5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5 Título de la obra:Razonamiento Matemático 5 Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Daniel Octavio Saavedra Colmenares Asesor Académico: Daniel Octavio Saavedra Colmenares Diseño y diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Katherine Karen Rivera Escuel Corrección de estilo: Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck Fotografía: Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web Primera edición: Enero 2016 Tiraje: 2000 ejemplares Editado e impreso en talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426–4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] Impreso en Enero 2016 Copyright © 2016 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2011-14972 ISBN: 978-612-4022-05-0 PRESENTACIÓN Sin duda, con la mejor intención de facilitar y motivar el aprendizaje de la Matemática, se ha creado la asignatura de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO, independientemente de la asignatura de Matemática, pero el hecho de que no se pueda fijar un límite claro entre los contenidos de uno y otro, nos ha llevado por caminos que más bien nos están alejando de los sanos objetivos para los que ha sido creado. La naturaleza de la Matemática no nos permite separarla ni de la Lógica ni del razonamiento, en términos sencillos, no hay Matemática sin razonamiento ni Razonamiento Matemático sin Matemática. Entonces, siempre que nos hemos propuesto hacer textos con este título, nos hemos visto en apuros, primero sobre qué contenidos incluir y segundo, sobre cómo diferenciarlo de la Matemática propiamente dicha. Por todo ello, hemos optado por incluir temas que no figuran usualmente dentro de los contenidos del curso de Matemática y, por otro lado, los temas que más estrategias proveen a la resolución de problemas. En lo que respecta al enfoque, nos hemos centrado en el raciocinio como el recurso más poderoso en la resolución de problemas antes que el aprendizaje de las fórmulas y reglas. Con respecto a la Primera Edición, esta edición contiene 24 capítulos con una nueva estructura: Parte teórica, Resolviendo con el profesor, Reforzando y Tarea. En la parte teórica se le proporciona, de un modo práctico y didáctico, los criterios que debe tener en cuenta el estudiante para resolver los problemas del capítulo. Resolviendo con el profesor consta de 15 problemas, 8 de los cuales están resueltos a modo de ejemplo y los 7 últimos quedan propuestos. Esta parte del capítulo es para que el profesor aproveche en dar al estudiante los alcances necesarios para que aplique en los problemas siguientes. Tiene la opción de aclarar la resolución usando lo que está en el texto o resolver por otros métodos, incrementando así las estrategias del estudiante. Los recursos que se utilizan en la resolución de los problemas son fundamentalmente las cuatro operaciones y hemos evitado en lo posible el uso de fórmulas, teoremas y propiedades complejas que impliquen conocimientos propios de la Matemática. Reforzando contiene 10 preguntas con 5 alternativas, que el estudiante debe resolver y luego de algún tiempo el profesor podrá orientar la resolución de los problemas que no hayan podido resolver los estudiantes. Las claves de respuesta de los problemas se encuentran en la última página del texto. La Tarea consta de 10 preguntas, similares a los resueltos, para que el estudiante refuerce sus conocimientos en su casa y debe traer resueltos en su cuaderno en la siguiente clase. El profesor aprovechará para esclarecer las dificultades que pudieron encontrar los alumnos con los problemas de la tarea. El criterio que hemos seguido en la elaboración de este trabajo es presentar la Matemática desde el ángulo de la resolución de problemas con los recursos más elementales con las que cuenta cualquier estudiante del grado, poniendo énfasis en el aspecto lógico y el sentido común, con el objetivo de que el estudiante desarrolle su capacidad de análisis y raciocinio, en sí, las capacidades lógico matemáticos. EDITORIAL INGENIO YHO está empeñado en hacer que el aprendizaje de la Matemática no sea un privilegio de pocos, creemos que cualquier estudiante está en la capacidad de desarrollar exitosamente las estrategias matemáticas para resolver los problemas de la Matemática elemental, siempre que se le oriente desde un punto de vista de la lógica, el sentido común y el aspecto lúdico. Esperamos que esta obra contribuya a lograr los objetivos que nos hemos propuesto, para el cual consideramos que la labor docente del maestro de Matemática es fundamental. LOS EDITORES CONTENIDO TEMAS CAPÍTULOS N° PÁGINA Capítulo 01 RAZONAMIENTO LÓGICO 7 Capítulo 02 ORDEN DE INFORMACIÓN 14 Capítulo 03 CERTEZAS 24 Capítulo 04 RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO 30 Capítulo 05 ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES 37 Capítulo 06 FRACCIONES 44 Capítulo 07 TANTO POR CIENTO 51 Capítulo 08 CONTEO DE FIGURAS 58 Capítulo 09 PLANTEO DE ECUACIONES I 67 Capítulo 10 MÉTODOS OPERATIVOS 73 Capítulo 11 PROBLEMAS DE EDADES 79 Capítulo 12 PROBLEMAS DE MÓVILES 85 Capítulo 13 OPERADORES MATEMÁTICOS 92 Capítulo 14 CRONOMETRÍA 99 Capítulo 15 SUCESIONES 108 Capítulo 16 SERIES 115 Capítulo 17 ANÁLISIS COMBINATORIO 121 Capítulo 18 ANÁLISIS COMBINATORIO II 126 Capítulo 19 PROBABILIDADES 132 Capítulo 20 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 138 Capítulo 21 PROYECCIÓN Y DESARROLLO DE SÓLIDOS 145 Capítulo 22 RAZONAMIENTO ANALÍTICO 152 Capítulo 23 PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES 162 Capítulo 24 PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 171 CLAVE DE RESPUESTAS 180 5 Capítulo RAZONAMIENTO LÓGICO 01 En este capítulo encontrarás interesantes ejercicios en donde tendrás que poner en práctica tu habilidad e ingenio. En algunos de ellos , utilizarás conocimientos elementales de aritmética; en otros, un modo de pensar lógico. LA TORRE DE HANOI Juego inventado por el mátemático francés Édouard Lucas (1842-1891). Empezó a venderse en Francia en 1883 asociado a una leyenda india. En esta leyenda se cuenta que en el Templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso sesenta y cuatro discos de oro puro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los bramanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño. Cuando hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja su trabajo estará terminado, y la torre y el templo se derrumbarán, y con un gran trueno, el mundo se desvanecerá. 1 2 A 3 BC Aquí el juego se muestra con tres discos. Se tiene que llevar los tres discos al poste 3 y dejarlo así como está en el 1. Eh aquí los movimientos: Juego 0 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 1 ABC BC C C A A - POSTES 2 B AB AB B - 3 A A C C BC ABC Con 3 discos se requieren 23 – 1 = 7 movimientos. Con n discos se necesitan 2n – 1 movimientos para llevar todos los discos de un poste a otro sujetándose a las reglas de juego. RESOLVIENDO CON EL PROFESOR Problemas con cerillos 01 ¿Cuántos cerillos se deben mover, como ⇒ mínimo, para obtener la igualdad correcta? La raíz de uno es igual a uno. Rpta.: Un cerillo 02 ¿Cuántos cerillos se deben agregar, como Resolución: mínimo, para formar un cubo perfecto? 7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: Luego: Hace 28 semanas y 4 días fue sábado. Hoy es Miércoles. Además: 300 7 28 42 20 14 –6 =2 3 Se forma el número 8 porque es un cubo perfecto. Rpta.: 3 cerillos Dentro de 42 semanas y 6 días será: Miércoles + 6 días ⇒ será Martes Rpta.: Martes Relación de tiempo Relación de Parentesco Se debe de tener en cuenta la siguiente línea de tiempo considerando sus respectivos valores que se muestran a continuación. 05 En una Institución Educativa muy cercana Anteayer Precede Anterior Ayer Hoy –2 –1 0 Siguiente Subsiguiente Pasado Posterior Mañana Mañana +1 +2 trabajan tres padres y tres hijos. ¿Cuál es el menor número de personas que puede trabajar en esa Institución? Resolución: Padre Abuelo Padre Hijo Nieto Hijos Rpta.: 4 03 Si el ayer de mañana de pasado mañana de ayer de mañana del siguiente día será Jueves. ¿Qué día será el anteayer del día que precede de pasado mañana del subsiguiente día? Resolución: 06 Betsy ve en la vereda a un señor y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Betsy? – 1 + 1 + 2 – 1 + 1 + 1 = Jueves Resolución: Busquemos identificar cada persona desde el final. + 3 = Jueves “El único hermano de ese hombre es el padre Reemplazamos por sus respectivos signos: 0 = Lunes de la suegra de mi esposo”. Hoy es Lunes Piden: – 2 – 1 + 2 + 2 = Mañana Si hay es Lunes entonces mañana será Martes. Rpta.: Martes 04 Hace 200 días fue sábado, ¿qué día de la semana será dentro de 300 días? Resolución: mi madre mi abuelo Rpta.: Su abuelo Distribución Numérica 07 Hallar un número en el círculo central, de tal manera que los números de cada recta sumen 15, los números no se deben repetir. (PUC-97) Sabemos: cada 7 días se repite el mismo día. 200 7 14 28 60 56 –4 8 2 4 3 RAZONAMIENTO LÓGICO Resolución: 1 2 3 4 5 03 Del gráfico anterior. ¿Cuántos cerillos se de- ben mover, como mínimo, para obtener 10 cuadrados? 6 Como las parejas suman 7, el número central debe ser 8. Rpta.: 8 08 ¿Cuál es la menor cantidad de números que debemos cambiar de posición en la figura para que las sumas de los números, en los círculos unidos por una línea recta, sean iguales y además sean la máxima suma posible? (UNMSM 07 -II) 29 26 14 23 17 20 11 29 26 C) 3 D) 4 E) 5 04 Del gráfico anterior. ¿Cuántos cerillos se de- ben mover, como mínimo, para obtener 15 cuadrados? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 05 El mañana de pasado mañana de hace 50 días fue lunes. ¿Qué día será el ayer del anteayer de dentro de 500 días? B) Domingo E) Miércoles C) Martes 06 Hay 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza de 2 platillos, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para ubicar la bola defectuosa? (UNI 05-II) Resolución: 23 B) 2 A) Lunes D) Sábado 11 20 A) 1 14 A) 1 17 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 07 Se tiene una torre con cuatro discos (A, B, C y Rpta.: 4 REFORZANDO D) y tres ejes (1, 2 y 3) D Del gráfico: eje 1 C B A eje 2 eje 3 Se desea trasladar los cuatro discos, del eje 1 al eje 3 con el mínimo de movimientos. Sabiendo que se puede mover un disco a la vez y nunca un disco de mayor diámetro puede estar sobre otro de menor diámetro. Indique la alternativa que consigna los cuatro últimos movimientos (puede emplear el eje 2). (UNI 06-I) 01 ¿Cuántos cerillos se debe quitar, como mínimo, para obtener 2 cuadrados? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 02 Del gráfico anterior. ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para obtener 3 cuadrados iguales? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) B (de 1 a 3) D(de 2 a 1), C(de 3 a 1), D(de 1 a 3) B) B (de 1 a 3), D (de 2 a 1), C (de 1 a 3), D(de 2 a 3) C) B (de 2 a 3), D (de 1 a 2), C (de 1 a 3), D(de 2 a 3) D) B (de 2 a 3), D (de 1 a 2), C (de 2 a 3), D(de 1 a 3) E) B (de 1 a 3), D (de 2 a 1), C (de 2 a 3), D(de 1 a 3) 9 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 08 Un soldado recibe la orden de avanzar 6 pasos y retroceder 4, y repetir este proceso en forma recta. El soldado acata la orden pero se detiene al llegar a un punto situado a 28 m de su punto de partida. Si cada uno de sus pasos equivale a 70 cm. ¿Cuántos pasos habrá dado? (UNMSM 07-II) A) 200 B) 168 C) 192 D) 176 12 Sobre las casillas de un tablero grande de ajedrez, deben colocarse granos de arroz, en una cantidad que obedezca a una ley de formación secuencial, como se muestra en la figura. 3 E) 184 tal forma que las filas, columnas y diagonales suman 15. Los dígitos son del 1 al 5 y no se repiten en una fila o columna. Determine que números ocupan los casilleros. (UNI 08-I) 4 U N I N 2 5 A) 3, 4, 2 D) 4, 3, 5 I 3 B) 3, 5, 2 E) 4, 5, 3 C) 3, 5, 4 10 Una curiosa máquina tiene las teclas A y B y una pantalla. Cuando en la pantalla aparece el número X y se presiona la tecla A, el número X de la pantalla es sustituido por 2X + 1; y si se presiona la tecla B, el número X de la pantalla es sustituido por 3X – 1. Si en la pantalla está el número 5. el mayor número de dos cifras que se puede obtener si presionamos las teclas A o B en forma secuencial es. (UNMSM 09-II) A) 86 B) 92 C) 95 D) 83 E) 90 11 La siguiente figura representa focos numerados del 1 al 9 que tienen la siguiente propiedad: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “Si se toca un foco, los de su misma fila y columna cambian de estado” (es decir cuando están apagados se encienden y si están encendidos se apagan). Si al comienzo todos están apagados y se tocan sucesivamente los focos 1, 5 y 7, ¿qué focos quedan prendidos después del tercer toque? (PUCP-01) A) 2, 6, 9, 5 y 4 C) 3, 6, 9, 5 y 4 E) 5, 9, 6, 7 y 4 10 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ? La cantidad de granos de arroz que deben colocarse en la casilla donde se encuentra el signo de interrogación es un número comprendido entre (UNAC 07-II) 1 U 9 12 15 18 21 24 48 45 42 39 36 33 30 27 09 El cuadro, tiene una distribución numérica, de 5 6 B) 3, 6, 9, 1 y 4 D) 5, 9 y 7 A) 185 y 190 D) 175 y 180 B) 170 y 175 E) 180 y 185 C) 190 y 195 13 El tercer y último día de un mes fueron sábado y jueves, respectivamente. ¿Qué día de la semana fue 18 de abril en ese año? (UNMSM 08-I) A) Sábado D) Jueves B) Domingo E) Lunes C) Miércoles 14 Coco trataba muy bien a la suegra de la madre del hijo de su hermano, porque era su: (UNFV 05-I) A) tía D) abuela B) madre E) cuñada C) hermana 15 Cuántas copas hay que mover como mínimo para intercalar las copas llenas con las vacías? (UNE 83-B) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RAZONAMIENTO LÓGICO 05 ¿Cuál es la diferencia de los productos de los TAREA valores opuestos en las diagonales? (PUC 03-I) 01 Escriba en los cuadrados en blanco los núme- ros enteros del 1 al 7 sin repetir ninguno, de manera que la tercera fila sea la diferencia de las otras dos. ¿Cuál es la suma de las cifras del minuendo? (UNMSM-87) – A) 24 B) 16 C) 11 D) 10 E) 8 06 En el esquema se muestran cuatro cuadrículas de 2x2. Escriba en los cuadrados sombreados y en blanco, enteros del 1 al 4 de manera que ninguno se repita en la misma fila, columna o cuadrícula. ¿Cuánto suman los números de los cuadrados sombreados? (UNMSM 07-II) 1 2 8 A) 9 B) 11 C) 8 D) 12 3 4 E) 10 02 ¿Cuál es el menor número de barras que deben retirarse para que queden cinco cuadrados iguales? (UNE 04-I) 4 A) 6 B) 5 C) 8 D) 7 E) 9 07 En la figura se muestran 5 monedas de S/.2 colocadas sobre una mesa. ¿Cuál es el máximo número de monedas de S/. 2 que pueden ser colocadas tangencialmente a ellas? (UNMSM 07-II) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 03 Al arrojar dos dados obtenemos la suma de 11. Indique qué pares de caras laterales no podrían observarse simultáneamente. (UNI 06-I) A) B) C) D) A) 10 B) 11 C) 13 D) 14 E) 12 08 Jaime dice “No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre”. Con la expresión ese hombre, él se refiere a: (UNE 01-II) E) A) su padre D) su hijo Enunciado Dado un cuadrado de tres columnas y tres filas (nueve casilleros) ubicar los números del 1 al 9. En las esquinas deberán estar todos los números pares. Además, las sumas de los números ubicados en las horizontales, verticales y diagonales, el resultado es el mismo (PUC 03-I) 04 ¿Cuánto es la suma de los valores opuestos B) el mismo E) su primo C) su tío 09 ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para obtener la igualdad correcta? A) 12 B) 27 C) 6 D) 4 E) 18 10 Si el mes de febrero en un determinado año (en las esquinas) de las diagonales? (PUC 03-I) tiene 5 domingos. ¿Qué día de la semana es el 14 de febrero? (UNAC-05 II) A) hay dos soluciones B) 40 D) 12 E) 15 A) Martes D) Domingo C) 10 B) Viernes E) Sábado C) Lunes 11 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 En una casa se encuentran 3 hermanos, 3 pa- SEMINARIO 01 En la figura 1 se muestra un grupo de aviones en vuelo. De pronto, los pilotos reciben la orden de formar la figura 2. ¿Cuántos aviones como mínimo deberán cambiar de posición? (UNMSM 07-II) Fig. 1 A) 8 B) 7 dres, 3 hijos, 3 tíos, 3 sobrinos, y 3 primos. ¿Cuál es el número mínimo de personas reunidas? (UNE 85-B) A) 15 D) 9 seis cuadrados? (UNFV-04) D) 10 E) 7 caramelos; en unas hay sólo caramelos de limón; en las otras, sólo de menta. La cantidad está indicada en cada caja. Si al vender dos de estas cajas quedan tantos caramelos de limón como de menta, ¿cuáles son las dos cajas que deben ser vendidas? E) 6 02 ¿Cuántos fósforos debes agregar para formar C) 6 06 En la figura, se muestran cajas que contienen Fig. 2 C) 10 B) 12 46 Caja 1 31 Caja 2 38 Caja 3 25 Caja 4 27 Caja 5 32 Caja 6 A) Caja 3 y caja 4 C) Caja 1 y caja 4 E) Caja 1 y caja 5 B) Caja 2 y caja 6 D) Caja 2 y caja 3 Enunciado 1 Asumiendo que se tienen 4 focos, si: A) 6 B) 4 C) 5 D) 7 E) 3 03 ¿En qué sentido girarán las poleas C y F si la polea “A” lo hace en sentido antihorario? (UNFV-06) c A E D - Al tocar un foco, entonces cambian de estado (prendidos o apagados) los no adyacentes, pero el foco tocado se mantiene en su estado. (PUC 04-I) 07 Si D y C están prendidos, ¿cuál (es) se debe (n)? a F A) horario-horario B) antihorario - antihorario C) antihorario - horario D) horario - no gira E) horario - antihorario 04 Lilia se encuentra con su prima Carmen y se pone a charlar. A los pocos minutos llega Marlene que es prima de Carmen. Se puede afirmar que: (UNE 90-A) A) Marlene es tía de Lilia B) Lilia puede ser prima de Marlene C) Marlene puede ser madre de Lilia D) Carmen es mayor que Lilia E) Lilia es menor que Marlene 12 - Los focos están en este orden: DABC tocar para que todos estén apagados? A) A y C D) B B) C y D E) A y B C) A 08 Si D y C están prendidos y luego se toca D, A, B, C, en este orden, se deduce que: A) Sólo queda prendido A B) Quedan prendidos D, B, C C) Todos quedan prendidos D) Quedan apagados A y B E) Todos quedan apagados 09 Si sólo “A” está prendido, ¿cuál (es) se debe (n) tocar para que todos estén prendidos? A) A D) A y C B) B y C E) B y C C) C RAZONAMIENTO LÓGICO Enunciado 2 Son verdaderas: Julio y Raul han creado un juego que consiste en transformar un número en otro siguiendo una secuencia de instrucciones. Cada instrucción viene determinada por una operación que sólo puede ser: A) Sólo 1 D) Todas B: borrar el último dígito de la derecha del → 3, o número 35 B 90 D: duplicar el número 45 → D Por ejemplo, si aplicamos una secuencia de 4 instrucciones BDDB a 65 obtendremos 2, es decir: (PUC-08-I) 65 → 6 → 12 → 24 → 2 B D D B 10 Considerando las secuencias de cuatro ins- trucciones que pueden transformar 454 en 18, afirmamos: (PUC-08-I) 1. Si comienza con D, entonces debe tener dos B. 2. Si comienza con B, entonces necesariamente termina con B 3. Si comienza con B, el número de B’ s y de D’s es el mismo B) Sólo 2 E) Ninguna 13 MpN se lee: “M es preferido a N”; MpL y NpM ⇒ NpL. (PUC-01) Si: - ApB - XpY - BpY - YpC Entonces: I) ApX II) XpC A) Sólo II D) Sólo II y III B) Sólo 2 E) Sólo 1 y 3 C) Sólo 3 11 Considerando las secuencias de cuatro instrucciones que pueden transformar 454 en 18, y comienzan con D, afirmamos: (PUC-08-I) 1. Existen cadenas con igual número de B’s y D´s. 2. Toda cadena termina en D. 3. En toda cadena las D’s y B’s se intercalan. Son verdaderas: A) Sólo 1 D) Sólo 1 y 2 B) Sólo 2 E) Sólo 1 y 3 C) Sólo 3 12 Considerando las secuencias de cuatro ins- trucciones que pueden transformar 454 en 18, afirmamos: (PUC-08-I) 1. Existen cadenas que tienen dos B’s al comienzo 2. Existen cadenas que tienen tres B’s 3. Existen cadenas que tienen tres D’s. III) ApY IV) BpA B) Sólo III C) Sólo I y II E) Sólo II, III y IV 14 En la figura mostrada, el número en cada cír- culo representa la diferencia positiva entre los números de los dos círculos sobre los que se apoya. Si en la fila de la base todos los números tienen dos cifras y se emplean todas las cifras del 1 al 8, hallar la suma de los tres números que faltan en la base. (UNMSM 08-I) 10 13 23 35 58 Son verdaderas: A) Sólo 1 D) Sólo 1y 2 C) Sólo 3 A) 138 B) 140 C) 144 ← base D) 130 E) 135 15 En una pizarra, se observa este mensaje: De- finimos la siguiente relación en el conjunto H por: «x señala a su hermana y». Y observamos al conjunto H constituido solamente por los elementos K, L, M, N, S, R; con los siguientes mensajes adicionales: (UNFV-04) K→L M→S L→K N→S R→L ¿Cuáles son las mujeres y cuáles son los varones en el conjunto H? A) Las mujeres son K, L y S; los varones son M, NyR B) Las mujeres son K y L; los varones son M, N, RyS C) Es una pregunta imposible D) Todos los elementos de H son mujeres E) Todos los elementos de H son varones 13 Capítulo 02 ORDEN DE INFORMACIÓN INTRODUCCIÓN • D y E juntos Constantemente tenemos al frente problemas para cuya solución debemos analizar un conjunto de datos que pueden estar disponibles o hay que buscarlos en algún lado, luego ordenarlos, organizarlos y finalmente tomar la decisión dando así solución al problema. Por ejemplo, la decisión de elegir una carrera universitaria es un problema no tan fácil de resolver. Primero, la persona tiene que saber qué tipo de trabajos le gusta realizar, indagar qué carreras se ofrecen en el país, qué universidades existen y cuánto cuesta estudiar en ellas, qué posibilidades tiene de aprobar el examen de admisión etc. Una vez recabada toda la información necesaria tomará una decisión eligiendo una o varias posibilidades y al final ejecutará una de ellas dependiendo de los factores adversos que haya superado. • A y B separados Los problemas de ordenamiento de información, tema de este capítulo, consisten en organizar y ordenar varios elementos en base a la información de relaciones parciales entre ellos. Abordaremos los siguientes tipos de ordenamiento: ordenamiento lineal, circular, en el plano y en el tiempo. 1. Ordenamiento lineal Consiste en ordenar los elementos en forma lineal, ya sea horizontal o verticalmente, según el tamaño: ascendente o descendentemente, según el orden cronológico de ocurrencia, etc. Ejemplo 1: Seis personas A, B, C, D, E y F están sentadas en 6 asientos en fila. Se sabe que: • A y B no están juntos • C y F están separadas por dos personas • D está junta y a la derecha de E • E está a la izquierda de F y B a la derecha de C. ¿Cuál es el orden en el que están sentadas? Resolución: Primero elaboramos un cuadro de 6 casilleros donde se ubicarán los datos. Izquierda 14 Derecha • C y F separados por dos personas ocupan los casilleros oscuros y tienen 3 posibilidades: 1. 2. 3. Las posibilidades 1 y 3 no admiten distribuir a E y D juntos y a A y B separados, por lo tanto sólo queda la posibilidad 2. C. F. E D A. B. Teniendo en cuenta E a la izquierda de F y B a la derecha de C se obtiene: A C E D F B 2. Ordenamiento circular Consiste en distribuir elementos alrededor de un círculo en base a las informaciones que se brindan. Ejemplo 2: Seis personas A, B, C, D, E y F están sentadas equidistantemente alrededor de una mesa circular. Descubra cómo están distribuidos en base a los siguientes datos: – C y D están frente a frente. – Entre B y F hay una persona que no es A ni E – A está frente a F y a la derecha de C. Resolución: CyD frente a frente C D Entre B y F sólo puede estar C o D B, F C oD A está frente a F y a la derecha de C. Si C estuviera entre B y F, no podría estar A a su derecha. ORDEN DE INFORMACIÓN Entonces D está entre B y F. Ubicamos F y al frente, A. Como A está a la derecha de C, éste está a la izquierda de A. Luego: F E D C B A ALGUNAS CONSIDERACIONES 1. Extraer todas las conclusiones útiles Supóngase que Mario, Isaac y Julio tienen cada uno una mascota, un perro, un gato y un loro, aunque no necesariamente en ese orden. El problema radica en descubrir qué mascota tiene cada uno a partir de los siguientes datos. (1) Isaac es Tío del dueño del loro. (2) Julio y el dueño del gato visitaron a Isaac. De estos datos debemos extraer todas las conclusiones útiles. De (1): a) Como Isaac es tío del dueño del loro, entonces él no es dueño del loro. De (2): b) De la frase “Julio y el dueño del gato” se deduce que Julio no es dueño del gato. c) También se deduce que Isaac no es dueño del gato, más bien es visitado por él. 2. Usar la tabla de decisiones Poniendo las tres conclusiones en una sola tabla, resulta. P G L M I J X X X En esta tabla se concluye que Isaac ni Julio son dueños del gato, entonces lo es Mario. Además, si Mario es dueño del gato ya no puede ser del perro ni del loro. Esto se muestra en la tabla siguiente. P G L M X V X I X X J X En esta tabla se observa que Isaac no es dueño del gato ni del loro, entonces lo es del perro. Además, si Isaac es dueño del Perro, Julio ya no puede serlo. Véase la tabla. P M X I V J X G L V X X X X Para Julio, sólo le queda ser dueño del loro. P M X I V J X G V X X L X X V Por lo tanto, Mario tiene un gato, Isaac un perro y Julio un loro. La tabla permite visualizar la información de manera concreta y ordenada. Vamos a representar en una tabla cada una de las deducciones a), b) y c) a) P G L M I J c) X b) P G L M I J X P G L M I J X 15 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Aníbal, Valerio, Gerardo y José viven en un edificio de 4 pisos y cada uno en un piso diferente. Resolución: AJ Con los siguientes datos averigua en qué piso vive Valerio • Valerio y Gerardo siempre usan ascensor. • Aníbal no vive en el primer piso ni en el cuarto. • Gerardo vive más abajo que Aníbal. Resolución: V A VyG A G J Rpta.: 4° piso RP CAJ CA JRP CAJRP JR Rpta.: Carla 04 Tres amigas Ana, Beatriz y Carmen, que vi- ven en diferentes lugares: Ica, Lima y Cusco, practican un deporte diferente. Sabiendo que: (UNSCH-09-I) • Ana no vive en Ica, Beatriz no vive en Lima. • La que vive en Lima practica el vóley • La que vive en Ica no practica canotaje. • Beatriz no practica natación charlando alrededor de una mesa circular. Adrián no está junto a Alipio. Si Alcides está a la derecha de Adrián, ¿quién está a la derecha de Andrés? Se puede afirmar. A) Ana practica canotaje. B) Beatriz practica voley. C) Carmen vive en Cusco. D) Ana vive en el Cusco y practica canotaje. E) Carmen vive en Ica y practica natación. Resolución: Resolución: 02 Andrés, Adrián, Alcides y Alipio están Si Adrián con Alipio no están juntos entonces están frente a frente. Nombres Alcides está a la derecha de Adrián. A B C Andrés Adrián Alipio Adrián Alipio Alcides A la derecha de Andrés está Adrián. Rpta.: Adrián 03 En una competencia entre cinco amigas, Antonia llega antes que Juana; Ruth, antes que Pilar, Antonia, después que Carla y Ruth, después que Juana. ¿Quién ganó la carrera? (UNE-08) Lugares I L C X X Deportes V C N X X Beatriz no vive en Lima ⇒ no practica vóley. Del cuadro, Beatriz practica canotaje, Ana ni Carmen practican canotaje, ⇒ una de ellas vive en Ica y como Ana no es ⇒ Carmen vive en Ica. Luego: Nombres A B C Lugares I L C X V X X X V V X X Deportes V C N V X X X V X X X V Rpta.: E 16 ORDEN DE INFORMACIÓN Enunciado Resolución: Z, P En un campeonato participan 5 equipos. Se sabe que el equipo azul tiene 4 participantes más que el rojo, el equipo verde tiene 3 participantes más que el rojo, el equipo amarillo tiene 4 participantes menos que el verde, el equipo negro tiene 2 participantes menos que el verde. (PUC 04-I) 05 Si entra un equipo blanco con diferente número de participantes que los anteriores, ¿entre qué equipos estaría? (PUC 04-I) Resolución: F, R F, R Los extremos y el centro ya están ocupados. Rpta.: Sólo 4 08 En la casa de Roberto viven un gordo, un Am R N V E R D E Az Estaría en el espacio vacío. Rpta.: Negro y Verde 06 Si entre todos los equipos, incluyendo el flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno está siempre alegre, otro colérico y el otro triste. Se sabe que el gordo nunca se le ve reír, el enano está siempre molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces es cierto que: (UNSCH 09-I) A) El gordo es colérico B) El gordo para alegre blanco, hay 69 participantes. ¿cuántos corresponden al equipo verde? C) El enano para triste Resolución: E) El flaco para triste A R N B V AZ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 69 6n + 15 = 69 n=9 Verde: n + 3 = 9 + 3 = 12 Rpta.: 12 07 Zully, Carmen, Pilar, Flavia y Rosa están sentadas en una fila y se sabe que Zully y Pilar están sentadas lo más distante posible y Flavia y Rosa estan sentadas lo más cercano posible. Entonces: (PUC-00) 1. Zully está sentada al costado de Carmen 2. Pilar está sentada al costado de Carmen 3. Flavia está sentada al centro 4. Carmen no está sentada al centro Son necesariamente verdaderas: A) Sólo 4 D) 2 y 3 B) Sólo 2 E) 3 y 4 C) Sólo 3 D) El flaco para alegre Resolución: A C T G X X F X E X V X ⇒ A C T G X X V F V X X E X V X Rpta.: D 09 Cuatro amigos Ricardo, Manuel, Alejandro y Roberto, practican cada uno un deporte diferente. I. Ricardo quisiera jugar básquet en lugar de fútbol. II. Manuel le pide prestadas las paletas a Roberto. III. Alejandro nunca fue un gran nadador. ¿Qué deporte práctica Alejandro? (UNSCH 09-I) Resolución: De I : Ricardo juega fútbol De II : Manuel juega tenis 17 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO De III : Alejandro no practica natación B F N T Ri X V X X M X X X V A V X X X Ro X X V X Enunciado 1 1 Rpta.: E 2 3 4 5 En las 2 primeras casillas se colocan vocales diferentes y en los 3 siguientes, dígitos distintos entre sí, diferentes de cero y ordenados de menor a mayor. ¿Cuántos “arreglos” se pueden hacer si se cumplen las condiciones de cada una de las siguientes preguntas? (PUC 08-I) 03 En la casilla 1 se escribe A y en la casilla 5 el REFORZANDO dígito 4. 01 En una mesa circular están sentados 5 jugadores de poker; Alan, Alejandro, Alberto, Fernando y José. Se sabe que Alan reparte las cartas empezando por el jugador a su derecha. Su amigo Alberto está a su lado. Se pide determinar la ubicación de cada jugador. Información: (UNI 07-I) I. Fernando está al lado de José. II. Alejandro es el tercero en recibir las cartas y está entre Alberto y José. A) 12 B) 18 C) 6 D) 8 E) 10 04 En la casilla 3 se escribe el dígito 7. A) 40 B) 25 C) 30 D) 20 E) 50 Enunciado 2 El siguiente esquema muestra la distribución de ciertas casas en una cuadra, las cuales van a ser alquiladas por “A”, “B”, “C”, “D” y “E” (PUC-00) 3 2 1 Para resolver el problema: A) La información I es suficiente B) La información II es suficiente C) Es necesario utilizar ambas informaciones 5 6 D) Cada información por separado es suficiente Se cumple las siguientes condiciones: E) Las informaciones dadas son insuficientes. • “A” alquilará la casa 6. • “D” y “E” alquilarán casas ubicadas en distintas aceras • “B” y “C” serán vecinos y “B” sólo tendrá como vecino a “C” 02 Seis amigas Ana, Bety, Celia, Doris, Eva y Lilia viven en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: (UNI 05-I) • Eva vive entre Bety y Doris. 05 “D” y “E” podrán alquilar simultáneamente las • Lilia no vive en el último piso • El cuarto piso está ocupado por Ana • Ana vive entre Doris y Lilia. Se puede afirmar que: II. Bety vive en el tercer piso III. Doris no vive en el tercer piso IV. Bety vive en el primer piso A) Sólo I D) Sólo I y IV B) Sólo I y II E) I, II y III casas: A) 2 y 5 D) 2 y 3 B) 1 y 3 E) 4 y 5 C) 1 y 5 06 ¿Qué afirmación es necesariamente verdadera? I. Celia vive en el sexto piso 18 4 C) Sólo I y III A) “B” y “C” alquilan las casas 2 y 3 B) “B” y “C” alquilan las casas 1 y 2. C) “A” alquila una casa ubicada en la misma acera que “B” D) “A” y “C” alquilan casas ubicadas en diferentes aceras. E) Ninguna afirmación es verdadera. ORDEN DE INFORMACIÓN 07 Si “D” alquila la casa 3, ¿qué afirmaciones son necesariamente verdaderas? I. “C” alquila la casa 2 II. “E” alquila la casa 4 III. “E” alquila una casa en una acera opuesta a la de “B” A) I y II D) Todas B) I y III E) Ninguna C) II y III 08 Si “E” se convierte en vecino de “C”, ¿qué afirmación es falsa? I. “B” y “E” están ubicados en la misma acera. II. “D” y “A” están ubicados en la misma acera. III. “D” está exactamente al frente de “C” A) Sólo I D) Todas B) I y II E) Sólo III C) I y III 09 Si “D” está ubicada en una acera opuesta a la casa que alquila “A”, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá distribuir el alquiler?. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Luis, Juan , Carlos y Francisco tienen diferentes oficios, ingeniero, matemático, mecánico y biólogo; usan uniforme: amarillo, rojo, azul y verde; se sabe que: (UNSCH 09-I) • El ingeniero derrotó a Juan en una partida de ajedrez. • Carlos y el mecánico juegan básquet con el rojo y el azul. • Luis no se lleva bien con el que viste de azul. • El matemático usa el uniforme amarillo. ¿Qué oficio tiene Carlos? A) Matemático B) Mecánico C) Ingeniero D) Biólogo E) Profesor de lenguaje 11 A Jéssica, Roxana, Vanessa y Pilar, les dicen: “La flaca”, “La Chata”, “La Coneja” y “La Negra”, aunque a ninguna de ellas en ese orden. Se sabe que: “La coneja” le dice a Pilar que “la Chata” está con gripe. Roxana, “la negra”, es amiga de “la chata” ¿Quién es “la chata”? (UNMSM-05-I) A) Vanessa D) Jessica B) Pilar E) N.A. C) Roxana 12 Cuatro parejas de esposos se reúnen para jugar ajedrez. Como sólo hay un tablero, ellos acuerdan lo siguiente: (UNMSM 09-II) • Ninguno de ellos puede jugar dos partidas seguidas • Marido y esposa no juegan entre sí • En la primera partida, Celina juega con Alberto • En la segunda, Ana juega con el marido de Julia. • En la tercera, la esposa de Alberto juega con el marido de Ana. • En la cuarta, Celina juega con Carlos. • En la quinta, la esposa de Gustavo juega con Alberto. ¿Quién es la esposa de Raúl y quién es el marido de Elena? A) Celina y Alberto C) Julia y Gustavo E) Celina y Gustavo B) Ana y Carlos D) Ana y Alberto 13 Alberto, Bruno y Carlos tienen una camiseta roja, blanca y azul, pero no necesariamente en este orden. Se sabe que Bruno no tiene camiseta azul, Alberto no posee camiseta blanca y Carlos tiene camiseta roja. ¿Cuál es el color de la camiseta de Bruno? (UNE-08) A) rojo B) azul C) blanco D) blanquirrojo E) blanquiazul 14 Norma, Helen, Betty y Gaby están casadas con David, Bruno, Juan y Néstor, pero no necesariamente en el orden mencionado. Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra. Helen está casada con Juan. La esposa de David no es Norma ni Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos? (UNI 08-II) A) Betty - Bruno C) Norma - Bruno E) Gaby - Néstor B) Betty - Néstor D) Gaby - Bruno 15 A Pedro, Ana, Rosa y Luis se les asigna a cada uno un número entero y diferente, del 7 al 10. Se sabe que Ana no tiene un número par, pero sí que tiene un número mayor que el de Luis; y que Pedro y Luis tienen números pares. Entonces, es cierto que. (UNMSM 07-I) A) Rosa tiene el número 8 B) Rosa tiene el número 9 C) Ana tiene el número 7 D) Pedro tiene el número 10 E) Pedro tiene el número 8 19 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Enunciado 1 TAREA 01 Gerardo es menor que Ernesto, pero mayor que Oscar, Roberto es mayor que Oscar y Oscar es mayor que José, ¿Quién es el menor? (UNFV-06) A) José D) Gerardo B) Oscar E) Roberto C) Ernesto 02 Si M está arriba de N y de O, y N está arriba de O y debajo de P, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es correcta? (UNFV-05) A) M no está arriba de O y P afirmar? (PUC-03) C) P está arriba de O D) O está arriba de P E) P no está arriba de N 03 Carlos, Víctor y José estudian en tres universi- dades X, Y, Z. Además cada uno de ellos estudia una carrera diferente: A, B ó C. Carlos no está en X y José no está en Y. El que está en Y estudia B y el que está en X no estudia A. José no estudia C. ¿Qué estudia Víctor y dónde? (UNI 07-II) B) C en X E) B en X C) B en Z 04 Luis, Pedro y Juana practican tenis, fútbol y ping pong, pero no necesariamente en este orden. Cada persona practica un solo deporte. Pedro no practica el deporte que requiere raqueta. Luis no practica tenis. ¿Cuál deporte practica Juana? (UNE-08) A) tenis D) vóleibol B) fútbol E) natación C) ping pong 05 Cuatro amigos A, B, C y D se sentaron a beber en una mesa circular. El que se sentó a la izquierda de B bebió agua. A estaba frente al que bebe vino. Quien se sentaba a la derecha de D bebía anís. El que bebe café y el que bebe anís estaban frente a frente, Indique la proposición verdadera. (UNI-08 -II) A) B bebía anís C) C bebía anís E) D bebía agua 20 • Los libros de la misma materia se leen consecutivamente y en la misma fase. • Los libros de Historia se leen después que el de Gramática y Literatura • Se tiene que dividir en dos fases. • En la primera fase se leen cinco libros. • Aritmética no es el último libro. 06 Con respecto a Aritmética, ¿qué se puede B) O está arriba de N A) C en Y D) A en Z Un estudiante tiene que leer nueve libros de las siguientes materias; 1 Aritmética, 3 Historia, 1 Literatura, 2 Gramática, y 2 Filosofía. Si: (PUC-03) B) B bebía agua D) A bebía café A) No puede leerse en quinto lugar B) No puede leerse en sexto lugar. C) No puede leerse en segundo lugar. D) No puede leerse después de Filosofía. E) Puede leerse después de Historia 07 De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es la correcta? (PUC-03) A) Gramática no puede leerse en primera fase B) Filosofía no puede leerse en primera fase C) Filosofía no puede leerse después de Gramática D) Historia no puede leerse en primera fase E) Literatura se lee después de Historia. 06 ¿Qué ordenamiento no es válido en la primera fase? (PUC-03) A) 2 Gramática, 2 Filosofía, 1 Aritmética B) 2 Filosofía, 2 Gramática, 1 Aritmética C) 2 Gramática ,1 Aritmética, 2 Filosofía D) 1 Aritmética, 2 Grámatica, 2 Filosofía E) Todos son válidos Enunciado 2 En una carrera participaron seis perros, Petete, Rabito, Canino, López, Amberes y Manchas, cumpliendo las siguientes condiciones. • Petete no llegó antes que canino pero si antes que Amberes • López quedó en algún puesto posterior a Rabito y no antes que Manchas, quien llegó después de Canino • No hubo empates ORDEN DE INFORMACIÓN 09 ¿Cuál de los siguientes ordenamientos, del primer al último, es posible? A) Rabito, Petete, Canino, Manchas, López y Amberes B) Petete, Rabito, Canino, Amberes, López y Manchas C) Canino, Rabito, Petete, Manchas, Lopez y Amberes D) Rabito, Canino, Amberes, Petete, Manchas y López E) Canino, Amberes, Petete, Rabito, López y Manchas 10 Pepe, Enrique, Rafael, Álvaro y Juan son amigos se sabe que: • Enrique es mayor que Pepe, pero menor que Rafael • Álvaro es mayor que Enrique, pero menor que Juan • Juan es mayor que Álvaro, pero menor que Rafael. Si los ubicamos por edades de mayor a menor ¿quién ocupa la posición intermedia? (UNI 06-II) A) Juan D) Álvaro B) Enrique E) Rafael C) Pepe Enunciado 1 Los señores Bravo, Hernández, Navarro, Pérez y Gutierrez tienen diferentes profesiones: herrero, proyectista, neurólogo, biólogo y geólogo y viven en diferentes ciudades: Barcelona, Huelva, Nueva York, Paris y Granada. • Las iniciales de la profesión y el lugar de residencia no puede coincidir con los apellidos de los señores. • El Sr. Hernández vive en Nueva York y no es biólogo. • El Sr. Bravo no es ni herrero ni proyectista. • El Sr. Navarro no vive en Barcelona. • El. Sr. Pérez vive en Granada y es herrero. • El Sr.Hernández no es neurólogo y tampoco lo es el Sr. Gutiérrez. (PUC-05) 03 ¿Qué profesión tiene el Sr. Bravo? A) Biólogo B) Geólogo C) Neurólogo D) Biólogo o geólogo E) No se puede determinar 04 ¿En qué ciudad vive el Sr. Gutiérrez? A) Barcelona C) Nueva York E) Granada B) Huelva D) París 05 Si el Sr. Bravo no vive en París, ¿quién vive en dicha ciudad? SEMINARIO 01 Si “M” es el más alto de los alumnos de un curso y “A” es más alto que “O” pero más bajo que “N”. ¿Cuáles son correctas? (PUC-98). I. O, N y A son más bajos que M II. O es el más pequeño de los cuatro III. N es más alto que O. A) Sólo I D) Todas B) Sólo II E) N.A. C) Sólo II y III 02 En una carrera Peter llegó a la meta antes que Jesús, y Andrés después de los dos. Si Alfredo llegó antes que Andrés, entonces: (UNE 90-A) A) Alfredo llegó antes que Peter B) Alfredo llegó antes que Jesús C) Alfredo pudo llegar antes que Jesús D) Alfredo llegó junto con Peter E) Alfredo y Jesús llegaron juntos A) Sr. Hernández B) Sr. Navarro C) Sr. Pérez D) Sr. Gutierrez E) No se puede determinar Enunciado 2 El señor Dallamasa es un reconocido chef, el cual tiene una receta secreta: El pastel Piccolo. Como ha decidido retirarse de la cocina, decide revelar su secreto bajo las siguientes condiciones: (PUC-03) • Los ingredientes a utilizar son: mantequilla de maní, pasta de almendra, jarabe de café, yogurt y extracto de limón. • La masa básica que siempre forma parte de los ingredientes está formada por: harina de centeno, huevo y sal. • Se sabe que el yogurt se agrega después del extracto de limón y la mantequilla de maní inmediatamente antes que este. • El jarabe de café se agrega después de la pasta de almendra. 21 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 Si ya se han colocado tres ingredientes y el tercer ingrediente es mantequilla de maní, ¿cuál es el primer ingrediente en agregarse? A) Extracto de limón o yogurt B) Sólo yogurt C) Sólo jarabe de café D) Sólo extracto de limón E) Sólo pasta de almendra 10 Si la obra cómica se presenta en tercer lugar, 07 Si inmediatamente antes del jarabe de café, se agregó la pasta de almendra, ¿qué afirmación es imposible? A) Mantequilla de maní sea el primer ingrediente agregado B) Extracto de limón sea el segundo ingrediente agregado C) Yogurt sea el tercer ingrediente agregado D) Pasta de almendra sea el segundo ingrediente agregado E) Extracto de limón sea el cuarto ingrediente agregado. 08 Un discípulo del chef sugiere que la pasta de almendra sea el primer ingrediente agregado, si esto ocurre, ¿cuántos ordenamientos diferentes existirían en la forma de preparación con dichos ingredientes? A) 1 D) 4 B) 2 E) Más de 4 C) 3 Enunciado 3 Es el gran final de un concurso de teatro en el que se presentará una obra cómica, una dramática, una épica, una romántica, una de suspenso y una histórica. El jurado que elegirá la obra ganadora, ha puesto las siguientes condiciones para la presentación de las obras. (PUC 08-II) • Las románticas siempre deben presentarse antes que la dramática. • La histórica debe presentarse inmediatamente antes o inmediatamente después de la épica. • Entre las obras cómicas y de suspenso, por lo menos debe haber una obra. 09 Si se empieza con la obra de suspenso, ¿qué afirmación es verdadera? A) La obra romántica debe ir después de la histórica. 22 B) La obra cómica es necesariamente la penúltima. C) Cualquiera de las obras restantes podría seguir a la de suspenso. D) La obra histórica nunca podría ser la última E) La obra cómica podría ser la última. ¿cuál de las siguientes afirmaciones puede ser verdad? A) 6°: romántica 1°; épica. B) 6°: histórica, 1° dramática. C) 5° épica, 4°: romántica. D) 1°: histórica, 6° dramática. E) 2° dramática, 1°: suspenso. 11 Si se retira la obra dramática: A) La obra romántica podría ser la última. B) La obra épica necesariamente sería la cuarta. C) La obra romántica sólo podría ir entre las obras cómicas y de suspenso. D) La obra de suspenso estaría entre la histórica y la épica. E) Todas las obras, a excepción de la romántica, necesariamente deben estar entre la cómica y la de suspenso. Enunciado 4 En una granja, por las mañanas, se escucha el canto de algunos animales. El orden en que se escuchan estos cantos cumple con las siguientes condiciones (PUC 05-I) • El canto de los gallos se escucha antes que el canto de los patos y el de éstos antes que el canto de las palomas. • El canto de los pavos se escucha después que el de los gallos pero antes que el de los jilgueros. • El canto de los gorriones se escucha antes que el de los jilgueros y despúes que el de los patos. • El canto de las palomas es el último en escucharse. 12 ¿Cuál es el único animal cuyo canto puede haberse escuchado en 2°, 3° y 4° lugar? A) Gallos D) Gorriones B) Pavos E) Jilgueros C) Patos ORDEN DE INFORMACIÓN 13 ¿Cuál de los siguientes enunciados son verdaderos? I. Es posible que el canto de los gorriones se escuchara simultáneamente con el de los pavos. II. Es posible que el canto de los jilgueros se escuche antes que el de los patos. III. Es posible que el canto de los pavos se escuche en 5° lugar. A) Sólo I D) I y II B) Sólo II E) Todos C) I y III Enunciado 5 Una orquesta iba a tocar en una fiesta y disponia de “6” géneros musicales los cuales eran: vals, salsa, marinera, teknocumbia, disco y rock. Se tenía que cumplir las siguientes condiciones: (PUC 04-I) • Máximo 5 clases de género • El género rock no se debe tocar antes que el género disco. • Ni teknocumbia, ni disco se tocan primero. • Inmediatamente después del rock no está la marinera. • Marinera se toca al final • Se deben tocar más de tres géneros de música. 14 Si se tocan sólo géneros musicales en los cuales están Marinera y Rock, se cumple que: I. Marinera en primer lugar. II. Rock en primer lugar. III. La Marinera en segundo lugar. A) Sólo I D) I y II B) Sólo II E) II y III C) Sólo III 15 Si se tiene únicamente 4 géneros musicales se cumple que: A) Marinera se toca en cuarto lugar. B) Disco en primer lugar. C) Marinera en tercer lugar. D) Disco se toca después de Marinera . E) Marinera y Rock se tocan inmediatamente uno después del otro. 23 Capítulo 03 CERTEZAS En este tema se pretende determinar el número mínimo de intentos que se deben de hacer para tener con seguridad la meta elegida. Para obtener la certeza, debe considerarse el peor de los casos. III. Candados a) Con igual número de llaves y candados Para saber cual corresponde: # de insertos = n(n – 1) 2 para abrirlos: REGLA GENERAL # total de # total de extracciones extracciones # total de = de casos + de casos extracciones No esperados esperados (el peor (lo que pide de los casos) el problema) PRINCIPALES CASOS EN PROBLEMAS DE CERTEZAS I. Bolos que se extraen de una urna o caja Ejemplo 1: En una urna se tiene 4 bolos negros, 6 bolos blancos y 5 bolos azules. ¿Cuántos bolos deberán extraerse como mínimo, para tener la certeza de tener dos bolos negros? # de insertos = n(n + 1) 2 Ejemplo 3: Se tienen 10 candados con igual número de llaves y candados ¿Cuántos insertos como mínimo se deben realizar para determinar la correspondencia entre llaves y candados? Resolución: Por la fórmula de correspondencia: 10(10 – 1) = 45 2 Ejemplo 4: Resolución: Se tienen 10 candados con sus 10 llaves, se desean abrir dichos candados ¿Cuántos insertos como mínimo se deben realizar? Total de extracciones = 6 + 5 + 2 (blancos) (azules) (negros) 10(10 + 1) = 55 2 Total de extracciones = 13 b) Con distinto números de llaves y candados: II. Bolos numerados Ejemplo 5: Ejemplo 2: Se tienen 10 llaves y 8 candados, ¿cuántos insertos como mínimo se debe realizar para abrirlos todos? Se tiene 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50 ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 50? Resolución: Resolución: # total de = 25 + 15 + 5 extracciones bolas bolos pares impares menores o igual a 30 # total de extracciones = 45 24 10 9 8 7 # de insertos = 52 6 5 4 # de 3 intentos CERTEZA S IV. Naipes Resolución: Ejemplo 6: zapatos negros = 5 derechos, 5 izquierdos Se tiene de 52 cartas. ¿Cuántas cartas, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 tréboles y 10 espadas? zapatos marrones = 4 derechos, 4 izquierdos Resolución: # total de = 13 + 13 + 13 + 10 extracciones corazones diamantes trébol espadas Un par útil = un zapato derecho y un zapato izquierdo del mismo color # total de extracciones = 5 + 4 + 1 # total de extracciones = 10 # total de extracciones = 49 V. Guantes y zapatos Ejemplo 7: En una caja hay 5 pares de zapatos marrones y 4 pares de zapatos marrones. ¿Cuántos zapatos hay que extraer, como mínimo, para tener la certeza, de obtener un par útil del mismo color? RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 En una urna opaca hay 11 bolas rojas 8 blancas 6 negras ¿cuál es el menor número de bolas que necesito extraer para estar seguro de que tendré una bola blanca o una negra? 03 En una bolsa hay 15 bolas azules, 12 blancas, 13 rojas y 17 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se debe tomar para tener la seguridad de haber extraído un co lor por completo? Resolución: Resolución: Una bola blanca o una negra significa al menos una de ellas. Con 11 extracciones salen 11 rojas, con la 12º sale una negra o una blanca. Rpta.: 12 En el peor de los casos se puede extraer: 02 Se tiene una baraja (52 cartas), ¿cuántas cartas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido una carta mayor que 10? 14A 11B 12R 16V = 53 En la 54 con toda seguridad se completa uno de los colores. Rpta.: 54 04 En una bolsa hay 15 bolas azules, 12 blan- A: 1 al 10 ⇒ 10 cartas cas, 13 rojas y 17 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se debe tomar para tener la seguridad de haber extraído un co lor por completo? A: 1 al 10 ⇒ 10 cartas Resolución: A: 1 al 10 ⇒ 10 cartas Con 3 extracciones se tiene uno de cada color, con la cuarta se tiene 1 par del mismo color. Rpta.: 4 Resolución: A: 1 al 10 ⇒ 10 cartas ⇒ 40 + 1 = 41 (carta mayor que 10) Rpta.: 41 25 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 En un cajón se encuentran 3 pares de me- dias blancas, 2 pares de medias azules y 4 pares de medias marrones. ¿Cuál es el menor número de medias que hay que sacar para estar seguro de haber extraído un par de medias del mismo color? Resolución: Sólo 2 + 3 = 5 Con 30 extracciones salen todas las fichas 1 y las fichas 2. En el 31 sale la ficha 3 necesariamente. Rpta.: 31 06 Una caja contiene 12 canicas rojas, 13 ver- des y 9 azules. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas tres canicas de diferente colores? Resolución: Derecho Rojo Azul 4 5 Verde 6 Izquiero 4 5 6 Pedido: A R Vder Vizq (2 pares útiles verdes) ⇒ 10 + 8 + 6 + 2 Rpta.: 26 REFORZANDO 01 ¿A cuántas personas debo invitar a mi cum- pleaños para que haya, por lo menos, dos invitados del mismo zodiacal? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 02 ¿Cuántas personas deben estar reunidas como mínimo para asegurar que 2 de ellas cumplen años el mismo día del mes? B) 32 C) 33 D) 30 E) 60 03 En un juego de barajas de 52 cartas, ¿cuántas cartas se deben sacar como mínimo para asegurar que se tiene un As? Rpta.: 26 07 En una urna hay 8 bolos numerados del 2 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de bolos que se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído dos bolos, cuyo números suman 11? A) 52 B) 51 C) 48 D) 49 E) 50 04 En un cajón hay medias azules, grises y negras. Está oscuro. ¿Cuántas tengo que sacar para estar seguro de que me llevo dos medias del mismo color? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 05 Una bolsa contiene canicas de dos colores; Resolución: Pedido: 2 bolos que sumen 11 2 9 2 3 3 8 4 5 4 7 6 7 Principales 5 6 8 9 casos 10 1 10 10 5 bolos 5 bolos 5 bolos 5 bolos ⇒ #min = 5 + 1 #min = 6 Rpta.: 6 08 En una caja se tienen guantes de box: 4 apres de color rojo, 5 pares azules y 6 pares verdes. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellos 2 pares útiles de color verde? 26 A) 31 Tres de diferente color: P 12 R Peor caso: P 13 V P 9 A ⇒ 13 + 12 + 1 = 26 Resolución: negras y blancas. ¿Cuál es el menor número de canicas que pueden ser retiradas de la bolsa, sin mirar, de manera que entre estas canicas haya dos del mismo color? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 06 Se tiene una bolsa de caramelos con 3 sabans diferentes. ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que debe extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 de mismo sabor? A) 3 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8 07 Se tiene una baraja (52 cartas). ¿Cuántas cartas se deben extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido una carta par? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 CERTEZA S 08 Del problema anterior, ¿cuántas cartas se deben extraer, como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido una carta con numeración primo? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 09 Juan regresa de la lavandería con 12 pares de calcetines, (cada par de distinto color) en una bolsa, ¿cuántos calcetines debe sacar como mínimo para obtener un par del mismo color? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 10 En una reunión de 40 personas, ¿cuántas personas como mínimo han cumplido años el mismo mes? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 11 En una urna se tiene 3 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer para tener la certeza de haber sacado 3 fichas numeradas consecutivamente? A) 5 B) 6 C) 9 D) 8 E) 7 12 En un estadio hay 10,000 personas. ¿Cuántas personas hay como mínimo que cumplen años el mismo día? A) 28 B) 27 C) 26 D) 30 E) 40 13 En una curva hay 58 fichas numeradas del 90 al 147. Si las fichas no están ordenadas, ¿cuántas fichas como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas una ficha numerada con múltiplo, de 5? A) 40 B) 41 C) 47 D) 45 E) 46 14 Se tiene 13 fichas numeradas del 1 al 13, to- das con las caras que indican su valor contra la superficie de la mesa, como se muestra en la figura. ¿Cuántas fichas como mínimo se debe voltear al azar para tener la certeza de que la suma de los valores de todas las fichas volteadas sea mayor que 21? (UNMSM-08-II) ... 15 Se tiene 5 automóviles y 4 llaves, de las cuales 3 abren la puerta de tres de ellos y la otra llave no abre ninguna puerta. ¿Cuántas veces, como mínimo, se tendrá que probar al azar las llaves para saber con certeza a qué automóvil corresponde cada una? (UNMSM-07-I) A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 C) 17 D) 14 E) 11 TAREA 01 En una urna hay 45 fichas, de las cuales 12 están enumeradas con la cifra 2; 8, con la cifra 5; 10, con la cifra 4, y el resto con la cifra 7. ¿Cuántas fichas se debe extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de obtener, entre ellas, 3 fichas con numeración diferente y que sumen exactamente 11? A) 38 B) 35 C) 35 D) 37 E) 36 02 Un examen consta de 10 preguntas en las que hay que responder verdadero o falso, ¿cuál es el mínimo número de alumnos que debe rendir el examen para asegurar que al menos 2 de ellos tendrán las mismas respuestas? A) 1025 B) 513 C) 257 D) 33 E) 57 03 En una urna hay 8 fichas numeradas con los dígitos del 5 al 12. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer al azar para tener la certeza de haber extraído entre ellas 2 fichas cuyo número sumen 17? A) 40 B) 41 C) 47 D) 45 E) 46 04 Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón. Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes naranja, limón y surtidos están cambiadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete? A) 1 A) 6 B) 5 B) 51 C) 201 D) 4 E) 5 E) 9 27 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 En una reunión se encuentran presentes 250 personas. ¿Cuántas personas como mínimo deberán llegar para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas con la misma fecha de cumpleaños? A) 114 B) 116 C) 115 D) 366 E) 117 06 Se tiene bolos numerados del 1 al 20, ¿cuántos bolos se deberán extraer como mínimo para estar completamente seguros de que la suma de los números de los bolos extraídos sea mayor o igual que 70? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 07 En una caja hay 24 lapiceros de diferentes co- lores, 10 azules, 2 verdes, 3 celestes, 4 negros y 5 rojos. ¿Cuántos lapiceros se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de conseguir uno de cada color? A) 22 B) 20 C) 23 D) 21 E) N.A. 08 En un cajón hay 8 fichas rojas y 8 fichas amari- 01 En un cajón, hay calcetines negros, rojos, azules y blancos. ¿Cuál es el menor número de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que hay al menos dos del mismo color? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 02 En una caja hay 3 bolas rojas y 4 bolas negras, ¿cuál es la mínima cantidad de bolas que se deben extraer para tener la certeza de haber extraído 2 bolas del mismo color? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03 En una caja hay mezclados 5 pares de calce- tines de color blanco y 5 pares de color rojo, ¿cuál es la mínima cantidad de calcetines que debo extraer para tener 2 calcetines del mismo color? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 04 En una caja hay 5 pares de guantes color blan- llas. ¿Cuál es el mínimo número de ellas que se han de sacar para tener la seguridad de haber extraído 3 del mismo color? co y pares de guante color azul. Si queremos tener un par de guantes del mismo, ¿cuál es la mínima cantidad de guantes que debemos extraer? A) 7 A) 5 B) 5 C) 6 D) 4 E) 10 09 A ver cuánto tardais en calcular lo siguiente: ¿cuántas bolitas como mínimo tengo que extraer al azar de un recipiente con 50 rojas y 40 azules para tener la absoluta certeza de que saco, por lo menos, dos del mismo color? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 41 10 Una caja contiene 12 bolos numerados del 3 al 14. Halle el número mínimo de bolos que se deben extraer al azar para tener la certeza de obtener 2 bolos cuyos números cumplan con la igualdad que sigue. (UNA-07-I) 15 – A) 11 28 SEMINARIO B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 C) 10 D) 11 E) 12 05 En una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)? A) 3 y 21 D) 3 y 22 B) 2 y 20 E) 4 y 21 C) 4 y 22 06 De un mazo se desea tener 8 espadas y 7 corazones, ¿cuántas cartas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de obtener lo que se desea? A) 42 = B) 3 B) 47 C) 40 D) 46 E) 48 CERTEZA S 07 En una urna hay 9 bolas negras, 11 bolas azu- les, 7 bolas rojas y 14 bolas blancas. ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer para tener la certeza de haber obtenido 4 bolas de colores diferentes, si todas son del mismo tamaño? A) 32 B) 5 C) 34 D) 35 E) 36 08 En el interior de una secadora de ropa hay 9 pares de medias celestes 11 pares de medias verdes, 13 pares de medias negras y 15 pares de medias blancas. ¿Cuántas medias debo extraer para tener la seguridad de obtener un par del mismo color? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 56 09 En una caja hay 24 zapatos marrones y 8 pares de zapatos negros. ¿Cuántos pares debo extraer para tener la seguridad de obtener un par de zapatos útiles? A) 13 B) 9 C) 25 D) 8 E) 21 10 El vigilante de mi calle tiene 4 candados (Forte, Yale, Globe y Phillips) y sólo dos llaves. Sabiendo que cada llave sólo abre un candado, ¿cuál es el mínimo número de intentos que deberá realizar tratando de abrir los candados hasta saber qué candados se abren con dichas llaves? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11 En una urna hay 13 chapas de Coca Cola, 15 de Inka Kola, 9 de Pepsi Cola y 6 de Kola Real. ¿Cuántas chapas se deben de extraer como mínimo al azar para estar seguro de obtener 4 chapas de una misma marca? A) 5 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13 12 ¿Cuántas veces debemos tirar un solo dado para obtener el mismo resultado al menos “n” veces? A) 6n D) 6n + 1 B) 6n – 5 E) 6n + 3 C) 6n – 1 13 En un grupo de 13 personas, ¿cuántas personas al menos cumplen años el mismo mes? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 14 En un cajón de guantes de box se tiene: 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos, Roky desea tener un par de guantes usables del mismo color. ¿Cuántos guantes debe extraer al azar y como mínimo para tener con certeza lo que quiere? A) 10 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15 Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y 7 blancas, la menor cantidad que debe sacarse para obtener el menor número de bolas de cada color es: A) 25 B) 19 C) 21 D) 28 E) 26 CURIOSIDAD MATEMÁTICA 1 12 123 1234 12345 123456 1234567 12345678 123456789 × 9 + 2 = 11 × 9 + 3 = 111 × 9 + 4 = 1111 × 9 + 5 = 11111 × 9 + 6 = 111111 × 9 + 7 = 1111111 × 9 + 8 = 11111111 × 9 + 9 = 111111111 × 9 + 10 = 1111111111 29 Capítulo 04 RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO RAZONAMIENTO INDUCTIVO Demostración: Razonamiento inductivo.- Es aquel razonamiento que consiste en generalizar para todos los elementos de un conjunto una propiedad observada en un número finito de casos. Por ejemplo, en el pasado al observar que los mamíferos vivían en tierra se concluyó que todos los mamíferos eran terrestres. Hasta que alguien observó que las ballenas amamantaban a sus ballenatos para percatarse que también habían mamíferos marinos. Para n = 1 ⇒ = Esto nos hace ver que la conclusión obtenida de un razonamiento inductivo no es segura, sólo es probable. Razonamiento inductivo completo.- Consiste en observar la propiedad en todos los elementos del conjunto, entonces la conclusión derivada es verdadera. Ejemplo 1: Ana, Joaquín y Douglas son los hijos de Alonso. Ana es trigueña. Joaquín es trigueño. Douglas es trigueño. Por lo tanto, todos los hijos de Alonso son trigueños. Generalmente, la observación de todos los elementos de un conjunto no siempre es posible ni rentable. Razonamiento inductivo incompleto.- Consiste en observar la propiedad en una parte de los elementos de un conjunto y aplicar la propiedad observada para todos los elementos del conjunto. La conclusión de un razonamiento inductivo incompleto es sólo probable. INDUCCIÓN MATEMÁTICA Ejemplo 2: 30 supongamos que se cumple para n n(n + 1) ⇒ 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 Vamos ha demostrar que se cumple para n + 1: n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) 1+2+3+...+n+n+1= +n+1= 2 2 n(n + 1) 2 ∴ Se cumple para n + 1, entonces es correcto que: n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 MÉTODO INDUCTIVO Consiste en observar casos particulares, formular una hipótesis sobre una fórmula general, verificar que se cumple para los primeros elementos, luego dar por aceptado que la fórmula general verifica con todos los elementos. Ejemplo 3: En esta pila de ladrillos hay 60 filas. ¿Cuántos ladrillos se han utilizado para construirlo? 5 4 n(n + 1) 2 3 2 1 Resolución: En 1 fila hay La inducción matemática es una técnica demostrativa válida, sin embargo no es netamente inductiva, sino, más bien es una técnica deductiva, porque consiste en verificar que se cumple para 1 y 2, aceptar que se cumple para n y demostrar que se cumple para n + 1. Demostrar que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 1(1 + 1) = 1 sí cumple. 2 2.3 Para n = 2 ⇒ 1 + 2 = 3 y = 3 sí cumple 2 En 2 filas hay 1 ladrillo. 4 ladrillos. Formulemos la primera hipótesis: “El número de ladrillos es el doble del número que indica la fila”. Si esta hipótesis es correcta, en tres filas, debe haber 2 × 3 = 6 ladrillos. Comprobemos: 3 filas 9 ladrillos RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO Hay 9 ladrillos y no 6 como se pensó, entonces la hipótesis no es correcta. Hay que formular otra hipótesis: Número Número de filas de ladrillos 1 1 = 12 4 = 22 2 9 = 32 3 Nueva hipótesis: En lugar de una longitud m vamos a considerar 80 cm. En lugar de dividir en n partes vamos a dividir en 5 partes, entonces cada parte resulta de 80÷5=16 cm Con cada parte formamos un cuadrado, entonces el lado de cada cuadrado resulta de 16 ÷ 4 = 4 cm. El área de cada cuadrado es 42 = 16 cm2 y la suma de las áreas de los 5 cuadrados es 5 × 16 = 80 cm2 “El número de ladrillos es igual al cuadrado del número que indica la fila”. Ahora que hemos visto qué operaciones se realizan con los datos para llegar a la solución, hagamos lo mismo con los datos literales. Si esta hipótesis es cierta, en 4 filas debe haber 42 = 16 ladrillos. Veamos: Longitud total: m 4 3 2 1 4 = 16 ladrillos 2 La hipótesis es correcta. Entonces en 60 filas hay 602 = 3600 ladrillos. Ejemplo 4: En la sucesión de figuras F1 F 2 m n m Longitud de cada lado: 4n m2 Área de cada cuadrado: 16n2 Longitud de cada parte: Área total de los n cuadrados: n F3 ... ¿Cuántos triángulitos simples contiene la figura F80? Resolución: Fi Números de partes: n Número de triángulos F11 = 1 2 F24 = 2 2 F39 = 32 ....................................................................................... ....................................................................................... Fkk2 m2 m2 2 = 16n 16n2 El método inductivo no sólo nos permite obtener fórmulas generales, también nos ayuda a resolver problemas literales cuyo planteamiento directo podría resultar complicado o confuso. Razonamiento Deductivo.- Es aquel razonamiento que cosiste en personalizar lo que ya está generalizado. Ejemplo 6: Todos los habitantes de la asociación “Ingenio” tienen el cabello largo. (Caso generalizado). 1. José vive en la asociación “Ingenio” (Caso particular). Resolución: Para k = 60: k2 = 802 = 6400 triángulos Por lo tanto se peude deducir que José tiene el cabello largo. Ejemplo 5: Ejemplo 7: Un alambre de longitud m se divide en n partes iguales y con cada parte se forma un cuadradito. La suma de las áreas de los n cuadraditos es: ¿En qué cifra termina 62017? Resolución: 61 = 6 62 = 36 63 = 216 Toda potencia de 6, siempre termina en 6. Estamos frente a un problema literal. Operar con letras es más dificultoso que operar con números. Por consiguiente vamos analizar una situación muy particular y luego generalizamos. 31 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Calcula la suma de cifras del resultado: (999 ... 99) 05 Se sabe que: 1+3 = 2 1+3+5 =3 1+3+5+7 =4 1 + 3 + 5 + ...87 = ? (PUCP - 97) 2 30 cifras Resolución: 92 = 81 ⇒ Scifras: 8 + 1 = 9 Resolución: ⇒ 9 = 9 × 1 ⇒ Nº de cifras 992 = 9801 ⇒ Scifras: 9 + 8 + 0 + 1 = 18 ⇒ 18 = 9 × 2 ⇒ Nº de cifras 9992 = 998001 ⇒ Scifras: 9+9+8+0+0+1 = 27 ⇒ 27 = 9 × 3 ⇒ Nº de cifras (3 + 1) ÷ 2 = 2 (5 + 1) ÷ 2 = 3 (7 + 1) ÷ 2 = 4 (87 + 1) ÷ 2 = 44 Rpta.: 44 Por lo tanto: 9 × 30 = 270 Rpta.: 270 02 Calcula la cifra terminal de: 06 En la siguiente secuencia de figuras, ¿cuán- tos triángulos habrá en la figura 11? (UNMSM 07-II) E = 25121 + 36IN + 11GE + 300NIO Resolución: Fig 1 E = ...5 + ...6 + ...1 + ...0 E=2 Fig 3 Fig 4 Resolución: Rpta.: 2 03 ¿Cuál es el resultado de la expresión que Fig. (2): 1 + 3 × 1 Fig. (3): 1 + 3 × 1 + 3 × 2 sigue en la secuencia? Fig. (4): 1 + 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 22 4×1–1=3 4 × 3 – 2 = 10 4 × 10 – 3 = 37 4 × 37– 4 = 144 ... Fig. (5): 1 + 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 22 + 3 × 23 Fig. (n): 4 + 3(2 + 22 + 23 + ... + 2n – 2) Para n = 11: Nº de triángulos = 1534 Rpta.: 1534 Resolución: 07 Dada la siguiente sucesión de figuras 4 × 144 – 5 = 571 Rpta.: 571 Fig 1 04 Si: 18 × N = ...256 7 × N = ...412 Calcula las tres últimas cifras de 32N. Resolución: Se sabe (×2) 7 × N = ...412 14 × N = ...824 18 × N = ...256 256 × N = ...080 32 Fig 2 Fig 2 Fig 3 Si en la figura 20 hay “x” triángulos más que el total de triángulos de las tres primeras figuras, determine el valor de “x”. (UNI 08-II) Resolución: Nº de triángulos + Rpta.: 080 Fig.1: 8=2×4 Fig. 2 15 = 3 × 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTIC INDUCTIVO AY RECREATIVA DEDUCTIVO Fig. 3 24 = 4 × 6 Fig. 20 21 × 23 = 483 03 Al término de una reunión, hubieron 28 estre- x = 483 – (8 + 15 + 24) ⇒ x = 436 Rpta.: 436 08 En la construcción de la figura adjunta se han utilizado solamente cerillos de igual longitud. Si en el perímetro de la figura hay 147 cerillos. ¿Cuántos cerillos hay en total en dicha figura? (UNMSM 07-II) chadas de mano, suponiendo que c/u de los participantes fue cortes con c/u de los demás, el número de personas presentes fue: A) 14 B) 56 C) 28 D) 8 E) 7 04 Si: abc × a = 927 abc × b = 856 abc × c = 1024 2 Calcula la suma de cifras del resultado de abc . A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 05 ¿Cuántas bolitas blancas habrá en la figura 30? Resolución: Sea x el número de cerillos en cada lado lateral: 3 + 2x + 3 + x = 147 ⇒ x = 47 Fig 1 Fig 2 A) 480 B) 465 Fig 3 C) 460 Fig 4 D) 470 E) 411 06 Hallar la suma de cifras del resultado: ∴ En la base hay 50 cerillos. Total de cerillos horizontales: 99 × 50 4 + 5 + ... + 49 = – (1 + 2 + 3) = 1219 2 Total de cerillos inclinados: E = 123400000 + (21)2 + 54000 – 4(5)(6) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 07 En la figura mostrada, halle el número de cuadrados no sombreados. (UNMSM 07-II) 6 + 8 + 10 + ... + 98 = 2(3 + 4 + 5 + ... 49) = 2444 Total: 147 + 1219 + 2444 = 3810 Rpta.: 3810 REFORZANDO 1 2 3 01 ¿Cuántas esferas habrá en la figura 20? A) 153 B) 191 33 34 35 C) 156 D) 165 E) 172 08 En la figura se muestra una sucesión de rumas, Fig 1 A) 40 Fig 2 B) 39 Fig 3 C) 41 Fig 4 D) 44 E) 42 02 ¿Cuántos triángulos hay en total en F(20)? ... F(1) A) 20 F(2) B) 64 C) 81 F(3) D) 49 E) 56 formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T12? (UNMSM 05-I) 20 12 16 18 6 10 8 14 12 10 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 T2 T3 T4 T1 A) 8372 D) 7024 B) 6162 E) 3080 C) 4422 33 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 Sobre una mesa se han colocado tangen- cialmente 493 monedas de S/.1, tal como se muestra en la figura. ¿Cuántas monedas de S/. 1 debemos agregar en la parte inferior para que el arreglo siga teniendo la misma forma y tenga 36 filas de monedas? (UNMSM 07-I) 15 Calcular el valor de a + aa + aaa + ... "a" sumandos Si: a2 × a3 × a4 × a5 + 1 = 1891 A) 4936 D) 9463 B) 4396 E) 6943 C) 4693 TAREA A) 247 B) 237 C) 245 D) 235 E) 239 D) 5 E) 9 10 ¿En qué cifra termina 34321? A) 1 B) 3 C) 7 abcd × 9999 = ...2617 B) 17 C) 18 D) 20 E) 21 12 Calcula: R= m+n m+p np B) 1 13 Calcula: m×n×p×m ×2 C) 2 D) –1 E) 2 A) 4 E) 28 B) 8 C) 32 D) 2 E) 6 03 Calcula la cifra terminal en: B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 3 C) 2 B) 43 C) 500 D) 420 E) 45 05 Si: N × 13 = ...214 2 D) 3 2 E) 5 1 3 5 ... 19 3 5 7 ... 21 5 7 9 ... 23 N × 22 = ...642 Calcula las tres últimas cifras de 4N. A) 686 B) 896 C) 966 D) 876 E) 786 06 Calcula el valor de a + b + c en: A) 17 abc × 999 = ...416 B) 16 C) 18 D) 15 E) 19 07 Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos ... ... ... ... 19 21 23 ... 37 B) 1700 E) 2100 R(1) = 1 × 2 el valor de R(22) es: (UNMSM-93) R(2) = 2 + 3 R(3) = 3 × 4 R(4) = 4 + 5 A) 506 te matriz 34 D) 26 04 Se define: 14 Calcula la suma de los elementos de la siguien- A) 1800 D) 1900 C) 24 02 Si todos mis antecesores vivieran, ¿cuántas A) 6 30 cifras 454545...45 C= 363636...36 4 B) 5 B) 22 R = 23512 + 172121 + 3910001 30 cifras 5 A) 4 A) 20 mnp Si: 2m + n + p = 0 A) 0 ab × b = 614 2 Calcula la suma de cifras de ab . tatarabuelas tendría una de mis bisabuelas? (En condiciones normales) (UNFV-97) 11 Calcula la suma de "a + b + c + d" en: A) 16 01 Si: ab × a = 418 C) 2000 cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué número de fila está el asiento número 375? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO 08 La figura representa una tira larga de papel dividida en 2001 triángulos marcados con líneas punteadas. Supongamos que la tira será doblada siguiendo las líneas punteadas en el orden indicado por los números, de forma que la tira siempre quede en posición horizontal y la parte de la izquierda que ya ha sido doblada se dobla hacia la derecha. ¿Cuál es la posición en que terminan los vértices A, B, C, después de 1999 dobleces? B 1 A B A) D) 2 C 3 C C E) 5 6 7 C B B B A C 09 Calcula la suma de cifras del dividendo en: * * * * * * * - - - * * A) 30 B) 31 * * * * * * * * * * * - - - * * * *8* * C) 32 C) 17 C) 25 D) 30 E) 23 03 La suma de todos los dígitos del número 1099 – 99 es: A) 873 B) 874 C) 879 D) 899 E) 901 04 Empiezas con el número 1. Una “operación” B) 2 C) 8 D) 9 E) 7 05 Si efectuamos el producto de todos los nú- meros impares comprendidos entre 1 y 1994, ¿cuál es la cifra de las unidades del número así obtenido? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 06 ¿Cuánto es la suma de las cifras del número A) 1992 B) 992 C) 818 D) 808 E) 798 07 ¿Cuál es el dígito de las unidades de (1 + 12) + D) 33 E) 34 (2 + 22) + (3 + 32) + .... + (2000 + 20002)? A) 0 B) 4 C) ? D) ? E) ? 08 Calcula la suma de los elementos de la siguien- nn = abc B) 15 B) 18 N = 1092 – 92? 10 Calcula el valor de n + a + b + c en: A) 13 A) 27 A) 1 C C) A A abcde × 99999 = ...24571 consiste en multiplicar el número por 3 y sumarle 5. ¿Cuál es la cifra de las unidades después de aplicar la operación 1999 veces? 8 B B) A A 4 02 Calcula el valor de: a + b + c + d + e en: te matriz: D) 14 E) 16 1 2 3 SEMINARIO 4+5+6=7+8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 A) 6000 D) 6500 B) 7000 E) 7500 C) 8000 09 Calcula la suma de cifras del resultado: UNA-14 (99...99) × (44...44) ¿Cuál es el miembro izquierdo del siguiente renglón? A) 15 + 16 + 17 + 18 + 19 B) 16 + 17 + 18 + 19 + 20 C) 16 + 17 + 18 + 19 D) 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 E) 10 + 11 + 12 + 13 + 14 3 ... 20 4 ... 21 5 ... 22 20 21 22 ... 39 01 Con base a las siguientes relaciones numéricas: 1+2=3 2 3 4 20 cifras 20 cifras A) 90 B) 180 C) 270 D) 360 E) 540 10 ¿Cuántas cifras tiene el número 21998 × 52002? A) 1999 D) 2002 B) 2000 E) 2003 C) 2001 35 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11 Se escriben los números enteros del 0 al 2000 y se dibujan flechas entre ellos con el siguiente patrón, ¿cuál es el patrón donde está el número 2 000? a) d) 1 2 b) 3 12 10 11 e) A) B) D) E) 5 4 6 14 c) 7 8 9 15 13 Calcular la suma de cifras del dividendo en: * * * * * * - - * * * - - * * * * * * ** Si la suma de cifras del divisor es igual a la suma de cifras del cociente e igual al residuo. A) 4 13 * B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 14 En la tabla de la figura hay 12 celdas, que han C) sido dibujadas usando 4 líneas horizontales, 5 verticales. ¿Cuál es la mayor cantidad de celdas que se puede obtener dibujando 15 líneas? 12 Un cuadrado se divide en 4 cuadrados iguales; después uno de los 4 cuadrados de la división se divide, a su vez en 4 cuadrados iguales y así sucesivamente. En el dibujo se muestran las 4 primeras divisiones (y el cuarto cuadrado consta de 10 cuadrados). ¿De cuántos cuadrados consta el séptimo cuadrado? A) 20 B) 18 C) 21 D) 22 A) 30 C) 40 D) 42 E) 60 15 ¿En qué cifra termina 45681 + 72593? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 19 Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) (30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de los matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidará y ha moldeado esta área hasta los días presentes. 36 B) 36 Johann Carl Friedrich Gauss E) 9 Capítulo ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES Analogías significa relación de semejanza entre dos casos distintos. La relación de analogía se establece mediante la comparación y es una parte importante del análisis. Los problemas de analogías consisten en buscar una relación entre los elementos que se dan como premisas y aplicando la misma relación, hallar un dato faltante que se pide obtener. 05 Resolución: La frase entre paréntesis completa la palabra de la izquierda (DARDO) y da inicio a la de la derecha (DORADO) entonces la frase cruzada es la. PER(LA)MINA Ejemplo 3: ¿Qué palabra va entre paréntesis? Hay diversos tipos de problemas de analogías. CARTA(CETO)TEATRO Analogías Gráficas PASTO( ? ) PIEDRA Ejemplo 1: Resolución: ¿Qué figura debe ir en el espacio en blanco? La palabra del centro está compuesto de las letras de las palabras extremas. Para descubrir qué letras son, las enumeramos. 12345 6789ab CAR TA ( C E TO ) T EAT RO : 174b : ? Luego: 12345 6789ab PAS TO ( P I TA ) P I EDRA Resolución: 174b Debemos establecer la relación existente entre la primera pareja de figuras. Analogías numéricas • La figura interior pasa a ser exterior y viceversa. Ejemplo 4: • Las figuras cambian de color . Luego la siguiente pareja debe guardar la misma relación. Entonces, en la figura que falta: ¿Cuál es el número que falta? 45(38)36 32(11)51 57( ? )38 • El círculo debe estar en el interior del cuadrado • Al cambiar el color, debe ser un cuadrado negro con un círculo blanco en el interior. Resolución: Debemos buscar en las dos primeras filas mediante qué operación con los números extremos se obtiene el número central. Analogías literales Luego: Ejemplo 2: ¿Qué palabra falta entre paréntesis? DAR(DO)RADO PER( ? )MINA 45(38)36 32(11)51 4×5+3×6 3×2+5×1 57(59)38 5×7+3×8 37 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO DISTRIBUCIONES 60 Los problemas de distribuciones consisten en completar una estructura numérica en una matriz o una figura. 3 6 Distribuciones gráficas 5 4 Ejemplo 5: Luego ¿Qué número falta en la secuencia? 13 10 12 13 15 24 19 ? 17 30 20 ? Debemos buscar en las dos primeras figuras, mediante qué operación con los números de los vértices se obtiene el número del interior del triángulo. 10 13 13 15 24 (15 – 12) + 10 = 13 19 30 (30 – 24) + 13 = 19 Luego: 20 28 2 Distribuciones numéricas Ejemplo 7: ¿Qué número falta en la siguiente distribución? 17 16 13 12 15 16 14 13 ? 17 + 13 +1 2 12 + 16 15 = +1 2 14 + x 13 = + 1 ⇒ x = 10 2 16 = Ejemplo 6: ¿Que número falta en la figura? 60 ? 7 5 3 6 3 1 9 1 5 4 7 2 Resolución: Realizando alguna operación con los números de los pies y de las manos se debe obtener el número de la cabeza. Ejemplo 8: ¿Qué número falta en la distribución? 12 11 144 5 21 125 5 22 < ? Resolución: 144 = 121+1 18 7 5 9 1 38 7 |3 – 1| = 2 2 × 14 = 28 ? = 28 7 × 2 = 14 Los números están distribuidos bajo alguna regla establecida con las operaciones matemáticas. Se debe descubrir esta regla para hallar el número faltante. (28 – 20) + 17 = 25 ? = 25 18 1 Resolución: 17 ? 3 28 Resolución: 12 |3 – 6| = 3 3 × 20 = 60 5 × 4 = 20 125 = 52+1 |7 – 5| = 2 2 × 9 = 18 9×1=9 ? = 52+2 = 54 = 625 ANALOGÍA S Y DISTRIBUCIONES RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Indique la figura que no tiene relación con las demás. (UNA-90 A) A) B) D) E) En la segunda fila, el movimiento es vertical y hacia abajo. En la tercera fila, el movimiento debe ser horizontal y a la izquierda Rpta.: A C) 04 Sean los cuadrados (UNE-83 B) Resolución: Las líneas son verticales a excepción de la última. Rpta.: E 02 ¿Cuál es el número que falta? (UNE-04-I) 4 6 9 2 7 8 3 ... 11 1 1 2 3 1 2 4 4 6 8 6 27 3 El par de números que completa el cuadrado 3 es: 9 9 A) B) 7 9 9 8 C) 7 7 D) E) 9 25 Resolución: Resolución: 6 = (9 – 4) +1 12 2×1 22 2×2 3×1 13 3×2 23 32 2×3 3×3 33 7 = (8 – 2) +1 x = (11 – 3) + 1 = 9 Rpta.: 9 03 Seleccione la figura que mejor completa el espacio en blanco: (UNI-06-II) Rpta.: A 05 ¿Qué número falta en el paréntesis? (UNFV06) 27 2 72 (9) (4) ( ) 3 8 2 Resolución: A) B) C) D) E) Resolución: En la primera columna, la figura pequeña es interna ( ) = 72 × 2 = 12 Rpta.: 12 06 Indique la alternativa que cumple con la analogía mostrada. (UNI-08-I) En la segunda columna, la figura interna está en el borde. es a como En la tercera columna, la figura interna es externa. A) B) En la primera fila, el movimiento es horizontal y a la derecha. D) E) es a...? C) 39 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: 02 ¿Cuál de las figuras no corresponde a la serie? (UNE-04-I) La figura se invierte verticalmente. La figura superior es oscura y más grande ⇒ se descartan A, B y D. La línea interna de la figura superior gira 90° El círculo interior de la figura inferior cambia de color. Rpta.: C 07 Halle el número que falta en la figura (UNE03II) 17 12 7 23 33 A) 1 2 3 B) 2 C) 3 4 5 D) 4 E) 5 03 ¿Qué número falta? (UNFV-08-I) A) 269 11 40 1 280 321 256 48 30 225 1124 32 ? B) 429 C) 225 D) 256 E) 169 04 ¿Cuál es el número que falta escribir? (UNFV- 26 Resolución: (17 + 7) ÷ 2 = 12 (40 + 26) ÷ 2 = 33 (23 + 11) ÷ 2 = 17 Rpta.: 17 08 Encontrar el valor de x en el segundo cír- 04) 372 (9) 201 715 (7) 312 406 ( ) 211 A) 2 C) 8 B) 6 D) 12 E) 16 05 Indique la figura que debe ocupar el casillero. (UNI-06-I) culo (UNE-03-II) 6 11 2 9 5 20 1 24 15 18 22 x Resolución: 9 – 2 = 7 11 – 5 = 6 6 – 1 = 5 22 – 15 = 7 24 – 18 = 6 20 – x = 5 A) B) D) E) (UNI-66-II) Rpta.: 15 REFORZANDO 01 Señale la figura que no tiene relación con las demás: (UNE-85 A) B) D) E) A) 9 4 9 20 8 5 14 10 3 z B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 07 Determine el valor de x: (UNFV-04) C) A) 4 40 06 Determine el valor de z en la tabla mostrada: x = 15 A) C) 3 4 3 9 3 6 x 7 5 B) 6 C) 8 D) 12 E) 30 ANALOGÍA S Y DISTRIBUCIONES 08 Calcule el número que falta en: (UNFV-06) A) 3 13 ¿Qué número falta en el segundo círculo? (UNE-04-I) 4 3 3 6 4 6 12 2 7 x 15 B) 5 C) 8 D) 9 E) 11 09 Si las figuras de los recuadros I y II tienen la misma relación análoga, determine la figura que debe ocupar el casillero Z. (UNI-05-II) A) 9 2 12 18 6 20 B) 7 C) 13 A) B) D) E) C) A) c - d 3 7 A) 16 12 B) 18 8 C) 20 23 9 D) 22 2 3 10 47 x A) 6 B) 7 3 7 C) 8 D) 9 1 E) 10 ? 500 A) 100 D) 3125 B) 3500 E) 3725 E) 12 B) h - e D) i - h E) g - i f b C) g - h 12 3 4 2 1 B) 13 14 C) 15 3 2 6 4 ? 3 1 D) 16 E) 18 85 A) A) B) D) E) demás + B) + C) + D) + 10 C) 02 Señale la figura que no tiene relación con las A) 12 ¿Qué número falta? (UNFV-00) 1 D) 15 01 ¿Cuál de las figuras rompe la secuencia? (UNE- E) 24 6 2 5 ? TAREA x 11 Halle x: (UNFV-08-I) 1 3 A) 10 10 Hallar el número que falta: (UNFV-00) 10 31 15 Halle el número que falta: (UNFV-05) 4 5 a d c RECUADRO II 13 14 Escriba las letras que faltan: Z RECUADRO I 23 8 + E) 03 Determine el valor de “x” en el siguiente arre- 75 glo. (UNAC-08-I) C) 4400 A) 23 2 4 3 5 2 1 33 68 x B) 21 C) 29 D) 28 E) 31 41 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 ¿Cuál es la figura que no tiene relación con las demás? (UNFV-05) 08 Halla el número que falta (UNE-07) 8/5 13/5 3/5 x 1 2 3 A) 1/3 18/5 23/5 B) 28/5 C) 20/6 D) 1/5 E) 1/36 09 Escriba el número que falta en el triángulo. (UNE-03-II) 4 A) 1 5 B) 2 C) 3 D) 4 12 E) 5 05 Distribuya los cajones del 1 al 8, uno en cada casilla, de tal forma que no haya dos números consecutivos uno al lado del otro ni en diagonal. La suma de los cuatro números que ocupará la columna central vertical es: (UNI-07-I) 8 3 14 32 A) 2 36 B) 7 C) 14 D) 9 9 16 25 3 B) 15 C) 16 D) 18 05-II) 3 6 8 4 7 4 A) 33 D) 42 12 6 3 B) 36 E) 64 A) 7 E) 20 06 Determine el valor de “x” en el cuadro: (UNE84 78 x 07 Las figuras A y B están relacionadas. Indique cuál de las figuras numeradas tiene esa relación con la figura C. (UNE-90 A) B) 9 C) 3 36 D) 6 E) 12 SEMINARIO 01 C) 38 E) 4 10 Escriba el número que falta: 6 4 A) 14 18 ? Si la flecha doblada de la figura girase en sentido antihorario 3000°, ¿en qué posición quedaría? (UNFV-08-I) A) B) D) E) C) 02 Indique la alternativa que no guarda relación con las demás: A B C A) B) D) E) C) 03 Señale la figura que no tiene relación con las 42 1 2 3 4 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 demás: A) B) D) E) C) ANALOGÍA S Y DISTRIBUCIONES 11 En la distribución gráfica, por analogía halle el 04 ¿Cuál es el número que falta? (UNE-04-I) valor de: 2x + 5 (UNFV-08-II) 7 10 19 11 15 28 16 8 ... A) 26 B) 24 C) 31 23 D) 47 15 42 7 8 D) 54 A) 41 100 60 20 B) 5 C) 3 17 9 8 5 4 21 2 1 ? 7 E) 1 2 3 A) 16 B) 13 12 A) 16 9 B) 25 D) 10 E) 3 4 3 C) 4 10 D) 42 E) 49 D) –4 5 E) –3 A) 3, 5 y 9 D) 6, 0 y 6 8 x 12 8 7 8–x B) 4, 4 y 8 E) 7, 1 y 5 12 6 8 B) 7 12–t C) 2, 4 y 6 10 C) 8 D) 9 E) 10 14 Indique el número que corresponda al signo de interrogación: (UNI-08-II) 402 los vértices del segundo triángulo. (UNE-08) 1 E) 34 9 9 A) 6 7 10 Observa y calcula los números que deben ir en 6 D) 48 9 3 27 (–1) 2 64 (–5) 3 125 (x) 1 B) –2 C) 17 1 10 09 Calcula el valor de x: A) 2 7 8 W C) 36 ? 4 2 ? 1 5 E) 31 signo de interrogación (UNI-07-II) 2 30 D) 18 15 08 Determine el valor de W (UNI-06-I) 8 C) 37 13 Indicar el número que debe reemplazar al 8 C) 5 B) 10 (UNE-06) D) 2 4 B) 9 8 12 Determine el número que falta en la figura. 19 11 ? 07 ¿Qué número completa la relación? (UNF-04) A) 2 x+6 5 E) 13 06 Hallar el número faltante: A) 7 9 24 C) 41 500 300 100 5 x 6 (84) 8 7 (24) 6 9 (x) 4 B) 63 15 79 E) 15 05 Calcula el valor de x: A) 36 13 402 67 ? 851 86 6 13 14 303 49 5063 A) 99 D) 1724 B) 168 E) 2371 C) 482 15 En el siguiente esquema, halle: x – y (UNFV-07) 5 10 8 16 27 y 40 9 3 A) 28 B) 27 10 C) 26 14 x 6 3 7 D) 25 E) 24 43 Capítulo 06 FRACCIONES DEFINICIÓN Fracciones heterogéneas.- Si tienen denominadores diferentes. 13 1 15 10 ; ; ; ← Son heterogéneas 7 2 18 14 Una fracción es la división de dos números enteros a positivos de la forma , con la condición de que b el numerador sea diferente de un múltiplo del denominador. Fracciones equivalentes.- Las fracciones son equivalentes si representan el mismo número racional. 6 21 = son equivalentes. Ambos representan 1,5. 4 14 a ⇒ b ≠ 0; a ≠+b b ayb∈ Ejemplos: 1 3 9 17 ; ; ; ;... 2 5 7 10 NO SON FRACCIONES 1 p 5 0 1 2 ; ; – ; ; ;... 2 7 9 3 4 Se denominan "Números fraccionarios" CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES Las fracciones se clasifican de acuerdo a diversos criterios: a Sea f = una fracción de términos positivos. b I. Según la comparación de términos f= a si a < b ⇒ f propia b si a > b ⇒ f impropia II. Según los divisores comunes entre los términos f= a Irreductible si a y b PESI b Reductible si a y b no son PESI III. Según el denominador f= a Fracción decimal si b = 10n (n ∈ +) b Fracción ordinaria si b ≠ 10n (n ∈ +) IV. Según la comparación de varias fracciones Fracciones homogéneas.- Si tienen denominadores iguales. 2 1 18 ; ; ← Son homogéneas 7 7 7 44 Una fracción reductible siempre tiene una equivalente irreductible, así se puede hallar la forma general de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada. Ejemplo 1: Halle todas las fracciones equivalentes a la fracción 20 15 Resolución: Primero simplificamos: 20 4 = 15 3 20 Todas las fracciones equivalentes a son de la 15 4k 20 4k forma : = 3k 15 3k Ejemplo 2: 18 ¿Cuál es la fracción equivalente a cuyos términos 24 sumen 63? Resolución: 18 3 18 3k = ⇒ = ⇒ 3k + 4k = 63 24 4 24 4k k=9 ∴ 18 3 × 9 27 = = 24 4 × 9 36 OPERACIONES CON FRACCIONES 1. Adiciones y sustracción Fracciónes homogéneas: 2 4 13 2 + 4 + 13 19 • + + = = 15 15 15 15 15 4 8 11 4 + 8 – 11 1 • + – = = 9 9 9 9 9 FRACCIONES Fracciones heterogéneas: 30 ÷ 15 30 ÷ 6 30 ÷ 3 • 7 1 2 2 · 7 – 5 · 1 + 10 · 2 29 – + = = 30 30 15 6 3 MCM Ejemplos 3 1. Si una persona gasta los de su dinero entonces 7 4 3 4 le queda los . + = 1 7 7 7 5 de su contenido, en12 7 5 7 + =1 . tonces le queda de su contenido 12 12 12 2. Si un recipiente pierde los 3. División 3 4·3 2 =6 •4÷ =4· = 2 2 3 4 4 1 4 • ÷3= · = 7 7 3 21 3 6 3 7 7 • ÷ = · = 5 7 5 6 10 PROBLEMAS BÁSICOS DE FRACCIONES 3 1. ¿Cuánto es los de 400? 5 Resolución: 3 3 · 400 3 de 400 = · 400 = = 240 5 5 5 FRACCIONES COMPLEMENTARIAS Dos fracciones son complementarias si suman igual a la unidad. 1 2 1 3 2 con porque + = = 1 3 3 3 3 3 3 7 3 10 7 con porque + = = 1 10 10 10 10 10 FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD La fracción se puede interpretar como el número de partes consideradas de una cantidad dividida en partes iguales. #Partes 1 consideradas 9 ⇒ 5 9 5 5 · 72 de 72 = = 40 9 9 Donde 32 + 40 = 72 el total 2. Multiplicación 3 2 3·2 6 = • · = 5 5 5 · 5 25 4 3 5 4·3·5 5 • · · = = 9 2 6 9·2·6 9 4 4·5 5 •4× = = 3 8 2 3 3 · 7 21 • ·7= = 10 10 10 4 9 4 representa la parte considerada, su comple9 5 mentario representa la parte no considerada: 9 Si 4 9 #Partes en que se ha dividido la unidad 4 de 72, significa que 72 se ha dividido en 9 partes 9 iguales de las cuales se ha considerado 4: 4 4 · 72 4 de 72 = · 72 = = 32 9 9 9 7 2. ¿Los de qué número es 56? 9 Resolución: 7 7 9 56 → ⇒ x = 1 × 56 ÷ = 56 · 9 9 7 x→1 x = 72 3. ¿Qué fracción de 120 es 40? Resolución: 120 → 1 ⇒ x = 40 → x 40 · 1 1 = 120 3 También: Parte 40 1 = = Todo 120 3 FRACCION DE FRACCIÓN Una fracción no siempre se tiene que aplicar sobre una cantidad entera, sino, sobre otra cantidad fraccionaria. Ejemplo 3: El papá de Jaime repartió su fortuna de S/. 30 240 2 entre sus herederos. A Jaime, le tocó los . Él, de su 7 5 parte, cedió los a una sociedad benéfica. ¿Con 12 cuánto se quedó? 45 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: 2 Herencia de Jaime: de 30 240 = 8 640 7 7 5 de Cedió los , entonces se quedó con los 12 12 8 640 = 5 040. En resumen, se quedó con: 7 2 7 2 los de los de 30240 = · · 30240 = 5040 soles. 12 7 12 7 Obsérvese, en el ejemplo, que la segunda fracción no se aplica sobre el monto original, sino sobre otra fracción. FRACCIÓN GENERATRIZ I. Decimal Exacto: Para convertir un decimal exacto a fracción, se escribe en el numerador, el número sin la coma decimal, y en el denominador, la cifra 1 seguida de tantas cifras "ceros" como cifras tenga la parte decimal. Ejemplos: 0,4 = 4 152 4371 ; 1,52 = ; 4,371 = 10 100 1000 II. Periódico Puro: Para convertir un decimal periódico puro a fracción, se escribe en el numerador, el periodo, y en el denominador, tantas cifras 9 como cifras tenga el periodo. Ejemplos: 2 14 715 0,2 = ; 0,14 = ; 0,715 = 9 99 999 III. Periódico Mixto: Para convertir un decimal periódico mixto a fracción, se escribe en el numerador la diferencia entre el número dado sin la coma decimal menos el número que no es periódico mixto, y en el denominador, se escribe tantas cifras 9 como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos: 0,16 = 16 – 1 15 = 90 90 1,24 = 124 – 12 112 = 90 90 3,015 = 3015– 30 2985 = 990 990 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso? (UNMSM 09-II) Resolución: 25 2525 252525 + + 36 3636 363636 E= 5 12 Resolución: Si tuviera 2 manzanas habría obtenido: 5 5 8 + = 3 5 3 25 25(101) 25(10101) + + 36 36(101) 36(10101) E= 5 12 8 = 8 debe vender cada 3 una en 8 ÷ 2 = 4 soles Rpta.: 4 soles 3 × 25 36 E= =5 5 12 Si quiere obtener 3 46 02 Simplifica: Rpta.: 5 FRACCIONES 03 Simplifica 0,12 11 90 1+ 1 2+ Resolución: 12 – 1 90 11 R = 90 = 3 1+ 7 11 90 11 90 = 7 10 10 7 06 Hace 5 años habían en un pueblo 132 000 vacas que es igual a los 11/12 de la cantidad que hay actualmente. Hallar el crecimiento promedio anual de las vacas. Resolución: 1 3 12 (132 000) = 144 000 au11 mentó en 144 000 – 132 000 = 12 000 en 5 años cada año aumentó en promedio Actualmente hay 12 000 ÷ 5 = 2400 7 Rpta.: 10 04 De un vaso lleno con agua, bebo la sexta parte y luego la cuarta parte del resto. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del total? (UNFV-02) Resolución: Luego de las dos primeras veces queda: 3 5 5 × = 4 6 8 3 2 para que quede se debe beber 8 8 Expresado como fracción de lo que quedó es: 2 5 2 8 2 ÷ = × = 8 8 8 5 5 2 Rpta.: 5 05 Hugo y Paco encuentran la lata de chocolates de su mamá, Hugo saca un tercio pero le da remordimiento y devuelve cuatro chocolates, luego Paco saca un cuarto de lo que quedaba, se come cinco y devuelve los tres que le quedaban. Hallar cuantos chocolates había al inicio. (PUC 05-I) Rpta.: 2400 07 Una finca se divide en tres parcelas. La pri- mera es igual a los 4/7 de la superficie de la finca y la segunda es igual a la mitad de la primera. La extensión de la finca es de 14 000 m2. ¿Cuál es la superficie de la parcela más pequeña? (UNE-08) Resolución: 1° parcela: 4 7 Paco sacó 5 + 3 = 8 que es la cuarta parte, entonces había 8 × 4 = 32 chocolates tras la devolución de Hugo. Sin la devolución habría quedado 32 – 4 = 28, 2 que son los del total. 3 3 Entonces había: (28) = 42 2 Rpta.: 42 2 7 1 3° parcela: (14 000) = 2000 7 Rpta.: 2000 08 Se deja caer una pelota desde cierta altura. Calcula dicha altura, sabiendo que en cada rebote que da alcanza los 3/4 de la altura anterior y que en el tercer rebote alcanzó 27 centímetros. (UNE-07) Resolución: h Resolución: Después de la devolución de Hugo queda: 2 + 4 chocolates. 3 2° parcela: 4 • h2 = (27) = 36 3 4 • h2 = (48) = 64 3 h1 h2 27 4 • h1 = (36) = 48 3 Rpta.: 64 cm 47 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO REFORZANDO 01 Efectuando: 12,12666 .... –11,666.... obtenemos la fracción irreductible a/b. ¿Cuánto suman a y b? (PUC-03 II) A) 71 B) 73 C) 46 D) 82 A) 875 galones C) 750 galones E) 1025 galones B) 900 galones D) 925 galones 07 ¿Qué fracción representa la parte sombreada? E) 50 02 La suma de los términos de una fracción es 12. Si se aumenta 3 al numerador y 5 al denominador, se obtiene una fracción equivalente a 2/3. ¿Cuál es la diferencia de sus términos? (UNE-07) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 03 De un grupo de alumnos la tercera parte no contestó una pregunta, de los que contestaron 3/5 respondieron mal. ¿Qué parte del total de alumnos respondió correctamente? (PUC-03 II) A) 4 15 B) 6 15 C) 6 12 D) 4 11 E) 3 14 04 Se tiene un depósito de leche, al repartir en 10 baldes de capacidad cada uno, queda todavía 1/4 del total en el depósito original. ¿Qué parte del volumen total hay en cada balde? (PUC-99) A) 3 4 B) 3 40 C) 3 20 D) 3 10 E) 7 10 05 Cada triángulo en la cadena descendente tie- ne sus vértices en los puntos medios de los lados del triángulo equilátero mayor. Determine la magnitud del área de la región sombreada, si el patrón indicado de sombreado continúa indefinidamente. (UNI 05- II) A) 1 8 B) 1 16 C) 1 32 D) 1 64 E) 1 128 08 Federico vende 3 naranjas por un sol y Miguel que tiene la misma cantidad de naranjas las vende a 2 por un sol. Para evitar la competencia deciden asociarse y vender las naranjas a un precio que les reporte los mismos ingresos que si estuvieran separados. Por lo Tanto venderán. (UNI 05- I) A) 5 naranjas por 2 soles B) 6 naranjas por 3 soles C) 7 naranjas por 11 soles D) 10 naranjas por 10 soles E) 12 naranjas por 5 soles 09 Juana compra cierto número de naranjas, la mitad del total a 5 por S/. 6 y la otra mitad a 6 3 por S/. 7. Luego, vende los del total a 3 por 5 S/. 5 y las restantes a 4 por S/. 7. Si ganó un total de S/. 1 085, ¿cuántas naranjas compró? (UNMSM 08-II) A) 2100 D) 1800 B) 2400 E) 1600 C) 2200 10 Hallar una fracción equivalente a 4/11 sabiendo que al sumarle 11 a cada término se obtiene 0,5227. (UNALM) A) L 3 A) L2 5 4 D) L2 5 3 B) L2 4 4 E) 3L2 5 3 C) L2 3 06 Se tiene un tanque de 2 700 galones de agua, se extraen 5/12 del líquido y luego 4/9 de lo que queda. ¿Cuántos galones quedan en el tanque? 48 8 22 B) 16 44 C) 12 33 D) 4 11 E) 23 44 11 José gasta de su sueldo: los 2/3 en Naty, 2/7 de lo que le queda en Chaska, a continuación gasta los 3/5 del nuevo resto en Alhelí y luego con los 5v/8 que le queda adquiere un regalo para su compadre y aún así le sobran 60 nuevos soles. Si con estos 60 nuevos soles cancela su deuda con Pedro, ¿a cuánto asciende el sueldo de José? A) 1 780 D) 1 560 B) 1 650 E) 1 860 C) 1 680 FRACCIONES 12 Ana tiene S/.120 y pierde tres veces consecu- tivas 1/2, 1/3 y 1/4 de lo que le iba quedando, ¿con cuánto se quedo? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 13 En una prueba de 100 preguntas, un alumno deja de contestar 2/3 de los 3/5 del total y contesto mal los 3/4 del resto. ¿Cuántas contestó bien? (PUC-97) 05 Por cada 5 Regalan 1 Precio = 5 Por cada 10 Por cada 20 Regalan 2 Regalan 5 Precio = 8 Precio = 15 Si en total se gasta $74 y se sabe que se compró 2 cajas de 20 y en total se llevo 110 lapiceros, ¿cuántas cajas compró en total? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 06 A los alumnos de sexto y sétimo ciclo se les longitud es filtro. Un fumador aprovecha sólo las 7/8 partes del tabaco y en cada “pitada” se consume 1/64 parte de lo fumable. ¿En cuántas “pitadas” consumirá este fumador todo el cigarro? (PUC 08-II) manda a realizar un trabajo, el cual lo pueden realizar individualmente o en parejas. Si deciden trabajar en parejas, uno de ellos debe ser de sexto y sétimo grado obligatoriamente. Sabiendo que los 2/3 de los alumnos de sexto y los 3/5 de los alumnos de sétimo trabajan en pareja, ¿qué fracción del total de alumnos trabajan individualmente? (PUC 05-I) A) 32 A) A) 25 B) 15 C) 40 D) 45 E) 35 14 En un cigarro con filtro, la cuarta parte de su B) 16 C) 64 D) 48 E) 56 15 Encuentra la fracción equivalente a 377/493, tal que la suma de sus términos sea múltiplo de 42 y la diferencia de dichos términos esté comprendida entre 30 y 80. Calcule la suma de las cifras del numerador. A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 9 01 Hallar un número tal que disminuido en sus 2/7 da 35 PUC-97 B) 49 C) 35 D) 56 E) F.D. 02 Un hombre tenía 15 lts de agua, los 4/5 los envasó en botellas de 3/4 de litro y el resto en botellas de 1/2 litro. Hallar la cantidad total de botellas. (PUC-98) A) 22 B) 20 C) 21 D) 16 E) N.A. 03 Juan tiene “x” naranjas, de las cuales le regala a su amigo Pedro 1/3; luego a su amiga Gabriela 3/4 de lo que le queda. ¿Qué proporción de naranjas le queda al final, respecto de lo que tuvo al inicio? (UNE-03 II) 1 1 1 7 2 B) C) D) E) A) 6 3 4 12 3 04 Por la compra de 3 peras, pagas 2 soles y las vendes 4 peras a 3 soles. ¿Cuántas hay que vender, para ganar 6 soles? (PUC-08 I) A) 36 B) 7 19 C) 13 19 D) 8 19 E) 10 19 07 Las indicaciones de un tarro de leche dicen 1 que por cada 1 tazas de leche se le agreguen 2 1 4 tazas de agua. ¿Cuántas tazas de agua se 2 3 necesita agregar a tazas de leche? (UNE-05 I) 4 1 1 1 1 C) 2 D) 2 E) 1 A) 2 B) 2 8 4 8 2 08 Antonio llegó tarde a una conferencia y se TAREA A) 42 5 19 B) 18 C) 72 D) 144 perdió 1/7 de ella. Tres minutos más tarde llegó José y escucho los 5/6 de la conferencia. Si la conferencia empezó a las 9:00 am. ¿A qué hora terminó? (PUC-97) A) 11:02 am D) 11:00 am B) 12:00 pm E) 11:26 am C) 11:06 am 09 Un obrero ha ahorrado cierto dinero durante 4 meses. Cada mes ahorró 1/3 de lo que ahorró el mes anterior y el último mes ahorra S/. 100. ¿Cuánto dinero había ahorrado? (PUC-97) A) 2 000 D) 4 000 B) 2 700 E) N.A. C) 8 000 10 Un padre dejó una herencia entre sus hijos para que se distribuyan en partes iguales. Uno de los hermanos renunció a su dote, el cual se repartió por igual entre los restantes, por lo que cada hermano recibió 8/7 de lo que debieron recibir, ¿cuántos hermanos son? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 E) 200 49 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 ¿Qué fracción representa el área de la región SEMINARIO sombreada con respecto al total? 01 El período de una fracción de denominador 11 es de 2 cifras que se diferencian en 5 unidades. Halle la suma de los términos de dicha fracción, si es la menor posible. A) 20 B) 14 C) 18 D) 17 E) 15 02 Juan perdió 3 de lo que no perdió. ¿Cuánto 4 perdió si tenía S/.242 al inicio? A) 66 B) 88 C) 154 D) 72 E) 99 03 José se propone cosechar 180 manzanas. El primer día cosecha 4/9 del total proyectado y el segundo día los 2/5 del resto. ¿Cuántas docenas le falta por cosechar? UNMSM 05-I A) 4 1/2 B) 6 1/2 C) 2 D) 4 E) 5 04 Tengo S/. 90 y gasto los 3/5 y me roban 1/3 del resto. ¿Cuánto me quedará? PUC-98 A) 36 B) 48 C) 54 D) 24 E) 63 05 Tenemos 2 números tales que si al primero le sumamos la quinta parte del segundo resulta igual al segundo mas la novena parte del primero. Hallar la relación entre el primero y el segundo. PUC-01 A) 9/5 B) 9/10 C) 10/9 D) 5/9 E) N.A. 06 Se tiene 100 barras de fierro. De ellas, 42 tienen 1 3 una longitud de 2 m y el resto mide 1 m más. 2 4 Si la masa de un metro lineal de dichas barras es de 4 kilogramos, ¿cuánto es el total de las 100 barras? UNE 01-II A) 1436 D) 1450 B) 1424 E) 1460 C) 1448 07 Un padre reparte n soles entre sus cuatro hijos de la manera siguiente: un hijo recibe la mitad del total, otro la cuarta parte del resto, otro la quinta parte de lo que queda y el último 42 soles. Luego n es igual a: UNMSM 04-II A) 80 B) 140 C) 100 D) 240 E) 180 08 En una granja los 5/8 de los animales son vacas las 4/7 no dan leche y 150 si dan leche. ¿Cuántos animales hay en la granja? PUC-03 A) 300 50 B) 560 C) 450 D) 820 E) 640 A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 6 10 Siete estudiantes tienen un presupuesto mensual de S/. 4 200 en Lima. Si 3 de ellos van a Trujillo por 5 meses y gastan 2/3 de lo que gastaban en Lima. ¿Cuánto gastaron en los 5 meses? PUC-97 A) 2 400 D) 12 000 B) 4 800 E) 3 000 C) 6 000 11 En una reunión la octava parte de las mujeres no bailan y la quinta parte de los hombres fuman. Si en total hay 100 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? PUC 09- I A) 40 B) 60 C) 80 D) A o B E) A o C 12 Si: a + n = 0,(n + 1)a0 Calcule: a + n 37 A) 6 9 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 13 Una tela de forma rectangular al lavarse se 2 1 encoge en de su largo y los de su ancho. 5 4 ¿Qué fracción del área inicial de la tela es la nueva área? 1 7 9 1 1 B) C) D) E) 5 20 20 2 4 14 Un padre reparte un terreno entre sus 3 hijos; si el primer hijo recibe las 2/7 parte del total; el segundo 69 hectáreas y el tercero tanto como los otros dos juntos. ¿Cuántas hectáreas tenía el terreno? PUC-01 A) A) 232 B) 315 C) 245 D) 322 E) 320 15 Se deja caer una bola sobre una mesa desde cierta altura. Sabiendo que en el tercer rebote alcanza una altura de 27 cm y que después de cada rebote pierde 2/5 de altura, hallar la longitud de la trayectoria que describe la bola hasta el punto en que alcanza la máxima altura después del segundo rebote. UNSAAC-05 A) 320 cm D) 325 cm B) 230 cm E) 125 cm C) 235 cm Capítulo 07 TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de una cantidad es dividir en 100 partes iguales dicha cantidad y tomar "n" partes tomadas equivalen al "n por 100" del total o al "n" por ciento" del total. Es decir: El 0,7% del 5% por 14 de x es igual al 30% de 20, calcula el valor de x. Algunas equivalencias Dado que el tanto por ciento expresa el número de centésimas partes, se puede expresar como fracción o decimal. Fracción 1/2 1/4 1/5 3/4 1 2 Decimal 0,5 0,25 0,2 0,75 1,0 2,0 OPERACIONES CON EL TANTO POR CIENTO Caso 1: 50 40 × × x = 144 100 100 x = 400 Ejemplo 4: N N% = 100 % 50% 25% 20% 75% 100% 200% Resolución: % × CANTIDAD = ? Resolución: 7 5 30 × ×x= × 20 1000 14 100 x = 2400 Caso 3: ? × CANTIDAD = RESULTADO Ejemplo 5: ¿Qué porcentaje de 240 es el 30% de 200? Resolución: x 30 × 240 = × 200 100 100 x = 25% Ejemplo 6: Ejemplo 1: ¿Qué porcentaje de 400 es el 4 por 5 del 0,2% de 50000? El 20% del 30% de 400 es: Resolución: Resolución: 30 20 × × 400 = 24 100 100 Ejemplo 2: x 4 2 × 400 = × × 50000 100 5 1000 x = 20% MÉTODO PRÁCTICO ES × 100 DE El 0,3% del 60% de 5000 es: Resolución: 3 60 × × 5000 = 9 1000 100 Ejemplo 7: ¿Qué porcentaje de 150 es 900? Resolución: Caso 2: % × ? = RESULTADO Ejemplo 3: El 40% del 30% de una cantidad es 144. Calcula dicha cantidad. Reemplazando: es 900 de 150 900 × 100 = 600% 150 51 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Caso 4: % MAS % MENOS Donde: VF: valor final Ejemplo 8: V0: valor inicial El 20% más de 130 es: Ejemplo 11: Resolución: Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%. ¿En qué porcentaje aumenta su área? 120 × 130 = 156 100 Resolución: Ejemplo 9: La variación porcentual del área no depende de la medida del lado, sólo depender de la variación porcentual. Esto implica que cualquiera sea la medida que fijemos para el lado inicial, no cambiará la variación porcentual del área mientras el aumento del lado sea del 30% El 30% menos de 110 es: Resolución: 70 × 110 = 77 100 AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS 1. Aumento único: Au = A1 + A2 + A1 × A2 % 100 Entonces asumamos que el lado del cuadrado inicial sea de 10 cm: Final Inicial 102 = 100 Solo para 2 aumentos 10 2. Descuento único: D × D2 Du = D1 + D2 – 1 % 100 Solo para 2 descuentos Ejemplo 10: ¿Cuál es el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40% más el 60%? Resolución: Si el precio fuera 100 el primer descuento sería de 40 y quedaría 60. El segundo descuento sería del 60%(60) = 36. El descuento total sería 40 + 36 = 76, que equivale al 76% precio formulado. 132 = 169 13 El área inicial es 102 – 100 Cuando el lado del cuadrado aumenta su 30% se convierte en 13 y el área final resulta 132 = 169. El área aumentó de 100 cm2 a 169 cm2. En términos porcentuales aumentó de 100% a 169%, esto es, 69% ∴ Cuando el lado aumenta en 30% el área aumenta en 69% Ejemplo 12: Si el ancho de un rectángulo aumenta en 20% y el largo disminuye en 20%, ¿cómo varía el área? Resolución: 5 5 × 20 = 100 4 4 × 24 = 96 Mediante la fórmula: 40 · 60% Du = 49% + 60% – = 76% 100 La cuestión radica en que los descuentos posteriores al primero se aplican sobre precios descontados. Disminuye en 100 – 96 = 4 <> 4% VARIACIONES PORCENTUALES Las ganancias y las pérdidas de las ventas generalmente se expresan como un tanto por ciento del costo. Se cumple: V –V Vp = F 0 × 100 V0 52 20 24 APLICACIONES COMERCIALES Supóngase que un comerciante compra un artefacto por 600 soles. Lo ofrece a la venta en 900, pero en el momento de vender descuenta 180 y lo vende en 900 –180 =720 soles TANTO POR CIENTO Costo: 840 → 100% Véase el esquema: Precio fijado = 900 Precio de costo = 600 Ganancia: 168 → x Aumento = 300 Ganancia Descuento 120 180 ⇒x= 168 × 100% = 20% 840 Se ganó el 20% del costo. Se vendió en 840 + 168 = 1 008 soles La venta de un artículo no siempre produce ganancia, también puede producir pérdidas. En tal caso, el precio de venta es inferior al del costo. Precio de venta = 720 En términos porcentuales: 100% precio fijado Ejemplo 14: Precio de costo (100%) Aumento = 50% Ganancia Descuento 20% 20% del costo del P. fijado Nótese que la ganancia está expresada como el 20% del precio de costo, mientras que el descuento, también es 20 %, pero del precio fijado. Ejemplo 13: Se ha comprado dos artículos, el primero por 480 y el segundo por 560. Si el primero se vendió con una pérdida del 25%, ¿qué tanto por ciento se debe ganar en la venta del segundo para obtener una ganancia del 24% en la venta de los dos? Resolución: Se ha perdido: 25%480 =120 Se quiere ganar: 24%(480 + 560) = 249,6 Para fijar el precio de un artículo que costó 840 soles, se incrementó su costo en 60%, pero en el momento de vender se rebajó en 25%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó y a qué precio se vendió? En la venta del segundo artículo se debe ganar 120 para cubrir la pérdida, y 249,6 para que quede como ganancia, o sea, hay que ganar 120 + 24,96 = 369,6 en la venta del artículo que costó 560 soles. Debemos averiguar qué tanto por ciento de 560 es 369,6: Resolución: Precio fijado = 840 + 504 = 1344 560 → 100% 396,6 → x Pc = 840 60%840 = 504 ⇒x= 369,6 × 100% = 66% 560 Ganancia 25%(1344) 504 – 336 = 336 = 168 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si x = 250% y, ¿qué porcentaje de “x” es 2y? PUC 08-I Resolución: x= 250 2x y⇒y= 100 5 ⇒ 2y = 4x 4 · 100%x = = 80%x 5 5 Rpta.: 80%x 02 En un internado de 900 alumnos, el 4% se adorna con un solo pendiente. La mitad del resto usa dos pendientes y la otra mitad ninguno. El total de pendientes que llevan las alumnas es: UNE-90A Resolución: Un pendiente: 4%900 = 36 Resto: 900 – 36 = 864 Dos pendientes: 864 ÷ 2 = 432 Total pendientes: 36 + 2 · 432 = 900 Rpta.: 900 53 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 03 En una asociación de 250 personas, la que tiene una tasa de deserción del 10% mensual, además se sabe que de los que quedan cada uno trae tres personas. Hallar el número de personas que desertaron en el primer trimestre. PUC 04-I Resolución: 06 El precio de venta de un televisor se fija en 150 soles más que su precio de costo; pero, al venderlo con un descuento del 10% se perdió 80 soles ¿A qué precio se vendió el televisor? UNMSM 08-I Resolución: C Primer mes: + 80 + Salen: 10% 250 = 25 V Quedan: 225+3(225) = 900 Segundo mes: 150 Dcto: 10% 80 + 150 = 230 → 10% ⇒ 100% → 2300 Salen 10%900 = 90 C + 150 = 2300 ⇒ C = 2150 Quedan: 810+3(810) = 3 240 V = C – 80 = 2150 – 80 = 2070 Rpta.: 2070 soles Tercer mes: Salen 10% 3240 = 324 Total desertores: 25 + 90 + 324 = 439 Rpta.: 439 04 Un hombre reparte una herencia entre su 07 En un triángulo la base se reduce un 10%, mientras que la altura se aumenta en 10%. Entonces el área: UNMSM-80 Resolución: mujer y sus 3 hijos. Su mujer recibe el 50% del total más 25% del resto; y el resto lo reparte equitativamente entre sus hijos recibiendo cada uno S/. 10 000. Hallar cuánto recibe su mujer. PUC-99 Resolución: Los hijos reciben 10 000 × 3 = 30 000 11 10 20 A= 18 20 × 10 = 100 2 37,5% ⇒ 30 000 62,5% ⇒ x x= 62,5 × 30 000 = 50 000 37,5 Rpta.: S/. 50 000 08 Un vendedor aumenta el precio de un artículo en 150% de su valor. ¿Cuál es el descuento que tiene que hacer sobre el nuevo precio para no ganar ni perder? UNMSM 07-II Resolución: 100 05 ¿En qué tanto por ciento varía "P", si "t" aumenta en 10%? 1 P = gt2 UNFV 08-II 2 Resolución: "t" aumenta en 10% ⇒ 110%t = 1,1t 1 1 P = g(1,1t)2 = g(1,21t2) 2 2 1 2 P = 1,21 × gt = 121%gt2 2 Rpta.: Varía en 21% 54 18 × 11 = 99 2 Rpta.: Disminuye en 1% Las mujer recibe 50% + 25%(50%) = 62,5% Los hijos 100% – 62,5% = 37,5% A´ = 150 Nuevo precio = 250 250 → 100% 150 → x ⇒ x= 150 × 100% = 60% 250 Rpta.: 60% TANTO POR CIENTO A) 10 REFORZANDO B) 960 E) 9600 C) 9,6 02 Si A es 150% de B, ¿qué porcentaje es B de A+B? PUC-00 A) 25% B) 75% C) 40% D) 20% E) N.A. 03 El 5% del 10% de los 4/3 de una cantidad es 15 Halla dicho número. UNE-07 04 Si el 80% del número de damas que asistie- ron a una reunión es equivalente el 20% del número de varones, ¿qué porcentaje de los asistentes son damas? PUC 03-II C) 40% D) 8% E) 4% 05 Si la base de un rectángulo se aumenta en 10% y el área no varía, entonces la altura disminuye en: UNMSM-81 A) 10% D) 9% B) 9 1/11% E) 11% C) 11 1/9% pagan 360 soles de comisión. ¿Cuál es el % de mi comisión? UNMSM-81 B) 7 C) 15 D) 25 E) 27 07 En un examen de selección para ingreso a una empresa, el 60% de mujeres y el 70% de hombres aprobaron el examen. Si el total de mujeres es el 80% del total de personas, ¿qué porcentaje del total de personas no aprobaron el examen? UNMSM 07-I A) 35% B) 30% C) 38% E) 15 A) 750 huevos C) 360 huevos E) 720 huevos B) 400 huevos D) 960 huevos 11 ¿Qué porcentaje de la venta se ha ganado cuando se vende en $.120,000 lo que ha costado $.96 000? UNMSM-85 C) 25% D) 20% E) 18% 12 Rosa y Teresa tienen igual suma de dinero, pero si Rosa le da a Teresa 300 soles el dinero que le queda a Rosa sería igual a 40% de lo que tendría Teresa. ¿Cuánto tiene cada una? UNMSM-81 A) 750 B) 650 C) 700 D) 800 E) 850 13 Tenía 30 lápices. Dí a mi hermano Enrique 30%, a mi primo Juan 20% y a mi amigo Pedro el 10%. ¿Cuántos lápices me quedan? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 14 Si el 40% de mujeres puede elegir y el 52% 06 Al vender un automóvil en 7 200 soles me A) 5 D) 14 total. Si el 5% de la diferencia entre este total y los rotos es 36 en el cajón hay. UNMSM-82 A) 24% B) 22% A) 1500 B) 2000 C) 2250 D) 2200 E) 210 A) 25% B) 20% C) 20 10 Un cajón contiene 4% de los huevos rotos del 01 Calcular 6% del 2% de 8000. PUC-97 A) 96 D) 0,96 B) 12 D) 40% E) 42% 08 ¿A cómo vendo lo que me costó “a” soles para ganar “b”, por ciento del precio de venta? UNMSM-81 100a a–b a B) C) A) 99b 100 100b 10 100a D) E) 10 – b 100 – b 09 En un salón de clase hay 16 varones y 24 mu- jeres. ¿Cuántas mujeres deben retirarse para que el porcentaje de hombres aumente en 24%? UNMSM-86 de la población es femenina, ¿qué porcentaje de la población constituye las mujeres electoras? A) 18,1 B) 26,4 C) 20,8 D) 40,0 E) 52,0 15 En una granja de aves, el 40% es de gallinas. Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué % ha disminuido el número de aves? A) 10% B) 6% C) 8% D) 12% E) 7% TAREA 01 Descuentos sucesivos de 15% y 20% son equi- valentes a un descuento único de: UNMSM-85 A) 16% D) 25% B) 32% E) 17.5% C) 35% 02 Si “A” es 10% menos que “B” y “C” 20% menos que “D”, ¿Qué porcentaje menos es “A · C” de “b · d”? PUC-03 A) 28 % B) 72 % C) 36 % D) 64 % E) 52% 55 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 03 El 20% de a es b y el 10% de a es 5. Hallar b. PUC-97 A) 50 B) 20 C) 40 D) 30 E) 10 04 Si la base del rectángulo aumenta en el 1% y la altura disminuye en 1% entonces su área: UNMSM-82 que “D” ¿Qué porcentaje menor es “A · C” de “B · D”? A) 28 % B) 72 % C) 36 % D) 64 % E) 52 % (A – B) es (A + B)? UNAC 04-I A) 300% D) 200% 05 En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? B) 53,5% E) 42% C) 57,1% 06 Un cajón contiene 8% de huevos rotos del total. Si el 10% de la diferencia de este total y los huevos rotos es 161. Hallar el número total de huevos. UNFV-01 A) 1750 B) 1700 C) 850 01 Si “A” es 60% menor que “B” y “C” 30% menor 02 Si el 50% de A es igual a B, ¿qué porcentaje de A) disminuye en el 1% B) disminuye en el 0.1% C) aumenta en el 1% D) no varía E) varía de otro modo A) 62% D) 82,5 % SEMINARIO D) 350 E) 216 07 En la empresa MMC, el 40% de los hombres y B) 100% E) 350% 03 Si el 40% de (4x + 9) es igual a (x + 6), determine el valor numérico de T = 3 x3 + 3x2 + 13 UNFV-04 A) 1 B) 3 C) 5 D) 0,5 E) 0,2 04 Juan vendió dos pipas a S/.120 cada una. Si al venderlas, en una de ellas gana el 20% y en el otro pierde el 20% respecto de su costo, entonces: UNMSM-86 A) No ganó ni perdió C) Ganó S/.20 E) Perdió S/.10 B) Ganó S/.10 D) Perdió S/.20 05 Al inicio de una clase hay 64 alumnos pre- el 20% de las mujeres concurrieron al festival deportivo. Si el 60% de los empleados son hombres, ¿qué porcentaje del total de empleados concurrió al festival? UNFV-03 sentes posteriormente ingresaron 16 que llegaron tarde si antes del término de la clase se retiraron el 30% de los presentes, ¿cuántos alumnos quedaron en el aula? UNFV-04 A) 38 % B) 25 % C) 32 % D) 36 % E) 40 % A) 34 08 Un padre reparte 1125 entre sus dos hijos si el mayor hubiera recibido 20% menos y el menor 30% menos tendrían igual cantidad de dinero. Hallar cuánto tiene el mayor. PUC-00 A) 525 B) 625 C) 675 D) 600 E) 650 09 Un artículo es rebajado en 20%. ¿En qué por- centaje debe elevarse este nuevo precio para ganar el 20% del precio original? UNMSM-82 A) 70% B) 40% C) 25% D) 60% E) 50% 10 Si el radio de un círculo aumenta el 100%, el área aumenta el: UNMSM-83 A) 100% D) 400% B) 200% E) N.A C) 300% B) 48 C) 24 D) 46 E) 56 06 Si el 74% de N–1 es igual al 95% de (N–1 –126), ¿qué porcentaje de N representa 0,01? (UNSMM 09- II) A) 252 % D) 444 % B) 570 % E) 504 % C) 148 % 07 Una empresa de informática emplea a 800 personas. De ellos, 42% son varones y el 50% de los varones no tiene más de 30 años. ¿Cuántos varones de esta empresa son mayores de 30 años? UNMSM 07-I A) 168 B) 173 C) 183 D) 156 E) 178 08 En una caja hay “x” bolas de las cuales 25% son blancas y el 75% son rojas. Si se duplica las blancas, ¿cuál es el porcentaje de las rojas respecto del total? UNMSM-94 A) 45 % B) 50 % C) 40% 56 C) 400% D) 60 % E) 25 % TANTO POR CIENTO 09 Si A es el 10% de la suma de C y D; además C representa el 20% de la suma de A y D, calcular A: C A) 12: 11 D) 11: 12 B) 6: 11 E) 11: 6 C) 6: 7 10 El récord de Fernando en los campeonatos de tiro es del 80% sobre sus tiros. Cierta vez en una competencia sobre 80 tiros, él ya ha disparado 60 tiros errando 10. ¿Qué porcentaje de los que faltan tirar, debe acertar como mínimo para superar su récord? A) 70 % B) 75 % C) 72 % D) 68 % E) N.A. 11 El a por ciento de P habitantes de un cierto país son hombres. Si el b por ciento del número de mujeres sabe leer y escribir, entonces el número de mujeres que no saben ni leer ni escribir es: A) (b – a)(1–b/100)P B) (1 – a/100)P C) a(1 – b/100)P D) (1 – a/100)(1–b/100)P E) (b – a)(1 – a/100)P cada uno se añaden 5 litros de alcohol de S/. 2.50 el litro. ¿En cuánto debe venderse el litro de las mezcla para ganar el 20% sobre el precio de compra? B) 0.337 E) 0.587 un 30% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos, ¿cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se puede retirar? A) 5 B) 25 C) 50 D) 75 E) 10 14 En una universidad particular, el Dpto. de servicio social decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% el resto, si el monto total de las pensiones queda disminuida en un 10% con esta política, ¿qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos? A) 50 % D) 80 % B) 82% E) 85 % C) 19 % 15 En una industria se han fabricado 1000 pro- 12 A 215 litros de un vino que importa S/. 0.40 A) 0.357 D) 0.537 13 Un boxeador decide retirarse cuando tenga ductos, el 60% de ellos han sido fabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Se sabe que el 5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defectuosos hay en los 1000 productos? A) 50 B) 90 C) 46 D) 48 E) 40 C) 0.437 Sabías que... • El número 26, es el único número que tiene un antecesor (25) que es un cuadrado perfecto (25 = 5 × 5) y un sucesor (27) que es un cubo perfecto (27 = 3 × 3 × 3). • El número 5 (cinco) tiene la misma cantidad de letras que el número que expresan. Y en ingles, el 4 (four) es el que cumple con dicha condición. • Si tienes una pizza con un radio Z y una altura A, su volumen será: PI × Z × Z × A. • Multiplicación capicúa: 1089 × 9 = 9801 57 Capítulo 08 CONTEO DE FIGURAS Consiste en determinar el número de figuras de algún tipo que hay en una figura principal. Esencialmente se puede contar mediante dos métodos: Por enumeración y por inducción. 1. Conteo por enumeración Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos hay en la figura? • Triángulos de 7#s 2345679 ⇒ 1 • Triángulos de 9#s 1345689ab ⇒ 1 Total =10 + 8 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 29 Triángulos 2. Conteo por inducción El método inductivo se utiliza para contar figuras que presentan una regularidad repetitiva, que permite hacer una generalización en una fórmula que representa el número de figuras del tipo que se quiere contar. Segmentos: Analizamos los casos particulares: Resolución: Enumeramos todas las regiones de la figura. Obsérvese que en lugar de utilizar los números 10 y 11 hemos utilizado las letras a y b. Esto es con la finalidad de utilizar una sola cifra o letra. 1 2 4 7 3 5 a 9 6 8 b Enseguida contaremos los triángulos de un solo número, luego los de dos números, en este caso combinando cada número con números mayores que él, así sucesivamente hasta terminar con el triángulo de mayor cantidad de números. • Triángulos de 1#s 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; a, b ⇒ 10 • Triángulos de 2 #s 1 =1⇒1 1 2 =3⇒1+2 1 2 3 =6⇒1+2+3 1 2 3 4 Calcula el total de segmento en: 1 2 7 6 3 4 3 6 7 2 1 Resolución: Aplicando la fórmula: 2 7(7 + 1) = 56 seg. 2 ÁNGULOS 1 2 3 ... 134a, 39ab, 4567 ⇒ 3 58 5 4 5 • Triángulos de 4#s 23459; 5689b ⇒ 2 n(n + 1) 2 Ejemplo 2: • Triángulos de 3#s • Triángulos de 5#s n 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 39; 3a; 45; 59; 67; 68; 9b, ab ⇒ 8 234; 239, 34a, 59b ⇒ 4 ... n CONTEO DE FIGURA S TRIÁNGULOS Se cumple: n(n + 1) 2 1 2 3 Ejemplo 3: Calcula el total de ángulos agudos en el gráfico mostrado. ... n Se cumple: n(n + 1) 2 Ejemplo 5: Resolución: Calcula el total de triángulos. 12 3 4 5 6 1 2 3 6(7) = 21 – 1 → representa ⇒ un S recto 2 ... n ... 10 Resolución: 3 ∴ 20 S agudos 2 SECTORES CIRCULARES 1 1 2 3 1 2 3 ... 10(11) = 55 2 n Luego: 55 × 3 = 165 Se cumple: ALGUNAS FÓRMULAS n(n + 1) 2 n Ejemplo 4: ... Calcula el total de sectores circulares en: 3 2 1 1 2 3 ... n Total de triángulos = n(n + 1) Resolución: 6 ⇒ 6(7) 4(5) + = 31 2 2 n 1 ... 2 3 4 5 2 3 3 4 m ... 1 3 2 2 1 Total de triángulos = 1 nm(n + m) 2 59 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1 ... 3 2 n–1 II. 1 n 2 3 ... n 2 3 ... n(n + 1)(2n + 1) 6 Total de triángulos = m Total de cuadriláteros = n(n + 1) n(m + 1) × 2 2 CUADRADOS Ejemplo 7: 1 2 3 ... n Calcula el total de cuadrados. 1 n(n + 1)(n + 2) Total de triángulos = 6 2 3 4 5 2 3 CUADRILÁTEROS I. 1 2 3 ... Resolución: Aplicamos la siguiente estratégia n 3 × 5 + 2 × 4 + 1 × 3 = 15 + 8 + 3 = 26 cuadrados n(n + 1) 2 PIRÁMIDES Ejemplo 6: ... Calcula el total de cuadriláteros en: p 2 1 1 2 ... n 2 ... Resolución: 4 3 2 1 2 3 4(5) 3(4) + = 10 + 6 – 1 = 15 2 2 60 m Total de pirámides de base cuadrangular n(n + 1) m(m + 1) × ×p 2 2 CONTEO DE FIGURA S RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? UNFV-02 ¿Cuántos cuadriláteros debería indicar el ganador? Resolución: 3 1 Resolución: De 1#: 6 De 2#s: 3 De 3#s: 6 De 6#s: 1 2 3 1 10 2 3 5 6 4 3 × 10 + 1 × 3 + 2 × 3 = 39 Total = 16 Rpta.: 16 02 Calcule el número de triángulos que con- Rpta.: 39 04 ¿Cuántos ladrillos hay en la figura que consta de 100 filas? tengan un asterisco como máximo. UNE-06 4 3 2 1 Resolución: Resolución: Debemos hallar una fórmula que reemplazando el número de la fila reproduzca el número de ladrillos. B M P Q N A H C B B ⇒ M A A A A Vamos a contar cuántas ladrillos hay cuando hay una fila, luego, cuando hay 2 filas, en seguida, cuando hay 3 filas, así sucesivamente, hasta descubrir cómo depende la cantidad de ladrillos del número de filas: B B N A H N P 1 fila 1 ladrillo B 2 filas 4 ladrillos 3 filas 9 ladrillos Q Q P Q A C Rpta.: 7 03 Una conductora de televisión ofreció dar dos mil soles a la persona que llame y acierte sobre el número de cuadriláteros que hay en la siguientes figura: UNE-06 Compara los números de las dos columnas. Los números de la primera columna (1; 2; 3) indican cuántas filas hay en la figura. Los números de la segunda columna (1; 4; 9) indican cuántos ladrillos hay en cada figura. Entre estos números hay una dependencia: Fila N° ladrillos 1 2 3 1 = 12 4 = 22 9 = 32 61 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Esto significa que en 4 filas hay 42 = 16 ladrillos. Comprobemos: 4 3 07 Calcula el total de triángulos en: 1 2 16 ladrillos Resolución: 1 Efectivamente hay 16 ladrillos. Entonces la fórmula es: Número de ladrillos = n2 1 n → números de filas 2 4 2 Aplicamos la fórmula: Para 100 filas, hacemos n = 100 Número de ladrillos = 1002 = 10000 Rpta.: 1000 ladrillos 3 5 3 5 × 3 × (5 + 3) = 60 2 Rpta.: 60 triángulos 08 ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en la siguiente figura? 05 Indique el número de semicírculos que hay en la figura. UNE-06 Resolución: 1 Resolución: 2 3 4 5 6 7 2 Cada diámetro determina 4 semicírculos, dos a cada lado: Total = 4 × 3 = 12 Rpta.: 12 06 Determine la cantidad de pirámides de base cuadrada que contiene el siguiente sólido: UNI 08-I 3 4 Cuadriláteros = 10 × 28 = 280 Cuadrados = 4 × 7 + 3 × 6 + 2 × 5 + 1 × 4 = 60 ⇒ 280 – 60 = 220 Rpta.: 220 REFORZANDO 01 Calcula el total de triángulos. Resolución: base 6 A) 39 B) 33 C) 36 D) 31 E) 41 02 ¿Cuántos segmentos hay en total? 1 12 + 22 + 32 + 42 = 30 Total = 30 × 6 = 180 62 2 base 30 3 1 Rpta.: 180 A) 298 B) 266 2 3 C) 199 10 D) 307 E) 284 CONTEO DE FIGURA S 03 Calcula el total de sectores circulares. A) 10 B) 13 C) 17 D) 20 09 Indique el número total de triángulos que hay en la siguiente figura. UNI-01-I E) 23 04 Calcula el total de triángulos en la siguiente figura. A) 10 A) 18 B) 14 C) 16 D) 7 E) 8 10 Calcular el número de triángulos que por lo menos tengan dos bolitas. UNE-04-I B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 05 ¿Cuántos rectángulos hay en la figura? UNE-08 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 11 En la figura, los segmentos rectilíneos que la forman son horizontales y verticales. ¿Cuántos rectángulos distintos se pueden observar en total? UNI 08-II A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 06 ¿Cuántos triángulos en total presenta la figura? UNFV 08-I A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30 12 ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 UNFV-08-II 07 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? UNE-83 A) 12 A) 11 B) 9 C) 10 D) 14 E) 13 08 En la figura, el número de triángulos, y cuadri- B) 13 C) 14 D) 20 E) 30 13 Halle el número de triángulos en la siguiente figura: UNFV-06 láteros convexos es: UNE 05- I A) 14 A) 13 B) 12 C) 8 D) 14 B) 17 C) 20 D) 23 E) 18 E) 10 63 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 14 En la figura mostrada, ¿cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco? UNI-09-I * * * A) 6 B) 10 04 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? C) 12 D) 16 E) 18 15 ¿Cuántos sectores circulares hay en total en la siguiente figura? A) 3 B) 81 C) 90 D) 92 E) 95 TAREA C) 5 D) 8 te figura: UNFV-05 B) 12 C) 11 D) 10 rectas paralelas al lado AB. ¿Cuál es el número de puntos de intersección, cuando se trazan 10 rectas paralelas al lado AC por la parte izquierda? UNE-05 I C A A) 50 B) 114 C) 116 D) 118 E) 120 02 Calcula el total de triángulos. A) 21 B) 42 C) 63 D) 84 E) 9 06 En el triángulo ABC de la figura, se trazan 01 Calcula el total de segmentos. A) 112 E) 7 05 Halle el número de cuadriláteros en la siguien- A) 13 A) 80 B) 4 B) 10 B C) 5 D) 20 E) 40 07 Determinar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la figura: UNMSM-07 E) 105 03 Calcula el total de cuadriláteros. A) 19 B) 16 C) 20 D) 22 E) 24 08 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? UNFV-08 II E D B A) 200 64 B) 210 C) 220 D) 230 E) 240 A A) 130 B) 120 C C) 135 D) 140 E) 110 CONTEO DE FIGURA S 09 Indica el número de triángulos que se observan en la figura UNI 2012-II A) 8 B) 10 C) 11 D) 13 04 Indicar el máximo número de triángulos que hay en la figura. UNE 04-I E) 17 10 ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en la siguiente figura? A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 05 A partir de la figura que se presenta a continuación, indique la expresión, en función de «N», que permite determinar el número total de cuadrados. UNI-06 I A) 83 B) 89 C) 94 D) 98 N cuadrados E) 102 SEMINARIO N cuadrados 01 Calcula el total de sectores circulares en: N(N + 1) 2 N3 – 1 N(N + 1)(2N + 1) D) C) 3 6 E) N3 – N A) N2B) A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 02 Determinar el número de cuadriláteros con un ”*” en la figura: UNMSM- 04 06 En el esquema siguiente: UNAC-05 II 1 2 A) 9 B) 11 C) 10 D) 8 3 E) 12 4 ... 03 Determine la cantidad de rectángulos contenidos en la figura mostrada. UNI-08 I 29 30 Halle el total de triángulos. A) 708 A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 B) 350 C) 630 D) 354 E) 468 E) 18 65 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Determine la cantidad de triángulos que hay en esta figura: UNI-07 I 12 ¿Cuántos cuadrados se podrán contar, como máximo, tal que posean al menos un asteristico? * * * * A) 29 B) 30 C) 32 D) 34 E) 35 08 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? A) 10 D) 28 B) 16 E) más de 28 A) 12 B) 16 C) 15 D) 14 E) 17 13 ¿Cuántos triángulos, que por lo menos tie- nen un asterísco en su interior, existen en el siguiente gráfico? C) 20 09 En la figura, halla el número de triángulos. * * A) 38 B) 40 * * C) 37 D) 39 E) 36 14 Halle el número total de pentágonos en el siguiente gráfico. 1 2 3 ... n ... A) 48 B) 40 C) 36 D) 42 E) 32 10 El número de cuadriláteros que se tiene en el siguiente gráfico es 1 2 3 n ... A) 2n + 3 D) 2n – 1 B) 2n E) 4n – 2 C) 4n 15 ¿Cuántos triángulos existen en el siguiente gráfico? 2 ... A) 2n2 D) 2n2 – 1 B) n2 – 1 E) (n + 1)2 C) 2n2 + 1 11 Determine la suma del número de pentágonos y el número total de hexágonos. A) 40 66 B) 35 C) 45 D) 30 E) 55 A) 40 B) 42 C) 43 D) 44 E) 50 Capítulo PLANTEO DE ECUACIONES I IDENTIDAD Y ECUACIÓN Sean P(x) y Q(x) las expresiones algebraicas. La igualdad P(x) = Q(x) Se puede cumplir de dos maneras: 1. Identidad Para cualquier valor de la variable. Ejemplo (x – 1)(x + 2) + 1 = x2 + x – 1 Para x = 1 (0)(3) + 1 = 12 + 1 – 1 1=1 Para x = 0 (–1)(2) + 1 = 0 + 0 – 1 –1 = –1 La igualdad se cumple para todos los valores reales de x. 2. Ecuación Para algunos valores de la variable. Ejemplo (x – 1)(x + 2) = 2x Para x = 2 (1) (4) = 2(2) ⇒ 4 = 4 Para x = –1 (–2)(1) = 2(–1) ⇒ –2 = –2 Para x = 1 (0)(3) = 2(1) ⇒ 0 = 2 09 Los casos típicos consisten en expresar dos o más números en función de la misma variable, en base a la relación que guardan entre ellos. Ejemplos Relación entre A y B Un número es doble de otro Un número es la mitad del otro Un número es los dos quintos del otro Dos números que suman 30 Un número es 25 unidades mas que el otro Un número es 35 unidades menos que el otro Dos números que están en la relación de 5 a 7 Dos números que se diferencian en 8 A x 2x B 2x x 5x 2x x 30 – x x x – 25 x x + 35 5x 7x x x+8 Ejemplo 1: Falta del día el doble de las horas transcurridas. ¿Qué hora es? Resolución: Horas transcurridas: x Falta del día: 2x x + 2x = 24 ⇒ x = 8 Esta igualdad se cumple sólo para x = 2 y x = –1. Para cualquier otro valor de x, no se cumple. Son las 8 de la mañana. Esta igualdad se llama ecuación. La variable x es la incógnita. Los valores de x que hacen verdadera la igualdad (verifican) se llama solución. El proceso de hallar la solución se llama resolución. Una persona ha comprado 30 artículos entre libros y cuadernos por un valor de 175 soles. Si los libros costaron 8 soles cada uno y los cuadernos 3 soles, ¿cuántos compró de cada cosa? PLANTEO DE ECUACIONES Plantear una ecuación es expresar en una ecuación el enunciado de un problema. En un problema matemático siempre hay cantidades conocidas y desconocidas. Las cantidades desconocidas se tienen que expresar mediante variables, tratando en lo posible de utilizar el menor número de variables. Ejemplo 2: Resolución: # libros: x ⇒ Importe: 8x # cuadernos: 30 – x ⇒ Importe: 3(30 – x) Donde: 8x + 3(30 – x) = 175 8x + 90 – 3x = 175 5x = 85 x = 17 compró 17 libros y 30 – 17 = 13 cuadernos. 67 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 3: Ejemplo 6: Tres hermanos, Alipio, Felipe y Melisa, se repartieron una fortuna de 18 000 soles. Alipio recibió 2 000 soles más que Melisa y Felipe, tanto como el doble de lo que recibieron Alipio y Melisa juntos. ¿Cuánto le tocó a cada uno? Alicia tiene 300 soles y Mauricio, 480 soles. Ambos empiezan ahorrar mensualmente 120 soles y 250 soles respectivamente. ¿Dentro de cuántos meses Mauricio tendrá el doble de lo que tenga Alicia? Resolución: Melisa: x Juntos: 2x + 2000 Alipio: x + 2000 Felipe: 2(2x + 2000) Dentro de x meses: Alicia: 300+ 120x Mauricio: 480 + 250x De la condición Donde: x + (x + 2000) + 2(2x + 2000) = 18 000 6x = 12 000 Melisa: 2 000; Resolución: x = 2 000 Alipio: 4 000; Felipe:12 000 Ejemplo 4: Alejandro recibió 120 soles. Tuvo entonces 5 veces de lo que hubiera tenido, si hubiera perdido 80 soles. ¿Cuánto tenía al principio? Resolución: Tenía: x 480 + 250x = 2(300 + 120x) 480 + 250x = 600 + 240x 10x = 120 x = 12 Al cabo de 12 meses o un año. Ejemplo 7: Se ha comprado calculadoras por 1 200 soles. Si cada una hubiera costado 4 soles menos, se habría comprado 10 unidades más por la misma suma. ¿Cuánto costó cada una? Resolución: Si pierde 80 tendría x – 80 Recibiendo 120 tiene x+120 Cada una costó x soles. ¿Cuál es el número cuyo triple, disminuido en 18, es igual al doble, del número aumentado en 24? 1200 x Si costara 4 soles menos, costaría x – 4 1200 El número de calculadoras sería: x–4 Habría comprado 10 unidades más: 1200 1200 = + 10 x x–4 1200 1200 = = 10 x x–4 Resolución: 120x – 120(x – 4) = x(x – 4) De la condición: x + 120 = 5(x–80) x + 120 = 5x–400 x = 130 ∴ Tenía 130 soles Ejemplo 5: Número: x Triple, disminuido en 18: 3x – 18 Doble, del número aumentado en 24: 2(x + 24) Luego: 3x – 18 = 2(x + 24) x = 66 El número es 66. 68 Número de calculadoras: 480 = x(x – 4) 24 · 20 = x(x – 4) x = 24 PLANTEO DE ECUACIONES I RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 A una conferencia asisten 200 personas, mitad varones y mitad mujeres. 50 varones usan lapicero. Hay tantas personas con lapiceros como mujeres que no lo usan. ¿Cuántas mujeres no usan lapiceros? UNFV-04 Resolución: Total Varones: Mujeres: 100 100 Lapicero S/. Lapicero 50 x 50 100 – x 04 La suma de los cuadrados de dos números reales es igual a 2 y la suma de los mismos es igual a –2. El producto de ellos es: Resolución: x2 + y2 = 2 (1) x + y = –2 (2) (x + y) = x + y + 2xy 2 2 2 (–2)2 = 2 + 2xy ⇒ xy = 1 Rpta.: 1 50 + x 05 La suma de dos cifras de un número N es 50 + x = 100 – x ⇒ x = 25 100 – 25 = 75 Rpta.: 75 02 Se contrató a un profesional por un año y al final del cual se le tenía que abonar S/. 24 000 y un auto. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo S/. 3 700 y el auto. ¿Cuánto vale el auto? UNSAAC-02 Sueldo : x Número N = x(11 – x) (11 – x)x + 9 = x(11 – x) 110 – 10x + x + 9 = 9x + 11 Costo auto: A 12x = 24 000 + A (1) 5x = 3 700 + A (2) 7x = 203 ⇒ x = 2 900 (1) – (2): Resolución: 10(11 – x) + x + 9 = 10x + 11 – x Resolución: igual a 11. Si sumamos 9 al número que resulta al invertir el orden de las cifras de N. Obtenemos el número original. Halle el producto de las cifras de N. UNAC 06-I En (2): 5(2 900) = 3 700 + A ⇒ A = 10 800 Rpta.: 10800 03 A dos mulas se carga con canastas del mismo peso. Una de ellas se fatiga por lo que se aligera el peso quitándole una canasta que se trasfiere a la otra mula. Resulta esta entonces con doble carga que la otra. ¿Cuántas canastas trasportaban las dos mulas? UNE-09A Resolución: Inicio Luego 1o mula x x+1 108 = 18x ⇒ x = 6 y 11 – x = 5 ∴ 6 · 5 = 30 Rpta.: 30 06 Un ingeniero petroquímico percibe de sueldo cuatro veces lo que percibe un docente universitario, además la suma de las inversas de estos sueldos es a/c. ¿Cuál es el sueldo del docente? UNE-07 Resolución: Ingeniero: 4x Docente: x 1 1 a 1 4 a + = ⇒ + = 4x x c 4x 4x c 5 a 5c = ⇒ x= 4x c 4a 2 mula x x–1 x + 1 = 2(x – 1) ⇒ x = 3 Rpta.: 5c 4a ∴ 2x = 6 Rpta.: 6 69 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Un lápiz y un borrador cuesta 4,80 si se sabe que el lápiz cuesta dos soles más que el borrador. ¿Cuánto cuesta el lápiz? PUC-97 Resolución: por S/. 9,60. Si 2 kilos de zanahoria cuestan lo mismo que 1 docena de huevos. ¿Cuánto cuesta un kilo de zanahoria? PUC 07-I A) S/. 2,4 D) S/. 3,6 L + B = 4,80 L = 3,40 L–B=2 B = 1,4 Rpta.: 3,40 08 En las balanzas mostradas, tres dados pe- san lo mismo que los vasos, mientras que el peso de un vaso es igual al de un dado y dos canicas juntas. ¿Cuántas canicas se necesitan para equilibrar el peso de un dado? UNMSM 08-II Resolución: 3D = 2V ⇒ 04 Se compran 3 kilos de zanahoria y 6 huevos B) S/. 4,8 E) N.A. 05 En el número 3bc, el cuadrado de la cifra que ocupa el lugar par es igual a la suma de las cifras que ocupan los lugares impares. Si además se cumple que 3 – b + c = 6, halle b2 + c2. UNAC-07 II A) 53 B) 58 C) 34 D) 45 E) 41 06 La cabeza de un pez mide 10 cm la cola es tan larga como la cabeza más 1/2 del cuerpo; el cuerpo están largo como la cabeza y la cola juntas, el pez mide: UNE-82 B A) 80 cm D) 90 cm D 2k = V 3k C) S/. 1,2 B) 70 cm E) N.A. C) 40 cm 07 Juan le dice a Pedro: Si me dieras 5 de tus ca- V = D + 2C 3k = 2k +2C k = 2C ⇒ D = 2k = 2(2c) = 4c Rpta.: 4 canicas nicas, ambos tendríamos la misma cantidad y este le respondió: Si me dieras 10 de las tuyas tendría el doble de lo que te quedaría. ¿Cuántas canicas tiene Juan? UNMSM 08-II A) 45 B) 30 C) 50 D) 35 E) 40 08 Los lados de un triángulo son número naturales consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar la suma de los lados UNMSM 08-II REFORZANDO 01 Hallar la suma de las cifras del número cuya mitad, más el doble, más la tercera parte, más el triple dan 70. UMSM 04-II A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6 02 Si a la clase de Física asisten “Z” alumnos y se sabe que hay 20 mujeres más que varones. ¿Cuántos varones hay en el aula? UNI 07-I 2Z – 3 B) 2 Z E) + 6 3 Z–5 A) 3 Z D) – 10 2 Z C) + 5 2 03 Mario podría ahorrar 20 soles diarios, pero cada día de la semana gasta o 6 soles en el cine o 5 soles en la cafetería. ¿Al cabo de cuántos días ha logrado ahorrar 176 soles? UNMSM 08- I A) 11 70 B) 10 C) 14 D) 12 E) 16 A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17 09 Una botella de vino cuesta diez nuevos soles. El vino vale ocho nuevos soles más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella? UNE 05- I A) S/. 1 D) S/. 0.50 B) S/. 2 E) S/. 8 C) S/. 3 10 Un obrero a recibido como paga en 1 mes S/. 2 500 entre su sueldo y horas extraordinarias. Su sueldo excede en S/. 2 000 a las horas extraordinarias. ¿Cuál es su sueldo básico? PUC-01 A) S/. 2 050 D) S/. 500 B) S/. 2 000 E) S/. 4 500 C) S/. 2 250 11 Se tienen dos números “A” y “B”, se toma el cuádruplo de cualquiera de ellos menos 2 y es igual al mismo número al cuadrado. Hallar la suma de los números. PUC 06-II A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 PLANTEO DE ECUACIONES I 12 Juan tiene S/. 3 más que María, si luego Juan le da S/. 5 a María, ¿cuál será la diferencia de lo que tienen Juan y María? PUC06-II A) S/. 5 B) 3 C) 7 D) 10 E) 15 13 Los nietos de don Julio deciden comprarle un obsequio. Si no colaborasen cinco de ellos, a cada uno de los restantes le correspondería S/. 4 más y si no colaborasen tres, a cada uno de los otros le correspondería S/. 2 más. ¿Cuántos nietos tiene don Julio? UNMSM 07-II A) 13 B) 15 C) 16 D) 14 E) 11 14 Sólo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul, menos cuatro; y todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? UNMSM 07-II A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 9 15 En la figura, se muestran 144 depósitos de forma cilíndrica, de 30 cm de diámetro y 10 cm de altura, llenos de aceite y un depósito de forma cónica, cuyo radio de la base mide 90 cm. Si queremos vaciar todo el aceite en el depósito cónico. ¿Qué altura debe tener dicho depósito para que esté completamente lleno? UNMSM 08-II ... A) 90 cm D) 130 cm B) 120 cm E) 160 cm ; C) 150 cm TAREA 01 Cuatro número impares consecutivos suman 72. Calcular uno de ellos. PUC 05-II A) 21 B) 13 C) 11 D) 23 E) 25 02 En un examen de 35 preguntas a un alumno se le pregunta cuantas contesto bien, el dice “conteste bien los 3/4 de lo que conteste mal” ¿Cuántas contestó bien? PUC-01 A) 15 B) 20 C) 25 D) 17 E) N.A. 03 Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/. 1 200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra? UNMSM-97 A) 18 personas B) 36 personas C) 6 personas D) 12 personas E) 20 personas 04 Hallar el número que elevado al cuadrado y aumentado en el triple de su valor da como máximo 20 veces el séptimo número primo PUC 08-I A) 13 B) 14 C) 16 D) 12 E) 17 05 Una piscina rectangular de 4 m de ancho por 9 m de largo tiene alrededor un paseo de ancho uniforme. Si el área del paseo es 68 metros cuadrados, el ancho del paseo será. UNMSM-97 A) 3 m B) 5 m C) 2 m D) 4 m E) 1 m 06 Si a las dimensiones de los lados de un rectán- gulo se le añade 7 metros, resulta que su área aumenta en 364 m2. Determine el perímetro de dicho rectángulo, en metros, si las dimensiones de sus lados difieren en 5. UNE 01-II A) 90 B) 88 C) 70 D) 68 E) 45 07 En una compañía telefónica se cobra “R” soles trimestralmente de renta básica mas S/. 2 por llamada, ¿Cuántos centavos ahorraría durante un año en “n” llamadas si ya no se paga renta básica y en vez de pagar S/.2 por llamada se pagaría S/. P? (P>2) PUC 05-II A) (4R–Pn+2n)/100 C) 100[R–2n+P] E) 100(4R+2n–Pn) B) 100(4R+2n+Pn) D) (4R+Pn–2n)/100 08 Al salir de compras llevaba 20,000 soles en billete de mil soles, y además otros billetes de 500 soles. Al regresar traía tantos billetes de mil como billetes de 500 tenía al principio y tantos billetes de 500 como de mil tenía antes. Si me queda dos tercios del dinero que llevaba al salir de compras, entonces gasté en total: UNE-82 B A) S/. 12,000 D) S/. 18,000 B) S/. 24,000 E) S/. 7,500 C) S/. 15,000 09 En un triángulo acutángulo el número de grados sexagesimales del menor de sus ángulos multiplicado por la suma de los números de grados sexagesimales de los otros dos es igual a 5600, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? PUC 06 -II A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 70° 10 La diferencia de dos números es 64 y la división entre el mayor y el menor da 3 de cociente y 18 de residuo. Entonces el cuadrado de la suma es: A) 12 100 D) 16 900 B) 21 316 E) 11 236 C) 10 404 71 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 Un empleado renuncia 10 días antes de ter- SEMINARIO 01 Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. UNFV-00 A) 13 B) 10 C) 7 D) 3 E) 8 02 Si a un número de 3 cifras que empieza en 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las cifras de dicho número es: UNAL-92 A) 20 B) 17 C) 19 D) 18 E) 15 03 La diferencia entre el triple del sucesor de a y el doble del anterior del cuadrado de b se expresa matemáticamente por. UNA 05-I A) 3(a+1)–[(2b)2–1] C) 3(a+1)–(2b–1)2 E) 3(a+1)–2b2–1 B) 3(a+1)– [2(b–1)]2 D) 3(a+1)–2(b2–1) 04 Con 22 niños por lado se forma un triángulo equilátero. ¿Cuántos niños deben unirse a este grupo para formar un cuadrado con 17 niños en cada lado? UNMSM 05-I A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 05 En la figura AD = 35 m. Si x ∈ N, halle x. UNAC 07-I y–x A A) 4 m 06 Si 2 + 2 x2 3x – y B B) 7 m x2–1 2x + y C C) 6 m x2–1 x2–2 +2 +2 +2 x > 0, hallar x. UNMSM 08-II A) 1 5 C) 2 B) 2 07 Hallar x en: x2–4 E) 5 m = 62 donde D) 2 B) 23 C) 3 D) –3 E) 5 E) –1 08 Juan reparte 24 000 soles en partes iguales a un grupo de personas. Si hubiera incluido dos personas más, la cantidad de soles que recibió cada uno de ellos hubiera disminuido en 20 soles. ¿Entre cuántas personas repartió Juan los 24000? UNMSM 08-II A) 24 72 B) 50 C) 48 D) 32 B) 500 C) 700 D) 800 E) 90 10 Si se gasta en útiles el doble menos cinco del día anterior, ¿cuál es la diferencia entre lo gastado en el primer y tercer día, si en el segundo se gastó 35? PUC-09 I A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65 11 Tres estudiantes se van de viaje, primero gas- ta tanto como el tercero y el segundo tanto como los otros días. Si en total gastaron 3000, ¿cuánto más gastó el segundo que el tercero? UNMSM 06-II A) 750 B) 700 C) 800 D) 720 E) 650 12 Daniel tiene en soles el triple de lo que tiene Carlos. Ellos apuestan y en un juego Daniel pierde 2u soles. Entonces resulta que los 5/4 del dinero que le queda a Daniel equivale a los 3/5 de lo que tiene Carlos después de ese juego. ¿Cuánto tenía Daniel antes del juego? UNE-07 A) S/. 74u/63 D) S/. 21u/35 B) S/. 25u/13 E) S/. 13u/25 C) S/. 74u/21 la ecuación: 2x2 – 3x + 4 = 0 UNMSM 05-II A) 4 3 B) 3 4 C) – 3 4 D) – 4 3 E) 0 14 Raúl vendió algunos libros a S/. 28 cada uno 2x + 3 – 3x – 5 = 1 A) 1 A) 600 13 Hallar la suma de los inversos de las raíces de D D) 8 m minar el mes de labores, si hubiera acabado el mes hubiese cobrado 900 nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles recibió por el tiempo trabajado? UNFV-04 E) 36 y recibió S/. K por la venta siendo esta suma inferior a S/. 730. Con el dinero recibido Raúl se compró cierta cantidad de boletos para un concierto y le sobró S/. 32. Si cada boleto costó S/. 60, ¿cuál es la suma de las cifras del número K? UNMSM07-II A) 14 B) 8 C) 11 D) 17 E) 15 15 Resolver: 3 1 – x – 1 = 1 2 x+1 A) –2 B) 2 C) 4 9 – 1 . PUC 04-I 4 x+1 D) 5 E) 1/2 Capítulo 10 MÉTODOS OPERATIVOS MÉTODO DEL CANGREJO Con un número desconocido se realiza una operación, con el resultado otra operación, así un número finito de veces, obteniendo al final un resultado. El “método del cangrejo” consiste en, a partir del último resultado y las operaciones realizadas, descubrir el número desconocido, realizando las operaciones opuestas a las realizadas y en orden inverso al que fueron efectuadas. Ejemplo 1: A un número se multiplica por 3, al resultado se le suma 48, a este resultado se le extrae la raíz cuadrada y finalmente se le resta 36, obteniéndose 24. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea N el número luego: N 24 + 36 = 60 ×3 602 = 3600 + 48 – 36 = 24 3600 – 48 = 3552 3552 ÷ 3 = 1184 ∴ N = 1184 Ejemplo 2: Un reservorio estando lleno se seca en 4 días. Cada día se seca la mitad de lo que hay en la mañana y 320 litros más. ¿Cuál es la capacidad del reservorio? Cuando se seca la mitad, el volumen queda dividido entre 2 y al secarse 320 litros más, esta mitad queda disminuida en 320 litros. Entonces cada día el volumen sufre una división entre 2 y una disminución de 320 litros, quedando al final de los 4 días con 0 litros. Sea V el volumen inicial. ∴ V = 9600 MÉTODO DEL ROMBO Ejemplo 3: En una colección de perros y pollos se cuentan 20 cabezas y 68 patas. Entonces: Hay 14 pollos Hay 5 perros Hay 8 perros mas que pollos No hay 14 perros No hay 6 pollos Resolución: 4 20 × 4 – 68 = =6 x – 4–6 20 – 68 6 pollos 14 perros 2 Ejemplo 4: En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 90 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja? 1o día ÷2 –320 0 + 320 = 320 Resolución: 4 x – 90 × 4 – 252 90 – 252 = 4–2 320 × 2 = 640 2 2o día ÷2 –320 640 × 320 = 960 3o día ÷2 –320 4o día ÷2 –320 = 0 Resolución: 960 × 2 = 1920 1920 + 320 = 2240 2240 × 2 = 4800 4480 + 320 = 4800 4800 × 2 = 9600 54 gallinas MÉTODO DEL RECTÁNGULO Ejemplo 5: Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de S/. 5,50 observa que le falta dinero exactamente para 2 de ellos, Entonces compra entradas de S/. 3,50 así entran todos y sobra S/. 1,00. Hallar el número de hijos (UNMSM 08-II) 73 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: Al principio falta 5,5 × 2 = 11 al pagar 5,5 – 3,50 = 2 soles menos por entrada sobra S/.1. Por cada persona deja de pagar S/. 2. En total dejó de pagar 11 + 1 = 12. Entonces son 12 ÷ 2 = 6, personas. El padre y 5 hijos. Ejemplo 6: Juanita quiere repartir sus caramelos entre sus nietos, si les da 6 caramelos a cada uno les sobra 3 caramelos pero su les da 8 caramelos a cada uno les faltaría 15. ¿Cuántos nietos hay? Resolución: 6 s. 3 – + 8 f. 15 ⇒ 15 + 3 18 = =9 8–6 2 MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA Ejemplo 7: Un estante puede llenarse con 24 libros de álgebra y 20 libros de historia o con 36 de álgebra y 15 de historia. ¿Con cuántos libros sólo de álgebra se llena el estante? (UNMSM 04-II) Resolución: 24 alg. = 20 his. 36 alg. = 15 his. 12 alg. = 5 his. 24 alg. + 48 his. ∴ 72 libros de álgebra Ejemplo 8: Para ganar 50 dólares en la rifa de un reloj, se hicieron 150 boletos, pero se vendieron solo 120, originándose una pérdida de 40 dólares. ¿Cuánto vale el reloj? (UNA-07) Resolución: 150 boletos = reloj + S/. 50 120 boletos = reloj + S/. 40 Luego: 15 boletos – S/.50 = 120 boletos + S/.40 30 boletos = S/.90 1 boleto = S/.3 Por lo tanto: reloj = 150(3) – 50 = 400 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Tres personas deciden jugar a tirar mone- das a ver si coinciden en cara o cruz. Cada uno arroja una moneda, y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada componente tenga en ese momento. Después de tres jugadas, cada jugador ha perdido una vez y tiene 80 soles. ¿Cuánto tenía cada uno al principio? Resolución: Al final cada uno tiene 240 ÷ 3 = 80 Inicio 1° 2° 3° A 130 20 40 80 B 70 140 40 80 C 40 80 160 80 Total 240 240 240 240 Rpta.: 130; 70 y 40 74 02 Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba; repitiendo lo mismo por tercera y cuarta vez, después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego? (UNI-77) Resolución: N: ÷ 2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2⇒6 6×2 12 × 2 24 × 2 48 × 2 = 12 = 24 = 48 = 96 Rpta.: 96 03 Si pagué una deuda de 1450 con 38 billetes de 50 y 220 dólares. ¿Cuántos billetes de 50 dólares he usado? MÉTODOS OPERATIVOS Resolución: 50 + – 38 × 50 – 1450 = 15 38 – 1450 = 50 – 20 20 Luego: 38 – 15 = 23 Rpta.: 23 04 En una hacienda donde hay conejos y patos se contaron 50 cabezas y 4180 patas. ¿Cuántos conejos hay en la hacienda? Resolución: 4 x – 50 – 180 Resolución: 8 chivos < > 2 toros 3 toros < > 20 gatos + 2 tigres < > 6 chivos x gatos < > 12 tigres 8 · 3 · 2 · x < > 2 · 20 · 6 · 12 x < > 60 Rpta.: 60 08 Sabiendo qye 12 aras de paño cuestan lo mismo que 15 metros y que 6 metros valen S/.20. ¿Cuántos costarán 18 varas? Resolución: 50 × 4 – 180 = = 10 patos 4–2 2 Luego: 50 – 10 = 40 conejos 12 varas < > 15 m 6 m < > S/.20 S/. x < > 18 varas 12 · 6 · x < > 15 · 20 · 18 x < > 75 Rpta.: 40 Rpta.: S/.75 05 Un empresario decía: "Si el pago S/.15 a cada uno de mis empleados, me faltarían S/.50; pero si sólo les pago S/.10, me sobrarían S/.30. ¿Cuánto empleados tengo? Resolución: S/.15 f. S/.50 – ⇒ + S/.10 s. S/.30 50 + 30 80 = = 16 15 – 10 5 Rpta.: 16 06 Una bandada de palomas se colocan en los postes de una avenida, si se colocan de 4 en 4, sobran 13 palomas, pero si se colocan de 9 en 9, sobran 3 postes. ¿Cuántos postes hay? Resolución: 4 s. 13 – + 9 f. 27 27 + 13 40 = =8 ⇒ 5 9–4 Rpta.: 8 07 En una investigación científica se ha de- mostrado que 8 chivos comen tanto como 2 toros, 20 gatos comen tanto como 3 toros y 6 chivos tanto como 2 tigres. ¿Cuántos gatos hacen falta entonces para observar la misma cantidad de alimento de una docena de tigres? REFORZANDO 01 Un pozo de agua se vacía en 2 horas si en cada hora se va la mitad de los que había en esa hora más 1 litro. ¿Cuántos litros tenia inicialmente? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A. 02 Cada vez que una persona ingresa a una tien- da, gasta la mitad de dinero que tiene más S/.5. Si después de ingresar y salir tres veces, todavía tiene S/. 10, ¿cuánto ha gastado en total? A) S/. 100 D) S/. 60 B) S/. 140 E) S/. 180 C) S/. 150 03 Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño cada hora desagua la mitad de su contenido más 30 litros. Hallar la capacidad del recipiente si al cabo de 3 horas se desagua. A) 420 litros D) 350 litros B) 280 litros E) 385 litros C) 360 litros 04 Un niño consumió una caja de chocolates en 4 días, en cada día consumía la mitad de los que tenía más 5 chocolates. ¿Cuántos consumió en total? A) 80 B) 90 C) 150 D) 70 E) 60 75 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 En el verano concurrían al colegio algunos con sus bicicletas y otros con sus triciclos. El wachtman par saber que no le faltaba n inguno, contaba siempre 120 ruedas y 50 timones. I. Hay 30 tricilos II. Hay 20 bicicletas III. Si contamos los pedales de todas las bicicletas obtenemos 60 A) Sólo I D) I y II B) Sólo II E) Todas C) Sólo III 06 En un taller fueron reparados durante un mes 120 vehículos entre automóviles y motos. El número de ruedas de los vehículos reparados fue de 336 exactamente. ¿Cuántas motos se repararon? A) 68 B) 75 C) 81 D) 64 E) 72 A) S/.50 D) S/.80 B) S/.60 E) S/.90 C) S/.70 13 Si te doy un plátano me das 6 mazanas, si me das 8 manzanas sólo recibirías 2 piñas. ¿Cuán tos plátanos debo darte si me das 15 piñas? A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 12 14 Por un melón me dan 4 naranjas por 6 naranjas solo recibo 8 chirimoyas. ¿Cuántos melones debo dar para recibir 16 chirimoyas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15 En un pueblo africano, por cada 16 espejos, dan 2 diamantes y por cada 6 diamantes dan 4 monedas de oro. ¿Cuántas monedas de oro darán por 36 espejos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 07 Vanesa tiene 3900 soles en billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 45 billetes? A) 28 B) 32 C) 25 D) 33 E) 36 08 A una fiesta asistieron un total de 350 perso- nas entre niños y niñas. Se recaudó S/.1550 debido a que cada niño pagó S/.5 y una niña S/.4. ¿Cuál es la diferencia entre el número de niñas y el número de niños? A) 100 B) 150 C) 75 D) 60 E) 50 09 Si Leonel compra 5 helados le sobra 3 soles; pero si quiere comprar 8 helados le faltan 9 soles. ¿Cuántos cuesta cada helado? A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3 D) S/.4 E) S/.5 10 Si doy 5 caramelos a cada uno de mis her- manos sobran 6 caramelos; pero si doy 2 o más a cada uno faltan 8 caramelos. ¿Cuántos hermanos somos? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 11 Diana al comprar 10 plátanos, le sobran S/.15; pero al adquirir 14 plátanos, le faltarían S/.9. ¿Cuánto cuesta cada plátano? A) S/.2 B) S/.3 C) S/.4 D) S/.5 E) S/.6 12 Gian Maco pensó comprar 8 camisas y entonces le sobra 360 soles, pero si comprara 12 camisas le faltarían 80 soles. ¿Cuántos cuesta cada camisa? 76 TAREA 01 A un número se le extrae la raíz cuadrada después de agregarle 1, al resultado se le multiplica por 3 y se obtiene 12 ¿Cuál es el número? (UNSM 04-II) A) 10 B) 17 C) 7 D) 15 E) 24 02 A un número se multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica obteniéndose 9. ¿Cuál es dicho número? (UNJBG-08) A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 24 03 Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora la 1/3 parte de su capacidad, durante la segunda hora la 1/3 del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas, quedan 32 litros en la vasija, ¿cuál es la capacidad de esta? A) 243 litros D) 162 litros B) 343 litros E) N.A. C) 81 litros 04 Una persona participó en tres apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó 30 soles. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó 54 soles, en la tercera cuadruplicó la suma restante y gastó 72 soles. Al final le quedó 48 soles. ¿Cuánto tenía al comienzo? A) 30 B) 31 C) 29 D) 28 E) 51 MÉTODOS OPERATIVOS 05 Un estudiante dice: Para comprar una docena de lapiceros me faltan S/.15, pero si compro 8 lapiceros me sobran S/.3. ¿Cuánto cuesta cada lapicero y cuánto es lo que tiene? A) S/.4 y S/.39 C) S/.4 y S/.36 E) N.A. B) S/.4,5 y S/.39 D) S/.4,5 y S/.3 06 Jessica quiere repartir cierto número de cara- melos a sus hermanos. Si le das 5 caramelos a cada uno le sobraría 15; pero si les da 12 caramelos a cada uno le faltaría 20 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene? A) 20 B) 30 C) 25 D) 35 E) 40 07 En un bazar se observa que el precio de 4 pan- talones equivalen al precio de 6 camisas, 9 camisas cuestan tanto como 2 chompas. ¿Cuántas chompas se pueden comprar con 3 pantalones? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 08 En una cierta distribuidora de autos se observa que: El precio de 6 autos Toyota es igual al de 15VW; 10VW cuestan tanto como 8 Fiat; el precio de 4 Fiat equivale al de "x" Toyota. Hallar "x". A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 02 Katia tiene S/. K; se dirige a un casino y al en- trar le cobran S/. 1; después de jugar pierde la mitad de lo que quedaba, luego sale del casino y le cobran S/. 1 por el estacionamiento. Se dirige a otro casino y por entrar le cobran s/. 1, pierde la mitad de lo que le quedaba y al salir le cobran S/. 1 por estacionamiento. Luego ingresa a un tercer casino le cobran S/. 1 por ingresar y pierde la mitad de lo que le quedaba y al salir le cobran S/. 1 por estacionamiento. Finalmente se queda sin dinero. ¿Con cuánto ingresó al casino? (PUC 04-I) A) S/. 72 D) S/. 63 B) S/. 86 E) S/. 12 C) S/. 21 03 A un número se le extrae la raíz cuadrada des- pués de agregarle 1 al resultado se multiplica por 3 y se obtiene 12. ¿Cuál es el número? A) 24 B) 7 C) 10 D) 17 E) 15 04 Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido luego por 15, al cociente lo multiplico por 4 y añado 32, entonces tendré 80 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) 36 B) 38 C) 40 D) 34 E) 32 05 Si a un número lo multiplico por 8, luego lo billetes de 50 y 10 dólares, ¿cuántos billetes de 50 dólares he usado? divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial? A) 15 A) 40 09 Si pagué una deuda de 1200 dólares con 36 B) 21 C) 19 D) 24 E) 12 10 En un dibujo hay 22 figuras geométricas entre hexágonos (de 6 lados) y cuadrados (de 4 lados). Si en total se tienen 108 lados, ¿cuántos hexágonos hay en el dibujo. A) 12 B) 10 C) 22 D) 11 E) 2 01 Sea “n” un número entero positivo cualquiera. Si “n” es par se le divide entre 2; si “n” es impar se le multiplica por 3 y al resultado se adiciona 1. Este procedimiento debe repetirse hasta obtener como resultado final el número 1. Si n = 11, determine el mínimo número de pasos necesarios hasta obtener el resultado final 1. (UNAC 07-II) B) 14 C) 58 D) 45 E) 52 06 Un número se aumenta en 1, el resultado se le multiplica por 2, al resultado se le resta 3, se multiplica por 4 al resultado y por último se divide entre 5 y se obtiene 12. ¿Cuál es el número inicial? A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) N.A. 07 Julio dice: “si a la edad que tendré dentro SEMINARIO A) 8 B) 60 C) 17 D) 7 E) 11 de dos años lo multiplico por 3, al producto le resto 2 y a la diferencia le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido le agrego 1, para finalmente extraerle la raíz cúbica, obtengo así 2”. ¿Cuál es la edad de Julio? A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15 08 En un taller se encuentran 100 vehículos entre automóviles y motos. Si el número de ruedas que hay es 230, ¿cuántas motos hay en el taller? A) 15 B) 60 C) 85 D) 75 E) 45 77 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 En una playa de estacionamiento de una universidad donde sólo hay autos y bicicletas, el vigilante para saber que no le faltaba ninguno contaba siempre 60 timones y 190 ruedas. ¿Cuántas bicicletas hay en la playa de estacionamiento? A) 35 B) 5 C) 25 D) 55 E) 15 10 En un taller de reparación de bicicletas se encontraron 30 vehículos entre bicicletas y triciclos. Si en total hay 70 ruedas, ¿cuántos triciclos hay? A) 5 B) 20 C) 10 D) 25 E) 15 11 Al envasar 176 litros de leche en depósitos de 4 y 2 litros, se usaron en total 80 de dichos depósitos. ¿Cuántos eran de dos litros? A) 6 B) 76 C) 8 D) 40 E) 72 12 Si Jorge le da a cada uno de sus sobrinos S/.10 le sobrarían S/.30, pero si les diera S/.12 le faltaría S/.24. ¿Cuántos sobrinos tiene Jorge? A) 27 B) 19 C) 7 D) 26 14 En un examen por cada respuesta correcta se obtiene 20 puntos y por cada error se descuenta 10 puntos. Un alumno contestó las 50 preguntas del examen y obtuvo 640 pubtos. I. Tuvo 12 errores II. Tuvo 36 aciertos III. Le descontaron 200 puntos A) Sólo I D) Todas B) I y III E) I y II 15 En una granja hay 40 animales entre pollos y cuyes. Si en total hay 140 patas, entonces podremos afirmar que: I. Hay 20 cuyes más que pollos. II. Hay 10 pollos y 30 cuyes III. Si contamos todos los ojos y las patas de los cuyes, se obtiene 180. A) Sólo I D) Todas B) I y III E) I y II E) 18 13 Después de haber comprado 20 calculadoras del mismo precio me sobran S/.70, y me faltaría S/.30 para comprar otra. ¿Cuánto dinero tengo? A) S/.2000 D) S/.2100 B) S/.2070 E) S/.2080 C) S/.2060 Mártir de la ciencia, 355-415, y símbolo del fin del pensamiento clásico frente al avance del cristianismo. Filósofa, matemática y astrónoma, lider de la Escuela neoplatónica de Alejandría, seguidora de Plotino. Hipatia es la primera mujer matemática de la que tenemos conocimiento. Murió linchada por una turba fanática en un momento de auge del catolicismo teodosiano; arrastrada por toda la ciudad, desnudada, y golpeada con tejas hasta la muerte. 78 C) Sólo II Hipatia de Alejandría C) Sólo II Capítulo 11 PROBLEMAS DE EDADES Los problemas con edades son muy comunes y para muchos pueden resultar complicados cuando no se tiene en cuenta algunas peculiaridades de las edades. Del dato: Vamos a dividir en dos grupos, según el número de individuos que intervienen en el problema. Tengo 55 años I. CON LA EDAD DE UN SOLO SUJETO El triple de 29 es 3 × 29 = 87 años Edad actual Nace b años Dentro de a años x–b Pasado x Presente x+a Futuro 4(x + 7) – 3(x – 9) = 2x 4x + 28 – 3x + 27 = 2x ⇒ x = 55 Hace 26 años tenía 55 – 26 = 29 años Tendré 87 dentro de 87 – 55 = 32 años II. CON LA EDAD DE VARIOS SUJETOS Para resolver los problemas de edades donde intervienen varios sujetos es recomendable utilizar una tabla de doble entrada, como la que se muestra a continuación. Ejemplo 1: Tiempo ¿Qué edad tengo, si dentro de 9 años tendré el doble de la edad que tenía hace 15 años? Resolución: Tengo Nace 5 años Dentro de 9 años x–5 x x+9 Pasado Presente Futuro A a x m B b y n Edades Condiciones En el cuadro se cumple: De la condición: •a–b=x–y=m–n x + 9 = 2(x – 5) •x–a=y–b ⇒x+b=y+a x + 9 = 2x – 10 ⇒ x = 19 •m–a=n–b⇒m+b=n+a Tengo 19 años. •m–x=n–y ⇒m+y=n+x Ejemplo 2: Ejemplo 3: Cuatro veces la edad que tendré dentro de 7 años menos tres veces la edad que tenía hace 9 años resulta el doble de los años que tengo. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 26 años? Tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tienes. Cuando tengas la edad que tengo, nuestras edades sumarán 36 años. ¿Cuántos años tengo? Resolución: Resolución: Primero hallemos la edad que tengo. Pasado Tengo Nace 9 años Dentro de 7 años x–9 x x+7 Presente Futuro yo y 2x 36 – 2x tú x y 2x suma = 32 79 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO y + y = x + 2x ⇒ 2y = 3x (1) Resolución: Pasado Presente En 8 años Darío y 3x 3x + 8 Irma x y y+8 D 4 = I 3 2x + 2x = y + 36 – 2x 6x = y + 36 2(3x) = y + 36 2(2y) = y + 36 ⇒ y = 12 En (1): 2(12) = 3x ⇒ x = 8 Del cuadro: Tengo 2x = 2(8) = 16 años y + y = x + 3x ⇒ y = 2x Ejemplo 4: Darío tiene el triple de la edad que tenía Irma, cuando él tenía la edad que tiene ella ahora. ¿Qué edad tiene ella si dentro de 8 años sus edades estarán en la relación de 4 a 3? (1) De la condición: 3x + 8 4 = ⇒ 9x + 24 = 4y + 32 y+8 3 9x = 4(2x) + 8 ⇒ x = 8 ⇒ x = 16 Ella tiene 16 años. RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Hace 9 años tenía x años de edad. Dentro de cinco años tendré: Resolución: 9 ? 9 x Pedro José 5 x + 9 x + 9 + 5 = x + 14 Rpta.: (x + 14) años 02 La edad de Juan es el triple de la de Luis, sabiendo que Luis tiene x años. ¿Al cabo de cuántos años la edad de Luis será la mitad de la de Juan? UNMSM-82 Resolución: Juan Luis Ahora 3x 15 En a años 3x + a x+a 3x + a ⇒ 2x + 2a = 3x + a 2 a=x Rpta.: x años 80 de cuántos años la edad de José será los 4/9 de la edad de Pedro? Resolución: 5 x x+a= 03 Pedro tiene 40 años y José 15 años, ¿dentro Ahora 40 15 En x años 40 + x 15 + x 4 15 + x = (40 + x) 9 9(15 + x) = 4(40 + x) x=5 Rpta.: 5 años 04 En 1963, la edad de Ignacio era 9 veces la edad de su hijo. En 1968, era solamente el quíntuplo de la de éste. En 1993, el número de años que cumplirá el padre sera: UNFV-94 Resolución: Ignacio Hijo 1963 9x x 1968 9x + 5 x+5 9x + 5 = 5(x + 5) ⇒ x = 5 ∴ 9x + 30 = 9(5) + 30 = 75 1993 9x + 30 Rpta.: 75 PROBLEMAS DE EDADES 05 Habiéndose preguntado a un matemático por su edad éste respondió: Si al doble de mi edad le quito 20 años, esta diferencia será igual al doble de lo que me falta para tener 90 años. ¿Qué edad tiene el matemático? UNFV-01 Resolución: Edad: x Le falta para 90: 90 – x Resolución: Hace 3 años Pedro 2x – 1 Juan x–3 Suma Ahora 2x + 2 x En 5 años 2x + 7 x+5 3x + 12 2x – 1 3 = ⇒ 2x – 1 = 3x – 9 ⇒ x = 8 x–3 1 ∴ 3x + 12 = 3(8) + 12 = 36 Rpta.: 36 años 2x – 20 = 2(90 – x) 4x = 180 + 20 ⇒ x = 55 Rpta.: 55 06 La edad de Juan es igual al producto de las edades de Carlos y Ronaldo. La edad de Marina es cuatro veces la edad de Ronaldo. La edad de Carlos es igual a la cuarta parte del producto de las edades de Marina y Juan. Halle la edad de Marina. UNAC-07 I Resolución: Carlos: C Juan: CR 01 Hace 7 años tenía x años, dentro de 5 años tendré: UNE-85 B A) x – 1 D) x – 12 B) x – 2 E) x + 12 C) 5x – 7 02 Si dos personas tienen actualmente 40 y 30 años, ¿dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 6 a 5? UNMSM 06-II A) 10 Ronaldo: R Marina: 4R 1 C = (4R)(CR) 4 2 R = 1 ⇒ R = 1 ⇒ 4R = 4 B) 15 C) 20 D) 22 E) 30 03 La edad de un padre es 42 años y la edad de Rpta.: 4 años 07 En el año 1932 Pedro tenía tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de su nacimiento, al poner al conocimiento de su abuelo esta coincidencia, se quedó pasmado cuando el abuelo le responde que con su edad también ocurría lo mismo. ¿Cuál es la edad del abuelo? UNI-78 Resolución: Pedro: Abuelo: REFORZANDO Fecha de Nac. Edad en 1932 19ab 18xy ab xy 1932 – 18xy = xy sus hijos es 4; 8 y 10 años. ¿Dentro de cuánto la edad del padre será la suma de las edades de los hijos? PUC-03 II A) 5 Rpta.: 66 08 En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será: UNI-81 C) 9 D) 10 E) 6 04 Si Mario tuviera 23 años más, su edad sería el triple de la que tiene Ana; y si tuviera 7 años menos, tendría la misma edad que Ana. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Mario y Ana? UNMSM 09-II A) 43 B) 31 C) 45 D) 39 E) 37 05 Luis y Miguel tienen en proporción de 2 a 5, Miguel tiene mas de 40 años pero todavía no llega a los 70 años. Hallar la edad de Luis, si la suma de sus edades es múltiplo de 5. PUC-04 I A) 10 1932 – (1800 + xy) = xy ⇒ xy = 66 B) 7 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 06 Un televisor tiene ahora un tercio de los años que tenía su dueño cuando lo compró nuevo. El dueño tiene actualmente 36 años. ¿Cuántos años de comprado tiene el televisor? UNFV 09-I A) 6 B) 8 C) 12 D) 10 E) 9 81 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Hallar las edades de un padre y su hijo hace 15 años, si actualmente los 2/3 de la edad del padre mas los 4/5 de la edad del hijo es igual a 60, y los 5/6 de la edad del padre menos los 2/5 de la edad del hijo es igual a 33. PUC 03-I A) 54 y 30 D) 39 y 18 B) 54 y 15 E) 39 y 16 C) 39 y 15 08 La edad de Benito es diez veces la edad de Hugo, la edad de Andrea es la de Benito disminuido en 20 años, la edad de Benito excede en 60 a la edad de Walter. Sabiendo que la suma de las edades de Benito y Hugo excede en 8 a la suma de las edades de Andrea y Walter. Hallar la suma de todas las edades. PUC-04 A) 100 años D) 168 años B) 142 años E) 170 años C) 154 años 09 Hace 6 años yo tenía la mitad de la edad que tendré dentro de un número de años, equivalente a la tercera parte de mi edad actual. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tengo actualmente? UNI 06-II A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 10 Un padre le dice a su hijo: Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías; pero dentro de 8 años únicamente será el doble. La edad actual del padre es: UNSAAC 01-II A) 42 años D) 36 años B) 38 años E) 44 años C) 40 años 11 Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? UNSCH 07-I A) 20 B) 10 C) 15 D) 5 E) 3 12 La edad de Aurora es el triple de la edad de Elías, pero hace 10 años era el cuádruplo. ¿Cuál es la suma de sus edades en la actualidad? UNSCH 07-I A) 160 años D) 110 años B) 120 años E) 140 años C) 100 años 13 Un profesor le pregunta por su edad a Coco y éste responde: “si restas a la edad que tendré dentro de 8 años, la edad que tuve hace 5 años, obtendrás mi edad”, ¿cuántos años tiene Coco? UNSCH-06 II A) 16 82 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 14 Si al año en que cumpliré los 32, le restas el año actual, obtendrás mi edad actual, entonces mi edad actual es: UNSCH-06 II A) 15 B) 14 C) 16 D) 17 E) 18 15 Demetrio nació en el año 19mn y en el año 19nm tuvo (m + n) años. ¿Cuántos años tiene en el 2008? UNSCH 09-I A) 47 B) 52 C) 61 D) 63 E) 69 TAREA 01 La edad de Jorge dentro de 9 años será el do- ble de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Jorge? UNE-07 A) 13 años D) 43 años B) 23 años E) 53 años C) 33 años 02 Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo Roberto. Si hace cinco años la suma de las edades de los tres era 47 años. ¿Cuantos años tiene actualmente Juan? UNFV-04 A) 10 B) 20 C) 12 D) 14 E) 40 03 La edad de dos personas es de 36 y 24 años, por lo tanto están en la relación de 3 a 2. ¿En qué tiempo esta relación será de 5 a 4? UNFV 08-I A) 48 años D) 28 años B) 24 años E) 22 años C) 36 años 04 Las edades de 2 personas están en la misma relación que los números 5 y 7. Determine la edad de la menor de las personas, si se sabe que la diferencia de sus edades hace 3 años fue de 4 años. UNFV-00 A) 13 B) 12 C) 10 D) 11 E) 15 05 Jorge pregunta a su padre su edad y éste le contesta “ahora tu edad es la mitad de la mía, pero hace 12 años era la cuarta parte de la mía” La edad del padre de Jorge es: UNAC-04 I A) 60 años D) 28 años B) 30 años E) 36 años C) 40 años 06 La relación de las edades de dos hermanos es como 7 a 9, hace 4 años, la relación de edades era de 3 a 4, ¿cuál será la edad del menor dentro de 7 años? UNAC 07-II A) 41 B) 36 C) 35 D) 30 E) 28 PROBLEMAS DE EDADES 07 Ana tiene 18 años y César 6 años. Le pregun- taron a Beto por su edad y éste indica que Ana le lleva tantos años como los años que le lleva él a César. Entonces la suma de las edades de los tres, es: UNAC 04-I A) 27 años D) 24 años B) 36 años E) 32 años C) 12 años 08 Hace 6 años las edades de Rocío y Vanesa estaban en la relación de 7 a 3; actualmente la relación es de 5 a 3. ¿Cuántos años tendrá Vanesa cuando la relación de sus edades sea de 7 a 5? UNAC-05 II A) 15 B) 12 C) 20 D) 9 E) 18 09 Dos jovencitos cumplen años en la misma fecha, en el día de sus cumpleaños, uno le dice al otro: “Yo te llevo por un año y el producto de nuestras edades es 132. La suma de dichas edades es: UNE 01-II A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29 10 Si Mateo es dos veces tan viejo como Toñito lo será, cuando Pepe sea tan viejo como Mateo es ahora. ¿Qué edad tiene Mateo? UNI 08-I Información brindada: I. La suma de las edades de Toñito y Pepe es 70 años II. Cuando Toñito tenga la mitad de la edad que tiene Mateo, Pepe tendrá 40 años. Para responder a la pregunta: A) La información I es suficiente B) La información II es suficiente C) Es necesario utilizar ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. E) Las dos informaciones son suficientes. 01 Si al triple de la edad de Pepe se le quita 16, quedaría lo que le falta para cumplir 80 años. ¿Cuántos años tuvo Pepe hace 3 años? UNAC 05-II B) 24 años de edad, asumió el poder el año 30 a.n.e. ¿A qué edad asumió el poder? UNE-06 A) 30 años D) 44 años C) 21 D) 15 E) 32 B) 31 años E) 61 años C) 35 años 03 José tiene 40 años, su edad es el doble de la edad que tenía Carlos cuando José tenía la edad que ahora tiene Carlos. ¿Qué edad tiene Carlos? UNFV-01 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 04 Un padre tiene “x” años y su hijo “y” años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad de su hijo? UNFV-02 A) x+3y x – 3y D) 2 B) x–3y C) E) 3y x + 3y 2 05 La edad de Carlos es x años y la de Jorge es el doble de la de Carlos. ¿Cuántos años tendrá Jorge cuando Carlos tenga 2x años? UNFV-95 A) 3x B) 5x C) 7x D) 9x E) 2x 06 Si la edad de Luis es tres veces la edad de Pedro y juntos suman 52 años. ¿Dentro de cuántos años, la edad de Pedro será la mitad de la de Luis? A) 1 B) 5 C) 9 D) 11 E) 13 07 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías más 6 años; cuando yo tenía la edad que tú tienes. Si la suma de nuestras edades es 58, ¿cuántos años tengo? UNSAAC 03-I A) 32 B) 30 C) 36 D) 38 E) 34 08 Si Elías tuviera el 15% menos de la edad que tiene, tendría 17 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 10 años? UNSAAC 02-II A) 40 SEMINARIO A) 27 02 César Augusto murió el año 14 d.n.e. a los 75 B) 25 C) 20 D) 30 E) 35 09 Lilia le dice a Jorge: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de lo que tú tienes; pero cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, en ese momento, la diferencia de nuestras edades será 8”. La edad de Jorge, es: UNSAAC 07-I A) 65 B) 64 C) 63 D) 58 E) 45 83 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 10 La suma de las edades de José y Pedro es 48 años. Al conversar con Bertha, José le dice: cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Pedro nació tú tenías 2 años. ¿Cuál es la edad de Bertha? UNSAAC-07 A) 15 B) 25 C) 21 D) 17 E) 23 11 Si hace cuatro años Pedro tenía el triple de la edad que tenía Juan y dentro de ocho años, Juan tendrá la mitad de la edad que tendrá Pedro, entonces actualmente. UNSAAC 08 A) Juan es menor que Pedro en 25 años B) Pedro es mayor que Juan en 20 años C) Pedro es mayor que Juan en 24 años D) Juan es mayor que Pedro en 22 años E) Juan es menor que Pedro en 21 años 12 La diferencia de las raíces cuadradas de la edad que tendrá un niño dentro de tres años con la que tuvo hace dos años es 1. ¿Cuál es la edad del niño? UNFV-01 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 13 En 1932 la edad de Jaimito coincidía con las 2 últimas cifras del año en que nació. Con la edad de su abuelo ocurría lo mismo. ¿Cuántos años tenía el abuelo cuando nació Jaimito? UNFV-04 A) 16 B) 82 C) 50 E) 56 14 Las edades de 3 hermanos hace 2 años esta- ban en la misma relación que 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5; 6 y 7 ¿Qué edad tiene el mayor? A) 14 B) 12 C) 10 D) 15 E) 16 15 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia en nuestras edades será 8. ¿Qué edad tengo? A) 30 B) 32 C) 26 D) 28 E) 8 Sabías que... En el año 2015 se ha dado el instante que ha mostrado los 9 primeros decimales de p: Pero el 14 de marzo de 1592, a las 6:53 con 58 segundos, tuvo lugar este otro momento con los 11 primeros decimales de p: 84 D) 66 E) 29 Capítulo 12 PROBLEMAS DE MÓVILES El movimiento mecánico consiste en el cambio de posición en el transcurso del tiempo respecto a un punto, o más precisamente respecto a un sistema de referencia. El movimiento mecánico más simple es el movimiento rectilíneo uniforme, en el que el móvil (objeto que se mueve) se traslada por un “camino” recto (trayectoria) recorriendo la misma distancia por cada segundo, en general, en cada unidad de tiempo (velocidad constante) Ejemplo 1: Un auto se desplaza a 5 m/s por una pista recta de 2 kilómetros. ¿Qué tiempo tarda en recorrerla? FÓRMULAS DEL MRU Consideremos que un móvil ha recorrido e metros en t segundos a razón de v metros por segundo. ¿Cómo están relacionados e, c, t y v? Con una regla de tres simple: En 1 s recorre v m En t s recorre e m e = vt ⇒ v= e t y t= e v Para resolver los problemas de móviles no es una obligación usar estas fórmulas si tenemos claro qué significa cada parámetro. Ejemplo 2: 2 km = 2000 m 5 m/s significa que en cada segundo recorre 5 metros. Para determinar el tiempo que demora es suficiente averiguar cuántos 5 metros hay en 2000 m: 2000 ÷ 5 = 400 ⇒ tarda 400s Las carreteras en general no son rectas, pero para efectos de los cálculos nos interesa su longitud, que indistintamente vamos a denominar espacio, distancia, recorrido o longitud de la trayectoria. Con respecto a la velocidad, ésta es una magnitud vectorial, quiere decir que depende de la dirección y sentido del movimiento. Por ejemplo, un auto que se dirige al sur a razón de 60 km/h y otro auto que se dirige al norte, también a 60 km/h, tienen diferentes velocidades, simplemente porque se dirigen en sentidos diferentes. Esto quiere decir que un auto que recorre permanentemente a 40 km/s por una carretera sinuosa, cambia su velocidad en todas las curvas. Por esta razón, en lugar de utilizar el término velocidad se utiliza rapidez para referirse a la magnitud de la velocidad. Sin embargo, en este capítulo, el término velocidad lo interpretaremos como rapidez. Un camión ha cubierto su ruta en 8 horas recorriendo con rapidez uniforme. Si hubiera ido a 20 kilómetros más por hora se habría ahorrado 2 horas. ¿Qué longitud tiene su ruta? Resolución: Sea v la velocidad y e el espacio recorrido. Entonces en 8 horas: e = 8v (1) Si la velocidad es v + 20, el tiempo es 6 horas. El espacio es el mismo. e = 6(v + 20) (2) (1) = (2): 8v = 6(v + 20) ⇒ v = 60 En (1): e = 8(60) ⇒ e = 480 km Sin uso de la fórmula Ahorrándose 2 horas recorrió en 6 horas. En cada una de las 6 horas avanzó 20 km más. En total, 6 × 20 = 120 km más, lo cual le ahorró 2 horas de viaje con rapidez normal, entonces en cada hora avanza 120 ÷ 2 = 60 km y en las 8 horas, 60 × 8 = 480 kilómetros. 85 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CASOS PARTICULARES DE MRU t = 12 s 1. Tiempo de encuentro Dos automóviles distantes 500 km, parten simultáneamente al encuentro, el primero a 60 km/h y el otro a 40 km/h. ¿Qué tiempo tardan en encontrarse? 60 km/h 40 km/h 500 km En cada hora se aproxima 60 + 40 = 100 km. Para que se encuentren deben aproximarse los 500 km. Esto sucede en 500 ÷ 100 = 5 horas Generalizando: 900 m Para determinar qué distancia ha recorrido el tren al atravesar el túnel, es suficiente fijarse en un punto del tren, en este caso vamos a fijarnos en la parte posterior. Se observa que se ha movido 900 metros y ha tardado 12 segundos. Entonces la velocidad e 900 es: v = ⇒ v = ⇒ v = 75 m/s t 12 4. Espacios en términos de velocidad y tiempo Ejemplo 6: d Tencuentro = VA + VB 2. Tiempo de alcance Ejemplo 4: Un policía persigue un ladrón que le lleva 36 metros de ventaja. El policía corre 3 metros por segundo y el ladrón 1,5 metros por segundo. ¿En qué tiempo lo alcanza? Resolución: Tres amigos se trasladan de A a B, distantes 1260 m, utilizando una bicicleta. Como sólo caben 2 en la bicicleta, el tercer amigo parte caminando junto a los otros dos que van en la bicicleta quienes llegan al destino, se queda uno y el otro regresa inmediatamente para recoger al tercero. Así lo hace y vuelven a B. ¿Qué tiempo demoró todo el viaje, si la bicicleta recorre en todo momento a 60 m/mín y el peatón a 10 m/mín? Resolución: 3 m/s 1,5 m/s V6 = 60 m/mín A VB = 10 m/mín 36 m En cada segundo el policía le descuenta al ladrón 3 – 1,5 = 1,5 m de distancia. Para alcanzarlo le debe descontar los 36 metros, lo cual ocurre en 36 ÷ 1,5 = 24 segundos. Generalizando: Talcance = d VA + VB 3. Considerando la longitud del móvil Ejemplo 5: Un tren de 500 metros de longitud tarda 12 segundos en atravesar completamente un túnel de 400 metros de longitud. Calcúlese la rapidez del tren. Resolución: B M 1260 m Dado que e = vt, es recomendable expresar los espacios en términos de la velocidad y el tiempo, así, al final, el problema se convierte en un problema de operaciones con segmentos. Consideremos que la bicicleta tarda t1 minutos de A a B y t2 minutos de B a M, este es el tiempo (t1+ t2) que ha estado caminando. El peatón de A a M Y, en volver de M a B, la bicicleta tarda el mismo tiempo t2. Así tenemos el esquema: 60 t1 VB = 60 m/mín A 10(t1 + t2) Vp = 10 m/mín M V 1260 m 500 86 400 60 t2 60 t2 B PROBLEMAS DE MÓVILES Resolución: De la figura: • 60 t1 = 1260 ⇒ t1 = 21 min • 10(t1 + t2) + 60t2 = 1260 21+7t2 = 126 ⇒ t2 = 15 min 1,5 s 1,2 s 1,5 s 1,2 s ttotal = t1+ 2 t2 d1 = 340(1,5) d2 = 340(1,2) t total = 21 + 2(15) = 51 min d1 = 510 m Ejemplo 7: Una persona ubicada entre dos montañas emite un sonido y recibe el primer eco en 3 segundos y el segundo en 2,4 segundos. ¿Qué distancia están separadas las montañas? (Velocidad del sonido en el vacío 340 m/s). d2 = 408 m El sonido emitido tarda en ir a la montaña el mismo tiempo que en volver, la mitad del tiempo total. Distancia de separación: D = d1 + d2 = 510 + 408 D = 910 m RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Un automóvil va a una velocidad de 80 km/h y llega a su destino en 3 horas. ¿Cuánto tiempo habría demorado si su velocidad hubiese sido menor en 20 km/h? UNE-07 03 Un tren tarda 5 segundos para pasar por delante de un viajero y 30 segundos para pasar por delante de una estación de 600 m. La longitud del tren es: UNAC-04 Resolución: Resolución: 80 km/h → 3h 3 · 80 60 km/h → x ⇒ x = = 4h 60 Rpta.: 4 horas L • 5 = (1) v 02 El niño Kevin y su profesor, separados por la distancia x, van al encuentro corriendo en línea recta y en sentido contrario, con velocidades constantes v y 3v, respectivamente. En el instante en que ambos se encuentran, la distancia recorrida por Kevin es de UNE-07 Resolución: TE = x x = v + 3v 4v Dis. Kevin = vt = v x =x 4v 4 Rpta.: • 30 = L + 600 v (1) ÷ (2): (2) 5 L = ⇒ L = 120 m 30 L + 600 Rpta.: 120 m 04 Carlos y Luis parten simultáneamente de una ciudad A a otra B, distante 60 km; la velocidad de Carlos es de 4 km/h menos que la de Luis. Luego de llegar a la ciudad B, Luis emprende el regreso inmediatamente y encuentra a Carlos a 12 km de la ciudad B. La suma de las velocidades de Carlos y Luis, en mk/h, es: UNAC 08-I x 4 87 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: 07 Un conductor de carros tiene que recorrer C: v + 4 L: v A 12 48 B 60 Cuando Carlos ha recorrido 60 + 12 = 72 km, Luis ha recorrido 60 – 12 = 48 km. Luego: v 48 = ⇒ v = 8km/h v + 4 72 v + (v + 4) = 8 + 12 = 20 km/h Rpta.: 20 km/h 05 En una mesa rectangular de 180 cm de largo y 130 cm de ancho parten 2 hormigas H1 y H2 desde dos vértices opuestos (extremos de una diagonal) con una velocidad de 2 cm/s y 3 cm/s Si H1 recorre el lado menor y H2 el lado mayor. Expresar la distancia de H1 y H2 en centímetros que hay entre si luego de 20 segundos. PUC-98 Resolución: En 20 segundos: H1 180 20 × 2 = 40 3 × 20 = 60 5k x = 3k 90 4k 120 3k = 90 ⇒ k = 30 x = 5k = 5(30) = 150 cm Rpta.: 150 cm 06 Una persona sale a la playa en bicicleta a encontrarse con sus amigos y tenía que estar en la playa a las 11:00 a.m. Si va a 3 km/h llegaba a mediodía y si va a 6 km/h llegaba a las 10:00 a.m. Hallar la distancia del punto donde se encuentra a la playa. PUC 04-I Resolución: A 3km/h llega 12:00 ⇒ tarde t h a 6 km/h llega 10:00 ⇒ tarda t – 2 e = 3t = 6(t – 2) ⇒ t = 4 h ∴ e = 3(4) = 12 km 88 Resolución: A 100 km/h llega 3 p.m. tarda t h a 150 km/h llega 1 p.m. tarda (t – 2) h A × km/h llega 2 pm. tarda (t – 1) h x(t – 1) = 100 t ⇒ 150(t – 2) t=6h x(t – 1) = 100 t ⇒ 5x = 100(6) x = 120 km/h Rpta.: 120 km/h 08 Dos trenes marchan en sentidos contrarios y sobre vías paralelas, con velocidades de 18 y 30 km/h respectivamente. Un pasajero en el 2do. Tren calculó que el 1ero demoró en pasar 9 seg. ¿Cuál es la longitud de este último tren? UNI-82 II Resolución: 130 H2 de un pueblo A a otro pueblo B. Si se dirigiera a una velocidad de 100 km/h llegaría a las 3 p.m. y si condujera a 150 km/h llegaría a la 1 pm. ¿Cuál sería la velocidad a que debe de ir si debe llegar a las 2 p.m.? UNI-79 Rpta.: 12 km Velocidad con que se cruzan: 18 + 30 = 48 km/h 9 Tiempo de cruce: 9s = h 3600 m 9 L = vt ⇒ L = 48000 × h = 120 m h 3600 Rpta.: 120 m REFORZANDO 01 Dos móviles se enuetram a una distancia de 2 kg, si viajan en sentido contrario, ¿en cuán to tiempo se encontrarán, si viajan con velocidades de 20 m/s y 108 km/h? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 02 Un tren parte de la estación A hacia la esta- ción B, distantes 720 km. De regreso hacia A y después de haber recorrido 1h 40 min, se detiene 30 min para luego reanudar su marcha incrementando su velocidad en 8 km/h. Si el tren empleó 20 min más de ida que de vuelta, la velocidad, en km/h fue: UNAC 07-II A) 86 B) 64 C) 95 D) 58 E) 72 PROBLEMAS DE MÓVILES 03 Un avión vuela a una altura de 800 metros, en ese instante deja caer una bomba. ¿Cuál es la distancia que recorre la bomba antes de llegar al piso? UNE-90A A) 780 m C) más de 800 m E) 9,8 m B) menos de 800 m D) 800 m 04 Un móvil se traslada de “P” a “Q” en cuatro horas a una velocidad “V” y luego de “Q” a “R”. Si la distancia de “P” a “R” es el cuádruplo de la distancia de “P” a “Q”. ¿Cuánto tiempo se demorará en recorrer de “P” a “R”, si luego de llegar a la mitad del recorrido duplica su velocidad? PUC-04 10 Dos móviles separados 1200 m van al encuen- tro uno del otro, en sentidos opuestos, con rapidez de 30 m/s y 20 m/s. ¿En que tiempo estarán separados 600 m por segunda vez? A) 45 s B) 42 s C) 36 s D) 24 s E) 12 s 11 Dos automovilistas distantes 90 km parten sil- multáneamente uno de a A hacia B a 40 km/h y otro de B, en el mismo sentido que el anterior, a 50 km/h. Después de cuántas horas el que salió de A estará en el punto medio entre A y el otro automovilista? A) 2 h B) 3 h C) 2,5 h D) 3,5 h E) 4 h 12 Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en en pasar un semáforo. ¿Qué longitud tiene el tren? UNMSM-82 un mismo apartamento y trabajan en la misma fábrica. El joven va desde su casa a la fábrica en 20 minutos; el viejo, en 30 minutos. ¿En cuántos minutos alcanzará el joven al viejo, si éste sale de casa 5 minutos antes que el joven? UNE-83 B A) 140 A) 15 A) 16 h B) 22 h C) 12 h D) 14 h E) 18 h 05 Un tren recorre 90 km/h se demora 6 segundos B) 120 C) 150 D) 100 E) 180 06 ¿Cuántas horas empleará un automóvil para recorrer 960 kilómetros, viajando a una velocidad promedio de 60 km, si durante el recorrido realiza 3P paradas de 20 minutos cada una? UNMSM-82 A) 16 + P B) 16 horas D) 16 – P horas E) 3 P horas C) P horas 07 Un ciclista corre en 0.5 minutos 3/4 de km. En 50 segundos recorrerá: (en Km.) UNMSM-86 A) 1.2 B) 3.75 C) 2.5 D) 0.75 E) 1.25 08 Un ciclista calculó que si viaja a 10 km/h llegará a su destino una hora después de mediodía, pero si la velocidad fuera de 15 km/h llegaría una hora antes de mediodía. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar exactamente a mediodía? UNMSM-90 A) 12.5 km/h D) 14.0 km/h B) 12 km/h E) 10 km/h C) 11 km/h B) 12.5 C) 10 D) 5 E) 8 13 Un atleta sale a correr de su casa al estadio con una velocidad de 8 km/h y se encuentra con su entrenador que viene del estadio con una velocidad de 6 km/h a las 7:30 a.m. todos los días. Cierto día su entrenador se lesiono y el atleta lo encontró a las 8:15 a.m. ¿A qué hora se lesionó? PUC-98 A) 6:00 a.m. D) 6:45 a.m. B) 6:30 a.m. E) 7:00 a.m. C) 7:15 a.m. 14 Un canguro persigue a un conejo. El canguro da dos saltos por cada tres saltos del conejo, pero cada salto del canguro cubre el doble de cada salto del conejo. Si al empezar el conejo lleva una ventaja de 10 de sus saltos, al canguro; el conejo dará antes de ser alcanzado por el canguro. UNE-82 B A) 30 saltos D) 40 saltos B) 15 saltos E) 20 saltos C) 25 saltos 15 Un estudiante va a pie de la UNI a comas. Sale situada a 24 km de la primera; Luis lo hace a una velocidad de 2 km por hora menos que Alberto, llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la velocidad de Luis? UNMSM-90 a las 16 horas y recorre 70 metros por minuto. En cierto punto de la carretera sube a un microbús que recorre 630 metros por minuto y que paso por la UNI a las 16 1/3 horas. Halle a qué distancia de la UNI abordó el estudiante el microbús. UNI 82-II A) 5 km/h D) 8 km/h A) 1575 m D) 1655 m 09 Luis y Alberto parten de una ciudad a otra, B) 4 km/h E) 9 km/h C) 6 km/h B) 1745 m E) 1835 m C) 1925 m 89 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 08 Todos los días Silvia sale de su casa a la misma TAREA 01 Un auto debe recorrer 10 km. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado. ¿Qué distancia recorrió cada llanta? UNFV-04 A) 2 km D) 6 km B) 10 km E) 2,5 km C) 8 km 02 Un automóvil hace el recorrido de X hacia Y en 2 h y 40 min, al regresar de Y hacia X aumenta la velocidad en 20 km/h y tarda 2 horas. ¿Cuál es la distancia entre X e Y? UNMSM 04-II A) 180 km D) 140 km B) 170 km E) 150 km C) 160 km 03 Carlos viaja de un punto a otro y sale con una rapidez de 40 km/h. Cuando aún le falta recorrer 4,5 de su camino, duplica su rapidez lo que le permite llegar a su destino 2 horas antes. Hallar su recorrido. UNI-04 II A) 195 B) 200 C) 235 D) 210 E) 215 04 Un tren cruza un poste en 8 s y un túnel en 12 s. ¿En cuánto tiempo el tren cruzaría un túnel cuya extensión fuera el quíntuple del anterior? A) 22 s B) 25 s C) 28 s D) 30 s E) 32 s 05 A las 8:00 sale un auto con una velocidad pro- medio de 60 km/h. Dos horas más tarde, en persecución del auto, sale una moto con una velocidad promedio de 100 km/h. ¿Después de cuándo tiempo la moto alcanza al auto? UNE-08 A) 1 h B) 2 h C) 3 h D) 4 h E) 5 h A) 7:18 a.m. D) 7:12 a.m. B) 7:24 a.m. E) 7:25 a.m. C) 7:20 a.m. 09 Un móvil recorrió 900 km con rapidez constan- te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 3 km/h, hubiera empleado 10 horas menos. ¿En qué tiempo recorrerá 300 km? A) 5 h B) 10 h C) 15 h D) 20 h E) 25 h 10 Dos móviles separados 800 m se mueven en el mismo sentido, sobre una pista horizontal, con una rapidez de 24 m/s y 16 m/s, respectivamente. ¿En qué tiempo el más veloz adelantará al otro en 200 m? A) 70 s B) 80 s C) 90 s D) 120 s E) 125 s SEMINARIO 01 Un hombre tarda 7 horas en ir y venir de un pueblo a otro, con velocidades de 15 km/h en la ida y 20 km/h al regreso. ¿Qué espacio recorre? UNFV-08 II A) 40 km D) 70 km B) 50 km E) 80 km C) 60 km 02 Manuel viaja en su auto hacia su fundo con tobús y en avión. En avión va a 200 km/h y en autobús a 55 km/h. ¿Cuál es la distancia que se recorrió en avión? PUC-98 una rapidez de 80 km/h. Retorna por la misma carretera a 70 km/h. Si en el viaje de ida y vuelta demora 6 horas. ¿Qué distancia hay de la casa al fundo? UNFV-04 A) 600 km D) 300 A) 250 km D) 230 km 06 Un viajero recorre 820 km en 7 horas, en au- B) 500 E) 200 C) 400 07 Durante todo el Sermón de las tres hora, Juan Pablo intentó matar una mosca que sobrevuela su cabeza. Si la velocidad media de la mosca era de 30 metros por minuto, el desplazamiento total de lo recorrido por el insecto fue de: UNE-90 A A) 500 m D) 5,4 km 90 hora, va en bicicleta a su colegio a velocidad constante y llega a las 8 a.m.. Ayer duplicó la velocidad de costumbre y, siguiendo la misma ruta de todos los días llegó a las 7:30 a.m.. ¿A qué hora habría llegado si en vez de duplicar su velocidad la hubiera triplicado, siguiendo la misma ruta? UNMSM 09-II B) 50 km E) 5 km C) 540 m B) 240 km E) 224 km C) 288 km 03 Un automovilista recorre una distancia de 200 km a velocidad constante de 120 km/h. Si después de cada 10 minutos de manejo descansa 10 minutos, ¿en cuántos minutos llegará a su destino? UNMSM 08-I A) 150 min D) 190 min B) 200 min E) 120 min C) 180 min PROBLEMAS DE MÓVILES 04 Martín demora 30 minutos en ir de Lima al Callao y Diego demora 1 hora en ir del Callao a Lima. Los dos parten al mismo tiempo. Cuando se encuentra, el que venía de Lima habría recorrido 2 km más que el que venía del Callao. La distancia de Lima al Callao es: UNAC 04-I A) 7 km D) 6 km B) 3 km E) 5 km C) 4 km 05 Cierto día, Renzo incrementa su velocidad normal en 10 m/min para ir de su casa al colegio, llegando 5 minutos antes. Si el colegio se encuentra ubicado a 600 m de su casa. Determine la expresión para calcular la velocidad normal de Renzo. UNI 04-II A) 2t + 10 D) 2t – 10 B) t + 5 E) 2t – 5 C) 2t + 5 06 Dos autos salen a las 9:00 a.m. de dos ciuda- des, uno al encuentro del otro. Las ciudades distan entre sí 864 km El encuentro se dio a las 5:00 pm del mismo día. Si un auto va a una velocidad promedio de 60 km/h, ¿cuál es la velocidad promedio del otro auto? UNE-08 A) 48 km/h D) 70 km/h B) 108 km/h E) 80 km/h C) 60 km/h 07 Un auto recorre 10 km por litros de gasolina, pero además pierde dos litros por hora debido a una fuga en el tanque. Si cuenta con 40 litros de gasolina y viaja a 80 km/h. ¿Qué distancia logrará recorrer? UNFV 09-I A) 320 km D) 700 km B) 400 km E) 720 km C) 240 km 08 Juan salió de su hacienda a una velocidad constante rumbo a Cajamarca. Al cabo de 4 horas había recorrido los 3/5 de su camino, pero le faltaba recorrer 76 km. ¿A qué velocidad viajaba Juan? UNMSM 05-I A) 8 km/h D) 28 km/h B) 16 km/h E) 20 km/h C) 14 km/h 11 A una cierta velocidad en km/h se puede ir de un pueblo A a otro B en 5 horas. Si el mismo recorrido se puede hacer en 1 h menos aumentando la velocidad en 1 km/h. La distancia entre A y B es: UNFV-86 A) 18 km D) 24 km B) 20 km E) N.A. C) 22 km 12 Pedro dispone de 5 horas libres. ¿Qué distancia podrá recorrer en bicicleta hasta las colinas vecinas a una velocidad de 8 km/h para luego retornar con una velocidad de 12 km/h? UNFV-88 A) 27 km D) 18 km B) 24 km E) 15 km C) 21 km 13 Un ciclista partiendo de la ciudad A a la ciudad B, lo hace en 30 horas; si al regreso aumenta su velocidad en 4 km/h llegará en 6 horas menos que la ida. La distancia total recorrida es: UNFV-89 II A) 480 km D) 400 km B) 800 km E) 960 km C) 900 km 14 Un peatón recorre 23 km en 7 horas; los 8 pri- meros con una velocidad superior en 1 km a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. UNI 83-I B) 3 km/h E) 6 km/h C) 4 km/h 15 Dos ciudades A y B distan 1200 km uno de la otra. 09 Dos automovilistas parten silmultáneamente al centro uno de a A a 60 km/h y el otro de B a 40 km/h. Después de cruzarse y alejarse 40 km entre sí uno de ellos está en el punto medio entre A y B. ¿Qué distancia hay entre A y B? B) 80 km E) 160 km A hacia el punto B desplazándose en línea recta y cada uno con velocidad constante. El punto A dista 224 kilómetros de B. El primer ciclista recorre 2 kilómetros menos que el segundo ciclista en una hora y este último llega 2 horas antes que el otro al punto B. ¿Cuál es la velocidad del primer ciclista? UNMSM 08-II A) 2 km/h D) 5 km/h A) A menos de 19 km/h B) A más de 29 km/h C) A más de 28 km/h D) A menos de 27 km/h E) A más de 30 km/h A) 40 km D) 140 km 10 Dos ciclistas salen simultáneamente del punto C) 120 km Dos vehículos salen a la misma hora uno de la ciudad A y otro de la ciudad B dirigiéndose uno al otro con movimiento uniforme, y se encuentran en un punto M de la vía. A partir de dicho punto el que salió de A demora 5 horas para llegar a B y el que salió de B demora 20 horas en llegar a A. Calcular la distancia de M a B. UNI 83-I A) 800 B) 600 C) 400 D) 300 E) 900 91 Capítulo 13 OPERADORES MATEMÁTICOS Una operación matemática consiste en hacer corresponder a un par de números de un conjunto, otro número del mismo conjunto. Por ejemplo, la adición hace corresponder a los enteros 3 y 5 el entero 8. 3+5=8 OPERADORES MATEMÁTICOS En un conjunto se puede definir tantas leyes de composición interna como uno quiera, cada una con su regla y un símbolo que la representa. El símbolo se llama operador matemático. Ejemplo OPERACIÓN OPERADOR Adición + Multiplicación × Radicación El modo cómo se encuentra el número correspondiente a una pareja dada es propio de cada operación. Más apropiadamente y con mayor generalización se ha convenido en llamar ley de composición interna a todo proceso que consiste en hacer corresponder a un par de elementos de un conjunto otro elemento del mismo conjunto, sujeto a una regla claramente definida. Por ejemplo, a los elementos V y F la regla designada por ∧ hace corresponder otro elemento del mismo conjunto, según la regla: V∧ V=V V∧F=F F∧V=F F∧F=F Esto es un ejemplo de una regla de composición interna. Definida una ley de composición interna en un conjunto, no siempre es posible hallar un elemento del mismo conjunto que satisfaga la regla. El objetivo de este capítulo es familiarizar al lector con el uso de los operadores matemáticos. Para ello, definiremos diversas leyes de composición, principalmente en el conjunto de los racionales. Un símbolo cualquiera diferente de los operadores convencionales (+, –, ×,...) se puede utilizar para definir diferentes leyes de composición. Ejemplos 1. a * b = 2a + b ↓ ↓ 3 * 2 = 2(3) + 2 ⇒ 3 * 2 = 8 4 * (–5) = 2(4) + (–5) ⇒ 4 * (–5) = 3 – 6 * 10 = 2(–6) + 10 ⇒ – 6 * 10 = – 2 2. m # n = m – n si m > n m # n = n – m si m ≤ n Según la operación arriba definida halle. Por ejemplo, dividiendo dos enteros, no siempre resulta un cociente entero. En tal caso, se dice que la operación en cuestión no está completamente definida o no es cerrada o no tiene la propiedad de clausura en el conjunto. [(4 # 7) # (10 # 7)] # 8 También se pueden establecer leyes de composición entre los elementos de dos conjuntos diferentes, entonces se denomina, ley de composición externa. Reemplazando: Por ejemplo, un conjunto de pares ordenados de enteros con el conjunto de enteros. 4 × MCD(12; 15) = MCD(4 × 12; 4 × 15) 92 EJEMPLO 4+5=9 5 × 6 = 30 3 8=2 Resolución: 4#7=7–4=3 (4 ≤ 7) 10 # 7 = 10 – 7 = 3 (10 > 7) [ 3 # 3] # 8 = [3 – 3] # 8 = 0 # 8 = 8 – 0 = 8 3. n = n+1 n–1 n =1 n≠1 n=1 Halle: E = [(3 ) – 2] OPERADORES MATEMÁTICOS Ejemplo: Resolución: 3+1 =2 3 = 3–1 2+1 (3 ) = (2) = =3 2–1 En A = {0; 1; 2} * 0 1 2 Reemplazando en E: E = [3 – 2] = 1 = 1 ⇒ E = 1 Cualquier operación binaria, se puede representar mediante una tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es la tabla pitagórica de multiplicación. 1 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 4 6 8 6 9 12 8 12 16 10 15 20 5 5 10 15 20 25 6 6 12 18 24 30 Para hallar 4×6, el 4 se busca en la primera columna y el 6 en la primera fila, el resultado está en la intersección de la línea de 4 con la del 6. Veamos otros ejemplos: * a b c a a b c b b c a 1 2 1 2 2 2 1 2 * Cerrado en A TABLA DE DOBLE ENTRADA × 1 2 3 4 5 0 0 1 2 En B = {1; 2; 3} c c a b En esta tabla se ha definido la operación simbolizada por el operador * en el conjunto {a, b, c} # 1 2 3 1 1 2 3 2 2 2 4 3 3 4 3 No es cerrado en B 2. Conmutativa Realizando la operación en cualquier orden siempre se obtiene el mismo resultado. a * b = b * a, ∀ a, b ∈ A Ejemplos: En A = {a, b, c} * a b c a a b a b b b c En B = {m, n, p} c # m n p a Eje de m p m p c simetría n n n n c p m p m Cuando una operación es conmutativa, la tabla resulta simétrica respecto a la diagonal que pasa por el operador. 3. Elemento neutro Se dice que una operación tiene un elemento neutro en un conjunto, si cualquier elemento operado con él y él con cualquier elemento, da el mismo elemento. El elemento neutro, si existe, es único. ∀ a, ∈ A, ∃e/ a * e = e * a = a Aquí algunos resultados. a * a = a a*b=b*a=b b * b = c a*c=c*a=c El elemento neutro de la adición es el cero y el de la multiplicación, el uno. c * b = a b*c=c*b=a Ejemplo: PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA 1. Clausura o cerradura Si el resultado de la operación con dos elementos cualesquiera del conjunto es siempre un elemento del conjunto. ∀ a, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A ¿La operación a* b = a + b + 2 tiene elemento neutro en Z? Si tiene, encuéntrelo. Resolución: Sea ”e“ el elemento neutro. Entonces: a * e = a + e + 2 = a ⇒ e = –2 e*a=e+a+2=a⇒e=–2 ∴ Existe el elemento neutro y es el –2 93 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo: 4. Elemento recíproco Sea * una operación definida en un conjunto A, con elemento neutro “e”, entonces si para todo a ∈ A, existe un elemento de A, denotado por a–1, tal que operado con “a” y “a” operado con a–1 resulta e, entonces a–1 es recíproco de “a” ∀ a ∈ A, a * a–1 = a–1 * a = e En se define: a b = a + b + 4 Sea a–1 el recíproco de a. Halle 4–1 Resolución: Hallamos primero e: a e = a + e + 4 = a ⇒ e = –4 e a = e + a + 4 = a ⇒ e = –4 a–1 es recíproco de a. En la adición el recíproco se llama opuesto. El opuesto de 3 es –3, tal que 3 + (–3) = 0. Hallemos 4–1 4 4–1 = 4 + 4–1 + 4 = –4 ⇒ 4–1 = –12 En la multiplicación el recíproco se llama inverso. El inverso de 2 es 2–1, ó 1/2 tal que: 2 × 2–1 = 2–1 × 2 = 1. RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Sobre el conjunto A = (1; 2; 3 y 4) se define la operación ⊕ mediante la tabla adjunta. ⊕ 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 3 2 3 4 1 2 (2 + 1): impar (2 * 1) * (1 * 3) = 2 * 4 = 24 + 42 = 32 2 4 Rpta.: 32 Resolución: (3 ⊕ 4) ⊕ (x ⊕ 4) = [1 ⊕ (2 ⊕ 2)] ⊕ 3 4 3 ⊕ (x ⊕ 4) = [1 ⊕ 4] ⊕ 3 03 Si a, b son números reales y se definen las operaciones *y D de la manera siguiente: a * b = a + b – 12 a D b = a + ab + b Calcular: m2 – 3 n, siendo m = (5 * 7) D 3 y n = (2 D 4) * 6 UNE 03-II Resolución: 1 3 ⊕ (x ⊕ 4) = 1 ⊕ 3 ⇒ x ⊕ 4 = 1 ⇒ x = 1 5 * 7 = 5 + 7 – 12 = 0 m = (5 * 7) D 3 = 0 + 0 · 3 + 3 = 3 4 Rpta.: 1 02 Si 0 2 D 4 = 2 + 2 · 4 + 4 = 14 n = (2 D 4) * 6 = 14 + 6 – 12 = 8 a*b= a + b ; (a + b): Par ab ; (a + b): Impar b a Calcule: (2 * 1)*(1 * 3) 94 2*1=2.1=2 1 * 3 = 13+ 31 = 4 (1 + 3): par 1 2 3 4 1 Determine “x” si se cumple que: UNI 06-I (3 ⊕ 4) ⊕ (x ⊕ 4) = [1 ⊕ (2 ⊕ 2)] ⊕ 3 3 Resolución: UNFV-05 14 m2 – 3 n = 32 – 3 8 = 9 – 2 = 7 Rpta.: 7 OPERADORES MATEMÁTIC AMATEMÁTICOS RECREATIVA 04 Si: z = 2 z + 3 y z = 1 – 2z determine el valor de “t” en la siguiente ecuación (UNI-01 II) t + –2 = – 2 Resolución: t = 2 z + 3 = 2(1 – 2z) + 3 ⇒ z = 5 – 4z 1 – 2z t + –2 = – 2 5 – 4t + 5 – 4(–2) = –2 ⇒ t = 5 Rpta.: 5 05 Sean ⊗ y D dos operadores definidos por n + 1{1 ⊗ [1 + (1 ⊗ 2)]} a ⊗ b = b–a y n D m = m Calcular: 1 D 1 UNI 04-II 3 3 Resolución: 1 a⊗b= a b 1 3 n+1 1⊗ 1+ n+ 1⊗ 2 2 nDm= = m m 1 2 2 + n+ 1 1 3 3 3 nDm= ⇒ D = =3 1 3 3 m 3 Rpta.: 3 a+3 08 a = y a = 3a – 1 a determinar el valor de “t” en: t = 7 (UNI 05-II) Resolución: t+3 +3 a + 3 t + 3 3t –1 a= ⇒ t = = 3a – 1 3 t – 1 3 t + 3 –1 3t – 1 t = t + 3 + 9t – 3 ⇒ 7 = 10t ⇒ t = 7 3t + 9 – 3t + 1 10 n Rpta.: 7 REFORZANDO 01 Sea el conjunto A = (0; 1; 2; 3; 4), en el cual definimos la operación “o” como sigue: (UNE-05 I) 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 06 Si ab D ba = a 2b, halle el valor de 81 D 64. UNFV 08-I 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 Resolución: Calcula: [(2 5) 4] (3 1) 81 D 64 = 34 D 43 = 3 2 · 4 = 3 8 = 2 A) 0 Rpta.: 2 07 Definimos la operación n = 3n + 2 ; enton- 02 Si B) 1 b a 2n ces el valor no entero de “n” en n = n es halle M = Resolución: A) 16 3n + 2 3 +2 9n + 6 + 4n 3n + 2 2n n= = = 6n + 4 2n 3n + 2 2 2n 13n + 6 ⇒ 6n2 + 4n = 13n + 6 n = 6n + 4 n 6n2 – 9n – 6 = 0 ⇒ 2n2 – 3n – 2 = 0 2n 1 n –2 1 (2n + 1)(n – 2) = 0 ⇒ n = – o n = 2 2 Rpta.: 2 b = C) 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 D) 3 E) 4 a+b , a–b 6 10 B) 11 + 10 20 C) 12 + 3 5 UNFV-06 D) 14 E) 15 a2 – 2ab, si a > b 03 Si: y = a2 – 3ab, si a < b a 5 y 1 Calcular el valor de y UNAC 04-I 2 y 3 A) 93 B) –93 C) –75 D) –84 E) 84 95 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 Si: 10 En la tabla m = m2 + 3m UNI 06-II y a b = (a – b)2 * 0 1 2 3 Determine el valor de: E= 2 A) 4280 D) 4292 2 B) 4288 E) 4296 C) 4289 si xse verifica que 2 – U = 20 y U = W Determinar el valor de “W” UNI 06-I A) –13 B) –7 C) 7 D) 13 E) 21 4#n=2*n C) 6 x = x+4 si x es par 2 x = x+3 si x es impar 2 A) 1 9 – 6 B) – 1 D) 9 E) 4 A) 8 B) 71 Q 09 15 P D) 2 E) C) 1 B) 3 13 Si: E) –2 C) 4 D) 6 E) 9 C) 1 D) 0 E) 4 x = 2x – 6 x + 2 = 4x + 4 B) 2 * 1 2 3 4 a = 3a + 6 1 1 3 4 5 2 3 1 5 6 3 4 5 1 7 4 5 6 7 1 Determine el valor de “Q” – Q= UNFV-03 12 C) 3 D) 5 E) 9 x C) 20 2*4 2*6 a*a+ 1*2 6*2 A) 2 B) 3 C) 4 UNI 09-I D) 5 E) 6 15 Se define las siguientes operaciones en ⊗ = x3 + 1 = 14 x 3 = x(x(x – 3) + 3) 2 Hallar 3 y como resultado determine la suma de sus cifras. x 96 B) –1 5 2 UNFV-06 B) 15 A) 0 UNE-06 5 A) 14 D) 2 x = x(x + 2) 14 Se define la operación * en la tabla. P+Q+5 = 2 Halle E) 4 11 Si: x = x2 – 1 A) –2 a = 0,5a Calcular: D) 3 Halle: 8 – 5 1 C) –2 08 Si a = 2a – 4 C) 2 valor de x. UNI 09-I 07 Sabiendo que Calcular B) 1 A) 2 B) 3 3 3 2 1 0 12 Si m * (m – n) = m · n y 6 * x = 18, determine el a # b = a2 – ab + b2 A) –3 2 2 0 3 1 Halle: E = 3 4 – 2 6 06 Si a * b = 3a + 2b + 1 Halle "n" en: 1 1 3 0 2 Hallar "n" en: (3 * n) * (2 * 0) = (3 * 3) * 0 A) 0 05 Se sabe que x = 4x – 1 y m = 1 – 2m 0 0 1 2 3 D) 18 E) 11 (Donde significa la operación potenciación) UNI 08-II A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 OPERADORES MATEMÁTICOS 06 Si n = (n + 1)2 + 4 TAREA 01 En el conjunto Z se definen las siguientes operaciones: C) 78 D) 21 E) 11 02 En el conjunto de números naturales definimos la operación binaria # como a # b = 2a + 3b + 4 entonces b # 2 es igual a: UNE 05-I A) 5b + 4 D) 2a + 10 B) 2b + 10 E) 3b + 8 C) 5a + 4 C) 14 D) 13 E) 15 y z el valor de “k” en: k f 4 = 11 UNI 05-II A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 08 En el conjunto Z de los números enteros se define la operación * con la siguiente: p * q = p + q + q2 Halle x en Z, de modo que se cumpla 2x * a = (3a * 4) + a2 UNE-07 A) 2a + 6 D) a + 10 03 Definimos la operación: x B) 20 07 Si m f n = 5m – 2 n y b =10 – 2b determine Luego, el valor de (4 * 5) * (7 * 6) es igual a: UNE-06 B) 12 Halle: x = 50 # 65 A) 30 a * b = 3b – a; si a>b a * b = 4a + b; si a<b A) 9 a#b = 4a B) a2 + 2 E) a + 2 C) 2a – 4 09 a @ b3 = a – b2 = x2 + yz Halle: E = (4 @ 27)(6 2 @ 512) Para todo número x, y, z. Halle el valor de: UNFV-07 A) 56 B) 45 C) 41 D) 14 E) 22 10 Si: f(n) = (n + 1) (n – 1) 1 2 3 2 3 1 Halle: E = f(...f(f(f(n)))...) 3 1 2 678 operadores A) 123 B) 113 C) 99 D) 126 E) 132 04 Definido el operador: a b = a(b – a) + b(a – b) Y 2 = – 16 3 A) –15 = – 4 UNI 06-II 1 X B) –9 C) –5 D) 3 B) 2n (n – 1) E) (n + 1) E) 9 05 Si a > 0 a = 2a +1 01 Si t * u = 2u – t, determine el valor Z en la siguiente igualdad. UNI 07-I A) 1 4 B) 1 2 (4 * 3) * (1 * 2) =8 Z * (3 * 2) C) 2 3 Determine el valor de: Calcular (m – n): UNAC 98-I Q= A) 1 3 –4 + 5 B) 12 19 A) 64 UNI 06-II C) 3 4 E) 3 2 2 2 Si (m D n) – (m # n) = 8 3 D) 02 Si a # b = (a + b) , x D y = x2 + y2 Si a < 0 a = 3a + 8 –2 + C) n2 SEMINARIO Determine el menor valor del producto XY, si: 4 A) n (n + 1) D) (n – 1) 11 15 B) 32 C) 4 D) 8 E) 16 D) 81 E) 12,5 03 Si an & an–1 = 0,5na D) 11 13 E) 3 4 Halle: E = (81 & 27) & 16 A) 16 B) 32 C) 25 97 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 Si: a D b = ab 1 2 11 bDa Halle 9 D 3 (UNAC-06 I) A) 9 B) 3 k = k(k + 2) C) 27 D) 3 A) 5 B x Halle el valor de: (1,5 D 0,6) D 2 UNFV-05 C) 6 D) 3,6 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1/2 D) 21000 Halle: x = 3 Determine el valor de m en: 4 3 2 m = 5 UNI 07-I C) 3 D) 4 A) 1 E) 5 C) 3 D) 4 E) 1/2 15 Si C) 6 D) 8 E) 2 2 10 Si a b = 3a–2b, cuando b > a a b = 4b – a, cuando a > b a b = 5a – 2b, cuando a = b 72E Determine el valor de W = 13 (5 2)(–3 2) UNI 04-II Donde E = (6 6)(2 1) B) –6 D) 2 E) 3 B) 4 m C) 0 D) –2 E) 2 n = 2m + n – q y b = 3b – 1 q 2 Calcule: 16 * 2 A) –8 C) 3 x = 2(x – 16) A) –4 B) 4 #2 6 Halle: E = 4 – 2 09 Se define: a(b * a) = a * b; a * b > 0 A) 2 C) 22 x + 3 = 8x P Calcule: (4) P(2) B) 2 1/4 B) 2 14 Si: 08 Si: P(x/y) = P(x) – P(y) A) 1 B) 2 E) 21001 13 Si: a # b2 = 2( b # a2) – ab a b = 2a + b y a b = 2b – a B) 2 E) 4 se aplicó mil veces el operador UNI 07-I 07 Si se definen los operadores A) 0 D) 2 a E) 1 Determine el valor de w – z sabiendo que: 5 D z = – 9 y w D (–2) = 26 UNI 07-I B) 2 C) 3 12 Se cumple que a = 1 , a ≠ 0 determine 2 06 Si: m D n = nm (m – n) y x y = 3y – x. A) 1 B) 7 ... B) 2,6 1 Halle: 2 + E) 15 05 Si: A D y = (A + B)x – y A) 1/6 k = k2 – 1 C) 4 D) 12 Determine el valor de: UNI 05-I –2 A) 35 D) 44 B) 39 C) 41 –2 E) 16 Sabías que... El origen de la forma de los números coincide con la cantidad de ángulos que poseen. 1 1 1 2 2 2 98 1 3 3 4 1 1 2 5 3 2 6 3 4 5 4 –2 –1 E) 47 Capítulo 14 CRONOMETRÍA CRONOMETRÍA Con este título vamos abordar los problemas que se derivan de la medición del tiempo. Por la variedad de problemas relacionados con este tema, vamos a agruparlos en cuatro subtemas: 1. Problemas sobre campanadas. 2. Problemas sobre tiempo transcurrido y lo que falta por transcurrir. 3. Problemas sobre adelantos y atrasos. 4. Problemas sobre el ángulo formado por las manecillas de un reloj. 1. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS Una campanada es el sonido producido por el choque del badajo con la pared de la campana. Cinco campanadas marcan 4 intervalos de 1,5 segundos cada uno, que hacen 1,5 × 4 = 6 segundos. Entonces, tarda 6 segundos en dar 5 campanadas. Debemos enfatizar que el tiempo no señala la duración de un sonido (1 campanada) sino, el tiempo que transcurre, entre un sonido y otro. Ejemplo 1: Un campanario que da la hora con igual número de campanadas tardó 6 segundos en dar las 6. ¿Cuánto tardará en dar las 12? Resolución: Erróneamente se podría pensar que si tarda 6 segundos en dar las 6, tardará 12 segundos en dar las 12. Pero no es así: Analicemos gráficamente: 6 segundos 1 2 badajo 3 4 5 6 6 campanadas Cada sonido marca el extremo de un intervalo de tiempo. Las 6 campanadas determinan 5 intervalos. Los 5 intervalos hacen 6 segundos, entonces cada intervalo tiene una duración de 6 ÷ 5 =1,2 segundos. Dos campanadas marcan un intervalo de tiempo, tres campanadas marcan dos intervalos, etc. ¿Cuántos intervalos determina 12 campanadas? Once intervalos. Cada uno de 1,2 segundos, lo que hacen 11 × 1,2 = 13,2 segundos. 2 intervalos El campanario tarda 13,2 segundos en dar las 12. 3 campanadas 2. PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y LO QUE FALTA POR TRANSCURRIR Los intervalos de tiempo, obviamente tienen una duración, pero la misma para cada intervalo. Si cada intervalo tuviera una duración de 1,5 segundos, ¿cuánto tardaría en dar 5 campanadas? 4 intervalos 1,55 1 1,55 2 1,55 3 1 1,55 4 5 campanadas Un punto cualquiera en el interior de un intervalo lo divide en dos subintervalos. Uno que abarca desde el primer extremo al punto y otro, del punto al segundo extremo. Punto interior Subintervalo Subintervalo 5 P Intervalo Consideremos que entre las 8 y las 9 de la mañana, han transcurrido 36 minutos desde las 8, entonces falta transcurrir 24 minutos para que sean las 9. 99 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Hora actual Tiempo Tiempo que transcurrido falta transcurrir 8 h 36 min 8:36 24 min 9 h Siempre que se divida un intervalo de tiempo con un punto intermedio, vamos a distinguir dos subintervalos que unidos hace el intervalo original. Ejemplo 2: Pasan de las 6 sin ser las 7. Si han transcurrido desde las 6 el triple de los minutos que faltan transcurrir para las 7, ¿qué hora es? Tiempo que Tiempo transcurrido falta transcurrir 3x x 6h 60 min 7h Del gráfico: 3x + x = 60 ⇒ x = 15 min Tiempo transcurrido: 120 min 8h Del gráfico: x + 24 + 15 + 2x = 120 3x = 81 ⇒ x = 27 Son las 6 h + 27min + 24min = 6 h y 51 min Ejemplo 3: Si faltan del día las 3/5 de las horas ya transcurridas, ¿qué hora es? Resolución: Horas Falta transcurridas transcurrir 3x 5x 24 h En esta parte vamos abordar los problemas que se derivan como consecuencia de los adelantos o retrasos que sufren los relojes desperfectos. Pasada una hora tendrá un adelanto de 1 minuto y marcará, entonces, la hora correcta más el adelanto. La 1 con un minuto. Pasada 3 horas marcará 3 h 3 min. Así sucesivamente. Un día tiene 24 horas 0h Cuando un reloj, por mal funcionamiento, se adelanta o atrasa, la hora que marca evidentemente no es correcta. Sin embargo, si se conoce el ritmo de adelanto o retraso se podría calcular la hora correcta. Supóngase que un reloj que se pone a la hora a las 12 del día empieza adelantarse constantemente a razón de 1 minuto por hora. 3(15) = 45 min. Son las 6 h 45 min 24 h Por comodidad asignamos 5x para representar las horas que faltan, así las horas transcurridas resulta 3 (5x) = 3x. 5 Del gráfico: 3x + 5x = 24 ⇒ x = 3 Horas transcurridas: 3(3) = 9 h Son las 9 de la mañana. Ejemplo 4: Dentro de 15 minutos faltarán para las 8 el doble del tiempo transcurrido desde las 6 hasta hace 24 minutos. ¿Qué hora es? 100 6h Hora Dentro de 24 min 15 min 2x 3. PROBLEMAS DE ADELANTOS Y ATRASOS Resolución: Resolución: x Si en lugar de adelantarse se atrasase 1 minuto por hora, al cabo de una hora marcará la hora correcta menos 1 minuto de retraso. Las 12 h 59 min. En dos horas tendrá dos minutos de retraso, en tres horas 3 min, etc. Ejemplo 5: Un reloj marca 8:50 cuando son las 8:30. ¿A qué hora empezó adelantarse, si sufre un adelanto de 4 minutos cada 5 horas? Resolución: El reloj tiene un adelanto de 20 minutos En 5 horas adelanta 4 min En x horas adelanta 20 min. 20 × 5 x= = 25 horas = 24 h + 1 h 4 Hace 25 horas empezó adelantarse. Son las 8:30. Hace 24 horas eran las 8:30, entonces hace 1 hora más, eran las 7:30. Empezó adelantarse a las 7:30. CRONOMETRÍA ¿Cuánto adelanta para marcar la hora correcta? Se cumple: Siendo las 8 en punto hay dos relojes que están señalando la hora del mismo instante. a = 30H – 11 (M) 2 Ejemplo 7: Hora correcta Hora Adelantada ¿Cómo, de dos relojes que están marcando la hora correcta uno puede estar marcando una hora adelantada? Una explicación es, que esté adelantado 12 horas. Si son las 8, con un adelanto de 12 horas vuelve a marcar las 8. Si no tiene un indicador que señala si es a.m. o p.m., no hay forma de darse cuenta de que se ha adelantado o retrasado 12 horas. En consecuencia, para que un reloj que se adelante o retrasa, vuelva a marcar la hora correcta, debe adelantarse o retrasarse 12 horas o múltiplo de 12 horas (24 h, 36 h, 48 h, ...) Calcular el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 7:16. Resolución: H = 7 M = 16 Aplicando la fórmula: 11 a = 30H – (M) 2 a = 30(7) – 11 (16) 2 a = 210 – 88 = 122o Caso II: Cuando el espacio barrido por el minutero es mayor que el espacio barrido por el horario. 12 11 Ejemplo 6: 1 10 Un reloj empieza adelantarse 2 minutos cada hora. ¿Dentro de cuánto tiempo volverá a marcar la hora correcta?. 2 9 Resolución: 3 a 8 Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora correcta, debe adelantarse 12 horas. En minutos, debe adelantarse 12 × 60 = 720 minutos. 4 7 6 5 Se cumple: En 1 hora adelanta 2 min. a= En x horas adelanta 720 min. 11 (M) – 30H 2 x = 720 ÷ 2 = 360 horas Pasando a días: 360 ÷ 24 =15 días. Ejemplo 8: Dentro de 15 días volverá marcar la hora correcta. Calcula el ángulo que forma las manecillas del reloj a las 5:48. 4. ÁNGULO QUE FORMAN LAS MANECILLAS DEL RELOJ Caso I: Cuando el espacio barrido por el horario es mayor que el espacio barrido por lem minutero. 12 11 1 10 2 9 3 a 8 Resolución: H = 5 M = 48 Aplicando la fórmula: a= 11 (48) – 30(5) 2 a = 264 – 150 a = 114o 4 7 6 5 101 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 10: Propiedades: 12 11 ¿Qué hora es en el siguiente gráfico mostrado? 1 10 2 9 11 3 8 4 7 5 div. 2a 7 Aplicamos las propiedades en la siguiente gráfica: 34 min <> 17o que avanza el horario 4 7 24o a = 24o + 90o + 13o a = 127o 102 1 2 17o 8 6 5 90o 5 12Ho = Mo Resolución: 3 4 Reemplazamos en la siguiente equivalencia: ¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2:34? a 6 3 Resolución: Ejemplo 9: 9 a 8 Horario Minutero 1o < > 12o 1' < > 12' xo < > 2x' 10 2 9 1 div. = 1 min = 6o 12 1 90 – 2a 10 5 6o 6 30o 11 12 13o 12a = 90 – 2a 14a = 90 45 a= 7 "a" a minutos: (÷6) 45 15 15 ⇒ 2a = amin = = 7 14 7 6 15 20 5– = 7 7 6 ⇒ 2 min 7 Luego: 6 6 10 min + 2 min = 12 min. 7 7 6 ∴ 6 h 12 min 7 CRONOMETRÍA RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta oscura noche. Si hubieran pasado 25’ más faltarían para las 5 horas los mismos minutos que pasaron desde las 3 horas hasta hace 15 minutos. ¿Qué hora es? Resolución: 3 x – 15 15 Hora Actual 4 5 25' x – 15 x + 25 + x – 15 = 120 ⇒ x = 55 04 ¿Qué ángulo forman entre sí las agujas de un reloj a las 11h 20min? Resolución: Aplicando la fórmula: 11 a = 30(11) – (20) 2 a = 330o – 110o = 220o ⇒ 360o – 220o = 140o Rpta.: 140o 05 Las horas que faltan para terminar el día son 3 h 55 min. Rpta.: 3h 55min 02 Un reloj está atrasado 1h 40 min, pero se y las horas que pasaron desde que inició, están en la relación de 3 a 5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el medio día? adelanta 3 min por día. ¿Al cabo de qué tiempo marcará la hora exacta? Resolución: Resolución: 0 24 × x 3 = ⇒ x = 15 5 x 15 – 12 = 3 1h 40 min = 60 + 40 = 100 min En 24 h adelanta 3 min En x adelanta 100 min 100 × 24 x= = 800h = 33d 8h 3 Rpta.: 33d 8h 03 Cuántos minutos después de las 8 el horario se adelanta al minutero 18 divisiones de arco menor? Resolución: 2x x 24 – x 24 Rpta.: 3h 06 A qué hora entre las 4 y las 4, las agujas del reloj forman un ángulo de 180o? Resolución: Reemplazando en la fórmula: 11 a = (M) – 30H 2 11 180o = – 30(3) 2 540 1 M= = 49 11 11 1 Rpta.: 3h 49 min 11 07 Un reloj se atrasa dos minutos por cada x hora transcurrida. Si comienza a funcionar a las 2 pm. entonces, transcurridas 39 horas, sus agujas marcarán las UNMSM 09 -I 18 Resolución: De la figura: 12x + 18 – x = 8 × 5 11x = 22 ⇒ x = 2 ∴ 12x = 12(2) = 24 min Hallando la hora correcta dentro de 39 h: Rpta.: 24 min 39 h = 24 h + 15 h = 1 día + 15 h 2 p.m. = 14 h ⇒ 14 h + 15 h = 29 h 29 h = 24 h + 5 h ⇒ son 5 a.m. 103 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En 1 h se atrasa 2 min ⇒ en 39 h, 39 × 2 = 78 min = 1 h 18 min Marca: 5 h – 1 h 18 min = 3 h 42 min. Rpta.: 3:42 a.m. 08 Las dos manecillas de un reloj están superpuestas al medio día. ¿A qué hora se encontrarán nuevamente la una sobre la otra? UNI-77 05 Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas. Si éste marca la hora correcta 7 am el 2 de mayo ¿qué hora marcará a la 1 p.m., del 7 de mayo? A) 10h 18 min B) 12 h 8 min C) 4h 18 min D) 12 h 42 min E) 12h 18 min 06 Un fusil automático puede disparar 7 balas por segundo. ¿Cuántas balas disparará en un minuto? UNFV-00 A) 420 Resolución: m m 12 B) 530 C) 120 D) 361 E) 480 07 ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj cuando la aguja horaria ha sobrepasado en 18° a la línea de las 3? A) 90° B) 98° C) 100° D) 108° E) 112° 08 Carlos en pleno examen de admisión 2009, ob- m =5 12 60 3 m = = 5min 27 seg 11 11 3 Hora: 1h 5min 27 seg 11 3 Rpta.: 1h 5min 27 seg 11 m– 01 ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 10:46? B) 40o A) 230° B) 232° C) 284° C) 42o D) 44o E) 46 02 Un reloj da tres campanadas en 3 segundos, seis campanadas dará en: UNE-85 B A) 7 1/2 s B) 1/3 s C) 6 s D) 7 s E) N.A. 7 7:00 pm. y el tiempo transcurrido es los del 8 tiempo que falta transcurrir, ¿qué hora es? hora. ¿Qué hora marcará a las 14:00 h, si hace 8 hora está descompuesto? A) 13:32 D) 14:28 B) 14:32 E) 13:58 B) 5:56 am E) 6:04 pm A) 4:43 B) 4:23 B) 3:00 h E) 6:00 h C) 4:00 h C) 4:56 D) 5:06 E) 5:03 11 El suplemento del ángulo formado por las manecillas de un reloj a la 1:30 pm es: UNSAAC 04-I A) 46° B) 45° 12 ¿Qué hora es? C) 50° D) 40° E) 48° 12 9 C) 6:56 pm para acabar el día, el cuadruple de las horas que han transcurrido. ¿Qué hora es? 104 C) 13:28 45 minutos. ¿Qué hora es, si el reloj marca las 3:12 y hace 15 horas está descompiueto? 2a 3 a 04 Si fuera 4 horas más tarde de lo que es, faltaría A) 2:00 h D) 5:00 h E) 345° 09 Un reloj se adelanta a razón de 4 minutos cada 03 Son mas de la 5:00 pm. pero aún no son las A) 5:56 pm D) 5:46 pm D) 302° 10 Un reloj se atrasa a razón de 5 minutos cada REFORZANDO A) 38o serva que su reloj marca las 9 h 56 min. Halle la diferencia de los ángulos que forman las agujas de su reloj en ese instante. UNSCH 09-I 6 1 B) 6h 20 min C) 6h 18 min 3 1 D) 6h 21 min E) 6h 20 min 3 A) 6h 21 min CRONOMETRÍA 13 ¿A qué hora, entre las 4 y 5 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 65 grados por primera vez? UNSAAC-07 A) 4 h 15 min B) 4 h 12 min D) 4 h 35 min E) 4 h 10 min C) 4 h 05 min 14 El reloj de Beto marca las 8:30 h. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor de las medidas de los ángulos determinados por las manecillas del reloj? UNSAAC-07 A) 235° B) 210° C) 75° D) 285° E) 150° 15 Las clases de la tarde de un colegio comienzan a las 3 pm y terminan a las 5 pm, hay cuatro períodos de clases, separados por recreos de 4 minutos. ¿Cuántos minutos dura cada período de clase? UNPRG-87 A) 29 minutos C) 39 minutos E) N.A. B) 30 minutos D) 60 minutos 05 ¿Cuál es el menor ángulo que formarían las manecillas de un reloj que marca la 15:10? UNFV-02 A) 15° B) 35° A) 5:54 B) 6:54 las 8:40? A) 10o B) 20o C) 30o D) 40o E) 50o 03 En un reloj de pared, las horas exactas se seña- lan con campanadas debidamente espaciadas para dar dos campanadas emplea 2 segundos, el tiempo que emplea en tocar 12 campanadas es: UNAC-04 D) 7:06 E) 7:36 en tocar tantas campanadas como segundos transcurren, entre campanada y campanada, ¿Cuántas campanadas tocará en 30 segundos? UNAC 08-I A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 8 08 ¿Qué hora es el reloj mostrado? 12 a 3 a transcurrido del día es igual a los 3/5 de lo que falta transcurrir. UNMSM-06 II 02 ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a C) 6:42 07 El campanario de un reloj emplea 20 segundos 01 Hallar la hora que es, si las horas que han C) 11 a.m. E) 165° hora y media. ¿Qué hora marcará a las 6:30, si hace 9 horas está descompuesto? 9 B) 10 a.m. E) 2 p.m. D) 60° 06 Un reloj se adelanta a razón de 6 minutos cada TAREA A) 9 a.m. D) 1 p.m. C) 45° 6 8 min 11 1 C) 5h 49 min 11 6 E) 5h 47 min 7 A) 5h 47 2 min 13 8 D) 5h 46 min 11 B) 5h 46 09 Las agujas de un reloj señalan las doce horas y 20 minutos. ¿Cuántos grados vale el ángulo que forman dichas agujas? UNFV-83 A) 120° B) 95° C) 117° D) 118° E) 110° 10 A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes 5 de un día es igual a los del tiempo que falta: 7 UNE-05 I iguales, a cada parte se denominará “nuevo minuto”, cada nueva hora estará constituida por 100 “nuevos minutos”. ¿Qué hora indicará el nuevo reloj cuando el antiguo indique las 3 horas 48 minutos? UNI 82-I A) 12 horas D) 15 horas A) 2 h 80 min B) 2 h 45 min D) 4 h 75 min E) 3 h 80 min A) 24 s B) 11 s C) 22 s D) 18 s E) 12 s 04 Qué hora es cuando el tiempo transcurrido B) 12 h 24’ E) 5 horas C) 10 horas C) 3 h 75 min 105 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SEMINARIO 7 min 13 7 C) 7h 27 min 13 3 E) 7h 26 min 11 7 min 13 9 D) 7h 27 min 13 A) 7h 26 01 ¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelantó a las 12? A) 2 h 16 min B) 2 h 20 min D) 2 h 26 min E) 2 h 28 min C) 2 h 24 min B) 7h 24 08 ¿Qué hora es en el reloj mostrado? 12 02 Dos relojes se sincronizan a las 10 p.m., a partir de cuyo instante el primero se adelanta 10’ en cada hora, mientras que el segundo se atrasa 10’ cada hora. ¿Después de cuánto tiempo marcarán la misma hora? A) 6 h B) 12 h C) 18 h D) 24 h a 9 3 a E) 36 h 03 ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 10:52? A) 14º B) 16º C) 18º D) 20º E) 22º 04 Un reloj es exacto a las 9 h 37 min. ¿Qué hora marcará, si adelanta 6 min cada 4 horas, dentro de 12 horas? A) 21 h 45 min C) 21 h 55 min E) 21 h 50 min B) 21 h 35 min D) 21 h 25 min 05 Un reloj anuncia las horas con un número de campanadas igual a las horas que está marcando, además este mismo reloj da 3 campanadas en 8 segundos, entonces. ¿A qué hora exactamente terminará el reloj de anunciar las 21 horas? A) 21 h 20 s D) 21 h 26 s B) 21 h 22 s E) 21 h 32 s C) 21 h 24 s 06 ¿Cuál es el menor ángulo que forman entre sí las manecillas de un reloj a las 9 horas 10 minutos de la noche? UNSAAC-01 II A) 135° B) 125° C) 150° D) 140° 6 7 min 11 7 C) 12h 28 min 11 7 E) 12h 25 min 13 A) 12h 26 9 min 13 7 D) 12h 29 min 11 B) 12h 27 09 Un reloj se adelanta 15 minutos cada 5 horas, después de 20 horas, ¿cuánto tiempo se habrá adelantado? A) 20 min D) 50 min B) 30 min E) 56 min 10 Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿Qué hora será en realidad cuando marque 10:07 pm si hace 30 horas viene adelantándose? UNSCH 06-II A) 9:47 p.m. D) 9:43 p.m. B) 6:47 p.m. E) 9:53 p.m. 9 a 8 12 E) 145° 7 106 4 5 2a 3 6 3 6 a 9 a C) 3:47 p.m. 11 ¿Qué hora es en el reloj mostrado? 07 ¿Qué hora es en el reloj mostrado? 12 C) 60 min A) 2h 26min D) 2h 19min B) 2h 17min C) 2h 18min 6 E) 2h 21 min 14 CRONOMETRÍA 12 Juan sale de su casa entre las 7 y 8 a.m., cuando las manecillas del reloj forman ángulo de 10° por segunda vez, y se dirige a la universidad. Regresa entre las 10 y 11 a.m., del mismo día, cuando las manecillas forman ángulo de 30° por segunda vez. ¿Qué tiempo estuvo fuera de su casa? UNSAAC-08 A) 3 h 20 min B) 2 h 40 min D) 3 h 40 min E) 2 h 05 min C) 4 h 10 min 13 Un reloj se adelanta cuatro minutos cada seis horas. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que dicho reloj marque la hora correcta? Expresar la respuesta en días UNI-04 II A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 14 En una prueba en el Fuerte Rimac, dos ame- tralladoras disparan un total de 317 balas. Una disparó 3 balas cada 1/2 segundo y la otra una bala cada 1/5 segundo. Si empezaron a disparar al mismo tiempo, ¿cuántas balas más disparó una ametralladora que la otra? UNI-09 I A) 27 B) 33 C) 29 D) 37 E) 38 15 Después de las 3 a.m., ¿cuál es la hora más próxima en que las agujas de un reloj forman un ángulo llano? A) 3h 55 m 7 C) 3h 49 m 11 2 E) 3h 49 m 11 El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) era noruego. Estaba orgulloso de ello (firmaba todos sus escritos como N. H . Abel, noruego), pero también era para él una carga. A principios del siglo XIX Cristiana (actualmente Oslo) estaba muy apartada de los ambientes matemáticos y científicos europeos que se concentraban en París y Berlín. Hijo de un pastor protestante, destacó desde niño en las matemáticas. Siendo aún muy joven empezó a estudiar la solución de la ecuación de quinto grado. Pronto cambio de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de demostrar esas ecuaciones con métodos algebraicos Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis. Tenía sólo veintiseis años. B) 3h 49 m 1 D) 3h 49 m 11 Niels Henrik Abel 107 Capítulo 15 SUCESIONES Imaginemos que en una tienda de electrodomésticos se anoten diariamente los televisores vendidos. Sea: 2; 3; 0; 1; 5; 6; 9; 15.... parte de aquella lista. Resaltemos algunas características de esta lista: Denotemos con tn el término enésimo de la sucesión, entonces: t1 = 3; t2 = 7; t3 = 11; t4 = 15; .... El término que deseamos hallar es t20. Teniendo la fórmula general, será suficiente reemplazar en ella la variable n por 20. La fórmula general de la sucesión es: • Está determinado claramente cómo se obtiene cada número. Contando los televisores vendidos en el día. En caso de que no se venda ninguno, se pone cero. Para hallar t20, sustituimos n por 20: • A cada día le corresponde uno, y sólo un número. No es posible que en el mismo día se haya vendido 2 y 3 televisores. CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES Esta lista es un ejemplo de una sucesión numérica. Sucesión numérica.- Es un conjunto de números en el que existe un criterio que determina cómo se obtiene cada uno de los elementos. El criterio se llama regla de definición y cada elemento se llama término de una sucesión. Fórmula general.- La regla de definición puede estar dado en diferentes formas. Una de las formas más comunes es mediante una fórmula, entonces se llama fórmula general o de recurrencia. Ejemplos 1. La fórmula general de la sucesión 1 2 3 4 n , , , , ... es 2 3 4 5 n+1 Para n = 1 se obtiene el primer término, para n = 2, el segundo, etc. 2. La fórmula general n2 + 1 genera la sucesión: 2; 5; 10; 17; 26; 37; ...; n +1... 2 Aquí estudiaremos las sucesiones generadas mediante una fórmula general. t20 = 4(20) – 1 ⇒ t20 = 79 Las sucesiones numéricas se pueden clasificar de acuerdo a diversos criterios. Veamos algunos de ellos. 1. Según el número de términos a. Sucesiones finitas Tienen un número finito de términos: 1; 4; 9; 16; ...; 1296 b. Sucesiones infinitas Tienen infinitos términos 1 1 1 1 1; ; ; ; ; ... 2 4 8 18 2. De acuerdo a la fórmula general a. Sucesiones polinomiales Tienen por fórmula general un polinomio en n. Entre las sucesiones polinomiales tenemos: a1. Sucesiones lineales Fórmula general: tn = An + B 2; 5; 8; 11; 14; ...; 3n – 1 3 3 3 3 Problema básico El problema básico de las sucesiones es obtener la fórmula general y calcular el término de cualquier posición. a2. Sucesión cuadrática Fórmula general: tn = An2 + Bn + C 2; 5; 10; 17; 26; ...; n2 + 1 Ejemplo ¿Cuál es término 20° de la sucesión? 3; 7; 11; 15;....? 108 tn = 4n – 1 3 5 7 9 2 2 2 SUCESIONES a3. Sucesión cúbica Ejemplo 1: Fórmula general: tn = An3 + Bn2 + Cn + D 0; 5; 22; 57; 116; ...; (n3 – 2n + 1) 5 17 35 59 Resolución: r = 7 ⇒ tn = 7(n – 1) + 9 ⇒ tn = 7n + 2 6 6 También: b. Sucesiones exponenciales: r = 7 ⇒ to= 9 – 7 = 2 ⇒ tn = 7n + 2 Fórmula general: tn = kAn Luego: 3; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; ....; 3 3 4 5 n c. Sucesiones potenciales: t30 = 7(30) + 2 ⇒ t30 = 212 t40 = 7(40) + 2 ⇒ t40 = 282 Fórmula general: tn = knA 13, 23; 33; 43; 53;.....n3 3. De acuerdo a la combinación de sucesiones a. Sucesión simple.- Consta de una sucesión con una sola fórmula general. 1 1 1 1 ; ; ; ; ... 2 3 4 5 b. Sucesión compuesta.- Formada por la intercalación de términos de dos sucesiones 1; 1; 2; 4; 4; 9; 8; 16; 16;... Es equivalente a la sucesión Método práctico para hallar la fórmula general de una sucesión lineal Sea la sucesión lineal 8; 13; 18; 23; .... Como la razón es 5 el término general es de la forma: tn = 5n + ? Para n = 1 el término general debe reproducir el primer término 8. ¿Cuánto debe ir en lugar del signo? Para que t1 sea 8? Debe ir 3, de modo que t1 = 5(1) + 3 = 8. Así el término general resulta: tn = 5n + 3 20 12 21 22 22 32 23 42 24 ... Ejemplo 2: En la sucesión: SUCESIÓN LINEAL Sea: 9; 16; 23; 30; ... Hallando la fórmula general: 12 18 24 2 Halle los términos 30° y 40° de la sucesión 34; 77; 1110; 1513; ....; 187x halle x. t1; t2; t3; ... ; tn Resolución: r r una sucesión lineal de razón r. Entonces: • Hallando la fórmula general de los exponentes: t2 = t1 + r Razón = 3; ⇒ tn = 3n + ? ⇒ t1 = 3(1) + 1 = 4 t3 = t1 + 2r tn = 3n + 1 t4 = t1 + 2r • Hallando la fórmula general de las bases: ... ... ... Razón = 4; ⇒ tn = 4n + ? ⇒ t1 = 4(1) – 1 ... ... ... Luego: tn = 4n – 1 tn = t1 + (n – 1)r De donde: ¿Para qué valor de n, la base es 187? tn = (n – 1)r + t1 tn = 4n – 1 = 187 ⇒ n = 47 Haciendo: t0 = t1 – r (Tno. anterior al 1°) Resulta: ⇒ tn = nr + t0 n= tn – t0 r • En la fórmula general de los exponentes: tn = 3n + 1 ⇒ t47 = 3(47) + 1 = 142 ⇒ x = 12 109 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 3: Además, sea: ¿Cuántos términos tiene la sucesión? tn = An2 + Bn + C 1; 8; 15; 22; 29;....; 883? la fórmula general. Entonces: Resolución: A= tn = 7n + ? ⇒ tn = 7n – 6 ⇒ 7n – 6 = 883 ⇒ n = 127 También podemos aplicar la fórmula: t –t # términos: n = n r 0 883 – (–6) r = 7; tn = 83; to = 1 – 7 = –6 ⇒ n = = 127 r 0; 5; 14; 27; .... Resolución: –1 0 5 14 27 ... 1 5 9 13 Sea tn = An2 + Bn + C la fórmula general, entonces: 4 A = = 2; B = 1 – 2 = –1; C = –1 2 Luego: tn = 2n2 – n – 1 ⇒ t20 = 2(20)2 – 20 –1 una sucesión cuadrática tal que: t2 u1 u0 r C = u0 4 4 4 t1, t2, t3, t4,... t1 r n Halle el término 20° de la sucesión SUCESIÓN CUADRÁTICA t0 B = u0 – Ejemplo 4: Tiene 127 términos. Sea: r n t3 u2 r t4 ... u3 r t20 = 779 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Qué numero continua en la sucesión mostrada: 97, 89, 83, 79, 73, 71? (UNI-07 I) 03 Identifique la alternativa que completa correctamente la sucesión. (UNI-08 I) 1, ?, 25, 57, 121, 249 Resolución: 89 83 79 73 71 67 Números primos en orden descendente. Rpta.: 67 Resolución: 1 ? 25 57 121 249 ×2 + 7 ×2 + 7 ×2 + 7 ×2 + 7 ×2 + 7 ?=1×2+7=9 02 Calcula el término 20 en: Rpta.: 9 7; 12; 19; 28; 39;... Resolución: C = 4; 7; 12; 19; 28; 39 04 Indique la alternativa con la figura que debe ocupar la posición 9. UNI-05 I A + B = 3 5 7 9 11 2A = 2 2 2 2 A=1 B=2 C=4 Tn = n2 + 2n + 4 T25 = 252 + 2(25) + 4 = 679 110 posición posición posición posición posición 1 2 3 4 5 Rpta.: 679 Resolución: SUCESIONES posición posición posición posición posición posición ... 1 2 3 4 5 9 Resolución: ... ... 1 × 90o 2 × 90o 3 × 90o 4 × 90o Desde la posición 1 hasta la 9 hay un total de (1 + 2 + 3 + ... + 8)90° = (36)90° = 9 × 360° Hay 9 vueltas completas. Rpta.: 05 Determine el valor de “K” en la siguiente sucesión: (UNI-05 II) 5; 12; 39; 160; K Resolución: 5 12 39 En cada grupo de 3 el origen de la flecha es un cuadrado, un círculo y un vacío. El círculo va con dos puntas de flecha. En cada grupo de 3 hay dos flechas verticales de sentidos opuestos y un horizontal hacia la derecha. Rpta.: REFORZANDO 01 ¿Qué letra continúa? 160 E; F; M; A;... K A) A ×2 + 2 ×3 + 3 ×4 + 4 ×5 + 5 B) M C) J D) X E) V 02 Calcula el término 30 en: K = 160 · 5 + 5 = 805 Rpta.: 805 06 Indique la alternativa con la figura que debe ocupar la posición x en la siguiente serie: (UNI-05 I) 2; 5; 8; 11; 14;... A) 89 B) 87 D) 79 E) 91 03 Determine el término que continúa en la sucesión: UNI 2011-I x A; C42; E 94; G16 8 ;... A) I 25 16 Resolución: C) 81 B) I 25 12 C) H25 16 D) I 32 16 E) I 36 16 04 Observe la siguiente secuencia de figuras: (UNAC-07 II) Reflexión con cambio de color Reflexión con cambio de color Reflexión con cambio de color Rpta.: e indique la figura que continua la secuencia. 07 ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión literal? D; V; T; C;... Resolución: D ; V ; T ; C ; A) B) D) E) C) 05 Los términos primero, cuarto y décimo de una ? diez veinte treinta cuarenta cincuenta Rpta.: C 08 Señale cuál de las 5 figuras numeradas debe colocarse en lugar de la incógnita. (UNI-85 B) ? sucesión cuadrática son –2; 13 y 151, respectivamente. ¿Cuál es el sexto término? A) 42 B) 43 C) 123 D) 48 E) 52 06 En la sucesión 1 ; 2 ; 5 ; 13; 34; x hallar x + y. (UNI-07 II) A) 199 1 3 8 21 55 y B) 216 C) 222 D) 233 E) 244 111 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Calcule el término 30 en: 11; 17; 27; 41; 59;... A) 1797 D) 1809 B) 1801 E) 1900 cesión mostrada: (UNI-04 II) C) 16 D) E) C) D) 26 15 En la sucesión mostrada, indique la alternativa que mejor completa la serie: (UNI-06 II) 1, 2, 4, 8, 16, 26, 42, 64, 93 B) 8 B) C) 1908 08 Indique el número que no pertenece a la su- A) 4 A) 3; 4; 6; 11; 23; ? E) 42 09 ¿Qué número continúa en la siguiente suce- A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 sión? (UNI-08 II) 22, 21, 42, 14, 12, 36, 9, 6, ? A) 18 B) 22 C) 24 D) 27 TAREA E) 30 10 Calcula el t40 en: 01 Señale la figura que no corresponde a las demás: 492; 487; 482; 477;... A) 295 D) 300 B) 289 E) 297 C) 302 11 Calcula el t40 en: 5; 9; 16; 26; 39;... A) 2438 D) 2348 B) 2384 E) 2834 ? ? B) 2 3 C) 3 3 D) 3 4 E) 4 4 13 Indique la alternativa que pertenece a la sucesión mostrada UNI 04 II 1, 9, 19, 33, 53, 81, ? A) 109 D) 169 B) 119 E) 199 C) 139 14 Indique la figura que pertenece a la sucesión mostrada: UNI-06 II D) E) C) 02 De las cinco figuras asignadas con los números Indique la alternativa que señala el número de puntos correspondiente a la última ficha para que exista una serie coherente. Las fichas están marcadas del 0 al 6. (UNI-07 II) 0 1 B) C) 2483 12 Las fichas de dominó están ordenadas en fila. A) A) 1, 2, 3, 4, y 5 señale la que no corresponda al grupo. (UNE-06) 1 A) 1 2 B) 2 3 4 C) 3 D) 4 5 E) 5 03 Indique la alternativa que pertenece a la sucesión: UNI-05 I 1 3 ; ; 5; 13; 30; ? 4 2 A) 55 B) 65 C) 67 D) 78 E) 81 04 ¿Qué letra continúa? D; C; S; O; D; ? A) O B) D C) R D) P E) T 05 Determine el valor de “Z” en la sucesión mostrada: UNI-06 I 3 15 45 1; 1; ; 3; ; ; Z 2 2 2 A) 112 135 4 B) 135 2 C) 315 4 D) 315 2 E) 630 3 SUCESIONES 06 Calcula el t70 en: 04 Indique la alternativa con la figura que falta 8; 20; 32; 44; 66;... A) 844 D) 832 B) 840 E) 828 C) 836 para que los pares guarden la misma relación. UNI-05 ? 07 Calcula el t30 en: 13; 15; 19; 25; 33;... A) 887 D) 883 B) 879 E) 873 C) 891 08 ¿Cuál es el número que sigue en la siguiente sucesión? A) B) D) E) B) 251 E) 299 3; 1; 8; 4; 2; 9; 5; 3; 10; x; y; z C) 253 09 Indique la alternativa que continúa adecuadamente en la siguiente serie numérica: 2, 2, 3, 6, 8, 24, 27, 108, 112, 560, 565, UNI-09 I A) 640 D) 3390 B) 870 E) 6789 C) T D) Q E) L B) 7; 4; 3 E) 7; 5; 11 01 El número que sigue en la sucesión 2, 5, 15, 18, 54, 57, 171,... es: UNE-09 A B) 513 E) 420 C) 6; 4; 11 06 ¿Qué número continúa? 1; 2; 4; 5; 8; 1000;... B) 2000 E) 1003 C) 1001 07 Indique la letra y el número que continúan en la sucesión mostrada: (no considere las letras Ch y Ll) UNI-06 II 1 –3 0: Y: ; V: ; Q; –1; K: –3: ?: ? 2 2 9 9 5 A) B: – B) C: – C) B: – 2 2 2 9 5 E) C: D) C: – 2 2 SEMINARIO A) 303 D) 174 A) 6; 3; 2 D) 8; 6; 9 A) 7 D) 1002 O; N; A; U; R; E; ? B) R luego, los valores de x, y, z respectivamente son: UNI-05 II C) 2120 10 ¿Qué letra continúa? A) P 05 Considere la siguiente sucesión: 5; 13; 33; 89;.... UNI-05 II A) 248 D) 292 C) C) 193 02 En las figuras de la izquierda, 1 tiene relación con 2. ¿Con qué figura de la derecha tiene relación la figura 3? UNE-06 08 ¿Qué letra continúa? U; T; C; S; N;... A) R B) O C) X D) T E) ? 09 Calcula el término 80 en: 3; 10; 17; 24; 31;... 1 A) a 2 3 B) b a C) c b c D) d d e E) e 03 Determine el valor de z – x en: 2, 7, 6, 9, 12, 13, A) 552 D) 563 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 C) 560 10 Calcula el término 50 en: 9; 14; 21; 30, 41;... x, z UNI-05 I A) 7 B) 556 E) 549 A) 2600 D) 2606 B) 2603 E) 2620 C) 2616 113 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11 Determine la letra y el número que continúan en la sucesión mostrada: UNI-06 II 1; 11; 21; 1211; 111221;... 2; B; –4; G; 1; K; –2; N; 4; O; –8; ?; ? A) P; –1 D) P: –2 B) Q;–1 E) P; –3 14 ¿Qué número continúa? C) Q; –2 A) 332211 D) 311211 sión: D, T, C, S, O; T;... B) D C) V 5; 13; 43; 177; W. UNI-06 II D) T E) R 13 Calcula el término 25 en: A) 636 D) 891 B) 721 E) 911 764; 754; 744; 734;... A) 514 D) 544 B) 524 E) 554 C) 534 DIFERENTES FORMAS DE MULTIPLICAR 34 × 14 = ? 3 3 17 16 16 Se deja el 6 y el 1 se le suma al 16 Se deja el 7 y el 1 se le suma al 3 34 × 14 = 476 4 7 114 C) 131211 15 Determine el valor de W en la siguiente suce- 12 ¿Qué letra continúa? A) Q B) 321222 E) 312211 6 6 C) 789 Capítulo 16 SERIES Sea: t1, t2, t3, ... .,tn SERIE ARITMÉTICA Una sucesión numérica cualquiera. a1 + a2 + a3 + ... + an Entonces: r t1 + t2 + t3 + ... + tn r r= + o – a1 + an ×n 2 Es una serie numérica. PRINCIPALES SERIES • 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n n(n + 1) 2 • 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n n(n + 1) Observación: n= Ejemplo: Calcula la siguiente suma n2 • 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n – 1 • 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n n(n + 1)(2n + 1) 6 • 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 n(n + 1) 2 2 2 2 2 2 an – a1 +1 R 2 • 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) 3 • 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) S = 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 61 Resolución: Calculamos el número de términos: 61 – 4 n= + 1 = 20 3 4 + 61 Luego: S = × 20 = 650 2 SERIE GEOMETRÍA a1 + a2 + a3 + ... + an r r r= × n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 Ejemplos: Sumar las siguientes series: 48(49) = 1176 • 1 + 2 + 3 + ... + 48 = 2 a1 × (rn – 1) r–1 Ejemplo: Calcula la siguiente suma: S = 2 + 6 + 18 + 54 + ... • 2 + 4 + 6 + ... + 40 = 20(21) = 420 20 sumandos • 1 + 3 + 5 + ... + 79 = 40 = 1600 20(21)(41) = 2870 • 12 + 22 + 32 + ... + 202 = 6 10(11) 2 = 3025 • 13 + 23 + 33 + ... + 103 = 2 • 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 10 × 11 = 440 Resolución: • 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + 10 × 11 × 12 = 10(11)(12)(13) = 4290 4 a1 + a2 + a3 + ... 2 Aplicando la fórmula: 2(320 – 1) S= = 320 – 1 3–1 SERIE INFINITA r r r=× a b 115 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Observación: a <1 b a1 1–R Ejemplo: Calcular la siguiente suma infinita. 1 1 8 + 4 + 2 + 1 + + + ... 2 4 Resolución: 1 r=– 2 8 8 Luego: = = 16 1 1 1– 2 2 • 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 (2n – 1)(2n)(2n + 1) 6 • 23 + 43 + 63 + ... + (2n)3 2[n(n + 1)]2 • 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 n2(2n2 – 1) • 14 + 24 + 34 + ... + n4 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n – 1) 30 • 1 1 1 1 + + + ... + 1×2 2×3 3×4 n(n + 1) n n+1 OTRAS SERIES • 22 + 42 + 62 + ... + (2n)2 (2n)(2n + 1)(2n + 2) 6 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si el número 4626 se le suma 15 números pares consecutivos en qué cifra termina el resultado. PUC-08 I 1 + 2 + 3 + .. . + x = 120 Resolución: Resolución: S = 4626 + [n – 7] + (n – 5) + ... + n + ... + (n + 5) + n + 7 Aplicando la fórmula: x(x + 1) = 120 2 S = 4626 + 15n = ... 6 + ... 0 = 6 (n = par) Rpta.: 6 02 Halle el valor de 3 10 1 2 + + ... + F= + 2 × 3 × 4 × ... × 10 × 11 2 2 × 3 2×3×4 Resolución: 11 – 1 2–1 3–1 4–1 + + + ... + F= 3! 4! 11! 2! 2 1 3 1 4 1 11 1 F = – + – + – +...+ – 2! 2! 3! 3! 4! 4! 11! 11! 1 1 1 1 1 1 1 1 F = – + – + – +...+ – 1! 2! 2! 3! 3! 4! 10! 11! 1 F=1– 11! 1 Rpta.: 1 – 11! 116 03 Calcula la siguiente suma: x(x + 1) = 240 x = 15 Rpta.: 15 04 Calcula la siguiente serie: E = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 2 Resolución: Aplicando la fracción generatriz: 1 2 3 18 E = + + + ... + 9 9 9 9 18(19) E = 2 = 19 9 Rpta.: 19 SERIES Resolución: 05 Calcula la siguiente suma: 1 + 82 + 92 + 102 + ... + 172 4 + 9 + 16 + ... +100 Resolución: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 Completando la serie: 2 + 3 + 4 + ... + 10 12 + 22 + ... + 72 + 82 + 92 + ... + 172 17(18)(35) 7(8)(15) = – 6 6 3 + 4 + ... + 10 4 + ... + 10 = 1785 – 140 = 1645 Rpta.: 1645 Si sumamos de manera diagonal, obtenemos la suma de númeor al cuadrado: 06 Calcula la siguiente serie infinita: R= 2 9 3 + + 1 + + ... 3 4 2 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 102 10(11)(21) ⇒ = 385 6 Resolución: 3 12 2 Hallamos la razón: 2 = = 9 18 3 4 Reemplazamos: 9 9 4 = 4 = 27 2 1 4 1– 3 3 01 Calcula: B – A 27 4 07 Sumar: 1 1 1 1 + + + ... + 20 × 23 1 × 4 4 × 7 7 × 10 Resolución: Multiplicamos toda la serie por 3. 3 3 3 3 3E = + + + ... + 1 × 4 4 × 7 7 × 10 20 × 23 3E = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... + 1 – 1 20 23 1 4 4 7 7 10 1 1 22 3E = – = 1 23 23 22 E= 69 22 Rpta.: 69 08 Calcula la suma total del siguiente arreglo: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 2 + 3 + 4 + ... + 10 3 + 4 + ... + 10 4 + ... + 10 10 Rpta.: 385 REFORZANDO Rpta.: E= 10 A = 1 + 2 + 3 + ... + 30 B = 2 + 4 + 6 + ... + 80 A) 1175 D) 1265 B) 1275 E) 1195 C) 1185 02 C alcula: M + N M = 1 + 3 + 5 + ... + 51 N = 1 + 4 + 9 + ... + 1089 A) 13405 D) 13005 B) 13105 E) 13205 C) 13305 03 Calcule la siguiente suma: 1 + 8 + 27 + 64 + ... + 9261 A) 56245 D) 49241 B) 54221 E) 37241 C) 53361 04 Calcula 3x – y, si: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 91 1 + 3 + 5 + 7 + ... + y = 289 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 05 El valor de la suma es: S = 74 + 76 + 78 + 80 + ... + 140 A) 3640 D) 3680 B) 3670 E) 3634 C) 3638 117 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 Calcula la siguiente suma: 12 Halla S = 3 + 14 + 25 + 36 + 47 + ... Sabiendo 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 4 A) 800 D) 804 B) 801 E) 806 C) 802 07 Calcula la suma total del siguiente arreglo: C) 2025 B) ? C) ? D) ? E) ? la altura desde donde se le deja caer. Determinar el espacio total recorrido antes de pararse, si se le deja caer inicialmente desde 17 m de altura. UNI-77 A) 85 m B) 102 m C) 93 m D) 51 m. E) N.A. tivos es N, la suma de los 20 siguientes será: UNFV-01 B) N + 20 E) N + 350 C) 3575 14 El rebote de una pelota alcanza dos tercios de 08 Si la suma de 20 números naturales consecu- A) N D) N + 120 B) 3300 E) 3175 13 Calcula la siguiente suma: A) ? 100 B) 4225 E) 5625 A) 3700 D) 3375 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 132 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 100 4 + 9 + 16 + ... + 100 9 + 16 + ... + 100 16 + ... + 100 A) 3025 D) 1225 que tiene 25 sumandos: UNDAC-04 I C) N + 400 15 Hallar la suma de todos los términos en: UNE06 II 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + .... + 36 × 40 A) 18510 D) 17740 B) 17520 E) 18870 C) 16250 09 Calcular la suma de los 24 primeros términos de la sucesión 5, 9, 6, 10, 7, 11, 8, 12, 9... UNMSM-08 I A) 300 D) 220 B) 280 E) 200 C) 240 10 Una deuda de 4500 000 soles será pagada de la siguiente manera: S/. 5000 el primer mes, S/. 15000 el segundo S/. 25 000 el tercero, S/. 35 000 el cuarto mes y así sucesivamente. ¿En cuántos meses la deuda quedará cancelada? UNSM-08 II A) 36 meses D) 30 meses B) 32 meses E) 48 meses C) 50 meses 11 Hallar la siguiente suma: UNMSM-05 II 1 1 1 + + n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + 2)(n + 3) 1 + ... + (n + k – 1)(n + k) n k(n + k – 1) k C) n(n + k – 1) n E) k(n – k) A) 118 n k(n + k) k D) n(n + k) B) TAREA 01 Calcula la suma: 21 + 22 + 23 + ... + 37 A) ? B) ? C) ? D) ? E) ? 02 Calcula el valor de x 2 + 4 + 6 + ... + x = 930 A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20 03 Si: Tn = 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) hallar el valor de: R = (T10 – T9) + (T8 – T7) + (T6 – T5) + (T4 – T3) + (T2 – T1). UNMSM-98 A) 57 B) 53 C) 51 D) 55 E) 59 04 Una pelota rebota 1/3 de la altura desde la cual es lanzada. Si parte de 18 de altura, entonces la distancia total recorrida hasta detenerse es: A) 24 B) 38 C) 36 D) 27 E) 30 05 Dada la sucesión 1, 2, –3, 4, 5, –6, 7, 8, –9,...entonces la suma de sus cien primeros términos es: UNMSM-91 A) 1864 D) 1560 B) 1584 E) 1684 C) 1064 SERIES 06 Si la suma de once números enteros consecuti- vos se halla entre 100 y 116, el número central es: UNMSM-89 A) mayor que 12 D) múltiplo de 11 B) impar C) primo E) menor que 19 07 Calcula la suma de: B) 28,7 E) 35,7 tado de la siguiente suma. S = 1×4 + 2×5 + 3×6 + ... + 40×43. UNAC-07 II A) 22386 D) 25010 n C) 57,4 B) 0,09 E) 0,0009 2 4 6 8 10 términos es igual a: UNAC-05 II C) 5/24 D) 3/12 C) 0,099 de: (1 + 2 + ... + n) – (1 + 2 + ... + n ) 3 3 B) n3(n + 1) E) –1 3 C) n(n + 1)2 + + + + 4 6 8 ... + 6 + 8 + ... + 60 + 8 + ... + 60 + ... + 60 + 60 60 E) 7/8 09 Para cada entero positivo n, calcular el valor A) n2(n + 1)2 D) 0 n+1 A) 0,99 D) 0,009 1 1 1 + + + ... 2 × 5 5 × 8 8 × 11 2 C) 25830 07 Hallar la suma del siguiente arreglo: 08 La fracción: A) 5/32 B) 3/6 B) 24190 E) 25420 06 Si: an = 1 – 1 hallar: a1 + a2 + a3 + ... + a99 E = 0,1 + 0,4 + 0,7 + ... + 4 A) 14,35 D) 21,6 05 Marque la alternativa donde aparece el resul- A) 16241 D) 18910 B) 21431 E) 13241 C) 17431 08 ¿Cuántas bolitas blancas habrá en la figura 30? 10 Si la suma de 20 números naturales consecutivos es M, entonces la suma de los 20 números siguientes es: UNMSM-97 A) M + 590 D) 2M B) M + 210 E) M + 390 C) M + 400 A) 220 UNDAC-04 I B) 675 C) 576 D) 476 E) 647 02 Halle la suma de 1(8) + 2(9) + 3(10) + ... + 26(33) UNAP-09 B) 8648 E) 8678 C) 8668 03 Si: 51 + 52 + 53 + ... + 532 = .......AVE hallar: E + V+A A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 04 Al simplificar la siguiente suma 2·2n+4·2n– 2 +8·2n–3 se obtiene. UNA-05 I A) 2n+1 B) 2n+2 B) 470 C) 460 Fig (3) D) 485 E) 465 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2a + 3) = 7 + 14 + 21 + ... + 49 01 Halla “x” si 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ... + x = 4900 A) 8688 D) 8658 A) 480 Fig (2) 09 Calcular (a + 3)2, si: SEMINARIO A) 765 Fig (1) C) 2n–2 D) 22n+1 B) 169 C) 361 D) 225 E) 144 10 Un alumno recibe S/.1 por el primer problema resuelto, S/.4 por el segundo, S/.9 por el tercero y así sucesivamente. Si en total son 30 problemas y resolvió todos, ¿cuánto obtuvo de dinero en total? A) 8357 D) 12144 B) 9455 E) 7899 C) 10500 11 Un virus se reproduce de la siguiente forma cada hora 2 más de los que hay en ese momento. Si llegó al país en un número de 20, ¿cuántos habrá ahora que ya pasaron 2 días de su llegada exactamente? A) 3032 D) 3232 B) 3332 E) 3132 C) 3216 E) 22n–1 119 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 12 Hallar al suma total. A) 948 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 B) 965 terminado de días, y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día lo logrará, pero si lee 1 página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, etc., le faltarían aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 9 ... 5 4 3 1 ... F1 F2 F3 F4 F5 F20 14 Leticia debe leer un libro en un número de- C) 951 D) 874 A) 144 E) 927 13 Lucila resuelve 56 problemas cada día, mientra su hermana María resuelve dos el primer día, cuatro el segundo, seis el tercero, y así sucesivamente. Si empezaron el mismo día, ¿después de cuántos días habrán resuelto el mismo número de problemas A) 62 B) 63 C) 65 D) 64 B) 156 D) 182 E) 216 15 Inés recibe un chocolate un día y cada día que pase un chocolate más que el día anterior. Si en total recibió 2016 chocolates, ¿cuántos días estuvo recibiendo chocolates? A) 60 B) 61 E) 65 "El tiempo es muy lento para los que se esperan, muy rápido para lo que temen, muy rápido para lo que sufren, muy corto para los que gozan; pero para quienes aman, el tiempo es eternidad." William Shakespeare 120 C) 169 C) 63 D) 64 E) 71 Capítulo 17 ANÁLISIS COMBINATORIO Una joven preocupada por no tener mucha ropa, mas que, tres blusas, 5 pantalones, 4 faldas y 3 pares de zapatos, se pregunta durante cuántos días podría ir al instituto vestida de manera diferente cada día. Para responder a esta pregunta se necesita usar ciertas técnicas de conteo, dos de cuyos principios vamos a estudiar. Principio de adición.- Si un procedimiento se puede realizar de n maneras y otro procedimiento, independiente del anterior, se puede realizar de m maneras, entonces cualquiera de ellas se puede realizar de n + m maneras diferentes. Principio de multiplicación.- Si un procedimiento 1 se puede realizar de n maneras y otro procedimiento 2 se puede realizar de m maneras, además, cada una de las maneras de efectuar 1 pueda ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2, entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2, se puede efectuar de n · m maneras diferentes. Supongamos que la joven decide usar pantalones, entonces puede elegir cualquiera de los 5 que tiene. Los 5 pantalones puede combinar con cualquiera de las 3 blusas, cada pantalón puede hacer 3 parejas, como son 5 pantalones, hay 5 × 3 = 15 combinaciones diferentes entre blusas y pantalones. Ejemplo 1: Un club está integrado por 24 hombres y 36 mujeres. a) ¿De cuántas maneras se puede elegir un representante? b) ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir un comité de dos personas, un hombre y una mujer? Resolución: a) De las mujeres se puede elegir cualquiera de las 36 y de los hombres, cualquiera de los 24, en total se puede elegir un representante de 36 + 24 = 60 maneras. b) Cualquiera de las 36 mujeres puede hacer pareja con cualquiera de los 24 hombres. Si por cada hombre hay 36 parejas, con 24 hombres se puede hacer 24 × 36 = 864 parejas. FACTORIAL DE UN NÚMERO Para "n", un entero no negativo, "n" factorial se expresa como n! o n , se define: n = n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n Ejemplos: 1! = 1 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6 Cada juego blusa-pantalón puede combinarse con cualquiera de los tres pares de zapatos que harían un total de 15 × 3 = 45 combinaciones diferentes. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 Si en lugar de elegir pantalones optara por las faldas y razonando de la misma manera habría 3 × 4 × 3 = 36 combinaciones diferentes. Propiedad: Si usando pantalones se puede vestir de 45 maneras diferentes y usando faldas, de 36 maneras, entonces en total se puede vestir de 45 + 36 = 81 maneras diferentes. Ejemplos: Calcula: • 12! 12 × 11 × 10! = = 132 10! 10! Por lo tanto ella se puede vestir diariamente de manera diferente durante cerca de 3 meses. • 20! + 19! 20 × 19! + 19! = = 20 + 1 = 21 19! 19! 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 Observación: 0! = 1 n! = n(n – 1)! 121 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuántos números de la forma ab existen b que cumplan: < a < b? (PUC-04 I) a Resolución: 04 ¿De cuántas maneras puedo ir de "A" hacia "D"? A b=2⇒a=∃ b=3⇒a=2 → 1# b=4⇒a=3 → 1 #s b = 5 ⇒ a = 3; 4 → 2 #s b = 6 ⇒ a = 4; 5 → 2 #s b = 7 ⇒ a = 4; 5; 6 → 3 #s b = 8 ⇒ a = 5; 6; 7 → 3 #s B C D Resolución: Enumerando los caminos: 5 A 1 b = 9 ⇒ a = 5; 6; 7;8 → 4 #s 1 1 1 1 1 B 5 5 5 5 5 21 21 21 21 21 C 21 D 110 1 ∴ Hay 16 números. Rpta.: 16 Rpta.: 110 02 ¿Cuántos números de 3 cifras no contienen 05 Cuántas rutas son posibles de tomar para al 2 ni al 5 en su escritura? (UNMSM-07-I) Resolución: a b c ↑ ↑ ↑ 1 0 0 4 3 3 6 4 4 7 6 6 8 ... ... 9 9 9 7 × 8 × 8 = 448 E A C B Resolución: Rpta.: 448 03 Consideremos las ciudades A, B y C. Existen 4 autopistas que unen A con B y cinco que unen B y C . Partiendo de A y pasando por B, ¿de cuántas maneras podemos llegar hasta C? (UNMSM-98) Resolución: B A 4 C 5 # Maneras: 4 × 5 = 20 Rpta.: 20 122 ir de A a D sin pasar 2 veces por un mismo punto. D AEDC AEBC AEC ABEDC ABEC ABC 6 Formas. Rpta.: 6 06 A Juan, alumno distinguido de preparatoria de la universidad le ofrecen en la facultad de Contaduría las carreras de L.A.E, C.P., L.I. y L.N.I. La facultad de ciencias químicas ofrece Ing. Químico, Ing. Industrial, Ing. Electrónico e Ing. Computación y la facultad de Humanidades le ofrece comunicaciones, historia, filosofía y literatura; ¿cuántas alternativas de estudio diferentes se le ofrecen a Juan? ANÁLISIS COMBINATORIO Resolución: Facultad de Contaduría: Facultad de Ciencias Químicas: Facultad de Humanidades: E= (3n + 5)! – (3n + 4)! Halle: 22n–1 · 33n–4 (UNAC 2007-II) 4 4 4 Total: 07 Efectúa: 2 05 Si: 3(3n + 10n + 8)(3n + 5)(3n + 4)! = 18! A) 2(66) B) 3(67) C) 68 12 Rpta.: 12 200! + 201! + 202! 200! + 201! Resolución: 200! + 201 × 200! + 202 × 201 × 200! E= 200! + 201 × 200! E= 1 + 201 + 202 × 201 = 202 1 + 201 Rpta.: 202 08 Calcula el valor de R: R= Resolución: 10 × 9 × 8! 2 × 1 × 0! 3 × 2 × 1! + + ... + R= 1! 8! 0! R = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 9 × 10 9 × 10 × 11 = 330 R= 3 Rpta.: 330 REFORZANDO 01 La diferencia del factorial de n + 1 con el factorial de n es: (UNE-07) A) (n + 1)n D) (n – 1)n B) n E) n2 + 1 C) n · n! 02 ¿Cuántos números de 4 cifras mayor que 4000 se puede formar con los dígitos 1; 3; 5 y 4? (UNMS-83) A) 24 B) 12 C) 18 D) 9 E) 6 03 ¿Cuántos números de cinco dígitos tienen como sus dos últimas cifras 2 y 5 en este orden? (UNMSM-84) A) 900 B) 899 C) 999 D) 998 E) 990 04 Reduce la siguiente expresión: A= A) x! + 1 D) (x – y)! (y!)! (x!)! + (x! – 1)! (y! – 1)! B) (x + y)! E) x + y E) 3(68) 06 Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay 7 cami- nos; para ir de la ciudad B a la ciudad C hay 4 caminos. ¿El número de caminos distintos que hay, para ir de A hacia C, pasando siempre por B, será: (UNFV-94) A) 11 B) 22 C) 44 D) 31 E) 28 07 Rosa tiene 6 blusas y 5 minifaldas. Todas sus prendas son de diferente color. ¿De cuántas maneras podrá vestirse, si su blusa morada y su minifalda azul, siempre las usa juntas? A) 20 B) 30 C) 24 D) 31 E) 21 08 ¿De cuántas maneras puedo ir de P hacia S? 10! 2! 3! 4! + + + ... + 8! 0! 1! 2! 2 D) 2(67) C) x! + y! P A) 41 Q B) 43 R C) 40 D) 42 S E) 44 09 ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario (26 letras) y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, Si es posible repetir letras y números. A) 149760000 B) 75000000 C) 55760000 D) 12345678 E) 156000000 10 Se quiere confeccionar banderas tricolores de franjas horizontales. Si se dispone de 7 colores distintos, ¿cuántas banderas se podrán hacer? A) 60 B) 120 C) 144 D) 180 E) 210 11 ¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2; 3; 4; 7; 8 y 9? A) 360 B) 240 C) 180 D) 120 E) 90 12 Hay 3 caminos para ir de “x” a “y”, 8 para ir de “x” a “z”, 7 para ir de “y” a “w” y 5 para ir de “z” a “w”. ¿De cuántas maneras se puede ir de “x” a “w”? A) 59 B) 24 C) 35 D) 61 E) 16 123 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 13 Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? A) 12 B) 6 C) 18 D) 24 E) 16 14 De A a B hay 6 caminos y de B a C 4 caminos. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez? A) 196 B) 24 C) 576 D) 360 E) 240 15 ¿Cuántos números de tres cifras existen tal que todos sus dígitos sean pares? A) 100 B) 125 C) 250 D) 450 E) 500 TAREA diferentes y para ir de Santa Anita a Comas existen 6 caminos distintos. ¿De cuántas maneras una persona puede ir de Chosica a Comas y luego volver sin pasar dos veces por el mismo camino? (UNE-05- I) B) 500 C) 600 D) 400 E) 250 02 ¿Cuántos números de tres cifras usan por lo menos una cifra cinco en su escritura? (PUC04-I) A) 252 B) 240 C) 648 D) 500 E) 450 03 Marita tiene 3 minifaldas y 6 blusas. ¿De cuántas formas se podrá vestir, si la minifalda siempre debe usarla con la blusa amarilla? A) 18 B) 16 C) 15 D) 13 E) 11 04 En el hipódromo, en la primera carrera co- rren 7 caballos. Si “Rex” fue descalificado, ¿de cuántas maneras distintas pudieron llegar los restantes? A) 24 D) 480 se dispone de 3 chaquetas, 4 pantalones y 5 sombreros? A) 40 B) 120 E) 720 C) 240 C) 80 D) 60 E) 50 puesta de verdadero o falso, ¿de cuántas formas diferentes se pueden contestar estas tres preguntas? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) 4 E) 3 07 Si: (k + 1)! + k! = 24k + 48 Hallar: k A) 2 B) 5 08 Simplificar: A= A) a C) 6 (a – 1)! + a! + (a + 1)! (a – 1)! + a! B) a + 1 C) 2a D) a2 E) a! 09 De A a B hay 6 caminos y de B a C 4 caminos. ¿De cuántos maneras se puede ir de A a C pasando por B? B) 24 C) 360 D) 196 E)120 10 En un estante hay 4 libros de números y 5 de letras. ¿De cuántas maneras diferentes se puede coger 2 libros de números y 3 de letras? A) 60 B) 45 C) 72 D) 36 E) 48 SEMINARIO 01 ¿De cuántas maneras diferentes se puede guardar 4 prendas de vestir en dos gavetas? A) 12 B) 10 C) 15 D) 20 E) 5 02 ¿Cuántos números naturales comprendidos entre 400 y 600, no utilizan la cifra cero? (PUC04-I) A) 162 B) 170 C) 200 D) 150 E) 120 03 De la ciudad A a la ciudad B hay 3 caminos, de la ciudad A a la ciudad C hay 5 caminos, de la ciudad B a la ciudad D hay 2 caminos y de la ciudad C a la ciudad D hay dos caminos. Si un camino que une dos ciudades no pasa por otra, ¿cuántas formas hay de ir de la ciudad A a la ciudad D? (UNE-03-II) A) 12 124 B) 70 06 En una encuesta de tres preguntas con res- A) 576 01 Para ir de Chosica a Santa Anita hay 5 caminos A) 300 05 ¿De cuántas maneras es posible vestirse si B) 15 C) 16 D) 10 E) 6 ANÁLISIS COMBINATORIO 04 Calcula el valor de: R= A) 22 B) 20 12 En la lista de un restaurante, se tiene para elegir: 20! + 21! + 22! 20! × 222 C) 21 D) 42 E) 1 05 ¿Cuál es la cifra terminal de la siguiente suma? B = 1! + 3! + 5! + 7! + ... + 99! A) 1 B) 0 C) 3 D) 2 E) 5 06 ¿Cuántos números pares de tres cifras no utilizan la 3 ni la 5 en su escritura? A) 900 B) 280 C) 320 D) 180 E) 240 07 ¿Cuántos números de tres cifras tienen al Entrada: sopa o ensalada; Segundo: pollo, chuleta o pescado; Postre: torta o helado ¿Cuántas comidas completas están disponibles para una persona, que para comer torta necesariamente tiene que comer chuleta? (PUC-98) A) Sólo 2 D) Sólo 8 B) Sólo 4 E) Sólo 9 13 Determine el número de trayectorias que permiten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o a la derecha. (UNI-08-I) menos dos cifras iguales? A) 252 B) 240 C) 280 C) Sólo 6 B D) 320 E) 810 08 Un club tiene 50 miembros mujeres y 60 hom- bres. Desean elegir un comité de tres personas integrada por dos hombres y una mujer. ¿De cuántas maneras diferentes pueden elegir? A) 88500 D) 160000 B) 170 E) 160 C) 180000 09 En una juguería hay plátanos, manzanas, papayas y sandía. ¿Cuántos jugos de dos frutas se puede preparar? A) 6 B) 5 C) 12 D) 8 E) 7 A A) 252 B) 126 C) 150 D) 180 E) 210 14 Un río pasa por una ciudad formando dos islas. Hay 6 puentes que se muestran en la figura. ¿Cuántos caminos van de A a B pasando una vez, y sólo una, por cada uno de los 6 puentes? A 10 Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas? A) 10 B) 15 C) 16 D) 35 E) 60 11 En una carrera compiten 10 caballos. En los boletos hay que indicar el nombre del 1°, 2° y 3°. ¿Cuántos debemos jugar para asegurarnos de que ganaremos? A) 27 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720 B A) 0 D) 6 B) 2 E) más de 6 C) 4 15 Un repuesto de automóvil se vende en 6 tien- das en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? A) 10 B) 12 C) 14 D) 48 E) 19 125 Capítulo 18 ANÁLISIS COMBINATORIO II PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Consideremos tres atletas, Aldo, Beto y Carlos. Vamos a llamarlos por sus iniciales. 1. Supóngase que sólo dos de ellos pueden ir a las olimpiadas. ¿Cuáles son las posibilidades? Que vayan A y B Que vayan B y C Que vayan A y C Hay tres posibilidades. 2. Si compiten en una carrera de 100 metros, planos ¿de qué maneras pueden ocupar los dos primeros lugares? 1° 2° A B B A B C Hay 6 posibilidades C B A C C A ¿Cuál es la diferencia entre las dos situaciones? En el primer caso da lo mismo decir: “Van A y B” o “van B y A”. En el segundo caso no es lo mismo decir. “A llegó en primer lugar y B, segundo” que decir “B llegó en primer lugar y A, segundo” En el primer caso sólo interesa saber quiénes son, mientras que en el segundo, aparte de saber quiénes son se necesita precisar en qué orden llegaron. Interesa el orden de los elementos. La diferencia esencial entre las dos situaciones radica en que en el primer caso no interesa el orden y en el segundo sí. La diferencia radica en el orden. El primer caso consiste en formar grupos de dos con 3 elementos, mientras que el segundo consiste en ordenar tres elementos tomándolos de dos en dos. El primer caso consiste en combinar tres elementos de dos en dos. Mientras que el segundo consiste en permutar tres elementos de dos en dos. Las combinaciones son agrupamientos sin interesar el orden, mientras que las permutaciones son ordenamientos donde interesa el orden en que están ubicados los elementos. 126 Permutaciones.- Se llaman permutaciones de n elementos tomados de a r a la vez (n, r , ∈ r ≤ n) a todas las posibles formas en que se puede ordenar los n elementos tomándolos de a r a la vez. El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez está dado por: P(n,r) = n! (n – r)! P(n, m) = m! Tomando todos a la vez Ejemplo 1: En un salón hay 15 hombres y 12 mujeres a) ¿De cuántas maneras se puede formar un comité integrado por tres personas del mismo sexo? b) ¿De cuántas maneras se puede formar una junta directiva de 3 miembros, presidente, secretario y tesorero, también integrado por alumnos del mismo sexo? c) En la pregunta anterior, ¿de cuántas maneras se puede formar la junta directiva presidida por una mujer y el resto hombres? Resolución: a) Un comité es un grupo. No interesa el orden. Cada uno es una combinación de tres elementos. Como son del mismo sexo, los 15 hombres se pueden agrupar de 3 en 3 de C15 4 y las 12 mujeres de C12 . 3 Luego: 15! 12! 13 · 14 · 15 = = 455 C15 3 = 12! 3! 12! 6 12! 9! 10 · 11 · 12 = = 220 C12 3 = 9! 3! 9! 3 Total = 455 + 220 = 675 maneras. b) Cada junta directiva que se pueda conformar es un ordenamiento de 3 elementos. Interesa el orden, con los 15 hombres se puede conformar P(15; 3) juntas y con las 12 mujeres P(12; 3): 15! 12! 13 · 14 · 15 P(15; 3) = = = 2730 12! 12! 12! 9! 10 · 11 · 13 P(12; 3) = = = 1320 9! 9! Total = 2730 + 1320 = 4050 maneras. ANÁLISIS COMBINATORIO II c) Como va a estar presidida por una mujer, hay 12 maneras de elegir la presidenta. Los otros dos miembros se tiene que elegir de los 15 hombres de P(15; 2) maneras, puesto que interesa el orden. 15! 13! 14 · 15 P(15; 2) = = = 210 13! 13! A 12 × 210 = 2520 maneras. Dibujemos la ubicación de las sillas y una posible ubicación de las señoritas. A D ABCD A A D 2 D D B B ADBC C ADCB Esto equivale a considerar la circunferencia como un collar y estirarla luego de un corte en A. A Móviles D 4 B C C ABCD C Permutaciones circulares.- Consideremos cuatro señoritas: Ana, Bertha, Cecilia y Dana. De cuántas maneras diferentes se pueden sentar alrededor de una mesa circular en sillas uniformemente distribuidas. 1 B D Por cada presidenta hay 210 maneras de elegir los otros miembros, por las 12 posibilidades hay: A B A B C D B C C 3 Aquí A, B, C y D están sentadas en las sillas 1; 2; 3 y 4 respectivamente. Véase las siguientes figuras. D El número de permutaciones está dado por el número de permutaciones de B, C y D: 3! = 6 permutaciones. En general: Con n elementos se pueden realizar. C Pc(n) = (n – 1)! A C permutaciones D B Ejemplo 2: B A En ambas figuras se observa que a pesar de haber cambiado de sillas mantienen el orden de la primera ubicación. En las permutaciones circulares las tres formas de sentarse son iguales. Se trata de la misma permutación. Por esta razón para diferenciar una permutación circular de otra, es necesario mantener un elemento fijo. A continuación, manteniendo fijo A vamos a permutar B, C y D. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden coger de las manos seis niños para jugar a la ronda? Resolución: Cada manera es una permutación circular. Se pueden coger de PC(6) = 5! = 120 maneras diferentes. Permutaciones con repetición.- Hasta el momento hemos considerado en las permutaciones elementos distinguibles uno de otro. Ahora vamos a considerar elementos que no se distinguen entre sí, elementos considerados como repetidos. Por ejemplo, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden permutar las letras A, A, A, B y B?. 127 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO De los 5 elementos hay 3 elementos idénticos de un tipo y 2 elementos idénticos de otro tipo. Aquí las permutaciones: AAA BB AABAB ABAAB BAABA AABBA ABBAA BAAAB BABAA BBAAA ABABA El número total de permutaciones está dado por: 5! 3! 4 · 5 P(5: 3; 2) = = = 10 3! 2! 3! 2 En general: Con n artículos, de los cuales r1 son idénticos del tipo 1, r2 idénticos del tipo 2;...rk idénticos del tipo k, tal que: r1+r2+r3+...rk = n entonces, el número de permutaciones de los n elementos está dado por: P(n: r1, r2, ... k) = n! r1! r2! r3! ... rk! COMBINACIÓN Se llaman combinaciones de "n" elementos tomados de k a la ves, a todos los agrupamientos que se pueden realizar. Dado por la siguiente fórmula: Cnk = n! (n – k)! × k! Ejemplo 3: Calcula: C83 Resolución: 8! 8! = = 56 C83 = (8 – 3)! × 3! 5! × 3! Propiedades: Cn0 = 1 Cnn = 1 Cn1 = n Cnk = Cnn–k Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 De 11 novelas y 3 diccionarios, se acordó que 4 novelas y 1 diccionario deben ser seleccionados y dispuestos en un estante de manera que el diccionario se ubique siempre en el centro. ¿De cuántas maneras es posible realizarlo? (UNS 05-II) Resolución: Las 4 novelas se pueden disponer de P(11; 4) = 11! 7! 8 · 9 · 10 · 11 = = 7920 maneras 7! 7! El diccionario se puede elegir de 3 maneras. Total: 7960 × 3 = 23760 maneras. Rpta.: 23760 02 ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse tres amigos en una banca de 6 asientos? (UNJBG-08) 128 6! 3! 4 · 5 · 6 = = 120 3! 3! al saludarse 22 invitados en una fiesta? Resolución: 22! 20! 21 · 22 = = 231 C22 2 = 2! 20! 20! · 2 Rpta.: 231 04 ¿De cuántas maneras distintas pueden elegirse un comité de 4 miembros, entre 7 personas? Resolución: 7! 4! 5 · 6 · 7 = = 35 C74 = 4! 3! 4! 6 Rpta.: 35 05 ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse una pareja de novios y 4 amigos en una fila de seis asientos, si la pareja debe estar en el centro? Resolución: Resolución: P(6; 3) = 03 ¿Cuántos apretones de manos se producen Rpta.: 120 Los 4 amigos pueden sentarse de 4! = 24 maneras. La pareja puede sentarse en el centro de 2 maneras. ANÁLISIS COMBINATORIO II MATEMÁTIC A RECREATIVA En total se pueden sentar de 24 × 2 = 48 maneras. Rpta.: 48 06 ¿De cuántas maneras distintas puede esco- ger un alumno 18 preguntas de veinte, en un examen? Resolución: 20! 18! 19 · 20 = = 190 C20 18 = 18! 2! 18! 2 Rpta.: 190 07 Tres jóvenes buscan trabajar como ayudan- tes en una panadería que tiene 6 locales. ¿De cuántas maneras diferentes pueden trabajar en la panadería, si se sabe que cada uno de ellos debe estar en un local diferente? (UNMSM-08-II) Resolución: 6! 3! 4 · 5 · 6 P(6; 3) = = = 120 3! 3! Rpta.: 120 08 Calcula el valor de n A) 2 01 El mayor número de banderas diferentes que se pueden construir disponiendo de 3 colores y con un máximo de dos costuras es: (UNMSM-81) C) 12 D) 9 E) 15 02 ¿De cuántas formas pueden sentarse 4 perso- C) 12 D) 2 E) 1 03 María tiene 3 amigos y siempre va al colegio acompañada por lo menos con uno de sus amigos. ¿Cuántas alternativas de compañia tiene María para ir al colegio? B) 7 E) 7 05 En un campeonato de fútbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos; si llegan 2 equipos más, el número de partidos que deben jugarse demás, es: (UNFV-94) A) 22 B) 30 C) 11 D) 21 E) 10 06 ¿De cuántas maneras pueden formarse un comité directivo compuesto por 3 varones y 2 mujeres de un grupo de 5 varones y 3 mujeres? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 60 07 Al final de una reunión de personas se efec- tuaron 55 estrechadas de mano, suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, ¿cuántas personas participaron en dicha reunión? A) 8 B) 13 C) 10 A) 430, 135, 140 C) 495, 140, 138 E) 495, 135, 138 D) 11 E) 12 B) 450, 140, 135 D) 135, 140, 495 5 damas y 5 varones. ¿De cuántas formas se puede hacer esto si deben estar alternados un varón y una dama? A) 1440 D) 2880 C) 8 D) 5 E) 9 B) 5760 E) 7200 C) 14400 10 Si T es una expresión definida por: nas alrededor de una mesa circular, si una de ellas permanece fija en su asiento? (UNMSM-89) A) 6 D) 9 09 Alrededor de una mesa circular se van a sentar REFORZANDO B) 24 C) 10 I. Sean de cualquier color II. Sean 2 blancas, una negra y una roja III. Por lo menos 3 del mismo color Rpta.: 15 A) 6 B) 5 y 3 rojas. Determine de cuantas maneras se pueden extraer 4 bolas, de tal manera que: (UNMSM-06-II) Resolución: n(n – 1) = 105 Cn2 = 2 n(n – 1) = 2010 n = 15 B) 6 si consideramos los idiomas español inglés francés, portugués y alemán? 08 Se tiene una urna con 6 bolas blancas, 3 negras Cn2 = 105 A) 18 04 ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar T= 18 19 20 C18 5 + C6 + C7 + C8 21 C21 8 + C 13 Simplifica la expresión T. 3 3 B) 1 C) A) 4 2 D) 1 2 E) 1 4 11 Encontrar el número de formas al distribuir 10 bolas iguales en 4 bolsas distintas. (UNA-03-II) A) 210 B) 108 C) 715 D) 84 E) 286 129 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 12 Cuatro amigos se estrechan la mano uno al otro. Tomando en cuenta que no se puede repetir el saludo, hallar el número total de saludos. (PUC-03-I) A) 5 B) 6 C) 12 D) 7 E) 8 13 ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 4 asientos, si además, 4 deben esperar? A) 1032 B) 756 C) 8! D) 1680 E) 420 14 Javier y su esposa entran al cine acompañados de 5 amigos y encuentran una fila vacía de 7 asientos individuales juntos, si la esposa de Javier siempre se sienta junto a su esposo, pero nunca junto a otra persona, el número de maneras diferentes que los siete amigos podrán ubicarse en dicha fila es: (UNAC-08-I) A) 360 B) 240 C) 1440 D) 720 E) 120 15 ¿Cuántos triángulos se podrán formar, tomando los vértices de las líneas L1 y L2? L1 B) 165 C) 170 D) 175 E) 180 TAREA 01 Una familia compuesta por papá mamá, hijo, hija y abuelita, posan para una foto en 5 sillas alineadas. Si la abuelita ocupa la silla central, ¿de cuántas formas pueden distribuirse las personas para la foto? (UNMSM 04-II) A) 25 B) 4 C) 20 D) 120 sentar 3 niños y 3 niñas en una banca, si las 3 niñas deben estar siempre juntas? A) 36 B) 24 C) 720 D) 144 E) 120 05 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 números pares de entre 8 de ellos y 1 número impar de entre 5 de ellos? A) 280 D) 56 B) 8! 5! E) 224 C) 1680 06 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra POLLO? A) 24 P O O L L L O O O O B) 19 C) 22 D) 21 E) 28 07 En una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos apretones de manos se produjeron al saludarse todos ellos entre si? A) 415 L2 A) 160 04 ¿De cuántas maneras diferentes se pueden B) 425 C) 435 D) 405 E) 495 08 En un colegio de mujeres, de un grupo de 35 chicas, se sabe que todas sin excepción se saludaron con un beso. ¿El número total de besos será? (UNFV-04) A) 585 B) 590 C) 594 D) 595 E) 600 09 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar to- mando como vértices los puntos mostrados en la circunferencia? E) 24 02 Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuántas maneras distintas se podrán ubicar, si Antonio y su novia siempre están juntos? (UNE-06-I) A) 16 B) 14 C) 12 D) 18 E) 10 03 Un conjunto de alumnos está integrado por 5 mujeres y 3 varones. ¿De cuántas maneras se pueden formar grupos diferentes de 4 personas; de forma que por lo menos existan 2 varones? (UNE-06-II) A) 30 130 B) 40 C) 35 D) 50 E) 25 A) 10 B) 15 C) 30 D) 6 E) 9 10 Se imprimen tarjetas cuya numeración está compuesta por tres vocales seguidas de tres dígitos. El máximo número de tarjetas que se pueden imprimir es: (UNI-09 I) A) 91125 D) 135415 B) 110625 E) 145650 C) 125000 ANÁLISIS COMBINATORIO II 09 ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar SEMINARIO al intersectar un sistema de 9 rectas paralelas, por otro sistema de 5 rectas paralelas? 01 Calcula "n" en: A) 720 n C (n–2) = 36 A) 7 B) 9 C) 8 D) 12 E) 18 02 En una reunión de diplomáticos se hablan 5 idiomas diferentes. ¿Cuántos traductores bilingües se necesitan por lo menos? (UNFV 08-II) A) 15 B) 12 C) 10 D) 60 E) 5 03 ¿Cuántos números de 4 cifras mayores que 5000 se pueden formar con los dígitos 2; 3; 4; 5; 6 y 7? A) 160 B) 180 C) 200 D) 900 E) 360 04 Un experimento es lanzar 5 monedas no trucadas. ¿De cuántas maneras puede obtenerse al menos una cara? (UNI 09-I) A) 15 B) 17 C) 31 D) 41 E) 63 05 En la cumbre del APEC 2008, en el salón Do- rado del Palacio de Gobierno, un periodista observó 105 apretones de manos entre los Jefes de Estado. ¿Cuántos Jefes de Estado estuvieron presentes? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 12 06 ¿De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios no pueden concederse a la misma persona? A) 84 B) 90 C) 80 D) 72 E) 104 07 ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar en el centro? A) 1440 B) 360 C) 1450 D) 2160 E) 720 B) 360 C) 540 D) 840 E) 320 10 Considere las placas de automóviles que tienen tres letras seguidas de tres dígitos. Si pueden emplearse todas las combinaciones posibles, ¿cuántas placas diferentes pueden formarse? A) 1963000 D) 19684000 B) 19673000 E) 19685000 C) 19663000 11 ¿Cuántos ordenamiento diferentes se pueden obtener usando todas las letras de la palabra CACAREAR? A) 1860 D) 1580 B) 1670 E) 1480 C) 1680 12 En la casa del señor Máximo y doña Magda- lena se reúnen a la hora del almuerzo sus dos hijos y su hija. ¿De cuántas maneras se podrán sentar alrededor de una mesa cuadrangular, si don Máximo y doña Magdalena no quieren separarse? A) 47 B) 46 C) 48 D) 49 E) 45 13 ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 10 personas en una mesa circular de 6 asientos? A) 25300 D) 25200 B) 25100 E) 22500 C) 25400 14 De un grupo de 12 congresistas. ¿Cuántas comisiones constituidas por 4 integrantes se podrán formar, si se sabe que dos de los congresistas no pueden estar en la misma comisión? (UNMSM 06- I) A) 200 B) 450 C) 150 D) 160 E) 180 15 Cuántas palabras diferentes y sin significado, letras de la palabra “PROMOCIÓN” de modo que no haya 2 letras “O” juntas? se pueden formar con las letras de la palabra TERRIBLE poniendo siempre la letra “B” en el primer lugar (PUC-08-I) A) 25 200 D) 70610 A) 5040 D) 12 08 ¿De cuántas maneras se pueden permutar las B) 35 280 E) 10910 C) 29520 B) 1260 E) 1024 C) 720 131 Capítulo 19 PROBABILIDADES Supóngase que en una caja se han introducido 2 bolas rojas y 5 blancas y se ofrece un premio de mil soles para quien adivine el color de la bola que al azar se extraerá de la caja. ¿Por cuál de los dos colores se inclinaría cualquier persona que quiera ganar el premio?... ¡Por el rojo! No porque haya la seguridad de que salga rojo, sino, porque es “más probable” que salga roja por su mayoría numérica. La probabilidad no predice con exactitud qué color de bola saldrá, pero mide el grado de certidumbre de cada resultado. Esto es una información valiosa cuando se tiene una variedad de posibles resultados, permite tomar decisiones más convenientes. Por ejemplo, si se lanza un dado, ¿es más probable que salga un número mayor que 2 o un número no mayor que 2?. En el dado los números mayores que 2 son: 3; 4; 5 y 6 Los números no mayores que 2 son: 1y2 Un experimento es no determinístico cuando no es posible calcular con exactitud el resultado. Entre los experimentos no determinísticos está el experimento aleatorio. Experimento aleatorio.- Es aquel en el que las condiciones experimentales no determinan el resultado, sino sólo un conjunto de posibles resultados. Por ejemplo, al lanzar un dado no es posible saber si saldrá un 4, un 3 ó un 6, sólo se está seguro que saldrá uno de los puntos del 1 al 6. De hecho que se está seguro de que no saldrá un puntaje 7 u 8. Espacio muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Experimento Lanzamiento de un dado Lanzamiento de moneda Espacio muestral S1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} S2 = {cara, sello} El número de elementos del espacio muestral se conoce como número casos posibles. De los 6 posibles resultados 4 son mayores que 2 y sólo 2, no mayores que 2. 4 Si apostara por un puntaje mayor que 2 los de los 6 2 resultados, estarían a mi favor y sólo en contra. 6 2 1 4 2 = contra = , las posibilidades a favor son el 6 3 6 3 doble de las que hay en contra. Hay doble opción de ganar apostando por el puntaje mayor que 2 que por el puntaje no mayor que 2. El número de casos posibles del lanzamiento de un dado es 6, el del lanzamiento de una moneda es 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES Probabilidad clásica.- La probabilidad de ocurrencia de un evento está dada por el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles de ocurrencia. Un experimento es un proceso que lleva a un resultado. Son ejemplos de experimentos: soltar una piedra y ver en qué tiempo llega al suelo, lanzar un dado y ver qué puntaje sale. Un experimento es determinístico si es posible calcular el resultado mediante una fórmula matemática. Por ejemplo, se puede calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo una piedra que se deja caer mediante la fórmula: t = 45 h Donde h es la altura en metros de donde se deja caer y t es el tiempo en segundos. 132 Evento.- Es cualquier subconjunto del espacio muestral en el que está definido. Cualquier elemento del evento se llama caso favorable. Sucesos o casos favorables En el lanzamiento de un dado, cuyo espacio muestral es S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, un evento E puede ser “sale par”, entonces E = {2; 4; 6}. El número de elementos del evento se denomina número de casos posibles. Probabilidades(A) = número de casos favorables número de casos posibles Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje par en el lanzamiento de un dado legal? Resolución: Espacio muestral: S = {1; 2; 3; 4; 5} ⇒ número de casos posibles: n(S) = 6 PROBABILIDADES Evento, sale par: E = {2; 4; 6} Observaciones ⇒ número de casos favorables: n(E) = 3 1. La probabilidad de un evento seguro es 1. Probabilidad de obtener par: n(E) 3 1 P(par) = = = n(S) 6 2 Por ejemplo, la probabilidad de que salga elegido un hombre en un salón donde hay sólo hombres es 1. 2. La probabilidad de un evento imposible es 0. Ejemplo 2: Se lanzan 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? Resolución: Por ejemplo, la probabilidad de sacar una sola bola roja de una caja que contiene sólo bolas blancas es 0. Sea C = sale cara y S = sale sello Los posibles resultados son: S = {CC; CS; SC, SS} ⇒ n(S) = 4 El evento es E = {CC}. Hay un solo caso favorable. n(E) 1 P(2 caras) = = n(S) 4 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 De los 9 000 postulantes al Examen de Admisión, resulta que a 7 000 les gusta Matemáticas y a 5 000 les gusta Letras, a 1 500 no les gusta Matemáticas ni letras. Si de estos postulantes se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que les guste Matemáticas y Letras? (UNSAAC-06) Resolución: M(7000) 9000 L(5000) 1500 7500 – 5000 = 2500 4500 1 P(M y L) = = 9000 2 Resolución: Total = 5 + 3 + 2 = 10 n(BUN) = 3 + 2 = 5 5 1 P(BUN) = = = 0,5 10 2 Rpta.: 0,5 03 De una baraja (52 cartas). ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cartas corazón? 9000 – 1500 7500 7000 – 2500 4500 Rpta.: 1 2 02 En una caja, se tienen 5 bolas azules, 3 bolas blancas y 2 bolas negras, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar, ésta sea blanca o negra? (UNSCH-08-II) Resolución: Aplicando coombinatoria: 13 · 12 C13 1 2·1 P = 252 = = C2 52 · 51 17 2·1 Rpta.: 1 17 04 Se lanza 5 monedas en simultáneo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y 2 sellos? Resolución: Se quiere: C C C S S 5! P 53,2 3! · 2! 5 P= 5 = = 16 32 2 Rpta.: 5 16 133 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 Se lanza simultáneamente dos dados, uno blanco y otro negro. Hallar la probabilidad de que aparezca un número menor o igual que 3 en el dado blanco o un número mayor o igual que 5 en el dado negro. C C C S C C S C C S C C S S S S S S C S S C S C 4 1 p= = 8 2 Rpta.: Resolución: 08 En una urna hay 4 bolas negras y 5 bolas Negro 6 5 4 3 2 blancas. Se extraen dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Resolución: Total bolas: 4 + 5 = 9 1 2 3 4 5 6 Casos posibles: 9! = 36 C92 = 2! 7! Blanco Casos favorables: 4! 5! + = 6 + 10 = 16 C42 + C52 = 2! 2! 2! 3! N° casos posibles = 36 N° casos favorables = 24 P= 24 2 = 36 3 ∴P= Rpta.: 2 3 06 De una urna que contiene 4 bolas blancas y 5 negras se extraen al azar sucesivamente 3 bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra, la segunda blanca y la tercera negra? Resolución: Total bolas: 4 + 5 = 9 Casos posibles de la extracción sin reposición de las 3 bolas: 4 9 REFORZANDO 01 En una urna se tiene 2 bolas rojas, 2 bolas blan- cas y 2 bolas azules; todas del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer 3 bolas sin reposición, la primera sea blanca y las dos siguientes rojas? (UNSAAC-07) A) A) 1 9 B) 1 15 C) 2 15 D) 1 18 E) 1 30 3 8 B) 5 8 C) 7 8 D) 1 8 E) 1 4 03 Si se lanza una moneda tres veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener sello, por lo menos dos veces? (UNSAAC-03-II) A) Rpta.: 10 63 07 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el tercer lanzamiento sucesivo de una moneda? 134 Rpta.: la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? Casos favorables 1° 2° 3° ↓ ↓ ↓ 5 × 4 × 4 = 80 80 10 P= = 504 63 16 4 = 36 9 02 Se lanzan 3 monedas en simultáneo, ¿cuál es 1° 2° 3° ↓ ↓ ↓ 9 × 8 × 7 = 504 Resolución: 1 2 1 2 B) 2 3 C) 3 8 D) 3 5 E) 1 3 En una caja oscura se depositan 2 esferas blancas, 3 esferas rojas y 4 esferas azules. 04 Si extraemos una esfera, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? A) 1 9 B) 1 6 C) 1 3 D) 2 5 E) 1 4 PROBABILIDADES 05 Si extraemos una esfera al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener roja o azul? 7 5 8 4 3 B) C) D) E) A) 9 9 9 9 9 06 ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 3 hijos hayan 2 varones y una mujer? 1 1 1 5 3 B) C) D) E) A) 16 9 18 8 8 De un mazo de 52 cartas; 13 de cada palo. 07 Se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la sea espada 1 12 1 B) C) A) 4 13 13 D) 3 4 E) 12 52 08 Se extraen dos cartas, ¿cuál será la proba- bilidad de que se saque una espada y otro corazón, en ese orden? 15 15 3 13 13 B) C) D) E) A) 103 104 102 204 102 09 Se sacan 3 cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que toda sean ases? 3 4 B) A) 1725 539 1 2 D) E) 5525 5625 C) 1 2552 10 ¿Cuál es la probabiliad de que la suma de los D) 1 18 E) 1 9 11 ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de puntos 8 ó 9? 1 1 1 B) C) A) 8 6 4 5 D) 18 1 E) 9 12 ¿Cuál es la probabilidad de que salga un cuatro y seis? 1 A) 6 B) 1 8 C) 1 18 A) I y III D) Solo II B) II y III E) ninguna C) Solo III 15 Marcar los correcto: I. Si se lanza dos monedas la probabilidad que amba sean cara es de 1/4. II. En una caja hay 2 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. La probabilidad que se tiene al sacar una de ellas y ésta no sea azul es de 2/3. III. Al lanzar dos dados, la probabilidad que se tienen de que los números que salgan en sus cara sumen 10 es de 1/12. A) I y II D) Todas B) II y III E) Sólo II C) I y III TAREA Si lanzamos dos dados en simultáneo. Si lanzamos dos dados en simultáneo. valores obtenidos sea 6? 5 7 2 B) C) A) 36 36 3 II. Del enunciado anterior, la probabilidad que sea blanca es 3/13. III. En un omnibus viajan 15 varones, 18 damas y 20 niños. La probabilidad de que el primero en bajar sea un niño es de 18/53. D) 1 4 E) 1 12 13 ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? 7 17 15 1 5 B) C) D) E) A) 12 36 37 6 12 14 Marcar lo incorrecto en: I. Se tiene una caja con 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras. La probabilidad de sacar una carta roja es 6/13. 01 Calcular la probabilidad de que los valores obtenidos sean iguales. A) 1 3 B) 1 6 C) 1 12 D) 3 5 E) 1 24 02 ¿Cuál es la probabiliadd de obtener una suma de puntos menor a 5? A) 1 4 B) 1 9 C) 1 18 D) 1 6 E) 2 17 Al arrojar 3 monedas al aire: 03 ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 04 ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de las tres sean iguales? A) 1 4 B) 1 2 C) 1 3 D) 2 3 E) 3 4 05 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras por lo menos? A) 1 4 B) 5 8 C) 3 8 D) 3 4 E) 1 2 135 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea a lo más 3 caras? A) 7 8 B) 3 8 C) 1 2 D) 3 4 E) 1 07 Se lanza un dado al aire. ¿Cuál es la proba- bilidad de que no salga un número primo? (UNSAAC-04-I) A) 50% B) 48% C) 56% D) 40% E) 60% 08 De una urna que contiene 31 bolas blancas y 15 rojas, se extraen dos bolas sin reposición. La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas, es: (UNSAAC-04-I) A) 7 69 B) 14 69 C) 2 46 D) 1 2 E) 15 69 09 En el lanzamiento de un par de dados, deter- minar la probabilidad de que la suma de las caras superiores resulte un número primo. UNSAAC-05 I 5 A) 36 7 B) 36 5 C) 12 17 D) 36 13 E) 36 10 Relacionar correctamente: I. Al lanzar los dados, la probabilidad de obtener una suma de valores que sea 9 es: II. Una caja que tiee 5 bolas azules, 3 bolas blancas y 2 bolas negras, la probabilidad de extraer una bola y esta sea blanca o negra es: III. Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿cuál será la probabiliadd de obtener un solo tres? 1 1 5 A= B = C= 2 9 18 A) IB - IIA - IIIC C) IC - IIB - IIIA E) N.A. B) IA - IIB - IIIC D) IA - IIC - IIIB 01 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado "cargado", el resultado sea un número primo, si se carga el dado de tal manera que los números pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los números impares? 136 1 4 B) 3 4 lanzar dos dados en simultáneo. 5 5 10 1 B) C) D) A) 36 18 18 36 E) 1 18 03 Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La probabilidad que se tiene de sacar 2 ó 3 al lanzar un dado es 1/3 II. La probabilidad de aparición de un número impar en un atarea de un dado es de 50% III. La probabilidad de sacar una vocal en un máquina de escribir de 27 letras es 5/27 A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) VFV 04 Se lanza un dado y una moneda en simultá- neo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par acompañado de sello? 1 1 3 5 1 B) C) D) E) A) 4 2 4 12 3 05 Al arrojar 2 dados en simultáneo, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntaje mayor que 10? 1 3 1 1 1 B) C) D) E) A) 18 10 9 12 4 06 Hallar la probabilidad de obtener por lo menos un 2 al tirar una vez 2 dados en simultáneo. 1 1 11 1 1 B) C) D) E) A) 12 24 36 6 36 07 Una caja contiene 40 bolas numeradas del 1 al 40. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola esta sea múltiplo de 3 y par? 1 3 1 1 1 B) C) D) E) A) 10 20 5 4 20 08 5 personas se sientan alrededor de una mesa circular, ¿cuál es la probabilidad de que Luis y Miguel se sienten juntos? 1 1 1 1 1 B) C) D) E) A) 3 4 5 6 2 09 Del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad SEMINARIO A) 02 Hallar la probabiliadd de obtener sólo un 6 al C) 3 10 D) 1 12 E) 5 12 de que Luis y Miguel no se sienten juntos? 1 1 1 1 1 B) C) D) E) A) 3 4 5 6 2 10 Dado el conjunto M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} se escoge, aleatoriamente, un subconjunto de dos elementos distintos. La probabilidad de que los números del subconjunto escogido sean primos entre sí es igual a: (UNAC-08-I) 5 11 2 13 7 B) C) D) E) A) 6 18 3 8 9 PROBABILIDADES En una urna se tiene 20 bolos numerados del 1 al 20, cuál es la probabilidad de extraer: 11 Un bolo con numeración mútiplo de 3. A) 1 10 B) 1 5 C) 3 10 D) 2 5 E) 1 2 12 Un bolo con numeración primo. A) 7 20 B) 2 5 C) 9 20 D) 1 12 E) 1 2 C) 5 19 D) 9 38 E) 4 19 13 Dos bolos pares. A) 6 19 B) 11 38 14 Dos bolos con numeración mayor que 12. A) 14 95 B) 13 95 C) 12 95 D) 11 95 E) 2 19 15 Tres bolos con numeración múltiplo de 4. A) 5 114 B) 4 114 C) 3 114 D) 2 114 E) 1 114 137 Capítulo 20 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Se podría pensar superficialmente que cuanto más se produce algo se debe ganar más. Por ejemplo los fabricantes de carros, cuanto más carros producen deben ganar más. Produciendo 12000 artículos se pierde 6000 dólares. Resumiendo todo lo anterior en una tabla tenemos: n 0 2 8 12 Esto no es del todo cierto, porque si se produce mucho y no se vende todo, entonces se podría perder en lugar de ganar. Viendo el otro extremo. Si no se produce nada, tampoco se gana, porque no hay qué vender. O si se produce muy poco no se ganará mucho. Por consiguiente, tanto producir demasiado como producir muy poco, trae pérdidas. Entonces debe haber un punto intermedio: en el que se obtenga la mayor ganancia. Aquí la intervención de la Matemática es muy oportuna. Si las ganancias se pudieran expresar en una ecuación o una función, entonces se podría ver cómo van variando las ganancias según la producción y otros factores, así se podría reconocer el punto máximo de las ganancias. Por ejemplo, en la ecuación. n2 g=n– 8 Donde g representa las ganancias de una empresa en miles de dólares y n el número de artículos producidos en miles de unidades. g = n – n2/8 0 1,72 0 –6 La gráfica de g = n – n2/8 es: g 2 1,75 2 4 6 8 n Se observa que la curva pasa por el punto máximo para n = 4 y g = 2. La máxima ganancia se obtiene con una producción de 4000 artículos. Analicemos en detalle la ecuación: n2 g=n– 8 8g = 8n – n2 8g – 16 = –16 + 8n – n2 Para n = 0 quiere decir que no se produce nada: 02 g=0– ⇒g=0 8 Se observa que no hay ganancia. 8g – 16 = –[42 – 2(4n) + n2] 8g – 16 = (4 – n)2 1 g = 2 – (4 – n)2 8 Para n = 2: 22 1 g = 2 – ⇒ g = 2 – = 1,75 3 8 Una producción de mil artículos produce una ganancia de 1750 dólares. Obsérvese: Para n = 8 82 g=8– =0 8 • El término (4 – n)2 no puede ser negativo por ser cuadrático, entonces como mínimo sólo puede ser cero. Es cero si n = 4 Para n = 8 no hay ganancia, g = 0 • g es máximo para n = 4 y g = 2 Para n = 12: 122 g = 17 – = 12 0 180 ⇒ g = – 6 8 Analíticamente se comprueba lo que se observa en el gráfico. 138 • g depende de n. • Para que g sea máximo, el término que resta a 2 debe ser mínimo. MÁXIMOS Y MÍNIMOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS Consideremos la función f(x), esto es, una función que depende de x mediante alguna regla de correspondencia, por ejemplo. f(x) = 2x – 3 Para x = 2: f(2) = 2(2) – 3 ⇒ f(2) = 1 Para x = 5: f(5) = 2(5) – 3 ⇒ f(5) = 7 En la función f(x), x es la variable independiente. Para cada valor de x se obtiene un valor de la función. De los posibles valores de la función puede haber, como no, un valor máximo o un valor mínimo. En esta sección vamos analizar, cuándo una función toma un valor máximo o un valor mínimo y cómo calcularlo. Sea f(x) = 5 – x x ≥ 0 ¿Esta función tiene un valor máximo o un valor mínimo? f(x) = 1 + mín 1 ← Mínimo = 0 x ← Máximo(Infinito) El valor mínimo de f(x) en 1 f(x) = 1 + x > 0, es 1. x COMPLETANDO A CUADRADOS Para analizar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, es conveniente completar a cuadrados. Analicemos la función: f(x) = x2 + 6x + 10 ¿Tendrá algún valor máximo o mínimo? Completemos a cuadrados f(x) = x2 + 6x + 9 + 1 f(x) = x2 + 2(3x) + 32 + 1 (1) f(x) = (x + 3)2 + 1 En (1) (x + 3)2 no puede ser negativo entonces no puede disminuir el valor de f(x) por debajo de 1. Como mínimo (x + 3)2 = 0 para x = –3 y f(x) = 1 Como f(x) depende de x, sólo debemos analizar los valores de x, porque 5 es invariable. f(x) = 5 – x máx mín El mínimo valor de f(x) es 1 para x = –3, f(x) tiene un valor mínimo igual a 1 en x = –3: Obsérvese, para que f(x) sea máximo x debe ser mínimo. Como x ≥ 0, como mínimo x = 0. Ejemplo 1: f(–3) = (–3 + 3)2 = 1 f(–3) = 02 + 1 ⇒ f(–3) = 1 f(0) = 5 – 0 ⇒ f(0) = 5 Si el perímetro de un rectángulo es 24, ¿cuánto puede ser como máximo su área? El máximo valor de la función es 5. Resolución: Para que f(x) sea mínimo, x debe ser máximo: f(x) = 5 – x mín máx Se puede tomar valores tan grandes como se quiera. No hay un valor máximo para x, por consiguiente, no hay un valor mínimo para f(x). Analicemos ahora la función 1 f(x) = 1 + x ∈ , x > 0 2 ¿Hay algún valor mínimo para f(x)? 1 f(x) = 1 + ← Mínimo x ← Máximo mín 1 Para que f(x) sea mínimo debe ser mínimo. x 1 Para que sea mínimo, x debe ser máximo. Pero x x puede ser tan grande como se quiera. 1 Cuanto más grande se hace x, se hace 0 luego x Área = ab a b 2a + 2b = 24 ⇒ a + b = 12 ⇒ b = 12 – a Área: A = ab = a(12 – a) = 12a – a2 Completando a cuadrados: A = 36 – 36 + 12a – a2 A = 36 – [62 – 2(6a)+a2] A = 36 – [6 – a]2 máx mín A es máximo si 6 – a es mínimo e igual a cero: 6–a=0⇒a=6 ⇒ b = 6 Área máxima: A = ab = 6 · 6 = 36 Dado el perímetro, el área del rectángulo es máximo cuando resulta un cuadrado. 139 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 2: Ejemplo 3: Las siguientes figuras tienen igual perímetro. ¿Cuál de ellas tiene mayor área?. Las siguientes figuras tienen igual perímetro. ¿Cuál de ellas tienen mayor área? I II III I II III Resolución: Resolución: De varios triángulos con igual perímetro tiene mayor área aquel que es más regular, en este caso el triángulo equilátero III. De varias figuras regulares con igual perímetro, tiene mayor área aquella con mayor número de lados. En este caso el círculo que puede ser considerado como un polígono regular cuyo número de lados tiende a infinito RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 120 m, ¿cuánto mide el área del cuadrado MNPC, en m2, si el área del rectángulo ABCD debe ser el máximo posible? (M es punto medio) (UNAG-08-I) D C P M A N B Resolución: D C M A P llos, patos y pavos) al precio de 1,200 soles. Si, además, se sabe que un pollo le costará 3 soles, un pato 5 soles, un pavo 8 soles y le van a vender más patos que pollos, ¿cuál es la suma de las cifras del máximo número de pollos que puede comprar Pedro? (UNMSM-08-I) Resolución: Pollos: a; Patos: b; Pavos: c (b > a) a + b + c = 200 (1) 3a + 5b + 8c = 1200 (2) De (1) y (2): 5a + 3b = 400 Como b > a: a = 47 ⇒ 4 + 7 = 11 N B Rpta.: 11 03 Se desea ubicar losetas en una habitación cuyas dimensiones son 2,03 y 2,61 m. Si las losetas deben ser cuadradas, siendo la dimensión de su lado un valor entero entre 20 y 30 cm, ¿cuántas losetas se necesitan? (PUC-04) Semiperímetro de ABCD: 60 Área ABCD: S = 2x(60 – 2x) = 120x – 4x2 S = 302 + 120x – 4x2 – 302 S = 900 – (2x – 30)2 ⇒ 2x = 30 x = 15 máx 0 Resolución: El lado de las losetas debe estar contenido en 203 y 261 cm. 203 = 29 · 7 lado de loseta = 29 cm. 261 = 29 · 9 Área del cuadrado CMNP: 152 = 225 Rpta.: 225 140 02 A Pedro le quieren vender 200 animales (po- # losetas = 203 × 261 = 63 29 × 29 Rpta.: 63 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 04 En un cofre hay en total ab monedas de oro, algunas de 21 kilates y otras de 18 kilates. Si 13b monedas menos del total son de 21 kilates y 6a monedas menos del total son de 18 kilates, halle la cantidad máxima de monedas que puede contener el cofre (UNAC-06-I) Resolución: Deuda = S/.930 1(S/.10) + 1(S/.20) + 1(S/.50) + 1(S/.100) = S/.180 Falta: S/.930 – S/.180 = S/.750 #máximo de billetes = S/. 750 ÷ S/.10 = 75 + 4 = 79 Resolución: Rpta.: 79 De 21 kilates: = ab – 13b 08 Con tres colillas se puede formar un cigarro. De 19 kilates: = ab – 6a (ab – 13b) + (ab – 6a) = ab ¿Cuántos cigarros como máximo se podrá fumar, si se tiene 325 colillas? 6a + 13b = ab Resolución: 6a + 13b = 10a + b 1ra vez: 35 2 3 11 + 2da vez: 13 1 3 4 + b 1 12b = 4a ⇒ = a 3 b=3 a=9 ∴ ab = 93 Rpta.: 93 05 Calcule el máximo valor de M M= 3 1 + 5 3 4ta vez: 0 1 En total: 11 + 4 + 1 + 1 = 17 3ra vez: 3 x2 – 4x + 7 Resolución: Completando mostrados: 3 3 M= 2 = 2 x – 4x + 7 x – 2(2x) + 4 + 3 M= 3 3 = =1 3 + (x – 2)2 3 5 2 Rpta.: 17 Rpta.: 1 06 Si en 2 kilos de paltas hay de 6 a 8 unidades, en cuatro docenas de paltas, habrá un peso mínimo de: (UNFV-03) REFORZANDO 01 ¿Cuántas rectas como mínimo necesitas trazar en la figura para obtener 7 regiones cerradas? (UNE-08) Resolución: 2 6 2 Si son 8 paltas ⇒ cada una pesa 8 Si x es el peso de una palta: 2 48(2) 48(2) 2 ≤x≤ ⇒ ≤ 48x 6 8 6 8 Si son 6 paltas ⇒ cada una pesa 12 ≤ x ≤ 16 ⇒ peso mínimo: 12 kg Rpta.: 12 07 Luis va a pagar una deuda de S/.930 y tiene billetes de S/.10, S/.20, S/.50 y S/.100. ¿Cuál será la mayor cantidad de billetes que debe utilizar en el pago de su deuda empleando los 4 tipos de billetes? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 02 Calcula el mayor valor de k A) 11 k = –x2 + 4x + 5 ∀ x ∈ B) 9 C) 7 D) 4 E) 3 03 Se quiere almacenar chocolates en barras, en 3 compartimientos diferentes conteniendo 2115; 10575 y 36495 g de chocolate respectivamente, ¿cuál debe ser el mayor peso de la barra para realizar el almacenamiento con barras del mismo peso? A) 49 B) 47 C) 45 D) 35 E) 55 141 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 Tres amigos: Fernando, Eduardo y Daniel tienen entre los 3 más de 8 libros. Si Eduardo tuviera 4 libros más; tendría más que Daniel y Fernando juntos. Eduardo tiene menos que Fernando y éste tiene menos de 5 libros. ¿Cuántos libros tienen entre Daniel y Eduardo? (PUC-01) A) 4 libros D) 7 libros B) 5 libros E) 8 libros C) 6 libros C) 45 D) 40 E) 48 08 Lucas lanzó un dado veinticuatro veces y el puntaje total que obtuvo fue 98. Si el puntaje que obtuvo en cada lanzamiento no es menor que 3 ni mayor que 5 y además en cuatro lanzamientos obtuvo el menor puntaje, ¿en cuántos lanzamientos obtuvo puntaje par? (UNMSM-07-II) C) 16 D) 14 E) 6 09 De la ecuación: 3x2 + mx + 4 = 0, hallar el me- nor valor de “m” para que las raíces estén en la relación de 3 a 1. (PUC-04) A) 8 D) 16/3 B) –8 E) 8 3 C) –16/3 xy si x + y = 1, con x, y ∈ (UNAC-08-I) + 142 B) 1 28x + 3 > 7E, para todo valor real de x. A) –3 B) 4 C) 5 D) –5 E) –4 C) 4 D) 3 B) 45 C) 42 D) 48 E) 51 14 Si un kilogramo es la masa de 6 a 8 membrillos, ¿cuál es la mayor masa, en kilogramos, que pueden tener 4 docenas de membrillos? UNI 2005-I A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 15 Si “a” y “b” son números reales tales que a2 + b2 = 3, ¿Cuál es el menor valor que puede tomar “a+b”? (UNMSM-08-II) A) –3 2 D) –2 3 B) –2 2 3 E) – 6 2 C) – 6 TAREA 01 Calcula el máximo valor de B en: ∀ x ∈ B ≤ x2 – 4x + 29 A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 02 Javier desea dar a sus nietos una propina. Para esto entrega a sus tres hijos S/. 80, S/. 70 y S/. 60, a fin de que sean repartidos entre sus nietos, de modo que éstos reciban la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad de soles que podrá recibir cada nieto y cuántos son los nietos? (UNE-08) A) 21 y 10 D) 5 y 21 B) 10 y 21 E) 10 y 20 C) 5 y 42 03 Si un kilogramo es la masa de 6 a 8 membri- llos, ¿cuál es la mayor masa en kilogramos, que pueden tener 4 docenas de membrillos? (UNI-05-I) 10 Halle el mínimo valor de M = 1 A) 2 12 Determinar el mayor entero, E, tal que: 7x2 + A) 40 libros a un costo de 60 soles cada uno. Si los vende a “x” soles la unidad, se estima que puede vender “480–2x” estantes al año. ¿Cuál sería la mayor ganancia anual (en soles) del carpintero? (UNMSM-08-II) A) 16200 B) 28900 C) 14400 D) 20000 E) 24300 B) 12 C) z < 2 B) 11 C) 12 E) menor de 10 07 Un carpintero puede construir estantes para A) 8 B) 0 < z < 2 E) z ≤ 1/2 colillas se forma un cigarro. ¿Cuántos cigarros se podrá fumar en total? nes 75 m y 120 m. Se desea dividir en parcelas cuadradas las más grandes posibles. Si en cada esquina de las parcelas se debe colocar una estaca ¿Cuántas estacas se utilizaron?. (PUC03-II) B) 54 A) z < 0 D) z < 1 3 + 6x – x2 ≤ R 06 Se tiene un terreno rectangular de dimensio- A) 53 x > 0, x ≠ 1 y z = x + (1/x), entonces: 13 Se tienen 91 colillas de cigarros, si con cada 3 05 Calcula el menor valor de R A) 10 D) 13 11 Si x es un número real tal que: (UNAC-05-II) E) 9/2 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 04 El costo de fabricación de un par de zapatos oscila entre S/. 24 y S/. 32 y el precio de venta entre S/. 40 y S/. 52. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener en 30 pares de zapatos? (UNFV-04) A) S/. 220 D) S/. 225 B) S/. 210 E) S/. 230 C) S/. 240 05 Usando los números enteros del 1 al 6 de ma- nera que ninguno se repita, y efectuando las operaciones usuales de adición, sustracción, multiplicación y división, en ese orden, una sola vez cada una, ¿cuál es el máximo resultado que se puede obtener? (UNMSM-07-II) A) 45 B) 36 C) 48 D) 40 E) 42 06 Mario desea comprar un lote de terreno de forma rectangular cuyos lados son valores enteros. Se sabe que el doble del perímetro del terreno excede en 168 m al ancho del terreno. Hallar el área máxima del terreno que puede comprar Mario. (UNMSM-08-I) A) 588 m2 D) 630 m2 B) 300 m2 E) 672 m2 C) 540 m2 07 Hallar el mayor valor entero que puede tomar SEMINARIO 01 Calcular el máximo valor: 98 7 + (x – 7)6 A) 13 B) 12 C) 16 D) 15 E) 14 02 En el techo de una casa habían tres goteras, las gotas caían en periodos de 30; 21; y 35 minutos. Si coincidieron a las 6 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir? (PUC-03-II) A) 9:30 am. D) 10:30 B) 6:30 E) 9:30 C) 7:30 03 En un colegio que tiene menos de 1650 alum- nos, se sabe que la cuarta parte del número total de alumnos está en nivel inicial, la quinta parte en primaria, la sexta parte en secundaria y el resto en el nivel preuniversitario. ¿Cuál es el máximo número de alumnos de este colegio, que pueden estar en nivel preuniversitario? UNMS-07-II) A) 657 B) 693 C) 585 D) 621 E) 729 04 Un libro tiene más de 400 páginas y menos de “m” si: x2 + mx + 9 ≥ 0, ∀ x ∈ (PUC-04) 480. Su número de páginas es un múltiplo de 12 y 20. ¿Cuántas páginas tiene? (UNA-08) A) 7 A) 420 B) 5 C) 9 D) 11 E) –7 08 Entre los pares de números seleccione el que tenga el máximo valor. A) 999 y 222 9 D) 99 y 222 99 B) 9 y 222 E) 999 y 222 99 22 C) 9 y 2 la mínima distancia, en metros, que recorre? A C 4 A) 6 m D) 9 m B) 7 m E) 10 m Q C) 8 m 10 Halle el menor número real M, tal que se cumpla: 6 + 6x – x2 ≤ M, ∀ x ∈ (UNAC-06-I) A) 14 B) 13 C) –15 D) 15 E) 430 diferentes es 12. Hallar el máximo valor que puede tomar el mayor de los números. (PUC-04) B) 66 C) 88 D) 64 E) 68 06 Calcular el menor valor de "x" en: 3x2 – 4x + 34 + 3x2 – 4x + 11 = 9 5 1 5 C) – D) – E) 5 A) – 3 B) 3 3 3 07 Calcular el máximo valor de la expresión "y" 1 1 E) 2 4 08 Juan vendió 1000 libros y le quedó más de la mitad de los que tenía al inicio. Luego vende 502 libros y le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos libros tenía Juan al inicio? (UNMS-08-II). A) 0 B D) 480 y = – x2 + x 2 P C) 450 05 El promedio de 12 números enteros positivos A) 78 09 Un gusano recorre la trayectoria ABC. ¿Cuál es B) 440 E) 16 A) 2005 D) 2001 B) – 1 C) 2 B) 2002 E) 2003 D) C) 2007 143 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 Manuel pagó una deuda de S/. 350 con billetes de S/. 10, S/. 20 y S/. 50. ¿Cuál fue la mínima cantidad de billetes que utilizó en el pago de su deuda? (UNMS-08-II). A) 9 B) 8 C) 10 D) 11 E) 7 10 Calcular el máximo valor de H H = 60 – 12x – 6x A) 66 B) 60 C) 56 13 Un cajero automático debe entregar 740 soles empleando billetes de las siguientes denominaciones: 100, 50, 20 y 10 soles. Si debe emplear todas las denominaciones y el menor número de billetes. ¿Cuántos billetes entregará el cajero? UNI 2003-II A) 11 2 D) 52 E) 62 Q= 36 x + 4x + 1 1 1 D) – E) – 3 4 2 12 Si: x ≥ 0 ¿cuál es el menor valor de "E"? 4x2 + 8x + 13 E= 6(x + 1) A) – 1 A) 1 B) – 2 B) 2 C) – C) 3 D) 4 D) 14 E) 15 expresión: P= 50 x2 – 10(x – 3) 5 10 E) 3 3 15 Si: a < b < 0, decir verdadero (V) o falso (F): PUC-04 A) 20 2 C) 13 14 Cuál es el máximo valor que puede tomar la 11 ¿Para qué valor de x, la expresión "Q" toma su máximo? B) 12 I. a2 < ba2 A) VVF B) 10 C) 5 II. a4 – ba3 > 0 B) VVV C) FFF D) III. b2 · a3 < 0 D) FVV E) FFV E) 7 Nació en el año 1170 y falleció en 1250, probablemente en Pisa (actual Italia). Conocido por Fibonacci (hijo de Bonifaccio), no era un erudito, pero por razones de sus continuos viajes por Europa y el Cercano Oriente, fue él quien dio a conocer en Occidente los métodos matemáticos de los hindúes. Su verdadero nombre fue Leonardo Pisano, pero fue más conocido por su apodo Fibonacci. Jugó un rol muy importate al rescatar las matemáticas antiguas y realizó importantes contribuciones propias. Fue educado en África del Norte, donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos en esos países. Su obra Liber Abaci, fue publicada en el 1202 después de su retorno a Italia; está basada en trozos de aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. Liber Abaci introduce el sistema decimal hindú-arábigo y los números arábigos en Europa. Leonardo de Pisa Un problema en Liber Abaci permite la introducción de los números y la serie de Fibonacci, por lo cuales Fibonacci es recordado hoy en día. Otros libros de Fibonacci de mayor importancia son sus Prácticas de Geometría (1220), que contienen una extensa colección de geometría y trigonometría. También en su Liber quadratorum del año 1225 aproximó las raíces cúbicas, obteniendo una respuesta que en la notación decimal correcta en 9 dígitos. Su obra Mis prácticas de geometría del año 1220 entrega una compilación de la geometría al mismo tiempo que introduce algo de trigonometría. 144 Capítulo PROYECCIÓN Y DESARROLLO DE SÓLIDOS PROYECCIÓN DE UN SÓLIDO Imaginemos una persona en el centro de una habitación mirando hacia la pared de la puerta. Un fotógrafo, cámara en mano, entra a la habitación y le toma 6 fotografías, del frente, de la espalda de los dos costados, del techo y del piso. Si comparamos las 6 fotografías de la misma persona comprobaremos que todas son diferentes. Cada foto se llama “vista”, entonces tenemos 6 vistas de la persona. ¿Se puede tomar otras vistas? Obviamente, se puede tomar muchas otras vistas de otros diversos puntos de la habitación. Planos principales de proyección La fotografía es un tipo de proyección (proyección cónica) donde los puntos del objeto están proyectados en el plano de la fotografía Objeto foto 21 La presentación de los planos principales es como se muestra. H F F F Ejemplo 1: ¿Cuál es el sólido cuyas tres proyecciones principales se muestran? H F Cámara fotográfica Rayos proyectantes FP Resolución: Aquí vamos a estudiar un tipo de proyección llamada ortogonal, donde los rayos proyectantes son paralelos entre sí y perpendiculares al plano de proyección. En la proyección ortogonal se consideran 3 planos principales de proyección. H Plano principal horizontal (H) Plano principal frontal (F) Plano principal de perfil o lateral (P) Proyección Horizontal DESARROLLO DE UN SÓLIDO Una caja de cartón está hecha de láminas de cartón apropiadamente cortadas, dobladas y pegadas. Una caja de cartón es un ejemplo de sólido y la lámina extendida sería su desarrollo. Dibujo isométrico del sólido P F Sólido Proyección frontal Desarrollo Proyección del perfil 145 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Aquí el desarrollo de algunos sólidos. Representación espacial de un dado En un dibujo isométrico sólo es posible observar 3 de las caras de un dado, por lo que cuando se trata de visualizar el mayor número de caras, se puede representar como se muestra en la figura. Desarrollo del cubo El cubo se puede desarrollar de 10 formas diferentes, sin tener en cuenta las mismas formas en diferentes posiciones o las que se obtienen por reflexión. Ejemplo 2: Se muestra dos vistas de un sólido cúbico. ¿Qué figura está en la cara opuesta al círculo? Resolución: Según I 146 Según II Rpta. El triángulo PROYECCIÓN Y DESARROLLO DE SÓLIDOS RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Se desea determinar la forma geométrica de un sólido. Información: I. La vista frontal del sólido es un rectángulo. II. La vista superior del sólido es un círculo. 04 La figura muestra dos vistas de un cubo. Si en una de las caras no visibles tiene dibujada una carita feliz, indique el símbolo en la cara opuesta. Resolución: (I) I. (II) Resolución: II. De (I): De (II): 3 1 Rpta.: Es necesario utilizar ambas informaciones a la vez 02 En la figura se representa dos vistas de una pieza metálica que forma parte de una maquinaria, hallar el volumen de la pieza. UNFV-01 1 1 2 1 2 3 4 2 1 2 1 Vista frontal Vista superior 2 4 4 1 1 2 3 4 2 3 La cara opuesta de la carita feliz es la circunferencia. Rpta.: La circunferencia 05 Elige entre los sólidos, el que corresponde al desarrollo mostrado. Resolución: Área frontal: (1 + 3)(1 + 1 + 2) – 1 × 3 – 2 × 2 = 9 Volumen = 9 × 4 = 36 m3 Rpta.: 36 m3 03 La figura muestra el desarrollo de la super- ficie de una caja. Indique la alternativa que corresponde a dicho desarrollo. UNI 04-II Resolución: B Rpta.: 06 Elige entre los sólidos, el que corresponde al desarrollo mostrado. Resolución: Rpta.: 147 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: REFORZANDO B 01 Dada la figura, donde la recta “P” está en la ⇒ cara superior y la recta “m” en la cara frontal. Entonces las rectas p y m: Rpta.: P 07 Una de las vistas no corresponde al sólido. Señale cuál es: m A) Se cortan B) No se cortan C) Son paralelas D) Son perpendiculares E) Son colineales 02 Se ha construido un dado especial. En la figura Resolución: se observa tres de las posiciones del dado. UNI 07- I Las vistas son: F) H) P) ¿Qué número se opone al 4 y cuál al 1, respectivamente? Rpta.: A) 3 y 5 D) 2 y 4 08 Indique el dado que no corresponde a los demás. A) B) C) D) B) 2 y 5 E) 5 y 2 C) 6 y 3 03 Indique el cubo que corresponde al siguiente desarrollo: Resolución: A) B) D) E) C) Según dado A: 6 3 2 1 Enunciado Elige entre los sólidos el que corresponde al desarrollo. 5 4 En el dado C en lugar de 1 debe ir 6 Rpta.: 148 04 A) B) C) D) PROYECCIÓN Y DESARROLLO DE SÓLIDOS 05 TAREA B) A) 01 Determinar el desarrollo que corresponde a la figura. UNI 07-I C) D) 06 A) B) C) D) 07 A) B) C) D) A) B) C) D) E) 02 Al doblar la figura del recuadro y siguiendo la línea punteada resulta una de las figuras sombreadas de la fila. ¿Cuál es ésta? UNA 01-II 08 A) B) C) D) A) B) D) E) C) 09 A) B) C) D) 03 R 10 Enunciado Entre los sólidos elige el que corresponde al desarrollo. a B B B) B) C) D) A) B B) C) B D) 04 R C) R D) a J B A) A) B 149 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 Q Q J K A) J B) J Q C) K D) A) B) D) E) C) 02 Indique el sólido que se genera al plegar el desarrollo mostrado. UNI 05-II 06 A) B) C) D) 07 A) B) C) D) A) B) D) E) C) Enunciado 08 09 A) B) C) D) A) B) C) D) Entre los sólidos elige el que corresponde al desarrollo. 03 04 10 A) B) C) D) SEMINARIO 05 01 Del siguiente desarrollo de un hexaedro regu- A) B) C) D) A) B) C) D) A) B) C) D) A) B) C) D) lar, seleccione la alternativa correspondiente. UNI 09-I 06 150 PROYECCIÓN Y DESARROLLO DE SÓLIDOS Enunciado 07 A) B) C) D) Entre los sólidos elige el que corresponde al desarrollo. 11 A) B) C) D) A) B) C) D) A) B) C) D) A) B) C) D) A) B) C) D) 08 Se muestra un cubo en diferentes posiciones. Indique la alternativa que corresponde al mismo cubo en otra posición. UNI-08 II A) B) D) E) 12 C) 13 09 El primer dibujo representa un objeto sólido. ¿Algún dibujo de la misma hilera representa al objeto en posición diferente? UNFV-04 A) D) B) C) E) 10 Hallar los opuestos al 1 y al 4 PUC-97 A) 5 y 4 D) 6 y 5 14 B) 5 y 6 E) 5 y 2 C) 6 y 2 15 151 Capítulo RAZONAMIENTO ANALÍTICO 22 Es esta sección vamos a desarrollar tres temas de análisis: 1. Comparación cuantitativa. 2. Suficiencia de datos. 3. Análisis de gráficos. Ejemplo 2: Se propone un problema y se ofrece dos datos, o dos series de datos, para resolverlo, tienes que identificar qué datos son necesarios para resolver el problema y marcar: A. Cuando el dato I es suficiente y el dato II no lo es. 1. COMPARACIÓN CUANTITATIVA B. Cuando el dato II es suficiente y el dato I no lo es. Consiste en comparar los valores numéricos de dos cantidades. Una en la columna A y otra en la columna B. No es necesario hallar los valores, sólo se pide determinar cuál es mayor, menor o iguales. C. Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. Ejemplo 1: E. Cuando se necesitan más datos. Si P(x) = (2m + n)x + (m – n)x + 15 2 Halle el área de un hexágono regular ABCDEF. Q(x) = 20x2 + x + c + 10 Datos: I. AC = 15 cm son idénticos II. BE = 10 3 cm Columna A m+n Columna B Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta información para determinarlo. E. No debe utilizar esta opción. Resolución: (2m + n)x2 + (m – n)x + 15 ≅ 20x2 + x + c + 10 m=7 n=6 c=5 Luego: A: m + n = 7 + 6 = 13 B: n + c = 6 + 5 = 11 Resolución: A n+c A. 2m – n = 20 m–n=1 c + 10 = 15 D. Cuando cada uno de los datos, por separado, es suficiente. 13 > 11 La cantidad en A es mayor que la cantidad en B, entonces la respuesta es A. B P F C O E D El hexágono regular se compone de 6 triángulos equiláteros. AC I. Con AC se halla PC = , que es la altura de uno 2 de los triángulos equiláteros: OBC. Con la altura del triángulo equilátero, se puede hallar el área. El área del hexágono es 6 veces el del triángulo equilátero. Por consiguiente, con el dato I se puede resolver el problema. BE II. Con BE se halla BO = que es lado del triángulo 2 equilátero OBC, con el cual se puede hallar el área del triángulo, por consiguiente resolver el problema. SUFICIENCIA DE DATOS Por lo tanto, los datos I y II por separado, resuelven el problema. La respuesta es D. Consiste en evaluar si los datos proporcionados en un problema matemático son o no suficientes para hallar la solución. Nótese, de que no es necesario hallar la solución del problema, sino, determinar si se puede llegar o no a la solución con el dato o datos que se dan. 152 RAZONAMIENTO ANALÍTICO ANÁLISIS DE GRÁFICOS V Consiste en responder preguntas en base a la información que brinda un gráfico. Para ello es necesario conocer el sistema de representación utilizado en el gráfico. Hay diversos tipos de gráficos, como los gráficos estadísticos, los gráficos de funciones, etc. Ejemplo 3: En este recipiente se vierte agua con caudal constante. Grafique la rapidez con que sube el nivel del agua en la vasija desde que se inicia hasta que termina el llenado. D C E B A T En el tramo BC, la velocidad aumenta bruscamente. En un tiempo igual al del tramo BC, la velocidad ha crecido considerablemente. En el tramo CD, nuevamente la velocidad deja de aumentar y casi permanece constante. En el tramo DE, la velocidad disminuye a un ritmo constante. Con estas consideraciones dibujamos la rapidez de crecimiento del nivel del agua. V Resolución: T Sea el gráfico mostrado de la velocidad (V) respecto del tiempo (t). En el tramo AB, la velocidad aumenta lentamente con el tiempo. En el tramo más ancho el nivel aumenta más lentamente, mientras que en el tramo más angosto, el cuello, aumenta más rápido. RESOLVIENDO CON EL PROFESOR COMPARACIÓN CUANTITATIVA Resolución: En estas preguntas se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tiene que determinar la relación entre ambas y marcar: 01 32–1 = 3 2 = 3 A) B) C) E) D) Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN! Información Columna A Columna B –1 2 1 PUC-09-I 32 8–1 2 Sean A, B, C n[A ∩ B) ∪ conjuntos no vacíos n[A ∩ (B ∪ C)] (A ∩ C) PUC-09-I 3 AB es paralelo a CD b = 50o; q = 2a A a C q PUC 08-II b B D q+a 190o 1 8 –12 =8 –1 3>1 8 Rpta.: Si la cantidad en A es mayor que en B. 02 A B A C B C A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Rpta.: Si ambas cantidades son iguales. 03 b a q a θ + α = 180º < 190º Rpta.: Si la cantidad en B es mayor que en A. 153 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SUFICIENCIA DE DATOS 04 Juan compra cierta cantidad de lapiceros. UNI 05-II Información: I. Por la compra de 10 docenas, le obsequian 10 lapiceros. II. Tres docenas de lapiceros cuestan tantos soles como lapiceros le dan por S/. 2 500. Se desea conocer el costo de una docena de lapiceros: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones, por separada, es suficiente. E) La información brindada es insuficiente. Resolución: I. Por la compra de 10 docenas recibe: 10 × 12 + 10 = 130 lapiceros. No es posible hallar el precio. II. Sea x el precio de un lapicero. Entonces por 2500 lapiceros. Luego: S/. 2500 le dan x 2500 de aquí se halla x que es el 3 · 12x = x precio de un lapicero. Con este precio se halla el costo de una docena. Rpta.: La información II es suficiente. 05 Se desea determinar si el perímetro de un cuadrado S es mayor que el perímetro de un triángulo equilátero T. UNI 06-I Información I. La razón del lado de S al lado de T es 4; 5. II. La suma de las longitudes de un lado de S y uno de T es 18. Para resolver el problema es necesario. A) sólo la información I. B) sólo la información II. C) Ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separado. E) La información brindada es insuficiente. Resolución: I. S 4K T 5K 154 II. 4K + 5K = 18 ⇒ Se halla k, con el cual se resuelve el problema. Rpta.: Ambas informaciones a la vez. ANÁLISIS DE GRÁFICOS 06 Respecto a la información brindada en el diagrama de barras mostrado. PUC 09-I Producción de lápices en millones 12 9 6 3 años 2002 2003 2004 2005 2006 es correcto afirmar: A) El promedio de producción de los últimos tres años, supera el promedio del total de años. B) El promedio de producción de los cuatro primero años, supera el promedio del total de años. C) El promedio de producción del segundo, tercer y cuarto año supera al promedio de producción de los últimos tres años. D) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. E) El promedio de producción del primer y tercer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año. Resolución: A) Promedio total: 12 + 9 + 3 + 6 + 9 = 7,8 5 Promedio de los últimos 3 años 3+6+9 < 7,8 Falso 3 B) Promedio de los 4 primeros años: 12 + 9 + 3 + 6 + 9 = 7,5 < 7,8 Falso 4 C) Promedio de 2°, 3° y 4° 9+3+6 = 6 < 7,8 Falso 3 D) Promedio 2° y 4° 9+9 = 9 > 7,8 Verdadero 2 E) Promedio 1° y 3° 12 + 3 = 7,5 < 7,8 Falso 2 Rpta.: El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. RAZONAMIENTO ANALÍTICO MATEMÁTIC A RECREATIVA 07 El gráfico muestra el movimiento de entra- da de extranjeros (ME) y el número de actos delictivos (ND), en el año 2006. UNI 08-I Miles 180 150 120 90 Meses E F M A M J J A S O N D Movimiento de entrada de extranjeros Número de actos delictivos Del análisis de la información brindada, se puede afirmar: I) Con el aumento de actos delictivos disminuye el flujo de entrada de extranjeros. II) Hay temporadas altas de entrada de extranjeros al margen del número de actos delictivos. III) Los actos delictivos aumentan más rápidamente con la entrada de extranjeros. Resolución: 08 Un plan constante de construcción de vi- viendas para 10 años, se inició en enero del 2006. ¿Cuáles de las siguientes figuras representaría el avance de 3 años en los cuales se retrasan la décima parte de lo planificado? % de viviendas construidas D) B) 70 27 COMPARACIÓN CUANTITATIVA En estas preguntas se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tiene que determinar la relación entre ambos y marcar: PUC A) B) C) D) E) E) C) 63 63 10 Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN! Información 1 Si: –5 < x < 5 2 Si: a + 2 = b; a > 0 3 Una pizzería vende pizzas personales de 18 cm de diámetro y pizzas de 24 cm de diámetro y pizzas familiares de 30 cm de diámetro 4 → 5 No hay una relación entre la entrada de extranjeros y los actos delictivos. Sólo II es correcto. Rpta.: Sólo II es correcto A) REFORZANDO Columna A Columna B 4x2 – x + 1 4x2 + 6 2a – 6 3b – 12 La suma de El área de las áreas de tres cuartos media pizza de pizza personal y familiar media pizza grande L, M y N son tres números enteros impares donde: L< M<N 2 + 12 3–1 15 2 L+M+1 M+N–1 SUFICIENCIA DE DATOS 06 Determine el número de alumnos en el salón de clase. Información brindada: UNI 08-II I. El salón de clase tiene 40 carpetas. II. En el salón hay 24 hombres y la cantidad de mujeres es 1/3 del total. Para resolver el problema: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario utilizar ambas informaciones. D) Cada una de las informaciones por separado es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes. 07 Se desea conocer el valor del mayor de dos Resolución: En 3 años debió avanzar 30% se va retrasando 10%, entonces no lo avanzó 90% de 30% = 27%. Rpta.: 27 números. Información UNI 06-I I. La suma y la diferencia de ellos son entre sí como 3 a 1. II. La suma, la diferencia y el producto de ellos son entre sí como 3; 1 y 12 155 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Para resolver la pregunta. A) La información I es suficiente B) La información II es suficiente C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez D) Es suficiente cada una de las informaciones por separado. E) La información brindada es insuficiente. 08 Al cumpleaños de Xiomara asistieron muchas D) Se puede emplear cada una de las informaciones por separado. E) La información brindada es insuficiente. ANÁLISIS DE GRÁFICOS El siguiente gráfico muestra el total de accidentes de tránsito por año para el periodo comprendido entre 1995 hasta 1999. No de accidentes de tránsito (en miles) personas. Se desea saber el número de mujeres que asistió a la fiesta. Información. UNI 05-I 3,9 I. En determinado momento no bailaban 28 hombres ni tampoco 19 mujeres. II. En total asistieron 67 personas. Para resolver la pregunta. A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separada, es suficiente E) La información brindada es insuficiente. 09 De los polinomios P y O se sabe que el grado de P es mayor que el grado de O. Además, se tiene la siguiente información: UNI 08-I Información I: (PQ)3/(P–Q) es de grado 9 Información II: [(P+Q)/Q]2 es de grado 4 Para hallar el grado de P. A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Cada información por separado es suficiente. D) Son necesarias ambas informaciones. E) Las dos informaciones son insuficientes. 3,5 4,7 3,7 1,2 95 96 97 98 99 11 ¿En qué porcentaje aumentó entre el año 95 y el 99? A) 322% D) 200% B) 292% E) 192% C) 92% 12 Respecto al gráfico anterior, ¿cuál ha sido aproximadamente, el incremento porcentual de accidentes de tránsito en el último año con respecto al primero? PUC 08-II A) 92% D) 300% B) 192% E) 302% C) 292% 13 El siguiente gráfico muestra las importaciones y las exportaciones de un país, en los años 1997, 1998 y 1999. Exportación 10 El gas de Camisea se transporta a través de un Importación ducto, de sección circular, cuya longitud es 40 km. Se desea conocer el valor del flujo de masas. Información I. El ducto posee un diámetro de 18 pulgadas. II. El caudal es de 1,8 m3/s Para resolver la pregunta: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. 156 Año 1997 1998 1999 De acuerdo al gráfico se afirma: 1. El total de las importaciones para los 3 años considerados es el mismo que el total de las exportaciones para esos mismos 3 años. RAZONAMIENTO ANALÍTICO 2. Hay una tendencia creciente del valor de las importaciones en los 3 años considerados. Son verdaderas: A) Sólo 1 D) Sólo 1 y 2 B) Sólo 2 E) Sólo 1 y 3 C) Sólo 3 14 El gráfico indica el número de secuestrados por país en 1995 y 1996. PUC 09-I Número de secuestrados 400 360 90 60 90 40 40 25 M om bi a éx ico 1 Información Columna A Columna B 2 Información Br as Gu at em il ala Fil ip Columna A Columna B 3 Información in as Si A y B conjuntos finitos n(A ∪ B) = 18 n(A ∩ B) = 6 n(A) n(B) Si L1 // L2 L1 35o y x 40o L2 x y Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, siendo C punto medio de BD y además. 3 AB = BC 4 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? Columna A AB AC I. En Brasil el número de secuestrados aumentó en 12,5% Columna B BC AD II. En los cinco países, en 1995, se tuvo un total de 630 secuestrados. SUFICIENCIA DE DATOS III. En los países el número de secuestrados aumentó en 150 de 1995 a 1996 04 Se requiere determinar el número de asisten- A) Sólo I y II D) Sólo I 15 COMPARACIÓN CUANTITATIVA copiar el enunciado. 1995 1996 160 145 Co l TAREA B) Sólo I y III E) Todas Número de ingresantes 1000 C) Sólo II y III tes a una reunión de padres de familia. UNI 06-II Información brindada: I. 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede en 10 al número de hombres. 1000 Para resolver el problema: 500 400 400 Universidades P Q R S T ¿Cuál es la universidad de mayor y la de menor porcentaje de ingresantes? A) P y Q B) R y T C) P y S D) P y R E) S y T A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones, por separada, es suficiente. E) La información brindada es insuficiente. 05 Determine si: [(2a + 1)b + bc] es par o impar considerando la siguiente información: UNI 04-II 157 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. E) La información no es suficiente. 06 Determina el valor de “n” si se sabe que “n” es un número de una cifra. UNI 07-I Información: I. n3, es un número de una cifra. II. (n – 1)2 ≤ 9 08 El gráfico de barras muestra las notas obteni- das y sus frecuencias por un grupo de alumnos. Indique qué porcentaje de los alumnos obtuvo una nota entre 9 y 10. UNI 09-I 400 30% 300 Frecuencia I. a , b y c son números naturales, además b y c son impares. II. a, b, c son números naturales, además b es mayor que c. 25% 20% 200 100 15% 10% 5% Para resolver: ANÁLISIS DE GRÁFICOS 07 La Facultad de Economía de una Universidad está realizando un estudio sobre los cursos desaprobados por sus estudiantes. Los datos obtenidos de 50 estudiantes que desaprobaron al menos un curso se muestran en la figura: UNI 09-I Alumnos 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Calificaciones A) 10,00% D) 18,18% B) 15,36% E) 23,07 es correcta, considerando la información del cuadro de barras adjunto. Cantidad de personas que prefieren usar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo. Setiembre del 2007. UNI 08-I Divorciado/a Viudo/a 0 1 2 3 4 Cursos 5 desaprobados Se sabe que la cantidad de alumnos que desaprobó 2 cursos supera en 4 a los alumnos que desaprobaron 3 cursos; y que la cantidad de alumnos que desaprobó 4 cursos es el doble de los alumnos que desaprobaron 5 cursos. Calcule la cantidad de alumnos que desaprobaron 2 cursos, de los 50 considerados. UNI 09-I A) 6 158 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 431 210 Casado/a Soltero/a 2 C) 16,66% 09 Indique cuál de las siguientes afirmaciones Estado civil A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario utilizar ambas afirmaciones. D) Cada información por separado es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes. 132 318 633 364 200 400 Mujeres Varones 142 521 600 800 1000 I) Hay más hombres que mujeres que prefieren usar café instantáneo. II) El 28,36% de las personas que prefieren usar café son casadas. III) Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren usar café instantáneo IV) El porcentaje de mujeres solteras que prefiere usar café instantáneo es mayor al porcentaje de viudas. A) I, II D) II, IV B) II, III E) III, IV C) I, III RAZONAMIENTO ANALÍTICO 10 Resultado de la calibración de los manómetros 1; 2 y 3 y porcentaje de error 16 12 8 4 40 60 1 2 3 80 100 120 140 presión (bar) La gráfica muestra el resultado de la calibración de los manómetros 1; 2 y 3 Indique la alternativa correcta. A) Para medir 100 bar es recomendable emplear el manómetro 2 y no el 3. B) El manómetro 1 es recomendable emplearlo para medir presiones comprendidas entre 0 y 40 bar, pero no para medir presiones entre 100 y 120 bar. C) El manómetro 3 es recomendable emplearlo para medir presiones de 80 bar y 120 bar. D) Los tres manómetros no son recomendables para medir 80 bar. E) El manómetro de mayor porcentaje de error para medir 140 bar es el 2. SEMINARIO COMPARACIÓN CUANTITATIVA A continuación se produce en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas: PUC-08 I A) B) C) D) E) La cantidad en A es mayor que en B. La cantidad en B es mayor que en A. La cantidad en A es igual a B. No se puede determinar. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN! Información 1 2 3 4 5 1<x xy = 1 y–x=0 x 0 1 0<y<1 –1<b<1 06 ¿Cuál es el valor del menor de tres números naturales a, b, c? Información brindada. PUC 08-I I. La Suma del menor y el mayor es 24 y los tres suman 36. II. Son números consecutivos y suman 36. Para responder a la pregunta: A) B) C) D) La información I es suficiente. La información II es suficiente. Es necesario utilizar ambas informaciones. Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes. 07 ¿Cual es el valor de 5m + n = ? UNI 07-I Información: I. 5m+n = 1 II. 5m = 10 Para resolver este problema se requiere utilizar: A) I solamente. B) II solamente C) I y II conjuntamente D) I y II cada una por separado E) Información adicional 08 Juan vendió dos computadoras, cada una en $/. 800 se desea saber si Juan perdió o ganó en el negocio. Información: UNI 05-I I. En la primera computadora ganó el 25%. II. En la segunda computadora perdió el 25%. Para resolver el problema: Columna A Columna B 1 1 1 x x 1+ 2 + 2 x x+1 x–1 y 1 1 1 x 4(2x + y) (b – 1)2 2(4x + 4) b2 A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. E) La información brindada es insuficiente. 09 Se requiere determinar el volumen de un cilindro recto: UNI 06-I Información: I. Se conoce el perímetro de la base y la relación entre la altura y el radio. 159 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II. Se conoce el área lateral del cilindro y el radio de la base. Para resolver el problema: A) La información I es suficiente B) La información II es suficiente C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Es suficiente cada una de las informaciones por separado. E) La información brindada es insuficiente. 10 En una tubería de 25 mm de diámetro de interior fluye agua, de manera que la tubería se encuentra completamente llena. UNI 05-I 12 El gráfico muestra la evolución de la Matrícula en el Sistema Universitario del Perú, del año 2001 al 2004. UNI 09-I 300 250 200 150 100 50 año 2001 2002 2003 2004 Información: Determine el porcentaje que representa la cantidad de matriculados en las universidades privadas en los 4 años respecto al total de matriculados en el Sistema Universitario Nacional. I. Se conoce el área de la sección transversal de la tubería. A) 40,00 % D) 52,38% Se desea determinar el caudal que circula por la tubería. II. La velocidad del agua dentro de la tubería. Para resolver el problema: A) La información I es suficiente B) La información II es suficiente C) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. D) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente E) La información brindada es insuficiente. 11 El gráfico adjunto muestra cómo comparten el mercado de computadoras las empresas A, B, C y D. Si la empresa A se retira del mercado la empresa B desea mantener la misma proporción del mercado comparado con C y D antes que se retire A. Determine qué porcentaje del mercado total debe tener B para cumplir con su deseo. 35 Miles de dólares 80 56 45 años 2005 2006 2007 Año 2007 PCs Otros 173º 100º Eq. sonido Indique las afirmaciones que son verdaderas. 25 10 B C D A A) 36,10 D) 40,01 C) 50,00% tienda de artefactos eléctricos. UNI 09-I TVs 30 B) 42,10% E) 53,00% 13 Los gráficos muestran las ventanas de una %MERCADO 160 Univ. Públicas Univ. Privadas miles de matriculados B) 38,88 E) 41,31 C) 39,12 I. Las ventas se han incrementado en más del 70% del 2005 al 2007 II. En el 2007, la venta en equipos de sonido es de 20 mil dólares. III. Las ventas en otros artículos, para el 2007 fue menos de 10 000 dólares A) I D) I y III B) II E) Todas C) I y II RAZONAMIENTO ANALÍTICO 14 Un alumno universitario reparte (porcentualmente) su tiempo diario, tanto en invierno como en verano, en las siguientes actividades: asistir a clase (A), estudiar (B), tomar sus alimentos (C); dormir (D) y recrearse (E). Según el gráfico que sigue: PUC 09-I 15 Pedro a inicios del año 2007, compró 10 000 % del día dólares y 10 000 Euros. Al término del IV trimestre del 2007, cambia nuevamente sus ahorros a soles, ¿Qué porcentaje de su capital inicial en soles, perdió durante el año 2007, si el comportamiento del tipo de cambio en las monedas mencionadas es el mostrado en las figuras adjuntas? UNI 08-II invierno 40 35 30 25 20 15 10 5 soles/dolar 3,5 verano 3,0 2,8 actividad A B C D I E De las afirmaciones: I. En invierno estudia 3,6 horas menos que en verano. I. En verano duerme 2,4 horas más que en invierno. III. En verano emplea más horas en alimentarse y que en estudiar. Son ciertas: A) Sólo I D) II y III B) Sólo II E) I, II y III II III IV trimestres 2007 dólar/euro 1,6 1,45 1,3 C) I y II I A) 1,87% D) 20, 00% II III B) 9,56% E) 21,70% IV C) 18,75% SUCESIÓN DE FIBONACCI 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 1 1+1=2 2+1=3 1+3+1=5 3+4+1=8 1 + 6 + 5 + 1 = 13 4 + 10 + 6 + 1 = 21 ... 161 Capítulo PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES 23 PERÍMETRO Y REGIÓN Consideremos una cuerda de 50 cm. 50 cm Esta cuerda lo colocamos sobre una mesa uniendo sus extremos en un punto. La unidad de área cabe 15 veces en el rectángulo, por eso su área es 15 cm2. Queda claro que el área del rectángulo es el producto de sus dimensiones. PERÍMETRO Y ÁREA DE REGIONES POLIGONALES Triángulo a Coloreamos la parte de la mesa, limitada por la cuerda. Perímetro Región c h b Perímetro: 2p = a + b + c Semiperímetro: p= La parte coloreada de la mesa y limitada por la cuerda es una región de 50 cm de perímetro. Región.- Es una porción de un plano. Perímetro.- Dada una región, el perímetro es la línea que la limita. La extensión de la región se mide en unidades de superficie (cm2, m2, km2) y la del perímetro, en unidades de longitud. La extensión de una región se denomina área. Consideramos como unidad de área un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud. a+b+ c 2 Área: S= bh 2 Triángulo Equilátero a a h Área S = a Rectángulo a = 1 unidad de área 1 b Si el lado del cuadrado mide 1 cm. Entonces la unidad de área se llama 1 centímetro cuadrado (1 cm2). Cada unidad de longitud tiene su correspondiente unidad de superficie. Supóngase que deseamos determinar el área del rectángulo de dimensiones 5 cm y 3 cm. 3 cm Perímetro: 2p = 2a + 2b Semiperímetro: p=a+b Área: S = ab Cuadrado a 5 cm 162 D a 3 4 PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONES POLIGONALES Rombo Perímetro: 2p = 4a D Área: S=a 2 d D=a 2 Área: Trapecio S= b Dd 2 h B Área: S= (B + h)h 2 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Dos cuadrados, el menor de lado L = 6 se sitúan como se indica en la figura. De modo que el centro del menor es el vértice del mayor. ¿Cuál es el área de la región común? UNA-82 I L Resolución: B M C N Área = 1(S) = S 6 6 A D Rpta.: L 03 Dado el cuadrado de la figura, sabiendo Resolución: que EF//BC y CF = AD/4, determine la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada. SM-05 I B C E F 6 6 Área = 62 ÷ 4 ⇒ Área = 9 Rpta.: 9 02 En la figura, el área de la región rectangular ABCD es S. Halle el área de la región sombreada. B M C N A S 6 D A D Resolución: B E 3K 3K A C K F 3K 3K D 163 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (4K)2 + (3K)(K) = 11K2 2 A. sombreada = A= A. blanco = (4K)2 – 11K2 = 5K2 ab 2 QTR: QT2 = QR · QH A. sombreada 11K2 11 = = 5 5K2 A. blanco 62 = ba ⇒ ab = 36 Rpta.: 11 5 ∴A= 36 = 18 cm2 2 Rpta.: 18 cm2 04 En la figura, G es baricentro, M punto medio de AB, AD = 2 cm y DB =10 cm. Si el área de la región sombreada es 14 cm2, halle el área de la región triangular ABC. 06 Hallar el área de la región sombreada en la siguiente figura: UNFV-03 B B 10 m C 10 M 2 A N D G A C Resolución: Resolución: B C B 6 M 4 K D K 2 K A D S 3K 3K 3K G 10 N A 3K 3K D 1 S = (10)2 = 20 5 C 2K = 14 ⇒ K = 7 SABC = 18K = 18 (7) = 126 cm2 Rpta.: 126 cm2 05 En la figura, PQRS es un cuadrado y QT = 6 cm. Halle el área A. UNMSM 08-II P Q R b b S 164 b A vértices no consecutivos como se muestra en la figura. Hallar la medida del área del triángulo que se forma. UNFV-01 Resolución: Resolución: P 07 En el cubo de 2 m de lado se unen tres de sus T A S Rpta.: 20 Q a 6 H R Se forma un triángulo equilátero de 2 2m de lado T Área = L2 3 (2 2)2 3 = =2 3 4 4 Rpta.: 2 3 PERÍMETROS Y ÁREA S DEMATEMÁTIC REGIONES APOLIGONALES RECREATIVA 08 En el rectángulo ABCD, BC = 2a cm. Calcular el área de la región sombreada. B C 30o A 02 En la figura, AEDC es un cuadrado y el área de la región sombreada es el doble del área del BC triángulo ABE. Hallar . UNMSM-08 II AC E D D Resolución: a/2 B A P a H a 3 a 230o m n a/2 30o C N 1 2 S= a 3 a 3 a 3 + = (m + n) 4 4 4 S= a2 3 4 C) 2 3 D) 1 4 E) 2 5 B D a BQC: BC = 2a ⇒ BQ = a ⇒ BP = = HC 2 a2 3 PQ = MN = 3 PQ · m MN · n + 2 2 1 3 la región triangular ABC es el área de la región sombreada? UNMSM 07-II M S= B) C 03 En la figura, BN = 2 NC. ¿Qué parte del área de Q A A) B N A A) 4 7 B) M 2 3 C) C 3 4 D) 3 5 E) 2 5 04 En la figura, M y N son puntos medios de BC Rpta.: a2 3 4 y DC respectivamente. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? UNMSM 08-II B M C N REFORZANDO A 01 En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm. Si D, C, y F son puntos colineales tales que DC y CF son congruentes, entonces el área sombreada mide. UNA 05-I D C F E A A) 32 cm2 D) 64 cm2 A) 5 21 B) 7 10 D C) 7 20 D) 7 15 E) 9 20 05 En la figura, ABCD es un rectángulo cuyo pe- rímetro es 106 cm. Si el largo excede en 6 cm al ancho y AP es bisectriz del ángulo A. ¿En cuánto excede el largo al ancho en el rectángulo PCDQ? UNAC-05 II B P C B B) 48 cm2 E) 72 cm2 2 C) 58 cm2 3 A A) 35 2 B) 41 2 Q C) 45 2 D D) 51 2 E) 59 2 165 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 La región A es un cuadrado de 4 cm2 de área. Hallar el área de la región B. UNA-07 2 cm 10 En la figura, ABCD es un cuadrado y el trián- gulo BEC es rectángulo recto en E. Si BE y EC miden 6 cm y 8 cm respectivamente, calcular el área de la región sombreada. UNMSM 08-I E B 2 cm A 5 cm B) 4 cm2 E) 10 cm2 A) 2 cm2 D) 8 cm2 A) 64 cm2 D) 76 cm2 ABCD es un cuadrado, DG = 15 m y CG = 3 m. UNA-08 E A) 28 C) 27 B) 50 cm2 E) 74 cm2 a D B) 18 D C) 54 cm2 “C ” son equivalentes. Calcular la relación entre el segmento ”ä” y “b”. PUC-04 II G A A 11 En el cuadrado mostrado las regiones “A”, “B” y C F C C) 6 cm2 07 Hallar el área en m2 de la región sombreada, si B B D) 25 A E) 30 B b 08 En la figura, el área del triángulo equilátero ABC es 3/4u2. El área de la región sombreada es: UNAC 04-I A) 1 A B) 2 C) 3 2 C D) 4 3 E) 1 2 12 En la figura, M es punto medio de AB. Si el área del paralelogramo ABCD es 360 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada? UNMSM 07-II B B C A) 3 2 u 21 B) 3 2 u 16 D) 3 2 u 64 E) 3 2 u 8 C) 3 2 u 28 M A A) 30 cm2 D) 24 cm2 09 Hallar el área PQRS: FV-00 Q b/2 R b/2 S A) ab D) 166 ab 8 ab 2 ab E) 3 B) D B) 10 cm2 E) 60 cm2 C) 18 cm2 13 Partiendo de un cuadrado C1 cuyo lado mide a P C C) ab 4 “a” metros, considerando los cuadrados C2, C3, C4, tales que los vértices de cada cuadrado sean los puntos medios de los lados del cuadrado anterior. Calcule la suma de las áreas de los cuadrados C1, C2, C3, C4. UNAC 07-I A) a2 D) 2a2 B) 4a2 15a2 E) 8 C) 6a2 PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONES POLIGONALES 14 Se recorta un cuadrado en tres rectángulos a lo largo de dos segmentos paralelos a cada uno de los lados, tal como se muestra en la figura. Si el perímetro de cada uno de los tres rectángulos es 24, entonces el área del cuadrado original es. UNI 07-I 03 En la figura, AB = 5 cm, BC= 4 cm y el ángulo DAC mide 45° Calcule el área de la región sombreada. UNMSM-08 II D C B A A) 24 B) 36 C) 64 D) 81 E) 96 15 La figura ABCDEFGH es un cubo con aristas de longitud “a” metros. El punto M está en la arista AE y AM = 3 ME. Calcule el área del triángulo BCM en m2. UNAC 07-II H A) 105 cm2 D) 77,5 cm2 B) 87.5 cm2 E) 102,5 cm2 C) 75 cm2 04 En la figura los rectángulos sombreados son iguales y de perímetro 20 u, calcular el área de la región cuadrángular ABCD. PUC 03-I G B C A D F E M D C A A) 3a2 5 B) B 3a2 10 C) 3a2 4 D) 5a2 8 E) 5a2 6 A) 400 B) 100 C) 64 D) 144 E) 121 05 En la figura, el área de la región rectangular ABCD es 32 cm2, halle el área de la región sombreada. UNAC-07 I TAREA B C 01 ¿Qué áreas sombreadas son iguales? UNA 90-A N A A A) A y B D) B y D B C D B) B y C E) C y D C) A y D 02 En la figura, ABCD es un romboide. ¿Qué porcentaje del área no sombreada, representa el área sombreada (aproximadamente)? UNAC-06 I B M B) 4 cm2 E) 7 cm2 A) 8 cm2 D) 5 cm2 perímetro del triángulo ABC. UNAC-05 II B C A) 30,3% D) 25,3% D B) 50,3% E) 20,3% C) 33,3% C) 6 cm2 06 En la figura, BH = 4 cm y 3AC = 5BC. Halle el 4 A A D A) 20 cm D) 24 cm H B) 18 cm E) 25 cm C C) 22 cm 167 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Hallar, el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 10 cm y EB es tangente a la semicircunferencia en el punto F. UNSAAC A B SEMINARIO 01 Hallar el semiperímetro del cuadrado ABCD, si M es punto medio del lado CD y AM = 10 UNA-04 I B E F M D A) 20 + 5 2 D) 28 A C B) 10+15 2 E) 20 – 5 2 C) 30 08 En la figura los tres cuadrados son iguales, el perímetro de cada uno es 28 cm y el triángulo ABG es equilátero. Calcule el perímetro de la figura ABCDEFGA. UNFV-05 B C D A G A) 77 B) 67 D) 76 E) 68 cm y C = 18 cm, Si M y N son puntos medios de BC y CD respectivamente, calcular el área de la región sombreada. UNMSM 08-II B M C 10 D C) 45 cm2 ABCD es el área de la región sombreada? UNMSM 07-II B C A) 168 1 16 C) 1 13 D 1 D) 12 5 A) 19 m D) 33 m B) 32 m E) 35 m E) 1 9 C) 28 m 03 En la figura, ¿qué parte del área del paralelo- gramo ABCD es el área de la región sombreada? UNMSM 07-I B E A 10 En la figura, ¿qué parte del área del cuadrado A 1 B) 14 C) 4 2 indica en la siguiente figura. ¿Cuál es el perímetro de la finca? UNFV-05 N B) 36 cm2 E) 32 cm2 B) 10 2 E) 12 2 02 Una finca cuya dimensiones (en metros) se E F C)70 A) 8 2 D) 16 2 D 4 09 En la figura ABCD es un rectángulo, AB =12 A A) 30 cm2 D) 25 cm2 C A) 1 3 C D B) 2 3 C) 1 4 D) 2 5 E) 3 5 04 En el gráfico, halle el área de la región som- breada si M y N son puntos medios, AB = 5 m y AD = 10 m. UNFV-05 B C M A N A) 35 m2 D) 25 m2 B) 30 m2 E) 40 m2 D C) 20 m2 PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONES POLIGONALES 05 El cubo de la figura tiene 27 cm3 de volumen. Una hormiga camina desde el punto A hasta el punto B siguiendo la ruta que se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros recorrió la hormiga?UNFV-07 09 En la figura ABC es un triángulo equilátero y los triángulos rectángulos son congruentes. Si AB = 10 cm. Halle el área de la región sombreada. UNAC 06-I B A B A) 9 D) 15 A B) 10 C) 12 E) No se puede determinar 06 El perímetro del cuadrado C es 21m. el cuadrado B tiene 3 m más de perímetro que el cuadrado A. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado A, expresado en metros? UNFV-07 A) 5 3 cm2 D) 10 3 cm2 B B) 8 3 cm2 E) 9 3 cm2 vértices no consecutivos de un hexaedro regular es 2 3 m2. La longitud de la arista es: UNAC 07-II B) 5 m C) 7 m C) 10 D) 9 E) 3 a 07 De la figura dada a continuación se tiene que: A AB = 4 m; EC = 6 m. AE = 7 y ED = 5 m Entonces el área de la región sombreada es: UNFV-07 C A) 25 m2 D) 27 m2 a E B) 9 m 6m 8 C) 7 m C D) 10 m E) 4 m 12 Si la longitud de la diagonal de un cuadrado B A A) 2(a + b)2 D) 2(a+b) E B) 24 m2 E) 28 m2 D C) 26 m2 hexágono regular de perímetro P, se obtiene otro hexágono regular de perímetro Q. El valor Q de es: UNAC 08-I P 2 3 1 A) B) C) 1 3 2 3 2 A) 8 m 2m F es (a + b), halle el perímetro de un segundo cuadrado cuya área es doble del perímetro. UNAC-06 I 08 Uniendo los puntos medios de los lados de un D) E) 3 m del triángulo EFC y el área del cuadrilátero ABFE son equivalentes. UNFV-03 B B) 12 D) 4 m 11 En la siguiente figura cuánto vale, AE si el área C A) 15 C) 12 3 cm2 10 El área del triángulo que se forma al unir tres A) 2 m A C E) 3 B) 8(a + b)2 E) 4(a+b) C) (a+b)2 13 La figura representa un rectángulo subdividi- do en cuatro rectángulos de áreas A3, A2, A1, y A0. Halle A0 en función de las otras áreas. UNAC 07-I A3 A2 A0 A1 A2 × A3 A1 A × A3 E) 1 A2 A) A1 × A2 × A3 B) D) A1 × A2 A3 C) A1 × A3 169 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 14 En la figura ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide L cm. Si P y Q son puntos medios de BC y CD, respectivamente, hallar el área de la región poligonal MDCNT. UNMSM 09-II P B región sombreada mide 18 cm2. Halle el área de la región cuadrangular ABCD. UNAC-07 II B A T Q A) 64 cm2 D) 56 cm2 M A D B) 72 cm2 E) 48 cm2 C) 84 cm2 D A) L2 2 cm 5 B) L2 cm2 20 D) L2 2 10 E) 2L2 20 C) L2 cm2 10 A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales). 170 C C N O 15 La figura ABCD es un romboide y el área de la Leonard Euler Capítulo PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES CÍRCULO 24 SECTOR CIRCULAR Perímetro: r Longitud de la circunferencia ao r Área: S= r a · p · r2 360o Casos particulares P = 2pr r Área: r S = pr2 S= r r pr2 2 S= pr2 4 60o S= pr2 6 RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si el radio OA de la circunferencia que apa- rece en el dibujo mide p unidades, el área de la región sombreada es: A 02 En la figura adjunta ABCD es un cuadrado de 1 cm de lado. Determinar el área de la región sombreada en cm2. A B D C O Resolución: p 2 p p 3 3 A = pp2 – (p 2)2 = pp2 – p2 4 2 3 A = p2 p – u2 2 3 Rpta.: p2 p – u2 2 Resolución: 1 171 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Son 2 círculos de radio 12 p A = 2p = 4 16 p A= 8 1 4 05 En la figura, calcular el perímetro de la re- Rpta.: p 8 gión sombreada si A es punto de tangencia y O es centro de la circunferencia mayor. PUC-03 A r=a 03 Calcular el área de la región sombreada, siendo ABCD un cuadrado y AB = 6. PUC 03-I B C R=b O Resolución: A A D Resolución: A1 = 6 p62 62 – 4 2 b pb b ; pero b = 2a ⇒ a = 2 2 pb b ⇒ p = pb + b P=p +b+ 2 2 Rpta.: pb + b P = pa + b + 3 3 pb 2 pa A1 = A1 + A2 = p32 32 – 4 2 45p 45 – = 45(p – 2)/4 4 2 Rpta.: 45(p – 2)/4 06 En el siguiente gráfico, calcule el área de la región sombreada: UNMSM 06-I 04 En la figura, los cinco círculos interiores son congruentes, calcular la relación entre el área sombreada y el área del círculo mayor. PUC 04-I a –a o a 3a –a Resolución: Resolución: 2r a 2a a 2a 2r 2r a 2a Círculo mayor: p(3r)2 = 9pr2 Parte blanca: 5pr2 Parte sombreada: 4pr2 Relación: 4/9 172 S= + S= Rpta.: 4/9 (4a + 2a)a p(2a)2 + 2 2 S = 3a2 + 2pa2 ⇒ S = a2(3 + 2p) Rpta.: a2(3 + 2p) PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONESA CIRCUL ARES MATEMÁTIC RECREATIVA 07 Las tres circunferencias de la figura tienen radio R = 6 cm. Hallar el área de la zona sombreada. UNMSM 05-I REFORZANDO 01 Determine el perímetro de la región sombrea- da, si el lado del cuadrado ABCD es 10 cm. UNI 05-II R R B C A D R Resolución: R 2 R 3 2 R 3 2 R 2 60o 60o R R A) 20 cm C) 45 cm E) (16p + 10 2) cm B) 20p cm D) (20p + 20 2) cm 02 En el cuadrado ABCD, el área de la región sombreada es: UNAC-04 I + S=2 2 08 En la figura, haciendo centro en C se ha trazado el arco AD. Si AB es diámetro del semicírculo, AB = BC = 2 cm y CD = DE, calcular el perímetro de la región sombreada. UNMSM 08-II D 8u D R pR pR 1 S=2 – R 3· + 2 2 3 3 3 2pR2 R2 3 pR2 S= – + = R2 p – 2 2 3 3 R = 6 ⇒ S = 3(2p – 3) Rpta.: 3(2p – 3) 2 C 8u A A) 36 u2 D) 24 u2 B B) 12 u2 E) 8 u2 C) 16 u2 03 El área de la región sombreada es: UNE-82 B E –1 C B A Resolución: 4 4 2p(4) = 2p 4 4 60o p–1 2 2p – 1 D) 8 A) 04 Determinar el perímetro de la región som- breada de la figura adjunta, sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado 8 cm; P y Q son centros de los semicírculos, M y N puntos medios de los lados CD y DA respectivamente. UNSAAC-07 I 30o 2 2 2p(1) =p 2 P = 2(4) + 2 + p + 2p = 10 + 3p p–1 p–2 C) 4 4 p2 E) 4 B) Rpta.: 10 + 3p 173 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO N P D B P A Q C M A Q C A) 12pcm D) 9pcm B) 14pcm E) 12pcm A) (32 – 6p) cm2 C) (9p – 23) cm2 E) (32 – 9p) cm2 C) 8pcm 05 En la figura AB = CD = 2 m ambas rectas son tros perpendiculares, tomando como diámetro los radios se construyen cuatro círculos. El área de la región sombreada es: UNMSM-97 B O O1 C A) p m2 D) (4 – p) m2 D B) (p – 2)m2 E) Faltan datos C) 2 m2 06 En la figura ABCD es un cuadrado, PQ, QN,MN y PM son arcos de circunferencia (B, O y D son centros). Halle el área de la región sombreada, en m2, si el lado del cuadrado mide l metros. UNAC-05 II l Q C P O N l A M D B A) D) l 22 l2 2 2 B) (26 – 6p) cm2 D) (12p – 32) cm2 08 En el círculo de radio 1 m se trazan dos diáme- tangentes a “O” y “O1” y ambas circunferencias tienen el mismo radio. Hallar el área de la región sombreada en metros cuadrados. PUC-98 A D O B) E) l 33 l2 2 A) (p – 3) m2 B) (2p – 5) m2 D) (2p – 7) m2 E) (p – 2)m2 09 En la figura adjuntas; AC es el diámetro del círculo. Cuando BD =12m y BC = 1/3 BD, el área del círculo es: UNMSM-87 D A A) 420mp2 D) 410mp2 C B B) 380mp2 E) 400mp2 C) 360mp2 10 En la figura, el perímetro del triángulo PQM l C) 4 2 3 es 14 m. Los puntos A y B son de tangencia y el segmento PM es tangente a la circunferencia. Calcular el área del círculo sombreado. UNMSM 05-I AP 07 En la figura P, Q y O son centros de los semicír- Q M B culos. Si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24 cm, el área de la región sombreada será de: UNMSM-98 A) 50pm2 D) 49pm2 174 C) 2pm2 B) 36pm2 E) 56pm2 C) 64pm2 PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONES CIRCUL ARES B 11 Si en la figura, la esfera de 20 cm de diámetro pasa de una posición a la otra dando dos vueltas completas, y el punto se halla en la mitad del radio, la distancia recorrida por este punto es: UNMSM-80 O B O A O B A) 20pcm D) 60pcm B) 50pcm E) 80pcm A) 3pcm2 D) 6pcm2 C) 40pcm B) 12pcm2 E) 15pcm2 C) 9pcm2 TAREA 12 El cuadrado ABCD de la figura tiene área x cm y el triángulo AED es equilátero. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en el triángulo en términos de x? UNMSM-87 C 2 B 01 Halle el área sombreada en m2. UNFV 08-I 10 m C E 10 m A A) xp/12 cm2 C) 3xp/16 cm2 E) xp/6 cm2 10 m 10 m D B) xp/18 cm2 D) x2p/12 cm2 13 Si el lado del cuadrado ABCD en la figura mide B) 25 E) 20 C) 10 + 5p 02 En la figura, AOB y COD son sectores circulares. Si el área del sector circular COD es 9 cm2 y la longitud del arco AB es 10 cm, halle el área de la región sombreada. UNMSM-08 II a metros, el área de la región sombreada es: B A C 3 cm A A) 30 D) 3p + 25 O D A) a(p + 2)/16 C) a2(p + 2) E) a2(p + 2)/16 C B) a (p + 4)/16 D) a(p + 2) pavimentar una región cuadrangular interior de lado 8 u. Calcular el área de la región no pavimentada. PUC-03 II B) 32(p + 1) u2 D) 32(p – 2) u2 C) 15 cm2 metros, las curvas son arcos de circunferencias de radio a/2 con centro en los puntos A, B y en el centro C del cuadrado. El área de la región sombreada en metros cuadrados, es: UNFV-03 B a/2 C 15 En la figura, ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 cm y O es centro del círculo inscrito y circunscrito al triángulo ABC. Hallar el área de la región sombreada. UNMSM-08 II B 03 La siguiente figura es un cuadrado de lado a 14 Se tiene un parque de forma circular y se desea A) 16(p – 2) u2 C) 16(p – 2) u2 E) 24(p – 1) u2 B) 16 cm2 E) 21 cm2 A) 18 cm2 D) 20 cm2 2 D a A A) a2/3 B) a2 C) a2/2 D) a2/4 E) 2a2 175 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 En la circunferencia mostrada se inscribe un cuadrado de lado 2 cm. Si ”O” es centro y OH es perpendicular a CD, calcular el área de la región sombreada. PUC 04-II B Q H A C A D 1 B) (p – 2) 3 1 E) (p – 2) 4 2 C) (p – 2) 3 05 Determine el área del cuadrado, si en la figura adjunta el área del círculo es 25p cm2. UNFV-07 B P A) (2p – 3)cm 2 C) (p + 2)cm2 E) (p – 2) cm2 B) 2(p – 2)cm2 D) 2(p + 2) cm2 09 En la figura, haciendo centro en A y B se han trazado los arcos de circunferencias BC y AT respectivamente. Si AB = AC = 2 2cm, halle el perímetro de la región sombreada. UNMSM 08-II 2r r A) 5 cm2 D) 50 cm2 congruentes. Si AP = PB = 2 cm y P es punto de tangencia, calcule el área de la región sombreada. UNMSM 08-II C O 1 A) (p – 2) 2 1 D) (p – 1) 2 08 En la figura P y Q son centros de los círculos B B) 25 cm2 E) 10 cm2 T C) 100 cm2 06 En la figura AB y AD son diámetros de círculos; C y D son centros de arcos de circunferencias ¿qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? UNMSM 08-I B C A C 2 (5p + 12)cm 3 2 C) (5p + 10)cm 6 2 E) (5p + 12)cm 6 A) B) 2 2(p + 6)cm D) 2(2p + 3)cm 10 Un círculo se inscribe en un triángulo recA A) 1 4 B) 1 3 tángulo. Calcule la relación entre el radio del círculo y la hipotenusa, sabiendo que el área del círculo es al área del triángulo como 2π es a 15. UNMSM 06-I D C) 1 2 D) 2 3 E) 3 5 07 Pedro desea saber el perímetro de su terreno, pero sólo cuenta con un aro de 40 cm de diámetro con el cual obtiene, de largo 15 vueltas y de ancho 10 vueltas. El perímetro es: UNE 03-II A) 400p D) 1 200p 176 B) 600p E) 2 000p C) 1 000p A) 1 2 B) 2 13 C) 2 5 D) 2 3 E) 8 7 PERÍMETROS Y ÁREA S DE REGIONES CIRCUL ARES 05 En un semicírculo de radio r se inscribe un rectán- SEMINARIO 01 Calcular el área sombreada de la figura donde el cuadrado está inscrito en el círculo de radio r. UNMSM-05 I gulo de manera que su base está contenida en el diámetro y su longitud es igual a la del radio. Determine, en términos de r, el área de la región del semicírculo exterior al rectángulo. UNE-01 II 2 2 A) r (2p – 3) B) r (p – 3) 2 2 2 2 r r D) (2p – 2) E) (2p – 3) 2 4 C) r (2p – 2) 2 2 06 En la siguiente figura, cada lado del cuadrado A) 2r2(p – 2) D) r2p C) r2 p – 2 2 B) r(p – 2) E) r2(p – 2) mide 1 cm. Entonces el área de la región sombreada es: UNE 04-I A D 02 Halle el área sombreada, si AB = 3BC y AC = 16 siendo “O” el centro de la semicircunferencia. UNFV-02 A A) 48p D) 32p O B A) 2 cm2 3 D) 2 cm2 5 C B) 1 cm2 2 1 E) cm2 5 C) 1 cm2 4 07 El cuadrado ABCD tiene lado L. El arco AD es C B) 18p E) 22p B C) 12p 03 Se tienen tres circunferencias iguales y tangen- una semicircunferencia y el arco AC es la cuarta parte de una circunferencia de radio AD. El área de la región sombreada es: UNMSM 04-II A B tes exteriormente de 2 cm2 de área c/u. Hallar el área exterior al triángulo ABC, siendo A, B y C centros de las circunferencias. PUC-98 B D A A) L (p – 2) 6 2 D) L (p – 2) 16 2 C A) 5p cm2 D) 1,5 cm2 B) 5/3 cm2 E) 4p cm2 C C) L (p – 2) 8 2 B) L2(p – 2) E) L (p – 2) 4 2 08 La figura muestra una correa de transmisión C) 5 cm2 04 Hallar el perímetro de la región sombreada. de dos ruedas cuyos diámetros son 42 cm y 14 cm, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la correa, en cm, si la distancia entre los centros es 28 cm? UNI-79 PUC-08 I O O' 8 A) 6p B) 4p C) 2p D) 3p E) 8p A) 48,5 + 90p B) 48,5 + 88p C) 50 + 90p 3 3 3 88 E) No puede determinarse D) 50 + p 3 177 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 En un campo de forma circular de diámetro 60 metros se poda el césped en forma de dos anillos concéntricos y simétricos al círculo mayor y cada anillo con 6 metros de ancho. Calcular el área no podada. UNMSM 06-II A) 540 m2 D) 560 m2 B) 440 m2 E) 530 m2 13 En la figura, calcular el área de la región som- breada si AD es lado del hexágono regular inscrito, AC es diámetro AB = 16, BC = 12. PUC 04-I B C) 340 m2 el lado del cuadrado igual a 4 cm. A C A 10 En la figura, hallar el área sombreada siendo D B A) 100p – 48 C) 50(p – 3) – 48 E) 50(2p – 3) – 96 B) 6p – 48 D) 100p – 50 3 – 48 14 Hallar la altura del triángulo inscrito en la D A) 4(4 – p) D) 4(p – 4) C C) 8(4 – p) B) 8(p – 4) E) N.A. semicircunferencia, si el área de la región sombreada es 4(p – 2) y el triángulo ABC es isósceles. PUC 03-II B 11 Dadas dos circunferencias tangentes interio- res, el centro de la mayor pertenece a la circunferencia menor. Calcular la relación entre el área del círculo menor y el área del círculo mayor. PUC-04 I A) 1 2 B) 4 C) 1/4 E) 1 3 D) 2 12 Los tres arcos AMB, ANO y OPB son semicir- cunferencias de centros en el segmento de recta AB. Si AB 12 cm y O es punto medio de AB, ¿cuál es la diferencia de las longitudes de los arcos ANOPB y AMB? UNE-01 II A A) 2 B) 2 2 O C) 3 2 C D) 2 E) 4 15 En un triángulo cuyos lados miden 6; 8 y 10 centímetros se inscribe una circunferencia. La longitud de dicha circunferencia es: UNE 01-II A) 2π B) 3π C) 4π D) 5π E) 6π M N O A B P A) 0 B) 2p C) p D) 3p E) 4p Pregúntate si lo que estas haciendo hoy te acerca al lugar en el que quieres estar mañana. Walt Disney 178 MATEMÁTIC A RECREATIVA 179 CLAVE DE RESPUESTAS Cap REFORZANDO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 A C B A B A C B E E 02 C A B B D B C B C C 03 B B B D C C C B C D 04 D E C A E B C C B C 05 A C E B E B A E C B 06 E E D A C B A E D A 07 C D C C B D B A E E 08 A D D B B B E D D E 09 C D B C C D A E D D 10 B D A B B B E D B C 11 B A D C E D A D C D 12 B D B A C C E E B A 13 D B A D B B A B B B 14 D B A D E D A C D A 15 A C C A D B C C A D 16 A A A A C B A A E C 17 C B A E C A E C C B 18 D C D A A D D D D D 19 E E A B D C B C C A 20 C D D E B B D C A E 21 B D C E E B E B E C 22 A C B B E D B B B A 23 B A E D C E C B E B 24 D A B E E C A E D D
