RAZONES Y PROPORCIONES 1 QUE SUCEDE SI EL GRIFO Y EL DESAGÜE TRABAJAN JUNTOS Y AHORA QUE SUCEDE SI EL GRIFO Y EL DESAGÜE TRABAJAN JUNTOS Razón áurea RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN:Es la comparación de dos cantidades y puede ser: RAZÓN ARITMÉTICA Ejemplo: Sea la edad de Antonio 12 años y la edad de Beto 3 años. La razón aritmética de sus edades es 9 años. RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN GEOMÉTRICA Resultado de la comparación, por cociente. Ejemplo: Si S/ 12 es el precio de un lapicero y S/ 3 es el precio de un borrador, la razón de los precios es: 12 = 4 es la razón geométrica. 3 RAZÓN ARMÓNICA Comparación de las inversas multiplicativas de dos cantidades, por medio de la sustracción. Ejemplo: 1 1 1 − = 2 3 6 1 es el valor de la razón armónica de 2 y 3. 6 En cualquiera de los tres casos se tiene: r: Es el valor de la razón (aritmética, geométrica o armónica) de a y b. a : Se denomina antecedente. b : Se denomina consecuente. Aplicación 1: Un mulo le dice a un caballo:” lleva 3 de mis sacos para tener igual carga” y el caballo replica “mejor lleva tu dos de los míos para que tengas el triple de carga que yo” , ¿cuántos sacos llevaba el mulo? (Ex. UNI.) Resolución: Supongamos que lo que lleva de carga cada uno es: Mulo: +2 : 3x5=15 Caballo: - 2 : 1x5=5 2x5=10 Luego, las cargas que llevan son: Mulo: 15-2=13 Respuesta:13 Caballo:5+2=7 PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones del mismo tipo, pueden ser: 1. DISCRETA (términos medios diferentes) Aritmética Armónica Geométrica Cuarta aritmética (diferencial) de a, b y c. Cuarta geométrica (proporcional) de a, b y c. Cuarta armónica de a, b y c. Denominaciones En cualquiera de los tres casos se tiene: ▪ Los términos a y d se denominan extremos. ▪ Los términos b y c se denominan medios. ▪ Los términos a y c son los antecedentes. ▪ Los términos b y d los consecuentes. 2. CONTÍNUA (términos medios iguales) Aritmética Geométrica b Media geométrica b Media aritmética (diferencial) de “a” (proporcional) de “a” y “c”. y “c”. c Tercera diferencial c Tercera proporde “a” y “b”. cional de “a” y “b”. Otras denominaciones En cualquiera de los tres casos se tiene: ▪ a y c se denominan términos extremos. ▪ b término medio. Armónica b Media armónica de “a” y “c”. c Tercera armónica de “a” y “b”. Aplicación 2: Andrés y Renato juegan a las cartas. Inicialmente Andrés tiene S/ 2 200 y Renato S/ 4 400. Después de jugar 20 partidas , la razón entre lo que tiene Andrés y lo que tiene Renato es 3/8, ¿cuántas partidas ganó Renato si em cada partida se gana o se perde S/ 50 ? A) 4 B) 8 C) 12 Resolución: De las condiciones tenemos Andrés : 3x600= 1 800 Renato: 8x600= 4 800 11x600 = 6 600 D)14 E) 16 Aplicación 2: Respuesta: 14 Aplicación 3: a c 2 Dados : = = b d 7 a + c = 22 ad = 420 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 Resolución: De las condiciones podemos establecer: 2t 2m 2 = = 7t 7 m 7 2(t + m) = 22 t + m = 11 2t 7 m = 420 t m = 30 De donde se obtiene que: t =5 y m = 6 Máx (d-a) =32 Respuesta: C Por definición tenemos: a) Media aritmética: (b es la media aritmética de a y c) b) Media geométrica: (b es la media geométrica de a y c) c) Media armónica: (b es la media armónica de a y c) Propiedades del promedio de dos números enteros positivos a y b Aplicación 4: El produto de la MA,MG Y MH de dos números naturales es (2x10)3 y la mayor diferencia de la medias es 9. Calcule la diferencia de los números. A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 Resolución: De las condiciones podemos establecer: MAxMGx MH= (2x10)3 MG3 = (2x10)3 MG=20 Sean a y b los números, luego: axb=400 a=10 y b= 40 MA=16 y MH=25 Finalmente (b-a) =30 Respuesta: B RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor. Pueden ser: “n” razones Discretas: Continuas: “n” razones PROPIEDADES: 1. La suma de antecedentes es a la suma de consecuentes, como cada antecedente es a su respectivo consecuente, es decir, el valor de la razón se mantiene constante. DEMOSTRACIÓN: Sean las razones geométricas: Despejando los antecedentes: Sumando los términos: Entonces: OBSERVACIÓN: Tenemos que en general la primera propiedad se puede escribir: 2. Elevando las razones que intervienen en (1) a la potencia racional positivo p, y aplicando la propiedad (1), se obtiene: 3. Multiplicando todas las razones que intervienen en (1) se obtiene OBSERVACIÓN: Sean la “n” razones geométricas continuas: con lo cual el conjunto de razones geométricas continuas dado se escribe como: 4. Del conjunto de razones: 5. De la expresión (1): Se deducen varias relaciones, tales como: Aplicación 5 RESOLUCIÓN De la condición, se tiene: ( A + B ) A2 + B 2 − AB A +B A +B AB = = =K→ = K → ( A + B ) 13K − 6 K = 70 K 70 13 6 70 Con los valores obtenidos y las condiciones podemos establecer : 3 3 2 2 A + B ) 102 ( ( A + B ) + 2 AB → A + B = 10 =k = = = 4 → AB = 24 → A = 4 B = 6 13 + 2 ( 6 ) 25 25 2 2 2 Aplicación 5 RESOLUCIÓN Como piden calcular la tercera proporcional(x), establecemos la proporción : 4 6 = 6 x Resulta x=9 Respuesta: 9 Aplicación 6 RESOLUCIÓN: m = nr m m+ p n+ p Tenemos : = = = r p = qr n n+q p+q n + p = r (p+ q) Despejando n y m : n=r (rq +q)-rq n=r2q m=r3q Luego reemplazando los valores de m,n,p y q en : Aplicación 6 RESOLUCIÓN : mn + np + pq r 5 q 2 + r 3q 2 + r 4 q 2 r 3q 2 (r 2 + 1 + r ) = = 2 2 2 =r 3 2 p(m+ n + p) rq(r q + r q + r q ) r q (r + r + 1) Respuesta: r RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejercicio N° 1: En una reunión asistieron 88 personas, el número de hombres casados es igual al de mujeres solteras; los hombres solteros son a las mujeres casadas como 3 es a 5, la cantidad de mujeres casadas exceden en 10 a las mujeres solteras. Calcule la razón geométrica de hombres casados a solteros. A)9/8 B)10/9 C)11/10 D) 12/11 E) 13/12 Ejercicio N° 4: Con tres números naturales se escribe una proporción geométrica continua. La suma de dichos números es 28 y la suma de sus inversas es 7/16. Determine el producto de dichos números. A) 64 B) 128 C) 256 D) 512 E) 1 024 Ejercicio N° 6: Se consideran las edades diferentes de 4 personas y tomándolas en orden decreciente se forma una proporción geométrica, cuya diferencia de los consecuentes es 57 y la suma de los antecedentes es 84. Determine la mayor de las edades. A) 54 B) 65 C) 72 D) 80 E) 96 Ejercicio N° 7: Existen dos proporciones geométricas discretas de términos naturales de la forma de modo que d - a=48 y b - c = 37. Determine la suma de los posibles valores de b. A) 286 B) 316 C) 324 D) 326 E) 336 Ejercicio N° 8: Dos es a cinco, como la edad que yo tenía hace 15 años es a la edad que tendrás cuando yo tenga el cuádruple de la edad que tienes ahora, y que es igual a la edad que yo tengo ahora. ¿Cuál será la relación de nuestras edades en 15 años? A) 7/5 B) 7/3 C) 11/6 D) 8/5 E) 8/3 Ejercicio N° 10: La diferencia de los cuadrados de la MA y MG de dos números es 256, además la relación entre la MA y MH es 289 a 225. Determine la MA de la diferencia de los números y la suma de la MA y MG. A) 36 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50 Ejercicio N° 13: En el congreso de la república se votó por la designación de la Mesa Directiva. En una primera votación, la mayoría de congresistas estuvieron a favor de la designación de la Mesa Directiva, pero debido a las protestas populares, estos congresistas se vieron obligados a reconsiderar la votación, y en esta ocasión hubo más congresistas en contra de la designación, siendo la nueva mayoría con respecto a la anterior como 17 es a 15. Si en la segunda votación no se aprobó la designación, perdiéndose por el doble de votos por los que se ganó en la primera votación, ¿cuántos congresistas cambiaron su voto, si votaron los 130 congresistas y no hubo abstenciones? A) 15 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45 Ejercicio N° 16: Se tienen dos recipientes llenos que contienen agua y vino; en el primero la relación es de 7 a 5 y en el segundo de 5 a 7 ; se intercambian 12 litros y ahora la relación en el primer recipiente es de 13 a 11 . Si la suma de las capacidades de ambos recipientes es de 120 litros, ¿cuál es la relación entre el agua y vino en el segundo recipiente? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/6 Ejercicio N° 19: Se tienen dos recipientes, donde cada uno contiene una mezcla de vino y agua, en el primero la relación es de 5 a 3, y en el segundo es de 5 a 1, respectivamente. Se extrae la mitad del volumen del primero y las dos terceras partes del segundo, y se vierten en un tercer recipiente, en el que se obtiene una mezcla donde por cada 5 litros de vino hay 2 litros de agua, ¿cuál es la relación de volúmenes que tuvieron ambos recipientes antes que se viertan en el tercero? A) 4 a 3 B) 8 a 3 C) 10 a 9 D) 16 a 9 E) 2 a 1 Ejercicio N°20: Cuatro atletas A, B, C y D parten con un minuto de diferencia. Cuando B ha recorrido 5 minutos, alcanza a A y cuando C ha recorrido 24 minutos toma la punta y 6 minutos después llegó a la meta, ¿cuántos minutos después que C llegó D, si éste llegó 4 minutos después que A? A) 5,5 B) 6,5 C) 7,5 D) 8,5 E) 9,5 Ejercicio N° 26: Sea n +1 a a1 a2 a3 = = = ... = n = k ; k a2 a3 a4 an+1 n −3 ai a = 37324 y = 432; n 10 Determine la suma de los antecedentes i =1 i =1 ai + 3 A) 35 000 B) 36 210 C) 37 300 D) 37 320 E) 37 323 Ejercicio N° 27: A un festival deportivo, concurrió el público de la siguiente manera: Dos hombres adultos por cada 3 señoritas y 2 señoras por cada señorita. Cada 3 señoras entraban con 5 niños. Cada 2 señoritas entraban con 7 niños. Cada 4 hombres adultos entraban con 8 niños. Cada 7 niños entraban con una mascota. Las señoras, señoritas y hombres adultos entraban por puertas diferentes. Al final contaron 160 personas entre mujeres casadas y hombres adultos. Determine la suma del número de niños señoritas y mascotas. A) 550 B) 570 C) 585 D) 600 E) 620 Ejercicio N° 28: Se tiene un cilindro lleno de vino, el cual tiene 3 caños, el caño A ubicado en la base, el caño B ubicado respecto a la base a 13/67 de la altura del cilindro y el caño C ubicado respecto a la tapa del cilindro a 40/67 de la altura del cilindro. Si los tres caños se abren a la vez, se observa que el recipiente queda vacío en 2 horas, además el caño C se abre durante una hora y el caño B no se abre durante media hora. Determine la diferencia de los volúmenes de vino retirada por los caños A y B, si por el caño C se retira 60 litros. A) 10 B) 20 C) 38 D) 52 E) 120 Ejercicio N° 29: Se tienen 5 razones geométricas iguales, si la diferencia de los términos de cada razón es a1; a8: bc ;(b + 1)d: 5e ; las que forman una progresión aritmética . Si la suma de los antecedentes es 2 475. Calcule el mayor de los términos. A) 295 B) 352 C) 355 D) 649 E) 708
