UNIDAD 8 INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos solución en la recta numérica y los expresarás en términos de intervalos. Objetivo 2. Recordarás a qué se llama “inecuación” y conjunto solución de una inecuación. Ejercicios resueltos: Determina si las siguientes inecuaciones son desigualdades absolutas o condicionales: 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) 6 x 36 21 3y 21y 21 4 x 11x x 6 23 ( ) Absoluta (X) Condicional ( Absoluta ) (X) Condicional ( Absoluta ) (X) Condicional (X) Absoluta ( ) Condicional ( ) Absoluta (X) Condicional 6.) 7.) 3 5 x 5 x 1 3 5x Objetivo 3. 2 1 (X) Absoluta ( Condicional ) (X) Absoluta ( Condicional ) Recordarás las definiciones de “intervalo cerrado”, “intervalo abierto” e “intervalo semiabierto” o “semicerrado”. Ejercicios resueltos: Determina si los intervalos que se dan son abiertos, cerrados o semiabiertos, y represéntalos gráficamente en la recta numérica. 1.) 2, 1 Es cerrado. 2.) 2, 1 Es semiabierto. 3.) , 2 Es abierto. 4.) 3 2 , 4 Es abierto. Objetivo 4. Recordarás las propiedades generales de las desigualdades. Ejercicios resueltos: Indica si el signo de la desigualdad se conserva o se invierte al realizar en ambos miembros las operaciones indicadas. 1.) Restar 21 2.) Multiplicar por 7 ( X ) Se conserva ( ) Se invierte ( ) Se conserva ( X ) Se invierte 3.) Sumar 4 ( X ) Se conserva ( 4.) Dividir entre 16 ) Se invierte ( X ) Se conserva ( ) Se invierte 5.) Restar 3 x 6 ( X ) Se conserva 6.) Multiplicar por 3y ( ) Se invierte ( ) Se conserva ( ) Se invierte No es posible decidir la respuesta mientras no se sepa el valor de y . Si es positivo se conserva y en caso contrario se invierte. Objetivo 5. Aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones lineales y cuadráticas. Ejercicios resueltos: Obtén los intervalos que resuelven las siguientes inecuaciones, y represéntalos gráficamente. 1.) 2 4 3x 5 10 4 3 x 10 4 3x 14 3 x 14 3x 14 x 3 2.) x5 x 3 x 1 3 x 5 3x 9 x 1 2 x 5 9 x 9 2 x 9 x 9 5 7 x 14 x2 3.) 1 6 2x 4 Se necesita que 2 x 4 0 para que el cociente sea positivo. 1 6 2 x 4 1 12 x 24 1 24 12 x 23 12 x 23 x 12 y, como 2 x 4 0 : 2x 4 x2 La solución es: 2312 , 2 4.) x 1 1 x Si x 0 : x 1 x x x 1 0 1 lo cual es cierto. Si x 0 : x 1 x x x 1 0 1 lo cual es falso. Por tanto, la solución se da cuando x 0 : 0, 5.) 2 x x2 0 x2 x 2 0 x 2 x 2 0 x 1 x 2 0 Valores críticos: x 1, x 2 . Intervalos a considerar: x 1, 1 x 2, 2 x Para x 1 los dos factores son negativos, el producto también (por el signo menos que afecta al producto). La desigualdad se cumple. Para 1 x 2 los factores tienen signos contrarios, el producto es positivo. La desigualdad no se cumple. Para 2 x los dos factores son positivos, el producto es negativo. La desigualdad se cumple. Además, en este caso los valores críticos sí satisfacen la inecuación, puesto que está planteada en términos de 'menor o igual', o sea que si el producto es cero la desigualdad se cumple. La solución es: , 1 2, Objetivo 6. Recordarás a qué se llama “valor absoluto” de una cantidad y aplicarás las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones que incluyen valores absolutos. Ejercicios resueltos: Obtén la solución de las siguientes inecuaciones. 1.) x 12 8 8 x 12 8 8 12 x 8 12 20 x 4 La solución es el intervalo 20, 4 2.) 5 x 15 10 10 5 x 15 10 10 15 5 x 10 15 5 5 x 25 1 x 5 El intervalo que satisface la inecuación es 1, 5 . 3.) x 4 4 6 x4 2 2 x 4 2 2 x6 El intervalo que satisface la inecuación es 2, 6 4.) x 4 5 2 x 4 5 2 x 5 4 2 x 9 2 x 18 x 45 2 x 54 2 x 1 2 x2 La solución es , 18 2, . 5.) 3 4 5x 1 5 4 5x 2 5 No tiene solución. 6.) 6 2x 2 3 6 2x 2 3 6 6 2 x 6 2 12 2 x 0 6 x 0 La solución es 6, 0 7.) 5 3 x 1 2 1 1 5 3x 2 2 1 1 5 3 x 5 2 2 11 9 3 x 2 2 En el siguiente paso, al dividir entre 3 que es un número negativo, los sentidos de las desigualdades cambian 11 9 x 2 3 2 3 11 x 9 6 6 que, escrito en la forma tradicional es 9 x 11 6 6 y la solución es 3 2 ,116 8.) 2 x 3 5 7 2 x 3 5 7 35 2 x 3 35 38 2 x 32 19 x 16 5 16 x 19 La solución es 16,19 .