Modelos de Probabilidad y Muestreo

3 Excursión a la probabilidad
Idea Inicial: En el estudio de una variable en una población cada suceso
Ocurre un % veces. Ejemplo el % de personas en la Comunidad de Madrid
Con alturas entre 1.50 y uno 1.70 es el 35%.
Frecuencia=Probabilidad: Si escojo una persona al azar la probabilidad de
Que mida entre 1.5 y 1.7 es el 35 %
La probabilidad es el 35%: Quiere decir que si repito mi experimento muchas
Veces a la larga la frecuencia que voy a tener es el 35%
Guion
3.1 Conceptos básicos
3.2 Modelos de Probabilidad mas
importantes
V.Discreta
Conozco los datos de toda la población. Por ejemplo
numero de hijos en la comunidad de Madrid.
P: ¿Cuál sera la probabilidad de tener dos hijos, 3 hijos,
etc?
Definición: Una variable aleatoria X decimos
que es de tipo discreto cuando puede tomar los
valores x i ,...., xk con probabilidades P( x i ), P(xk ).
Estas probabilidades reciben el nombre de función de
masa o función de probabilidad
Nota 1: Las probabilidades son la modelización
de las frecuencias relativas
Nota 2: Las probabilidades son numeros entre 0 y 1
Nota 3: La suma de las probabilidades es 1
Nota 4: En los modelos de probabilidad la población es in
finita
Ejemplos: Urna, dado, Moneda, pesca
Análogos a la media y varianza
muestral
Definición: La media o esperanza de X se define como
k
  E[ X ]   xi P( xi )
i 1
Definición: La varianza de X se define como
k
k
i 1
i 1
 2  V [ X ]   ( xi  E[ X ]) 2 P( xi )   ( xi ) 2 P( xi )  E[ X ]2
Definición: Una prueba de Bernoulli es un
experimento aleatorio cuyos posibles resultados
son agrupados en dos conjuntos excluyentes
que llamaremos
exito (E) y fracaso (F) con P(E)=p y P(F)=1-p
¿Cuál es la esperanza?
¿Cuál es la varianza?
Importante:
Diversas variables aleatorias pueden tener la misma distribución.
¿Ej lanzar una moneda o responder si o no?
X  B (1, p )
Parámetro
V. Continua
Conozco los datos de toda la población. Por ejemplo la altura en la
comunidad de Madrid. La primera manera de describirlo es el
histograma de paso 0.5
¿Cómo lo hago mas preciso? Vario el paso ahora es 0.1.
Siguiente 0.01………. En el limite el histograma aproxima
Una curva
¿Dada la curva, como calculo la frecuencia(la
probabilidad?
Definición: Una variable aleatoria X decimos
que es de tipo continuo cuando puede tomar
cualquier valore en la recta real con una función de
densidad f(x)
Propiedades de la función de densidad
f ( x)  0
P ( X  I )   f ( x )dx
I

f ( x)  1
Definición: La media o esperanza de X se define como
  E[ X ]   xf ( x )dx
R
Definición: La varianza de X se define como
  V [ X ]   ( x  E[ X ]) f ( x )dx   ( x ) f ( x )dx  E[ X ]2
2
2
R
2
R
Modelos de Probabilidad
mas importantes
Modelo Binomial:
Numero de exitos en n pruebas de Bernoulli independientes
X  B ( n, p )
n!
x
n x
P( X  x ) 
p (1  p)
x ! n  x !
¿Para Calcular los estadisticos
de la Binomial?
Sean X i variables aleatorias independientes
a) E[X1  X 2  ......  X n ]  E[ X 1 ]  E[ X 2 ]  ......  E[ X n ]
b)V [X1  X 2  ......  X n ]  V [ X 1 ]  V [ X 2 ]  ......  V [ X n ]
Xi
E[X]=np
1 si Éxito en la prueba i-esima
0 si Éxito en la prueba i-esima
n
B ( n; p )   X i
i 1
V[X]=np(1-p)
Distribución de Poisson
Límite de la distribución binomial
B(n; p ) 
 P( )
n 

np 

P( X  x )  e
X=0,1,2,….
E[X]=λ=V(X)


x
x!
 0
Poisson 2
• ¿Es una función de
masa?
p  0,1
• En la práctica,¿ cuando son buenos los
límites?
n  30
p  0,1
np  10
• Numero de erratas en un libro, numero de
Asegurados, etc
La distribución Normal
Su función de densidad
1
f ( x) 
e
2
1 x 2
 (
)
2 
X  N (, )
Propiedades
1.
2.
3.
E[ X ]  
V(X )  
2
Es una densidad simétrica respecto a 
P( X    1)  P ( X    1)
4.
X  N (, )
X 

 N (0,1)
Crucial para calcular probabilidades!
5.
Límite de la distribución binomial
n 

B(n; p ) 
 N (np, np(1  p))
con p fijo!
0,1  p  0,9
n  30
6.
X 1  N ( 1 ,  1 ), X 2  N ( 2 ,  2 ),......, X n  N ( n ,  n )
X 1  X 2  .....  X n  N ( 1  2  ....  n ,  1   2 ,......   n )
X 1 - X 2  N ( 1  2 ,  1   2 ,......   n )