formulas

FÓRMULAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA
Operaciones aritméticas
ac
a#c
=
b d
bd
asb + cd = ab + ac,
a>b
a
c
ad + bc
+ =
,
b
d
bd
c>d
=
a#d
b c
Leyes de los signos
a
a
-a
= - =
b
b
-b
- s - ad = a,
Cero
La división entre cero no está definida.
0
Si a Z 0 : a = 0,
a0 = 1,
0a = 0
Para cualquier número a: a # 0 = 0 # a = 0
Leyes de los exponentes
aman = am + n,
sabdm = ambm,
sam dn = amn,
n
n
am>n = 2am = A 2a B m
Si a Z 0,
am
= am - n,
an
El teorema del binomio
a0 = 1,
a-m =
1
.
am
Para cualquier entero positivo n,
nsn - 1d n - 2 2
a b
1#2
nsn - 1dsn - 2d n - 3 3
+
a b + Á + nabn - 1 + bn .
1#2#3
sa + bdn = an + nan - 1b +
Por ejemplo,
sa + bd2 = a2 + 2ab + b2,
sa - bd2 = a2 - 2ab + b2
sa + bd3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
sa - bd3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Factorización de una diferencia de potencias iguales de enteros, n>1
an - bn = sa - bdsan - 1 + an - 2b + an - 3b2 + Á + abn - 2 + bn - 1 d
Por ejemplo,
a2 - b2 = sa - bdsa + bd,
a3 - b3 = sa - bdsa2 + ab + b2 d,
a4 - b4 = sa - bdsa3 + a2b + ab2 + b3 d .
Cómo completar un cuadrado
Si a Z 0 ,
ax2 + bx + c = au 2 + C
au = x + sb>2ad, C = c -
La fórmula cuadrática Si a Z 0 y ax2 + bx + c = 0 , entonces
x =
- b ; 2b2 - 4ac
.
2a
b2
b
4a
FÓRMULAS DE GEOMETRÍA
A = área, B = área de la base, C = circunferencia,
S = área lateral o área de la superficie, V = volumen
Triángulo
Triángulos semejantes
c'
c
h
a'
Teorema de Pitágoras
c
a
b
b'
b
A � 1 bh
2
Paralelogramo
b
a
a' b' c'
a�b�c
a2 � b2 � c2
Trapecio
Círculo
a
h
h
b
A � �r 2,
C � 2�r
r
b
A � bh
A � 1 (a � b)h
2
Cualquier cilindro o prisma con bases paralelas
Cilindro circular recto
r
h
h
h
V � Bh
B
B
V ϭ �r2h
S ϭ 2�rh ϭ Área lateral
Cualquier cono o pirámide
Cono circular recto
h
h
Esfera
h
s
r
V � 1 Bh
B
3
B
V ϭ 1 �r2h
3
S ϭ �rs ϭ Área lateral
V � 43 �r3, S � 4�r2
LÍMITES
Leyes generales
Fórmulas específicas
Si L, M, c, y k son números reales y
Si Psxd = an xn + an - 1 xn - 1 + Á + a0 , entonces
lím ƒsxd = L
y
x:c
lím gsxd = M,
x:c
entonces
lím Psxd = Pscd = an cn + an - 1 cn - 1 + Á + a0 .
x:c
lím sƒsxd + gsxdd = L + M
Regla de la suma:
x:c
Regla de la diferencia:
lím sƒsxd - gsxdd = L - M
x:c
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Qscd Z 0 , entonces
lím sƒsxd # gsxdd = L # M
Regla del producto:
lím
x:c
Regla del múltiplo constante:
lím sk # ƒsxdd = k # L
Pscd
Psxd
=
.
Qsxd
Qscd
x:c
ƒsxd
L
= ,
M
x:c gsxd
lím
Regla del cociente:
x:c
M Z 0
Si ƒ(x) es continua en x = c , entonces
El teorema de la compresión o del sándwich
lím ƒsxd = ƒscd .
x:c
Si gsxd … ƒsxd … hsxd en un intervalo abierto que contiene
a c, excepto posiblemente en x = c, y si
lím gsxd = lím hsxd = L,
x:c
x:c
entonces límx:c ƒsxd = L.
lím
x:0
sen x
x = 1
y
lím
x:0
1 - cos x
= 0
x
Desigualdades
Regla de L’Hôpital
Si ƒsxd … gsxd en un intervalo abierto que contiene a c, excepto posiblemente en x = c, y ambos límites existen, entonces
Si ƒsad = gsad = 0 , y existen ƒ¿ y g¿ en un intervalo abierto I
que contiene a a, y g¿sxd Z 0 en I si x Z a , entonces
lím ƒsxd … lím gsxd.
x:c
x:c
lím
x:a
ƒsxd
ƒ¿sxd
= lím
,
x : a g¿sxd
gsxd
suponiendo que existe el límite de la derecha.
Continuidad
Si g es continua en L y límx:c ƒsxd = L, entonces
lím g(ƒsxdd = gsLd.
x:c
REGLAS DE DERIVACIÓN
Fórmulas generales
Funciones trigonométricas inversas
Suponga que u y y son funciones derivables de x.
d
Constante:
scd = 0
dx
dy
d
du
Suma:
+
su + yd =
dx
dx
dx
dy
d
du
Diferencia:
su - yd =
dx
dx
dx
d
du
Múltiplo constante:
scud = c
dx
dx
d
dy
du
Producto:
+ y
suyd = u
dx
dx
dx
d
1
ssen-1 xd =
dx
21 - x2
d
1
scos-1 xd = dx
21 - x2
d
1
stan-1 xd =
dx
1 + x2
d
1
ssec-1 xd =
dx
ƒ x ƒ 2x2 - 1
d
1
scot-1 xd = dx
1 + x2
d
1
scsc-1 xd = dx
ƒ x ƒ 2x2 - 1
du
dy
- u
y
d u
dx
dx
a b =
dx y
y2
d n
x = nxn - 1
dx
d
sƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd # g¿sxd
dx
Cociente:
Potencia:
Regla de la cadena:
Funciones trigonométricas
d
ssen xd = cos x
dx
d
stan xd = sec2 x
dx
d
scot xd = -csc2 x
dx
d
scos xd = -sen x
dx
d
ssec xd = sec x tan x
dx
d
scsc xd = -csc x cot x
dx
Funciones exponenciales y logarítmicas
d x
e = ex
dx
d x
a = ax ln a
dx
d
1
ln x = x
dx
d
1
sloga xd =
dx
x ln a
Funciones hiperbólicas
d
ssenh xd = cosh x
dx
d
stanh xd = sech2 x
dx
d
scoth xd = - csch2 x
dx
d
scosh xd = senh x
dx
d
ssech xd = - sech x tanh x
dx
d
scsch xd = - csch x coth x
dx
Funciones hiperbólicas inversas
d
1
ssenh-1 xd =
dx
21 + x2
d
1
scosh-1 xd =
dx
2x2 - 1
d
1
stanh-1 xd =
dx
1 - x2
d
1
ssech-1 xd = dx
x 21 - x2
1
d
scoth-1 xd =
dx
1 - x2
d
1
scsch-1 xd = 2
dx
ƒ x ƒ 21 + x
Funciones paramétricas
Si x = ƒstd y y = gstd son derivables, entonces
y¿ =
dy>dt
dy
=
dx
dx>dt
y
d2y
2
dx
=
dy¿>dt
dx>dt
.
REGLAS DE INTEGRACIÓN
Fórmulas generales
Cero:
Orden de la integración:
La
a
Lb
a
ƒsxd dx = 0
ƒsxd dx = -
La
b
b
ƒsxd dx
b
kƒsxd dx = k ƒsxd dx
La
La
Múltiplos constantes:
Sumas y diferencias:
La
b
La
b
-ƒsxd dx = -
La
b
sk = - 1d
ƒsxd dx
sƒsxd ; gsxdd dx =
b
scualquier número kd
La
b
ƒsxd dx ;
c
La
b
gsxd dx
c
ƒsxd dx
La
Lb
La
Desigualdad máx-mín: Si máx f y mín f son los valores máximo y mínimo de f en [a, b], entonces
ƒsxd dx +
Aditividad:
ƒsxd dx =
mín ƒ # sb - ad …
ƒsxd Ú gsxd
Dominancia:
ƒsxd Ú 0
en
en
[a, b]
[a, b]
implica
implica
La
La
La
b
ƒsxd dx … máx ƒ # sb - ad .
b
ƒsxd dx Ú
La
b
gsxd dx
b
ƒsxd dx Ú 0
Teorema fundamental del cálculo
Parte 1 Si ƒ es continua en [a, b], entonces Fsxd = 1a ƒstd dt es continua en
[a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es ƒ(x);
x
x
F¿(x) =
d
ƒstd dt = ƒsxd.
dx La
Parte 2 Si ƒ es continua en cada punto de [a, b] y F es cualquier antiderivada
de ƒ en [a, b], entonces
La
b
ƒsxd dx = Fsbd - Fsad.
Sustitución en integrales definidas
La
b
ƒsgsxdd # g¿sxd dx =
Integración por partes
gsbd
Lgsad
ƒsud du
La
b
b
ƒsxd g¿sxd dx = ƒsxd gsxd D a -
La
b
ƒ¿sxd gsxd dx
FÓRMULAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA
Operaciones aritméticas
a#c
ac
=
b d
bd
asb + cd = ab + ac,
a>b
c
ad + bc
a
+ =
,
b
d
bd
c>d
=
a#d
b c
Leyes de los signos
-a
a
a
= - =
b
b
-b
-s -ad = a,
Cero
La división entre cero no está definida.
0
Si a Z 0: a = 0,
a0 = 1,
0a = 0
Para cualquier número a: a # 0 = 0 # a = 0
Leyes de los exponentes
aman = am + n,
sabdm = ambm,
sam dn = amn,
n
am>n = 2am =
n
A 2a B m
Si a Z 0 ,
am
= am - n,
an
El teorema del binomio
a0 = 1,
a-m =
1
.
am
Para cualquier entero positivo n,
nsn - 1d n - 2 2
a b
1#2
nsn - 1dsn - 2d n - 3 3
+
a b + Á + nabn - 1 + bn .
1#2#3
sa + bdn = an + nan - 1b +
Por ejemplo,
sa + bd2 = a2 + 2ab + b2,
sa - bd2 = a2 - 2ab + b2
sa + bd3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
sa - bd3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Factorización de una diferencia de potencias iguales de enteros, n>1
an - bn = sa - bdsan - 1 + an - 2b + an - 3b2 + Á + abn - 2 + bn - 1 d
Por ejemplo,
a2 - b2 = sa - bdsa + bd,
a3 - b3 = sa - bdsa2 + ab + b2 d,
a4 - b4 = sa - bdsa3 + a2b + ab2 + b3 d.
Cómo completar un cuadrado
Si a Z 0,
ax2 + bx + c = au 2 + C
au = x + sb>2ad, C = c -
La fórmula cuadrática Si a Z 0 y ax2 + bx + c = 0, entonces
x =
-b ; 2b2 - 4ac
.
2a
b2
b
4a
REGLAS DE INTEGRACIÓN
Fórmulas generales
La
a
Cero:
Lb
a
Orden de la integración:
Múltiplos constantes:
kƒsxd dx = k ƒsxd dx
La
La
ƒsxd dx = 0
ƒsxd dx = -
La
b
Sumas y diferencias:
La
b
La
b
b
ƒsxd dx
b
-ƒsxd dx = -
La
scualquier número kd
b
ƒsxd dx
sk = -1d
La
La
sƒsxd ; gsxdd dx =
b
ƒsxd dx ;
b
gsxd dx
ƒsxd dx
Lb
La
La
Desigualdad máx-mín: Si máx f y mín f son los valores máximo y mínimo de f en [a, b], entonces
b
c
ƒsxd dx +
Aditividad:
c
ƒsxd dx =
mín ƒ # sb - ad …
ƒsxd Ú gsxd
Dominancia:
ƒsxd Ú 0
en
en
[a, b]
[a, b]
implica
implica
La
La
La
b
ƒsxd dx … máx ƒ # sb - ad.
b
ƒsxd dx Ú
La
b
gsxd dx
b
ƒsxd dx Ú 0
Teorema fundamental del cálculo
Parte 1 Si ƒ es continua en [a, b], entonces Fsxd = 1a ƒstd dt es continua en
[a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es ƒ(x);
x
d
ƒstd dt = ƒsxd.
dx La
x
F¿(x) =
Parte 2 Si ƒ es continua en cada punto de [a, b] y F es cualquier antiderivada
de ƒ en [a, b], entonces
La
b
ƒsxd dx = Fsbd - Fsad.
Sustitución en integrales definidas
La
ƒsgsxdd # g¿sxd dx =
b
Integración por partes
Lgsad
gsbd
ƒsud du
La
b
ƒsxdg¿sxd dx = ƒsxdgsxd D a b
La
b
ƒ¿sxdgsxd dx