6 תרגיל פתרון - מתמטיקה לכימאים

‫ב"ה‬
6 ‫מתמטיקה לכימאי פתרו תרגיל‬
:‫ חשבו את הגבולות הבאי‬.‫א‬
x2 − 4
( x + 2)( x − 2)
= lim
= lim x − 2 = −4
x →−2 tan( x + 2)
x →−2
x →−2
tan( x + 2)
1. lim
sin 2 5 x
(5 x)2
2
1 − cos10 x
1 − (1 − 2sin 2 5 x)
2sin 2 5 x
(5 x)
2. lim
= lim
= lim
= lim
x→0
x →0
x →0
x→0
4x
4x
4x
4x
2
50 x
= lim
=∞
x→0 4 x
2




2


 sin 2 2 x − sin x 
 sin 2 x − sin x 
sin 2 x − sin x

 = lim 
3. lim 

 = lim
x → 0 2sin x + 1 − cos 3 x

 x →0  2sin x + 1 −  1 − 2sin 2 3 x   x →0  2sin x + 2sin 2 3 x 




2 
2  


2






2
 sin 2 x (2 x)2 − sin x x 
 (2 x)2

(2 x) 2 − x
4 x2 − x
x
=
=
= lim 
lim
lim
 x →0
2
x→0
x →0
3x
9 x2
 3x 
2 

sin 2
x
+
2
2
x
+
2
2
 
2  3x  
4
 2 sin x x + 2
 2 

2 

x
 3x   2  


 
 2 


2
4x
16 8
= lim
= =
x → 0 18 2
18 9
x
4
1
 2n − 1 
4. lim sin 
π=0
n →∞ n
 2

‫ זהו גבול של מכפלה של פונקציה השואפת‬:‫הסבר‬
  2n − 1  
1
π   ‫ במכפלה של פונקציה חסומה‬  0‫ל‬
 sin 

n
  2

 π
 π 
3n +1 + sin  n 
sin  n  
n +1

 4  = lim  3 +
 4   = lim  3 + 1 sin  n π   = lim 3 + 0 = 3
5. lim
( )



n
n
n →∞
n →∞
3
3n
3n
 3
 n →∞ 
 4   n →∞




1
π
‫ כיוו שזהו גבול של מכפלה של פונקציה‬,0 ‫ שווה‬n sin  n  ‫ הגבול של‬:‫הסבר‬
3
 4
‫ב"ה‬
 π
sin  n  ‫במכפלה של פונקציה חסומה‬
 4
1
 n  0‫השואפת ל‬
3 
:‫ חשבו את הנגזרות של הפונקציות הבאות‬.‫ב‬
1  1

1. y ' = 3sin 2 cot x ⋅ cos cot x ⋅  − 2
⋅
 sin x  2 x
(
=
)
(
(
)
)
(
−3sin 2 cot x ⋅ cos cot x
2 x ⋅ sin
2
)
x
−2
x 1

⋅  − sin  ⋅ =
2
x 
 2
2 cos
2
1
1
x
3. y ' = 3 x 2 arcsin + x 3 ⋅
⋅
2
2
x 2
1−  
2
1
1
4 x 3 arctan x − x 4 ⋅
⋅
1 + x2 2 x
4. y ' =
2. y ' = 2
x
cos
2
1
ln 2 ⋅
( arctan x )
cos
x
2
ln 2 ⋅ sin
4 cos
x
2
x
2
2
(
)
1
x
− cos x (1 + sin x ) − cos x (1 − sin x )
5. y ' = 4 cos3 ( sin ( ln x ) ) ⋅ − sin ( sin ( ln x ) ) ⋅ cos ( ln x ) ⋅
1
1
⋅
⋅
2
1 − sin x
1 − sin x
1 + sin x )
(
2
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
−2 cos x
cos x
cos x
1
=
⋅
=
=
=
2
2
2
2 (1 − sin x ) (1 + sin x ) 1 − sin x cos x cos x
6. y ' =
1 ′
2
1
cot x
−

 1
7. y ' =  ( ln sin x ) 3  = ( ln sin x ) 3 ⋅
⋅ cos x =
2
sin x

 3
3 3 ( ln sin x )
8. y ' =
1
1+ x 
1+ 

 1− x 
2
⋅
1(1 − x ) + (1 + x )
(1 − x )
(1 − x )
2
⋅
2
2
2
(1 − x ) + (1 + x ) (1 − x )
2
2
=
=
1
=
1+
(1 − x )
2 (1 + x
2
2
⋅
⋅
2
2
2
=
1
1 + x2
(1 + x ) (1 − x )
2
(1 − x )
2
) (1 − x )
2
=
1
⋅
2
(1 − x ) + (1 + x ) (1 − x )
2
(1 − x )
2
2
2
‫ב"ה‬

9. y′ = 10 ln 9 




2x
− 1

x + 34 − x  x + 34 + x  2 x 2 + 34 
⋅
⋅
x 2 + 34 + x  x 2 + 34 − x
2
2
(
) (
x 2 + 34 + x −
(
)


2x
x 2 + 34 − x 
+ 1
2
 2 x + 34 
x 2 + 34 + x
)
2
:‫ כלומר‬, x 2 + 34 = t ‫לצור נוחות כתיבת פתרו התר' נסמ‬
 2x 
 2x 
 − 1 ( t + x ) − ( t − x )  + 1 
t
−
x
t
+
x
2t



 2t

y′ = 10 ln 9 
⋅
⋅
2
t+x t−x
t
+
x
( )
t−x t+x
= 10 ln 9 
⋅
⋅
t+ x t−x
x+
x2
x2
x2
−t − x − x −t + + x
2 − 2t
t−x t+x
t
t
= 10 ln 9 
⋅ t 2
⋅
2
t
+
x
t
−
x


(t + x )
(t + x )
x2
2 x 2 2t 2
− 2t
−
t−x 1
9t−x
t
t
t
= 10 ln 9 
⋅
⋅
=
⋅
10
ln



2
2
t+ x t−x t+x
t+ x t −x
2
2 ( x2 − t 2 )
t−x
t
= 10 ln 9 
⋅ 2
2
t+ x t −x
 t − x  −2
= 10 ln 9 
⋅
t+x t
:‫ ונקבל‬, x 2 + 34 = t ‫כעת נציב חזרה‬
 x 2 + 34 − x 
−2
y′ = 10 ln 9 
⋅
 x 2 + 34 + x  x 2 + 34

