

Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad.
Matemáticas II.
Junio 2006.
OPCIÓN A
 1 3


1 2  
 y B    0  donde  es un número real.
1. Se consideran las matrices A  
1  1  1
 0 2


a) Encontrar los valores de  para los que la matriz AB tiene inversa.
[1,5 puntos]
x
  a
b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A  y     compatible determinado con A la
 z  b
 
matriz del enunciado?. [1 punto]
SOLUCIÓN.
1
1 2   
   
a) A  B  
 1  1  1  0

3
  1  2 3  2 
.
0   
1 
1 


2
A  B tiene inversa cuando A  B  0 :

1  2 3  2
 1  2  3  2  3  22  22  3  2  0 
1 
1
 3  9  16  3  5
1

   ,   2 .
4
4
2
Luego la matriz A  B tiene inversa para  
1
y 2
2
b) No puede serlo. La matriz A tiene un rango máximo de 2 y el número de incógnitas es de 3.
bx
tenga como asíntota vertical la recta x  2 y como
xa
asíntota horizontal la recta y  3 . Razonar si para a  2 y b  3 la función f ( x ) tiene algún mínimo relativo.
[2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
2. Calcular los valores de a y b para que la función f ( x ) 
 Para que x  2 sea una asíntota vertical de la función, debe ser a  2 pues lím
x 2
bx

x2
Para que y  3 sea una asíntota horizontal debe ser lím f (x)  3 y eso ocurre cuando b  3 pues lím
x 
 f (x) 
x 
3x
3 x  2  3x
6
 f ' (x) 

 0 x  La función no tiene extremos relativos.
2
x2
x  2
x  22
3x
3
x2
1
3. a) Utilizando el cambio de variable t  e x , calcular
b) Calcular lím
sen x
x 0
7x 2
e
x ex
dx
[1,5 puntos]
[1 punto]
SOLUCIÓN.
a) t  e x  dt  e x dx . Se tiene:
b) lím
x 0
sen x
7x
2

0
0
L' H
 lím
x 0
e
x ex

x

x
dx  e x  e e dx  e t dt  e t  C  e e  C
cos x 1
 
14x
0
 x  2  2k
 x  1  k


r
:
y

1

k
s
:
4. Calcular la distancia entre las rectas r y s, donde
y

 y  1  3k
z  3 k
 z  4  2k


SOLUCIÓN.
Estudiemos la posición relativa de las dos rectas:
u  2 , 1 , 1 es un vector direccional de r y v  1 , 3 , 2 un vector direccional de s  las rectas no son paralelas
puesto que sus coordenadas no son proporcionales.
A 2 , 1 , 3 es un punto de r y B  1 , 1 , 4 un punto de s  AB   3 , 2 , 1
Veamos si los vectores u, v y AB son o no linealmente independientes:
2 1 1
1
3  2  6  2  6  9  1  8  0  los vectores son linealmente dependientes  las rectas están en un
3 2 1
mismo plano y, por tanto, se cortan  d  r , s   0
2
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Matemáticas II.
Junio 2006
OPCIÓN B
 a 2 ab ab 


1. Sea la matriz A   ab a 2 b 2 


ab b 2 a 2 


a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz.
b) Estudiar el rango de A en el caso en que b  a .
[1 punto]
[1,5 puntos]
SOLUCIÓN.
a)
a 2 ab ab (1)
a ab ab ( 2)
1 b
2
2
2
2
2
ab a
b  a b a
b  a b a2
ab b
2
a
2

b b
 a 2  a 2  b2
2
a
2
b b
2
b
b2
a
2
(3)
 a
2
1
b
2
0 a  b2
0
b
0
a b
2
0
( 4)
 a2
a 2  b2
0
2
( 5)
0
a b
2
2


2
Propiedades aplicadas: (1) y (2) sacar factor común a “a” en la primera columna y en la primera fila.
(3) F2  b  F1 , F3  b  F1
(4) y (5) Desarrollo por los elementos de la primera columna
b) Para b  a , la matriz A es:
 a2

 a2
 2
a

 a2
a
2
a2
 a 2 
a 2  y como los tres vectores fila son linealmente dependientes, el

a2 

rango de la matriz es 1.
 ax
si 0  x  8

2. La función f :  0 ,     definida por f ( x )   x 2  32
es continua en
si x  8

 x4
a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación es cierta.
[0,75 puntos]
b) Calcular

 0 ,  .
10
f (x) dx
[1,75 puntos]
0
SOLUCIÓN.
a) El único punto de posible discontinuidad está en x  8 . Para que la función sea continua en él debe ser:
lím f(x)  lím f(x)
x 8 
lím f ( x )  lím ax  8a 
x 8

 
2
x  32
lím f(x)  lím
8 
x 8 x  4
x 8

x 8 
x 8
8a  8  8a  64  a  8
b) Puesto que hay un cambio de definición de la función en x  8 :

10
0
f(x) dx 

8
0
f(x) dx 

10
f(x) dx
8
3
3

Calculemos las primitivas:

Se tiene:

10
0
f(x) dx 
x2 4 2
8x dx  8 x1 2 dx  8 

3
3
2

8
8x dx 
0

x3
x 2  32
16 
1

dx   x  4 
 dx  x 2  4x  16 ln x  4) 
x4
x

4
2




10
8
4 2
x 2  32
dx  
x4
 3
8
10

1

x 3    x 2  4x  16 ln x  4 
8
 0  2
16

4 2
128
4 206
2
 16 2  50  40  16 ln 6  32  32  16 ln 4 
 26  16 ln 
 ln  
3
3
6
3
3
3. Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el
cuadrado del segundo sea mínima.
[2,5 puntos]
SOLUCIÓN.
Sean x y 8  x los dos sumandos. La función que debe ser mínima es: f (x)  x 3  8  x 2  x 3  x 2  16x  64
 2  4  192  2  196  2  14
8


 x 2 , x 
6
6
6
3
f ' ' ( x )  6x  2  f' ' (2)  0  para x  2 la función es mínima.
f ' ( x )  3x 2  2 x  16  0  x 
Los dos sumandos son: 2 y 6



4. a) Estudiar si son linealmente independientes los vectores a  3 , 1 , 2 , b  0 , 1 , 1 y c  1 , 1 , 1 . Expresar el
  

vector v  0 , 0 , 1 como combinación lineal de a , b y c . [1,5 puntos]
b) ¿Son el plano  : 2x  3y  z  1  0 y la recta r :
x 1 y

 z ortogonales?. Justificar la respuesta.
2 3
[1 punto]
SOLUCIÓN.
a)
3 1 2
0 1 1  3  1  2  3  1  0  los vectores son linealmente independientes.
1 1 1
 0 , 0 , 1   1 3 , 1 , 2    2  0 , 1 , 1    3 1 , 1 , 1   31   3 ,
1   2   3 , 21   2   3 
 31   3  0

  1   2   3  0
 2      1
2
3
 1
y resolviendo el sistema: 1  1 ,  2  2 ,  3  3 es decir: v  a  2b  3c
b) El plano y la recta serán perpendiculares si el vector normal al plano n y el vector direccional de la recta u son
paralelos (tienen sus coordenadas proporcionales):
Se tiene: n   2 , 3 , 1  y u   2 , 3 , 1  y como n   u , son paralelos y, por tanto, el plano y la recta son
perpendiculares.
4