PRACTICA Nº0

“ALGEBRA”
Docente: Ing. Emilio A. CASSINI
LOI – U.T.N. - F. R.C. H – 2022
JTP: Ing. Omar R. MARIACA
PRACTICA N°0 – ÁLGEBRA BÁSICA
Números Reales
1) 12 − {7 + 4.3 − [(−2)2 .2 − 6]} + (22 + 6 − 5.3) + 3 − (5 − 22.2)
2) Resuelve aplicando propiedad asociativa y luego propiedad distributiva
-3.(-8+7)+2.[(5-2)-(-1+6)]+(5-12).2
3)
2 −7 5 1  4 2 1
+
− + : −  + −
3 2 6 4  3 3 6
2
1
1

 
 0,09 + + 0,7  −  0,7 − 
2
5
 
5) 
3
− 0,25
2
3  1  3 3  1 1 
− 1 +  : − . − 
2  2  4 4  2 2 
4)
2
(




4 + 0,3 − 1,5. 0,19 − 0,3


(0,32 − 0,2 1)
6)
)
7) Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en 3.¿ Cuál es
el denominador de la fracción?. Justifique la respuesta
(2 )
3 −2
− 100
8)
3
1
2
9)
10 : 0,001

. 3

3
2
(2 ) .3
1
10 2




2
3
1
3


3 2 
 23
8 − 3.9
 donde a  0
10) 
  1  −1

0
   − (3a ) 
 2 

Elimina las raíces del denominador y simplifica
11)
1
3− 2
12)
2
2 2+ 5
13) Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el resultado con
tres decimales
Ecuaciones e Inecuaciones
Resuelve las siguientes ecuaciones
14) 2(3x − 2) − ( x − 3) = 8
15)
2t 3t − 5 t
−
= −3
15
20
5
16) El perímetro de un rectángulo es 216 m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos
del largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
17) En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que
de hombres y mujeres juntos. Hallar el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si
el total es de 156Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real
18)
3x − 12 
5x − 6
4
19)
5 x − 2 x − 8 x + 14
−

−2
3
4
2
20) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre
excede en más de 6 años el doble de la edad del hijo.
Hallar y representar en la recta de los números reales que verifican:
21)
4x − 3  5
22) 3 − x − 5  0
23)
1
=2
x −1
24)
x+2
=1
x+2
25) Halla tres números consecutivos cuya suma sea 249.
26) La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años
¿Cuál es la edad de cada uno?
27) Determine dos enteros cuya suma es 26 y cuyo producto sea 165 (Sugerencia: Represente a los
dos números como x y x-26)
28) Cuando se coloca un borde de ancho uniforme alrededor de un rectángulo de 6 pies por 10 pies,
el área aumenta 80 pies cuadrados. Determina el ancho uniforme x.
29) Dada la ecuación x 2 − (m + 2)x + 10 = 0 halla los valores de m para que las dos raíces sean
iguales.
30) Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta libre
del trozo roto cae a 3m de la base del poste. ¿A qué altura se rompió?
Demostraciones:
I) Demuestra la validez del TEOREMA DE PITÁGORAS
II) Si a.x = a  x = 1 : a  0
III) Demuestre que: (−1).a = −a : a  R
IV) Demuestre que: a.0 = 0 : a  R
V) Demuestre que: a.(−b) = −ab : a, b  R
VI) Demuestre que: (− x).(− y ) = xy : x, y  R
VII) Demuestre que: (a −1 )−1 = a : a  R  a  0
VIII) Si a + x = a + y  x = y
IX) Si a  b  a − c  b − c
1 1
X) Si 0  a  b  
a b
XI) Demuestre que: − (a + b) = −a − b : a, b  R
Polinomios y Expresiones Racionales
31) Dados los siguientes polinomios
a( x) = −3x + 5x3 + 3x 2
c( x) = 2 x 2 + 3
Efectuar las siguientes operaciones
a) (a( x ) + b( x )).c( x )
b( x) = −6 x − 7 + 4 x 2
d ( x) = x 2 − x + 3
b) b(x ) − d (x ).c(x )
c) a(x ) − (c(x ))
32) ¿Es cierto que existe un polinomio k ( x ) tal que
6 x5 − 9 x 4 + 10x 2 − 15 = k ( x)(2 x 2 − 3)
33) Hallar el cociente y el resto de la división de los siguientes polinomios
b( x ) = x + 1
a ( x) = x 6 + 4 x 5 − 7 x 3 − 4
34) Factorea los siguientes polinomios:
a ( x) = 3 x 3 − 6 x 2 − 3 x + 6
b( x) = 6 x6 − 54x 2
c( x) = x 4 − x
d ( x) = 2 x 7 + 3 x 6 − 5 x 5
35) Efectúa las siguientes operaciones:
a)
x−2
x+2
x2 − 9
+
.
x 2 − 4 x 2 − x − 6 4 x − 10
b)
2
x +1
+ 2
x − 9 x + 6x + 9
2
36) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x 2 x 2 − 16
.
=0
x + 2 x3 + 4 x 4
x + 10 2( x 2 − 4)
b)
+
=0
x − 4 x2 + 4x + 4
2
Demostraciones:
ax + bx + c = 0
2
I) Demuestra la validez de las soluciones de las ecuaciones
polinómicas de segundo grado.
− b + b 2 − 4ac
− b − b 2 − 4ac
x2 =
2a
2a
n
n
II) Sea el polinomio P( x) = x + a probemos si − a es raíz de P(x)
,
x1 =
Exponenciales y Logaritmos
37) Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 4.3x − 4 = 0
b) 2 x + 4 x = 72
c) 5 x + 51− x = 6
d)
e) 3 log 2 x − 2 log 4 x = 2
f) ln x − ln x3 = 8
g) log3 x + log3 x − 6 = 0
21 − x 2
h) log
=2
3x + 210
2
x
3x + 6 − x −1 3x = 0
38) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que se verifique que
log a + log b = 0 ?
39) Si a y b son dos números enteros, calcular el valor de log 1 a + logb b
a
Demostraciones:
Demuestre la validez de las siguientes propiedades de logaritmos
I)
logb ( x. y) = logb x + logb y
II) logb ( x  y) = logb x − logb y
III) logb x n = n logb x
1
log b x
n
lobb x
V) log a x =
log b a
IV) log b n x =
Trigonometría
40) Resuelve los siguientes triángulos:
a) a= 5cm
,β = 30°
,α = 90°
b) b = 2 cm , c = 5 cm , α = 90°
41) Completar la siguiente tabla
α1
α2
α3
α4
Sexagesimal
36°
Radial
Seno
Coseno
Tangente
1
3/4π
810°
42) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30°, una torre proyecta una
sombra de 75 m. Calcular su altura.
43) El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32° con la vertical. Hallar la
altura a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta.
44) Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una
altura de 2,50 m. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del
pasillo.
45) Demuestra las siguientes identidades:
I)
senx sec x
= 1 − cos2 x
tan x + cot x
II)
1 − senx
cos x
=
cos x
1 + senx
Números Complejos
46) Representa los siguientes números complejos.
a) Z = 2 – 3i
b) Z = -7i
c) Z = 3 + 4i
d) Z = -1 +i
47) Expresa en forma polar los siguientes números complejos.
a) Z = 6i
b) Z = -5 +2i
c) Z = -4
48) Expresa en forma binómica los siguientes números complejos.
d) Z = 2 -7i
a) Z = ( 2, 45°)
300°)
b) Z = ( 1,5 , 60°)
c) Z = ( 4, 220°)
d) Z = ( 0,75,
49) Calcula tres argumentos del número complejo z = 1 + i.
50) ¿Cuáles son el módulo y el argumento del conjugado de un número complejo Z no nulo?
51) Cuáles son el módulo y el argumento del opuesto de un número complejo Z no nulo?
52) Expresa en forma binómica y en forma polar el conjugado y el opuesto de Z = (5, 45°).
53) ¿Cuál es el argumento del número complejo 8( 3 − 3i) + 5 2 (−1 + i) ?
54) Obtener las dos raíces complejas de la ecuación de segundo grado
x 2 − 3 3x + 9 = 0 y
expresarlas en forma polar ¿Cómo son entre sí? ¿Se puede generalizar el resultado?
55) La suma de dos números complejos es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles son los
números complejos en cuestión?
56) Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representar gráficamente los
resultados:
a) Z = (3,60°)
b) Z = (2,90°)
57) Sabiendo que Z1 = (3,60°), Z2 = (2,15°)
resultado en forma polar y graficar).
c) Z = (
y Z3 = (6,30°), calcular
2 ,135°)
Z1.Z 2
(Nota: Expresa el
Z3