Unidad 4
TRANSFORMACIONES LINEALES.
VALORES Y VECTORES PROPIOS
TEMA
Valores y vectores propios de
una matriz cuadrada
Importancia
GNP:
Operaciones básicas con matrices: 2
3 1
6 −1 1
¿Para qué el estudio de valores y vectores propios?
Nosotros los usaremos para resolver sistemas como este:
𝑥 ′1 𝑡 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3
൞ 𝑥 ′ 2 𝑡 = 2𝑥1 + 2𝑥3
𝑥 ′ 3 𝑡 = 4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3
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Importancia
¿Para qué el estudio de valores y vectores propios?
Existen
aplicaciones
en
una
gran
variedad
de
ramas
del
conocimiento: en economía, estadística, ingeniería, física, etc.
Algunos ejemplos:
- En ingeniería industrial o economía, aparecen los valores y vectores propios
en las Cadenas de Markov.
- En ingeniería civil, se analizan al estudiar el pandeo de columnas.
- Simplifican considerablemente el proceso de cálculo de potencias de
matrices, proceso utilizado por buscadores como Google.
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Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante determina los valores y
vectores propios de una matriz cuadrada.
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VALORES Y VECTORES PROPIOS
DEFINICIÓN
Sea A una matriz de orden 𝑛. El número se llama valor propio
de A si existe un vector 𝐯 de R𝑛, no nulo, llamado vector propio de
A, tal que:
A𝐯 = 𝐯
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OBSERVACIONES
• A los valores propios también se les llama autovalores,
eigenvalores o valores característicos.
• A los vectores propios también se les llama autovectores,
eigenvectores o vectores característicos.
• En la definición se excluye 𝐯 = 𝟎, toda vez que A𝟎 = 𝟎 = 𝟎 y
así cualquier sería valor propio de A.
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EJEMPLO 1
1
Compruebe que el vector 𝐯 =
es un vector propio de la matriz
1
2 3
A=
y determine su valor propio asociado.
6 −1
Solución
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POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
Sea A𝑛x𝑛 y 𝐯 no nulo, tal que A𝐯 = 𝐯, entonces:
𝑃 = det (A − I)
det (A − I) = 0
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Polinomio característico
Ecuación característica
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DETERMINACIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS
TEOREMA
Sea A una matriz 𝑛 × 𝑛
1. Un valor propio de A es un escalar 𝜆 tal que det A − I = 0.
2. Los vectores propios de A correspondiente a son las
soluciones diferentes a cero de A − 𝜆I 𝐯 = 𝟎.
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EJEMPLO 2
Halle los valores y vectores propios de la matriz A = 2 −12
1
Solución
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−5
EJEMPLO 3
0 1 0
Halle los valores y vectores propios de la matriz A = 0 0 1
2 −5 4
Solución
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EJEMPLO 4
−1 0 1
Halle los valores y vectores propios de la matriz A = 3 0 −3
1 0 −1
Solución
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PROPIEDADES
1. Si A es una matriz de orden 𝑛 y 1,2,...,𝑚 son “𝑚” valores
propios distintos de A, con vectores propios 𝐮1,𝐮2,...,𝐮𝑚,
entonces el conjunto de vectores {𝐮1,𝐮2,...,𝐮𝑚} es L.I.
2. Los valores propios de una matriz triangular y diagonal son
las entradas en su diagonal principal.
3. Una matriz A es invertible si y solo si =0 no es un valor
propio de A.
4. Si es un valor propio de la matriz A con vector propio
correspondiente 𝐯 entonces 𝑛 es un valor propio de A𝑛 con
vector propio correspondiente 𝐯.
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PROPIEDADES
5. Si A es invertible, con valor propio , entonces 1/ es un valor
propio de A−1 con vector propio correspondiente 𝐯.
6. Si es un valor propio de la matriz A, con multiplicidad 𝑘,
entonces existe, a lo más, 𝑘 vectores propios L.I., asociados a
.
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PROPIEDADES
1. Si A es una matriz de orden 𝑛 y 1,2,...,𝑚 son “𝑚” valores
propios distintos de A, con vectores propios 𝐮1,𝐮2,...,𝐮𝑚,
entonces el conjunto de vectores {𝐮1,𝐮2,...,𝐮𝑚} es L.I.
A=
2
1
−12
−5
λ = −1
𝐯1 =
det
λ = −2
4
1
𝐯2 =
4 3
;
1 1
L.I
4
1
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3
1
3
=1≠ 0
1
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PROPIEDADES
2. Los valores propios de una matriz triangular y diagonal son
las entradas en su diagonal principal.
2 0
A=
1 −5
3 −4 7
B= 0 1
2
0 0 −5
Los valores propios de la matriz A
λ=2
λ = −5
Los valores propios de la matriz B
λ=3
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λ=1
λ = −5
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PROPIEDADES
3. Una matriz A es invertible si y solo si =0 no es un valor
propio de A.
2
A=
1
λ = −1
−1 0 1
A = 3 0 −3
1 0 −1
−12
−5
λ = −2
La matriz A es invertible
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λ=0
λ = −2
La matriz A es no invertible
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PROPIEDADES
4. Si es un valor propio de la matriz A con vector propio
correspondiente 𝐯 entonces 𝑛 es un valor propio de A𝑛 con
vector propio correspondiente 𝐯.
2
A=
1
−1 0 1
A = 3 0 −3
1 0 −1
−12
−5
λ = −1
λ = −2
Entonces, los valores propios
de la matriz A2 son
λ = −1
2
=1
λ = −2
2
=4
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λ=0
λ = −2
Entonces, los valores propios
de la matriz A3 son
λ= 0
3
λ = −2
=0
3
= −8
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PROPIEDADES
5. Si A es invertible, con valor propio , entonces 1/ es un valor
propio de A−1 con vector propio correspondiente 𝐯.
A=
2
1
λ = −1
−12
−5
λ = −2
3 −4 7
B= 0 1
2
0 0 −5
La matriz A es invertible
λ=3
Entonces, los valores propios
de la matriz A−1 son
La matriz B es invertible
λ = −1
1
λ=−
2
λ = −5
Entonces, los valores propios
de la matriz B−1 son
λ=
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λ=1
1
3
λ=1
λ=−
1
5
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PROPIEDADES
6. Si es un valor propio de la matriz A, con multiplicidad 𝑘,
entonces existe, a lo más, 𝑘 vectores propios L.I., asociados a .
De los ejemplos 3
0 1
A= 0 0
2 −5
y 4, obtuvimos:
0
1
4
Valores y vectores propios:
λ = −1
(mult. 2)
λ=2
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1
𝐯1 = 1
1
1
𝐯2 = 2
4
−1 0 1
A = 3 0 −3
1 0 −1
Valores y vectores propios:
λ=0
(mult. 2)
λ = −2
1
𝐯1 = 0
1
0
; 𝐯2 = 1
0
1
𝐯3 = −3
−1
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EJEMPLO 5
1 −1
4
Dada la matriz A = 0
2 −1
0
0 −1
a) Determine los valores y vectores propios de la matriz A
b) ¿Existe un conjunto de 3 vectores propios L.I.?
c) Determine los valores y vectores propios de la matriz A3 .
d) Determine los valores propios de A−1 , si existen.
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Resumen
Se halla valores y vectores propios de matrices cuadradas.
Es importante especificar que trabajaremos con matrices cuyos
valores propios son números reales.
Los valores propios de una matriz cuadrada, son las raíces de la
ecuación característica det A − 𝜆I = 0.
Los vectores propios asociados a cada valor propio 𝜆
determina resolviendo la ecuación A − 𝜆I 𝐯 = 𝟎.
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se
Bibliografía
Libros de Consulta:
Libro digital de EDO&AL(MA264)
Autor: Profesores del curso
Sesión 10.1 pág. 1 a 6
ÁLGEBRA LINEAL
Tercera edición
Autor: David Poole
Ejercicios 4.3 Pág. 309 a 312
Ejercicios sugeridos: 3, 6, 9, 11, 15, 17,24
Canal de Youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=u4YuMFE
WFmU
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Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Autor: Docentes del curso
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