Valoración de opciones financieras

ECONOMÍA
FINANCIERA
Tema14:Métodosdevaloracióndeopcionesfinancieras
VídeoSesión16
Profesor:JavierGómezBiscarri
ÍNDICE
1. El modelo binomial
2. La fórmula de Black-Scholes
3. Probabilidades neutrales al riesgo
4. Retorno y riesgo de una opción
Valoración de opciones
‡ La valoración de opciones no es tan inmediata como la valoración de activos
más sencillos como las acciones o los bonos.
‡ Una complicación es que el cálculo de los cash-flows esperados de la opción
depende de la evolución futura del precio de otro activo, el subyacente.
‡ Además, el concepto de riesgo en el caso de las opciones es menos claro, ya
que, de hecho, las opciones se pueden utilizar para neutralizar el riesgo de
otros activos.
Valoración de opciones
‡ Aunque no podremos usar directamente la fórmula básica de valoración
para valorar opciones, sí que la utilizaremos de forma indirecta, ya que
valoraremos opciones mediante aplicaciones de la Ley del Precio Único: dos
activos que den lugar a los mismos cash-flows deberían valer lo mismo.
‡ Mostraremos cómo podemos replicar los payoffs de opciones con
combinaciones (carteras réplica) de otros activos que sí sabemos valorar
(bonos y acciones).
‡ Otra ventaja de estos métodos es que necesitaremos hacer menos
supuestos (sobre preferencias de los inversores, p.e.).
Valoración de opciones
‡ En esta sesión veremos tres modelos distintos, aunque íntimamente
relacionados, para la valoración de opciones:
‡ El modelo de valoración binomial
‡ La fórmula de Black-Scholes
‡ Valoración por probabilidades neutrales al riesgo
‡ Finalmente, hablaremos del retorno y riesgo de las opciones
El modelo binominal
‡ El modelo binomial de valoración de opciones
‡ Esta técnica valora las opciones basándose en un supuesto simple sobre
la evolución del precio del activo subyacente: al cabo de un periodo, el
precio (y retorno) de la acción puede tomar sólo dos valores posibles.
‡ Árbol binomial: una representación gráfica de los dos sucesos (estados) que
al final de cada periodo puede tomar el activo subyacente
El modelo binominal
‡ El modelo binomial está basado en entender que, bajo el simple supuesto de
Ž‘•Dz†‘•˜ƒŽ‘”‡•dz“—‡’—‡†‡–‘ƒ”‡Žƒ –‹˜‘ƒŽ ƒ„‘†‡—’‡”‹‘†‘ǡ’‘†‡‘•
replicar los payoffs de la opción construyendo una cartera que tiene bonos
libres de riesgo y la acción subyacente.
‡ Si podemos valorar los bonos y la acción que constituyen la cartera réplica,
podremos valorar la opción por la Ley del Precio Único.
‡ Ž•—’—‡•–‘†‡Dz†‘•˜ƒŽ‘”‡•dz’—‡†‡‘•‡””‡ƒŽ‹•–ƒ•‹‡Ž’‡”‹‘†‘†‡–‹‡’‘‡•
muy largo, pero si lo hacemos suficientemente pequeño sí lo será.
El modelo binominal
‡ El modelo binomial con dos estados y un periodo
‡ Cartera réplica:
‡ Una cartera que consiste en la acción subyacente y un bono libre de
riesgo que tiene el mismo valor y payoffs dentro de un periodo que una
opción call sobre esa acción.
‡ La Ley del Precio Único implica que el valor actual de la opción call y
de la cartera réplica deberían ser el mismo.
El modelo binominal
‡ Por ejemplo, imaginemos
‡ Una call europea que vence en un periodo y tiene un precio de ejercicio
de $50.
‡ El precio de la acción hoy es $50 y la acción no paga dividendos.
‡ Dentro de un periodo, el precio de la acción subirá $10 (retorno positivo
del 20%) o bajará $10 (retorno negativo del 20%).
‡ El tipo libre de riesgo para un periodo es del 6%.
El modelo binominal
‡ Los payoffs de los tres activos (acción, un bono libre de riesgo y la opción call
sobre la acción) se pueden representar en el siguiente árbol binomial:
0
1
Acción Bono
60
Acción
50
Bono
1
40
Opción
1.06 max(60-50, 0) = 10
Estado
͞ƉŽƐŝƚŝǀŽ͟Ž
͞ƵƉ͟
1.06
Estado
͞ŶĞŐĂƚŝǀŽ͟Ž
͞ĚŽǁŶ͟
max(40-50,0) = 0
El modelo binominal
‡ Vamos a mostrar que podemos crear una cartera réplica con la acción y el
bono que tenga los mismos payoffs que la opción.
‡ Llamamos D al número de acciones que contiene esa cartera y B a la
inversión total en bonos (que hemos supuesto que tienen un nominal de 1).
‡ Para replicar la opción call con la acción y el bono, el valor de la cartera
réplica debe ser el mismo que el de la acción en cualquiera de los dos estados
posibles del próximo periodo.
El modelo binominal
‡ ‡Ž‡•–ƒ†‘Dz—’dzǡ‡Ž˜ƒŽ‘”†‡Žƒ ƒ”–‡”ƒ”±’Ž‹ ƒ†‡„‡•‡”͙͆͘Æ
‡ 60ȟ + 1.06B = 10
‡ ‡Ž‡•–ƒ†‘Dz†‘™dzǡ‡Ž˜ƒŽ‘”†‡Žƒ ƒ”–‡”ƒ”‡’Ž‹ ƒ†‡„‡•‡”͆͘Æ
‡ 40ȟ + 1.06B = 0
‡ Resolviendo, podemos hallar los valores de D y B que forman la cartera
réplica:
‡ D = 0.5
B = Ȃ18.8679
El modelo binominal
‡ Una cartera que tiene una posición larga en 0.5 acciones y una posición corta
de (aproximadamente) $18.87 en valor de bonos tendrá dentro de un
periodo un valor que exactamente replica el payoff de la opción call:
‡ 60 × 0.5 Ȃ 1.06 × 18.87 = 10
‡ 40 × 0.5 Ȃ 1.06 × 18.87 = 0
‡ Por la Ley del Precio Único, esta cartera debería tener el mismo precio actual
que la opción.
El modelo binominal
‡ El valor de la cartera réplica hoy es la suma del valor de una posición larga en
0.5 acciones (a un precio actual de $50) menos la posición corta (equivalente
a pedir prestado) en la cuantía de 18.87:
‡ 50ȟ + B = 50×0.5 Ȃ 18.87 = 6.13
‡ Por ello, el precio de la opción call debería ser C = $6.13
‡ Es importante ver que, usar la Ley del Precio Único nos permite hallar el
precio de la opción sin necesidad de saber las probabilidades de los dos
estados y sin necesidad de usar una rentabilidad exigida a la opción Æ esto
está implícito en los precios de la acción y del bono.
El modelo binominal
Replicando la opción en el modelo binomial
Cash-flow de la opción ($)
Opción call
Estos son los dos
estados replicados con
la cartera réplica
Cartera réplica
Precio de la acción ($) el próximo periodo
Fuente: adaptado de BDM
El modelo binominal
‡ Generalizamos ahora este ejemplo y derivaremos la fórmula de valoración
binomial
‡ Usamos la siguiente notación:
‡ S es el precio actual de la acción, que subirá a Su o bajará a Sd en el
’”ך‹‘’‡”‹‘†‘ȋDz—dz’‘”Dz—’dz›Dz†dz’‘”Dz†‘™dzȌǤ
‡ El tipo libre de riesgo es rf .
‡ Cu es el valor (payoff) de la opción call si la acción sube de precio y Cd es
el valor (payoff) de la opción call si la acción baja de precio.
El modelo binominal
‡ Generalizando, el árbol binomial es ahora:
0
1
Acción Opción
Su
Cu
S
Sd
Cd
‡ Los payoffs de la cartera réplica pueden expresarse como:
‡ ܵ௨ ο ൅ ͳ ൅ ‫ݎ‬௙ ‫ ܤ‬ൌ ‫ܥ‬௨ ‫ܵ ݕ‬ௗ ο ൅ ͳ ൅ ‫ݎ‬௙ ‫ ܤ‬ൌ ‫ܥ‬ௗ
El modelo binominal
‡ Resolviendo, obtenemos la fórmula general para la cartera réplica del
modelo binomial:
஼ೠ ି஼೏
‡ οൌ ௌ ିௌ
ೠ
೏
஼೏ ିௌ೏ ο
‫ܤ ݕ‬ൌ
ଵା௥೑
‡ El valor de la opción call es, entonces
‡ C = Sȟ + B
‡ Y podemos entender ȟ como la sensitividad del valor de la opción a cambios
en el precio de la acción (la pendiente de la línea roja en la slide 15)
El modelo binominal
‡ Aunque el modelo parece simple, es muy útil, ya que, de hecho, nos permite
hallar el precio de cualquier activo cuyo payoff dependa del valor de la
acción.
‡ Por ejemplo, podemos usarlos para hallar el precio de una opción put:
‡ Una put europea vence en un periodo y tiene un precio de ejercicio de
$60.
‡ El precio de la acción hoy es $60 y la acción no paga dividendos: dentro
de un periodo, el precio de la acción subirá a $72 (retorno positivo del
20%) o bajará a $54 (retorno negativo del 10%).
‡ El tipo libre de riesgo para un periodo es del 3%.
El modelo binominal
‡ Los payoffs de los tres activos (acción, un bono libre de riesgo y la opción call
sobre la acción) se pueden representar en el siguiente árbol binomial:
0
1
Acción Bono
Acción
60
Bono
1
Opción
72
1.03
max(60-72, 0) = 0
Estado
͞ƵƉ͟
54
1.03
max(60-54,0) = 6
Estado
͞ĚŽǁŶ͟
El modelo binominal
‡ ‡Ž‡•–ƒ†‘Dz’‘•‹–‹˜‘dzǡ‡Ž˜ƒŽ‘”†‡Žƒ ƒ”–‡”ƒ”±’Ž‹ ƒ†‡„‡•‡”͆͘Æ
‡ 72ȟ + 1.03B = 0
‡ ‡Ž‡•–ƒ†‘Dz‡‰ƒ–‹˜‘dzǡ‡Ž˜ƒŽ‘”†‡Žƒ ƒ”–‡”ƒ”‡’Ž‹ ƒ†‡„‡•‡”͆͞Æ
‡ 54ȟ + 1.03B = 6
‡ Podemos hallar los valores de D y B que forman la cartera réplica:
‡ D = -0.3333
B = 23.30
El modelo binominal
‡ Alternativamente, sabiendo que Pu=0 y Pd=6 en el caso de la put:
௉ೠ ି௉೏
଴ି଺
‡ οൌ
ൌ
ൌ െͲǤ͵͵͵͵
ௌೠ ିௌ೏
଺଴ିହସ
௉೏ ିௌ೏ ο
଺ିହସൈሺି଴Ǥଷଷଷଷሻ
‡‫ܤ‬ൌ
ൌ
ൌ ʹ͵Ǥ͵Ͳ
ଵା௥೑
ଵǤ଴ଷ
‡ El valor de la opción put es, entonces
‡ P = Sȟ + B = 60×(-0.3333) + 23.30 = $3.30
El modelo binominal
‡ Este modelo parece demasiado simple: una acción puede tomar muchos
valores y una opción estar viva durante más de un periodo.
‡ Vamos a intentar hacer el modelo algo más realista permitiendo que haya
varios periodos y, como consecuencia, también varios estados.
‡ Consideraremos un modelo binomial con dos periodos, en cada uno de los
cuales la acción puede subir o bajar de valor:
‡ Ž‘•‘˜‹‹‡–‘•†‡Žƒƒ ‹×•‹‰—‡•‹‡†‘†‘•ȋDz—’dz›Dz†‘™dzȌ’‡”‘ƒŽ
combinar dos periodos, los posibles valores finales aumentan.
El modelo binominal
‡ El modelo multiperiodo
‡ Pensemos en un árbol binomial con dos periodos, en los que el precio de la
acción puede evolucionar de la forma siguiente:
0
1
2
60
50
40
40
30
20
‡ El tipo libre de riesgo sigue siendo 6% y vamos a intentar hallar el valor de
una opción call con precio de ejercicio $50 y vencimiento en dos periodos.
El modelo binominal
‡ Para calcular el valor de la opción en un árbol multiperiodo, empezamos al
ˆ‹ƒŽ†‡Žž”„‘Ž›”‡•‘Ž˜‡‘•DzŠƒ ‹ƒƒ–”ž•dzǤ
‡ En el momento 2, la opción vence, con lo que su payoff es igual a su valor
intrínseco:
‡ En el ejemplo, la call dará un payoff de $10 si el precio del stock ha
subido a $40, y 0 en cualquier otro caso ($40 y $20)
El modelo binominal
‡ El siguiente paso es ver el valor de la opción en cualquiera de los dos estados
del periodo 1:
‡ Si la acción ha subido a $50 en el periodo 1, el árbol es:
1
2
Acción
Opción
60 max(60-50,0) = 10
Acción 50
40
max(40-50,0) = 0
‡ El valor de la opción en este estado del periodo 1 debería ser $6.13
(como en el ejemplo de un periodo: la cartera réplica sería ȟ=0.5, B=18.87)
El modelo binominal
‡ El siguiente paso es ver el valor de la opción en cualquiera de los dos estados
del periodo 1:
‡ Si la acción ha bajado a $30 en el periodo 1, el árbol es:
1
2
Acción
Opción
40
max(40-50,0) = 0
Stock
30
20
max(20-50,0) = 0
‡ El valor de la opción debería ser $0 ya que su payoff futuro será $0 en
cualquier estado (la cartera réplica sería ȟ=0, B=0)
El modelo binominal
‡ El paso final es determinar el valor de la opción en el momento 0. El arbol
binominal es:
0
1
Acción Opción
50
6.13
Acción 40
30
0
‡ Y podemos ahora plantear el sistema para la cartera réplica D y B:
஼ೠ ି஼೏
଺Ǥଵଷି଴
οൌ
ൌ
ൌ ͲǤ͵Ͳ͸ͷ
ௌೠ ିௌ೏
ହ଴ିଷ଴
‡
஼೏ ିௌ೏ ο
଴ିଷ଴ൈ଴Ǥଷ଴଺ହ
‫ܤ‬ൌ
ൌ
ൌ െͺǤ͸͹
ଵା௥೑
ଵǤ଴଺
El modelo binominal
‡ Con lo que el valor de la opción en el momento 0 debe ser:
‡ ‫ ܥ‬ൌ ܵο ൅ ‫ ܤ‬ൌ ͶͲ ൈ ͲǤ͵Ͳ͸ͷ െ ͺǤ͸͹ ൌ ̈́͵Ǥͷͻ
‡ Es importante ver que los payoffs de la opción todavía se pueden replicar
‘—ƒ ƒ”–‡”ƒ†‡ƒ ‹‘‡•ή„‘‘•ǡ’‡”‘‡•–ƒ ƒ”–‡”ƒ†‡„‡Dz”‡„ƒŽƒ ‡ƒ”•‡dz
en cada periodo Æ esta estrategia se llama una estrategia de trading
dinámica:
‡ Una estrategia de réplica basada en la idea de que el payoff de una
opción puede replicarse de forma dinámica rebalanceando la cartera del
activo subyacente y los bonos sin riesgo.
El modelo binominal
‡ En el momento 0, ȟ=0.3065, B=-8.67.
‡ Si la acción baja a $30 en el momento 1, el valor neto de nuestra cartera es
$0 (0.3065 ൈ 30 Ȃ 8.67 ൈ 1.06 =0 ), con lo que podríamos liquidar la cartera
sin coste.
‡ Si la acción sube a $50, el valor neto de la cartera es $6.13: para rebalancear
la cartera, debemos comprar 0.5-0.3065=0.1935 acciones que cuestan 0.1935
× 50 = $9.67. Si pedimos prestado esos 9.67 vendiendo bonos, la cantidad
total de nuestra inversión en bonos es 9.67+8.67 ×1.06 =18.87, que es
precisamente la cartera réplica.
El modelo binominal
‡ Estrategia de trading dinámica
‡ En el ejemplo que acabamos de ver:
‡ La cartera réplica comienza con una posición larga de 0.3065 acciones
y una posición corta (préstamo) en bonos de $8.67.
‡ Si la acción baja a $30, las acciones valen $9.20 y la deuda en bonos
ha subido a $9.20: el valor neto de la cartera es $0.
‡ $30 × 0.3065 = $9.20 y $8.67 × 1.06 = $9.20
‡ Este valor neto de $0 corresponde al valor de la opción: la cartera
réplica puede liquidarse sin coste.
El modelo binominal
‡ Estrategia de trading dinámica
‡ Si la acción sube a $50, el valor neto de la cartera réplica sube a $6.13:
‡ La nueva ȟ es 0.5 Æ necesitamos comprar ͘Ǥ͘͝ί͘Ǥ͛͘͞͝γ͘Ǥ͙͛͡͝
acciones: el coste de esta compra es 0.1935× $50 = $9.67
‡ Esta compra se puede financiar pidiendo más dinero prestado
(vendiendo más bonos), con lo que el nuevo valor de la deuda en
bonos sería:
‡ $8.67 × 1.06 + $9.67 = $18.87
‡ Que es, precisamente, el valor de B de la nueva cartera réplica.
El modelo binomial
‡ Žž”„‘Ž—Ž–‹’‡”‹‘†‘ ‘‹‡œƒƒDz’ƒ”‡ ‡”•‡dzž•ƒŽƒ”‡ƒŽ‹†ƒ†ǡ’‡”‘•‹‰—‡
siendo muy simple: el valor de una acción cambia de formas muy diversas a
lo largo de periodos largos.
‡ ‹‘•ˆ‹Œƒ‘•‡’‡”‹‘†‘•†‡–‹‡’‘—› ‘”–‘•ȋ‹—–‘•ǥ‘•‡‰—†‘•Ȍǡ
entonces el modelo binomial sí puede reflejar la forma en que las acciones
cambian de valor.
‡ El siguiente gráfico (tomado de BDM) muestra la evolución de un precio de
acción simulado Æ a lo largo de 900 periodos la acción puede subir o bajar
de valor un 1% en cada periodo.
El modelo binomial
Precio de la acción ($)
La evolución simulada del precio de la acción en un modelo binomial
Tiempo (900 periodos)
Fuente: adaptado de BDM
El modelo binomial
‡ Haciendo, por tanto, cada periodo del modelo multiperiodo corto y los
ƒ„‹‘•’‘•‹„Ž‡•ȋDz—’dz‘Dz†‘™dzȌ—›’‡“—‡Ó‘•ǡ‡Ž‘†‡Ž‘„‹‘‹ƒŽ’—‡†‡
ƒ’”‘š‹ƒ””‡Žƒ–‹˜ƒ‡–‡„‹‡Žƒ‡˜‘Ž— ‹×†‡Ž‘•’”‡ ‹‘•†‡Žƒƒ ‹×ǥ›’‘”
lo tanto hallar valores realistas de opciones europeas y de muchos otros
activos derivados.
‡ De hecho, si hacemos que la longitud de cada periodo se aproxime a cero
(con lo que el número de periodos por año se aproxima a infinito), los precios
de opciones europeas según el método binomial pueden calcularse con una
fórmula relativamente simple: la fórmula de Black-Scholes.
La fórmula de Black-Scholes
‡ Aunque la derivación original de la fórmula no fue así, la fórmula de BlackScholes corresponde a un modelo binomial en el que hacemos que la
Ž‘‰‹–—††‡ ƒ†ƒ’‡”‹‘†‘ȋ›‡Ž ƒ„‹‘Dz—’dz‘Dz†‘™dz‡ ƒ†ƒ’‡”‹‘†‘Ȍ•‡
aproxime a cero y el número de periodos en el árbol se aproxime a infinito.
‡ La derivación formal de la fórmula es relativamente compleja, con lo que
tomaremos la fórmula como dada y dedicaremos esta parte de la sesión a
entender su forma, componentes y la aplicación de la fórmula para la
valoración de opciones.
La fórmula de Black-Scholes
‡ La fórmula de Black-Scholes para valorar opciones:
‡ Notación:
‡ S: precio actual de la acción
‡ T: número de periodos (años) hasta el ejercicio
‡ K: precio de ejercicio
‡ ɐǣ˜‘Žƒ–‹Ž‹†ƒ†ƒ—ƒŽȋ†‡•˜‹ƒ ‹×•–ƒ†ƒ”†Ȍ†‡Ž”‡–‘”‘†‡Žƒƒ ‹×
La fórmula de Black-Scholes
‡ La fórmula de Black-Scholes para el Precio de una opción Call sobre una
acción que no paga dividendos:
‡ ‫ ܥ‬ൌ ܵ ൈ ܰ ݀ଵ െ ܸܲ ‫ ܭ‬ൈ ܰ ݀ଶ
‡ N(d) es el valor de la distribución normal acumulada para d, esto es, la
probabilidad de que una realización de la distribución normal standard
esté por debajo de d Æ vemos una representación gráfica en la siguiente
slide
La fórmula de Black-Scholes
Fuente: adaptado de BDM
La fórmula de Black-Scholes
‡ Los valores d1 y d2 son relativamente complejos, y dependen de los
parámetros S, K, ɐ , T y del tipo libre de riesgo rf:
௟௡ ௌȀ௉௏ሺ௄ሻ
ఙ ்
‡ ݀ଵ ൌ
൅
ఙ ்
ଶ
݀ଶ ൌ ݀ଵ െ ߪ ܶ
‡ ‘‡ŽŽ‘ǡ•‡‡ ‡•‹–ƒ‡–‘–ƒŽDz•×Ž‘dz ‹ ‘†ƒ–‘•’ƒ”ƒ˜ƒŽ‘”ƒ”—ƒ‘’ ‹×ǣǡ
K, la fecha de ejercicio (que determina T), el tipo libre de riesgo (necesario
para calcular PV(K)) y la volatilidad de la acción ɐ
La fórmula de Black-Scholes
‡ Es interesante ver que no necesitamos saber el retorno esperado de la acción
(igual que en el modelo binomial no necesitábamos saber las probabilidades
de los estados) ni la rentabilidad exigida a la opción.
‡ Esto es porque esa información ya está incluida, en cierta manera, en el
precio actual de la acción y el tipo libre de riesgoÆ la fórmula de BlackScholes usa la información sobre el retorno esperado y la rentabilidad
exigida implícitamente.
La fórmula de Black-Scholes
‡ La fórmula de Black-Scholes está derivada asumiendo que la call es una
opción europea sobre una acción que no paga dividendos.
‡ Una call americana tiene el mismo precio que una call europea, con lo que la
fórmula también sirve para las calls americanas.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 1 B-S
‡ La empresa ABC no paga dividendos. La volatilidad del retorno de las
acciones de ABC es 35% (anual). El tipo libre de riesgo es 4%. El precio actual
de la acción de ABC es de $35.4.
‡ ¿Cuál debería ser el precio de una call americana sobre la acción de ABC con
un precio de ejercicio de $40 y que vence en medio año?
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 1 B-S
ସ଴
‡ ܸܲ ‫ ܭ‬ൌ
ൌ ͵ͻǤʹʹ͵
భȀమ
ଵǤ଴ସ
௟௡ ଷହǤସȀଷଽǤଶଶଷ
଴Ǥଷହ ଴Ǥହ
݀ଵ ൌ
൅
ൌ െͲǤʹͻͲ͹
଴Ǥଷହ ଴Ǥହ
ଶ
‡
݀ଶ ൌ െͲǤʹͻͲ͹ െ ͲǤ͵ͷ ͲǤͷ ൌ െͲǤͷ͵ͺͳ
‡ ܰ െͲǤʹͻͲ͹ ൌ ͲǤ͵ͺͷ͹ ܰ െͲǤͷ͵ͺͳ ൌ ͲǤʹͻͷʹ
‡ ‫ ܥ‬ൌ ͵ͷǤͶ ൈ ͲǤ͵ͺͷ͹ െ ͵ͻǤʹʹ͵ ൈ ͲǤʹͻͷʹ ൌ ̈́ʹǤͲ͹
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 2 B-S (de BDM)
‡ JetBlue Airways no paga dividendos. En la Tabla de la slide siguiente
aparecen las cotizaciones de opciones sobre la acción de JetBlue.
‡ Vamos a valorar según B-S la opción call americana con precio de ejercicio
de $6 y vencimiento en Diciembre 2009. La volatilidad del retorno de las
acciones de JetBlue es 65% (anual) y el tipo libre de riesgo es 1%. Después
compararemos el precio con los precios de cotización.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 2 B-S (de BDM)
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 2 B-S (de BDM)
‡ S = $5.03 / rf = 1%
‡ T = 148/365 / ɐ = 65%
‡ PV(K) =6.00/1.01148/365 = 5.976
‡
݀ଵ ൌ
௟௡ ହǤ଴ଷȀହǤଽ଻଺
଴Ǥ଺ହ ଵସ଼Ȁଷ଺ହ
൅
଴Ǥ଺ହ ଵସ଼Ȁଷ଺ହ
ଶ
ൌ െͲǤʹͲͻ
݀ଶ ൌ െͲǤʹͲͻ െ ͲǤ͸ͷ ͳͶͺȀ͵͸ͷ ൌ െͲǤ͸ʹ͵
‡ ܰ െͲǤʹͲͻ ൌ ͲǤͶͳ͹ ܰ െͲǤ͸ʹ͵ ൌ ͲǤʹ͸͹
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 2 B-S (de BDM)
‡ Sustituyendo en la fórmula de B-S, encontramos:
‡ ‫ ܥ‬ൌ ܵ ൈ ܰ ݀ଵ െ ܸܲ ‫ ܭ‬ൈ ܰ ݀ଶ ൌ ͷǤͲ͵ ൈ ͲǤͶͳ͹ െ ͷǤͻ͹͸ ൈ ͲǤʹ͸͹ ൌ
̈́ͲǤͷͲ
‡ En la Tabla, los precios de cotización de esta opción son $0.45 (bid) y
$0.55(ask), muy cercanos al precio que implica la fórmula B-S.
‡ El siguiente gráfico muestra el valor de esta call en función del precio S
del stock de JetBlue: es interesante cómo el valor de la opción está
siempre por encima de su valor intrínseco. Vimos en la sesión anterior
que esto se debe al valor del tiempo.
Valor según BlackScholes Value
el 24 de Julio de
2009 de una Call
sobre JetBlue con
ejercicio en
Diciembre 2009 y
precio de ejercicio
$6
Valor de la call ($)
La fórmula de Black-Scholes
Valor intrínseco
Precio de ejercicio
Precio de la acción ($)
Fuente: adaptado de BDM
La fórmula de Black-Scholes
‡ La fórmula de B-S se debe adaptar para valorar una opción put europea:
‡ Recordando la paridad put-call (P = C - S + PV(K)), el precio según la
fórmula B-S de una put europea sobre una acción que no paga
dividendos es:
‡ ܲ ൌ ܸܲ ‫ ͳ ܭ‬െ ܰ ݀ଶ െ ܵ ͳ െ ܰ ݀ଵ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 3 B-S
‡ La acción de la empresa EJEMPLO3 no paga dividendos. La desviación
estándar de su retorno es 60% (anual). El tipo libre de riesgo es 2% y el
precio actual de la acción es de $30. ¿Cuál sería el precio de una put europea
sobre esta acción que vence en 3 meses y tiene un precio de ejercicio de $35?
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 3 B-S
ଷହ
‡ ܸܲ ‫ ܭ‬ൌ
ൌ ͵ͶǤͺʹ͹
భȀర
ଵǤ଴ଶ
௟௡ ଷ଴ȀଷସǤ଼ଶ଻
଴Ǥ଺ ଴Ǥଶହ
݀ଵ ൌ
൅
ൌ െͲǤ͵Ͷ͹
଴Ǥ଺ ଴Ǥଶହ
ଶ
‡
݀ଶ ൌ െͲǤ͵Ͷ͹ െ ͲǤ͸ ͲǤʹͷ ൌ െͲǤ͸Ͷ͹
‡ ܰ െͲǤ͵Ͷ͹ ൌ ͲǤ͵͸Ͷ ܰ െͲǤ͸Ͷ͹ ൌ ͲǤʹͷͺ͹
‡ ܲ ൌ ͵ͶǤͺʹ͹ ͳ െ ͲǤʹͷͺ͹ െ ͵Ͳ ͳ െ ͲǤ͵͸Ͷ ൌ ̈́͸Ǥ͹Ͷ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 4 B-S (de BDM)
‡ JetBlue Airways no paga dividendos. En la Tabla de la slide siguiente
replicamos las cotizaciones de opciones sobre la acción de JetBlue.
‡ Vamos a valorar según B-S la opción put correspondiente a un precio de
ejercicio de $5 y vencimiento en Enero 2010. La volatilidad del retorno de las
acciones de JetBlue es 65% (anual) y el tipo libre de riesgo es 1%. ¿Es este
cálculo adecuado?
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 4 B-S (de BDM)
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 4 B-S (de BDM)
‡ S = $5.03 / rf = 1%
‡ T = 176/365 / ɐ = 65%
‡ PV(K) =5.00/1.01176/365 = 4.976
‡
݀ଵ ൌ
௟௡ ହǤ଴ଷȀସǤଽ଻଺
଴Ǥ଺ହ ଵ଻଺Ȁଷ଺ହ
൅
଴Ǥ଺ହ ଵ଻଺Ȁଷ଺ହ
ଶ
ൌ ͲǤʹͷͲ
݀ଶ ൌ ͲǤʹͷͲ െ ͲǤ͸ͷ ͳ͹͸Ȁ͵͸ͷ ൌ െͲǤʹͲͳ
‡ ܰ ͲǤʹͷͲ ൌ ͲǤͷͻͻ ܰ െͲǤʹͲͳ ൌ ͲǤͶʹͲ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 4 B-S (de BDM)
‡ Sustituyendo en la fórmula de B-S para puts, encontramos:
‡ ܲ ൌ ܸܲ ‫ ܭ‬ൈ ͳ െ ܰ ݀ଶ െ ܵ ൈ ሾͳ െ ܰ ݀ଵ ሿ ൌ ͶǤͻ͹͸ ൈ ሺͳ െ ͲǤͶʹͲሻ െ
ͷǤͲ͵ ൈ ሺͳ െ ͲǤͷͻͻሻ ൌ ̈́ͲǤͺ͹
‡ En la Tabla, los precios de cotización de la opción con estas
características son $0.85 (bid) y $0.95 (ask), muy cercanos al precio que
implica la fórmula B-S.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 4 B-S (de BDM)
‡ Pero recordemos que la fórmula de B-S calcula el precio de opciones
europeas: en el caso de una put, el precio de una put europea es un límite
inferior para el precio de una put americana, ya que la americana podría
ejercerse antes del vencimiento para beneficiarse del interés sobre el precio
de ejercicio. En este caso la aproximación probablemente será
suficientemente cercana.
‡ El siguiente gráfico muestra el valor de esta put en función del precio S
del stock de JetBlue: es interesante cómo el valor de la opción put está
por debajo de su valor intrínseco para opciones deep-in-the-money (S
muy bajo), aunque este efecto es muy pequeño y casi inapreciable en el
gráfico.
Valor de la put ($)
La fórmula de Black-Scholes
Valor según Black-Scholes el día 24 de Julio, 2009
de la Put sobre JetBlue con ejercicio en Enero 2010
a $5.00
Valor intrínseco
Precio de ejercicio
Precio de la acción ($)
Fuente: adaptado de BDM
La fórmula de Black-Scholes
‡ B-S para acciones que pagan dividendo
‡ Si expresamos como PV(Div) el valor actual de los dividendos que paga la
acción antes del vencimiento de la opción, podemos expresar el precio de la
ƒ ‹×Dz‡š-†‹˜‹†‡†‘dzǣ
‡ ܵ ௫ ൌ ܵ െ ܸܲሺ‫ݒ݅ܦ‬ሻ
‡ Dado que una call europea es el derecho a comprar la acción sin estos
dividendos, podríamos aplicar la fórmula de B-S utilizando Sx en lugar de S.
La fórmula de Black-Scholes
‡ B-S para acciones que pagan dividendo
‡ Un caso especial que se usa frecuentemente se refiere a acciones que pagan
dividendos proporcionales al precio de la acción en el momento del
dividendo. Si q es el dividend yield de la acción (compuesto) hasta el ejercicio
de la opción, entonces podemos usar la siguiente fórmula para Sx:
௫
‡ܵ ൌ
ௌ
ଵା௤
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 5 B-S
‡ La acción de la empresa BigBusiness, Inc., tiene un precio actual de $21. La
empresa tiene previsto pagar un dividend yield del 5%. Si los retornos de
BigBusiness tienen una volatilidad del 30% y el tipo libre de riesgo es del 3%,
¿cuál es el valor de una opción call que vence en un año y tiene un precio de
ejercicio de $18?
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 5 B-S
‡ Usamos la fórmula de B- ‘‡Ž’”‡ ‹‘Dz‡š-†‹˜‹†‡†‘dzƒŒ—•–ƒ†‘•‡‰ïŽƒ
fórmula de la slide 61:
‡
݀ଵ ൌ
మభ భఴ
௟௡
Ȁ
భǤబఱ భǤబయ
଴Ǥଷ ଵ
଴Ǥଷ ଵ
൅
ൌ ͲǤͷͻͻ͹
ଶ
݀ଶ ൌ ͲǤͷͻͻ͹ െ ͲǤ͵ ͳ ൌ ͲǤʹͻͻ͹
‡ Y el valor de la call:
௫
‡ ‫ ܥ‬ൌ ܵ ܰ ݀ଵ െ ܸܲ ‫݀ ܰ ܭ‬ଶ ൌ ʹͲ ൈ ͲǤ͹ʹͷ͹ െ ͳ͹ǤͶ͹͸ ൈ ͲǤ͸ͳ͹ͺ ൌ ̈́͵Ǥ͹ʹ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 6 B-S (tomado de BDM)
‡ World Wide Plants paga un dividend yield del 5%. Representa el valor según
B-S de una call europea con precio de ejercicio $20 en función del precio de
la acción. Asumiremos que la volatilidad es del 20% anual y el tipo libre de
riesgo es del 4%.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 6 B-S (tomado de BDM)
‡ La función del precio de la call es
‡ C = Sx N(d1) Ȃ PV(K) N(d2) =(S/1.05) x N(d1,S) Ȃ (20/1.04) x N(d2,S)
‡
݀ଵǡௌ ൌ
ೄ
మబ
௟௡
Ȁ
భǤబఱ భǤబర
଴Ǥଶ ଵ
଴Ǥଶ ଵ
൅
ଶ
݀ଶǡௌ ൌ ݀ଵǡௌ െ ͲǤʹ ͳ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 6 B-S (tomado de BDM)
Valor de la call ($)
Valor
intrínseco
Precio de
ejercicio
Fuente: adaptado de BDM
Precio de la acción ($)
La call puede
valer menos
que su valor
intrínseco
La fórmula de Black-Scholes
‡ LA VOLATILIDAD IMPLÍCITA
‡ Uno de los cinco componentes de la fórmula de Black-Scholes es la
volatilidad de los retornos de la acción. Este componente, s, es el único que
no es observable directamente.
‡ En la práctica se usan dos estrategias para estimar s.
‡ Usar datos históricos de retornos para calcular una medida de
desviación estándar.
‡ Dz‡•‘Ž˜‡”dz‡Ž˜ƒŽ‘”†‡Žƒ˜‘Žƒ–‹Ž‹†ƒ†‹’ŽÀ ‹–ƒ
La fórmula de Black-Scholes
‡ LA VOLATILIDAD IMPLÍCITA
‡ La volatilidad implícita es la volatilidad del retorno de un activo que es
consistente con el precio de mercado de una opción sobre ese activo.
‡ En cierta forma, es pensar que la fórmula de B-Dz•‡ —’Ž‡dz’ƒ”ƒ—ƒ
opción y ver cuál es la volatilidad que corresponde al precio observado de
esa opción en el mercado.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 7 B-S
‡ Una opción sobre la acción de una empresa que no paga dividendos expira
en medio año. El precio de la opción es de $7. El precio de la acción en el
mercado hoy es $40 y el precio de ejercicio es $35. El tipo de interés sin
riesgo es del 4%. Halla la volatilidad implícita en el precio de la opción.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 7 B-S
‡ El ejercicio requeriría resolver la ecuación siguiente:
‡ C = S x N(d1) Ȃ PV(K) x N(d2) Æ 7 = 40 x N(d1,ɐ) Ȃ (35/1.04) x N(d2,ɐ)
‡
݀ଵǡఙ ൌ
యఱ
భǤబర
௟௡ ସ଴Ȁ
ఙ ଴Ǥହ
ఙ ଴Ǥହ
൅
ଶ
݀ଶǡఙ ൌ ݀ଵǡఙ െ ߪ ͲǤͷ
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 7 B-S
‡ La resolución de esta ecuación no es trivial, aunque puede resolverse con
‡š ‡Žȋ—–‹Ž‹œƒ†‘Dz—• ƒ”„Œ‡–‹˜‘dz‘Dz‘Ž˜‡”dzȌǤ
‡ Si lo hacemos, obtenemos un valor de ɐ = 32.94% anual.
La fórmula de Black-Scholes
‡ LA CARTERA RÉPLICA
‡ En el contexto de B-S también hay una forma de construir una cartera
réplica.
‡ Recordando la relación entre el precio de la call y la cartera réplica: ‫ ܥ‬ൌ ܵο ൅
‫ܤ‬
‡ No es difícil ver que la fórmula B- ‘–‹‡‡‡•À‹•ƒŽ‘•Dz’‡•‘•dz†‡Žƒ
cartera réplica:
οൌ ܰ ݀ଵ
‡
‫ ܤ‬ൌ െܸܲ ‫݀ ܰ ܭ‬ଶ
La fórmula de Black-Scholes
‡ La cartera réplica
‡ El Delta de la opción (D) tiene una interpretación intuitiva:
‡ El cambio en el precio de la opción dado un cambio de $1 en el precio de
la acción Æ el número de acciones en la cartera réplica de la opción.
‡ Dado que D es siempre menor que 1 (y mayor que 0 para una call) el
cambio en el precio de la call es siempre menor que el cambio en el
precio de la acción.
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 8 B-S (tomado de BDM)
‡ Una opción sobre la acción de una empresa que no paga dividendos expira
en un año. El precio de la acción en el mercado hoy es $10 y el precio de
ejercicio es $10 (call at-the-money). El tipo de interés sin riesgo es del 5% y la
volatilidad es del 40%. ¿Qué cartera tendrías que formar hoy para replicar los
payoffs de la opción descrita?
La fórmula de Black-Scholes
‡ EJEMPLO 8 B-S (tomado de B-S)
‡ S = 10, PV(K) = 10/1.05 = 9.524, y
௟௡ ଵ଴ȀଽǤହଶସ
଴Ǥସ ଵ
݀ଵ ൌ
൅
ൌ ͲǤ͵ʹʹ
଴Ǥସ ଵ
ଶ
‡
݀ଶ ൌ ͲǤ͵ʹʹ െ ͲǤͶ ͳ ൌ െͲǤͲ͹ͺ
‡ Con lo que la cartera réplica corresponde a:
‡ ȟ = N(d1) = N(=.322) = 0.626
‡ B = -PV(K) x N(d2) = -9.524 x N(-0.078)=-4.47
La fórmula de Black-Scholes
Cartera réplica de la call del ejemplo
Valor de la opción
según B-S
Valor ($)
Precio actual
de la acción
Valor intrínseco
Cartera réplica
(ȴ =0.626, B =-4.47)
Precio de la acción ($)
Fuente: adaptado de BDM
La fórmula de Black-Scholes
‡ Nota: la cartera réplica de una call siempre consiste en una posición larga en
la acción y corta en el bono.
‡ La cartera réplica es, por lo tanto, una posición endeudada en la acción.
‡ Una posición endeudada en una acción es más arriesgada que la
propia acción Æ las opciones call sobre una acción con beta positiva
son más arriesgadas que la acción subyacente y, por lo tanto, tendrán
mayores betas y mayores retornos.
La fórmula de Black-Scholes
‡ La cartera réplica para una opción put se calcula, de la misma manera,
mirando los coeficientes de la fórmula de B-S:
‡ ܲ ൌ ܸܲ ‫ ܭ‬ൈ ͳ െ ܰ ݀ଶ െ ܵ ൈ ͳ െ ܰ ݀ଵ Æ
οൌ െ ͳ െ ܰ ݀ଵ
‡
‫ ܤ‬ൌ ܸܲ ‫ ͳ ܭ‬െ ܰ ݀ଶ
‡ La cartera réplica de una put siempre consiste de una posición larga en el
bono y una posición corta en la acción Æ las opciones put sobre una acción
con beta positiva tendrán una beta negativa
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ En el modelo binomial (y también, aunque menos explícito) en B-S, hemos
utilizado los precios de dos activos (acciones y bonos) para hallar el precio de
las opciones.
‡ Tener estos dos precios nos permitía no necesitar saber las probabilidades
de los dos estados (up y down) ni, por lo tanto, el retorno esperado de la
acción Æ estos datos estaban implícitos en los precios de mercado del bono
(rf) y la acción.
‡ ¿Pero qué pasaría si supiéramos las probabilidades de los dos estados?
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Si tuviéramos datos sobre las probabilidades de los dos estados, podríamos
calcular el payoff esperado de la opción y descontarlo a un coste de capital
apropiado Æ podríamos valorar la opción directamente.
‡ El problema es que el cálculo del coste del capital en el caso de una opción es
más complejo, si cabe, que en el caso de una inversión más tradicional.
‡ Pero, si todos los participantes en el mercado fueran neutrales al riesgo,
entonces el coste de capital de todos los activos financieros (incluidas las
opciones) sería el mismo: el tipo libre de riesgo.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ El tercer método de valoración de opciones que vamos a ver hace el
supuesto de que todos los inversores son neutrales al riesgo, y valora las
opciones, por tanto, asumiendo que el coste de capital relevante es el tipo
libre de riesgo.
‡ Para poder hacer este supuesto, el método va a calcular lo que llamamos
probabilidades neutrales al riesgo de los estados (up y down): esto serán
—ƒ•’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ†‡•Dz–‡×”‹ ƒ•dz“—‡Šƒ”Àƒ“—‡Ž‘•‹˜‡”•‘”‡•‘‡ ‡•‹–ƒ”ƒ
una compensación por riesgo.
‡ Para ver cómo funciona este método, utilizaremos el mismo ejemplo que
usamos para el árbol binomial de un periodo.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Vamos a imaginar un mundo con inversores neutrales al riesgo.
‡ El riesgo se representa en que una acción con precio actual $50 tendrá un
precio distinto al final del siguiente periodo:
‡ ‡‡Ž‡•–ƒ†‘Dz—’dz‡Ž’”‡ ‹‘•—„‹”ž‡͙͆͘
‡ ‡‡Ž‡•–ƒ†‘Dz†‘™dz‡Ž’”‡ ‹‘„ƒŒƒ”ž‡͙͆͘
‡ El tipo de interés sin riesgo es del 6%. Todos los inversores, por lo tanto, usan
este tipo para descontar los cash-flows esperados de sus inversiones.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Si llamamos ɏ a la probabilidad de que el precio suba (probabilidad del
‡•–ƒ†‘Dz—’dzȌ›ȋ͙Ȃ ɏ) a la probabilidad de que el precio baje (probabilidad
†‡Ž‡•–ƒ†‘Dz†‘™dzȌǡ‡–‘ ‡•
‡ El precio de la acción hoy debería ser el valor actual del precio esperado
en el próximo periodo, descontado al tipo libre de riesgo:
͸Ͳ ൈ ߩ ൅ ͶͲ ൈ ͳ െ ߩ
ͷͲ ൌ
ͳǤͲ͸
Y la solución es ɏ = .65 = 65%
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Sabiendo esta probabilidad, entonces podemos hallar el precio actual de la
opción call con precio de ejercicio de $50
‡ Los payoffs de la opción son max(60-͘͝ǡ͘Ȍγ͙͘‡‡Ž‡•–ƒ†‘Dz—’dz›ƒšȋ͘͘͜͝ǡ͘Ȍγ͘‡‡Ž‡•–ƒ†‘Dz†‘™dzǤŽ˜ƒŽ‘”ƒ –—ƒŽ†‡‡•–‘•’ƒ›‘ˆˆ•‡•ǣ
ͳͲ ൈ ͲǤ͸ͷ ൅ Ͳ ൈ ሺͳ െ ͲǤ͸ͷሻ
ൌ ̈́͸Ǥͳ͵
ͳǤͲ͸
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Este es precisamente el mismo precio que calculamos usando el modelo
binomial, donde NO asumimos que los inversores eran neutrales al riesgo Æ
en ese modelo usamos sólo el precio de la acción y el tipo libre de riesgo
(bono).
‡ En el modelo binomial y en el model B-S no hicimos ningún supuesto
sobre las preferencias de los inversores: por ello, estos modelos
funcionan para cualquier tipo de inversores, incluyendo inversores
neutrales al riesgo.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Implicaciones de un mundo neutral al riesgo
‡ El modelo binomial y B-S dan el mismo precio de la opción sean cual sean las
preferencias y los retornos esperados de la acción.
‡ En el mundo real, los inversores son aversos al riesgo y piden una prima
positiva como compensación al riesgo
‡ En un hipotético mundo neutral al riesgo, los inversores no requieren una
compensación por el riesgo Æ para que los precios de las opciones
ˆ—‡”ƒŽƒ•‹•ƒ•ǡŽ‘•‹˜‡”•‘”‡•†‡„‡•‡”ž•Dz’‡•‹‹•–ƒ•dzǤ
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Implicaciones de un mundo neutral al riesgo
‡ Que los inversores sean más pesimistas en el mundo neutral al riesgo
“—‹‡”‡†‡ ‹”“—‡Žƒ•’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ†‡•†‡ŽDz‡•–ƒ†‘„—‡‘dz•‘ž•„ƒŒƒ•
ȋ“—‡‡‡Ž—†‘”‡ƒŽȌ›Žƒ•’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ†‡•†‡ŽDz‡•–ƒ†‘ƒŽ‘dz•‘ž•
altas (que en el mundo real) Æ los retornos esperados bajo esas
probabilidades son menores (de hecho, iguales al tipo libre de riesgo).
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ En otras palabras, ɏ ‘‡•Žƒ’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ†”‡ƒŽ†‡Ž‡•–ƒ†‘Dz„—‡‘dzȋ“—‡‡Ž
’”‡ ‹‘†‡Žƒƒ ‹×•—„ƒȌǡ•‹‘ǥ
‡ ǥ ׏‘†‡„‡”ÀƒƒŒ—•–ƒ”•‡Žƒ’”‘„ƒ„‹Ž‹†ƒ†”‡ƒŽ’ƒ”ƒ“—‡‡Ž’”‡ ‹‘†‡Žƒ
acción fuera el mismo que en un mundo que fuera neutral al riesgo.
‡ Probabilidades neutrales al riesgo: la probabilidad de los estados futuros que
son consistentes con los precios reales de los activos bajo el supuesto de que
los inversores son neutrales al riesgo Æ precios de estado, precios de
martingala o precios contingentes al estado.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Imagina que en el ejemplo anterior las verdaderas probabilidades del estado
Dz—’dz›†‡Ž‡•–ƒ†‘Dz†‘™dz•‘ǡ”‡•’‡ –‹˜ƒ‡–‡͟͝ά›͚͝άǣ
0
1
60
50
40
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Bajo estas probabilidades reales, el verdadero retorno esperado de la acción
es:
଺଴ൈ଴Ǥ଻ହାସ଴ൈ଴Ǥଶହ
‡
െ ͳ ൌ ͳͲΨ
ହ଴Ǥ
‡ Dado un tipo libre de riesgo del 6%, la acción ofrece una prima de riesgo
del 4%.
‡ La probabilidad neutral al riesgo es 65% (menor que la probabilidad real),
y bajo esa probabilidad, el retorno esperado de la acción es:
‡ (60 × 0.65 + 40 × ͘Ǥ͛͝ȌΨ͘͝ί͙γ͞ά
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Para que los activos tengan en el mundo neutral al riesgo un retorno
esperado igual que el retorno libre de riesgo, las probabilidades neutrales al
riesgo deben dar más peso a los estados malos y menos peso a los estados
buenos.
‡ Aplicamos ahora este método a la valoración de opciones.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Probabilidades neutrales al riesgo y precio de las opciones
‡ Dada la estructura general del árbol binomial
0
S
1
Acción Opción
Su
Cu
Sd
Cd
‡ Para calcular la probabilidad neutral al riesgo que hace el retorno esperado
de la acción igual al tipo libre de riesgo:
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
‡
െ ͳ ൌ ‫ݎ‬௙
ௌ
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Lo cual da un valor de ɏ:
ͳ ൅ ‫ݎ‬௙ ܵ െ ܵௗ
ߩൌ
ܵ௨ െ ܵௗ
‡ Y bajo esta probabilidad podemos calcular el valor de la opción
descontando su payoff esperado (bajo las probabilidades neutrales al
riesgo) al tipo libre de riesgo:
ߩ‫ܥ‬௨ ൅ ͳ െ ߩ ‫ܥ‬ௗ
‫ܥ‬ൌ
ͳ ൅ ‫ݎ‬௙
‡ (y podríamos seguir el mismo proceso para valorar una put)
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Una put europea vence en un periodo y tiene un precio de ejercicio de $60. El
precio de la acción hoy es $60 y la acción no paga dividendos: dentro de un
periodo, el precio de la acción subirá a $72 (retorno positivo del 20%) o
bajará a $54 (retorno negativo del 10%). El tipo libre de riesgo para un
periodo es del 3%.
‡ ¿Cuál es el precio actual de la put?
‡ (según el método binomial, el precio era $3.30)
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Dado el precio de la acción hoy ($60) y el tipo libre de riesgo (3%), podemos
hallar las probabilidades neutrales al riesgo:
ଵା௥೑ ௌିௌ೏
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
ଵǤ଴ଷൈ଺଴ିହସ
‡
െ ͳ ൌ ‫ݎ‬௙ ՜ ߩ ൌ
ൌ
ൌ ͲǤͶ͵͵͵
ௌ
ௌೠ ିௌ೏
଻ଶିହସ
‡ Los payoffs de la put son:
‡ Pu = max(60-72,0) = 0; Pd =max(60-54,0)=6
‡ Y el precio de la put bajo la probabilidad neutral al riesgo es:
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
଴Ǥସଷଷଷൈ଴ା଴Ǥହ଺଺଺ൈ଺
‡ܲൌ
ൌ
ൌ ̈́͵Ǥ͵Ͳ
ଵା௥೑
ଵǤ଴ଷ
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Recordemos el ejemplo del árbol binomial con dos periodos:
0
1
2
60
50
40
40
30
20
‡ El tipo libre de riesgo es 6% y vamos a intentar hallar el valor de una opción
call con precio de ejercicio $50 y vencimiento en dos periodos. Según el
método binomial, el precio de la opción era C=$3.59
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Primero hallamos los payoffs de la call en el periodo 2:
‡ Cuu = max(60-50,0) = 10
‡ Cud = Cdu =max(40-50,0) = 0
‡ Cdd =max(20-50,0) = 0
‡ Las probabilidades neutrales al riesgo:
‡ Periodo 0
ଵା௥೑ ௌିௌ೏
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
ଵǤ଴଺ൈସ଴ିଷ଴
‡
െ ͳ ൌ ‫ݎ‬௙ ՜ ߩ ൌ
ൌ
ൌ ͲǤ͸ʹ
ௌ
ௌೠ ିௌ೏
ହ଴ିଷ଴
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Periodo 1, up:
ଵା௥೑ ௌିௌ೏
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
ଵǤ଴଺ൈହ଴ିସ଴
‡
െ ͳ ൌ ‫ݎ‬௙ ՜ ߩ ൌ
ൌ
ൌ ͲǤ͸ͷ
ௌ
ௌೠ ିௌ೏
଺଴ିସ଴
‡ Periodo 1, down:
ଵା௥೑ ௌିௌ೏
ఘௌೠ ା ଵିఘ ௌ೏
ଵǤ଴଺ൈଷ଴ିଶ଴
‡
െ ͳ ൌ ‫ݎ‬௙ ՜ ߩ ൌ
ൌ
ൌ ͲǤͷͻ
ௌ
ௌೠ ିௌ೏
ସ଴ିଶ଴
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ EJEMPLO (revisitado)
‡ Las probabilidades neutrales al riesgo de cada estado final (periodo 2) son:
‡ ɏuu = 62% × 65% = 0.403
‡ ɏud = 62% × 35% = 0.217
‡ ɏdu = 38% × 59% = 0.2242
‡ ɏdd = 38% × 41% = 0.1558
‡ Y el precio de la call es:
‡ C = (ɏuu×Cuu+ ɏud×Cud + ɏdu×Cdu+ ɏdd×Cdd) / 1.062 = 0.403 ×10 / 1.062 = $3.59
‡ Que es, exactamente, el mismo precio que obtuvimos con el modelo binomial.
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Activo derivado
‡ Un activo cuyos cash-flows dependen exclusivamente de los precios de
otros activos cotizados (p.e., las opciones son activos derivados).
‡ Es importante ver que, usando las probabilidades neutrales al riesgo,
podemos valorar cualquier activo, incluidos activos derivados: bajo las
probabilidades neutrales al riesgo, podemos descontar los cash-flows
esperados del activo al tipo libre de riesgo.
‡ Una aplicación de este análisis es, por ejemplo, la valoración de opciones
reales (finanzas corporativas).
Probabilidades neutrales al riesgo
‡ Simulación de Monte Carlo
‡ El método de valoración basado en probabilidades neutrales al riesgo es la
base de una técnica de valoración llamada simulación de Montecarlo.
‡ En esta técnica, se estima el payoff esperado del activo simulando muchos
Dz ƒ‹‘•dz“—‡”‡’”‡•‡–ƒŽƒ‡˜‘Ž— ‹×‡‡Ž–‹‡’‘†‡Ž’”‡ ‹‘†‡Žƒ –‹˜‘
subyacente.
‡ A la hora de simular los caminos, se usan las probabilidades neutrales al
riesgo, con lo que podemos descontar el payoff medio a rf para hallar el
valor del activo.
Retorno y riesgo de una opción
‡ Para calcular el riesgo de una opción, podemos utilizar la medida de riesgo
sistemático que conocemos: la beta de la opción.
‡ La manera más sencilla de hacer esto es utilizando el método binomial,
ya que la beta de la cartera réplica se puede calcular fácilmente y debería
ser la beta de la opción:
ௌο
஻
‡ ߚ௢௣௖௜×௡ ൌ ߚ௖௔௥௧௘௥௔ ௥±௣௟௜௖௔ ൌ
ߚௌ ൅
ߚ஻
ௌοା஻
ௌοା஻
‡ donde ȾS es la beta de la acción (subyacente) y ȾB es la beta del bono sin
riesgo. Precisamente, ȾB = 0 y la beta de la opción es:
ௌο
‡ ߚ௢௣௖௜×௡ ൌ
ߚௌ
ௌοା஻
Retorno y riesgo de una opción
‡ Para una call, entonces, la beta es positiva y mayor que la beta de la acción
ௌο
(ȟ>0 y B<0 Æ
൐ ͳ).
ௌοା஻
ௌο
‡ Para una put la beta será siempre negativa (ȟ<0 y B>0 Æ
൏ Ͳ). Esto
ௌοା஻
refleja el hecho de que la put sirve como cobertura del riesgo: su precio sube
cuando el precio de la acción baja.
Retorno y riesgo de una opción
‡ RATIO DE LEVERAGE
‡ Este ratio es una medida del endeudamiento que implica la opción,
entendido como la proporción del valor total de la opción que está
financiada con deuda, o los pagos de interés como proporción de los cashflows.
‡ ‡‹†‡ ‘‡Ž–±”‹‘Ψȋ + B)
‡ El ratio de leverage está directamente relacionado con el riesgo (beta) de la
opción: a mayor leverage, mayor magnitud de la beta y, por lo tanto, mayor
riesgo de la opción.
Retorno y riesgo de una opción
‡ En el siguiente gráfico tenemos el ratio de leverage para opciones call y put,
en función del precio de la acción S.
‡ El gráfico muestra que el ratio de leverage para opciones puede ser muy
alto, especialmente para opciones out-of-the-money.
‡ Así, calls y puts sobre una acción pueden tener betas muy altas (positivas y
negativas).
‡ La beta de la opción, además, cambia según cambia S: cuando la opción se
acerca a estar in-the-money la beta de la opción se acerca a cero Æ segundo
gráfico.
Retorno y riesgo de una opción
Ratios de leverage de las opciones
Ratio de leverage
Call out-of-theMoney
Fuente: adaptado de BDM
Call in-theMoney
Put in-theMoney
Precio de
ejercicio
Put out-of-the-Money
Precio de la acción ($)
Retorno y riesgo de una opción
Posición de las opciones en la Línea del Mercado de Títulos
Retorno esperado
Call out-of-the-money
Call in-the-money
Bono sin riesgo
Put in-the-money
Acción
Acción cubierta
(comprar acción y put)
Beta
Put out-of-the-money
Fuente: adaptado de BDM
Comentarios finales
‡ Hemos dedicado estas dos últimas sesiones al análisis de opciones
financieras: esto nos ha servido tanto como primera exposición a la
valoración de activos derivados como para introducir el concepto de
opciones que volveremos a usar en el curso de finanzas corporativas.
‡ Los métodos de valoración de opciones parece que se desviaban de la
fórmula de valoración general pero, en el fondo, eran perfectamente
coherentes con ella:
‡ En el método binomial (y B-S) no descontábamos cash-flows esperados
’‘”“—‡—•ž„ƒ‘•’”‡ ‹‘•†‡ƒ ‹‘‡•›„‘‘•“—‡›ƒDz ‘–‡Àƒdz‡•‘•
cash-flows esperados.
Comentarios finales
‡ La gran utilidad de estos métodos de valoración de derivados es que nos
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necesidad de tener que estudiar métodos específicos.
‡ Una vez hemos estudiado los principales métodos de valoración (basados en
descuento de cash-flows o en la LPU), el paso natural siguiente es aplicarlos
a la toma de decisiones financieras.
‡ En concreto, la principal aplicación de esto métodos es el estudio de
decisiones financieras en la empresa: esto es lo que denominamos finanzas
corporativas, que por su importancia es objeto de un curso independiente.