Taller 2 de límites y continuidad UdeA

TALLER DE LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es
discontinua
(a) f(x) =
(b) f(x) = x2 – 3x - 4
x–4
x+3
2
x +x-6
(c) f(x) =
x2 + x – 6 , si x - 3
x+3
1
, si x = - 3
(d) f(x) =
5 , si x 4
x-4
1 , si x = 4
(e) f(x) =
1 + x , si x ( - 2
2 – x , si – 2 ( x ( 2
2x - 1 , si x > 2
(f) f(x) =
x - 3 , si x 3
|x – 3|
0
, si x = 3
2. Determine si la función f es continua en los enteros, donde f está definida por:
f(x) =
|x – [|x|] | , si [|x|] es par
|x – [|x + 1|] | , si [|x|] es impar
3. La función f se define por f(x) =
lím
n(
4. Dado que f(x) =
2nx
¿En qué valores de x, f es discontinua?
1 - nx
x + a3 - a , si x 0 Calcule b, tal que f sea continua en x = 0
x
b
, si x = 0
5. Si f es continua en t, pruebe que lím f(t - h) = f(t)
h(0
6. Determine los valores de las constantes c y k que hacen que la función sea continua en
(-
)
(a) f(x) = 3x + 7 , si x ( 4
kx – 1 , si x > 4
(c) f(x) =
x
, si x ( 1
cx + k , si 1 ( x ( 4
- 2x , si x ( 4
(b) f(x) = kx – 1 , si x ( 2
kx2
, si x ( 2
(d) f(x) =
x + 2c , si x ( -2
3cx + k , si -2 ( x ( 1
3x – 2k , si x > 1
7. Determine todos los valores de x para los cuales sea continua la función dada
(a) f(x) = [|2/x|]
(b) f(x) = [|2x - 3|]
(c) f(x) = 1 – x + [|x|] – [|1 - x|]
8. Determine el máximo valor de k para el cual la función definida por f(x) = [|x2 - 2|] es
continua en el intervalo [ 3,3 + k).
9. Se indican una función f y un intervalo cerrado [a,b]. Determine si el teorema del valor
intermedio es válido para el valor de k dado. Si el teorema se cumple halle un número c
tal que f(c ) = k.
(a) f(x) = x2 + 5x – 6; [a,b] = [ -1,2]; k = 4. (b) f(x) = - ( 100 – x2 ; [a,b] = [0,8] ; k = - 8.
11. Suponga que f es una función para la cual o ( f(x) ( 1 si 0 ( x ( 1. Demuestre que si f
es continua en [0,1], hay por lo menos un número c en [0,1] tal que f(c) = c.
12. Demuestre que el teorema del valor intermedio garantiza que la ecuación
x3 – 4x2 + x + 3 = 0 tiene una raíz entre 1 y 2.
13. Sea C1 un círculo fijo con ecuación (x - 1)2 + y2 = 1 y un círculo C2 que se contrae, con
radio r y centro en el origen. P es el punto (0,r), Q es el punto superior de la intersección
de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le
sucede a R al contraerse C2; es decir, cuando r(0+?
14. Trace la gráfica de las curvas representadas por las ecuaciones y halle sus asíntotas
(a) y =
x3
(b) y =
2
(c) y = x
(d) y = 4x2
2
2
x -1
(x -4
(x -9
(x2 - 1
(e) y = x3 - 2x
(f) y = x2 + 2x + 1
(g) x2y2 – x2 + 4y2 = 0.
x2 – 3x – 4
|x - 1|
2
(h) y =
3x
(x+8)2
(i) y = x + √ x2 + 2x
15. Evalué los siguientes límites laterales
(a) Lím (x2 - 9
x(4- x – 4
x(3+ x - 3
(d) Lím
(b Lím (16 – x2
x-2
x(2- 2 - (4x – x2
(c) Lím
x–1
x(1- ( 2x – x2 - 1
(e) Lím [|x2|] - 1
x(1- x2 - 1
(f) Lím [|x|] - x
x(3- 3 – x
(g) Lím
[|x|] - 1
x(2+ [|x|] - [|x - 1|]
(h) Lím [|x2|] – [|x|]2
x(1+
x2 – 1
(i) Lím senx
x((+ x – (
Calcule los siguientes límites
1. Lím ( [|x|] + [|4 - x|] )
x(3
2. Lím ( 7 +
x(8
x-8
3. Lím (x - 1
x(1 sen(x
4. Lím 1 – cos3x
x(0 sen3x
-3
5. Lím 1 – cos2x
x(0 sen3x
6. Lím cos((x/2)
x(1 1 - (x
7. Lím sen(senx)
8. Lím
x(0
x
(x - 1
x(1
9. Lím
sen4x
x(0 cos3x – cos5x + 2sen4x
11. Lím
x(0
2
– a2
x
10. Lím (x - 1)2sen
3
x(1
x-1
12. Lím (1 - x)tan((x/2)
x(1
13. Lím x + x2 + …. + xn – n
x(1
x-1
14. Lím 1 + senx - cosx
x(0 1 + senpx - cospx
15. . Lím
16. Lím (x - (a + (x - a
x(1
m
n
17. . Lím
x(0
x -1
x -1
n
1+x -1
x
19. Lím (1 + mx)n – (1 + nx)m
x(0
21. Lím (
x(+
x2
x+(x+(x -(x)
x(a+
( x2 – a2
18. Lím xn + 1 – (n + 1)x + n
x(1
(x - 1)2
20. Lím
x3 + 1 - x)
x(
22. Lím
x( -
x3 + x -
x3 + 1 )
1
23. Lím
x(+
x+(x+(x
24. Lím (( mx + x2 - ( nx + x2 )
(x+1
x( -
25. Lím ((1 + x + x2 - (1 – x + x2 )
x(+
27. Lím (( x2 + 1 - x)
x( -
26. Lím ((1 + x + x2 - (1 – x + x2 )
x( -
28. Lím (( x2 + 1 - x)
x(+
29. Lím x + (x - 2
x(1
x-1