dlscrib.com-pdf-taller-conjunto-i-dl 16b29e3ae1a4b6d5cd013d4f04d420e0 (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL
Facultad de Ciencias
Departamento
Depart
amento de Matem´
Matemáticas
aticas
TALLER I
Cálculo
C´
alculo diferencial de funciones de varias variables
1. Relacione
Relacione la ecuaci´
ecuación
on con la superficie definida por ella. Además,
Adem´as, identifique el tipo de
cada superficie (paraboloide, elipsoide, etc´
etcétera).
etera).
a ) x2 + y 2 + 4z
4z 2 = 10
d ) y2 + z 2 = x2
g ) x2 + 2z
2z 2 = 8
j) z =
b ) z 2 + 4y
4y 2
e) x = y2
h ) z 2 + x2
k ) x2 + 4z
4z 2 = y 2
− 4x2 = 4
c ) 9y 2 + z 2 = 16
− z2
f ) x = −y 2 − z 2
− y2 = 1
i ) x = z 2 − y2
−4x2 − y2
l ) 9x2 + 4y
4y 2 + 2z
2z 2 = 36
2. Trace las superficies
superficies de:
a ) x2 + 4z
4z 2 = 16
f ) x2
b ) 36
36zz 2 + 9x
9x2 + 4y
4y2 = 36
g) z = y2
c ) z = 18
x2
9y 2
− y2 = z
− 4x + 4y − 2z + 3 = 0.0.
l ) x2 + y 2 + z 2 + 9x − 2y + 10
10zz +19 = 0
ey = 0
h) z
− −
e ) z 2 − x2 − y2 = 1
k ) x 2 + 2y 2 + z 2
−
m ) 5x2 + (y
(y
5)2 + 5z
5z 2 = 25
≤ θ ≤ 22ππ
n ) y + x2 + −
4z 2 = 4
4z
j ) 9x2 + 9y
9y 2 + 9z
9z 2 − 6x + 18y
18y + 1 = 0n
˜) yz = 1
3. Hallar la ecuación
ecuaci´on cartesiana de la esfera que tiene los puntos (5,
(5, −2, 3) y (0,
(0, 4, −3)
d ) 4x2 + 9z
9z 2 = 9y
9 y2
i ) z = sin θ,
0
como extremos de un diámetro.
di´ametro.
4. Exprese el ´área
area A de la sección
secci´on transversal del elipsoide
x2 +
y2 z2
+
=1
4
9
determinada por el plano z = c como función
funci´on de cc.. (El ´area
área de una elipse con semiejes
a y b es π ab
ab).
).
5. Use rebanadas
rebanadas perpendiculare
perpendicularess al eje z para calcular el volumen del elipsoide del ejercicio anterior.
1
cuatro figuras son gráficas
gr´
aficas de la superficie cuádrica
cu´adrica z = x 2 + y 2 . Asociar cada una
6. Las cuatro
de las cuatro gráficas
gr´aficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los
cuatro puntos son (0,
(0, 0, 20), (0,
(0, 20
20,, 0), (20,
(20, 0, 0) y (10,
(10, 10
10,, 20).
7. Dibuj
Dibujar
ar la región
regi´
on limitada por las gráficas
gr´aficas de las ecuaciones.
a) z = 2
x + y ,
2
2
√
b ) z = 4 − x2 ,
z= 2
y=
c ) x2 + y 2 = 1,
d
√4 − x2,
x = 0,
y = 0,
z= 0
x + z = 2, z = 0

) z = 4 − x − y , y = 2z, z = 0
2
2
8. Hallar
Hallar una ecuaci´
ecuación
on para la superficie de revolución
revoluci´on generada al girar la curva sobre el
eje dado
9. Halla
Hallarr una ecuaci´
ecuacion
ón de una directriz dada la ecuación
ecuaci´on de su superficie de revolución.
revoluci´on.
a ) x2 + y 2
e ) y2 + z2
− 2z = 0,
b ) x2 + z 2 = cos2 y
f ) y = ex
c ) 2x + 3z
3z = 1
d ) x2 + 2y
2 y 2 + z 2 = 3y
g ) x2
2
− 4x = 0
+z 2
− y2 = en2z
y+2
2
z −6
10. Deter
Determine
mine los puntos
puntos donde la recta x−
2 = −3 = 3/2 interseca al elipsoide
z
x2
9
+
y2
36
+
2
=1
11. Usar el m´
método
etodo de las capas para encontrar
encontrar el vol
volumen
umen del s´
sólido
olido que se encuentra
debajo de la superficie de revolución
revoluci´on y sobre el plano xy .
81
− x2 en el plano xz se gira en torno al eje z .
b ) La curva z = sin y , (0 ≤ y ≤ π en el plano y z se gira en torno al eje z .
a ) La curv
curva z = 4x
12. Diseño
Dise˜
no de máquinas
m´
aquinas La parte superior de un buje de caucho, diseñado
dise˜nado para absorber
las vibraciones en un automóvil,
autom´ovil, es la superficie de revolución
revoluci´on generada al girar la curva
y = 12 y 2 + 1 (0 y 2) en el plano y z en torno al eje z .
≤ ≤
a ) Halla
Hallarr una ecuaci´
ecuación
on de la superficie de revolución.
revoluci´on.
b ) Todas las medidas están
est´an en cen
centt´ımetros
ı́metros y el buje es fijo en el plano xy
xy.. Usar el
método
m´
etodo de capas para encontrar su volumen.
c ) El buje tiene un orificio de 1 cent´
centımetro
ı́metro de di´
diámetro
ametro que pasa por su centro y en
paralelo al eje de revolución.
revoluci´on. Hallar el volumen del buje de caucho.
2
d ) Explicar por qu´
q uée la curva de intersecci´
i ntersección
on de las superficies x 2 + 3y2
y 2x2 + 6y
6y 2
− 4z2 − 3x = 2 se encuentra en un plano.
− 2z2 + 2y = 4
13. Determinar
Determinar si la decla
declaraci´
ración
on es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por qu´
quée o dar
un ejemplo que pruebe su falsedad.
a ) Una esfera es un elipsoide.
b ) La directriz de una superficie de revolución
revoluci´on es única.
unica.
´
c ) Todas las trazas de un elips
elipsoide
oide son elipses.
elipses.
d ) Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.
e ) La gráfica
gr´afica de cualquier ecuación
ecuaci´on de la forma F (x,y,z
x,y,z)) = 0 es siempre una superficie
de dos dimensiones en el espacio.
f ) La gráfica
gr´afica en el espacio de una ecuación
ecuaci´on de la forma f (x, y ) = 0 es un “cilindro”
consistente en rectas verticales que pasan por la curva f (x, y ) = 0 en el plano xy .
g ) Si a > 0, entonces la gráfica
gr´afica en el espacio de la ecuación
ecuaci´on x2 + y 2 = a 2 es un cilindro.
h ) La gráfica
gr´afica en el espacio de 44yy 2 + 9z
9z 2 = 36 es un cilindr
cilindroo el
el´ıptico.
ı́ptico .
i ) La gráfica
gr´afica de 44x
x2 + 4y
4y 2 + z 2 = 4 es un elipsoide.
j ) La gráfica
gr´afica de z 2 = x 2 + y2 es un cono.
x2
a2
y2
b2
2
− zc = 1 es un hiperboloide de una hoja.
l ) La gráfica
gr´afica de la ecuación
ecuaci´on zc − xa − yb = 1 es un hiperboloide de una hoja.
m ) Si c > 0, entonces la gráfica
gr´afica de yb − xa = zc es un paraboloide hiperbólico.
hiperb´olico.
k ) La gráfica
gr´afica de la ecuación
ecuaci´on
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n ) La gráfica
gr´afica en el espacio de la ecuación
ecuaci´on z = ax 2 + by2 es un
u n parab
paraboloide
oloide el
el´ıptico
ı́ptico si a
y b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperbólico
hiperb´olico si esos dos coeficientes
son ambos negativos.
14. Pregunta Las siguientes preguntas se relacionan con las gráficas
gr´aficas posibles de la ecuación
ecuaci´on
de segundo grado
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + H = 0
(1)
a ) ¿En qué
qu´e condiciones de los coeficientes
co eficientes A, B y C es la gráfica
gr´afica a) un elipsoide; b)
un paraboloide; cc)) un hiperboloide?
b ) ¿En qué
qu´e condiciones de los coeficientes es la gr´
gráfica
afica un cono o un cilindro?
c ) Además
Adem´as de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cuáles
¿cu´ales son
las otras posibilidades para la gráfica
gr´afica de la ecuación
ecuaci´on en (1)? D´
Dée un ejemplo que
ilustre cada posibilidad.
15. Pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “ topológicas”
topol´ogicas” clásicas.
cl´asicas. La esfera
y el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?
Explicar.
3
unciones
es en varias variable
ariables
s
Funcion
1. Relac
Relacione
ione las figuras
figuras con el dominio de una de las funciones
funciones
a ) f (x, y) =
y − x
2
− y2)
√ √
c ) f (x, y) = x + y − x
d ) f (x, y) = √xy
e ) f (x, y) =
x4 + y 4
xy
f ) f (x, y) =
 xy − 1
b ) f (x, y) = ln
ln (x
g ) f (x, y) = sin−1 (xy
xy))
2
h ) f (x, y) =
2. Relac
Relacione
ione las curvas
curvas de niv
nivel
el con su respectiva
respectiva función
funci´on grafica.
4
2
x y+−yx − 1
Determine
mine el dominio
dominio y rango de la función
funci´
on f (x, y ) =
3. Deter
1
3
4. Dado f (x, y ) = 6 +
36 − 9x − 4y
2
2
36 − x − y
2
2
a ) Encue
Encuentre
ntre el dominio
dominio y rango de la funci
funci´on.
ón.
b ) Trace la gráfica
gr´afica de f .
5. Determin
Determinee analı́tica
anal´ıtica y gráficamente
gr´aficamente el dominio de las siguientes funciones
a ) f (x, y ) = ln(y
ln(y 2
−
x2 ) + arcsin(y
√16−x −y arcsin(
√y −1y − 2) −
b ) g (x, y) = ln(x +y −4) + √
x −y
√
c ) f (x, y ) = y sen x
2
2
d ) g (x, y) =
2
2
2
2
9 − x − y
2
2
2
y
x
sen(
sen(x
x + y ) + arc sen
sen(( )
2
2
y 3 +ln(x)
x 4)3 +y 6
e ) f (x, y ) =
6. Si f (x + y, x
−
− y) = xy + y2, halle f (x, y)
7. Para el parabo
p araboloide
loide el
e l´ıptico
ı́ptico z = f (x, y ) = (x 1)2 + (y
(y
grafica utilizando curvas de nivel para c = 1, 2, 3, 4.
−
8. Sea f (x, y ) = 8
− 1)2 haga un bosquejo de la
− x2 − 2y haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel.
9. Bosqu
Bosqueje
eje las superficies
superficies de nivel de la función
funci´
on f (x,y,z
x,y,z)) =

x2 +
y2
+ z2
4
10. Encuentre
Encuentre una ecuación
ecuaci´
on para la curva de nivel de la función
funci´on f (x, y ) que pasa por el
punto dado.
a ) f (x, y ) = y 2 arctan(
arctan(x
x2 ), punto P (1
(1,, 4)
b ) f (x, y ) =
ˆ
y
−√2, √2)
dt
, punto P (
1 + t2
x
∞ x

) f (x, y ) =
, punto P (1
(1,, 2)
n
c
y
n=0
11. Encuentre
Encuentre una ecuaci´
ecuación
on para la superficie de nivel de la función
funci´on f (x,y,z
x,y,z)) que pasa por
el punto dado.
a ) f (x,y,z
x,y,z)) =
b ) f (x,y,z
x,y,z)) =
c ) f (x,y,z
x,y,z)) =
√x − y − ln(
ln(zz ), punto P (3
(3,, −1, 1)
ˆ
y
x
dt
+
1 + t2
√
∞ (x + y )n

n=0
n!z n
ˆ
z
du
(0,, 1/2, 2)
√ √u2 − 1 , punto P (0
2 2
, pun
punto
to P (ln2
(ln2,, ln 4, 3)
12. (S) Describir algunos conjuntos
conjuntos de nivel de los siguientes
siguientes campos escalares: a) f (x, y ) =
x/y,,
x/y
b) f (x, y ) = x 4y ,
c) f (x,y,z
x,y,z)) = x 2 y 2 z 2 ,
d) f (x, y ) = 1/xy.
−
− −
5
n´ıa
ı́a fabri
fabrica
ca una caja recta
rectangula
ngularr cerra
cerrada
da de modo que su vol
volumen
umen sea de
13. Una compañ
compa˜
36 m3 . El material para la base y la tapa cuesta $12 el metro cuadrado; para los lados de
enfrente y de atrás.
atr´as. $10 el metro cuadrado; y los otros dos lados $8 el metro cuadrado.
a ) Si C denota el costo total de la caja, determine C en función
funci´on de las dimensiones
de la base de la caja.
b ) Calcu
Calcule
le el costo total de construir
construir una caja cuy
cuyas
as dimensiones
dimensiones de la base son: largo
2 metros y ancho 3 metros.
14. Trace la gráfica
gr´
afica de las siguientes funciones:
a ) f (x, y ) = 3

−  x2 + y2 − 4y + 4
b ) g (x, y) = 4 +
x + y − 4x − 6y + 12
1616xx + 4y4y − 4x − y − 4
) j (x, y ) = 5−
2
c ) h(x, y ) = 3 +
9 + x2 + y2
d
2
3
4
2
2
2
R .
15. (S) Demuestre
Demuestre en detalle que la bola B 2 (0
(0,, 0) es un abierto en
16. Demos
Demostrar
trar que los siguie
siguientes
ntes limites
limites NO existe
x3 + yz 2
(x,y,z )→(0,0) x4 + y 2 + z 2
x2 + y 2 z 2
b)
l´ı́ım
m
(x,y,z )→(0,0) x2 + y 2 + z 2
x4 + yx 3 + z 2 x2
c)
l´ı́ım
m
(x,y,z )→(0,0) x4 + y 4 + z 4
a)
l´ı́ım
m
−
d)
x2 y 2 z 2
(x,y,z)→(0,0) x6 + y 6 + z 6
e)
x2 z 3 y
(x,y,z)→(0,0) x6 + z 6
l´ı́ım
m
l´ı́ım
m
17. Demos
Demostrar
trar que los siguie
siguientes
ntes limites
limites SI existe
a)
y 3 + xz 2
(x,y,z )→(0,0) x2 + y 2 + z 2
b)
l´ı́ım
m
xyx ++xzy ++yzz
l´ı́ım
m
(x,y,z)
2
→(0,0)
2
2
18. Deter
Determine
mine los sigui
siguiente
entess Limite
Limitess
a)
xy 2
(x,y )→(0,0) x3 + y 3
h)
b)
2xy 2 3
l´ı́ım
m
(x,y )→(−2,3) x2 + y 2
i)
l´ı́ım
m
−
x3 y 3
c)
l´ı́ım
m
(x,y )→(−1,−1) x2 y 2
−1
2x2 y
d)
l´ı́ım
m
(x,y )→(0,0) x4 + y 2
−
n
˜)
x4xy+ y
o)
l´ı́ım
m
(x,y)
j)
1
ln(43 + 7xy
7xy))
))
arctan(3xy
xy + 18)
(x,y)→(−3,2) arctan(3
l´ı́ım
m
x2
x
− xy
√
f)
l´ı́ım
m
− √y
(x,y )→(0,0)
1 − e(2x+y )
g)
l´ı́ım
m
19. Dem
Demuestr
uestree usando la defini
definici´
ción
on ǫ
m)
y
→(0,0) x2 +1 = 0
(s) l´
lı́ım
m(x,y )
20. Usand
Usandoo la definición
definici´
on ǫ
b)
−
1
l´ı́ım
m
(x,y)
n)
− δ que
→(0,0)
l´ı́ım
m
(x,y)
l´ı́ım
m
(x,y )
−
cos(x
cos(
x2
x2
+
y2)
q)
s
(x2 + y 2 )ln(
)ln(x
x2 + y 2 )
→(0,0)
→(1,2)

r)
s
s)
s
x + y2 = 5
c)
l´ı́ım
m
(x,y)
x2 + 1
x2 + (y
(y 1)2
−
2
xx −+yy
2
−−
2
y
y
(x y )2
,
(x,y )→(0,0) x2 + y 2
lı́ım
l´
m
−
lı́ım
l´
m
xy
+ y2 + 2
(0,0) x2
→
(x,y )
+ y2
− δ determine si existen los siguientes limites
6
→(0,0)
(x,y )
l´ı́ım
m
2
→(−1,2) sin2(2
(2x
x + y)
l´ı́ım
m
x
p ) (x,yl)´ı́ım
→m(1,1) x3
xy + yz + xz
(x,y,z )→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2
l)
→(0,1)
+ 1) + 3x
3x 2
3y2 + x2
(0,0)
(x,y )
tan−1
2
2
x2 y 2
k)
l´ı́ım
m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
− −
a)
9y 2 ( x
l´ı́ım
m
(x,y)
2
→
cos x 1 x2 /2
e)
l´ı́ım
m
x4 + y 4
(x,y )→(0,0)
(x,y )
→(0,0)
l´ı́ım
m
sin(x + y )
sin(x
.
x+y
(x,y )→(0,0)
→(3,−1)
lı́ım
l´
m
x2 + 2xy
2xy = 3

4xy 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x2
b)
l´ı́ım
m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
a)
l´ı́ım
m

c)
3x2 y
(x,y )→(0,0) x2 + y 2
d)
x4 y
(x,y )→(0,0) x4 + y 4
l´ı́ım
m
l´ı́ım
m
21. Deter
Determine
mine la con
continu
tinuidad
idad de las siguientes
siguientes funciones
a
b
2xy


) f (x, y ) =
 x +0 y
 sin(
sin(xy
xy))
) f (x, y ) =
 xy1
 xy
) f (x, y ) =
 x +0 y
2
3 3
2
2
2
d
2
x2 +y2
ln 2
2
e
2
c
 x y +x(y(yy − x) (x, y) = (0(0,, 0)
(x, y ) =
 (0
( 0, 0) ) f (x, y ) =
 0
(x, y ) = (0,
(0, 0)
(x, y ) = (0,
(0, 0)
 2 − 1 cos x
(x, y ) =
 (0
(0,, 0)
+
(x, y ) =
 (0
(0,, 0)
) f (x, y ) =
x +y
1+x


(x, y ) = (0,
(0, 0)
(x, y ) = (0,
(0, 0)
 x y 2
(x, y ) =
 (0
( 0, 0)
(x, y ) =
 (0
(0,, 0)
x +y
) f (x, y ) =
 0 (x, y) = (0,(0, 0)
(x, y ) = (0,
(0, 0)
  x + y 
arctan
(x, y) =
 (0
( 0, 0)
2
2
3
2
2
f
4
22. Dada la función
funci´on f (x, y ) =
4
x2 + y 2
A

2
Calcule el valor de A
(x, y) = (0,
(0, 0)
para que la función
funci´on f sea continua en (0,
(0, 0).
y (x 3)
(x, y ) = (3
(3,, 0)
2
4y + (x
(x 3)2
23. Sea f (x, y ) =
a) Determine los puntos donde la
2
(x, y ) = (3,
(3, 0)
función
funci´
on no es continua. bb)) Indique el tipo de discontinuidad que presenta f .


−

−
24. Deter
Determine
mine si la funci´
funcion
ón dada es continua en el punto (0,
(0, 0).
 1515xx + 15y

15y + 16 − 16 − x − y
x +y
f (x, y ) =

2
2
2
2
2
2
2

(x, y ) = (0
(0,, 0)
(x, y ) = (0,
(0, 0)
25. Dada la funci´
función
on f (x, y) = ln(4x
ln(4x2 + 9y
9y2
− 36). Halle el conjunto donde f es continua.
26. ¿Es posible
posible definir la funci´
funcion
ón f (x, y) =
xy
x+y
en (0,0) y que
qu e resulte
res ulte cont
cont´ınua?
ı́nua?
27. Determinar
Determinar si la declaraci´
declaración
on es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué
qu´e o dar un
ejemplo que demuestre que es falsa
a ) El dominio
dominio de la funci´
funcion
ón f definido por la fórmula
f´ormula f (x, y ) =
25 − x − y
2
2
es el
conjunto de todos los puntos (x,
( x, y ) cuya distancia al origen (0,
(0 , 0) es menor que 5.
b ) La gráfica
gr´afica de la función
funci´on f de dos variables es el conjunto de todos los puntos en
el espacio con coordenadas de la forma (x,y,f
( x,y,f (x, y)).
− 12 x − 13 y es un plano.

d ) La gráfica
gr´afica de la función
funci´on g(x, y ) = 14 4 − 4x2 − y 2 es un elipsoide.
c ) La gráfica
gr´afica de la función
funci´on f (x, y) = 2
e ) Una curva de nivel de una función
funci´on f de dos variables es precisamente lo mismo
que una curva de contorno de f .
f ) Si k es una constante, entonces la gráfica
gr´afica de la función
funci´on x2 + y 2
− z2 = k es un
hiperboloide de una hoja, debido a que sólo
s´olo hay un signo menos en el lado izquierdo
de la ecuación.
ecuaci´on.
7
g ) Si
h ) Si
l´ım
ı́ m
f (x, y ) = 0, en
enton
tonces
ces
l´ım
ı́ m
f (0
(0,, y) = 0, en
enton
tonces
ces
(x,y)
(x,y)
→(0,0)
→(0,0)
l´ım
ı́m
f (x, 0) = 0
l´ım
ı́m
f (x, y ) = 0
→(0,0)
(x,0)
(x,y)
→(0,0)
i ) Si f es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y f (0
(0,, 0) = 0 entonces
lı́ım
l´
m
(x,y)
j ) Si
k ) Si
l ) Si
m ) Si
→(0,0)
f (x, y ) = 0
l´ım
ı́ m
f (x, y ) = 4, en
enton
tonces
ces
l´ım
ı́ m
f (x, 3) = 4, en
enton
tonces
ces
l´ım
ı́ m
f (x, 3) =
l´ım
ı́ m
f (x, y ) = 0, entonces para cualquier número
n´umero real k ,
(x,y)
→(2,3)
(x,3)
→(2,3)
→(2,3)
(x,3)
(x,y )
0.
→(0,0)
l´ım
ı́ m
→(2,3)
(2,y )
l´ım
ı́m
f (x, 3) = 4
l´ım
ı́m
f (x, y ) = 4
→(2,3)
(x,3)
(x,y)
→(2,3)
f (2
(2,, y ) = 4, en
enton
tonces
ces

x+y
28. Deter
Determine
mine si la función
funci´
on f (x, y) =
 0
en el plano xy . (a) x2 + y 2 < 1,
30. Dem
Demues
uestre
tre que
≥ 3,
l´ım
ı́m
(x,y)
31.
(s)
≥2
f (x, y) = 4
l´ım
ı́ m
(x,y )
→(0,0)
f (kx,y
kx,y)) =
es continua en los conjuntos dados
x<2
≥0
→(2,3)
(c) y > x
√x +xyy −25 es continua en los conjuntos dados en el
(b) |x| + |y | < 1
(c) (x − 2)2 + y 2 < 1
29. Deter
Determine
mine si la función
funci´
on f (x, y ) =
plano x
xyy. (a) y
(b) x
x
l´ım
ı́m
(x,y )
1
2
2
sin(xy
sin(
xy)) = 0 (Ayuda: sen
sen((w)
|
→(0,0) x
w para valores pequeños)
peque˜
nos)
| ≤| |
Sea f : U R3
R. Si existen K
00,, α > 0 tal que dados x, y U , f (x) f (y )
K x y α , mostrar que f es uniformemente continua en U . (f
( f se dice Holder continua).
⊆
|| − ||
→
≥
∈ |
−
|≤
Derivadas par
parciales
ciales
1. Sea α(t) = (t2 , t3 4t, 0) la traye
t rayectoria
ctoria que sigue una part
part´ıcula.
ı́cula. Si esta sale despedida
por la tangente en t = 2 ss,, determinar su posición
posici´on cuando t = 3 ss..
−
2.
(s)
Determinar el plano tangente en cada una de las situaciones:
a) f (x, y ) = xy + exp(xy
exp(xy)), x = 1, y = 0;
c) f (x, y ) =
b) f (x, y) = ln
1 − x − y , x = 1/√2, y = 1/√2;
2
2
1 + x y , x = 1, y = 1;
2 4
d) f (x, y ) =
x
2x+3y
, x = 1, y = 2.
(s)
3.
Determinar el gradiente
de cada campo escalar:
xy
xy
b
,
)
f
(
x,
y
)
=
x2 + y 2
sin(1//(x2 + y 2 ))
sin(1
a ) f (x, y) =
4.
(s)
5.
(s)
Sea v R3 . Definir la función
funci´on f (x) = v x donde x
de f y generalizar a n dimensiones.
∈
·
c ) f (x,y,z
x,y,z)) =
xyz
.
x2 + y 2 + z 2
∈ R3. Determinar el gradiente
Encontrar la matriz de derivadas parciales de las aplicaciones:
a) f (x, y ) = (xey + cos y, x2 , xy
xy))
b) f (x,y,z
x,y,z)) = (x
( x + y 2 ez ,xyz
,xyz))
c) f (t) = (2t,
(2t, t2 , t3 )
6. Suponga que ψ
ψ((x,y,z
x,y,z)) = xy 2 z y F = x i + j + xy k. Encuentre
(1,, 2, 2).
P (1
−
8
◦
x2 yz 2 + 2xy
2 xy 2 z = 1 en el punto
7. Encue
Encuentre
ntre un vector normal
normal unitario a la superifi
superificie
cie
P (1
(1,, 1, 1).
∂3
(ψ F ) en el punto
∂x 2 ∂z
8.
(s)
Determinar el plano tangente y la recta normal a las superficies de nivel en el punto
dado:
a ) x3
− 3y3 + z3 = −1, (1,
(1, 1, 1).
b ) z cos x cos y = 0, (π/
( π/22, 0, 1).
c ) cos(xy
cos(xy))
− ez = −2, (1,
(1, π, 0).
9. Encuentre
Encuentre una ecuación
ecuaci´
on para el plano tangente a la superificie x2 yz
punto P (1
(1,, 2, 1).
10. Encuentre el angulo
ángulo
´
entre las superificies z = x2 + y 2 y z = (x


√ √
punto
, ,
.
6
6
6 1
12 12
−
√6
6
44xyz
xyz 2 =
−
)2 + (y
(y
−
6 en el
−
√6
6
)2 en el
11. Sea R la distancia desde un punto fijo A
A((a,b,c
a,b,c)) a cualquier punto P (x,y,z
x,y,z).
). Demuestre que
R es un vector unitario en la dirección
direcci´on AP .
∇
12. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B , como se ilustra
en la figura. Demuestre que las rectas AP y BP forman ´angulos
ángulos iguales con la tangente a
la elipse en P .
13. Obten
Obtenga
ga todas las derivadas
derivadas parciales
parciales de las funciones
funciones indic
indicadas
adas
a ) f (x, y ) = arcsen yx + arc
arc cos xy
b ) f (x, y ) = (2x
(2x + 3y
3y )x + (2x
(2x + 3y
3y )y
x
y
c ) f (x, y ) = x y + y x + (x
(xy )x (yx )y
d ) f (x,y,z,u
x,y,z,u)) = x y+z+u z x+y+u
n
 ∂f
14. Sea f (x , x , . . . x ) = ln(x
ln(x x . . . x ). Calcu
Calcule
le
1
n
2
1 2
n
i=1
15. Sea g :
f : R2
R
∂x i
→ R una función
funci´on continua y positiva definida en R. Considere la función
funci´on
→ R dada por
f (x, y) =
ˆ
y
g (t)dt
x
∈ R2 se tiene que f (x, y) > 0?
¿Para qu´
quée punt
puntos
os (x, y) ∈ R2 se tiene que f (x, y ) < 0?
¿Para qu´
quée punt
puntos
os (x, y)
¿Cuál
¿Cu´
al es el nivel cero de f (x, y )?
Calcule las derivadas parciales de la función
funci´on f .
16. Calcule
Calcule las deriv
derivadas
adas parciales
parciales de cada una de las funciones,
funciones, donde g :
función
funci´
on continua.
a ) f (x, y ) =
ˆ
y
2
2
(x + y )g (t)dt
c ) f (x,y,z
x,y,z)) =
xy
ˆ
y
b ) f (x, y ) =
ˆˆ
g (t)dt
x
g (g )dt
d ) f (x,y,z
x,y,z)) =
1
ˆ
R
→ R una
x+y+z
g (t)dt
xyz
ˆ
ˆ
y
g (t)dt
g (t)dt
x
x+y+z
g (t)dt
x+y +z
→
17. Para cada una de las siguientes funciones, en las que g, h : R
R son funcio
funciones
nes
′
′
definidas en R, diferenciables (es decir, tal que g (t) y h (t) existen para todo t R),
calcule sus derivadas parciales.
a ) f (x, y ) = ln(1 + x2 )

2 (y)
(ln(1+ g2 (x)))h

b ) f (x,y,z
x,y,z)) = gg((g (x)g(g(y )g (h(z ))))
9
∈
c ) f (x,y,z
x,y,z)) = (g (x))(h(y))
g( z )
2
d ) f (x,y,z
x,y,z)) = yyzz (sen(1 + h2 (x)))(x
+1)
18. Sea ψ una función
funci´on real de variable real, diferenciable en
dada satisface la expre
expresi´
sión
on indicada.
2xy ∂f
∂x
a ) f (x, y ) = x 2 ψ (3
(3x
x + y 2 ),
x ∂f
b ) f (x, y ) = e x+y ψ (xey ),
x+y
x2 + y 2
c ) f (x, y ) =
d ) z = sin(x
sin(x2 + y 2 ),
R
Demuestre que la función
funci´on
− 3x ∂f∂y = 4yz
∂f
= zz((x
− ∂y
∂2f
1)
−
∂x
∂2f
+ 2 =0
∂x 2
∂y
2
∂ z
∂2f
y 2 x
∂x
∂y∂x
− ∂z
=0
∂y
−
 x y
la funci
funci´on
ón f (x, y) =
 x +0 y
2
19. Sea f :
2
R
→
R
4
2

(x, y) = (0
( 0, 0)
Demuestre
Dem
uestre que
(x, y) = (0,
(0, 0)
esta función
funci´on no es continua en (0,
(0, 0) y Demuestre que esta función
funci´on posee derivadas
direccionales en (0,
(0, 0) en todas direcciones,
direcciones, es decir
decir,, calcu
calcule
le D f donde v = (a, b) R2
un vector unitario dado. Ahora conteste la siguiente pregunta ¿una función
funci´on f : U
∂f
n
R
R es diferenciable en el punto x0
U si las derivadas direccionales ∂x
(x0 )
i
n
existen para todo vector v R ?
∈
v
→
⊂
∈
∈
20. Identifique
Iden
tifiqueenlas
expresione
expre
siones
s dadas
comounitario
derivadas
deriv
adas
direccionales
direccionales
de funcio
funciones
nes de va
varias
rias
variables
la dirección
direcci´
on de
un vector
v. Obtenga
la derivada
direccional
que
se indica.
a ) l´
lı́ım
m
t
→0
b ) l´
lı́ım
m
t
x2 (y
− √3t/t/2)(
2)(zz − t/
t/2)
2) − x2 yz
)2 cos3 (
(y + t
→0
t
xy + xt
xt))
t
− y2 cos3(xy
xy))
21. Sea f : U Rn
R una función
funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de R n .
Sea u Rn un vector no nulo de Rn , no necesariamente de norma 1 y sea v =   .
Demuestre que
∂f
1 ∂f
=
∂v
u ∂u
∈
⊂
→
u
u

Verifique este resultado con la función
funci´on f (x, y ) = x 2 + y 2 , y el vector u = (1
(1,, 1).
22. Calcu
Calcule
le la deriv
derivada
ada direccional
direccional de la funci
funci´on
ón dada en la dirección
direcci´on del vector indicado.
a ) f (x, y ) = x 3
1 + 3 tatann (x + x
6
2
102),
v = (0
(0,, 1).
b ) f (x, y ) = 3x + 2y
2y + 7z
7 z en la dirección
direcci´on del vector u = (3
(3,, 2,
−5).
c ) f (x,y,z
x,y,z)) = x ln y + y ln z + z ln x, en el punto p = (1
(1,, 1, 1), en la dirección
direcci´on del
vector v = (a,a,a
a,a,a)) (a > 0)
d ) (s) f (x, y ) = x y en (e, e) u = (3
(3,, 4).
e ) (s) f (x,y,z
x,y,z)) = xy
xyzz en (1,
(1, 0, 1) u = (1
(1,, 0, 1).
f ) (s) f (x,y,z
x,y,z)) =
xyz
x2 +y2 +z 2
en (1,
(1, 1, 0) u = (0
(0,, 1, 0).
23. Encuentra la derivada
derivada direccional del campo escalar f (x,y,z
x,y,z)) = e x cos y + ey sin z en el
punto P (2
(2,, 1, 0) en dirección
direcci´on al punto Q( 1, 2, 2). b) ¿En qu´
quée direcci´
dirección
on es máxima
m´axima la
derivada direccional? c) ¿Cuál
¿Cu´al es el valor de ese máximo?
m´aximo?
−
24. Calcu
Calcule
le la deriv
derivada
ada direccional
direccional de la funci
funci´on
ón f (x, y ) = 5x
5 x2 y 3 en el punto p = (1
(1,, 1)
a ) en la direcci
direcci´on
ón del vector que va de p al punto (3,
(3 ,
10
−2),
b ) en la dirección
direcci´on del vector que va de p al origen,
c ) en la dirección
direcci´on del vector tangente al c´ırculo
ı́rculo x 2 + y 2 = 2 en p
p,,
d ) en la dirección
direcci´on del vector p
p..
25. Calcule
Calcule la deriv
derivada
ada direccional
direccional de la funci´
función
on f (x, y ) = x sen y en el punto (3,
(3, O), en la
2
dirección
direcci´
on del vector tangente a la parábola
par´abola y = x en el punto (1,
(1, 1).
x2 + y 2
26. Dem
Demuestr
uestree que
la deriv
derivada
ada direccional
direccional de la función
funci´
on f (x, y ) =
x
en los punt
puntos
os
del c´ırcul
ı́rc uloo x 2 + y 2 2y = 0, en la dirección
direcci´on de la normal a este c´ırculo,
ı́rculo, es igual a cero.
−
27. Sea f (x, y ) = x 2 + y 2 . ¿En qu´
quée dire
direcci´
cción
on es igual a cero la derivada de esta función
funci´on en
el punto (1,
(1, 1)?, ¿En qu´
quée direcci
direcci´on
ón es igual a cero la derivada de esta función
funci´on en los
2
2
puntos del c´ırculo
ı́rculo unitari
unitarioo x + y = 1?
28. En cada uno de los siguie
siguientes
ntes ejercicio
ejercicios,
s, se da una función
funci´
on f : U R2
R y un punto
p U . Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la dirección
direcci´on de (la tangente
a) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f (x, y ) = f (p
p))
)) es igual a cero.
⊂
∈
a ) f (x, y ) = 5x2 + 6y
6y 2,
b ) f (x, y ) = sin xy
xy,,
c ) f (x, y ) = e x ey ,
→
−
p = ( 1, 0)
(2,, 3)
p = (2
p = (0
(0,, 0)
⊂ R2 → R una función
funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de
R2 y sea p ∈ U . Suponga que ∂f (p
p)) = 4. ¿En qu´
quée direc
direcci´
ción
on se tiene
∂x p)) = 3. ∂f
∂y (p
29. Sea f : U
∂f
∂f
que
(p
p)) = 2?, ¿en qu´
quée dirección
direcci´
on se tiene
(p
p)) = 0?, ¿en qu´
quée direcci´
dirección
on se tiene
∂v
∂v
∂f
∂f
(p
p)) = 5? ¿Hay alguna dirección
direcci´on en la que
(p
p)) = 6?
∂v
∂v
−
30. Seaf
Seaf : U ⊂ R 3 → R una función
funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de R3
∂f
∂f
∂f
∂f
y sea p ∈ U . Suponga que
(p
p)) = 6,
(p
p)) = 0,
(p
p)) = 8. Demuestre que
= 10
∂x
∂y
∂z
∂v
es el máximo
m´aximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este se
logra en la dirección
direcci´on del vector unitario u = (3
(3//5, O, 4/5). ¿Cuál
¿Cu´al es el m´ınimo
ı́nimo valor
∂f
(absoluto) que puede tomar
?, ¿en qu´
quée dir
direcci
ecci´on
ón se tiene este valor?
∂v
⊂ R2 → R una función
funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de
√
√
∂f
∂f
2
R y sea p ∈ U . Suponga que
(p
p)) = 3.
(p
p)) = 2, donde u = (1
(1// 2, −1/ 2),
∂u
∂v
v = (√3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p
p..
32. Sea f : R3 → R la función
funci´on f (x,y,z
x,y,z)) = z − x2 − y .
a ) Deter
Determine
mine los puntos
puntos (x,y,z
(x,y,z)) ∈ R3 en que el gradiente de esta función
funci´on forma un
31. Sea f : U
´ángulo de π /3 con el vector u = (2
angulo
(2,, 1, 1).
b ) Determine los puntos ((x,y,z
x,y,z)) R3 donde el gradiente de esta función
funci´on est´
estée en la
dirección
direcci´
on del vector u = (1
(1,, 1, 1).
∈
c ) Detemine los puntos (x,y,z
( x,y,z)) R3 en que el gradiente de esta función
funci´on es perpendicular al vector u = (2
(2,, 1, 1).
−
∈
√
33. Considere
Considere las funciones
funciones f (x, y ) = 3x2 + 2y
2 y2 , g (x, y ) = 7 ln x + 3y . Demuestre que la
derivada de la función
funci´on f en el punto p = (1
(1,, 1) en la dirección
direcci´on del gradiente de la función
funci´on
g en p es igual a la derivada de la función
funci´on g en p en la dirección
direcci´on del gradiente de la
función
funci´
on f en p
p.. ¿Ocurre lo mismo con las funciones f (x, y ) = x 2 + y 2 , gg((x, y ) = 2x + y ,
en el punto p = (2
(2,, 1)?
11
34.
(s)
35.
(s)
Suponer que una part
part´ıcula
ı́cula sale despedida de la superficie x 2 + y 2 z 2 = 1 desde el
punto (1,1, 3) en la dirección
direcci´on normal y dirigida hacia el plano xy y con una rapidez
de 10 m/s. ¿Cu´
¿Cuándo
ando y donde cruzará
cruzar´a el plano xy ?
−
√
−
Un insecto se encuentra en un medio tóxico.
t´oxico. El nivel de toxicidad viene dado por
T (x, y ) = 2x2 33yy 2 . Determinar y graficar las curvas de nivel de T y encontrar la
dirección
direcci´
on en la que el insecto que se encuentra en ( 1, 2) deberá
deber´a moverse.
−
−
36. Suponga que una montaña
monta˜na tiene la forma de paraboloide el
el´ıptico
ı́ptico z = 300 22x
x2
3y2 donde z se mide en metros. Determinar en que dirección
direcci´on crece la altitud más
m´as
rápidamente
r´
apidamente en el punto (1,
(1, 1). ¿Si un balón
bal´on se soltara en ese punto en que dirección
direcci´on
roda
ro
dar´
rı́ıa?
a?
−
2
−
2
y
Sea f (x, y ) = xx2 −
direcci´on en la que ∂f/∂u en (1,
(1, 1) es cero.
+y 2 , determinar la dirección
Responder la misma pregunta si el punto es (x
(x0 , y0 ). Describir las curvas de nivel y
relacionarlas con el resultado anterior.
37.
(s)
38.
(s)
Considerar
Consi
derar el campo escalar f (x, y ) = 3x2 + 2y
2y 2 .
a) Determinar la derivada direccional de f en el punto ( √12 , √12 ) en la dirección
direcci´on del
vector ( 1, 1).
−
b) Si α
α((t) = (cos(t
(cos(t + π/
π/4)
4),, sin(
sin(tt + π/
π/4))
4)) determinar α
α(0)
(0),, α′ (0). Defini
Definirr h
h((t) = f (α(t)),
′
y encontrar h (0). A partir de los resultados establecer una relación
relaci´on entre las partes a)
y b). Explicar.
39. Para
Para cada una de las sigui
siguiente
entess funciones z = f (x, y) o w = F (x,y,z
x,y,z),
), determine un
vector normal a su gráfica
gr´afica en el punto indicado.
a ) f (x, y ) =
−128
128π
π 2 en un punto cualquiera p = (x0 , y0 )
b ) f (x, y ) = e y cos x en el punto p = (0
(0,, 1)
c ) f (x, y ) = sen(sen x cos y ) en el punto p = (π, π )
d ) x2 y 2 + x2 z 2 + y2 z 2 + xyz
y
z
e) x + x + z
x
− 4 = 0 en el punto p = (1
(1,, 1, 1)
− 3xyz = 0 en el punto p = (1
(1,, 1, 1)
40. En los siguientes
siguientes ejercicios se da una función
funci´
on z = f (x, y ) o una ecuación
ecuaci´on de una superficie
3
S y un vector n R . Determine el (los) punto(s) de la gráfica
gr´afica de la función
funci´on (si los
hay) para los que el vector n es un vector normal
∈
a ) f (x, y ) = 2x2 + 3xy
3xy + 5y
5 y2 ,
b ) f (x, y ) = ln(1 + x + 2y
2y ),
c

) f (x, y ) = sen x + y ,
2
d ) x2 + y 2 + z 2 = 4,
2
−3)
− −3, 4)
n = (0
(0,, 0, −3)
n = ( 1,
n = (2
(2,, 2, 2)
e ) x2 + 2y
2y 2 + 3z
3z 2 = 1,
f ) x2 + 4y
4y 2
n = (3
(3,, 2,
−
n = ( 2, 3, 6)
− z2 = 1, n = (0
(0,, 3, 4)
2
41. hallar
hallar la ecuaci´
ecuación
on del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x 2 y +ex
en el punto en que x = 1, y = 1.
+y 2
42. En los siguientes
siguientes ejercicios
ejercicios se da la ecuac
ecuaci´
ión
on de una superficie en el espacio tridimensional y un punto p de ella. Determine la ecuación
ecuaci´on del plano tangente a la superficie en
el punto p.
a ) z 2 + 3z
3z
− x2 − y2 − 2 = 0, p = (l, 1, 1)
b ) x − y 2 − z 2 = 0,
p = (0
(0..0, 0)
c ) x2 + y 2 + z 2
4x
8y
16zz + 54 = 0,
16
0,
− − −
12
p = (1
(1,, 2, 3)
Determine la ecuación
ecuaci´
on del plano tangente a la superficie z = x 2 + y 2 que sea paralelo
43. Determine
al plano 3x
3x + 8y
8y 5z = 10.
−
44. Determine
Determine la ecuación
ecuaci´
on del plano tangente a la superficie z = x 2 + xy que sea perpendicular a los planos x + y z = 3 y 2x
2x y + z = 4.
−
45.
−
(s)
El cono con la ecuación
ecuaci´on z 2 = x 2 + y 2 y el plano con ecuación
ecuaci´on 2x + 3y
3y + 4z
4z + 2 = 0
se intersectan en una elipse. Escriba una ecuación
ecuaci´on para el plano normal a esta elipse en
el punto (3,
(3, 4, 5).
−
46. Determine
Determine la ecuación
ecuaci´
on del plano tangente a la superficie z = 3x2 88xy
xy + 5y 2 en el
punto en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = ( 1, 0, 2).
−
−
47. Halle la ecuaci´
ecuación
on del plano tangente a la superficie z = x 2 +y 2 4x que sea perpendicular
a la recta x = 3 + 4t
4t, y = 2t, z = 1 + t, t R.
−
−
∈

√
s)
(
48.
Muestre que la trayectoria α
α((t) = (−t, t, ln t) corta la superficie z = ln y −2x −y
2
4
2

en un ´angulo
ángulo recto cuanto t = 1 (es decir, que el vector velocidad de la trayectoria es
normal al plano tangente a la superficie).
49. Determine
Determine las ecuaciones
ecuaciones de los plano
planoss tange
tangentes
ntes al elipsoide x2 + 3y
3 y 2 + 5z
5 z 2 = 1 que
sean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto p = (l.l.
l.l.1),
1),
50. Hallar
Hallar los puntos del elipsoide
elipsoide x 2 + 2y
2y 2 + 3z
3z 2 = 6 en los que la recta normal que pasa
por ellos es perpendicular al plano 4x
4x 6y + 3z
3 z = 7.
−
51. Determine
Determine las ecuaciones
ecuaciones de Jos planos tangentes
tangentes al elips
elipsoide
oide x 2 + y 2 + 2z
2z 2 = 2 en los
puntos de intersección
intersecci´on de ´éste
este con la recta x = 3t, y = 2t, z = tt,, t R
∈
52. Demostrar
Demostrar que el plano
plano 2x
2x 6y + 3z 49 = 0 es tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 49.
¿En qué
qu´e punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado.
−
−
− − −
53. Los puntos
puntos A = (2
(2,, 5, 3) y B = ( 1, 2, 3) son los extremos de un diámetro
di´ametro de una
esfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.
54. Obten
Obtenga
ga la diferencial
diferencial de la función
funci´
on dada
a ) f (x) = sen3 x2
b ) f (x,y,z,u,w
x,y,z,u,w)) = xy
xyzz + xzw + yuw + zuw
2
c ) w = e −z cos(
cos(x
x2 + y 4 )
d ) g (r, θ ) = r 2 cos θ
−
55. Calcu
Calcule
le apro
aproximad
ximadamen
amente
te el incre
incremen
mento
to de la funci´
función
on f (x, y ) = x2 y 2 cuando el
3x + 2y
2y
punto (x,
(x, y ) de su dominio pasa de (2,
(2, 1) a (2.
(2.05
05,, 1.1).
 x y − xy
, f (x, y ) =
 x +0 y
3 2
56. Sea f : R2
2
→R
3

(x, y ) = (0
(0,, 0)
2
(x, y ) = (0,
(0, 0)
a ) Calcu
Calcule
le las deriv
derivadas
adas parciales
parciales
∂2f
∂ 2f
b)
(0,, 0) y
(0
(0,, 0) usando directamente la delinición
(0
delinici´on de derivadas parciales
∂x∂y
∂y∂x
57. Sea f : R2
 xy
x +y
, f (x, y ) =
2
→R
0
2

(x, y ) = (0
(0,, 0)
(x, y ) = (0,
(0, 0)

a ) f es discontinua en (0,
(0, 0)
13
Demuestre
b ) Calcu
Calcule
le las deriv
derivadas
adas parciales,
parciales, existen?
c ) ¿Explique en pocas palabras porque f NO es diferencable en (0,
(0, 0)?
d ) *Demuestre matematicamente porque f no es direnciable
58. Demuestre matematicamente
matematicamente que las siguientes
siguientes funciones f : R2
en el punto dado
→ R son diferenciables
a ) f (x, y ) = x 2 + y 2 en un punto arbitrario (x
(x0 , y0 ).
b ) f (x, y ) = xy 2 en el origen (0,
(0, 0).
59. Demuestr
Demuestree que la funci´
función
on f : R2
R, dada por f (x, y ) =
(0,, 0), pero NO es diferenciable en el (0,
(0
(0 , 0).
→
2
60. Justifique brevemente
brevemente porque las funciones
funciones f (x, y ) = e −(x
3
z ) son diferenciables.
61.
x + y
2
+y 2 )
2
ES continua en
y gg((x, y ) = cos(x
cos(x + y 2 +
(s)
Determinar donde las siguientes funciones son diferenciables:
xy
2xy
c ) f (x,y,z
x,y,z)) = x/y + y/z
y/z..
b ) f (x, y ) =
,
a ) f (x, y) = 2
,
x2 + y 2
(x + y 2 )2
62. Para cada una de las siguientes
siguientes funciones, escriba la expresión
expresi´
on del residuo de la definición
ci´
on de diferenciabilidad en el punto en cuestión,
cuesti´on, Pruebe que la función
funci´on es diferenciable.

a ) f (x, y ) = 4x
− 10
10yy, p = (x0 , y0 )
c ) f (x, y ) = x sen y , p = (0
(0,, 0)
x+y+z
2 3
b ) f (x, y ) = 4x y , p = (1
(1,, 1)
d ) f (x,y,z
x,y,z)) = e
, p = (0
(0,, 0, 0)
63. Considere
Considere la funci´
funcion
ón f : R2
R, f (x, y ) = x + y . ¿Qu´
¿Q uée aspecto
as pecto tiene la gr´
gráfica
afica de
f ? Demuestre que esta función
funci´on NO es diferenciable en el origen. ¿En qu´
quée otros puntos
no es diferenciable?
→→
|| ||
64. (A manera de recapitulaci´
recapitulación:
on: ¿qu´
¿quée imp
implica
lica qu´
qué?)
e?).. Sea f : U
R2
R una función
funci´on
2
definida
defini
da en el conjun
conjunto
to abier
abierto
to U de R , y sea p un punto de U . A continuación
continuaci´on se dan
8 afirmaciones sobre la función
funci´on f .
⊂
→
a ) f es diferenciable en p
p..
b ) f es continua respecto de su primera variable en p.
c ) f es continua respecto de su segunda variable en p
p..
d ) f es continua en p en la dirección
direcci´on de algún
alg´
un vector v
e ) f es continua en p en la dirección
direcci´on de todo vector v
∈ R2.
2
R .
∈
f ) f tiene derivadas parciales en p
p..
g ) f tiene derivadas direccionales en p en la dirección
direcci´on de cualquier vector v
∈ R2.
h ) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centro
en p.
Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la l´ınea
ı́n ea i y columna j , cuando la
afirmación
afirmaci´
on de la l´
lı́ınea
n ea i implique la afirmación
afirmaci´on de la columna j , y con una F cuando no
la implique. Por ejemplo, la afirmación
afirmaci´on (a) implica laafirmación
laafirmaci´on (f ), pero la afirmación
afirmaci´on
(f ) no implica la (a
(a). Estas respuestas ya aparecen en la tabla.
14
Considere
dere la función
funci´
on f : R2
65. Consi
→ R.
 (x + y )sin √
f (x, y ) =

0
2
1
x2 +y 2
2

(x, y) = (0
(0,, 0)
(x, y) = (0,
(0, 0)
a ) Dem
Demuestr
uestree que las derivadas
derivadas parciales
parciales de esta función
funci´
on están
est´an dadas por
 (2(2xx)sin √
∂f
=
− √xx+y
 (2(2yy)sin √
∂f
=

∂x
− √xy+y
1
x2 +y 2
∂x
2
2
cos
√x 1+y
2

(x, y ) = (0
(0,, 0)
2
0
1
x2 +y2
(x, y ) = (0,
(0, 0)
2
2
cos
√x 1+y
2

(x, y ) = (0
(0,, 0)
2
0
(x, y ) = (0,
(0, 0)
b ) Demuestre que las derivadas
derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probando
que el l´ımite
ı́mite de ellas cuando (x, y ) tiende a (0,
(0, 0) no existe.
c ) Constate que el residuo de la definción
definci´on de diferenciabilidad aplicada a f en el
origen se ve como
r(h1 , h2 ) = (h
( h21 + h22 )sen
d ) Demuestre que
r(h1 , h2
lı́ım
l´
m
(h1 ,h2 )
h 1+ h
→(0,0) (h1 , h2 )
2
1
2
2
=0
y concluya entonces que la función
funci´on es diferenciable en el origen.
2
e ) Respond
Respondaa VERDADERO
VERDADERO o FALSO: ¿Si una funcio
funcion
n f :U
⊂ R → R es diferenciable en el punto (x
(x0 , y0 ) ∈ U , entonces implica que las derivadas parciales de f
sean continuas en (x
(x0 , y0 ).?
66. Considere
Considere la superficie
superficie en R3 definid
definidaa impl´
implı́citame
ıcitamente
nte por F (x,y,z
x,y,z)) = xy
xyzz + ln(xyz
ln(xyz))
z = O Hallar la ecuación
ecuaci´on del plano tangente en p = (1
(1,, 1, 1).
−
67. Halla
Hallarr la ecuación
ecuaci´
on del plano tangente a la superficie dada impl
impl´ıcitamente
ı́citamente por
F (x,y,z
x,y,z)) = 36x
36x2 + 9y
9y 2 + 4z
4z 2
− 72
72x
x − 36
36yy − 24
24zz + 72 = O
en el punto p = (1
(1,, 4, 3).
68. Suponga que la expresi´
expresión
on
ˆ
donde gg,, h :
R
R
y +z
g (t)dt +
xz
ˆ
z2
(t)dt
3x+y
son funciones
funcion es continuas, define impl
i mpl´ıcitamente
ı́citament e una funci´
fu nción
on diferen-
→
ciable z = f (x, y ). Halle sus derivadas parciales.
15
gr´afica de la superficie para determinar el signo de la derivada
69. Para pensar Utilizar la gráfica
parcial indicada.
a ) fx (4
(4,, 1)
b ) fy (4
(4,, 1)
− −1)
d ) fy (−1, −2)
c ) fx ( 1,
70. Dada la funci
funci´on
ón f (x, y ) = 3x2 y + x + y . Usando la definición
definici´on de derivada parcial calcule
fx (1
(1,, 1) y f y ( 1, 1).
−
71. Halle las derivadas
derivadas parciales
parciales de prime
primerr orden de las siguientes
siguientes funciones
a ) f (x, y ) = x 3
2
b ) g (x, y) = e x
− 2x2y2 + 3
−y2 + ln(x
ln(x2 + y 2 − 4)
c ) h(x,y,z
x,y,z)) = 2 co
cos(
s(xy
xy 2 ) + tan(yz
tan(yz))
z
ˆ
d ) f (x,y,z
x,y,z)) =
e ) f (x,y,z
x,y,z)) = x
x
t2
e
x
ˆ
z
x2
2
ˆ
dt +
√
− ln(
ln(x
x2 − 4y ) + xyz
cos(tt2 )dt + arctan(xyz
cos(
arctan(xyz)) + 8
−y
1
dt + yz 3
1 + cos2 t
72. Consi
Considere
dere una recta tangente
tangente a la superficie
f (x, y ) = e x sen(6
sen(6πy
πy))
xy
− 2x3 + arctan(xy
arctan(xy)) −
1 + x2
P
la cual se encuentra en un plano paralelo al plano yyzz , pasa por un punto donde y = 1
y tiene pendiente 12
12π
π. Encuentre la ecuación
ecuaci´on del plano .
−
P
73. Encue
Encuentre
ntre los puntos
puntos de la superficie f (x, y ) = xy
xy(1
(1 − x − y ) donde el plano tangente
es paralelo al plano coordenado xy .
74. Consi
Considere
dere el hiperboloide
hiperboloide de una hoja z =
2
2
x − y − 4
−
a ) Encue
Encuentre
ntre el plano tangente
tangente al hiperbolo
hiperboloide
ide en el punt
puntoo A
A(( 6, 2,
√28)
−
b ) Halle la ecuaci´
ecuación
on vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei punto A( 6, 2,
√28).
c ) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes son
paralelos
paral
elos al plano Q : 2x + y + z = 0.
x2 y 2 z 2
75. Dem
Demuestr
uestree que el plano tangente
tangente al elips
elipsoide
oide 2 + 2 + 2 = 1 en un punto (x
( x0 , y0 , z0 )
a
b
c
x0 x y 0 y z 0 z
tiene por ecuación
ecuaci´on Q = 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
76. Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su volum en sea 36 pies
cúbicos.
c´
ubicos. El costo del material de la tapa y de la base es de $10 el pie cuadrado, el del
material para las partes de enfrente y de atrás
atr´as es de $9 el pie cuadrado y el material
para los otros lados es de $7 el pie cuadrado.
a ) Deter
Determine
mine la funci´
función
on de costo C (x, y) , donde x y y son las medidas del largo y el
ancho de la base de la caja respectivamente.
16
b ) Calcule C x (3
(3,, 4) y C y (3
(3,, 4) e interprete los resultados.
77. Sea C la curva de intersección
intersecci´on del paraboloide z = 12
− x2 − y2 con el plano x = 2.
a ) Halle la ecuación
ecuaci´on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (2,
(2, 2, 4)
b ) Halle la ecuación
ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) =
perpendicular a la recta tangente obtenida en a
a).
).
2
R
+
y2
8
que es
R
→
78. Dada la funci´
función
on f :
x2
6
.
 x (y − 4)

f (x, y ) =
 x +0 y
2

si x + y = 0
si x + y = 0
−
a ) Anali
Analice
ce la continuidad
continuidad de f en el punto ( 4, 4)
b ) Halle
∂f
∂f
( 4, 4) y
( 4, 4), si existen
∂x
∂y
−
−
79. (Muy interesante ) Dada la función
funci´on f (x, y) = x2
en los cuales f y (x, y ) no existe.
| − 4x + y2 − 6y + 4|, halle los puntos
80. En los sigui
siguiente
entess ejerc
ejercicios
icios,, deter
determine
mine las deriv
derivadas
adas parciales
parciales indicadas en caso de que
existan.
1 + cos(πxy
cos(πxy))
a
si x + y = 0



) f (1
(1,, −1) y f (1
(1,, 0) donde f (x, y ) = 
 x +0 y si x + y = 0
 x y

 −e
si y =
y+e
) f (0
(0,, −1) y f (0
(0,, 1) donde f (x, y ) =
 0 si y = −
 x − y
si (x, y ) =
 (0
(0,, 0)
x +y
) f (0
(0,, 0) y f (0
(0,, 0) donde f (x, y) =
 0 si (x, y) = (0,(0, 0)
 x + y
si y + x =
0
y +x
) f (−1, 1) y f (−1, 1) donde f (x, y ) =
 0 si y + x = 0
x
y
2 2
b
x
x
x
y
ex
c
x
y
3
3
2
2
3
d
x
2
2
2
y
2
81. Consi
Considere
dere una esfera con centro
centro en el orige
origen
n y radio 13. Una recta tangente
tangente trazada a
esta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 está
est´a en el plano paralelo al
plano x
xzz y tiene pendiente 1/4. Encuentre la ecuación
ecuaci´on del plano.
−
82. En cada uno de los sigui
siguiente
entess ejercicios,
ejercicios, halle la ecuac
ecuaci´
ión
on del plano tangente y de la
recta normal a cada una de las superficies en el punto indicado.
a ) z = e 2x cos(3
cos(3yy ),
b
P (1
(1,, π/
π/33, e2 )

) z = ln( x + y ),
2
c ) z = x ln y ,
2
−
−
P ( 3, 4, ln5)
(1,, 1, 0)
(1
83. Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente
tangente es paralelo al plano coordenado
xy..
xy
a ) z = x3
− 12
12xy
xy + 8y
8 y3
b ) f (x, y ) = x 3 ye y−3x
c ) Halle la ecuación
ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = 4xy
paralelo al plano Q : 8x
− 8y + z + 28 = 0
17
x4
− −
y 4 que es
d ) Encuentre el ´
ángulo entre la recta L =
angulo
normal a la esfera
esfera.
x2
+ y2
+ z2
{ (−2, 5, 12) + tt(4
(4,, 1, −3) : t ∈ R} y la
= 121 en el punto de intersección
intersecci´on de ia recta y la
84. ¿En qu´
quée puntos del gr´
gráfico
afico de la ecuación
ecuaci´on x2 + 4y
4y 2 + 16z
16z 2
tangentes paralelos al plano xz ?
− 2xy = 12, son los planos
85. Halle un vector tangente a la curva
curva de intersección
intersecci´
on de las superficies x 2
− 3xz + y2z = 1
−
y 3xy + 2yz
2 yz + 6 = 0 en el punto (1,
(1, 2, 0).
86. Demuestr
Demuestree que el plano tangente
tangente a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en un punto (x
( x0 , y0 , z0 )
de la esfera (z
(z0 > 0) tiene por ecuación
ecuaci´on xx0 + yy 0 + zz 0 = 1
87. Halle sobre
sobre el cilindro
cilindro (x
( x + y )2 + (y
(y z )2 = 4 el lugar geom´
geométrico
etrico de los puntos en los
cuales la normal es paralela al plano xy .
−
− − 22zz + m = 0 sea tangente a la
88. Determine
Determine el valor de m para que el plano x 22yy
superficie de ecuación
ecuaci´on x 2 + 4y
4y 2 + 16z
16z 2 144 = 0
−
89. Verifiq
erifique
ue en cada caso que D 12 f (x, y ) = D21 f (x, y ).
a ) f (x, y ) = x 4 + 4x
4x3 y
− 3x2y2 + 6xy
6xy 3 + 9y
9y 4
b ) f (x, y ) = e xy sen x cos y
2
c ) f (x, y ) = xe −y + x sec y
d
1+x
1+z
xy
 −e
) f (x,y,z
x,y,z)) = ln
90. Si f (x, y ) = (y + ax
ax))2 ey+ax . Pruebe que fxx = a 2 fyy
91. Dada la funci´
función
on z = 15 x5
− 2x3 + 25x
25x + ax3 y 2 + bxy4 + cxy2
a ) Deter
Determine
mine los valore
valoress de a
a,, b y c de modo que
opuestos.
∂2z ∂2z
y
sean iguales y de signos
∂x 2 ∂y 2
b ) Halle los puntos de la superficie representativa
representativa de dicha función
funci´
on en los que el plano
tangente es horizontal.
92. Sea la función
funci´on f (x, y ) = eax+by g (x, y ). Si gx (x, y) = gy (x, y ) = 1. Halle los valores de
las constantes a y b, tales que f x (x, y ) = f y (x, y ) y 1 + fxy (x, y ) = a + fyx (x, y )
x
93. Par
Paraa k una constante positiva y g (x, t) =
, sea f (x, y ) =
2 kt
2
que k ∂ f2 = ∂f
∂x
∂t
xy
ex + ey + 2
si (x, y ) = (0
(0,, 0)
y + x2
94. Dada la funci´
función
on f (x, y) =
2
si (x, y ) = (0
(0,, 0)
ˆ
√


g (x,y )
2
e−u . Pruebe
0


∂2f
∂ 2f
Halle
(0,, 0) y
(0
(0,, 0) si es que existen
(0
∂x 2
∂x∂y
95. La distribuci´
distribución
on de la temperatura sobre una placa metálica
met´alica viene dada por la función
funci´on
2
2
T (x, y ) = 10(xe
10(xe−y + e−(x−2) )
Si una mosca se sitúa
sit´
ua en el punto P 0 (2
(2,, 0). se pide:
a ) Det
Determ
ermina
inarr la raz
raz´on
ón de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto
Q(2
(2,, 2).
18
b ) ¿En qu´
quée direcci´
dirección
on desde el punto P0 debe m overse la m osca para que la tem
peratura dism inuya lo más
m´as rápidam
r´apidam ente posible?. Si sigue esta dirección,
direcci´on, ¿cuál
¿cu´al
es la rapidez de cam bio de la tem peratura?
c ) ¿En qu´
quée direcci
direcci´on
ón desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la tempe-
ratura aumente lo más
m´as rápidamente
r´apidamente posible?. Si sigue esta dirección,
direcci´on, ¿cuál
¿cu´al es la
rapidez de cambio de la temperatura?
d ) Si la mosca no quisiera apreciar ningún
ning´un cambio de temperatura, ¿qu´
¿quée direcci´
dirección
on
debe tomar?
96. La altura de una montaña
monta˜na sobre el nivel del mar es dada por la ecuación
ecuaci´on z = 900
2
2
2x
2y , donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y sur-norte
respectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A
A(6
(6,, 5, z0 ).
−
−
a ) ¿A qué
qu´e altura se encuentra el hombre?
b ) ¿En qu´
quée direcci
direcci´on
ón desde ei punto A debe cam inar el hombre para escalar la
monta˜
montaña
na lo más
m´as rápido
r´apido posible?. Si sigue esta dirección,
direcci´on, ¿cuál
¿cu´al es la rapidez de
cambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo).
c ) ¿Cuál
¿Cu´al es la dirección
direcci´on que apunta a la cima de la montaña
monta˜
na desde el punto A? Si
sigue esta dirección,
direcci´on, ¿cuál
¿cu´al es el valor de la pendiente de la m ontaña?
onta˜na?
d ) S´ıı́ el hombre se
s e mueve en la direcci´
dir ección
on sur-oeste, ¿está
¿est´a ascendiendo o descendiendo?,
¿cuál
¿cu´
al es su rapidez?
97. Calcule
Calcule el va
valor
lor de la deriv
derivada
ada direccional
direccional de la funci
funci´on
ón z = f (x, y ) = x 5 + xy + y 3 en
el punto A(1
(1,, 6), en la dirección
direcci´on de la curva y = gg((x) = 4x2 + 2.
98. Consi
Considere
dere una funci´
funcion
ón f (x, y ), tal que

∇f (x, y) = 4x3 + 2xy
2xy 4 + ye xy , −3y 2 + 4x
4x2 y3 + xexy
y f (0
(0,, 0) = 21 La temperatura en un punto (x,
(x, y ) de una placa rectangular con centro
en el origen está
est´a dada por
T (x, y ) = f (x, y ) + y3
− exy
a ) Deter
Determine
mine la direcci´
dirección
on en que una araña
ara˜na debe ir, partiendo dej punto B (1
(1,, 1) de
la placa, para que se enfrı́e
enfr´ıe lo m´
más
as rápidamente
r´apidamente posible.
b ) ¿Cuál
¿Cu´al es la rapidez de la araña
ara˜na en esta dirección?
direcci´on?
99. * Sea f ((
((x,y,z
x,y,z)) = x 2 y 2 (2
(2zz +1)2 . Halle la derivada direccional de f en el punto (1,
(1, 1, 1),
−
en la dirección
direcci´on de la recta tangente a la curva de intersección
intersecci´on de las superficies
2
2
S1 : x + y + 2(y
2(y x) 2 = 0
S2 : x y 2z 2 = 0
− −
− − −
de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario.
100. Una partı́cula
part´ıcula rastreadora de calor est´
estáa situada en el punto (5,
(5, 4) de una placa metálica
met´alica
2
2
cuya tem peratura en (x,
(x, y ) es T (x, y ) = 100 x
33yy . Halle la trayectoria de la
part´ıcula
part
ı́cula al moverse de forma continua en la direcci´
dirección
on de más
m´as rápido
r´apido crecimiento de la
temperatura.
− −
101.
(s)
El capitán
capit´an Ralph tiene problemas cerca de la cara iluminada de Mercurio. La tem2
2
2
peratura en el casco de su nave en la posición
posici´on (x,y,z
x,y,z)) es T (x,y,z
x,y,z)) = e−x −2y −3z .
La posición
posici´on actual es el punto (1,
(1 , 1, 1). ¿En que dirección
direcci´on debe mover la nave para que
la temperatura disminuya lo más
m´as rápido
r´apido posible? Si la nave viaja a una velocidad de
8
e m/s
m/s,, ¿a qu´
quée velocidad disminuye la temperatura
temp eratura cuando se dirige en esa direcci´
dirección?
on?
Si el l´ımite
ı́mite de la velocidad para que no se fracture el metal del casco es de 14
14ee2 grados
√
por segun
segundos,
dos, describir las direc
direccione
cioness de enfri
enfriamien
amiento
to evitan
evitando
do fract
fracturar
urar el casco
casco..
19
102. Dada la función
(2by x)
x )3 . Calcule el valor de b para que el valor de la
funci´on f (x, y ) = (2by
derivada direccional máxima
m´axima de f , en el punto ( 1, 0) sea igual a 3 17 .
−
√
−
103. Sea f (x, y) = x 2 y. ¿Q
¿Qu´
uée angulo
´ángulo form a el vector dirección
direcci´on con la parte positiva del eje
x, si la derivada direccional en el punto (1,
(1 , 1) es 2?
−
x2
z2
104. Halle los puntos
puntos de la superfic
superficie
ie S :
+ y2 +
= 11, en los cuales el plano tangente
4
4
a S es paralelo al plano Q : x + 2y
2 y + 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos,
escriba la ecuación
ecuaci´on general del piano tangente.
105. Sea C la curva de intersección
intersecci´on del paraboloide z = 9
− x2 − y2 con el plano x = 1.
a ) Halle la ecuaci´
ecuación
on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1,
(1, 2, 4).
b ) Halle la ecuación
ecuaci´on del plano tangente a la superficie S : 4x2 + 3y
3y 2
es perpendicular a la recta tangente obtenida en (a
( a).
− 24
24zz = 0, que
106. Demuestr
Demuestree que la suma de los cuadr
cuadrados
ados de las inte
intersec
rseccione
cioness con los ejes coordenados
coordenados
/3
/3
/3
/3
2
2
2
2
de cualquier plano tangente a la superficie x + y + z
=b
es constante e igual
2
ab .
 x y
107. Dada la funci´
función
on f (x, y ) =
 (y +0 x )
2 2
2

si (x, y ) =
 (0
(0,, 0)
si (x, y ) = (0
(0,, 0)
2 2
Demuestre que fx (0
(0,, 0) y
fy (0
(0,, 0) existen, pero que f NO es diferenciable en (0,
(0, 0).
108. Halle el valor aproximado
aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales
6(1
6(1,, 98) + (4,
(4, 1)2


) ln (1
(1,, 1) + (2,
(2, 3) − ln 9
a)
b
3
3
3
3
c ) sen(32◦ ) cos
cos(59
(59◦ )
109.
R/ = 0, 43
R/ = 0, 273
(s)
0.02
una aproximación
aproximaci´on lineal adecuada para estimar los valores: a) (0.99e
(0.99e ),
Utilizar
b) (4
(4..01) + (3.
(3.98) + (2.
(2.01) .

110. Sea f (x, y) = (x + y x − y , ¿es f diferenciable en (0,
(0, 0)? (Ayuda:Demuestre que
las derivadas parciales son continuas)
 √ xy
xy
si (x, y ) =
 (0
( 0, 0)
y +x
111. Dada la funci´
función
on f (x, y) =
 0 si (x, y) = (0( 0, 0)
¿Es f diferenciable en los puntos (0,
(0 , 0), (0,
(0, 1), (1,
(1, 1)? Justifique.
R/ NO,NO,SI.
 e + e + xy si (x, y) = (0(0,, 0)
y +x
112. Dada la funci´
función
on f (x, y) =

2
si (x, y ) =
 (0
(0,, 0)
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
x
2
y
2
¿Es diferenciable en (0,
(0, 0)?
113.
R/.. NO
R/
2
Sea f definida por f (x, y) = x22xy
(0,, 0) = 0. Mostrar que f
+y4 , si x = 0, y = 0, y f (0
es derivable direccionalmente en cualquier direción
direci´on pero que f no es diferenciable.
(s)
114. Sea la función
funci´on f (x, y) =
renciable.
115.
2
(s)


|xy|. Determine el conjunto de puntos donde f no es dife-
Verificar la regla de la cadena en las siguientes situaciones:
(u v )2
a) f (u, v ) =
x y
xy
xy
u2 +v 2
− ,u=e − ,v=e .
20
2
3
b) f (x, y ) = xy + e , rr((t) = (3t
(3t , t ).
116.
(s)
117.
(s)
Sea y defi
definida
nida impl´
implı́citame
ıcitamente
nte por x2 + y 2 + ey = 0. Encontrar
dy
.
dx
La ley de los gases perfectos P V = nRT , rel
relaci
aciona
ona una consta
constante
nte R, el número
n´
umero
de moles n, el volumen V , la temperatura T (Kelvin) y la presión
presi´on P. Determinar las
∂V ∂ T ∂P
∂V ∂T ∂P
derivadas parciales ∂T , ∂P , ∂V . Mostrar que ∂T ∂P ∂V = 1.
−
118.
(s)
Sea f definida por f (x, y) =
xy 2
x2 +y 2


si x = 0, y = 0, y f (0
(0,, 0) = 0. Encontrar
∇cumple
f (0
(0,, 0)
0).la
. Sea
rr((tde
) =la(2t,
(2
t, 3t). Mostrar que f ◦ r es diferenciable en (0,
(0, 0) pero que no se
regla
cadena!
119.
(s)
120.
(s)
121.
(s)
y
Sea z = f ( xx+
−y ), donde f
∈ C 1. Mostrar que f satisface
x
∂z
∂z
+y
= 0.
∂x
∂y
Sea f diferenciable y m un entero positivo tal que f (tx,ty
tx,ty)) = tm f (x, y). Mostrar
que f satisface la ecuaci´
ecuación
on de Euler: xf x + yf y = mf (x, y)
El desplazamiento en el instante t de la posición
posici´on horizontal
h orizontal de una
u na cuerda
cu erda de viol
vi ol´ın
ı́n
es u = sin(x
sin(x 3t)+sin(
)+sin(x
x + 3t). Calcular la velocidad de la cuerda en x = 1, si t = 1/3.
−
122.
(s)
Determinar el error en el siguiente argumento: w = f (x, y ) y y = x 2 . De la regla
de la cadena
∂w
∂w ∂x
∂w ∂y
∂w
∂w
=
+
=
+ 2x
2x
,
∂x
∂x ∂x
∂y ∂x
∂x
∂y
por tanto
∂w
= 0. Dar un ejemplo concreto donde se compruebe el error.
∂y
123. Sea u = f (x, y ) donde x = e s , y = e t Demuestre que
2
2
∂2u ∂2u
∂u
∂u
2 ∂u
2∂ u
+ 2 =x
+y
+x
+y
=0
2
2
2
∂s
∂t
∂x
∂y
∂x
∂y
124. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en un
extremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscina
estáa llenándose
est´
llen´andose con un caudal de 20 pies3 /seg , ¿a que velocidad se esta elevando el
nivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo más
m´as profundo?
125. En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo
tri´angulo es 20 pies y está
est´a aumentando a razón
raz´on de 2 pies/seg
pies/seg.. y la longitud del otro cateto es 24 pies y está
est´a disminuyendo a razón
raz´on de 4 pies/seg
pies/seg.. Encuentre la rapidez de cambio de la medida del
´ángulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante dado.
angulo
126. Un filtro cónico
c´onico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior,
se encuentra llena de una solución.
soluci´on. La solución
soluci´on va pasando a un vaso cilindrico de
3 cm de radio. Cuando la profundidad de la solución
soluci´on en el filtro es 12 cm y el radio
4 cm
cm,, su nivel está
est´a bajando a razón
raz´on de 2cm/seg
2cm/seg y el radio va decreciendo a razón
raz´on de
2/3 cm/seg
cm/seg.. Halle la rapidez con que está
est´a subiendo la solución
soluci´on en el vaso, para dichas
medidas.
127. Sea f : D
R2
R una función
funci´on diferenciable, tal que f (18
(18,, 0) = 4 y fx (18
(18,, 0) =
2
2
2 2
2
2
Dy (18
(18,, 0) = 3 Si H (x,y,z
x,y,z)) = f (x
y + z ,y
z + x ), halle la ecuación
ecuaci´on del plano
tangente a la superficie S : H (x,y,z
x,y,z)) = 0 en el punto P 0 (3
(3,, 4, 5)
⊂
→
−
−
−
128. Sea f una función
funci´on diferenciable, tal que f (2
(2,, 2) = 2, fx (2
(2,, 2) =
′
g (x) = f (x, f (x, f (x, x))), halle g(2) y g (2).
−2 y fy (2
(2,, 2) = 4. Si
129. Determinar si existe o no
no una función
funci´
on f (x, y) con las derivadas parciales dadas. fx (x, y ) =
2x + y y f y (x, y ) = x
− 4y
21
Encontra
ntrarr el ´angulo
ángulo de inclinación
inclinaci´on θ del plano tangente a la superficie en el punto dado.
130. Enco
a ) 3x2 + 2y
2y 2
b ) 2xy
− z = 15,
− z 3 = 0,
(2, 2, 5)
(2, 2, 2)
131. Enco
Encontra
ntrarr el (los) punto(s)
punto(s) sobre la superficie en la cual el plano tangente
tangente es horiz
horizonta
ontall
a ) z = 4x2 + 4xy
4xy
− 2y2 + 8x
8 x − 5y − 4
b ) z = xy + 1 + 1
x
y
∂u ∂u ∂u
,
y
si u es una función
funci´on diferenciable de x
x,, y y z d
defini
efinida
da imp
impll´ıciı́ci ∂x ∂y
∂z
tamente por xyz + x2 yu + 2xy
2xy 3 u u4 = 8.
132. Enco
Encontra
ntrarr
−
−
133. Deter
Determine
mine la linealizaci´
linealización
on L
L((x, y ) de la función
funci´on en cada punto.
a ) f (x, y ) = e 2y −x en (0,
(0, 0) y en (1,
(1, 2)
b ) f (x, y ) = x 3 y 4 en (1,
(1, 1) y en (0,
(0, 0)
c ) f (x,y,z
x,y,z)) = tan−1 xyz en (1,
(1, 0, 0) y en (1,
(1, 1, 1)
134. Sólo
S´olo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie
z = x 2 + 2xy
2xy + 2y
2y2
− 6x + 8y
8y
es horizonta
horizontal.
l. Encu´
Encuéntrelo.
entrelo.
135. Encue
Encuentre
ntre una función
funci´
on z = f (x, y ) tal que
∂z
1
= 2xy 3 + 2y
2y +
∂x
x
∂z
= 3x
3 x2 y 2 + 2x
2x + 1
∂y
 xyxy((y − x )
136. Dada la funci´
función
on f (x, y) =
 x +2 y
2
2
2
2

si (x, y ) =
 (0
( 0, 0)
si (x, y ) = (0
( 0, 0)
a ) Dem
Demuestr
uestree que fx y f y son continuas excepto tal vez en el origen.
b ) Utilic
Utilicee coordenadas
coordenadas polares para demostrar
demostrar que f x y f y son conti
continuas
nuas tamb
tambi´
ién
en en
(0,, 0).
(0
c ) Demuestre que todas las derivadas
derivadas parciales de segundo orden de f est´
están
an definidas
y son continuas excepto quizás
quiz´as en el origen.
d ) Dem
Demuestr
uestree que las cuatro derivadas
derivadas parciales
parciales de segundo
segundo orden de f existen en el
origen, pero que f xy (0
(0,, 0) = f yx (0
(0,, 0).

e ) Considere el comportamiento
comp ortamiento sobre lı́neas
l´ıneas rectas para demostrar que ninguna de
las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f es continua en el origen.
22