UNIDAD N°10 FUNCIONES ESPECIALES 21 DE AGOSTO DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 10
Otras Funciones Especiales
(Inversas y Simétricas)
10.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Estudiar funciones especiales (funciones inversas y funciones simétricas).
10.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
 Resolver operaciones con funciones especiales (funciones inversas y funciones simétricas).
10.2 INTRODUCCIÓN
Una función especial es una función matemática particular, que
por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis
funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y
designaciones más o menos establecidos.
No existe una definición general de las mismas, pero la lista
de
funciones
matemáticas
contiene
funciones
generalmente aceptadas como especiales.
que
son
En particular, las
funciones elementales son también consideradas funciones especiales.
10.3 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
10.3.1 FUNCIÓN INVERSA: Para garantizar la existencia de la inversa de una función, antes
debemos entender ¿Qué es una función uno a uno? Podemos reconocer que una función es
uno a uno1, sólo si, cada elemento del dominio tiene uno y solo un elemento en el rango, “es
decir que no lo comparte”. Ahora, si nos acercamos a la formalidad, podemos decir que: Una
función con dominio A se conoce como uno a uno, si no hay dos elementos de A que tengan la
misma imagen en B , es decir: f x1   f x2  siempre que x1  x2 . Un ejemplo de una función uno
a uno es: f x   3x  1 porque a cada valor distinto de x le corresponde un distinto valor de y .
1 Esta función se conoce como función inyectiva.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
1
Eso significa que en una función uno a uno nunca se toma el mismo valor dos veces, una vez que
la función ha asignado un valor, jamás lo volverá a asignar a valor.
función que transforma cualquier número en sí mismo, es decir, i x   x , x  R .
Definición: sea f una función uno a uno con dominio A y rango (imagen) B . Entonces la
función
inversa
f 1  y   x 
f 1 que tiene por dominio B y rango a A , está definido por:
f x   y para cualquier y en B .
No todas las funciones tienen función inversa, ya que para que una relación sea considerada una
función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del
contradominio.
Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe
corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa).
Definición: se llama función inversa o función recíproca de f a otra función f 1 que cumple
que: si f a   b entonces f 1 b  a .
Definición: para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su codominio y
viceversa.
Definición: la función
inversa de una función
inyectiva f (una función es inyectiva si cada elemento
de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de
Dom f ) se representa por f
cumple:
f 1  y   x 
1
y es la función que
f x   y para cualquier x
perteneciente al Dom f .
Según la imagen mostrada, podemos observar lo
siguiente:

El dominio de
f 1 es el rango o recorrido
(codominio o imagen) de f .
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
2

El rango o recorrido (codominio o imagen) de f 1
es dominio de f .
Si queremos hallar el rango o recorrido de una función
tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la
función identidad: f  f 1  f 1  f  i
Las gráficas de f y f 1 son simétricas respecto de la
bisectriz del primer y tercer cuadrante, como se muestra
en la imagen a la derecha.
Tenemos que saber distinguir entre la función inversa
f 1 x  y la inversa de una función
1
.
f x 
Se acostumbra representar a la inversa de una función colocándole a la literal que la representa,
a manera de exponente, el número –1 (sin embargo, esto no debe de confundirse con el
es f 1 .
recíproco de un número). Por ejemplo: la inversa de la función f
Observación: Si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una
función es uno a uno, entonces tiene inversa.
Las propiedades más características que verifican una función y su inversa son:






f  f 1  f 1  f  i , siendo i la función identidad. O sea f  f 1 x   f 1  f x   x
Las gráficas de una función f y su inversa f
1
, referidas al mismo sistema de
coordenadas, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (o sea
a la función idéntica).
Procedimientos para calcular la función inversa:
1) Reemplazar f x  por y
2) Despejar la variable “ x ” (Haciendo uso de los métodos algebraicos permitidos)
3) Intercambiar las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
4) La función determinada será la inversa de f .
f
1
Es decir, se reemplaza “ y ” por
x 
Ejemplo 1: Calcular la función inversa de f x   4 x  1
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y  4x 1
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y  1  4x
Despejamos la variable “ x ”
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
3
y 1
x
4
x
y 1
4
Luego de despejar la variable “ x ”
y
x 1
4
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
f 1 x  
x 1
4
Reemplazamos “ y ” por f
 f 1 x  
x 1
4
Es la función inversa de f x   4 x  1
1
x 
Ejemplo 2: Calcular la función inversa de f x   2  3x
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y  2  3x
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y  2  3x
Despejamos la variable “ x ”
y2
  y  2
x 
x
3
3

2 y
x
3
x
2 y
3
Luego de despejar la variable “ x ”
y
2 x
3
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
f 1 x  
2 x
3
Reemplazamos “ y ” por f
 f 1 x  
2 x
3
Es la función inversa de f x   2  3x
Ejemplo 3: Calcular la función inversa de f x  
1
x 
2x  3
x 1
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y
2x  3
x 1
yx  1  2 x  3
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
Despejamos la variable “ x ”
xy  y  2 x  3
xy  2 x  y  3
x  y  2  y  3
x
y3
y2
Luego de despejar la variable “ x ”
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
4
y
x3
x2
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
f 1 x  
x3
x2
Reemplazamos “ y ” por f
 f 1 x  
x3
x2
Es la función inversa de f x  
1
x 
2x  3
x 1
Ejemplo 4: Calcular la función inversa de f x   3 x  1
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y  3 x 1
 y 3  3
x 1

3
Elevamos al cubo para luego despejar la variable “ x ”
y3  x 1
x  y3 1
y  x3  1
f
1
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
x   x 3  1
Reemplazamos “ y ” por f
 f 1x   x 3  1
Ejemplo 5: Sean f x   x
1
x 
Es la función inversa de f x   3 x  1
y g x   3 x , comprobar que g x  es la función inversa de hx 
3
Solución: para verificar si una función es la inversa de otra se debe comprobar que cumplan la
propiedad de simetría de las funciones inversas:  f  g x   x
f
y
 g  x   f  g  x 
 x
 x
 f
 3
x
g  f x  x
g  f x   g  f x 
 
 g x3
3
3
 3 x3
x
 g x   3 x Es la función inversa de f x   x 3
Ejemplo 6: Sean hx   2 x y g x  
x
, comprobar que g x  es la función inversa de hx 
2
Solución: para verificar si una función es la inversa de otra se debe comprobar que cumplan la
propiedad de simetría de las funciones inversas: h  g x   x
h  g  x   h g x 
 x
 h 
2
 x
 2 
2
x
y
g  hx  x
g  h  x   g hx 
 g 2 x 
2x
2
x

Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
5
 g x  
Ejemplo 7: Si f x  
Es la función inversa de h x   2 x
x
2
1 2 x
1
y g x  
, comprobar que g x  es la función inversa de f x 
x
x2
Solución: para verificar si una función es la inversa de otra se debe comprobar la primera
característica, por lo que debemos demostrar que:  f  g  x   x
f
 g  x   f g  x 
 1 
 f

 x 2
 1 
2
x22
x
1  2
 1
 x 2 
x2  x2  x2  x  x2  x

1
1
1
1
x2 1
x2
x2
x2
x2
 g x  
1 2 x
1
es la función inversa de f x  
x
x2
Ejemplo 8: Calcular la función inversa de f x   3x  5
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y  3x  5
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y  5  3x
Despejamos la variable “ x ”
x
y 5
3
y
x5
3
f
 f
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
x   x  5
Reemplazamos “ y ” por f
x   x  5
Es la función inversa de f x   3x  5
1
3
1
3
Ejemplo 9: Calcular la función inversa de f x  
1
x 
4x  1
5x  1
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y
y
2
4x  1
5x  1
 4x  1 

 

5
x

1


Cambiamos o reemplazamos f x  por y
2
Elevamos al cuadrado para luego despejamos la variable “ x ”
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
6
y2 
4x  1
 y 2 5x  1  4 x  1
5x  1
5xy 2  y 2  4 x  1
5 xy 2  4 x  y 2  1


x 5y2  4  y2 1
x
y 1
5y2  4
y
x2 1
5x 2  4
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
x2 1
x   2
5x  4
Reemplazamos “ y ” por f
f
2
1
 f 1x  
x2 1
5x 2  4
1
x 
Es la función inversa de f x  
4x  1
5x  1
Ejemplo 10: Calcular la función inversa de f x   x 2  1
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y  x2 1
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y 1  x2
Despejamos la variable “ x ”
x2  y 1
Extraemos la raíz cuadrada
x  y 1
y  x 1
f
x  
1
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ”
x 1
Reemplazamos “ y ” por f
1
x 
 f 1x   x  1 es la función inversa de f x   x 2  1
Ejemplo 11: Calcular la función inversa de f x   9 x 3  3 y verifíquela.
Solución: seguimos los pasos para encontrar la función inversa, así:
y  9x 3  3
Cambiamos o reemplazamos f x  por y
y  3  9x 3
Despejamos la variable “ x ”
9x 3  y  3
y 3
x3 
9
3
x3  3
y 3
9
Extraemos la raíz cúbica
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
7
x3
y3
9
y2
x3
9
f
1
x   3
Cambiamos las variables “ x ” por “ y ” y la variable “ y ” por “ x ”
x3
9
Reemplazamos “ y ” por f
Verifiquemos que f
f
1
1
f
 x  
1
f

x3
9
x 
x  es la función inversa:
f
 f 1x   3
1
3
 f x 
1
9 x
9 x
3

3
3

3 3

9
3
9x 3  3  3

9
3
9x 3 3 3
 x x
9
Es la función inversa de f x   9 x 3  3
Otro procedimiento muy útil para calcular la función inversa es el siguiente:
1) Reemplazar f x  por x y x por g x 
2) Despejar g x  , haciendo uso de los métodos algebraicos permitidos
3) Intercambiar las variables “ x ” por “ y ” e “ y ”por “ x ”
4) La función encontrada será la inversa que buscamos y la podemos verificar
Por ejemplo: para el mismo ejemplo anterior:
1. Reemplazamos o sustituimos o cambiamos: f x  por x y x por g x  , así:
f x   9 x 3  3
x  9 g x   3
3
2. Despejamos g x  , así: x  9  g x    3
3
x  3  9  g x  
3
3
x3
  g x  
9
3. Extraemos la raíz cúbica a ambos lados de la expresión:
3
x3 3

9
3
x3
 g x 
9
 g x  
3
4. Verifiquemos que g x  es la función inversa:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
8
g  f  x   g  f x 

9 x

 3  3

 g 9x3  3

 g x   3
3
3
3
9
9x3  3  3

9
3
9x3 3 3
 x x
9
x3
Es la función inversa de f x   9 x 3  3
9
10.3.2 FUNCIÓN SIMÉTRICA
Una función simétrica es la función que da lo mismo a un lado de un eje que al otro lado, y cuya
gráfica se ve igual a un lado o al otro, por ejemplo la función cuadrática f x   x 2 es simétrica con
respecto al eje Y , ya que cuando se evalúa da lo mismo en 1 que en  1 , también existe la
simetría con respecto al origen, que es cuando da lo mismo pero con el otro signo, si por ejemplo
un punto en la función es 3, 3 el otro tendría que ser:  3,  3 .
Funciones Simétricas: Resulta de gran interés el estudio de las posibles simetrías que pueden
presentarse en la representación gráfica de una función. Entre otras se describen las simetrías
respecto del eje de ordenadas (Eje Y ) que son las funciones pares y respecto del origen de
coordenadas (Punto O 0, 0 ) que son las funciones impares.
Funciones pares: Una función f x  es par cuando cumple f  x   f x  . Es decir, las
imágenes de valores opuestos coinciden: f 2  f  2 ,
f 13   f  13  ,
f 5  f  5 . Por
coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica
respecto del eje Y .
Por ejemplo: verificar que la función f x   x 2 es par; sería así:
2
f  x    x   x 2  f x  y como f  x   f x  , entonces la función es par.
Funciones impares: Una función f x  es impar cuando cumple f  x    f x  . Es decir, a
valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas: f 2  f  2 ,
f 13   f  13  ,
f 5  f  5 . Por coincidir a valores opuestos de x , las imágenes opuestas, la gráfica de
una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Por ejemplo: verificar
que la función
f x   x 3 es impar; sería así:
f  x    x    x 3   f x  y como
3
f  x    f x  , entonces la función es impar.
10.3.3 EJEMPLOS RESUELTOS DE SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 12: Dada la función f x   x 3  2 x , determine si tiene algún tipo de simetría, e indica su
simetría:
Solución: Vamos a sustituir a “ x ” por “  x ”, en: f x   x 3  2 x
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
9
f  x    x   2  x 
3
  x3  2x

  x 3  2x
  f x 

 La función f x  es impar y es simétrica con respecto al origen
Ejemplo 13: Dada la función f x   x 4  3x 2  4 , determine algebraicamente si es par, impar o si
no tiene simetría, e indica su simetría:
Solución: Sustituyendo a “ x ” por “  x ”, en: f x   x 4  3x 2  4
f  x    x   3 x   4
4
2
 x 4  3x 2  4
 f x 
 La función f x  es par y es simétrica con respecto al eje Y
Ejemplo 14: Dada la función f x   x 4  2 x , determine algebraicamente si es par, impar o si no
tiene simetría, e indica su simetría:
Solución: Sustituyendo a “ x ” por “  x ”, en: f x   x 4  2 x
f  x    x   2  x 
f  x    x   2  x 
 x 4  2x
 x 4  2x
4
4
 f x 
  f x 
 La función f x  no es impar, ni es par, por lo tanto no tiene simetría
Ejemplo 15: Dada la función f x   x 2  x , determine algebraicamente si es par, impar o ninguna
de los dos, e indica su simetría:
Solución: Sustituyendo a “ x ” por “  x ”, en: f x   x 2  x
f  x    x    x 
f  x    x    x 
 x2  x
 x2  x
2
 f x 
2
  f x 
 La función f x  no es impar, ni es par, por lo tanto no tiene simetría
Ejemplo 16: Dada la función f x   x 5  3x 3 , determine algebraicamente si es par, impar o
ninguna de los dos, e indica su simetría:
Solución: Sustituyendo a “ x ” por “  x ”, en: f x   x 5  3x 3
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
10
f  x    x   3 x 
5
3
  x 5  3x 3

  x 5  3x 3
  f x 

 La función f x  es impar y es simétrica con respecto al origen
Ejemplo 17: Dada la función f x  
2x 2  3
, determine algebraicamente si es par, impar o
x2
ninguna de los dos, e indica su simetría:
Solución: Sustituyendo a “ x ” por “  x ”, en: f x  
f  x  
2 x   3
 x   2
2
2x2  3
x2
f  x  
2x2  3

 f x 
x2

2 x   3
 x   2
2
2x 2  3 2x 2  3

  f x 
 x  2  x  2
 La función f x  no es impar, ni es par, por lo tanto no tiene simetría
Ejemplo 18: Indica si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen simetría: f x   2x 2
, g x   3x 3 , h x   x , p x   3x  2 y q x   x  1
Solución:
f x   2 x 2
g x   3x 3
f  x   2 x   2 x  f x 
2
g  x   3 x   3x   g x 
3
2
 La función f x  es par
2
 La función g x  es impar.
h x   x
h x    x    x  hx 
 La función hx  es impar
p x   3x  2
q x   x  1
p  x   3 x   2  3x  2   p x 
q  x    x   1   x  1  q x 
p  x   3 x   2  3x  2  p x 
q  x    x   1   x  1  q x 
 La función p x  no tiene simetría
 La función q x  ni tiene simetría
Ejemplo 19: Estudia la simetría de las siguientes funciones: f x   3x  x 3 , g x   x 6  x 4  x 2 y
hx   x 5  x 3  x
Solución: f x   3x  x 3
g x   x 6  x 4  x 2
f x   3 x    x 
3
6

  3x  x 3   3x  x 3
  f x 
 La función f x  es simétrica
con respecto al origen
g  x    x    x    x 

4
2
     
 x6  x4  x2  x6  x4  x2
 g x 
 La función g x  es simétrica
con respecto al eje Y
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h x   x 5  x 3  x
h x    x    x    x 
5
3

  x5  x3  x   x5  x3  x
  h x 

 La función h x  simétrica con respecto al origen
Ejemplo 20: Estudia la simetría de las siguientes funciones: f x   x , g x   x x y h x   x  1
Solución: f x   x
g x   x x
f  x    x
g  x    x  x
 x
 x x
 f x 
  g x 
 La función f x  es simétrica con respecto al eje Y
 La función g x  es simétrica con
respecto al origen
h x   x  1
h  x    x  1
 x 1
 h x 
 La función h x  es simétrica con respecto al eje Y
Ejemplo
21:
Dadas
la
funciones
f x  
1
x2
, g x  
2x 1
1 x2
y
h x  
x
1 x2
determine
algebraicamente si es par, impar o ninguna de los dos, e indica su simetría:
Solución: f x  
f  x  
f x  
1
2x 1
1
1

  f x 
2 x   1  2 x  1
f  x  
1
2x 1
1
1

 f x 
2 x   1  2 x  1
 La función f x  no es simétrica
x2
g x  
1 x2
2

 x
g  x  
2
1   x 
x2
1 x2
 g x 

 La función g x  es par y es simétrica
con respecto al eje Y
h x  
h x  
x
1 x2
 x 
1   x 
x
x


2
1 x
1 x2
  h x 
2
 La función h x  es impar y es simétrica
con respecto al origen
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Ejemplo 22: Indica si las siguientes funciones son pares, impares o no tiene simetría: j x   x 5  x
, k x   1  x 4 y p x   2 x  x 2
Solución:
k x   1  x 4
j x   x 5  x
k  x   1   x 
j  x    x    x    x 5  x
5

4

 1  x 4  k x 
 La función g x  es par.
  x 5  x   j x 
 La función j x  es impar
px   2 x  x 2
px   2 x  x 2
p x   2 x    x 
p x   2 x    x 
2
2
 2 x  x 2
 2 x  x 2
 p x 
  p x 
 La función px  ni es par ni es impar
PRÁCTICA N°1
1. Hallar la función inversa de las siguientes funciones reales:
2
a) f x   4 x  1
b) f x   6 x  4
c) f x   x  1
e) f x  
4 x
i) f x  
5x
x 3
f) f x   6 x  8
j) f x  
2
2. Sean f x   5x  2 y g x  
3. Sean j x  
x 1
x2
g) f x  
x
k) f x  
2x  3
x 1
d) f x   2 x  3
h) f x   3 x  4
x4
2x  3
l) f x  
x2
, comprobar que g x  es la función inversa de f x  .
5
1
1 x
y k x  
, demostrar que j x  y k x  son funciones inversas.
x 1
x
4. Estudia la simetría de las siguientes funciones:
a) f x   x  1
b)
2
f x   6 x  4
c) f x   x  2x
5
3
d) f x  
4x
x 4
2
5. Dadas las siguientes funciones, determine algebraicamente si tiene algún tipo de simetría (si
es par, impar o no tiene simetría)
a) f x   x  x  x  1
b) f x   4 x  3x  2 x
c) f x   5x  4
d) f x   x  2 x  8
e) f ( x)  x  4 x
f) f x   x  1
g) f x   x  5x
h) f x   x  x
x 3  5x
k) f x   3
x  2x
4x 2  5
l) f x  
x  2x3
3
2
4
i) f ( x)  x  x
2
m) f ( x)  1  3 x
2
5
3
3
3
j) f x    x  x
2
3
n) f ( x)  3x³  2 x²  1
o) f ( x)  x 
1
x
4
4
2
3
3
P) f x   x x
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