EJERCICIOS PROPUESTOS PRODUCTO 2 - TALLER 3 INVESTIGACION DE OPERACIONES Para cada uno de los siguientes ejercicios, cada CIPAS deberá hacer los ejercicios asignados y presentar un informe en Word que muestre la respuesta a las siguientes actividades: a. b. c. d. e. f. Entienda el problema Defina las variables de decisión Defina la función objetivo Defina el conjunto de restricciones Resuelva el problema usando solver (adjuntar Excel) Haga un análisis de los resultados obtenidos del informe de sensibilidad que arroja Solver. g. Haga cambios en un coeficiente de la función objetivo y haga cambios en uno de los coeficientes tecnológicos (del vector del lado derecho de las restricciones) y corra de nuevo el solver. h. Interprete los resultados del análisis de sensibilidad con los cambios realizados y elabore un informe. CIPAS # 2 2. Manufacturas la máquina, produce dos clases de productos y para hacerlo, usa tres máquinas en el proceso. Una libra de cada producto necesita un número específico de horas – máquina (Tabla 1). El total de horas disponibles para la máquina 1 es de 10, la máquina 2 es de 16 y la máquina 3 es de 12. Las utilidades por libras del producto 1 es de $4 y del producto 2 de $3. Máquina Producto 1 2 1 3 2 2 1 4 3 5 3 La empresa desea maximizar las utilidades. a) OK b) Definir las variables de decisión X1 = No. De productos de A X2 = No. De productos de B c) Definición de la función objetivo f (X1, X2) = 4X1 + 3X2 d) Definir el conjunto de restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 10 X1 + 4X2 ≤ 16 5X1 + 3X2 ≤ 12 Encontrar el máximo valor de la función F = 4X1 + 3X2 Sujeto a las restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 10 X1 + 4X2 ≤ 16 5X1 + 3X2 ≤ 12 X1≥0 X2≥0 Solución Los puntos cuyas coordenadas satisfacen todas las desigualdades del sistema de restricciones se llaman una región de soluciones factibles. Es necesario resolver cada desigualdad del sistema de restricciones para encontrar la región de soluciones factibles a este problema (ver paso 1 - paso 3) Los dos últimos pasos son necesarios para obtener la respuesta. (ver paso 4 -paso 5) Este es un plan de solución estándar. Si la región de soluciones factibles es un punto o un conjunto vacío, entonces la solución será más corta. A continuación, se encuentra el plan para resolver este problema en gráficas. Por la condición del problema: X1≥0 X2≥0 Ahora tenemos la región de soluciones factibles mostradas en la imagen Paso No. 1 Resolvamos la desigualdad 1 del sistema de restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 10 Tenemos que trazar una línea recta: 3X1 + 2X2 = 10 Cunado: X1=0 Entonces 2X2 = 10 Entonces X2 = 5 Cuando: X2=0 Entonces 3X1=10 Entonces X1 = 10/3 Se encontraron dos puntos: (0, 5) and (10/3, 0) Ahora podemos trazar la línea recta (1) a través de los dos puntos encontrados. Volvamos a la desigualdad 3X1 + 2X2 ≤ 10 Tenemos que transformar la desigualdad para que sólo X2 se encuentre en el lado izquierdo 2X2 ≤ -3X1 + 10 X2 ≤ -3/2 X1+5 El signo de desigualdad es ≤ Por lo tanto, debemos considerar los puntos por debajo de la línea recta (1) Vamos a combinar este resultado con la imagen anterior. Ahora tenemos la región de soluciones factibles que se muestran en la imagen Paso No. 2 Vamos a resolver la desigualdad 2 del sistema de restricciones: X1+4X2 ≤ 16 Tenemos que trazar una línea recta: X1+4X2 =16 Cuando X1=0 Entonces 4X2 =16 Entonces X2 = 4 Cuando X2 = 0 Entonces X1 = 16 Se encontraron dos puntos: (0, 4) and (16, 0) Ahora podemos trazar la línea recta (2) por medio de los dos puntos encontrados Volvamos a la desigualdad X1+4X2 ≤ 16 Tenemos que transformar la desigualdad para que sólo X2 está en el lado izquierdo 4X2 ≤ - X1+16 X2 ≤ -1/4 X1+4 El signo de desigualdad es ≤ Por lo tanto, debemos considerar los puntos por debajo de la línea recta (2) Vamos a combinar este resultado con la imagen anterior. Ahora tenemos la región de soluciones factibles que se muestran en la imagen. Paso No. 3 Vamos a resolver 2 la desigualdad del sistema de restricciones 5X1+3X2 ≤ 12 Tenemos que trazar una línea recta: 5X1+3X2 =12 Cuando X1=0 Entonces 3X2 =12 Entonces X2 = 4 Cuando X2 = 0 Entonces 5X1 = 12 Entonces X1 = 12/5 Se encontraron dos puntos (0, 4) y (12/5, 0) Ahora podemos trazar la línea recta (3) por medio de los dos puntos encontrados Volvamos a la desigualdad 5X1+3X2 ≤ 12 Tenemos que transformar la desigualdad para que sólo X2 está en el lado izquierdo 3X2 ≤ -5 X1+ 12 X2 ≤ -5/3X1+ 4 El signo de desigualdad es ≤ Por lo tanto, debemos considerar los puntos por debajo de la línea recta (3) Vamos a combinar este resultado con la imagen anterior. Ahora tenemos la región de soluciones factibles que se muestran en la imagen. Paso No. 4 Tenemos que trazar el vector C= (4, 3) cuyas coordenadas son los coeficientes de la función F Paso No. 5 Moveremos una recta "roja" perpendicular al vector 𝐶̅ de la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha. La función F tiene un valor mínimo en el punto donde la línea recta "roja" cruza por primera vez la región de soluciones factibles. La función F tiene un valor máximo en el punto A. (ver gráfica). se conocen las coordenadas del punto A (0, 4). (ver paso 2). Vamos a calcular el valor de la función F en el punto A (0, 4) F(A) = 4*0+3*4 = 12 Resultado X1=0 X2=4 F máx. = 12 Si hay alguna duda de que la función F tiene un máximo en el punto A, se debe encontrar el valor de la función F en el punto de interés y compararlo para F (A). 31. Fabricación de Pizzas. Bryant`s pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de $1.50 por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente, la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de pasta de harina y cuatro onzas de mezcla de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y ocho onzas de mezcla de relleno. Con base en la demanda en el pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? b. Haga el análisis de sensibilidad proponiendo un cambio en la función objetivo y en el lado derecho de una de las restricciones. A. OK b. Definición de variables X = Cantidad de Pizzas Normales Y = Cantidad de Pizzas de Lujo c. Función Objetivo: Z máx. = 1X + 1.5Y d. Conjunto de restricciones Antes de plantear las restricciones a partir de inecuaciones debemos convertir todos los datos dados en el problema en las mismas unidades. Para esto tenemos en cuenta que: 1 onza = 0.0625 lb 4 onzas = 0,25 lb 8 onzas = 0.5 lb Restricciones Mezcla de harina: X + Y ≤ 150 Mezcla de relleno: 0.25X + 0.5Y ≤ 50 Venta de pizza normal: X ≥ 50 Venta de pizza de lujo: Y ≥ 25 No negatividad Xi ≥0 Punto A X=50 0.25 (50) + 0.5 Y = 50 0,5𝑋2 = 50 − (0,25)50 0,5 𝑋2 = 75 A (50, 75) Punto B X + Y = 150 0.25X + 0.5Y = 50 Despejamos para X: X= 150 – Y 0,25 (150 – Y) + 0,5 Y = 50 37.5 – 0.25 Y + 0,5 Y = 50 0.25 Y =12.5 Y=50 X + 50 = 150 X= 150 – 50 =100 X= 100 Punto B (100, 50) Punto C Y=25 X+Y=150 X=150-Y X=150-25 X=125 C (125, 25) Punto D (50, 25) Punto A (50, 75) B (100, 50) C (125, 25) D (50, 25) Función =1*50+1.5*75 =1*100+1.5*50 =1*125+1.5*25 =1*50+1.5*25 Resultado =162,5 =175 =162.5 =87.5 De acuerdo a la tabla anterior el procedimiento realizado fue tomar cada punto coordenado hallado previamente y reemplazarlo en la función objetivo: Z. = 1X + 1.5Y obteniendo los resultados de la columna 3. De acuerdo a la tabla con 100 pizzas normales y 50 pizzas de lujo se obtiene una utilidad máxima de $ 175 Z = 100*1+50*1.5 = 175
