INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E IDEA DE INVESTIGACIÓN: Adición y Sustracción con Números Racionales. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Y JUSTIFICACIÓN El concepto de fracción está presente en los más diversos contextos de uso cotidiano. En el contexto escolar, los números racionales se hacen parte del Diseño Curricular del Nivel Secundario desde lo más sencillo a lo más complejo. En Segundo año se observa que, a pesar que la mayoría de los/las estudiantes pasan un tiempo razonable resolviendo operaciones con fracciones, continúan enfrentando problemas a la hora de resolver sumas y restas con diferente denominador, no pudiendo construir la noción del múltiplo común mínimo y la necesidad de este como común denominador para resolver estas operaciones. De ese modo, ahondar en los errores cometidos por los alumnos en el desarrollo de las matemáticas supone en primer lugar un manejo equivoco de la conceptualización en matemáticas. Brousseau, Davis, y Warner (1986) describen que: “el campo de los errores cometidos por los estudiantes, en algunos casos, presenta patrones consistentes; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas, que conducen al uso de procedimientos equivocados que pasan desapercibidos por el profesor; métodos propios que impiden la asimilación de métodos que el profesor enseña, llevan a señalar posibles caminos en los que el error puede presentarse. Algunos de estos caminos son: los errores como asimilación errónea de métodos impartidos por profesores, el error como producto de métodos propios del estudiante, métodos informales, entre otros”. (Brousseau, Davis, y Warner, 1986). HIPÓTESIS: La ausencia de la noción del múltiplo común mínimo, y su consecuente aplicación conlleva a procedimientos erróneos en la resolución de sumas y restas de números racionales con distintos denominadores. OBJETIVOS: Objetivo General: Identificar los errores originados por deficiencias en el manejo de la noción de múltiplo común mínimo y su consecuente aplicación para la resolución de operaciones de suma y resta con números racionales con diferente denominador. 1 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Objetivos Específicos: Determinar cuáles son los errores más frecuentes que presentan los estudiantes al momento de resolver operaciones de suma y resta de números racionales con diferente denominador. Establecer las dificultades sistemáticas que presentan los/as estudiantes para dar cuenta de menor complejidad y de mayor factibilidad en su tratamiento y la reorganización de conocimientos básicos que necesita el/la estudiante. PREGUNTAS: ¿Cuáles son los errores que se evidencian en los estudiantes al enfrentarse a la resolución de operaciones de suma y resta de números racionales con distinto denominador? ¿Se recurre a procedimientos mnemotécnicos para operar la adición y sustracción con números racionales, en reemplazo de procedimientos que precisan la comprensión conceptual? ¿Cuáles son los conocimientos previos que los alumnos/as deben tener para poder realizar sumas y restas de números racionales con distinto denominador? ¿Cuáles son los métodos utilizados por los docentes en la enseñanza de las operaciones básicas con números racionales? ¿Cuál es el grado o porcentaje de alumnos que presentan dificultades al momento de operar con números racionales? 2 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E MARCO TEÓRICO: Las sumas y restas de fracciones con diferentes denominadores son difíciles de entender y de resolver. Enfrentar la resolución de estas requiere del aprendizaje de contenidos previos. De ahí que, entender las dificultades que se presentan, se haya convertido en una preocupación que lleva a investigar al respecto a profesionales dedicados al mundo de la educación, especialmente si se considera el alto porcentaje de fracaso que presentan en estos contenidos los y las estudiantes de segundo año en la escuela secundaria. Para analizar y entender las dificultades en el aprendizaje de este contenido y para poder ofrecer propuestas educativas superadoras a los alumnos y alumnas que presentan estas dificultades, es necesario realizar un recorrido por los siguientes ejes fundamentales de análisis y que refieren a: las características del adolescente protagonista del proceso de enseñanza- aprendizaje, cuales son los contenidos que se enmarcan en el Diseño Curricular para el reconocimiento y priorización de contenidos previos y cuáles son las teorías de aprendizaje que permiten desarrollar metodologías concretas para el desarrollo de estrategias y procedimientos para superar las dificultades en la resolución. ¿Cómo construye su pensamiento este/a adolescente, protagonista del proceso de enseñanza- aprendizaje? En la adolescencia se produce un cambio fundamental en el pensamiento. Deja de pensar sólo en lo concreto, en el aquí y en el ahora, y comienza a aparecer un nuevo tipo de pensamiento que le permite realizar una mejor adaptación al mundo que es más complejo y en constante cambio. El pensamiento formal permite razonar teniendo en cuenta todas las posibilidades, no solamente lo real, sino también sobre lo posible. Por otra parte le permitirá a este adolescente realizar abstracciones en su pensamiento, saliendo del contacto con lo concreto exclusivamente. Los y las adolescentes están más cercanos al pensamiento científico: formulación de hipótesis, razonamiento hipotético deductivo, disociación de factores. Por esta razón, son fundamentales las actividades que pongan en contacto al adolescente con la posibilidad de investigar la capacidad para disociar factores El pensamiento combinatorio también es una construcción que los y las estudiantes experimentan en esta etapa, permitirles considerar todas las alternativas posibles ante un determinado problema, así como todas las combinaciones posibles entre ellas será importante. El desarrollo de esta capacidad es fundamental para resolver problemas de tipo lógico-matemático, pero también se extiende a otros aspectos cotidianos de la vida o al razonamiento moral. Por otra parte, la capacidad de abstracción y flexibilidad del pensamiento permite desligar el pensamiento de la realidad. El pensamiento se hace mucho más autónomo. No necesita tener presente la realidad, sino que se puede razonar a partir de símbolos aplicando sobre ellas también operaciones o reglas abstractas. 3 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Una característica del desarrollo en la adolescencia es el logro de más autonomía. El adolescente se separa progresivamente de su familia, lo que habitualmente conlleva un grado de conflicto e incluso de rebeldía con los adultos. A la vez y como parte del mismo proceso, establece lazos emocionales profundos con personas de su misma edad, que se vuelven centro de sus relaciones emocionales. La adolescencia se caracteriza por el desarrollo de competencia emocional y social. La primera se relaciona con la capacidad de manejar o autorregular las emociones y la segunda con la habilidad para relacionarse efectivamente con otros. Esto será importante en la progresión de su autonomía, en las relaciones con sus pares que contribuirán significativamente al bienestar y desarrollo psicosocial de los jóvenes. Es un tiempo en el cual construye su identidad, a partir del contacto con diversidad de costumbres y normas sociales, que proveen el contexto para el ejercicio de destrezas y la satisfacción de una serie de necesidades interpersonales. Por todo esto el trabajo en grupo y el desarrollo de experiencias colaborativas serán muy beneficiosas. El Diseño Curricular Marco General La propuesta planteada por el actual Diseño Curricular hace referencia a la necesidad de que los y las estudiantes piensen matemáticamente, dado que esto “estimula la aparición de peculiares estructuras de razonamiento con poderoso alcance, cuya aplicación trasciende las fronteras de lo instrumental”1. A partir de esto, será importante entender que pensar y comunicarse matemáticamente, generará oportunidades y ejercicio de autonomía. La propuesta pedagógica se basa en la resolución de problemas con la finalidad específica de que, a partir de esto los y las estudiantes deben poder construir conocimientos que puedan aplicar a situaciones nuevas. Por esto, la reflexión sobre lo que se realice será fundamental y sobre esto deberán orientarse todas las intervenciones docentes a fin de que puedan establecerse relaciones entre “lo construido y el saber científico “2, el contenido. Por esto las situaciones de aprendizaje que se propongan en el segundo año de la escuela secundaria deberán orientarse con una mirada superadora respecto de aplicar conceptos, sino que los conocimientos deberán tener la función de herramientas para la resolución de problemas. De aquí que, será fundamental el rol docente para garantizar la iniciación en el modo de pensar matemático, descontextualizando los contenidos habilitando mediante la habilitación de otros contextos y propiciando resoluciones a partir de los conocimientos construidos desde el área. 1 2 “Diseño Curricular de la Provincia de Bs As”. Ministerio de Educación Provincia de Bs As. “Diseño Curricular de la Provincia de Bs As”. Ministerio de Educación Provincia de Bs As. 4 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E La organización de situaciones de enseñanza deberá presentar verdaderos desafíos que permitan a los alumnos y alumnas despertar su interés por la resolución de problemas que habiliten la construcción de nuevos aprendizajes. La forma de conocer en matemática, los conocimientos previos y las formas en que estos se construyeron, serán pilares centrales para seguir avanzando en el proceso de aprendizaje. Posicionar a los y las estudiantes frente a problemas que demanden otros usos para lo que conocen y desde allí que puedan alcanzar nuevos conocimientos. Para esto, será necesaria la construcción de estrategias que les permitan desarrollar autonomía y la comunicación para justificar la construcción de producciones mediante razonamientos deductivos. Es para destacar el “equilibrio entre lo conocido y lo nuevo”3, que serán un trabajo importante que deberá realizar el nivel secundario. Estos conocimientos anteriores, previos, serán los que se deberán poner en juego, de manera que estos conocimientos abran la puerta para conectar nuevos, sin que la práctica mecánica y no reflexiva los aleje de aprendizajes significativos. Justificación de procedimientos que pongan en acción los conocimientos utilizados, razonamiento de los procesos que se irán construyendo serán objetivos de las intervenciones docentes. Para esto será fundamental que el docente ponga la mirada en el tratamiento del error como “parte constructiva del proceso de aprendizaje”4. Marco específico Como todos los conceptos matemáticos, los números racionales ponen de relieve diferentes aspectos en función de los distintos usos. Entre otras cosas, un número racional puede expresar: una relación entre las partes que forman un todo; el resultado de un reparto, vinculado de este modo a la división entre naturales; el resultado de una medición, expresando entonces la relación con una unidad; constante de proporcionalidad que tendrá un significado preciso. Las fracciones son de uso común en la vida cotidiana, lo que resignifica su enseñanza en la escuela secundaria. Por tal motivo, es indispensable la comprensión conceptual que determinará una correcta aplicación de los procedimientos para operar algebraicamente con números fraccionarios, especialmente en la adición y la sustracción. Uno de los errores más frecuentes que podemos mencionar es el siguiente ejemplo: 1 2 1+2 3 + = = 2 5 2+5 7 El alumno suele resolver la operación de adición de números fraccionarios sumando numerador con numerador y, denominador con denominador. Esto denota una falta de comprensión en el concepto de número fraccionario y, por consiguiente, la utilización de una estrategia equívoca en la resolución de operaciones. 3 4 “Diseño Curricular de la Provincia de Bs As”. Ministerio de Educación Provincia de Bs As. “Diseño Curricular de la Provincia de Bs As”. Ministerio de Educación Provincia de Bs As. 5 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Uno de los errores en que caen los alumnos puede ser sumar o restar numeradores y denominadores como si se trataran simplemente de número enteros. Es decir, sumar o restar el numerador con su respectivo numerador y, sumar o restar el denominador con su respectivo denominador. Otro de los errores que se precipitan, es la utilización del método para la multiplicación en la adición o sustracción de números racionales. Es decir, al igual que se multiplica numerador con numerador y se multiplica denominador con denominador, esto se replica en la suma o resta. Por ejemplo, para multiplicar: 1 2 . 2 5 Debemos entender que, para este caso en particular, incrementamos al numerador de la primera fracción por su doble. E incrementamos al denominador por su quíntuple. 1 2 1.2 2 . = = 2 5 2.5 7 Dicho procedimiento, se replica, erróneamente, para hallar la adición o sustracción. 1 2 1+2 3 + = = 2 5 2+5 7 Las Teorías de Aprendizaje y su aporte. La teoría del Aprendizaje Significativo propuesta por David Ausubel es de gran importancia. Su perspectiva del aprendizaje se fundamenta en el término de estructura cognitiva, que se define como el conjunto de saberes que un individuo posee en un determinado campo de conocimiento. Cuando estos saberes ya existentes se relacionan con la nueva información, no en una suma de conceptos, sino en una vinculación interactiva, se genera el aprendizaje. Para resaltar esta característica, David Ausubel, introdujo en este proceso el concepto incluso, que funciona como un medio para este enlace. Los principios de aprendizaje así propuestos ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la organización de la estructura cognitiva del educando. De este modo, la labor educativa no parte de cero, puesto que los alumnos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio; lo cual implica que, para que adquiera significado la nueva información, se debe construir el conocimiento a partir de los conceptos y aprendizajes con los que cuenta el alumno. Por consiguiente, es necesario realizar un trabajo minucioso en la comprensión conceptual del tema a desarrollar. En este caso, el concepto de número racional. Y, de este modo, lograr exitosamente una aplicación correcta del mismo para la resolución de operaciones algebraicas. 6 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Siguiendo el ejemplo anterior, determinamos que Y 2 5 1 2 representa una parte de la unidad. representa otra parte de la misma unidad. El concepto de suma es la adición de aquellas partes representativas de una misma unidad. + = Por lo tanto, para operar algebraicamente es necesario expresar la unidad, es decir, los denominadores de ambas fracciones con un mismo valor. Para ello, es necesario conocer el concepto de Múltiplo Común Mínimo (M.C.M) para poder aplicarlo y hallar nuestras fracciones equivalentes. M.C.M entre 2 y 5 es igual a 2 . 5, igual a 10 Es decir, 1. 5 2. 5 5 = 10 Y 2 . 2 5. 2 4 = 10 Por lo tanto, 1 2 2 +5 = 5 10 4 + 10 = 5+4 10 = 9 10 (Sumamos las partes representativas de la unidad) 7 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Queda establecido que el aprendizaje es fundamentalmente receptivo: los conceptos, los principios y las ideas se presentan y se entienden, no se descubren. A la vista queda, la importancia que tienen los esquemas cognitivos previos de los/as estudiantes y la enorme dificultad que entraña modificarlos. Los modelos de enseñanza basados en la resolución de problemas parten de una situación de conflicto a la que los propios alumnos intentan dar respuesta. En la misma línea se encuentran los modelos de aprendizaje por indagación, en los que los /as estudiantes ponen a prueba sus ideas previas como hipótesis de una investigación, que han de plantear y diseñar por sí mismos. En este proceso, son ellos y ellas quienes cuestiona, reformula y consolida sus ideas (modifica sus estructuras cognitivas), elaborando explicaciones más consistentes y rigurosas, tan propias como las de partida. De esta manera, el conocimiento no tiene un origen externo, sino que ha sido construido por el propio estudiante, facilitando su significación y afianzamiento. Por otra parte, la teoría constructivista ha logrado que el aprendizaje no sea considerado como una actividad individual, por lo contrario, sea entendido como una construcción social. Lev Vygotsky desarrolla el constructivismo social. Lo más importante de su enfoque consiste en considerar al individuo como el resultado del proceso histórico y social donde el lenguaje desempeña un papel esencial. Este autor considera que el conocimiento es un proceso de interacción entre el sujeto y el medio, pero el medio entendido como algo social y cultural, no solamente físico. No niega la importancia del aprendizaje asociativo, pero lo considera claramente insuficiente. Ante lo expresado, las características para tener en cuenta serán: Los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la estructura cognitiva del alumno. El aprendizaje significativo se desarrolla a partir de dos ejes elementales: la actividad constructiva y la interacción con los otros. El proceso mediante el cual se produce el aprendizaje significativo requiere una intensa actividad por parte del alumno. Esta actividad consiste en establecer relaciones entre el nuevo contenido y sus esquemas de conocimiento. Esto se logra gracias a un esfuerzo deliberado del alumno por relacionar los nuevos conocimientos con sus conocimientos previos. Todo lo anterior es producto de una implicación afectiva del alumno, es decir, el alumno quiere aprender aquello que se le presenta porque lo considera valioso. 8 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Para favorecer el aprendizaje significativo, el docente debe convertirse en un mediador del conocimiento, más que un transmisor. Para ello es necesario que plantee situaciones que motiven a los alumnos y alumnas, de igual manera, no debe olvidar tomar en consideración el contexto en que se desenvuelven, así como emplear de manera sistemática los materiales que tienen al alcance. Finalmente, el trabajo colaborativo juega un papel esencial en la promoción de los aprendizajes significativos, por lo que es necesario incorporarlo de forma recurrente en el aula TRABAJO DE CAMPO Se realizará la siguiente encuesta a docentes experimentados en la enseñanza de la matemática. 1. ¿Cuántos años hace que usted ejerce la docencia? Menos de 5 años Entre 5 y 10 años Más de 10 años 2. ¿En qué tipo de gestión se desempeña? Gestión Privada Gestión Pública Ambas gestiones 3. ¿En qué ciclo del nivel secundario se ha desempeñado más cantidad de tiempo? Ciclo básico Ciclo Superior Ambos 4. De acuerdo a su experiencia en el aula, ¿Considera que los alumnos presentan dificultades al momento de resolver sumas y restas de números fraccionarios con distintos denominadores? 9 INSTITUTO SUPERIOR PADRE ELIZALDE DIEGEP Nº 4939 25 de Mayo 125 – Ciudadela – B1702FJG – Pcia. Bs. As. – Tel. /fax: 4488-7770 Moretti Barrios Ayelén.M – Rossi Mauro .E Metodología de la Investigación Educativa en Matemática Siempre En mayor medida En menor medida Nunca 5. Para resolver sumas y restas con números fraccionarios, los alumnos recurren a: Procedimientos con reglas mnemotécnica Procedimientos mecanizados Procedimientos conceptuales y de razonamiento 6. ¿Se evidencia la utilización del M.C.M (Múltiplo Común Mínimo) como parte del procedimiento resolutivo en las sumas y restas de números fraccionarios con distintos denominadores? Siempre A veces Nunca 7. ¿Cuántas capacitaciones ha realizado desde que obtuvo su titulación? Ninguna Menos de 5 Entre 5 y 10 Más de 10 8. ¿Se hace participar a los alumnos de olimpiadas matemáticas? Si No A veces 10
