Distribuciones muestrales Distribución Muestral de la Media La distribución muestral de la media (o distribución muestral de medias) es la distribución que resulta de calcular la media muestral de cada muestra posible de una población. Es decir, el conjunto de medias muestrales de todas las muestras posibles de una población forman la distribución muestral de la media. Es decir si estudiamos todas las muestras que se pueden extraer de una población y calculamos la media de cada una de las muestras, el conjunto de valores calculados forman una distribución muestral de la media muestral. Dada una población que sigue una distribución de probabilidad normal de media y desviación estándar y se extraen de ella muestras de tamaño , la distribución muestral de la media también estará definida por una distribución normal con las siguientes características Nota: si la población no sigue una distribución normal pero el tamaño muestral es grande (n>30), la distribución muestral de la media también se puede aproximar a la distribución normal anterior por el teorema central del límite Por lo tanto, como la distribución muestral de la media sigue una distribución normal, la fórmula para calcular cualquier probabilidad relacionada con la media de una muestra es la siguiente: Ejemplos 1.El peso de los estudiantes de una universidad sigue una distribución normal de media 68 kg y desviación estándar 9 kg. Determina: ¿la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 25 alumnos esté por debajo de 66 kg? 2.Un proceso automático llena bolsas de café cuyo peso neto tiene una media de 250 gramos y gramos y una desviación estándar de 3 gramos. Para controlar el proceso cada hora se pesan 36 bolsas escogidas al azar; si el peso neto medio esta entre 249 y 251 gramos se continua con el proceso aceptando que el peso medio neto es 250 gramos y en caso ,se detiene el proceso para reajustar la máquina. a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso cuando el peso neto medio realmente es 250? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que el peso neto promedio es 250 realmente es de 248? 3. La duración media de las bombillas de una determinada marca sigue una distribución normal N (1500,160) a) Si escogemos una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione más de 1524 horas? b) Si escogemos una muestra de 100 bombillas y calculamos su duración media, ¿cuál es la probabilidad de que sea superior a 1524 horas? Distribución Muestral de la proporción La distribución muestral de la proporción (o distribución muestral de proporciones) es la distribución que resulta de calcular la proporción de cada muestra posible de una población. Es decir, las proporciones muestrales de todas las muestras posibles de una población forman la distribución muestral de la proporción La distribución muestral de la proporción se obtiene de estudiar todas las muestras que se pueden seleccionar de una población y sacar la proporción muestral de cada muestra. De manera que el conjunto de proporciones muestrales calculadas conforma la distribución muestral de la proporción Al estudiar una proporción de una muestra estamos analizando los casos de éxito, por lo tanto, la variable aleatoria del estudio sigue una distribución de probabilidad binomial. Según el teorema central del límite, para tamaños grandes (n>30) podemos aproximar una distribución binomial a una distribución normal. Por lo tanto, la distribución muestral de la proporción se aproxima a una distribución normal con los siguientes parámetros: Donde p es la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso La fórmula para calcular cualquier probabilidad relacionada con la proporción de una muestra es la siguiente: es la proporción de la muestra. p es la proporción en la población n es el tamaño de la muestra 1.Una empresa industrial compra lotes de piezas a una fábrica que afirma producir las piezas con tan solo un 3% de piezas defectuosas. Para comprobarlo, la empresa decide analizar un pedido de 500 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más del 5% de piezas defectuosas en la muestra? Solución En este caso, la proporción de la población que queremos estudiar es de 0,03, por lo tanto, el parámetro q es equivalente a 0,97. La probabilidad de obtener más del 5% de piezas defectuosas es equivalente a la siguiente probabilidad: = 2.Del total de empleados de una empresa se escoge una muestra aleatoria de 300 empleados para una encuesta sobre condiciones laborales ¿Cuál es la probabilidad de que la de que la proporción muestral a favor de las condiciones laborales este comprendido en el intervalo 0?76 a 0.84 si se estima en 80% del total de empleados el porcentaje a favor de las condiciones laborales? 3.Un fabricante afirma que a lo mas el 2% de todas las piezas producidas son defectuosas. Al parecer esta información es exagerada ,por lo que se selecciona una muestra aleatoria de 400 de tales piezas . Si la proporción muestral de defectuosos es mayor que 3% se rechaza la afirmación ,en caso contrario se acepta la afirmación a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la afirmación cuando realmente el 2% de todas las piezas producidas son defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la afirmación cuando realmente el 4% de todas las piezas producidas son defectuosas?
