regla de la cadena para funciones multivariadas

Prof. Enrique Mateus Nieves
PhD in Mathematics Education
Regla de la cadena para funciones multivariadas
La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si 𝑓(𝑥) = 𝑦 y 𝑥 = 𝑥(𝑡),
entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
,  De manera análoga podemos definir la derivada por la regla de la
cadena para funciones de dos o más variables.
Regla de la cadena para funciones de dos variables
Sea z  f x, y una función de dos variables. Consideramos dos casos a saber:
1. Regla de la cadena caso 1. Suponga que z  f x, y es una función de x e y diferenciable;
donde x  gt y y  ht son funciones de t diferenciables. Entonces z es una función de t
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
diferenciable y:
= ∙ + ∙
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑡
2. Regla de la cadena caso 2. Suponga que z  f x, y es una función de x e y diferenciable;
donde x  gs,t y y  hs,t son funciones de s y t diferenciables. Entonces z es una función de t
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
diferenciable y:
= ∙ + ∙ ;
= ∙ + ∙
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑡
𝜕𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑠
𝜕𝑦 𝜕𝑠
Ejemplo 1
Si 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 4 donde 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡; y 𝑦 = cos 𝑡 determinar
𝜕𝑧
𝜕𝑡
cuando t  0
Solución: Como podemos ver el ejercicio, la regla de la cadena solicitada es de la forma
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
= ∙ + ∙ =
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑡
(2𝑥𝑦 + 3𝑦 4 )(2 cos 2𝑡) + (𝑥 2 + 12𝑥𝑦 3 )(−𝑠𝑒𝑛 𝑡 )⌋𝑡=0 ⇒ (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)(−𝑠𝑒𝑛 0 = 6)
Esta derivada se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando el punto x,y se
desplaza por la curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x  sen 2t , y  cost . En particular cuando t  0 , el
punto (𝑥, 𝑦) = (0,1).
Ejemplo 2
Si 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦, donde 𝑥 = 𝑠𝑡 2 , y 𝑦 = 𝑠 2 𝑡 calcular
𝜕𝑧
𝜕𝑠
y
𝜕𝑧
𝜕𝑡
Solución: Como podemos ver el ejercicio es del caso 2, por tanto, la regla de la cadena
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
solicitada es de la forma 𝜕𝑡 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 y
𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑦
= 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑠
𝜕𝑠
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𝝏𝒛
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
𝝏𝒛
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
2
i.
Para 𝝏𝒔 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑠 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑠 = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)(𝑡 2 )+ (𝑒 𝑥 cos 𝑦)(2𝑠𝑡) = 𝑡 2 𝑒 𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑠 2 𝑡) + 2𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡 cos(𝑠 2 𝑡)
ii.
Para 𝝏𝒕 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 + 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 =(𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)(2𝑠𝑡)+ (𝑒 𝑥 cos 𝑦)(𝑠 2 ) = 2𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑠 2 𝑡) + 𝑠 2 𝑒 𝑠𝑡 cos(𝑠 2 𝑡)
2
Nota: el caso 2 de la regla de la cadena contiene tres tipos de variables: s y t son variables
independientes; x, y se llaman variables intermedias y z es la variable dependiente.
Regla de la cadena versión general
Suponga que u es una función diferenciable de n variables 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ,
y cada 𝑥𝑗 es una
función diferenciable de la m variables 𝑡1 , 𝑡2 , ⋯ , 𝑡𝑚 . Entonces u es una función de 𝑡1 , 𝑡2 , ⋯ , 𝑡𝑚
𝑑𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
1
1
2
2
𝑛
𝜕𝑥
y 𝑑𝑡 = 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 1 + 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 2 + ⋯ + 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 𝑛
𝑚
Ejercicios
𝒅𝒛
Aplique la regla de la cadena para hallar
𝒅𝒕
ó
𝝏𝒛
𝝏𝒔
,
𝝏𝒛
𝝏𝒕
según el caso:
1. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 , 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑡
2. 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 3, 𝑥 = 𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 2𝑡
3. 𝑧 = √1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥 = ln (𝑡) ,
4. 𝑧 = 𝑥 2 ln(𝑦) + 𝑦 ln(𝑥) 𝑥 = √𝑡 + 𝑠, 𝑦 = (2𝑠 + 𝑡)2
5. 𝑧 = cos(𝑥 + 4𝑦) ,
6. 𝑧 = 4𝑦 − 𝑥 2 𝑦,
𝑥 = 5𝑡 4 ,
2
𝑦=𝑡
𝑥 = 3𝑠𝑡, 𝑦 = −2𝑠 2 𝑡 3
7. 𝑧 = 3𝑥𝑦 − 3(𝑥 − 𝑦), 𝑥 = 3𝑡 + 2𝑡; 𝑦 = 𝑠 − 2𝑡
4
8. 𝑧 = √𝑥 + 3√𝑥 − 𝑦, 𝑥 = 𝑠𝑡 3 , 𝑦 = √2𝑠𝑡
9. 𝑧 =
𝑒 2𝑥
√𝑦
+ 𝑥𝑦 2, 𝑥 = ln(2𝑡) + 3𝑠 , 𝑦 = ln(3𝑦) − 2𝑠
10. 𝑧 = (𝑥 3 𝑦 − 𝑦 3 𝑥), 𝑥 = 4√2𝑠 + 𝑡,
𝑦 = (𝑠 2 )(𝑡 2 )−3
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Algunas respuestas
1.
2.
𝝏𝒛
𝝏𝒕
𝜕𝑧
𝜕𝑠
= 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 + 2𝑒 2𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
= 3𝑠 5 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 + 3𝑠 5 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
Referencias:
• Stewart, J. (2010). Cálculo de varias variables. “Trascedentes Tempranas”. Sexta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C.
V. Iztapalapa, México, D. F.
• Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. ISBN 0-673-46913-1.
Printed in Mexico. Grupo Mexicano MAPASA, S.A. DE C.V. Referencias de apoyo y complementarias:
• Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición). John
Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer. ISBN 3-540-41129-1.. En particular los capítulos III y IV.