השלמה לדף נוסחאות במתמטיקה

‫‪12.02.2020‬‬
‫אוניברסיטת אריאל בשומרון‬
‫המכינה הקדם אקדמית‬
‫מכינה ייעודית פ ‪ 10‬להנדסה מתמטיקה‬
‫יום מרוכז‬
‫מבחן מסכם ‪-‬סמסטר א‬
‫מועד א'‬
‫קודי הקורסים ‪4020104-23-24-25 :‬‬
‫המרצים‬
‫‪:‬לב קליינר ‪,‬מנדל גולדשטיין‪ ,‬ליאורה בוגומולניק‪,‬אנטולי פולונסקי‪,‬רפי הצבאני‬
‫הוראות כלליות ‪ .1 :‬יש לכתוב בעט בלבד – תשובות בעיפרון לא ייבדקו !‬
‫‪ .2‬בסוף כל תרגיל יש להדגיש את התשובה הסופית‪.‬‬
‫‪ .3‬יש לרשום בתחילת המחברת את השאלות לבדיקה‪.‬‬
‫‪ .4‬נא לכתוב בכתב נקי ברור ומסודר‪.‬‬
‫זמן ‪ :‬שלוש שעות וחצי (‪ 012‬דקות)‬
‫חומר עזר ‪ :‬מחשבון ‪ +‬דף נוסחאות מצורף‬
‫פרק א'‬
‫בפרק זה ‪ 2‬שאלות‪ .‬יש לפתור אחת מהן ‪ .‬כל שאלה ‪ 14‬נקודות‪.‬‬
‫(שים לב ‪ :‬אם תפתור יותר שאלות תיבדק רק השאלה הראשונה במחברתך)‬
‫‪ .1‬א‪ .‬פתור את אי השיוויון ‪ 585 10 x :‬‬
‫‪9 x 27‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x 2 2 x‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪ 100  4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 4x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה הבאה ‪:‬‬
‫‪ln 100‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה הבאה ‪:‬‬
‫‪log1 x 10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  x 1 x 1‬‬
‫‪ln(1  x 3 ) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  2x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f x  ‬‬
‫פרק ב'‬
‫בפרק זה ‪ 3‬שאלות‪ .‬יש לפתור ‪ 2‬מהן‪ .‬כל שאלה ‪ 14‬נקודות‪.‬‬
‫(שים לב ‪ :‬אם תפתור יותר שאלות ייבדקו רק ‪ 2‬השאלות הראשונות במחברתך)‬
‫‪ .3‬א‪ .‬פתור את המשוואה‪cos 4 x  2 sin 2 x  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הוכח את הזהות‪(2sin   sin 3  sin 5 ) :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪cos2   sin 3  ‬‬
‫נתונים שלושה מספרים שהם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫מכפלת שלושת המספרים היא ‪.125‬‬
‫אם נוסיף ‪ 1‬לכל אחד משני המספרים הראשונים ונחסר ‪ 7‬מהמספר השלישי‪ ,‬יתקבלו שלושה מספרים שהם‬
‫שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית חדשה‪.‬‬
‫מצא את שלושת המספרים הנתונים‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש ישר זווית ‪ ) A  900 ( .ABC‬שבו הצלע ‪ BC‬מקבילה לציר ה‪.x-‬‬
‫‪1‬‬
‫משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪ . y  x‬שיעור ה‪ x-‬של קודקוד ‪ B‬הוא ‪ ,3‬שיעור ה‪ x-‬של קודקוד ‪ C‬גדול באחד משיעור‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ x-‬של קדקוד ‪.A‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקודקודים של המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬העבירו מעגל החוסם את המשולש ‪ .ABC‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ד‪ .‬במשולש ‪ ABC‬העבירו חוצה זווית ‪( AL‬נקודה ‪ L‬נמצאת על צלע ‪ .) BC‬מצא את שיעורי הנקודה ‪L‬‬
‫פרק ג'‬
‫בפרק זה ‪ 4‬שאלות‪ .‬יש לפתור ‪ 3‬מהן‪ .‬כל שאלה ‪ 22‬נקודות‪.‬‬
‫(שים לב ‪ :‬אם תפתור יותר שאלות ייבדקו רק ‪ 3‬השאלות הראשונות במחברתך)‬
‫‪bx  1‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  a‬‬
‫ידוע כי ‪ x  3‬הוא מהווה אסימפטוטה אנכית לפונקציה‪ ,‬וכן ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה )‪. (5,1.5‬‬
‫א‪ .‬מצאו את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b-‬‬
‫ב‪ .‬ללא תלות בתוצאות סעיף א‪ ,‬הציבו ‪ a  9‬ו‪ , b  1 -‬וחקרו את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ )1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬
‫‪ )2‬נקודות קיצון של הפונקציה‬
‫‪ )3‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‬
‫‪ )4‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫‪ )5‬אסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‬
‫‪ )6‬סרטוט גרף הפונקציה‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .7‬א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ f ( x)  8sin 2 x  cos 4 x‬בתחום‬
‫‪5‬‬
‫מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה בתחום הנתון (אם ישנן)‪ ,‬ואת תחומי הקעירות והקמירות של הפונקציה‬
‫בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪. 0 x‬‬
‫‪x 2  13  6‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הגבול הבא (ללא שימוש בכלל לופיטל)‪:‬‬
‫‪2x  2  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .8‬א‪ )1( .‬גזרו את הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  e9 x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x 7‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ )2‬באיור שלפניך מוצג גרף הפונקציה‬
‫‪3‬‬
‫‪g ( x)  (1  27 x3 )  e9 x‬‬
‫חשבו את השטח המוגבל ברביע הראשון‬
‫על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x-‬וציר ה ‪.y -‬‬
‫‪tan x  x‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הגבול הבא‪:‬‬
‫‪sin 2 x  2 x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x3  9 x  a  1‬‬
‫‪3 11‬‬
‫‪ .9‬א‪ .‬נתון כי‬
‫‪dx  a 2  7  ln ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ . ‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב ‪ .‬לפונקציה ‪ y  x ln 2 x  ax‬יש נקודת קיצון בנקודה ‪. x  e‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪ a‬ומשוואת המשיק שעובר דרך נקודת הפיתול של פונקציה‬
‫‪.‬‬
‫דף נוסחאות ‪ -‬מכינה ייעודית להנדסה‬
‫אלגברה‬
‫נוסחאות הכפל ופירוק לגורמים‪:‬‬
‫‪a  b2  a 2  2ab  b 2‬‬
‫ממעלה שנייה‬
‫‪a  ba  b  a 2  b 2‬‬
‫‪a  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3‬‬
‫ממעלה שלישית‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ממעלה ‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 3  b3   a  b  a 2‬‬
‫‪ab  b2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a n  b n  a  b a n1  a n2b  a n3b 2  ....  b n1‬‬
‫פונקציות‪:‬‬
‫פונקציה ממעלה ראשונה (קו ישר) ‪:‬‬
‫‪y  mx  n‬‬
‫פונקציות ממעלה שנייה (פרבולה) ‪:‬‬
‫‪a  0, y  ax 2  bx  c  o‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫הקודקוד בנקודה‪  , c   :‬‬
‫‪ 2a‬‬
‫‪4a ‬‬
‫‪‬‬
‫פתרונות המשוואה הריבועית‪:‬‬
‫‪ b  b 2  4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪x1, 2 ‬‬
‫פירוק הטרינום ‪ x2 , x1 ( ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  :‬פתרונות המשוואה הריבועית)‬
‫הגדרת הערך המוחלט‪:‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫פתרון אי שוויון עם ערך מוחלט‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪a  x  a‬‬
‫‪ x  a‬או ‪x  a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪x a‬‬
:‫חזקות ושורשים‬
a 
n m
a
nm
an
 a nm
m
a
,
a n  a m  a n m
,
n
an
a
   n
b
b
a n 
nk
a mk  n a m
,
1
an
a  bn  a n  b n
,
, a0  1
n m
a  nm a
:‫חזקות עם מעריך טבעי‬
:‫חזקות עם מעריך השווה לאפס ומעריך שלילי‬
n
,
a n a
,

b
b
n
n
a m  m an 
 a
m
n
n
a  n b  n a  b :‫שורשים‬
:)‫חזקות עם מעריך רציונאלי (שבר‬
:‫לוגריתמים‬
x  0 ,
a  0 , a  1 a b  x  log a x  b
log a x  y   log a x  log a y
log a x n  n  log a x
log m x 
,
,
:‫הגדרת הלוגריתם‬
a log a x  x :‫חוקי הלוגריתם‬
x
log a    log a x  log a y
 y
log a x
log a m
:‫מעבר מבסיס לבסיס‬
:‫סדרה חשבונית‬
an  a1  n  1d
S n  a1  a n 
: ‫האיבר הכללי‬
n
n
n
, S n  2a n  n  1d  , S n  2a1  n  1d  :‫סכום‬
2
2
2
:‫סדרה הנדסית‬
an  a1  q n1
a q  a1
Sn  n
q 1
 q  1
S
a1
1 q

: ‫האיבר הכללי‬

a1 q n  1
, Sn 
q 1
:
‫סכום‬
:‫סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת‬
‫טריגונומטריה‬
‫ זהויות יסודיות‬:‫זהויות‬
sin 2   cos2   1 , 1  tan 2  
1
1
1
sin 
, 1  cot 2  
, cot  
, tan  
2
2
cos 
sin 
tan 
cos 
sin  900     cos  , cos 900     sin  , tan 900     cot  , cot 900     tan 
sin      sin  , cos     cos  , sin 1800     sin  , cos 1800      cos 
:‫סכום והפרש זוויות‬
sin     sin  cos   sin  cos 
tan    
cos     cos  cos   sin  sin 
tan   tan 
1  tan  tan 
cot     
cot  cot   1
cot   cot 
:‫זווית כפולה וחצי זווית‬
sin 2  2 sin  cos 
cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2 
2 tan 
tan 2 
sin 2  
sin
1  cos   2 sin 2

2
1  cos   2 cos 2

2

1  tan 2 
1  cos 2
2

tan 2
2
1  cos 
2

2

cot 2 
cot 2   1
2 cot 
cos 2  
1  cos 2
2
cos

2

1  cos 
2
1  cos 
 1  cos 
sin 
tan 

1  cos 
2
sin 
1  cos 
:‫סכום והפרש פונקציות‬
sin   sin   2 sin
 
cos   cos   2 sin
2
cos
 
2
 
sin
2
 
2
sin   sin   2 sin
cos   cos   2 cos
 
2
 
2
cos
cos
 
2
 
2
:‫מכפלת פונקציות‬
1
cos  sin   [sin     sin    ]
2
1
sin  cos   [sin     sin    ]
2
1
sin  sin   [cos     cos   ]
2
1
cos  cos   [cos     cos   ]
2
‫משוואות טריגונומטריות‬
sin x  sin 
x1    360k
x2  180    360k
sin x   sin 
sin x  sin  
sin x  0
x  180k
sin x  1
x  90  360k
sin x  1
x  90  360k
cos x  cos 
x1    360k
x2    360k
cos x   cos 
cos x  cos180   
cos x  0
x  90  180k
cos x  1
x  360k
cos x  1
x  180  360k
tan x  tan 
x    180k
tan x   tan
tan x  tan  
cot x  cot 
x    180k
cot x   cot 
cot x  cot   
2°
32°
45°
62°
92°
122°
135°
152°
2

6
1
2

4
2
2
2
2

3
3
2
1
2

2
1
2
3
3
2
1

2
3
4
2
2
2

2
5
6
1
2
1
3
‫לא‬
‫מוגדר‬
 3
-1
2
1
2
3
2
3
3
2
3
2
3

2

182° 272° 362°

‫מעלות‬
3
2
2
‫רדיאנים‬
2
1-
2
‫סינוס‬
-1
2
1
‫קוסינוס‬
2
‫לא‬
‫מוגדר‬
2
‫טנגנס‬
‫גיאומטריה אנליטית‬
‫‪x2  x1 2   y2  y1 2‬‬
‫מרחק בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫שעורי הנקודה שמחלקת את הקטע שקצותיו ‪ x1 , y1 ‬ו‪ x2 , y 2  -‬ביחס של ‪k : l‬‬
‫‪ly1  ky2‬‬
‫‪k l‬‬
‫(‪ k‬קרוב ל‪ l , x1 -‬קרוב ל‪) x 2 -‬‬
‫‪lx1  kx2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫(במקרה הפרטי של אמצע קטע ‪) k  l  1‬‬
‫ישר‪:‬‬
‫המשוואה המפורשת של ישר ‪: m  tan  ‬‬
‫‪y  mx  n‬‬
‫המשוואה הכללית של ישר‪:‬‬
‫‪Ax  By  C  0‬‬
‫משוואת ישר ששיפועו ‪ m‬העובר דרך הנקודה ‪: x1 , y1 ‬‬
‫‪y  y1  mx  x1 ‬‬
‫‪ x2 , y 2 ‬‬
‫שיפוע ישר העובר דרך הנקודות‬
‫‪: x1 , y1  ,‬‬
‫‪y 2  y1‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪m‬‬
‫התנאי להקבלה של שני ישרים ששיפועיהם ‪ m1‬ו‪: m2 -‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫התנאי לניצבות של שני ישרים ששיפועיהם ‪ m1‬ו‪: m2 -‬‬
‫‪m1  m2  1‬‬
‫מעגל‪:‬‬
‫משוואת מעגל שמרכזו בנקודה ‪ a, b ‬ורדיוסו ‪R‬‬
‫‪x  a 2   y  b2  R 2‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי‬
‫‪f  x  h  f  x‬‬
‫הגדרת הנגזרת ‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪h 0‬‬
‫כללי גזירה‪:‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪F ' x   a  f ' x ‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪F x   a  f x ‬‬
‫‪F ' x   f ' x   g ' x ‬‬
‫‪F x   f x   g x ‬‬
‫נגזרות של פונקציות‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫הנגזרת‬
‫‪y'  nx n1‬‬
‫‪y' 0‬‬
‫‪y  xn‬‬
‫‪ya‬‬
1
x
F x   f x   g x 
y  
1
x2
y x
y 
1
y  sin x
y' cos x
y  cos x
y'   sin x
y  tan x
y' 
y
y  cot x
y  log a x
y  ln x
F x  
2 x
f x 
g x 
F ' x   f ' x   g x   f x   g ' x 
F ' x  
F x   g  f x 
f ' x   g x   f x   g ' x 
g 2 x 
F ' x   g '  f x   f ' x 
1
cos 2 x
1
y'   2
sin x
1
y ' log a e
x
1
y' 
x
y  ax
y' a x ln a
y  ex
y'  e x
‫חשבון אינטגראלי‬
 f  x dx  F  x   c  F   x   f  x  :
b
 f  x dx  F b   F  a 
 f  ax  bdx 
F  ax  b 
a
c
: )‫נוסחת האינטגרנד המורכב (פונקציה פנימית לינארית‬
x n1
c
n 1
n  1
 ax  b 
  ax  b  dx  a  n  1
n 1
n
1
 x dx  ln x  c
dx
1
: ‫האינטגרל המסויים‬
a
‫אינטגרלים מיידיים‬
n
 x dx 
‫הגדרת האינטגרל‬
 ax  b  a  ln ax  b  c
 sin xdx   cos x  c
 cos xdx  sin x  c
c
n  1
 cosax  b 
c
a
sin ax  b 
 cosax  bdx  a  c
dx
 cos 2 x  tan x  c
dx
 sin 2 x   cot x  c
ax
x
a
dx

c

ln a
 sinax  bdx 
e
x
dx  e x  c
a bxc
c
b ln a
1 axb
axb
 e dx  a  e  c
bxc
 a dx 