Capitulo 3 Parámetro Capacitivo de Líneas de Transmisión Parte 2

ELC-30714
Líneas de Transmisión I
Capitulo 3
Parámetro Capacitivo de
Líneas de Transmisión
Parte 2
Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
[email protected]
http://www.giaelec.org/fglongatt/LT.htm
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]
Copyright © 2007
1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• Imagínese un cilindro conductor de radio R, el cual se
encuentra en el espacio suspendido paralelo sobre el
plano de tierra a una altura h; sobre este cilindro se
coloca una cierta carga positiva de valor Q.
+Q
r
E
h
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• En esta situación para determinar el parámetro
capacitivo debe determinarse primeramente la
diferencia de potencial entre el conductor cilíndrico y
el plano de tierra; para ello se hace necesario aplicar
la Teoría de Imágenes.
Q
+Q
C an =
+
Van
r Van
E
h
−
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• Para ello, para simular el campo eléctrico que surge
entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra, se
coloca una carga imagen que es otro conductor
ficticio, que se ubica a una distancia h por debajo del
plano de tierra, y al cual se le asigna carga opuesta a
la del cilindro (-Q), de modo que el efecto del terreno
es reemplazado por el conductor imagen, y el
problema queda en condiciones semejantes a al
anterior, con la única salvedad que se considera para
efectos de la solución solo el efecto por encima del
plano de tierra.
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
+Q
r
E
h
h
−Q
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
+Q
ρ =∞
h
H
h
−Q
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ρ =0
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• Ahora bien si se define un punto “P” en el espacio,
sobre el plano de tierra, se puede determinar el
potencial en el mismo, tomando una referencia muy
ρ =∞
+Q
lejana (x→∞).
.“P”
h
H
h
−Q
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ρ =0
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• El potencial eléctrico en el punto “P”, puede ser
escrito como; como la combinación lineal de los
potenciales eléctricos debido a la carga depositada
sobre el cilindro conductor y su imagen.
+Q
ρ =∞
V p = V p1 + V p 2
h
H
h
−Q
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ρ =0
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• El potencial que produce la el cilindro con carga por
encima del plano de tierra, con respecto a la
referencia remota queda dado por la siguiente
expresión:
V p1
+Q ⎛ x⎞
ln⎜ ⎟
=
2πε ⎝ r ⎠
• donde x es la distancia entre el centro del cilindro el
punto de referencia remota (x→∞);
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• El potencial que produce la el cilindro con carga
imagen por debajo del plano de tierra, con respecto a
la referencia remota puede ser determinado de forma
análoga.
Vp 2
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−Q ⎛ x ⎞
Ln⎜ ´ ⎟
=
2πε ⎝ r ⎠
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
V p = V p1 + V p 2
⎡ ⎛ x⎞
⎛ x ⎞⎤
⎢ Ln⎜ r ⎟ − Ln⎜ r ´ ⎟⎥
⎝ ⎠⎦
⎣ ⎝ ⎠
Q ⎡ ⎛ x ⎞
⎛ x
V p = V12 =
Ln⎜ ⎟ − Ln⎜
⎢
2πε ⎣ ⎝ R ⎠
⎝H
Q
Vp =
2πε
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⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• La diferencia de potencia entre el conductor cilíndrico
y el plano de tierra (V12).
• Este resultado era fácilmente deducible teóricamente,
debido a que por teoría de imágenes, la diferencia de
potencial entre el conductor y el plano conductor
paralelo de tierra es la mitad de la obtenida entre la de
dos conductores donde uno es la imagen.
Q
⎛H⎞
V12 =
Ln⎜ ⎟
2πε ⎝ R ⎠
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1. Capacitancia de un Conductor
Cilíndrico Paralelo al Plano de Tierra
• La capacitancia por unidad de longitud, del conductor
paralelo al plano de tierra; puede ser calculado, como
el cociente de la carga involucrada, y la tensión entre
el cilindro y el plano de tierra.
Q
C1T =
V12
2πε
C1T =
⎛H⎞
Ln⎜ ⎟
⎝R⎠
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2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos
Paralelos al Plano de Tierra
• Imagínese dos cilindros conductores de radio R, los
cuales se encuentran paralelos entre sí y con respecto
al plano de tierra.
Q1
d12
Q2
h1
h2
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• La solución de la capacitancia de dos conductores
cilíndricos, sobre un plano semi-infinito, puede ser
encontrada por medio de la teoría de imágenes, de
modo que se reemplaza el plano conductor, por dos
cilindros ficticios situados simétricos, por debajo del
plano de tierra, y con carga de signos opuesto a las de
los cilindros por encima del plano de tierra.
+Q1
d12
ρ =∞
+Q2
h1
h2
H 12
H11
H 22
h2
h1
d12
−Q1
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−Q2
ρ =0
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
+Q1
d12
ρ =∞
+Q2
h1
h2
H 12
H11
H 22
h2
h1
d12
−Q1
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−Q2
ρ =0
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• Ahora bien, la tensión del conductor 1, respecto a un punto
muy alejado (x→∞), puede ser calculado, bajo esta
configuración de la teoría de imágenes, como la combinación
lineal de las contribuciones de los cuatro cuerpos cargados:
V1 = V11 + V12 + V13 + V14
• V11; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia
remoto producido por el conductor 1; V12; la tensión entre el
conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el
conductor 2; V13; la tensión entre el conductor 1 y un punto de
referencia remoto producido por el conductor 1 imagen; V14, la
tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto
producido por el conductor 2 imagen.
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
+Q1
d12
ρ =∞
+Q2
h1
h2
H 12
H11
H 22
h2
h1
d12
−Q1
−Q2
ρ =0
V1 = V11 + V12 + V13 + V14
Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞ Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞
⎟⎟ −
⎟⎟ −
⎟⎟
V1 =
ln⎜ ⎟ +
ln⎜⎜
ln⎜⎜
ln⎜⎜
2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ H 11 ⎠ 2πε ⎝ H 12 ⎠
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• Se procede a aplicar propiedades de logaritmos.
Q1 ⎛ H 11 ⎞ Q2 ⎛ H 12 ⎞
⎟⎟
V1 =
ln⎜
ln⎜⎜
⎟+
2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠
• Se procede al cálculo de la tensión del conductor 2,
respecto al punto de referencia remoto.
V2 = V21 + V22 + V23 + V24
Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x ⎞ Q1 ⎛ x ⎞ Q2 ⎛ x
⎟⎟ +
⎟⎟ −
ln⎜⎜
ln⎜ ⎟ −
ln⎜⎜
ln⎜⎜
V2 =
2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ H 12 ⎠ 2πε ⎝ H 22
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ H12 ⎞ Q2
Q1
⎛ H 22 ⎞
⎟⎟ +
V2 =
Ln⎜⎜
Ln⎜
⎟
2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• El potencial sobre el plano de tierra es cero, de modo
que la diferencia de potencia entre los conductores y
el plano de tierra:
Q1 ⎛ H 11 ⎞ Q2 ⎛ H 12 ⎞
⎟⎟
V1 =
ln⎜
ln⎜⎜
⎟+
2πε ⎝ R ⎠ 2πε ⎝ d12 ⎠
Q1 ⎛ H 12 ⎞ Q2 ⎛ H 22 ⎞
⎟⎟ +
ln⎜⎜
ln⎜
V2 =
⎟
2πε ⎝ d12 ⎠ 2πε ⎝ R ⎠
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• Estas ecuaciones pueden ser escritas en notación
matricial.
⎡ ⎛ H 11 ⎞
⎛ H 12 ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥
⎟ ln⎜⎜
⎢ln⎜
⎡V1 ⎤
d12 ⎠ ⎥ ⎡ Q1 ⎤
1 ⎢ ⎝ R ⎠
⎝
⎢V ⎥ =
⎢Q ⎥
⎥
⎢
⎛
⎞
⎣ 2 ⎦ 2πε ⎢ln⎜ H 12 ⎟ ln⎛⎜ H 22 ⎞⎟⎥ ⎣ 2 ⎦
⎜d ⎟
⎝ R ⎠⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 12 ⎠
• La ecuación matricial anterior puede ser escrita en
forma más compacta.
⎡V1 ⎤
1 ⎡ B11
⎢B
⎢V ⎥ =
⎣ 2 ⎦ 2πε ⎣ 21
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B12 ⎤ ⎡ Q1 ⎤
⎥
⎢
⎥
B22 ⎦ ⎣Q2 ⎦
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2. Capacitancia de Dos Conductores Cilíndricos
Paralelos al Plano de Tierra
r
r
1
[B]Q
V=
2πε
• La matriz [B], recibe el nombre de matriz de
potenciales de Maxwell; cuyos términos son definidos
como logaritmos de distancias.
⎡ B11
[B] = ⎢
⎣ B21
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B12 ⎤
⎥
B22 ⎦
⎛ H ij
Bij = Ln⎜
⎜ dij
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
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2. Capacitancia de Dos Conductores
Cilíndricos Paralelos al Plano de Tierra
• En forma matricial, resulta sencillo, conocer la carga
a partir de la tensión en los conductores y la matriz de
potenciales de Maxwell.
r
r
−1
Q = 2πε [B] V
• Si se toma el hecho de que la relación entre carga y
tensión en un capacitor es la capacitancia, entonces
resulta fácil decir que la matriz de capacitancia de la
línea de transmisión es:
[C ] = 2πε [B ]
−1
r
r
Q = [C ]V
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
•
Supóngase que se tiene una cierta sección de una
línea de transmisión de longitud
I (x + Δx )
I (x )
V
[C ]
Δx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• El vector de carga eléctrica; para el segmento de
línea, queda dado por:
r
r
ΔQ = [C ]VT Δx
• Si se procede a derivar con respecto al tiempo a la
r
r
expresión:
dΔQ
dVT
= [C ]
Δx
dt
dt
• Por otra parte la ecuación de corriente según la
ecuación de Kirchoff
r
dVT
I (x, t ) − I (x + Δx, t ) = [C ]
Δx
dt
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• Si se divide la expresión por el incremento Δx:
r
I ( x , t ) − I ( x + Δx , t )
dVT
= [C ]
dt
Δx
• Si se hace que la longitud de la sección de la línea Δx;
el extremo derecho de la ecuación, se transforma en
el negativo de la derivada del vector corriente en
función de la posición.
r
r
dI
dVT
−
= [C ]
dx
dt
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• En el caso de las líneas de transmisión de tipo
comercial, se trabaja con campos cuasi-estacionarios,
con señales armónicas en el tiempo; de modo que se
puede definir la admitancia capacitiva como:
[Y ] = jω[C ]
r
r
dI
−
= [Y ]VT
dx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• Si es expande la forma matricial de este sistema, se
tiene que se generan dos ecuaciones con dos
incógnitas
dI1
= −Y11V1 − Y12V2
dx
dI 2
= −Y21V1 − Y12V2
dx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• Este sistema demuestra el acople capacitivo entre
conductores; que se evidencia con los términos Y12 y
Y12. Estos términos se pueden demostrar que son
iguales lo que hace a la matriz de potenciales de
Maxwell, [B], simétrica, por lo que evidentemente las
matrices capacitancia [C] y admitancia [Y] también lo
sean; y se extiende a sus inversas.
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• El conjunto de ecuaciones M, no posee una
representación sencilla, pero se puede pseudo explicar
por un elemento de línea, con elementos
concentrados
I (x + Δx, t )
I (x + Δx, t )
que lo relacionan.
2
1
V12
I 1 ( x, t )
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V1T
I 2 ( x, t )
V2T
Δx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
dI1
= −Y11V1 − Y12V2
dx
dI 2
= −Y21V1 − Y22V2
dx
I 2 (x + Δx, t )
I 1 (x + Δx, t )
V12
I 1 ( x, t )
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V1T
I 2 ( x, t )
V2T
Δx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• Este sistema de ecuaciones solo puede ser solo
modelado por medio de admitancias, pero se debe
hacer la salvedad muy clara que este modelo no existe
físicamente, solo es una representación circuital
I 1 (x + Δx, t )
I '12
I 2 (x + Δx, t )
I '12
y12
I '1
I '2
V12
y11
I 1 ( x, t )
y22
V1T
V2T
I 2 ( x, t )
Δx
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
• Este modelo trata (y de hecho lo hace) de explicar el
comportamiento físico de las variaciones de tensión y
corriente respecto al plano de tierra, pero se debe ser
cauteloso en el valor de estas admitancias (y11, y12,
y22).
• Es relevante acotar que no existe relación física entre
los elementos {Yij} de la matriz [Y], y los presentados
en el modelo y11, y12, y22; estos últimos representan
una ficticia relación para el modelo circuital.
• Por otra parte los {Yij} son reales e indican la
relación de variación de tensión y corriente respecto
al terreno.
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
I 1 (x + Δx, t )
I 2 (x + Δx, t )
´
I1 (x, t ) − I1 (x + Δx, t ) = I1´ + I12
´
I 2 (x, t ) − I 2 (x + Δx, t ) = I 2´ − I12
I '12
I '12
y12
I '1
I '2
I ´12 = y12 (V1 − V2 )Δx
V12
y11
I 1 ( x, t )
y 22
V1T
I ´2 = y 22V2 Δx
I ´1 = y11V1Δx
V2T
I 2 ( x, t )
Δx
I 1 ( x , t ) − I 1 ( x + Δx , t )
= ( y11 + y12 )V1 − y12V2
Δx
I 2 ( x , t ) − I 2 ( x + Δx , t )
= y12V1 + ( y12 + y 22 )V2
Δx
dI1 (x, t )
= −( y11 + y12 )V1 + y12V2
dx
dI 2 (x, t )
= y12V1 − ( y12 + y22 )V2
dx
cuando la longitud del segmento de la línea se hace muy pequeño (Δx→0)
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
dI1
dI1 (x, t )
= −Y11V1 − Y12V2
= −( y + y )V + y V
dx
dI 2
= −Y21V1 − Y22V2
dx
11
12
1
12 2
dx
dI 2 (x, t )
= y12V1 − ( y12 + y 22 )V2
dx
− ( y11 + y12 ) = −Y11
y12 = −Y12
− ( y22 + y12 ) = −Y22
y21 = −Y21
y11 = Y11 + Y12
y12 = −Y12
y 22 = Y22 + Y12
y 21 = −Y21
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3.Admitancia Capacitiva de una Línea Bifilar
Considerando el Efecto de Tierra
I 1 (x + Δx, t )
I '12
I '1
I 2 (x + Δx, t )
I '12
−Y12
I '2
V12
Y12 + Y11
I 1 ( x, t )
Y12 + Y22
V1T
V2T
I 2 ( x, t )
Δx
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
• Imagínese N conductores cilíndricos de radio R,
paralelos entre sí y con el plano de tierra; suponga
que cada uno posee una altura diferentes medida
desde el plano de tierra (h1, h2, h3, ..., hN).
ρ =∞
1
h1
2
h2
3
h3
N
hN
ρ =0
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
• Para estudiar este problema se hace uso de la teoría
de imágenes, es decir, se considera que cada
conductor posee una imagen por debajo del plano de
tierra simétrico.
+Q
N
+Q1
+Q2
+Qj
+Qi
ViT
Hii
dij
ρ=∞
Hij
Hjj
ρ=0
-Qi
-Q2
-Q1
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-Qj
-QN
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
• El mecanismo empleado para el caso de dos
conductores sobre el plano de tierra, puede ser
generalizado en este caso para los N conductores.
⎛ H 1i ⎞
⎛ H 2i ⎞
⎜
⎟
⎟⎟ + K
ViT =
(l1 Ln⎜
+ Q2 ln⎜⎜
⎟
2πε
⎝ d1i ⎠
⎝ d 2i ⎠
⎛ H i +1,i
⎛ H i −1,i ⎞
⎛ H ii ⎞
⎜
⎟ + Qi ln⎜
K + Qi −1 ln⎜
⎜ R ⎟⎟ + Qi +1 ln⎜ d
⎟
⎜d
⎝ i ⎠
⎝ i +1,i
⎝ i −1,i ⎠
1
⎛ H n ,i
⎞
⎟ + K + Qn ln⎜
⎜d
⎟
⎝ n ,i
⎠
⎞
⎟)
⎟
⎠
• De modo que realizando este procedimiento para los
N conductores se tiene que en forma matricial se
r
r
puede escribir
1
[B ]Q
VT =
2πε
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
r
r
1
[B]Q
VT =
2πε
• donde la matriz de potenciales de Maxwell es ahora
una matriz de NxN elementos; definidos como:
⎛ H ij ⎞
⎟ para i,j = 1,2, ... , N
Bij = Ln⎜
⎜ d ij ⎟
⎝
⎠
⎛ H ii ⎞
⎟
Bii = Ln⎜⎜
⎟
R
⎝ i ⎠
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
⎛ H ij ⎞
⎟ para i,j = 1,2, ... , N
Bij = Ln⎜
⎜ d ij ⎟
⎝
⎠
⎛ H ii ⎞
⎟
Bii = Ln⎜⎜
⎟
R
⎝ i ⎠
• Es importante recordar que las alturas {Hii}, son las
distancias propias entre un cilindro conductor y su
respectiva imagen, mientras que {Hij}, son las alturas
entre el conductor i y la imagen del conductor j.
• Por otra parte las distancias {dij} son medidas entres
los conductores sobre el plano de tierra i y j.
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4. Matriz de admitancia Capacitiva para N Conductores
paralelos entre sí y al plano de tierra
• La matriz de capacitancia de este sistema puede ser
definida a partir de la matriz de potenciales de
Maxwell.
−1
[C ] = 2πε [B ]
[Y ] =
jω [C ]
r
r
dI
−
= [Y ]VT
dx
r
r
⎡ dI ⎤
= −[Y ]N × N VT
⎢ ⎥
⎢⎣ dx ⎥⎦1× N
[ ]
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Parametro Capacitivo en LT
1× N
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5. Matriz de Admitancia Capacitiva en
Líneas de Transmisión Trifásica
• Imagínese que se tiene una línea de transmisión trifásica, con
la disposición que se muestra en la figura; donde se asume que
cada conductor posee igual radio;
1
2
2
h2
d12
d13
d23
3
h1
h3
• En este caso, la disposición de los conductores es asimétrica
entre ellos (d12 ≠ d23 ≠ d13), y poseen alturas diferentes
medidas respecto al plano de tierra (h1, h2, h3).
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Líneas de Transmisión Trifásica
1
2
2
h2
d12
d13
d23
3
h1
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
h3
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• Para eliminar el efecto asimétrico que genera esta
disposición de los conductores sobre los parámetros
eléctricos de la línea, se emplea una transposición
perfecta, en la cual cada conductor se ubica en cada
una las posibles disposiciones, a intervalos regulares
a
de la línea. 1
c
b
2
b
a
c
c
b
a
3
ρ =0
L
3
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
L
3
L
3
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Líneas de Transmisión Trifásica
• De modo que los conductores de las fases a,b,c,
ocupan las tras posibles posiciones de la disposición
sobre las torres (1, 2, 3), una longitud equivalente a
un tercio del trayecto total de la línea (L).
1
a
c
b
b
a
c
c
b
a
2
3
ρ =0
L
3
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
L
3
L
3
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Líneas de Transmisión Trifásica
Tramo I
Tramo II
1
1
1
a
b
c
2
2
2
b
a
3
c
a
3´
3´
2’
2’
1´
1´
⎞
⎛ H ⎞⎤
⎟⎟ ln⎜⎜ ac ⎟⎟⎥
⎠
⎝ d ac ⎠⎥
⎛ H ⎞⎥
⎞
⎟ ln⎜⎜ bc ⎟⎟ ⎥ B
⎠
⎝ d bc ⎠ ⎥
⎛ H ⎞⎥
ln⎜ cc ⎟ ⎥
⎝ R ⎠ ⎥⎦ 3×3
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
3
b
2’
⎡ ⎛ H aa ⎞
⎛H
⎟ ln⎜⎜ ab
⎢ln⎜
⎝ d ab
⎢ ⎝ R ⎠
⎢
⎛H
=⎢
ln⎜ bb
⎝ R
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
c
3
3´
[B ]TramoI
Tramo III
[ ]TramoII
1´
⎡ ⎛ H cc ⎞
⎛ H ca ⎞
⎛ H cb ⎞ ⎤
⎡ ⎛ H bb ⎞
⎛H ⎞
⎛ H ⎞⎤
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎥
ln
ln
ln
⎟
⎢ ⎜
⎜d ⎟
⎟ ln⎜⎜ bc ⎟⎟ ln⎜⎜ ba ⎟⎟ ⎥
⎢ln⎜
R
d
⎝
⎠
⎝ ca ⎠
⎝ ac ⎠ ⎥
⎢
⎝ d ab ⎠
⎝ d ac ⎠ ⎥
⎢ ⎝ R ⎠
⎢
⎢
⎛ H ⎞⎥
⎛ H ⎞⎥
⎛H ⎞
⎛H ⎞
ln⎜ aa ⎟ ln⎜⎜ ab ⎟⎟⎥ [B ]TramoIII = ⎢
=⎢
ln⎜ cc ⎟ ln⎜⎜ ca ⎟⎟ ⎥
⎝ R ⎠
⎢
⎝ d bc ⎠ ⎥
⎝ R ⎠
⎝ d ab ⎠⎥
⎢
⎢
⎛ H aa ⎞⎥
⎢
⎛ H bb ⎞ ⎥
ln
⎜
⎟⎥
⎢
ln⎜
⎟⎥
R ⎠⎥
⎢
⎝
⎢
⎣
⎦ 3×3
⎝ R ⎠ ⎥⎦ 3×3
⎢⎣
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Tramo I
Tramo II
1
1
1
a
2
2
b
a
3
c
1´
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
a
3´
3´
2’
2’
1´
B13 ⎤
B23 ⎥⎥
B33 ⎥⎦
3
b
2’
B12
B22
B32
c
3
3´
[B]TramoI
b
c
2
⎡ B11
= ⎢⎢ B21
⎢⎣ B31
Tramo III
[B]TramoII
3×3
⎡ B33
= ⎢⎢ B13
⎢⎣ B23
B13
B11
B12
1´
B23 ⎤
⎡ B22 B23 B21 ⎤
TramoIII
= ⎢⎢ B23 B33 B13 ⎥⎥
B12 ⎥⎥ [B ]
⎢⎣ B21 B13 B11 ⎥⎦
3×3
B22 ⎥⎦ 3×3
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• Una vez que se tienen las matrices de potencial de
Maxwell en cada tramo de transposición; se puede
asociar a cada uno de estos una variación de la
corriente en función de la longitud.
r TramoI
r TramoI
⎡ dI ⎤
TramoI
= −[Y ]
V
⎢ ⎥
⎢⎣ dx ⎥⎦
r TramoII
r TramoII
⎡ dI ⎤
TramoII
= −[Y ]
V
⎢ ⎥
⎣ dx ⎦
r TramoIII
r
⎡ dI ⎤
TramoIII TramoIII
= −[Y ]
V
⎢ ⎥
⎢⎣ dx ⎥⎦
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Líneas de Transmisión Trifásica
• donde las matrices [Y]; son calculadas a partir de la
inversa de la matriz de potencial de Mawell de cada
TramoI
TramoI −1
Tramo.
[Y ]
= 2 jωπε [B ]
[Y ]
[Y ]TramoIII
TramoII
(
)
)
= 2 jωπε ([B ]
)
= 2 jωπε ([B ]
TramoII −1
TramoIII −1
• Si se procede a tomar las ecuaciones de variación
longitudinal de la corriente de la fase a, en cada
dI
tramo, se tiene
= −Y V − Y V − Y V
I
a
I
I
aa a
I
I
ab b
I
I
ac c
dx
dI aII
= −YaaII VaII − YabII VbII − YacII VcII
dx
dI aIII
= −YaaIII VaIII − YabIII VbIII − YacIII VcIII
dx
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Líneas de Transmisión Trifásica
• En el juego de ecuaciones, los superíndices I, II y III,
en las variables lo que indican es la ubicación en los
tramos de transposición.
Para el tramo J;
r
dI TramoJ
dx
(
r TramoJ
V
=−
VaI = −
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)
= −2 jωπε [B ]
1
2 jπεω
1
2 jπεω
[B11
TramoJ −1
[B]TramoJ
B12
r TramoJ
V
r TramoJ
dI
⎡ dI aI
⎢
⎢ dxI
dI
B13 ]⎢ b
⎢ dx
⎢ dI I
⎢ c
⎢⎣ dx
dx
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
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⎡
dI aI
dI bI
dI cI ⎤
V =−
+ B12
+ B13
⎢ B11
⎥
dx
dx
dx ⎦
2 jπεω ⎣
dI aII
dI bII
dI cII ⎤
1 ⎡
II
Va = −
+ B13
+ B23
⎢ B33
⎥
dx
dx ⎦
dx
2 jπεω ⎣
III
III
III
⎡
⎤
dI
dI
dI
1
III
a
b
c
+ B23
+ B21
Va = −
⎢ B22
⎥
2 jπεω ⎣
dx
dx
dx ⎦
1
I
a
•
Ahora bien, debido a que la línea de transmisión es transpuesta, se debe extraer una
promedio de la variación longitudinal de la tensión y la corriente:
r
V=
(
r TramoI r TramoII r TramoIII
V
+V
+V
)
r TramoI 3r TramoII
r TramoIII
r
dI
dI
dI 1 ⎛⎜ dI
=
+
+
⎜
dx 3 ⎝ dx
dx
dx
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⎞
⎟
⎟
⎠
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dI a 1 ⎛ dI aI dI aII dI aIII ⎞
⎟
= ⎜⎜
+
+
dx 3 ⎝ dx
dx
dx ⎟⎠
dI b 1 ⎛ dI bI dI bII dI bIII ⎞
⎟
= ⎜⎜
+
+
dx 3 ⎝ dx
dx
dx ⎟⎠
dI c 1 ⎛ dI cI dI cII dI cIII ⎞
⎟
= ⎜⎜
+
+
dx 3 ⎝ dx
dx
dx ⎟⎠
• Si se supone que en cada tramo de la transposición la
variación longitudinal de la corriente es la misma se
cumple:
dI aI dI aII dI aIII dI a
=
=
=
dx
dx
dx
dx
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• La tensión de la fase a, puede ser escrita como sigue:
⎡⎛ B11 + B22 + B33 ⎞ dI a ⎛ B12 + B23 + B13 ⎞ dI b
⎤
+ ...⎥
+⎜
⎟
⎟
⎢⎜
3
3
− 1 ⎢⎝
⎠ dx
⎠ dx ⎝
⎥
Va =
⎥
2πεjω ⎢
⎛ B13 + B23 + B12 ⎞ dI c
⎟
⎢... + ⎜
⎥
3
⎢⎣
⎥⎦
⎠ dx
⎝
⎡ ⎛ 3 H H H ⎞ dI
⎛ 3 H ab H bc H ac
aa
bb
cc
⎟ a + ln⎜
⎢ln⎜
⎜
⎟ dx
⎜ 3d d d
R
ab bc ac
−1 ⎢ ⎝
⎠
⎝
⎢
Va =
2πεjω ⎢
⎛ 3 H ab H bc H ac ⎞ dI
⎟ c
⎢... + ln⎜
⎜ 3 d d d ⎟ dx
⎢⎣
ab bc ac ⎠
⎝
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⎤
⎞ dI
⎟ b + ...⎥
⎟ dx
⎥
⎠
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
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Líneas de Transmisión Trifásica
• Un tratamiento semejante para las fases b y c, arrojan
valores que puede escribir que en cualquier línea se
cumple:
⎡Va ⎤
⎢V ⎥ = − 1
⎢ b ⎥ 2πεjω
⎢⎣Vc ⎥⎦
LINEAS DE TRANSMISION
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⎡B p
⎢
⎢
⎢
⎣
Bm
Bp
⎡ dI a ⎤
⎢ dx ⎥
⎤
Bm ⎢
⎥ ⎢ dI b ⎥⎥
Bm ⎥
dx
⎢
⎥
⎥
B p ⎦ ⎢ dI c ⎥
⎢ dx ⎥
⎣
⎦
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• Si se supone:
Va + Vb + Vc = 0
dI a dI b dI c
=
=
=0
dx
dx
dx
dI b
dI c
dI a
Va = B p
+ Bm
+ Bm
dx
dx
dx
dI a dI b dI c
−
=
+
dx
dx
dx
dI a
dI a
− Bm
Va = B p
dx
dx
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• Similar desarrollo se puede realizar para las otras
fases y se emplea la notación matricial y resulta:
⎡Va ⎤
⎢V ⎥ = − 1
⎢ b ⎥ 2πεjω
⎢⎣Vc ⎥⎦
LINEAS DE TRANSMISION
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⎡ B p − Bm
⎢
⎢
⎢
⎣
0
B p − Bm
⎡ dI a ⎤
⎢ dx ⎥
⎤
0
⎥ ⎢ dI b ⎥⎥
0 ⎥⎢
dx
⎥
⎢
⎥
B p − Bm ⎦ ⎢ dI c ⎥
⎢ dx ⎥
⎦
⎣
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5. Matriz de Admitancia Capacitiva en
Líneas de Transmisión Trifásica
• Finalmente la reactancia capacitiva de secuencia
positiva resulta:
−1
X =
B p − Bm
2πεjω
+
(
)
• Sustituyendo la definición de los términos, se tiene:
−1
⎛ HPG × DMG ⎞
X =
ln⎜
⎟
2πεjω ⎝ HMG × R ⎠
+
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Líneas de Transmisión Trifásica
⎛ HPG × DMG ⎞
X =
ln⎜
⎟
2πεω ⎝ HMG × R ⎠
+
1
HPG = 3 H aa H bb H cc
HMG = 3 H ab H ac H bc
DMG = 3 d ab d bc d ac
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6. Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de
la Línea de Transmisión sin Transposición
• El cable de guarda modifica el parámetro capacitivo
de la línea, debido a que se asume que posee el
potencial de tierra, aunque en la realidad no es
totalmente cierto.
k
a
b
g
c
• Modifica la matriz de potencial de Maxwell;
agregando tantas las filas como tantas filas y
columnas como cables de guarda
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la Línea de Transmisión sin Transposición
k
g
[B] fg
a
b
c
⎡ Baa
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Bab
Bbb
Bac
Bbc
Bcc
Bak
Bbk
Bck
Bkk
Bag ⎤
Bbg ⎥⎥
Bcg ⎥
⎥
Bkg ⎥
B gg ⎥⎦
• En este caso la matriz de potenciales de Maxwell,
deja de ser 3x3, como hasta ahora se ha estudiado y
resulta de 5x5, debido a la incorporación de dos filas
y columnas por los cables de guarda k y g.
[Y ] fg = 2 jπωε [B]
−1
fg
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la Línea de Transmisión sin Transposición
[Y ] fg = 2 jπωε [B]
−1
fg
• La tensión y la variación longitudinal de la corriente
resulta: ⎡ dI a ⎤
⎢ dx ⎥
⎢ dI ⎥
⎡Yaa
b
⎢
⎥
⎢
dx
⎢
⎥
⎢
dI
⎢ c⎥
⎢
⎢ dx ⎥ = − ⎢
⎢ dI ⎥
⎢
⎢ k⎥
⎢
⎢ dx ⎥
⎣
⎢ dI g ⎥
⎢
⎥
⎣ dx ⎦
LINEAS DE TRANSMISION
Parametro Capacitivo en LT
Yab
Ybb
Yac
Ybc
Ycc
Yak
Ybk
Yck
Ykk
Yag ⎤ ⎡Va ⎤
⎥
⎢
⎥
Ybg ⎥ ⎢Vb ⎥
Ycg ⎥ ⎢Vc ⎥
⎥⎢ ⎥
Ykg ⎥ ⎢Vk ⎥
Ygg ⎥⎦ ⎢⎣Vg ⎥⎦
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la Línea de Transmisión sin Transposición
• Notece que este sistema matricial puede ser reescrito a partir
de submatrices:
r
dI f
dx
r
dI g
dx
r
⎡ dI f
⎢
⎢ dx
r
⎢ dI g
⎢
⎣ dx
⎤
⎥
⎡[Y ] ff
⎥ = −⎢
⎥
⎣[Y ]gf
⎥
⎦
r
[Y ] fg ⎤ ⎡V f ⎤
⎢r ⎥
⎥
[Y ]gg ⎦ ⎢⎣Vg ⎥⎦
es el vector de variación longitudinal de la corrientes de fase,
la de los cables de guarda; y [Yff] es la submatriz de fases,
[Yfg] la que relaciona las variaciones longitudinales de la corrientes de fase con , [Yfg]
relaciona con . [Ygg] es la submatriz de valores propios de guarda.
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• Los cables de guarda se encuentran conectados a
tierra en cada una de las estructuras de la línea, de
modo que se puede afirmar que el potencial de los
mismos en teoría es el de tierra Vg = Vk = 0.
r
⎡ dI f
⎢
⎢ dx
r
⎢ dI g
⎢
⎣ dx
LINEAS DE TRANSMISION
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⎤
⎥
⎡[Y ] ff
⎥ = −⎢
[⎣ Y ]gf
⎥
⎥
⎦
r
[Y ] fg ⎤ ⎡V f ⎤
⎢r⎥
⎥
[Y ]gg ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
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la Línea de Transmisión sin Transposición
r
⎡ dI f
[X ] fg ⎤ ⎢⎢ dx
r
⎥
[X ]gg ⎦ ⎢ dI g
⎢
⎣ dx
• En formas de reactancias se escribe:
r
⎡V f ⎤
⎡[X ] ff
⎢ r ⎥ = −⎢
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎣[X ]gf
r
r
r
dI f
dI g
− V f = [X ] ff
+ [X ] fg
dx
dx
r
r
r
dI f
dI g
0 = −[X ]gf
.
− [X ]gg
dx
dx
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r
dI g
dx
= −[X ]gg [X ]gf
−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
r
dI f
dx
r
r
dI f
−1
V f = [X ] ff + [X ] fg [X ]gg X fg
dx
(
[ ])
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la Línea de Transmisión sin Transposición
(
r
dI f
[ ]) dx
r
−1
V f = [X ] ff + [X ] fg [X ]gg X fg
[X ] = ([X ] ff + [X ] fg [X ] [X fg ])
r
V f = [X ]
−1
gg
r
dI f
dx
donde la matriz [X], es una matriz de 3x3.
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