa en el
mismo par ejes coordenados.
a) y=3x-2
b) y=10+5-x
c) y= 9-3x
d) y= 23x+8
e) y= 22x-3
f) y=log2(x-2)
h) y=log3(x+3)-2
g) y=log2(x)+2
i) y= log3(2x+4)+2
j) y= log2Ix+2I
l) y= 3Ix+5I
k) y= 2I2x-3I
2+ x
m) y= ln  2 − x 
n) y= log2(x+1)-log2(x-1)
ñ)y=
 x2 − 3x + 2 

ln 
+
1
x


o) y= 2+exp2Ix-2I