matestemafuncio

8
solucionari
REP T E
Vist i no vist!
El primer any es va presentar 13 persones
al torneig i va guanyar la jove Alícia. En quina
posició es va posar? Si el segon any s’hi van
presentar 100 persones i també va guanyar
l’Alícia, en quina posició va començar?
si escollim m i t de manera que n = 2m + t
i 0 # t # 2m aleshores f (t) = 2n + 1
o específicament:
f (n) = 2f (n) = 2 (n - 2log n ) f (n) =
= 2 (n - 2log n ) + 1
2
2
En el nostres cas, el primer any l’Alícia se situa
en l’11a posició.
n = 13 = 23 + 5, amb 0 # 5 # 23 = 8 "
" f (13) = 2 ? 5 + 1 = 11
L’Alícia sempre aconseguia guanyar, tant se valia
quantes persones s’hi presentessin. Com sabia
en quina posició s’havia de col·locar?
El segon any: n = 100 = 26 + 36,
amb 0 # 36 # 26 = 64 "
" f (100) = 2 ? 36 + 1 = 73
Es tracta del Problema de Flavio Josefo, descrit
al llibre La guerra dels jueus, en el llibre 3,
capítol 8, part 7.
I en general, si hi ha n mags, l’Alícia sap
que s’ha de situar en la posició que compleix
que si n # 2m + t i 0 # t # 2m"
" f (n) = 2t + 1.
Tracta sobre que cada persona que ocupa un lloc
parell desapareix. Si hi ha n persones inicialment,
anomenem f (n) la posició del guanyador del
torneig.
En la primera volta totes les persones en posició
parella desapareixen. En la segona volta
desapareixen totes les persones que han passat
a ocupar posició parella, etc.
Si el nombre inicial de persones és parell,
aleshores la persona en la posició x durant la
segona volta al voltant del cercle era originalment
en la posició 2 x - 1 (sigui el que sigui el valor
de x). És a dir, sigui n = 2 j, la persona en f ( j ) que
guanyarà era originalment en la posició 2f ( j ) - 1.
Per tant, f (2 j ) = 2 f ( j ) - 1.
P E NSA
PÀG . 197. Troba el domini d’aquesta funció.
ln ` 15 - x2 - 1j
x+2
El denominador no pot ser nul.
x + 2 ! 0 " x ! -2
Per tant, -2 no forma part del domini.
L’argument del logaritme ha de ser sempre
positiu.
15 - x 2 - 1 2 0 " 15 2 x 2 - 1 "
" 15 2 x 2 - 1 " 16 2 x 2 " x ! (-4, 4)
Si el nombre inicial de persones és senar,
aleshores la primera persona desapareixerà
al final de la primera volta. Una vegada més,
durant la segona volta la nova segona
persona desapareix, després la quarta, etc.
En aquest cas, la persona en posició x és
originalment en la posició 2 x + 1. Per tant,
f (2 j + 1) = 2f ( j ) + 1.
El domini d’aquesta funció és (-4, -2) , (-2, 4).
Quan comptabilitzem els valors de n i f (n),
en veiem el patró.
Dom f (x) = R - {0}
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f (n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1
Això suggereix que f (n) és una seqüència creixent
senar que retorna amb f (n) = 1, sempre que
l’índex n sigui una potència de 2. Per tant,
PÀG . 2 02 . Troba el domini d’aquesta funció.
f (x) =
3
1
x
El denominador no pot ser nul.
L’arrel, com que és d’índex senar, no planteja
restriccions.
PÀG . 2 04 . Calcula la funció inversa
de f (x) = e x .
2
" x = e y " ln x = y 2 "
" y = ln x " f -1(x) = ln x
y = ex
2
2
PÀG. 205. Troba el domini de f (x) = log (log x).
Dom f (x) = (1, +3)
309
solucionari
PÀG . 209. Escriu f (x) = ;ln x; com
una funció definida a trossos.
-ln x si ln x 1 0
-ln x si 0 1 x 1 1
f (x) = *
=*
ln x si ln x $ 0
ln x si x $ 1
PÀG . 21 0 . Donades les funcions f (x) = x + 2
i g (x) = ln (x + 1), pots calcular el valor
f
de f p (-2)?
g
No es pot, ja que g (x) no està definida
en x = -2.
a) No és una funció perquè un mateix pes
pot correspondre a un nombre diferent
de peces de fruita.
b) És una funció, ja que per a cada quantitat
de fruita comprada hi ha un únic preu
segons el pes en quilos.
c) Si ens referim a un únic tipus de fruita, sí
que és una funció, ja que a un mateix pes
li correspon un únic preu.
3 Determina domini de les funcions
següents.
a) f (x) = 2 x2 - 3x + 1
ACT I VI TATS
1
Justifica si les gràfiques següents
corresponen a funcions.
a)
b) f (x) =
x2 + 4
x2 - 4
c) f (x) =
1
x2 + 9
Y
d) f (x) =
3
x-1
e) f (x) = cos (x + 1)
f ) f (x) =
X
b)
Y
3x - 1
g) f (x) = log (x - 16)
h) f (x) = e x2 -1
a) Dom f = R
b) Dom f = R - {-2, 2}
c) Dom f = R
d) Dom f = R
X
a) La gràfica correspon a una funció, perquè
a cada valor de x li correspon un únic
valor de y.
b) La gràfica no correspon a una funció,
perquè hi ha valors de x als quals
els corresponen diversos valors de y.
2 Indica, raonadament, si la relació entre
e) Dom f = R
1
f ) Dom f = = , +3 o
3
g) Dom f = (16, +3)
h) Dom f = R
4 Troba el domini i el recorregut de la funció
la gràfica de la qual és la següent
Y
les dues magnituds és una funció o no
en cada un dels casos següents.
a) La quantitat de fruita que compra una
família, en quilos, i el nombre de peces
de fruita que hi entren.
1
1
b) El nombre de quilos de fruita que compra
una família i el preu de la compra.
c) La quantitat de fruita que compra una família,
en quilos, i el preu d’un quilo de fruita.
310
Dom f = [-4, 3] , (4, 6)
Im f = [-3, 2] , {4}
X
8
5 Estudia la simetria de les funcions següents
2
a) f (x) =
x -1
2x
c) f (x) =
b) f (x) =
x 2 - 6x - 7
x2
d) f (x) =
8 Representa gràficament les funcions
quadràtiques següents.
4
x -5
3x 2
a) f(x) = -3x2 - x - 1
x2 - 4
(- x) 2 - 1
x2 - 1
a) f (-x) =
=
=
2 (- x)
-2 x
2
x -1
== -f (x) " f (x) és imparella.
2x
(- x) 2 - 6 (- x) - 7
=
(- x) 2
x 2 + 6x - 7
=
" f (x) no és parella
x2
ni imparella.
b) f(x) = x2 - x - 2
a) V f-
1
11
p
,12
6
Y
1
1
X
b) f (-x) =
(- x) 4 - 5
x4 - 5
=
= f (x)
2
3 (- x)
3x 2
" f (x) és parella.
c) f (-x) =
d) f (- x) = (- x) 2 - 4 =
" f (x) és parella.
6 Completa
b) V e
Y
1
"
1
X
x 2 - 4 = f (x) "
9 Expressa g( x) en funció de f ( x).
Y
la gràfica
d’aquesta funció
periòdica
de període 3.
1
9
,- o
2
4
a)
Y
f(x)
1
1
g(x)
1
X
1
X
Y
b)
1
X
7 Representa, sobre els mateixos eixos,
les funcions f(x) = 3x - 1 i g(x) = 5x + 4.
Troba el punt d’intersecció de les
dues funcions.
Y
g(x)
f(x)
1
Y
f(x)
1
X
3x - 1 = 5x+ 4"
" 2x = - 5"
5
"x=- "
2
17
"y=- "
2
El punt
d’intersecció és:
f-
5
17
p
,2
2
2
g(x)
2
a) g (x) = f (x) - 3
X
b) g (x) = f (x + 2)
10 Representa gràficament aquesta funció.
f (x) = x2 - 2 x + 1
A partir d’ella, representa les funcions
següents.
a) g (x) = x2 - 2 x + 3
b) h (x) = x2 - 2 x - 2
c) i (x) = (x - 1)2 - 2(x - 1) + 1
d) j (x) = x2 + 2 x + 1
311
solucionari
d)
a) g (x) = f (x) + 2
Y
b) h(x) = f (x) - 3
c) i(x) = f (x - 1)
1
d) j(x) = f (-x)
f (x)
Y
F
F
j (x)
1
g (x)
X
i (x)
12 Representa gràficament les funcions
següents.
1
1
X
a) f (x) =
h (x)
1
2x
b) f (x) = 11 Representa gràficament aquestes funcions.
1
2x
3
a) f (x) =
x
-4
c) f (x) =
x
c) f (x) =
5
3x
3
b) f (x) = x
-1
d) f (x) =
x
d) f (x) =
-2
5x
a)
Y
a)
1
1
1
b)
Y
1
X
b)
Y
X
Y
2
1
1
c)
c)
Y
X
Y
1
1
1
312
2
X
X
1
X
8
d)
Y
3
d) f (x) =
a) x = -
2
x2 - 1
y
+ 1 " f -1(x) = -2 x + 2
2
b) x = -y2 + 4 " f -1(x) =
X
2
d) x =
13 Troba el domini de les funcions
3
b) Comprova si les gràfiques són simètriques
respecte de la recta y = x.
b) Dom f = (-3, -6] , [6, +3)
14 Representa gràficament aquestes funcions.
x+2
b) f (x) =
c) f (x) =
x-4
3
a)
x-1
7+x
" xy = 7 + x "
x
7
" xy - x = 7 " x =
"
y-1
7
-1
" f ( x) =
x-1
a) y =
Y
f -1(x)
Y
2
f (x)
1
1
b)
x3 + 1
7+x
i fes el que segueix.
x
a) Representa les funcions f(x) i f -1(x).
a) Dom f = R
a) f (x) =
y 2 - 1 " f -1(x) =
de f (x) =
x2 - 4
x 2 - 36
b) f (x) =
3
" f -1(x) = 2 x2 + 4
16 Determina quina és la funció inversa
amb radicals.
a) f (x) =
y
-2
2
c) x =
4-x
1
X
X
Y
b) Les funcions són simètriques respecte
de la recta y = x.
1
1
X
17 Raona, sense dibuixar-ne la gràfica,
c)
Y
si les funcions següents són creixents
o decreixents.
1
a) f ( x) = 1,2x
2
X
d) f ( x) = 0,8x
x
b) f (x) = e
2
o
3
x
15 Calcula la funció inversa de les funcions
que tens a continuació.
a) f (x) = -
x
+1
2
a) Creixent, ja que a > 1.
r
4
x
n
f ) f (x) = _ 3 i
x
b) Decreixent, ja que a < 1.
c) Creixent, ja que a > 1.
2
d) Decreixent, ja que a < 1.
x
-2
2
e) Decreixent, ja que a < 1.
b) f (x) = - x + 4
c) f (x) =
c) f ( x) = e
e) f (x) = d
f ) Creixent, ja que a > 1.
313
solucionari
f)
18 Fes una taula de valors i representa
Y
gràficament aquestes funcions.
x
a) f (x) = 3x
d) f (x) = e
b) f (x) = -3x
e) f (x) = e-
2
o
3
f ) f (x ) = e
-x
c) f (x) = 3-x
a)
Y
2
o
3
2
1
x
2
o
3
X
19 Raona, sense dibuixar-ne la gràfica, si
les funcions següents són creixents
o decreixents.
a) f (x) = log1,2 x
2
1
b) f (x) = log 2 x
X
3
c) f (x) = log7 x
d) f (x) = log0,8 x
e) f (x) = log
b)
x
3
f) f (x) = log8,2 x
Y
g) f (x) = log x
h) f (x) = ln x
a) Creixent, ja que a > 1.
1
1
X
b) Decreixent, ja que a < 1.
c) Creixent, ja que a > 1.
d) Decreixent, ja que a < 1.
e) Creixent, ja que a > 1.
c)
Y
f ) Creixent, ja que a > 1.
g) Creixent, ja que a > 1.
h) Creixent, ja que a > 1.
1
1
X
20 Representa gràficament les funcions
que tens a continuació.
a) f ( x) = log3 x
e) f ( x) = -log3 (-x)
b) f ( x) = log 1 x
f ) f ( x) = -log 1 (- x)
c) f ( x) = log3 (-x)
g) f ( x) = -log3 x
d) f ( x) = -log 1 x
h) f ( x) = log 1 (- x)
3
d)
Y
3
2
a)
1
3
3
Y
X
1
1
e) a < 0
No es pot representar.
314
X
8
b)
g)
Y
Y
1
1
1
c)
1
X
1
X
X
h)
Y
Y
1
1
1
X
21 Representa gràficament aquestes funcions.
d)
Y
a) f (x) = sin d x +
2
b) f (x) = cos d x -
1
1
X
a)
n
r
r
2
n
Y
1
r
e)
Y
f ( x) = sin f x +
1
1
X
b)
X
r
p = cos x
2
Y
1
f)
r
Y
g ( x) = cos f x -
1
1
X
r
p = sin x
2
X
22 Representa aquestes funcions.
a) f (x) = tg d x -
r
2
n b) f (x) = tg (x + 1)
315
solucionari
a)
Y
25 Representa gràficament la funció definida
a trossos.
2
f ( x) = * x 2 - 7
-7 - x
1
X
2
si x 1 -2
si -2 # x # 0
si x 2 0
Descriu-ne les característiques principals
i indica els valors de la funció en aquests
punts.
b)
Y
a) x = -3
b) x = -2
c) x = 1
Primer interval (-3, -2):
f (x) = 2 " Recta horitzontal, paral·lela
a l’eix X.
2
X
1
Segon interval [-2, 0]:
f (x) = x2 - 7 " Paràbola amb mínim
(a = 1 > 0) al vèrtex (0, -7)
i amb extrems a (-2, -3) i (0, -7).
23 Calcula les expressions següents.
a) arccos
Tercer interval (0, +3):
f (x) = -7 - x " Recta decreixent
(m = -1 < 0) amb extrem
a f (0) = (0, -7).
2
2
b) arcsin 0
a) f (-3) = 2
c) arctg (-1)
b) f (-2) = (-2)2 - 7 = -3
r
a)
4
b) 0
c) f (1)= -7 - 1 = -8
Y
r
c) 4
1
1
24 Representa gràficament aquestes funcions.
a) f (x) = arccos d x +
r
2
X
n
b) f (x) =arcsin (x - r )
a)
Y
1
r
X
26 Representa la gràfica d’aquesta funció,
descriu-ne les característiques principals
i, després, calcula.
b)
Y
1
r
316
X
*
2
si x # 2
x
f (x) = 2
x - 6x + 9 si 2 1 x # 4
si x 2 4
5
a) f (-8)
c) f (3)
e) f (4)
b) f (2)
d) f (10)
f ) f (5)
8
Y
28 La funció que associa a cada nombre la
seva part decimal es pot expressar com:
f (x) = x - [ x ]
Representa la funció i analitza’n
les propietats.
1
1
Dom f = R
X
Im f = [0, 1)
No és contínua. Tots els nombres enters
són punts de discontinuïtat inevitable de
salt finit.
Primer interval (-3, 2]:
2
f (x) =
" Branca d’hipèrbola,
x
decreixent en aquest interval.
És periòdica, de període 1. No és simètrica.
És creixent en (k, k + 1), amb k ! Z.
No té màxims ni mínims.
Segon interval (2, 4]:
Y
f (x) = x2 - 6x + 9 " Paràbola amb
mínim (a = 1 > 0) en el vèrtex (3, 0)
i amb extrems a (2, 1) i (4, 1).
1
Tercer interval (4, +3):
1
f (x) = 5 " Recta horitzontal, paral·lela
a l’eix X.
2
1
a) f (-8) =
=-8
4
2
b) f (2) = = 1
2
c) f (3) = 32 - 6 ? 3 + 9 = 0
X
29 Determina el valor d’aquestes funcions
en el punt x = -5 tenint en compte que:
f (x) = x2 - 3
g (x) =
d) f (10) = 5
e) f (4) = 42 - 6 ? 4 + 9 = 1
f ) f (5) = 5
x+3
x
a) (f - g)(x)
d) f
b) (f + g)(x)
e) ( g - f )(x)
c) (f ? g)(x)
f) d
27 El servei de correus cobra 0,30 €
pels primers 25 g de tramesa i, a partir
d’aquesta quantitat, cobra 0,20 € per cada
25 g (o fracció) de pes extra. Representa
la gràfica del cost d’enviar cartes fins a
150 g.
f (-5) = 22 g (-5) =
x 3 - 4x - 3
x
108
" (f - g) (-5) =
5
*
x3 - 2 x + 3
x
102
" (f + g) (-5) =
5
b) (f + g) (x) =
Y
"
"
(x 2 - 3) (x + 3)
x
44
" (f ? g) (-5) =
5
c) (f ? g) (x) =
1,30
1,10
0,90
0,70
0,50
0,30
25
X
d) f
f
x 3 - 3x
p ( x) =
g
x+3
g
n ( x)
f
2
5
a) (f - g) (x) =
0,30
si x ! (0, 25]
0,30 + 0,20
si x ! (25, 50]
f (x ) =
0,30 + 0,20 ? 2 si x ! (50, 75]
…
f
p ( x)
g
"f
"
f
p (-5) = 55
g
317
solucionari
-(x 3 - 4x - 3)
x
108
" ( g - f ) (-5) = 5
2 x3
i g(x) = x - 4. A partir d’elles, troba
el valor de les funcions següents en
els punts indicats, determinant primer
la composició de funcions.
32 Considera les funcions f (x) =
"
e) (g - f ) (x) =
-1
g
f
x+3
n (x) = f p (x) = 3
f
g
x - 3x
g
1
" d n (-5) =
f
55
f) d
"
a) (f % g)(5)
b) ( g % f )(5)
30 Troba el valor de les funcions següents
a) (f % g) (x) = f (g (x)) = f (x - 4) =
(f % g) (5) = 2
en els punts que s’indiquen tenint en
compte que:
x2 + 3
f (x) = x g(x) =
x+1
a) (f ? g)(4)
c) (f 2 )(2)
b) f
d) d
f
p (-1)
g
x2 + 3
a) (f ? g) (x) = x ?
x+1
38
" (f ? g) (4) =
5
b) f
f
p (x) =
g
x ? (x + 1)
x2 + 3
b) (g % f ) (x) = g (f (x)) = g ` 2 x 3 j =
g
n (9)
f
commumativa.
"
P R AC T ICA
33 Calcula el domini de f ( x) =
"
1
està definida en x ! 0.
x
x +3
x ? (x + 1)
"
g
14
" d n (9) =
f
5
31 Determina el valor de la composició de
funcions que s’indica en cada apartat,
en x = -4, tenint en compte que:
x-1
f(x) = x2 g(x) =
x
a) (f % g)(x)
c) (f % f )(x)
b) ( g % f )(x)
d) ( g % g)(x)
a) (f % g) (-4) = f ( g (-4)) = f e
15
16
c) (f % f ) (-4) = f (f (-4)) = f (16) = 256
b) ( g % f ) (-4) = g (f (-4)) = g (16) =
318
Dom f = [-3, 0) , (0, +3) =
= [-3, +3) - {0}
34 Determina el període de f ( x) = cos 2x .
cos x = cos (x + 2r) " f (x) = cos 2 x =
= cos (2 x + 2r) = cos (2(x + r)) =
= f (x + r) " Període = r
35 Representa gràficament aquestes funcions.
a) f (x) = x5
b) f (x) = - x 4
c) f (x) = 4x5
a)
Y
5
25
o=
4
16
d) ( g % g) (-4) = g ( g (-4)) = g e
x + 3 .
x + 3 està definida en x + 3 $ 0 "
2
2
1
+
x
" x $ -3.
c) f 2 (x) = _ x i = x " f 2 (2) = 2
g
f
n (x) = f p (x) =
f
g
2 x3 - 4
" La composició de funcions no és
f
p (-1) perquè -1
g
no és un nombre real.
d) d
2 (x - 4) 3
(g % f ) (5) = 250 - 4 = 5 10 - 4
(f % g) (5) ! (g % f ) (5) "
" No existeix f
-1
Justifica, a partir dels resultats, si la
composició de funcions és commutativa.
5
1
o=
4
5
1
1
X
8
b)
c)
Y
Y
3
1
2
c)
X
Y
d)
1
X
1
X
Y
3
1
1
X
i, a partir d’ella, representa.
a) g(x) = f (x) - 3
c) g(x) = 2 - f (x - 1)
b) g(x) = f (x + 2)
d) g(x) = -f (x) - 1
37 Representa la funció f ( x) = 2 log x .
Y
g (x) = 2 log x
1
Y
F
36 Dibuixa la gràfica de la funció f (x) = 2 x2 + 1
1
X
f (x) = log x
f (x) = 2 x 2 + 1
1
1
X
38 Representa gràficament les funcions
següents.
a)
Y
3
2
X
a) f (x) =
-1
x-1
b) f (x) =
2x + 2
x-2
c) f (x) =
-5
x+1
a) f (x) = -g (x - 1) amb g (x) =
1
x
Y
b)
Y
3
g (x) =
1
1
X
1
x
1
f (x) =
-1
x-1
X
319
solucionari
b) f (x) = 2 +
6
x-2
b)
"
Y
f (x) = 10x + 1
" f (x) = 2 + g (x - 2)
2
6
amb g (x) =
x
2
Y
X
h (x) = log (x - 1)
g (x) = log x
g (x) =
1
y = log (x - 1) " x = log ( y - 1) "
" 10 x = y - 1 " y = 10 x + 1
6
x
1
f -1(x) = 10 x + 1
X
f (x) = 2 +
40 Dibuixa la gràfica de les funcions
6
x-2
següents.
b) f (x) = e
a) f (x) = 3 2 x
c) f (x) = -5 ? g (x + 1)
1
amb g (x) =
x
a)
3x
1
o
3
Y
Y
g (x) =
1
1
x
1
X
1
f (x) =
-5
x+1
39 Representa la gràfica de les funcions
inverses d’aquestes funcions.
1
X
Y
1
41 Representa gràficament la función
Tenint en compte l’apartat a)
de l’activitat anterior:
b) f (x) = log (x - 1)
Podem representar la funció inversa
considerant que la seva gràfica és simètrica
a la gràfica de la funció original respecte
de la bisectriu del primer i tercer quadrants.
Y
4
X
exponencial f ( x) = 32x - 3.
a) f (x) = x 2
a)
b)
1
f (x) = g (x) - 3 amb g (x) = 9x
Y
1
f (x) = x2
1
4
X
X
-1
f (x) = ! x
y = x2 " x = y2 " y = ! x
" f -1(x) = ! x
"
No és una funció, ja que per a cada valor
de x es tenen dos valors y.
320
42 Dibuixa la gràfica de f (x) = log 10x .
f (x) = log 10x = log 10 + log x = 1 + log x
Podem representar primer f (x) = log x i
desplaçar-la 1 u cap amunt.
8
Y
AC T IVITAT S FINA L S
1
F
f (x)= log (10x)
1
g(x)= log x
1. R
econeix analíticament
i gràficament les funcions
elementals
X
ACTI V I TATS FL A I X
46
43 Dibuixa la gràfica de la funció
f ( x) =;sIn x; en l’interval [0, 2r].
sin x
f (x) = *
-sin x
Digues si aquestes gràfiques
corresponen a una funció.
a)
Y
si x ! [0, r]
si x ! (r, 2r]
Y
X
f(x)
1
b)
Y
X
1
X
g(x)= sin x
c)
Y
44 Dibuixa la gràfica de la funció
f ( x) = 2x - ;x;.
f (x) = *
x
3x
X
si x $ 0
si x 1 0
Y
d)
1
Y
X
1
X
a) La gràfica correspon a una funció
perquè a cada valor de x li correspon
un únic valor de y.
45 Expressa aquestes funcions com a
composició de funcions més senzilles.
a) f(x) = sin2 (x2 + 1)
b) f (x) =
a) f1(x) = x2 + 1
f2(x) = sin x
f3(x) = x2 " f (x) = (f3 % f2 % f1)(x)
b) f1(x) = x - 1
1
f2(x) =
x
f3(x) = x " f (x) = (f3 % f2 % f1)(x)
1
x-1
b) La gràfica no correspon a una
funció perquè hi ha valors de x
als quals els corresponen
dos valors de y.
c) La gràfica no correspon a una
funció perquè hi ha valors de x
als quals els corresponen dos
valors de y.
d) La gràfica correspon a una funció
perquè a cada valor de x li correspon
un únic valor de y.
321
solucionari
47
Y
INVENTA. Esbossa una gràfica que
6
5
4
3
2
1
pugui ser la representació d’una funció
i una que no pugui ser-ho.
Resposta oberta. Per exemple:
És funció:
Y
2
b)
X
No és funció:
Y
X
48
Fes una taula de valors i representa
aquestes funcions.
a) Cada nombre enter es relaciona amb
el nombre de divisors positius que té.
b) Cada nombre real es relaciona amb
la seva part entera
c) A cada real correspon ell mateix
menys el seu valor absolut.
d) A cada nombre correspon el valor 2.
a)
322
4
6
8
x
f (x) = [x]
0
0
0,1
0
0,2
0
0,6
0
0,999
0
1
1
1,3
1
1,95
1
2,01
2
2,37
2
2,97
2
3,09
3
3,91
3
4
4
x
f (x) = nre. de divisors
positius de x
1
1
2
2
3
2
4
3
5
2
6
4
7
2
8
4
9
3
10
4
Y
11
2
1
12
6
13
2
10
12
14
X
Y
1
1
c)
X
x
0
1
2
-1
-2
f (x) = x - ;x;
0
0
0
-2
-4
1
X
8
d)
x
-2
-1
0
1
2
f (x) = 2
2
2
2
2
2
" x = -3 pertany al domini.
0+1=1>0"
" x = 0 pertany al domini.
-2 ? 2 + 1 = -3 < 0 "
" x = 2 no pertany al domini.
d) -(-3) - 4 = -1 < 0 "
" x = -3 no pertany al domini.
0 - 4 = -4 < 0 "
" x = 0 no pertany al domini.
-2 - 4 = -6 < 0 "
" x = 2 no pertany al domini.
Y
1
1
49
X
Al llarg d’un dia
es mesura la longitud,
en metres, de
l’ombra que
projecta un fanal
des de l’albada
fins que es fa de nit.
51
a) f (x) = x3 - 3x
Les mesures, preses
cada dues hores,
des de les
6:00 h, són aquestes:
b) f (x) = x4 - 1
c) f (x) = x2 - x
d) f (x) = x4 - 2 x2
0 25 17 5 2 6 19 32 0
a) f (-x) = (-x)3 - 3(-x) = -x3 + 3x =
= -f (x) " f (x) és imparella.
a) Creus que aquesta relació defineix
una funció?
b) Si és que sí, identifica’n les variables.
b) f (-x) = (-x)4 - 1 = x4 - 1 = f (x) "
" f (x) és parella.
a) La taula defineix una funció, ja que
a cada hora li correspon un valor únic
de la longitud de l’ombra del fanal.
c) f (-x) = (-x)2 - (-x) = x2 + x "
"f (x) no és simètrica.
b) La variable independent és l’hora
(mesurada de dues en dues des de
les 6:00 h) i la variable dependent és la
longitud de l’ombra del fanal, en metres.
50
Determina si aquestes funcions tenen
simetries.
d) f (-x) = (-x)4 - 2(-x)2 = x4 - 2 x2 =
= f (x) " f (x) és parella.
52
Comprova si els punts x = -3, x = 0,
x = 2 pertanyen al domini d’aquestes
funcions.
a) f (x) = x 2 - 2 x + 1
3x - 1
b) f (x) = 2
x + 3x
3x 2 - x
x
b) f (x) =
2 x3 - x
x2 + 1
3 (- x) 2 - (- x)
3x 2 + x
=(- x)
x
f (x) no és simètrica.
2 (- x) 3 - (- x)
=
(- x) 2 + 1
3
-2 x + x
=
= -f (x) " f (x) és imparella.
x2 + 1
b) f (-x) =
d) f (x) = ln (- x - 4)
a) Dom f = R
Pertanyen al domini de la funció.
c) -2(-3) + 1 = 7 > 0 "
a) f (x) =
a) f (-x) =
c) f (x) = -2 x + 1
b) x2 + 3x = 0 " Dom f = R - {0, -3}
Només x = 2 pertany al domini
de la funció.
Determina el tipus de simetria d’aquestes
funcions.
53
INVENTA. Dibuixa una funció f (x) de
simetria imparella que passi per (2, 0) de
manera que f (x + 3) sigui una funció parella.
323
solucionari
És imparella i la seva traslladada
3 unitats a l’esquerra ha de ser parella.
És impossible, ja que la traslladada
no canvia la simetría.
54
del dia del cicle lunar on som, el període
és de 28 dies.
56
Determina el període d’aquestes funcions.
a)
Estudia si els valors de l’ordenada, y,
estan inclosos en els recorreguts
d’aquestes funcions.
Y
1
a) y = 3, y = 2, y = -5
per a f (x) =
1
3x - 3
b) y = 0, y = 30, y = -3
per a f (x) = x2 - 5x + 6
a)
b)
3x - 3 = 3 " 3x - 3 = 9 "
" x = 4 " y = 3 ! Im f
1
c)
IN T E RN ET
55
r
-1
a) T = 2
57
2
b) T = 4
r
INVESTIGA. Una funció f (x) pren tots
els valors entre 0 i 1 però cap altre.
Quina de les funcions següents pren
tots els valors entre -1 i 1?
MATEMÀTIQUES... I ASTRONOMIA.
b) f (x) + 1
d) 2f (x) + 1
Considera la funció que relaciona
el temps, en dies, amb la superfície visible
de la Lluna. És una funció periòdica?
En cas afirmatiu, indica’n el període.
La funció de l’apartat c) és l’única
amb imatge [-1, 1].
Tipus
de Lluna
0
50 %
Creixent
3
81 %
Creixent
7
100 %
Lluna plena
11
81 %
Minvant
15
39 %
  0
58
El domini d’una funció f és [0, 2],
i el seu recorregut, [0, 1]. Quin és
el domini i el recorregut de la funció
g(x) = 1 - f (x + 1)?
g (x) és la funció simètrica de f (x) respecte
de l’eix X, traslladada 1 unitat cap amunt
i 1 unitat a l’esquerra, per tant,
Dom g (x) = [-1, 1], Im g (x) = [0, 1].
Minvant
Lluna nova
59
X
c) T = r
c) 2f (x) - 1
Es tracta d’una funció periòdica, ja que la
superfície visible de la Lluna varia en funció
324
Y
a) f (x) - 1
% de
Dia visibilitat
21
X
1
b) x2 - 5x + 6 = 0 "
"x = 2 o x = 3 "
" y = 0 ! Im f
x2 - 5x + 6 = -3 "
" x2 - 5x + 9 = 0 " D = -11 < 0 "
" L’equació no té solució. "
" y = - 3 " Im f
Y
1
3x - 3 = 2 " 3x - 3 = 4 "
7
" x = " y = 2 ! Im f
3
y = -5 " Im f, perquè l’arrel no pot
prendre valors negatius.
x2 - 5x + 6 = 30 "
" x2 - 5x - 24 = 0 "
" x = 8 o x = -3 " y = 30 ! Im f
X
REPTE. La funció f només pren valors
més grans o iguals que zero i satisfa
les dues condicions següents:
f (1) = 2, f (x + y) = f (x) · f ( y).
8
Quant val f e
f (1) = f e
Y
1
1
1
1
+ o = fe o ? fe o = 2 "
2
2
2
2
1
" fe o =
2
60
1
o?
2
3
2
REPTE. Sigui f e
Quant val f (4)?
a) Blava
1
f e o + 40 = 20f (4)
4
b) Morada
25
5
1
f (4) +
=
fe o
16
16 4
d) Verda
fe
c) Vermella
1
o obtenim que:
4
1
1
o + 40 = 20f (4) " f e o = 20f (4) - 40
4
4
f (4) +
25
5
1
=
fe o "
16
16 4
1
" fe o =
4
f (4) +
5
16
25
16
=
16f (4) + 25
5
16f (4) + 25
20f (4) - 40 =
"
5
" 100f (4) - 200 = 16f (4) + 25 "
" 84f (4) = 225 " f (4) =
Funcions polinòmiques
AC T IVITATS FLAI X
Associa cada funció amb la seva gràfica.
b) g(x) = -x2 + 3
c) h(x) = -x2 - 3
Relaciona cada gràfica amb una
expressió algebraica.
x2
+ 3x - 1
2
b) g(x) = 2 x2 - 2 x + 1
a) f (x) =
x2
-x+2
3
d) i (x) = -2 x2 + x - 1
Y
1
1
X
225
75
=
84
28
2. S
elecciona de manera
adequada eixos, unitats,
domini i escales
a) f (x) = -x2
62
c) h (x) = -
Igualem les dues expressions.
d) i (x) = -2 x2
X
1
o + 6x + x2 = (x2 + x) f (x).
x
Aïllant en les dues f e
61
1
Considerem l’expressió general d’una
paràbola: y = ax 2 + bx + c.
1
20
2
i c = -1, la paràbola és oberta cap
amunt i talla l’eix OY en y = -1.
a) És la vermella, perquè si a =
b) És la blava, perquè si a = 2 > 0,
i c = 1, la paràbola és oberta cap
amunt i talla l’eix OY en y = 1.
c) És la morada, perquè
1
si a = - 1 0 i c = 2, la paràbola
3
és oberta cap avall i talla l’eix OY
en y = 2.
325
solucionari
d)
Y
d) És la verda, perquè si a = -2 < 0
i c = -1, la paràbola és oberta cap
avall i talla l’eix OY en y = -1.
1
2
63
Representa, sense fer les taules de
valors corresponents, les funcions
lineals i afins.
2
1
x3
2
2x - 3
b) f (x) =
5
7
c) f (x) =
2
2
d) f (x) = - x
3
64
a) f (x) =
f(x)
1
"m=0
g (x) = -x - 3 " m = -1
h(x) = -x + 1 " m = -1
f (x) = 2
i(x) =
X
Y
h(x)
g(x)
Y
1
65
1
x
3
"m=
b) g (x) =
1
n = -3
n=1
1
3
n=0
c) h (x) = 2 x2
1 2
x
2
f (x)
X
n=2
Representa aquestes funcions en
els mateixos eixos de coordenades i
relaciona l’obertura de les branques de
cada paràbola amb el coeficient de x2.
a) f (x) = x 2
1
X
1
i(x)
1
b)
Escriu l’expressió algebraica d’aquestes
funcions i calcula’n el pendent
i l’ordenada en l’origen.
Y
Com que la seva representació gràfica
és sempre una recta, n’hi ha prou a
identificar-ne el pendent i un punt, per
exemple, el punt de tall amb l’eix OY.
a)
X
F
d) i (x) =
Y
h (x)
G
1 2
x
4
g (x)
i (x)
c)
2
Y
1
1
1
X
Ordenem les paràboles de menor a major
obertura: h(x), f(x), g(x), i(x).
Es pot observar que a mesura que
augmenta el valor del coeficient de x2
disminueix l’obertura de la paràbola.
326
X
8
66
Troba el vèrtex d’aquestes paràboles.
a)
Y
a) f (x) = x2 - 6x + 10
b) f (x) = -x2 - 4x + 10
1
c) f (x) = x2 - 4
1
d) f (x) = -x2 - 4x + 2
Considerem l’expressió general
d’una paràbola: y = ax 2 + bx + c.
Punt de tall amb l’eix X: e
La coordenada x del vèrtex de la paràbola
b
és: x = 2a
Punt de tall amb l’eix Y: (0, 1)
a) V e
-(-6)
6 2 - 4 ? 1 ? 10
o = V(3, 1)
,2?1
4?1
b) V f
4 2 - 4 ? (-1) ? 10
-(-4)
p=
,4 ? (-1)
2 ? (-1)
b)
c) V e 0, -
6
4
-4 ? 1 ? (-4)
o = V(0, -4)
4?1
X
Punts de tall amb l’eix X: (-3, 0), (1, 0)
i (3, 0)
-(-4)
4 2 - 4 ? (-1) ? 2
p=
d) V f
,2 ? (-1)
4 ? (-1)
= V(-2, 6)
-1
, 0o
2
Y
= V(-2, 14)
67
X
Punt de tall amb l’eix Y: (0, 9)
c)
Y
2
INVENTA. Escriu l’equació de tres
paràboles el vertex de les quals sigui (2, 3).
1
X
2
f (x) = ax + bx + c
Vèrtex:
-b
" -b = 4a
2a
- b 2 - 4ac
y=
= 3 = f (2) =
4a
= 4a + 2b + c " 3 = -b + 2b + c "
"3 = b + c
x=
Punts de tall amb l’eix X: (-1, 0)
i (4, 0)
Donant valors a b i c, obtenim:
Punt de tall amb l’eix Y: (0, -4)
a = -1 " -x2 + 4x - 1 = 0
a = 1 " -x2 - 4x + 7 = 0
a = -1 " 2 x - 8x + 11 = 0
2
d)
Y
1
1
68
X
Representa les funcions polinòmiques
següents, i indica’n els punts de tall
amb els eixos.
a) f(x) = 4x 2 + 4x + 1
b) f(x) = x 3 - x 2 - 9x + 9
c) f(x) = x 3 - 2 x 2 - 7x - 4
Punt de tall amb l’eix X: (3, 0)
d) f(x) = x 3 - 2 x 2 - 2 x - 3
Punt de tall amb l’eix Y: (0, -3)
327
solucionari
69
c) f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) =
= x2 + 4x + 3
Representa la funció y = x 2. A partir
d’ella, dibuixa les gràfiques d’aquestes
funcions polinòmiques.
a) f(x) = (x - 2)
Y
f (x + 1)
2
G
f (x)
b) f(x) = x 2 + 3
c) f(x) = (x + 3)2
Quina relació hi ha entre les gràfiques de
les tres últimes funcions amb la gràfica
de la primera?
2
1
X
Y
c)
a)
b)
d) f(x) + 2 = x2 + 2 x + 2
f (x)
3
1
1
70
Y
f (x)+2
X
Dibuixa la gràfica de la funció
f (x) = x2 + 2 x. Determina l’expressió
algebraica de cada una de les funcions
següents i representa-les.
a) f(x - 2)
c) f(x + 1)
b) f(x) - 4
d) f(x) + 2
1
71
Troba l’expressió algebraica
i representa la funció quadràtica que
passa pels punts A (1, -2), B(2, -2)
i C (3, 0).
Com que la funció passa pels punts A i B,
3
l’abscissa del vèrtex de la funció és ,
2
per tant:
Hi ha alguna relació entre aquestes gràfiques?
a) f(x - 2) = (x - 2)2 + 2(x - 2) =
= x2 - 2 x
-b
3
=
2a
2
Y
f (x)
X
f (x -2)
" b = -3 a = 1
Com que la funció passa per C(0, 3),
el simètric respecte de l’eix de simetria
3
x = és D(0, 0), per tant c = 0 i l’equació
2
de la funció és f (x) = x2 - 3x.
3
3
X
Y
b) f(x) - 4 = x2 + 2 x - 4
f (x)
Y
f (x)-4
1
2
1
2
X
72
328
X
Troba i representa les funcions
polinòmiques de grau mínim que
passen pels punts següents.
8
a) A(0, 0), B e 5,
5
o i C (-2, -1)
2
a + 3b + c + d
7a + 3b + c
" 6a + 3b
3a
b) A(3, 0), B (4, 1) i C(5, 0)
c) A(1, 0), B (2, 1), C(3, 0) i D (4, 1)
"a=
a) Els punts A, B i C estan alineats.
La funció que hi passa és f (x) =
x
.
2
2
3
" f (x ) =
Y
4"
= 0
= -1
= -1
= 2
b = -5 c =
34
3
d = -7 "
2 3
34
x - 5x 2 +
x-7
3
3
Y
1
1
1
X
2
X
b) Sigui f(x) = ax2 + bx + c.
73
29a + 3b + c = 0
16a + 4b + c = 14 "
25a + 5b + c = 0
REPTE. Si f (x) = px7 + qx 3 + rx - 4
i f (-7) = 3, quant val f (7)?
f (7) = 77p + 73q + 7r - 4
9a + 3b + c = 0
= 14 "
16a + 2b
=0
f (-7) = -77p - 73q - 7r - 4 = 3 "
" 7a + 3b
" f (7) = 77p + 73q + 7r - 4 =
= -7 - 4 = -11 " f (7) = -11
9a + 3b + c = -0
= -1 4 "
2a
= -2
Funcions racionals
" 7a + 3b
" a = -1 b = 8 c = -15 "
" f(x) = -x2 + 8x - 15
Y
ACTI V I TATS FL A I X
74
Associa cada gràfica amb la seva funció.
a) f (x) =
1
1
X
1
x+3
b) g (x) =
1
x-4
c) h (x) =
1
+2
x
Y
c) Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
a + 11b + 1c + d
8a + 14b + 2c + d
27a + 19b + 3c + d
64a + 16b + 4c + d
a + 3b + c + d
7a + 3b + c
" 6a + 3b
21a + 3b
=0
=1
=0
=1
4"
4"
= 0
= -1
= -1
= -1
1
1
X
a) Blava b) Verda c) Vermella
329
solucionari
ACTIVI TATS FLAI X
75
a) g(x) = f(x - 3)
b) g(x) = f(x + 1)
Associa cada gràfica
amb la seva funció.
a) f (x) =
c) g(x) = f(x) - 2
1
+3
x -2
d) g(x) = f(x) + 3
e) g(x) = f(-x)
1
b) g (x) =
-2
x +4
f) g(x) = -f (x)
Y
1
1
a) g (x) =
2
x-3
b) g (x) =
2
x+1
c) g (x) =
2 - 2x
2
-2=
x
x
d) g (x) =
2 + 3x
2
+3=
x
x
e) g (x) =
2
2
=-x
x
X
a) Vermella b) Verda
f ) g (x) = 76
Determina el domini d’aquestes funcions.
a) f(x) =
x-3
7
b) f(x) =
7
x-3
c) f(x) =
x2
x +1
78
Donada la funció f (x) =
b) Copia i completa les taules de valors
i dibuixa un esbós de la funció.
x
x-1
d) f(x) = 2
x + 2x
1
+x
x
f ) f(x) =
x
x2 - 4
a) Dom f = R
b) Dom f = R - {3}
-1
-2
-4
1
2
4
f (x)
x
0,1
0,5
f (x)
c) Representa g (x) =
d) Representa f (-x).
-2
a partir de f (x).
x3
d) Dom f = R - {-2, 0}
e) Dom f = R - {0}
b)
f ) Dom f = R - {-2, 2}
330
-0,1 -0,5
a) Dom f = R - {0}
La funció no està definida per a x = 0.
c) Dom f = R
77
2
.
x3
a) Troba’n el domini i indica per a quins
valors de x no està definida la funció.
2
e) f(x) =
2
x
2
, determina
x
l’expressió algebraica de les funcions
següents.
Donada la funció f (x) =
x
-0,1
-0,5
-1
f (x) -2 000 -16
-2
-2
-4
-0,25 -0,03
x
0,1
0,5
1
2
4
f (x)
2 000
16
2
0,25
0,03
8
c)
c)
Y
g (x) = -
2
x3
Y
g (x) =
4
2
x4
4
f (x) =
1
X
f (x) = -
2
x3
1
X
d) f (- x) = -
2
x4
2
2
= - 4 = f (x)
(- x) 4
x
La gràfica és la mateixa que la de f (x)
en l’apartat c).
2
2
d) f (- x) =
= - 3 = -f (x) = g (x)
x
( - x) 3
La gràfica és la mateixa que la de g(x)
de l’apartat c).
79
80
Representa gràficament les funcions
següents.
a) f (x) = b) f (x) =
-2
Donada la funció f (x) = 4 .
x
a)
1
2 x3
c) f (x) = -
1
2 x4
d) f (x) =
1
2 x6
1
2 x5
Y
a) Troba’n el domini i indica per a quins
valors de x no està definida la funció.
b) Copia i completa lles taules de valors
i dibuixa un esbós de la funció.
x
-0,1 -0,5
-1
-2
-4
1
2
4
1
3
X
f (x)
b)
x
0,1
0,5
Y
f (x)
1
2
c) Representa g (x) = 4 a partir de f (x).
x
1
X
d) Representa f (-x).
a) Dom f = R - {0}
La funció no està definida per a x = 0.
b)
x
-0,1
-0,5 -1
-2
c)
Y
-4
f (x) -20 000 -32 -2 -0,125 -0,0078
1
3
x
0,1
0,5
1
2
X
4
f (x) -20 000 -32 -2 -0,125 -0,0078
331
solucionari
d)
3
"
x+1
" i(x) = f (x + 1) - 2
Y
c) i(x) = -2 +
1
d) j (x) = 5 1
3
"
x+1
" j (x) = -f (x + 1) + 5
X
Y
f (x) =
G
g (x) =
Sense representar-les, escriu la relació
que hi ha entre les gràfiques d’aquestes
12
funcions i la de f (x) =
.
x
c) La gràfica de i(x) és la simètrica de f (x)
respecte de l’eix X.
G
Y
12
x+4
12
+1
b) h (x) =
x
12
c) i (x) = x
b) La gràfica de h(x) s’obté desplaçant
la gràfica de f (x) una unitat
cap amunt.
x+4
x+1
X
-2 x + 1
i (x) =
x+1
1
a) g (x) =
a) La gràfica de g (x) s’obté desplaçant
la gràfica de f (x) 4 unitats a
l’esquerra.
G
1
81
3
x
G
1
G
1
G
5x - 2
x-1
3
f (x) =
x
j (x) =
X
2x - 5
h (x) =
x-1
Funcions radicals
ACTI V I TATS FL A I X
83
La gràfica de la funció f (x) =
x és:
Y
82
Representa la gràfica de la funció
3
f (x) = . A partir d’ella, representa
x
les funcions següents.
x+4
a) g (x) =
x+1
b) h (x) =
2x - 5
x-1
-2 x + 1
c) i (x) =
x+1
d) j (x) =
5x - 2
x-1
3
+1"
x+1
" g (x) = f (x + 1) + 1
a) g (x) =
3
"
x-1
" h(x) = -f (x - 1) + 2
b) h(x) = 2 -
332
f (x) =
x
1
X
1
Explica com representaries les
funcions següents.
a) f (x - 3)
d) -f (x)
b) f (x + 1)
e) 2 - f (x)
c) 4 + f (x)
f ) f (x) - 2
a) La funció f (x - 3) trasllada la funció
f (x) 3 unitats a la dreta.
b) La funció f (x + 1) trasllada la funció
f (x) 1 unitat a l’esquerra.
8
1
Dom f = = , 15 o , (15, +3) =
3
c) La funció 4 + f (x) trasllada la funció
f (x) 4 unitats cap amunt.
1
= = , +3 o - {15}
3
d) La funció -f (x) és la simètrica de f (x)
respecte de l’eix X.
e) La funció 2 - f (x) trasllada la funció
-f (x) 2 unitats cap amunt.
84
Determina el domini de les funcions.
a) f (x) =
x + 1+ 8 - x
f ) La funció f (x) - 2 trasllada la funció
f (x) 2 unitats cap avall.
b) f (x) =
2x - 4 ? 1 - x
Estudia el domini de les funcions
següents.
b) 2x - 4 $ 0 " x $ 2
1-x$ 0"x#1
Dom f = Q
a) f (x) =
x+3
b) f (x) =
2 x 2 + 3x - 2
a) x + 1 $ 0 " x $ -1
8-x$ 0"x#8
Dom f = [-1, 8]
87
INVENTA. Escriu en cada cas l’expressió
c) f (x) =
x - 4x + 4
algebraica d’una funció radical amb els
dominis següents.
d) f (x) =
5 - 2x
a) [5, +3)
c) [-3, 3]
b) (-3, -2]
d) R
e) f (x) =
f ) f (x) =
2
2
x + 2x + 9
6+x-x
2
a) f (x) =
x-5
a) Dom f = [-3, +3)
b) f (x) = - x + 2
1
b) Dom f = (-3, -2] , = , +3 o
2
c) Dom f = R
c) f (x) = - x 2 + 9
d) Dom f = e-3,
5
G
2
e) Dom f = R
f ) Dom f = [-2, 3]
85
86
Quin és el domini d’aquestes funcions
amb radicals?
a) f (x) =
b) f (x) =
7x
2-
x-5
3x - 1
4-
x+1
a) x - 5 $ 0 " x $ 5
x-5 !2"x-5!4"x!9
Dom f = [5, 9) , (9, +3) = [5, +3) - {9}
1
b) 3x - 1 $ 0 " x $
3
x + 1 $ 0 " x $ -1
x + 1 ! 4 " x + 1 ! 16 " x ! 15
d) f (x) =
88
x2 + 5
A partir de la gràfica de la funció
y = x2 + 1 , explica com faries la
representació gràfica de les funcions
amb radicals següents.
a) f (x) = 1 +
b) f (x) = -2 +
c) f (x) = 1 d) f (x) =
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 2 x + 2
A partir de la funció y (x) =
x2 + 1
a) f (x) = 1 + y(x)
La gràfica de f (x) s’obté traslladant
la de y(x) 1 unitat cap amunt.
b) f (x) =-2 + y(x)
La gràfica de f (x) s’obté traslladant
la de y(x) 2 unitats cap avall.
c) f (x) = 1 - y(x)
La gràfica de f (x) s’obté traslladant la
de la funció simètrica de y(x) 1 unitat
cap amunt.
333
solucionari
d) f (x) = y(x + 1)
La gràfica de f (x) s’obté traslladant
la de y(x) 1 unitat cap a l’esquerra.
c) x =
f -1(x) =
a) f (x) = 2 x - 5
x+5
g ( x) =
2
3-x
b) f (x) =
4
g (x) = 3 - 4x
e) x =
1 - 2x
.
x
2 - 5y
"y=
f-1(x) =
2 - x2
.
5
1
y-2
"y=
f) x =
x-1
3-y
" y = 3 - 4x "
4
-1
" f (x) = g (x) " Són inverses.
b) x =
3
c) x = y3 + 1 " y = x - 1 "
" f -1(x) = g (x) " Són inverses.
f-1(x) =
91
2x + 1
x
2x + 1
.
x
a)
Y
1
1
X
1
X
1
X
1
X
a) f (x) = 2 x - 1
b)
b) f (x) = x2 - 5
1
c) f (x) =
x+2
Y
1
d) f (x) = x2 + x
e) f (x) =
2 - 5x
1
f ) f (x ) =
x-2
x+1
2
" La funció inversa és
x+1
f -1(x) =
.
2
c)
Y
1
"
b) x = y2 - 5 " y = ! x + 5 "
" No existeix la inversa; per tant,
f -1(x) no és una funció, perquè
per a cada valor de x s’obtenen
dues imatges.
334
"
"
Dibuixa la gràfica de la inversa
de cada funció.
Calcula, si és possible, la inversa
d’aquestes funcions.
a) x = 2y - 1 " y =
2 - x2
5
" La funció inversa és
x+5
"
2
-1
" f (x) = g (x) " Són inverses.
a) x = 2y - 5 " y =
90
"
" La funció inversa és
c) f (x) = x3 + 1
3
1 - 2x
x
d) x = y2 - y " No existeix la inversa;
f -1(x) no és una funció, perquè
per a cada valor de x s’obtenen
dues imatges.
Comprova si aquestes funcions
són inverses.
g (x) =
"y=
" La funció inversa és
Funció inversa
89
1
y+2
d)
Y
1
8
a)
e) x = ;y + 1; " No existeix la inversa,
ja que per a cada valor de x, f -1(x) torna
dues imatges; f -1(x) no és una funció.
Y
1
1
b)
1 + log 3 y
" 5x - 1 = log3 y "
5
" y = 35x - 1 " f -1(x) = 35x - 1
X
f) x =
Y
93
1
1
c)
X
ln (x - 5)
= log 3 (x - 5) "
ln 3
" Dom f -1(x) = (5, +3)
f -1(x) =
Y
2
1
Funcions logarítmiques
i exponencials
X
ACTI V I TATS FL A I X
d)
Y
94
Associa cada gràfica amb la seva
funció.
a) f (x) = 12x
1
1
92
Donada la funció f(x) = 3x + 5, determina
quin és el domini de la seva inversa, f-1.
b) g (x) = 2x
X
c) h (x) = e
Calcula les funcions inverses d’aquestes
funcions.
x
1
o
4
Y
a) f (x) = ln (x + 3)
b) f (x) = 3 + 4 ? 5x
2
1 + tg x
2
d) f (x) = sin 2 x
c) f (x) =
1
a) Vermella
e) f (x) = ;x + 1;
f ) f (x ) =
1 + log 3 x
5
95
a) x = ln (y + 3) " ex = y + 3 "
" y = ex - 3 " f -1(x) = ex - 3
x-3
=y"
4
" y = log5 (x - 3) - log5 4 "
" f -1(x) = log5 (x - 3) - log5 4
b) x = 3 + 4 ? 5y " log5
1 + tg y
" y = arctg (2 x - 1) "
2
" f -1(x) = arctg (2 x - 1)
c) x =
arcsin x
d) x = sin 2y " y =
2
arcsin x
" f -1(x) =
2
b) Verda
X
c) Morada
Associa cada gràfica amb la seva
funció.
a) f (x) = log12 x
b) g (x) = log2 x
c) h (x) = log 1 x
4
Y
1
1
X
"
a) Morada
b) Vermella
c) Verda
335
solucionari
Y
b)
Representa en els mateixos eixos de
coordenades les ternes de funcions
exponencials següents.
h(x)
G
g(x)
1
a) f (x) = 2x
g(x) = 5x
h(x) = 10x
G
96
1
X
f(x)
x
1
b) f (x) = e o
2
g ( x) = e
x
1
o
5
98
x
1
o
h (x) = e
10
Per representar les funcions, elaborem
una taula de valors amb, almenys,
cinc valors.
a)
Y
h(x)
f(x)
G
1
G
g(x)
1
f(x)
g(x)
X
h(x)
A
X
Representa els mateixos eixos de
coordenades les ternes de funcions
logarítmiques següents.
a) f (x) = log2 x
g (x) = log5 x
h (x) = log10 x
2
O
G
1
g(x)
ln a
o
a
O(0, 0)
X
1
lnln 2a a
o =
a
aa
1
a
a 4 + ln 2 a
ln a
o =
a
e ea -
2
ln a
o =
a
a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a
a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a
2
1
=5 "
" a4 + ln2 a ? a2 e2a + ln2 a - 2e a ln a = 10a
X
Equació:
(a 4 + ln 2 a) ? (a 2 e 2a + ln 2 a - 2e a ln a) = 100a 2 "
G
" a = 1,79
336
g(x)
Àrea del triangle:
1
1
a 4 + ln 2 a ?
a
a
f(x)
B e a,
a
c B
f(x)
=
x
Y
h(x)
X
A (a, e a )
AB = e 0, e a -
g (x) = log 1 x
5
1
10
b
= = ae2 a+
OB
,
b) f (x) = log 1 x
a)
O
Y
1
h (x) = log
g(x)
Els punts A i B
tenen abscissa a
i formen part de les gràfiques de f i g,
respectivament.. Si l’àrea del
&
triangle OAB té 5 u2, determina
una equació per trobar el valor de a.
1
97
B
f(x)
Utilitza un programa informàtic
per resoldre-la.
Y
G
A
f (x) = ex
ln x
g (x) =
x
G
b)
Y
INVESTIGA.
En la figura hi ha
representades:
8
99
A partir de la gràfica de la funció
exponencial g (x) = 4x, representa
les funcions següents.
a) f (x) = 4x - 3
d) -4x =-g (x)
Y
1
1
b) f (x) = 4x + 1
X
c) f (x) = 1 + 4x
d) f (x) = -4x
e) f (x) = 2 - 4x
f ) f (x) = 4x - 1
x+1
g) f (x) = 4
e) 2 - 4x = 2 - g (x)
+2
Y
Y
1
1
X
1
g(x) = 4x
1
X
f ) 4 x - 1 = g (x) - 1
Y
a) 4 x-3 = g (x - 3)
Y
1
1
1
1
X
X
g) 4x + 1 + 2 = g (x + 1) + 2
Y
b) 4 x+1 = g (x + 1)
Y
1
1
1
1
X
100 INVESTIGA. Sigui la funció
c) 1 + 4 x = 1 + g (x)
f (x) = -ln (x + e2), si talla l’eix Y
en el punt A i els punts B i C tenen
la mateixa ordenada, escriu una equació
per calcular l’abscissa del punt B,
sabent que el triangle té àrea 8 u2.
Y
1
1
X
X
Utilitza un programa informàtic
per resoldre-la.
Podem utilitzar, per exemple, GeoGebra.
337
solucionari
Y
f (x)
C
B
O
X
Y
f (x)
a
C
O
b
c
Y
hi ha representada
la funció f.
1
X
f (x)
1
Si l’expressió algebraica
de la funció g és
g(x) = ln x, quines
són les solucions de
l’equació (f % g) (x) = 0?
A
B
103 REPTE. A la figura
X
Si observem la gràfica, veiem
que f (x) = 0 si x = 1 o x = -1.
A
(f % g) (x) = f ( g (x)) = f (ln x)
Primer hem de trobar l’ordenada
del punt A.
y = -ln (0 + e 2 ) = -2 " A (0, -2)
(f % g) (x) = f ( g (x)) = 0 "
" f (-1) = 0 = f (1) "
Sigui C (0, a), com que B i C comparteixen
ordenada: B (e-a - e 2, a).
" ln x = *
1
e
si x = e
-1 si x =
1
Àrea del triangle:
Les solucions són x = e i x =
BC ? AC
=8"
2
1
.
e
" (e-a - e2 ) 2 + 0 ? 0 + (-2 - a) 2 = 16 "
Funcions trigonomètriques
" (e-2a + e4 - 2e2-a ) ? (4 + a2 + 4a) = 256
L’abscissa del punt B és -6,7 i l’ordenada
és 0,4.
101 A partir de la gràfica de la funció
104 Dibuixa la gràfica de la funció g (x) = cos x.
A partir d’ella, representa les funcions
següents.
logarítmica g (x) = log x, representa
les funcions següents.
a) f (x) = cos (-x)
a) f (x) = log 2 x
x
b) f (x) = log
2
c) f (x) = cos (x + r)
a) f (x) = log 2 + log x
e) f (x) = cos x + 2
b) f (x) = log x - log 2
f ) f (x) = 1 - cos x
Y
b) f (x) = -cos x
d) f (x) = cos d x +
a)
f (x) = log (2 x)
1
2
n
Y
2
G
G
G
2
g(x) = log x
r
f (x) = g (x)
X
1
X
1
X
x
f (x) = log
2
102 La funció f (x) = e a ln x passa pel punt (2, 8).
Quin valor pren a?
8 = e a ln 2 " ln 8 = a ln 2 " a =
3 ln 2
=3"a=3
"a=
ln 2
338
b)
Y
f (x)
ln 8
ln 2
"
g (x)
2
8
c)
b)
Y
Y
2
f (x)
f (x)
X
1
g (x)
d)
g (x)
c)
Y
f (x)
X
1
g (x)
e)
f)
X
g (x)
e)
Y
f (x)
1
X
1
X
1
X
Y
f (x)
2
2
X
1
g (x)
X
2
f (x)
1
g (x)
1
Y
2
f (x)
X
2
g (x)
d)
Y
1
Y
2
f (x)
2
g (x)
f)
105 Dibuixa la gràfica de la funció g (x) = sin x.
A partir d’ella, representa les funcions
Y
f (x)
2
següents.
g (x)
a) f (x) = sin (-x)
b) f (x) = -sin x
c) f (x) = sin (x + r)
d) f (x) = sin d x -
r
2
106 A partir de la gràfica de la funció
n
trigonomètrica g (x) = tg x,
representa les funcions següents.
e) f (x) = sin x + 2
g (x)
Y
f ) f (x) = 1 - sin x
a)
Y
f (x)
1
2
g (x)
r
1
X
X
339
solucionari
a)
a) f (x) = tg (x + r )
Y
b) f (x) = -tg (-x)
r
2
c) f (x) = 1 - tg x
d) f (x) = tg (x - 1) - 2
a) La representació de la funció és la
mateixa que la de g (x).
b) La representació de la funció és la
mateixa que la de g (x).
c)
Y
b)
f(x)
1
X
1
X
1
X
1
X
Y
g(x)
r
2
1
r
X
c)
d)
Y
g(x)
Y
f(x)
r
2
1
X
r
d)
107 A partir de la gràfica de la funció
Y
r
2
g (x) = arcsin x, dibuixa les gràfiques
de les funcions.
a) f (x) = 2 - arcsin x
b) f (x) =
1
+ arcsin x
2
c) f (x) =arcsin (x + 1)
d) f (x) = arcsin e x Y
1
o
2
108 INVENTA. Escriu funcions
r
trigonomètriques amb els períodes
següents.
2
a) T = 2r
d) T =
2r
b) T =
3
e) T = r
c) T = 3r
f) T =
g (x) = arcsin x
1
-1
-
340
X
r
5
5r
6
r
Resposta oberta. Per exemple:
2
a) f (x) = sin x
8
b) f (x) = sin (3x)
c) f (x) = sin
x = -1 " x < 0 " f (-1) = 2
2x
3
x = 0 " f (0) = 02 " f (0) = 0
2
d) f (x) = sin (10x)
x=
e) f (x) = sin (2 x)
f ) f (x) = sin
" fe o =1
2
12 x
5
109 A partir de les gràfiques de les funcions
g (x) = sin x i h (x) = sin 2x, representa
les funcions següents.
x
2
a la funció?
f ( x) = )
a)
Y
1
2
X
b)
2
X
Y
Y
g (x)
1
F
1
X
F
F
1
f (x)
b)
Y
X
h (x)
a)
x - 1 si x < 1
2 x - 3 si x $ 1
1
g (x)
1
3
4
111 Quina d’aquestes gràfiques correspon
a) f (x) = sin 4x
b) f (x) = sin
1
1
1
" f e o = e o - 1 "
2
2
2
h(x)
Y
g (x)
F
1
X
F
F
1
A la funció f (x) li correspon la gràfica
de l’apartat a), ja que el punt amb
abscissa x = 1 està inclòs en
l’interval de definició del segon
tram, corresponent a la recta
y = 2x - 3.
f (x)
h(x)
112 Representa i descriu les característiques
Funcions definides a trossos
a) f (x) = (
AC T IVITATS FLAI X
110 Troba f (-1), f (0) i f e
funció.
de les funcions.
1
o en aquesta
2
x2 + 1 si x 1 0
f (x) = * x2
si x = 0
x2 - 1 si x > 0
2x + 1
x-5
x 2 - 3x
b) g (x) = *6
-x + 3
6
c) h(x) = * x - 1
2x + 1
si x < 2
si x $ 2
si x < 3
si x = 3
si x > 3
si x < 2
si x $ 2
341
solucionari
a)
c)
Y
Y
2
1
1
La funció està formada per dues
semirectes: la semirecta creixent de
pendent 2 fins al punt (2, 5), que no
està inclòs en la definició, i la semirecta
creixent de pendent 1, que comença
en el punt (2, -3) inclòs.
Talla l’eix Y en (0, 1) i l’eix X en (5, 0)
-1
i en e
, 0 o.
2
Té una discontinuïtat de salt finit
en el punt x = 2.
Dom f = R Im f = R
b)
2
X
Y
X
La funció està formada per una
hipèrbola i una semirecta: la hipèrbola
decreixent i amb discontinuïtat
en x = 1 fins a (2, 6), que no hi està
inclòs, i la semirecta creixent de pendent
2, que comença en (2, 5) inclòs.
Talla l’eix Y en el punt (0, -6).
No talla l’eix X.
Té una discontinuïtat de salt infinit en
x = 1 i una altra de salt finit en x = 2.
Dom f = R - {-1}
Im f = (-3, 0) , [5, +3)
113 INVENTA. Escriu en cada cas l’expressió
algebraica d’una funció a trossos la
representació de la qual sigui:
a) Una recta creixent en (-3, 3) i una recta
decreixent en [3, +3).
1
1
X
b) Una paràbola en (-3, -1) i una recta
en [-1, +3).
c) Una recta decreixent en (-3, -1), una
recta creixent en [-1, 1) i una paràbola
en [1, +3).
La funció està formada per una paràbola
i una semirecta: la paràbola convexa
3 -9
o fins al punt (3, 0)
de vèrtex e ,
2 4
sense incloure’l, i a partir d’aquí
la semirecta decreixent de pendent -1,
que comença en el punt (3, 0) no inclòs.
En x = 3 pren el valor 6 i talla els eixos
en (0, 0).
Té una discontinuïtat evitable
en x = 3.
Dom f = R
Im f = R
342
Resposta oberta. Per exemple:
x
a) f (x) = *
-x
si x 1 3
si x $ 3
b) f (x) = *
si x 1 -1
si x $ -1
x2
x
- x si x 1 -1
si -1 # x 1 1
c) f (x) = * x
x2
si x $ 1
114 Representa aquesta funció.
x2 + 3x si x 1 -1
f (x) = *-4
si x = -1
- x + 3 si x 2 -1
8
Estudia el valor que pren la funció en
els punts molt propers, per l’esquerra
i per la dreta, a -1, i descriu què passa.
Y
2
Y
4
X
1
1
X
b) Dom f = R Im f = (0, 2]
La funció és creixent en
(-3, 1) , (1, +3).
x , -1
-2
-1,5
f (x)
-2
-2,25 -2,09
x . -1
0
-0,5
-0,9
-0,95
f (x)
3
3,5
3,9
3,95
-1,1
-1,05
-2,0457
No té màxims ni mínims.
És discontínua en x = 1, on hi ha una
discontinuïtat inevitable de salt finit.
No té asímptotes.
No és simètrica ni periòdica.
Y
A la dreta de x = -1, les imatges
tendeixen a 4, és a dir, -(-1) + 3 i,
a l’esquerra, tendeixen a -2 , és a dir,
(-1)2 + 3 ? (-1).
2
1
X
115 Representa i descriu les funcions
definides a trossos.
a) f (x) =
*
x3
2
x-3
x
2x
b) f (x) = *
log x
si x # 0
si 0 < x # 4
si x > 4
si x # 1
si x > 1
a) Dom f = R - {3}
Im f = (-3, 0] , [2, +3)
La funció és creixent en
(-3, 0) , (4, +3) i és decreixent
en (0, 3) , (3, 4).
Té un mínim relatiu en x = 4.
És discontínua en x = 0 i en x = 3. En
x = 0 hi ha una discontinuïtat inevitable
de salt finit, i en x = 3 hi ha una
discontinuïtat inevitable de salt infinit.
116 Escriu com a funcions definides
a trossos.
a) f (x) = ;x + 2;
b) f (x) = ;12 - 3x;
c) f (x) = ;3 - x;
d) f (x) = ;2 x - 4;
- x + 2 si x 1 -2
a) f (x) = *
x+2
si x $ -2
12 - 3x si x < 4
b) f (x) = *
3x - 12 si x $ 4
c) f (x) = *
3-x
x-3
si x 1 3
si x $ 3
d) f (x) = *
4 - 2x
2x - 4
si x 1 2
si x $ 2
117 Observa la gràfica de la funció
Té una asímptota vertical en x = 3.
f (x) = x2 - x - 6.
No és simètrica ni periòdica.
Dibuixa la gràfica de f (x) = ;x2 - x - 6;.
343
solucionari
c)
Y
Y
1
g (x)
X
1
f (x)
1
2
f (x) = x - x - 6
1
X
Y
d)
Y
g (x)
2
X
f (x) = ;x2 - x - 6;
1
1
1
f (x)
X
118 Representa les funcions següentss
a partir de la gràfica de la funció
g(x) = ;x;.
e)
a) f (x) = ;x; + 1
Y
b) f (x) = ;x + 1;
f (x)
c) f (x) = ;x; - 1
g (x)
3
d) f (x) = 1 - ;x;
e) f (x) = ;x - 1;
f ) f (x) = ;1 - x;
1
X
1
X
1
X
g) f (x) = ;x - 1; + 1
h) f (x) = ;x + 1; - 1
a)
f)
Y
Y
f (x)
f (x)
g (x)
g (x)
3
3
1
b)
X
g)
Y
Y
f (x)
g (x)
g (x)
f (x)
2
1
1
344
X
8
h)
Y
c) f (x) =
g (x)
2
f (x)
*
2 x 2 - 7x - 3
si x 1
1
2
1
#x13
2
si x $ 3
-2 x 2 + 7x + 3 si
2 x 2 - 7x - 3
Y
X
1
119 Escriu com a funcions definides a trossos
i representa.
a) f (x) = ;x2 - 4x - 5;
2
b) f (x) = ;x2 - 4x + 5;
2
c) f (x) = ;2 x2 - 7x + 3;
d) f (x) = ;-x2 + 4x - 5;
X
d) f (x) = -x2 + 4x - 5
Y
e) f (x) = ;x2 + 3x + 2;
2
4
2
f ) f (x) = ;-x + 6x - 5;
X
2
g) f (x) = ;x + x - 2;
h) f (x) = ;-x2 + 6x - 9;
x 2 - 4x - 5
si x 1 -1
a) f (x) = *- x 2 + 4x + 5 si -1 # x 1 5
x 2 - 4x - 5
si x $ 5
Y
x 2 + 3x + 2
si x 1 -2
e) f (x) = *- x 2 - 3x - 2 si -2 # x 1 1
x 2 + 3x + 2
si x $ 1
Y
1
1
8
2
X
X
x 2 - 6x + 5
si x 1 1
f ) f (x) = *- x 2 + 6x - 5 si 1 # x 1 5
x 2 - 6x + 5
si x $ 5
Y
b) f (x) = x2 - 4x + 5
Y
1
1
2
2
X
X
si x 1 -2
x2 + x - 2
g) f (x) = *- x 2 - x + 2 si -2 # x 1 1
si x $ 1
x2 + x - 2
345
solucionari
Y
121 Donades les funcions f (x) = 4x2 + 11
i g (x) =
1
X
1
a) (f % g) (2)
c) (f % f ) (2)
b) ( g % f ) (2)
d) ( g % g) (2)
a) (f % g)(2) = f (g (2)) = 4 e
2
h) f (x) = -x + 6x - 9
2
5?2
o + 11 = 111
2
5
b) (g % f )(2) =
g (f (2)) = ? (4 ? 22 + 11) =
2
135
=
2
Y
c) (f % f )(2) = f (f (2)) =
= 4(4 ? 22 + 11) + 11 = 119
1
1
X
d) (g % g)(2) = g (g (2)) =
Composició de funcions
que compleixen que f (10) + 5 = 0
i g (2) - 10 = 0.
*
funcions.
1
x
f (x) = 2x g(x) = x2 h (x) =
c) h % f (x)
e) h % g (x)
b) g % h (x)
d) g % f (x)
f ) f % h (x)
Determina el valor de cada funció
per a x = 3.
a) (f % g) (x) = f (g (x)) = f (x 2) = 2 x
(h % f ) (3) =
124 INVENTA. Escriu dues funcions f (x)
1
1
o =
3
9
1
1
=
8
23
x
x 2
(g % f ) (3) = 2 2 ? 3 = 2 6 = 64
e) (h % g) (x) = h ( g (x)) = h (x 2 ) =
1
1
=
9
32
f ) (f % h) (x) = f (h (x)) = f e
1
(f % h) (3) = 2 3 =
3
2
i g (x), fes la composició (f % g ) (x) i ( g % f ) (x)
i comprova que la composició de funcions
no és commutativa.
1
2x
d) (g % f ) (x) = g (f (x)) = g (2 ) = (2 ) = 2
(h % g) (3) =
(g % f -1)(x) = g (f -1(x)) = (x2)2 - 5 = x4 - 5
2
1
1
o=e o
x
x
c) (h % f ) (x) = h (f (x)) = h (2 x ) =
x
i g(x) = x2 - 5, calcula f -1 % g (x)
i g % f -1 (x).
(f -1 % g)(x) = f -1(g (x)) = (x2 - 5)2 =
= x4 - 10x2 + 25
2
(f % g) (3) = 2 3 = 2 9 = 512
2
123 Donades les funcions f (x) =
f -1(x) = x2
2
(g % h) (3) = e
f (10) = - 5
"
g (2) = 10
" (f % g)(2) = f (g (2)) = f (10) = -5
a) f % g (x)
b) (g % h) (x) = g (h (x)) = g e
5 5
25
? ?2=
2 2
2
122 Calcula (f % g) (2) si f i g són funcions
120 Fes les composicions d’aquestes
346
5
x , calcula.
2
1
x2
1
1
o= 2x
x
Resposta oberta. Per exemple:
2x
Siguin f (x) = x - 1 i g (x) = x2.
(f % g) (x) = f (g (x)) = f (x 2) = x 2 - 1
(g % f ) (x) = g (f (x)) = g (x - 1) = (x - 1) 2
La composició de funcions no és
commutativa, ja que perquè una propietat
es compleixi de manera general, s’ha de
complir per a totes les funcions.
125 Si f (x) =
i f (f (f (x))).
1
, calcula quant valen f (f (x))
x+1
8
f (x ) =
1
x+1
f (f (x)) = f e
1
o=
x+1
1
x+1
=
1
x+2
+1
x+1
f (f (f (x))) = f e
x+1
1
o=
=
x+1
x+2
+1
x+2
x+2
=
2x + 3
a) Canvi de divises de pes argentí
a dòlar.
b) Canvi de divises de dòlar a euro.
c) Canvi d’euro a pes argentí.
d) No té sentit perquè g canvia
de dòlar a pes argentí i f canvia
euro a dòlar.
e) Canvi de pes argentí a euro.
f ) Canvi d’euro a dòlars.
128 REPTE. Donada la funció definida
126 INVESTIGA. Calcula g(x) en cada cas.
en els enters positius:
2x
a) f (x) =
i f ( g(x)) = x
3x + 4
n + 5 si n és senar
f (n) = * n
si n és parell
2
b) f (x) = 10x i f ( g(x)) = -5x
a) g (x) = f -1(x) =
b) f -1(x) =
x
10
Si f (f (f (k))) = 35 i k és senar,
quin és el valor de k?
-4x
3x - 2
Com que k és senar: f (f (f (k))) = f (f (k + 5))
"
" g (x) = f -1 (-5x) =
k + 5 és parell: f (f (k + 5)) = f e
-5x
x
=10
2
k+5
és senar:
2
127 MATEMÀTIQUES I... VIATGES.
fe
Quan es viatja a un país de fora de
la Unió Europea és necessari canviar
diners a la moneda local. A vegades,
el canvi només està indicat en dòlars
i hem de fer nosaltres el canvi a euros.
Aquestes són les gràfiques del canvi
de divises que trobem a l’Argentina
a principi del 2022.
129 MATEMÀTIQUES I... PREUS.
Els aparcaments públics s’acostumen a
pagar per hores completes. Així, un cotxe
aparcat, a partir d’1 hora i 1 minut, paga
2 hores. A més, acostumen a tenir un
preu màxim diari que és el preu del dia
complet.
Gen. Febr. Març Abr. Maig
Dibuixa la gràfica que representi el preu
que s’ha de pagar per aparcar un vehicle
en aquest aparcament entre 0 hores
i 48 hores.
g(x): d’euro a dòlar
1,141
1,126
1,111
1,096
1,081
1,066
1,20 €
Per cada hora
o fracció
Gen. Febr. Març Abr. Maig
Indica quin significat tenen les
composicions de funcions següents.
a) f
-1
b) g -1
k+5
k + 15
o=
= 35 " k = 55
2
2
3.Interpreta i relaciona
les funcions elementals
amb fenòmens quotidians
f (x): de dòlar a pes argentí
67,9
66,3
64,7
63,1
61,5
59,9
k+5
o
2
-1
%f
-1
c) f % g
e) g
d) g % f
f ) f -1 % f % g
18,50 €
Dia complet
(24 h)
347
solucionari
a) t = 0 " P(0) = 8
El preu inicial és de 8 €.
b)
Preu (€)
Preu (€)
37
18
1
1
2
1
Temps (h)
1 2 3 15 16 23 24 25 26 39 40 47 48
Temps (h)
muntanya i com que és molt despistat,
a vegades perd coses i retrocedeix
per recollir-les. El perfil de la caminada
que ha fet es mostra en les gràfiques
següents. Pots saber quants cops ha
retrocedit?
Altitud
Distància
Altitud
IN TE RN E T
130 REPTE. Un alpinista travesa una
132 MATEMÀTIQUES I... BIOLOGIA.
La dinàmica de poblacions és una
branca de la biologia que, amb l’ajuda
de les matemàtiques, tracta de descriure
i quantificar els canvis que es donen
en una població. El desenvolupament
d’una població de peixos està modelat
per la funció
20
P ( t) =
, amb t $ 0.
1 + 19e-0,5t
En el model, P(t) és la mida de la població
en tones i t és el nombre d’anys després
de l’instant inicial.
a) Determina quants anys han de
transcórrer perquè la població
de peixos arribi a les 15 tones.
b) Pot passar que la població excedeixi
alguna vegada les 20 tones?
Temps
a)
L’alpinista ha retrocedit tres cops:
un cop abans d’arribar al primer pic
i dos cops quan baixa del segon pic.
t
+8
si 0 # t # 4
4
P (t) =
-t 2
+ 2t + 5 si 4 1 t # 10
4
*
a) Quin és el preu inicial de l’article?
b) Dibuixa la gràfica de la funció P(t).
348
"
t
1
"
" ln e o = - "
57
2
1
" t = -2 ln e o " t = 2 ln 57 . 8,086
57
1
= e-0,5t
57
131 El preu en euros d’un article perible
que es comença a vendre el primer
dia d’un mes determinat varia amb
el temps, en dies, segons la funció:
20
= 15 "
1 + 19e-0,5t
" 20 = 15 + 19 ? 15e-0,5t
Han de passar més de 8 anys.
b)
20
2 20 "
1 + 19e-0,5t
" 1 + 19e-0,5t 1 1 " 19e-0,5t 1 0
No es compleix mai perquè aquesta
expressió és sempre positiva.
Aquesta activitat es pot utilitzar per treballar
l’ODS 8, vida submarina.
8
133 MATEMÀTIQUES I... SOCIETAT.
Una ONG ha estimat que el nombre
de persones hospitalitzades després
d’un tsunami segueix aproximadament
la fórmula:
110
P (t ) = 1 + 2
t + 10
t ! (0, 30)
en què P és el nombre de persones
hospitalitzades, en milers, i t és el nombre
de dies que han passat des del tsunami.
a) Quantes persones hi haurà
hospitalitzades el primer dia?
b) Quantes n’hi haurà al cap de tres
setmanes?
c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de
l’àrea afectada és 2 000 llits, fins a quin
dia la capacitat va estar desbordada?
a) 11 000 persones
b) 1 243 persones
110
=2"
t + 10
" t 2 + 120 = 2t 2 + 20 "
" t 2 - 100 = 0 " t = !10
c) 1 +
2
Com que el nombre de persones
hospitalitzades decreix segons el
nombre de dies, la capacitat
d’hospitalització va estar desbordada
fins al desè dia.
Aquesta activitat es pot utilitzar per treballar
l’ODS 17, aliança pels objectius.
I N TERN E T
134 MATEMÀTIQUES I... FÍSICA.
Segons la llei de refredament de Newton,
la temperatura d’un objecte segueix
la funció f (t) = T + (C - T) ? e-kt,
en què T és la temperatura ambient,
C la temperatura inicial, t el temps
transcorregut i k la taxa de refredament
de l’objecte per unitat de temps.
Un objecte amb una temperatura de 40 °C
es deixa a l’aire lliure, on la temperatura
és de 25 °C, i després de 10 minuts
la temperatura de l’objecte és
de 34 °C. Quant temps ha de passar
perquè l’objecte es refredi fins a tenir
una temperatura de 30 °C?
f (10) = 34 = 25 + (40 - 10) ? e-10k
" k = 0,12
30 = 25 + (40 - t) ? e-0,12t
"
"
" t . 13,802 min
135 La Nina i en Simon competeixen en
una cursa ciclista d’anada i tornada
entre dues ciutats. A l’anada la Nina
va a 25 km/h i a la tornada, ja cansada,
a 15 km/h. En Simon, en canvi,
va a 20 km/h tota l’estona.
a) Qui guanya?
b) Hi ha alguna manera que la Nina, anant
més ràpida a l’anada i més lenta a la
tornada, guanyi en Simon tenint en
compte que la mitjana de les dues
velocitats de la Nina és 20 km/h?
a) Els dos arriben alhora, ja la velocitat
mitjana de la Nina és la mateixa que
porta en Simon en la cursa.
b) No, si la velocitat mitjana de la Nina
continua sent la mateixa que la d’en
Simon, sempre arribaran alhora.
136 En una cursa de 1 000 metres, la Mei
treu 50 metres d’avantatge a en Xavier.
A la pròxima cursa, la Mei sortirà
50 metres per darrere d’en Xavier.
a) N’hi ha prou perquè arribin alhora
a la meta?
b) Si no n’hi ha prou, quants metres
serien necessaris?
a) No, perquè si sempre corren al mateix
ritme, mentre que la Mei corre 1000 m,
en Xavier corre només 950 m. És a dir,
atrapa en Xavier quan són a 50 m de la
meta.
b)
x
50
=
" x = 2,5
1 000
50
La Mei hauria de sortir 52,5 m per
darrere d’en Xavier.
137 Considera una piscina d’aigua plena fins
a la vora en la qual s’obre una vàlvula per
buidar-la. L’altura (en metres) de l’aigua de
la piscina ve donada per aquesta funció:
h (t) = 2,15 + ln (8,9 - 0,51t)
349
solucionari
en què t és el temps (en minuts) des
que s’obre la vàlvula. Calcula després
de quant de temps l’altura de l’aigua
és la meitat de l’altura de la piscina.
2,15 + ln (8,9 - 0,51t) =
2,15 + ln (8,9 - 0,51t)
=
"
2
" 4 = -ln (8,9 - 0,51t) "
Agència 1:
200x si 0 # x # 40
f ( x) = )
180x si x 2 40
Agència 2:
150 ? f 1 +
60 - x
p x = 240x - 1,5x 2
100
" e-4 = 8,9 - 0,51t " t . 17,4 min
240x - 1,5x 2 si 0 # x 1 60
g ( x) = )
150x
si x $ 60
L’altura de l’aigua és la meitat de la de
la piscina després de 17,4 min.
Calculem els punts d’intersecció de les
dues funcions.
138 Després de llançar un globus aerostàtic,
la seva altura, en metres, ve determinada
per la funció:
30
per a t ! [0, 5],
1 + 29e-2t
amb t en minuts.
A ( t) =
a) Troba els metres que puja el globus
en el primer minut.
b) Quan el globus és entre els 12 m i els
20 m d’altura, es destapen dos panells
publicitaris. Durant quants segons es
veurà la publicitat?
Si 0 # x # 40 " 200x = 240x - 1,5x 2 "
x =0
" 1,5x 2 - 40x = 0 " * x = 80 = 26,6!
3
Si 40 1 x 1 60 " 180x = 240x - 1,5x 2 "
" 1,5x 2 - 60x = 0 " ) x = 40
x =0
Si x $ 60 " 180x = 150x " x = 0
Ens convé la primera agència
si el nombre de persones és menor
o igual que 26. A partir de 27 persones,
escollirem la segona agència.
a) A(1) = 6,09 metres d’altura.
A(t) = 20 " t = 2,03 min
2,03 - 1,48= 0,55
f (x)
200
Es veuran durant 0,55 min.
139 Esteu organitzant el viatge de final de
curs per al teu grup.
Agència 1.
Si el nombre d’estudiants que va de
viatge és 40 o menys, cadascú pagarà
200 €.
Si és superior a 40, es
descomptaràun 10 % a cadascun..
10
Nre. de persones
140 MATEMÀTIQUES I...
ARQUITECTURA. A la figura hi ha
representat un pont per a vianants
sobre el riu Sella. Considerat O l’origen
de coordenades, l’arc del pont ve donat
per f (x) = 9 - 2,5 (e1-0,2x + e0,2x-1) ,
amb x ! [0, 7].
7m
Agència 2.
Si completen un autobús de 60 persones,
el preu serà de 150 € per persona.
Per cada seient buit a l’autobús,
s’incrementarà el preu un 1 %
per persona.
Quina agència us convé?
350
g (x)
Preu (€)
b) A(t) = 12 " t = 1,48 min
Q
P
O
f (x)
x
R
8
a) Sigui S el punt sobre el segment OR
que verifica l’equació (f (0)) 2 + x 2 = 2 .
Resol l’equació i interpreta’n la solució
en el context del problema.
L’oposició assegura que les dades estan
manipulades de cara a les pròximes eleccions.
b) Al port, al costat del pont, hi ha un vaixell
de vela el màstil del qual té 6 metres
des del punt més alt fins a l’aigua.
Podrà passar per sota el pont?
Resposta oberta. Per exemple:
a) f (0) = 1,28 "
" (f (0))2 = 1,65 + x 2 = 2 "
" 1,65 + x2 = 4 " x = 1,53
I tu, què en penses?
Es manipulen les dades quan s’utilitza la proximitat
de l’estiu i les contractacions per festius.
És possible que les dades es refereixin
a contractes d’un dia i per tant 2 caps de
setmana, amb 2 dies cadascun, contractant
10 000 persones, resulten 40 000 contractes.
f (1,53) = 2,75
El punt S está a 2,75 m d’altura i a una
distància d’1,53 m del punt O.
b) Representant la gràfica de la funció
que defineix l’altura de l’arc del pont
obtenim que l’altura màxima és de 4 m.
Per tant, el vaixell no hi podrà passar.
141 En un llac viu una espècie de peix gran
que s’alimenta d’una espècie de peixos
més petits i aquests, al seu torn,
s’alimenten de plàncton. El nombre de
peixos grans és una funció f (x) de la
quantitat x de peixos petits i el nombre
de peixos petits és una funció g( y)
de la quantitat y de plàncton del llac.
Expressa la població de peixos grans
en funció del plàncton del llac si:
x
g( y) = 4y - 1
120
4y - 1
(f % g) ( y) = f ( g ( y)) = 30 +
120
f (x) = 30 +
P RO B L E M E S A PA R E NT M E NT
D IFE R E NT S
142 Considera la funció següent.
f (x) = 1 000 ln d
x
n
10
a) Troba el domini de la funció.
b) Calcula f -1(x).
a) Dom f = (0, +3)
x
b) f -1(x) = 10e 1000
143 El nombre de dies que necessita una
població de plàncton per arribar a pesar
x micrograms ve donat per
x
n.
f (x) = 1000 ln d
10
a) Entre quins valors varia el pes?
b) Indica el pes en funció del temps.
a) El pes varia entre 0 i +3.
x
b) f-1(x) = 10e 1000 en què x és nre. de dies.
144 Sigui la funció: f (x) = 200 · b x
FA KE N EWS
Baixa l’atur?
Un estudi sobre la repercussió del turisme
a la costa assegura que durant els dies festius
es creen prop de 10 000 nous llocs de treball
en el sector.
Les últimes dades del Ministeri de Treball
mostren que en el mes de juny es va contractar
40 000 persones en hosteleria a la costa,
malgrat que només hi va haver dos dies
festius.
a) Quina és la variable independent
b) Siguin b = 2,5 i g(x) = 20 000, determina
el valor de x perquè es compleixi
f (x) = g(x).
c) Indica els possibles valors de b perquè
f (x) sigui decreixent.
a) La variable x.
b) 20 000 = 200 ? 2,5 x " 2,5 x = 100 "
ln 100
= 5,02
"x=
ln 2,5
c) 0 < b < 1
351
solucionari
4 3
rr " r = V -1 =
3
50 000
b) r (t) =
t
145 El ritme bàsic de reproducció, RO, d’un
a) V(r)=
virus en una regió és 2,5. És a dir, cada
persona malalta n’infecta unes altres 2,5.
Si el primer dia hi havia 200 persones
malaltes, expressa el nombre d’infectats
en funció del temps.
a) Quina és la variable independent?
b) Quan s’arriba a 20 000 infectats?
c) En quin interval ha d’estar el RO perquè
l’epidèmia estigui controlada?
La funció és f (x) = 200 ? 2,5x.
a) La variable independent és el temps.
b) 20 000 = 200 ? 2,5 x " 2,5 x = 100 "
ln 100
= 5,02
"x=
ln 2,5
S’hi va arribar al cinquè dia.
c) En l’interval (0,1), en què la funció
és decreixent.
4
50 000
rx3 g (x) =
3
x
a) Calcula f-1(x).
b) h(x) = f -1( g (x)) = f -1 e
3
=
3
50 000
x
=
4r
50 000
o
x
3
37500
rx
147 La Dana infla la pilota de la platja
per jugar.
a) Troba el radi de la pilota en funció
del volum.
b) Se li peta i es comença a desinflar;
la mida del radi segueix la funció
50 000
g ( t) =
, t > 10, amb t en minuts.
t
Indica el radi en funció del temps.
352
1
Quin és el gruix de l’estratosfera
en l’equador?
35 km.
2 Quina relació hi ha entre la temperatura
i les capes de l’atmosfera?
La temperatura és més baixa com més gran
és l’altitud de la capa.
3 En quina capa es registra la temperatura
més baixa?
A la mesosfera.
té l’atmosfera a 110 km d’altitud?
Aproximadament -20 °C.
quina és la situació actual de la capa d’ozó
i per què és tan important recuperar-la
i conservar-la.
3x
4r
3
P E R A Q UÈ SE RVE IX... ?
5 On es troba la capa d’ozó? Investiga
b) Troba h (x) = f-1 % g (x).
a) f -1(x) =
3V
4r
4 D’acord amb el gràfic, quina temperatura
146 Considera les funcions:
f ( x) =
3
La capa d’ozó està situada a l’estratosfera.
Actualment es troba en una situació
de desgast greu a causa dels gasos
d’efecte hivernacle. AIxò provoca que
filtri menys raigs UVA, ocasiona el desgel
dels pols i causa problemes perquè
les plantes facin la fotosíntesi, etc.
Aquesta situació implica un dany enorme
en l’ecosistema i conseqüències horribles
per a la humanitat.
6 Si s’assumeix que la temperatura a nivell
del mar és de 20 °C, quina temperatura
hi deu haver, aproximadament, al cim
de l’Everest a 8 848 m d’altitud?
20 - 6 ? 8,848 = -33,09 °C
9
solucionari
AC T IVITAT S
REP T E
Triangles infinits
De manera similar al triangle de Sierpinski,
els triangles següents formen un patró compacte
en el qual les figures es repeteixen
infinites vegades.
1 Troba el terme general i calcula a8 i a10.
a) 1, 3, 5, 7, …
b)
3 7 11
,
,
,…
5 15 45
c)
3 1 -1 -3
, ,
,
,…
1 4 9 16
d) 0, 2, 6, 12, 20, …
a) a n = 2n - 1
a8 = 15
a10 = 19
4n - 1
b) a n =
5 ? 3 n-1
31
a8 =
5 ? 37
39
5 ? 39
a10 =
c) a n = n (n - 1)
a 8 = 56
Quantes vegades és més gran la zona verda
que la zona blanca?
-2n + 5
n2
-11
a8 =
64
d) a n =
Suposem que l’àrea del triangle gran mesura 1.
Escrivim, aleshores, l’equació següent:
1 = Averda + Ablanca
Calculem primer l’àrea verda.
3
3
1
3
1
1
+ ?
+ ?
?
+ ... =
4 16
4 16 16
4
3
1
1
= e1 +
+ 2 + ... o =
4
16
16
3
1
3 16
4
?
?
=
=
=
4
1
4 15
5
116
A verda =
Ablanca = 1 -
4
1
=
5
5
Per tant, l’àrea verda és 4 vegades més gran que
l’àrea blanca.
-15
100
a10 =
2 Pensa i escriu.
a) Una successió decreixent i fitada
inferiorment.
b) Una successió fitada superiorment
i inferiorment.
c) Una successió no fitada.
Resposta oberta. Per exemple:
a)
b)
1 1 1 1 1 1
, , , , , , ... "
2 3 4 5 6 7
" Successió decreixent i fitada
inferiorment per 0.
1 1 1 1
, , ,
, ... "
2 4 8 16
" Successió fitada superiorment per 0,5
i inferiorment per 0.
c) 1, -2, 3, -4, 5, -6, … "
" Successió no fitada.
P ENSA
PÀG . 227. Si el límit de la successió an és 3,
quin serà el límit de la successió an + 5?
I de 2 ? an?
Com que lim a n = 3, aleshores:
n"3
3 Usant la calculadora, troba el límit
de les successions.
a) a n = (-1)2n+4
d) a n = 0,2 n
b) an = n2
e) a n =
c) a n = n 2 - n 3
f ) an = e
lim (a n + 5) = 3 + 5 = 8
n"3
lim (2 ? a n) = 2 ? 3 = 6
n"3
a10 = 90
n+3
n
n
1
o -7
2
353