Clases de IO.doc

Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
1. METODOS DE RESOLUCION DE UN MPL
1.1 Método Grafico
Este método es aplicado a cualquier tipo de MPL, considerando la FOBJ y la cantidad de
restricciones, respecto a las variables solo se puede resolver si el MPL tiene un máximo de 3
variables (X1, X2 y X3), los pasos son los siguientes:







Inicialmente se debe considerar cada restricción como una ecuación en forma de igualdad.
En algunos casos al graficar dichas ecuaciones lineales, se pueden presentar intersecciones
los cuales deben ser encontrados los puntos de intersección.
Una vez graficado, se debe identificar el área de Solución de acuerdo a las condiciones
presentadas en cada restricción.
Cada intersección representa en esa área una solución óptima pero no factible.
Los puntos críticos se los obtiene mediante la intersección de los ejes coordenados y entre las
mismas intersecciones, considerando los ejes X. Y para el caso de 2 variables y X, Y y Z para
3 variables.
En caso de 3 Variables se debe tomar en cuenta los planos que se forma, de acuerdo a cada
restricción, sin olvidar que la intersección entre planos representa una recta.
Una vez identificado cada punto que delimita el área de solución, remplazando estos en la
función objetivo, de acuerdo al requerimiento se elige el que da el mayor valor en caso de
Maximizar y el menor en caso de Minimizar.
Se tiene una empresa que produce 2 productos (A y B), cada uno de ellos los vende en el mercado
local, el producto A se vende a un precio de 30 $/und., y el producto B a 50 $/und., se sabe que
ambos requieren una materia prima especial por lo que la cantidad utilizada es pequeña en
comparación al tamaño del producto, el producto A necesita 3 gr y el B 2 gr. Se sabe que la
demanda del producto A es a lo mucho de 4 unidades por día y del producto B es de 6 unidades por
día; se tiene una disponibilidad de 8 gr de materia prima. Encontrar los valores de los productos
para que la empresa tenga un ingreso neto máximo. Como cambiaría la solución si la
disponibilidad de materia prima es de18 gr.
Practica 1

Se fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 $ y
se usan 10$ de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de
mano de obra y los costos generales en 14 $. Se vende un tren a 21 $ y se usan 9$ de materia
prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos
generales en 10$. La producción de soldados y trenes de madera necesita 23 tipos de trabajo
especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de
carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana puede
conseguir toda la materia prima que se necesita, pero solamente dispone de 10 horas de
acabado y 8 de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se venden a lo más
4 soldados semanalmente. La fábrica quiere maximizar su ganancia semanal. Formule el
modelo de Programación Lineal para este problema y resuelva por el método gráfico.

Considere el MPL
Ingeniería Comercial
1
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
Max Z = 5 X1 + 4 X2
S.A.
6 X1 + 4 X2 ≤ 24
X1 + 2 X2 ≤ 6
- X1 + X2 ≤ 1
X2 ≤ 2
X1, X2 ≥ 0
Use el método gráfico y halle la solución óptima.

Considere el MPL
Min Z = 5 X1 + 2 X2
S.A.
3 X1 + 6 X2 ≥ 18
5 X1 + 4 X2 ≥ 20
8 X1 + 2 X2 ≥ 16
7 X1 + 6 X2 ≤ 42
X1, X2 ≥ 0
Use el método gráfico y halle la solución óptima.
 La cascada produce dos tipos de refresco, I y II, los cuales se venden a 12 y 8 $ el litro
respectivamente. En la empresa tienen recursos limitados en la parte de mano de obra, ya que
trabajan en la parte de producción 12 personas y se dispone sólo de un máximo costo de
producción de 28$ por hora de trabajo. Se estima que para la producción de 1 litro del
refresco I se requieren 4 personas, mientras que para producir un refresco de tipo II sólo dos
trabajadores. El costo de producir un litro del tipo I es de 7$, mientras que para el segundo es
de 8$. Formule el problema de PL y resuelva por el método gráfico.
 Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por
un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura pintara
solo camiones, se podrían pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente
automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería
produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de
carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión
aporta 300$ a la utilidad, y cada automóvil, 200. Encuentre la programación lineal y resuelva
por el método gráfico para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la
compañía.

La fábrica VITA planea producir una cápsula de vitamina barata usando dos ingredientes
básicos, W y Z . Cada unidad de W contiene 0.5 miligramos (mg) de vitamina A, 1.0mg de
vitamina B1, 0.2mg de vitamina B2y 0.5mg de vitamina D. Cada unidad de Z contiene 0.5mg
de vitamina A, 0.3mg de vitamina B1, 0.6mg de vitamina B2 y 0.20mg de vitamina D. El
costo unitario de W es de $0.30 y el de Z es $0.50. Cada cápsula tiene que contener como
mínimo 2mg de vitamina A, 3mg de vitamina B 1, 1.2mg de vitamina B2 y 2mg de vitamina
D. Resolver el modelo de programación lineal para la fábrica VITA
1.2 Método Algebraico
Ingeniería Comercial
2
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
En este método se utiliza algoritmos que ayudan a resolver distintos tipos de MPL con diferentes
cantidades de restricciones y variables, no está limitado, para esto se sigue los siguientes pasos para
realizarlos:
 Para hallar una solución básica y factible (solución inicial) se debe considerar lo siguiente;
expresar las inecuaciones (Desigualdades) como ecuaciones (=), posteriormente hallar la
variable básica para cada ecuación y organizar el sistema de ecuaciones lineales.
 Para compensar este cambio se debe agregar una variable de holgura (Si) por cada
restricción de tipo ≤, una variable artificial (Ri por cada restricción de tipo =; y restar una
variable de holgura (Si) y adicionar una variable artificial (Ri) por cada restricción ≥.
 Para escoger la variable de entrada se debe considerar lo siguiente: en caso de Maximización
es el que tiene mayor coeficiente y en caso de minimización el que tiene un menor
coeficiente y negativo (si existiera)
 Para escoger la variable de salida se considera lo siguiente: de las ecuaciones se conserva la
variable de entrada y las otras variables no básicas y básicas asumen el valor nulo. Si se
considera la variable que restringe al crecimiento, es decir el que tiene menor valor.
 Se reorganiza el sistema de ecuaciones y se identifica la variable de entrada nuevamente.
 Estos pasos se vuelve a repetir hasta que no exista variables de entrada.
Trabajo Práctico: Complementar este método y presentar 2 ejemplos de aplicación y resolución de
este método.
1.3 Método Simplex
Este método se utiliza en distintos tipos de MPL, considerando el tipo de Función objetivo, cantidad
de restricciones y cantidad de variables; pero solo se considera cuando las restricciones son de tipo
≤.
Cuando se presenta una FOBJ en case Maximización se debe tener un valor que permita alcanzar el
mayor valor, y en caso de Minimización un valor menor. La condición de optimalidad se asocia con
el término de entrada y la condición de factibilidad con el término de salida. Los pasos para realizar
el Método Simplex son los siguientes:
 Colocar el modelo en su forma estándar.
 Poner los coeficientes de la función objetivo con signo contrario debido a que se traslada al
lado izquierdo de esta función (FOBJ estándar), y las restricciones colocarlas en forma de
igualdad de acuerdo a su estado inicial, para esto se debe adicionar por cada restricción una
variable de holgura (Si).
 Para identificar la Variable de Entrada, se debe considerar en caso se Maximización que es
aquella que tiene el coeficiente MAS NEGATIVO o el que aporta más a la FOBJ o menos a
la FOBJ estándar, y en caso de Minimización se elige el coeficiente MAS NEGATIVO o el
que aporta menos a la FOBJ o más a la FOBJ estándar. En caso de empate se debe considerar
la importancia entre variables de entrada.
 La variable de Salida se elige de la siguiente manera: Una vez identificada la Variable de
Entrada, debe realizarse la división entre la columna de los recursos o disponibilidades con
los coeficientes pertenecientes a la columna de la variable de entrada, la variable de salida es
aquella correspondiente al MENOR COCIENTE, en caso de empate se debe considerar la
importancia de las variables de salida.
Ingeniería Comercial
3
EMI
Investigación Operativa I


Ing. Jhonny Flores Flores
Una vez reconocida la variable de entrada (perteneciente a la columna pivote) y la variable
de salida (perteneciente a la fila pivote), se debe pivotizar la celda de intersección, es decir
que debe tener un coeficiente igual a 1, en caso que no tuviese el valor de 1, se aplica su
inverso multiplicativo para que tenga el coeficiente 1. También debe tener la particularidad
de se una Variable Básica, es decir que en la columna tenga valores iguales a cero a
excepción del pivote, para lo cual se debe aplicar operaciones elementales considerando
como eje la fila pivotizada.
De esta forma se logra una nueva solución posible a ser óptima y factible, este proceso se
repite hasta obtener coeficientes positivos o nulos en caso que la FOBJ sea de Maximización,
y que los coeficientes sean negativos o nulos en caso que la FOBJ sea de Minimización, de
tal forma que se obtiene una solución óptima.
Ejemplo: Una empresa que produce 2 artículos (A y B), dichos productos necesitan obligadamente
de 2 tipos de Materia Prima. Para producir una unidad del articulo A se necesita 1 Kg. de la
Materia Prima 1 y 2 Kg. de la Materia Prima 2, para producir una unidad del Articulo B, se
necesita 2 Kg. de la Materia Prima 1 y 1 Kg. de la materia prima 2. La empresa dispone de 20
Kg./día de la Materia Prima 1 y 16 de la Materia Prima 2; el precio de venta de los artículos son de
20 y 24 $/und., respectivamente.
FOBJ Max Z = 20XA + 24XB
SA
XA + 2XB ≤ 20
2XA + XB ≤ 16
Xi ≥ 0
VB
Z
S1
S2
Z
XB
S2
Z
XB
XA
XA
-20
1
2
-8
1/2
3/2
0
0
1
XB
-24
2
1
0
1
0
0
1
0
S1
0
1
0
12
1/2
-1/2
28/3
2/3
-1/3
Z – 20XA - 24XB
=0
XA + 2XB + S1
= 20
2XA + XB
+ S2 = 16
S2
0
0
1
0
0
1
16/3
-1/3
2/3
SOL
0
20
16
240
10
6
272
8
4
OPERACIÓN
FO
F1*1/2
F1*
F2
FO +108 F1*
FO
F1*
F2 - F1*
F2*2/3
FO +8 F2*
FO
F1 -1/2F2*
F2*
F2*
F2*
Zopt = 272 $/día
XA = 4 und/día
XB = 8 und/día
Practica 2
 CARANAVI COMPANY tiene que determinar la cantidad óptima de furgones para recoger,
empacar y transportar sus naranjas “súper” y “comunes” cada semana. La mano de obra
disponible para recogida y empaque es de 4000 horas semanales. Para recoger, empacar y
dejar un furgón cargado con naranjas súper, se necesitan 30 horas y para naranjas comunes se
necesitan 15 horas. La empresa tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $60000. El
Ingeniería Comercial
4
EMI
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Ing. Jhonny Flores Flores
costo de alquiler por cada proceso de carga del furgón y transporte es de $200 y $300 para
naranjas comunes y súper respectivamente. La utilidad por furgón es de $2000 para naranjas
comunes y de $2500 para naranjas super. La empresa desea determinar la combinación
óptima de furgones por tipo de naranjas que maximice la utilidad semanal. Formule el
modelo de programación para el problema y resuelva por el método Simples..

Se fabrican dos tipos de juguetes de madera, soldados y trenes se vende un soldado a 27
dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los
costos variables de M. O. y los costos generales en 14 dólares Se venden un tren en 21 y se
usan 9 en materia prima. Cada tren aumenta los costos variables de M. O. y los costos
generales en 10 dólares. La producción de trenes y soldados necesitan dos tipos de trabajo:
carpintería y acabado. Un soldado requiere de 2horas de acabado y 1 hora de carpintería y un
tren 1 hora en cada trabajo. Cada semana se dispone solamente de 100 horas de acabado y 80
de carpintería Se vende a lo más 40 soldados semanalmente. Encuentre los valores óptimos
empleando el método Simples.

Se fabrican dos tipos de juguetes de madera, soldados y trenes se vende un soldado a 27
dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los
costos variables de M. O. y los costos generales en 14 dólares Se vende un tren en 21 y se
usan 9 en materia prima. Cada tren aumenta los costos variables de M. O. y los costos
generales en 10 dólares. La producción de trenes y soldados necesitan dos tipos de trabajo:
carpintería y acabado. Un soldado requiere de 2horas de acabado y 1 hora de carpintería y un
tren 1 hora en cada trabajo. Cada semana se dispone solamente de 100 horas de acabado y 80
de carpintería Se vende a lo más 40 soldados semanalmente.
 Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por
un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura pintara
solo camiones, se podrían pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente
automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería
produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de
carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión
aporta 300$ a la utilidad, y cada automóvil, 200. Encuentre la programación lineal y resuelva
por el método gráfico para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la
compañía.


Max z = X1 + 0.5X2
S.a.
X1/3 + 2X2/3 ≤ 8
4X1 + X2 ≤ 30
X1, X2 ≥ 0
Max z = 0.4 X1 + 0.3 X2
S.a.
X1 ≤ 400
X2 ≤ 400
X1 + X2 ≤ 800
2 X1 + X2 ≤ 1000
X1, X2 ≥ 0
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EMI
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



Ing. Jhonny Flores Flores
Max Z = 30 X1 + 150 X2
S.A.
X1
≤4
2 X2 ≤ 12
3 X1 + 2 X2 ≤ 18
X1, X2 ≥ 0
Max Z = 4X1 – 2X2 + 2X3
S.A.
2X1 + 2X2 + 2X3 ≤ 16
4X2 – 2X3 ≤ 8
4X1 – 2X2
≤6
Xi ≥ 0
Max Z = 3X1 – 2X2 - 5X3 – 4X4
S.A.
X1 + 4X2 + 5X3 +8 X4 ≤ 8
X1 + 4X2 + 6X3 +4 X4 ≤ 4
Xi ≥ 0
Max Z = 2X1 – 4X2 +5X3 – 6X4
S.A.
X1 + 4X2 - 3X3 +8 X4 ≤ 2
- X1 + 2X2 + 3X3 +4 X4 ≤ 1
Xi ≥ 0
Trabajo Práctico: Investigar a que se refiere los términos siguientes: Solución Degenerada,
Solución óptima alternativa, Solución no acotada y Solución no factible. Se debe dar ejemplos para
cada uno de estos casos y sus respectivas explicaciones.
1.4 Método de Técnica en M
Este método se utiliza para cualquier tipo de MPL, sin importar la cantidad de variables y el tipo de
restricciones (≤, =, ≥), Para los casos en los cuales las restricciones sean diferentes a ≤, el método
Simplex no puede ser empleado en forma directa, es por eso que se debe considerar otras técnicas.
Para esto se debe penalizar con una variable (M), que no debe estar incluida al final de la solución,
esta variable de penalización (Mi) se considera que tiene un valor muy elevado, por lo que solo
servirá como un instrumento para que las variables Artificiales (Ri) no estén en la solución, debido a
que se considera una relación entre la variable Mi y Ri.
Se debe mencionar que por cada variable artificial incluida en el MPL, se debe agregar esta en la
FOBJ relacionándola con la penalización, también es necesario incluir que dichas variables solo
sirven para que la solución sea óptima y factible. También se considera que dichas variables
artificiales son consideradas como variables Básicas, los pasos necesarios para la aplicación de la
técnica en M son lo siguientes:
Colocar el modelo en su forma estándar.

Para restricciones con ≤ se debe sumar a la restricción una variable de holgura Si.

Para restricciones con = se debe sumar a la restricción una variable Artificial Ri.

Ingeniería Comercial
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EMI
Investigación Operativa I






Ing. Jhonny Flores Flores
Para restricciones con ≥ se debe restar una variable de Holgura (Si) y sumar una variable
Artificial Ri.
Para Maximización se deben adicionar todas las variable artificiales Ri con coeficientes –Mi
en la FOBJ y 0 en las variables de holgura.
Para Minimización se debe adicionar todas las variables artificiales Ri con coeficiente +Mi
en la FOBJ y 0 en las variables de holgura.
Se debe actualizar la FOBJ, considerando que las variables básicas no existen, para esto se
debe apoyar en ecuaciones que tienen variables artificiales.
Se debe considerar en grado de importancia de las variables de entrada que deben ser Xi, Si,
Ri (en caso extremo), y la jerarquía para decidir las variables de salida que son Ri, Si, Xi (en
caso extremo)
Una vez considerado estos pasos, se debe seguir los mismos pasos de decisión para las
variables de entrada y salida del Método Simplex. Al igual que la obtención de la solución
optima y factible.
Ejemplo: Una empresa que produce 2 artículos, para elaborar dichos productos necesitan
obligadamente pasar por 3 departamentos de producción; para el primer articulo se necesitan 3
Kg., de materia prima, 4 min., de preparado y 1 Kg., de cierto insumo; para el segundo articulo se
necesitan 1 Kg., de materia prima, 3 min., de preparado y 2 Kg., de cierto insumo. La empresa tiene
3 Kg./día de materia prima; destina por lo menos 6 min./día para el preparado y se dispone de 4
Kg./día de insumo. Los artículos tienen un costo de 4 y 1 $ por Kg. de articulo respectivamente.
Determinar la cantidad de artículos necesaria para tener un costo mínimo,
FOBJ Min Z = 4X1 + X2
SA
3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X.2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 4
Xi ≥ 0
VB
Z
R1
R2
S2
Z
R1
R2
S2
Z
X1
R2
S2
VB
Z
X1
X1
-4
3
4
1
-4+7M
Z – 4X1 – X2 -MR1- -MR2 = 0
3X1 + X2 + R1
=3
4X1 + 3X.2- S1 + R2 = 6
X1 + 2X2
+ S2 = 4
X2
-1
1
3
2
S1
0
0
-1
0
R1
-M
1
0
0
R2
-M
0
1
0
S2
0
0
0
1
SOL
0
3
6
4
-1+4M
M
0
0
0
9M
3
4
1
1
3
2
0
-1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
6
4
0
1/3+5/3M
-M
4/3-7/3M
0
0
4+2M
1
0
0
1/3
5/3
5/3
0
-1
0
1/3
-4/3
-1/3
0
1
0
0
0
1
1
2
3
X1
X2
S1
R1
R2
S2
SOL
0
0
1/3
24/15-M
-1/5-M
0
18/5
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
Ingeniería Comercial
7
OPERACIÓN
Fo + MF1+MF2 Fo
F1
F2
F3
Fo
F11/3
F1*
F2
F3
Fo +(4-7M) F1*
Fo
F1*
F2 - 4F1*
F23/5
F2*
F3 - F1*
F3
OPERACIÓN
Fo -(1/3+5/3M) F2*
F1 -1/3F2*
F1
EMI
Fo
Investigación Operativa I
X2
S2
Z
X1
X2
S1
Ing. Jhonny Flores Flores
0
0
1
0
-5/3
1
-4/5
1
3/5
-1
0
1
6/5
1
0
0
0
19/15M
M
-1/3
17/5
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2/5
-1/5
1
0
0
-1
-1/5
3/5
1
2/5
9/5
1
F2*
F3 – 5/3F2*
Fo -1/3MF3*
F1 -1/5F3*
F2+3/5 F3*
F3*
F3*
Fo
F1
F2
Zopt = 17/5 $/día
X1 = 2/5 Kg./día
X2 = 9/5 Kg./día
Al final no debe quedar una solución con la variable M
1.5 Método 2 fases
Otra técnica para resolver cualquier MPL, considerando la cantidad y tipos de restricciones; para
esto se debe considerar las siguientes fases:
 FASE 1: Se crea un modelo asociado al original cuya FOBJ debe considerarse
necesariamente como Minimización, en la cual se suma las variables artificiales de acuerdo a
las restricciones que se presenten. Se introduce el modelo estándar en la Tabla Simplex,
donde se repone la base canónica, es decir que las variables tengan inicialmente coeficientes
nulos y solo se considera las variables artificiales con valor negativo. Se debe aplicar el
Simplex para el caso MINIMO, el valor óptimo de la FOBJ debe ser cero para pasa a la
segunda fase, de no ser así el modelo original no tendría solución y no se puede pasar a la
segunda fase. Se debe ver que en la fila de la FOBJ en la última iteración se repite los
valores iniciales, es decir que no se tiene valores en las variables Xi en la solución y que las
columnas que reflejan las variables tengan coeficientes -1.
 FASE 2: De la tabla óptima (última iteración) de la fase 1, se debe considerar los coeficientes
obtenidos, a esta se elimina todas las columnas correspondientes a las variables artificiales y
solo se considera las variables de holgura, también se debe copiar las variables básicas
resultantes de la última iteración y los coeficientes de la FOBJ del MPL. Considerar para los
cálculos los pasos del Método Simplex y de acuerdo a la FOBJ (Maximización o
Minimización)
 NOTA 1: Se debe considerar que una vez repuesto los coeficientes de la FOBJ inicial, por lo
general son las mismas variables Xi las que se considera como variable de entrada
considerando las reglas de decisión de la variable de entrada en el Método Simplex.
 NOTA 2: También se debe considerar la importancia de las variables Ri, Si, Xi; en caso de
empate se elige de acuerdo a la importancia de la variable o en forma aleatoria.
FOBJ Min Z = 4X1 + X2
SA
3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X.2 ≥ 6
Ingeniería Comercial
Z – R1- R2 = 0
3X1 + X2 + R1
=3
4X1 + 3X.2- S1 + R2 = 6
8
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
X1 + 2X2 ≤ 4
Xi ≥ 0
VB
Z
R1
R2
S2
Z
R1
R2
S2
Z
X1
R2
S2
Z
X1
X2
S2
X1 + 2X2
+ S2 = 4
X1
X2
S1
R1
R2
S2
SOL
0
0
0
-1
-1
0
0
3
4
1
7
3
4
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
3
2
4
1
3
2
5/3
1/3
5/3
5/3
0
0
1
0
0
-1
0
-1
0
-1
0
-1
0
-1
0
0
1/5
-3/5
1
1
0
0
0
1
0
0
-7/3
1/3
-4/3
-1/3
-1
3/5
-4/5
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-1
-1/5
3/5
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
6
4
9
3
6
4
2
1
2
3
0
3/5
6/5
1
X1
X2
S1
S2
SOL
-4
-1
0
0
0
1
0
0
-4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1/5
-3/5
1
-3/5
1/5
-3/5
1
1/5
1/5
-3/5
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1/5
-1/5
3/5
1
OPERACIÓN
Fo +F1+F2
Fo
F1
F2
F3
Fo
F1 1/3
F1*
F2
F3
Fo -7F1*
Fo
F1*
F2-4F1*
F23/5
F3 –F1*
F3
Fo -5/3F2*
Fo
F1 -1/3F2*
F1
F2*
F3 – 5/3F2*
F3
Segunda Fase:
VB
Z
X1
X2
S2
Z
X1
X2
S2
Z
X1
X2
S2
Z
X1
X2
S1
3/5
6/5
1
6/5
3/5
6/5
1
18/5
3/5
6/5
1
17/5
2/5
9/5
1
OPERACIÓN
Fo +F2*
Fo
F1
F2*
F3
Fo +4F2*
Fo
F1
F1*
F2*
F3
Fo +F1*
Fo
F1
F2*
F3*
Fo – 1/5F3*
Fo
F1 -1/5F3*
F1
F2 + 3/5 F3*
F2
F3*
Zopt = 17/5 $/día
X1 = 2/5 Kg./día
X2 = 9/5 Kg./día
Ingeniería Comercial
9
EMI
F2*
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
1.6 Método Simplex Dual
Resuelve un MPL con cualquier tipo de restricción, partiendo de una solución óptima pero
INFACTIBLE, para el caso de Minimización la FOBJ debe tener coeficientes Positivos y para el
caso de Maximización debe tener Coeficiente Negativos. Para realizar esta técnica se procede a los
siguientes pasos:
 Colocar el MPL e una forma parecida a la estándar, en caso de restricciones ≥ se debe
multiplicar por signo negativo para que se tenga una restricción ≤, en caso de restricción de
tipo =, se debe separar en dos restricción (> y <), y multiplicar nuevamente por signo
negativo a la restricción >, posteriormente, se debe sumar variables de holgura a las
restricciones.
 Introducir al modelo anterior a una tabla Simplex, considerando a la FOBJ con signo
cambiado.
 La Variable de Salida, es aquella variable básica con valor más Negativo, es decir en la
columna de solución de la Tabla Simplex se debe identificar el valor más negativo, en caso
de empate considerar la importancia entre variables de salida.
 La variable de entrada, se elige de la siguiente manera, realizar los cocientes entre los
coeficientes de la FOBJ, dividido los coeficientes tecnológicos correspondientes a la
restricción de la variable de salida, NO existiendo división entre ceros ni positivos; la
variable de entrada es aquella correspondiente al menor cociente, para el caso de
Minimización y aquella de menor cociente en valor absoluto para el caso de Maximización.
En caso de empates, se debe considerar la importancia entre variables de entrada
 Una vez identificado la variable de entrada y salida, la casilla de intersección de fila y
columna pivote, se pivotizar, aplicando el inverso multiplicativo y se logra un vector
canónico aplicando inversos aditivos, de esta forma se logra una nueva solución básica.
 El proceso termina cuan do no se tiene ninguna variable negativa en la base y se logra una
solución óptima para el MPL.
 No se debe olvidar que para realizar este método lo principal es que todas las restricciones
deben estar en términos de < y ≤, esto simplifica las operaciones dejando de lado las
penalizaciones y solo se usa variables de Holgura Si, que en algunos casos se puede
incrementar dichas variables que debe ser reflejada también en la tabla Simplex.
FOBJ Min Z = 4X1 + X2
SA
3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X.2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 4
Xi ≥ 0
VB
Z
S1
Z = 4X1 + X2
3X1 + X2 < 3
3X1 + X2 > 3
-4X1 - 3X.2 ≤ -6
X1 + 2X2 ≤ 4
Z – 4X1 – X2
=0
3X1 + X2 + S1
=3
-3X1 - X2
+ S2
= -3
-4X1 - 3X.2
+ S3 = -6
X1 + 2X2
+ S4 = 4
X1
X2
S1
S2
S3
S4
SOL
-4
-1
0
0
0
0
0
3
1
1
0
0
0
3
Ingeniería Comercial
10
OPERACIÓN
Fo
F1
EMI
Investigación Operativa I
S2
S3
S4
Z
S1
S2
X2
S4
Z
S1
S3
X2
S4
Z
S1
S2
X2
X1
-3
-4
1
-8/3
5/3
-5/3
4/3
-5/3
-1
0
5
3
-5
0
0
0
0
1
-1
-3
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Ing. Jhonny Flores Flores
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-1
1
-3
-1
2
-7/5
1
-1
1/5
-2/5
0
1
0
-1/3
1/3
-1/3
-1/3
2/3
0
0
1
0
0
0
1/3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
-1/5
0
1
3/5
-1/5
-3
-6
4
2
1
-1
2
0
3
0
3
3
-2
17/5
0
1
9/5
2/5
F2
F3(-1/3)
F4
Fo + F3*
F1 -F3*
F2 + F3*
F3*
F4 -2 F3*
Fo +1/3F2*
F1 +1/3F2*
F2*
F3+1/3F2*
F4 -2/3F3*
Fo + F4*
F1
F2 -5F4*
F3-3F4*
F4*
F3*
Fo
F1
F2(-3)
F4
Fo
F1
F3
F4(-1/5)
Fo
F2
F3
Zopt = 17/5 $/día
X1 = 2/5 Kg./día
X2 = 9/5 Kg./día
Practica 3
Resolver los siguientes modelo planteados dependiendo del caso por los Métodos: SIMPLEX,
Técnica en M, Técnica en 2 fases y SIMPLEX Dual.
1. Max Z = X1 + X2
Sujeto a.
5X1 + 3X2 ≤ 15
3X1 + 5X2 ≤ 15
Xj > 0
2. MIN Z = 6X1 + 4X2 + 2X3
Sujeto a.
6X1 + 2X2 + 6X3 ≥ 6
6X1 + 4X2 = 12
2X1 - 2X2 ≤ 2
Xj > 0
3. MAX Z = 2X1 - 3X2
Sujeto a:
X1 + 2X2 ≤ 12
4X1 - 2X2 ≥
3
6X1 - 1X2 = 10
Xj > 0
4. MIN Z = 3X1 - 9X2 - 5X3 – 4X4
Sujeto a.
X1 + 4X2 + 5X3 + 8X4 ≤8
X1 + 2X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 4
Xj > 0
5. MAX Z = 10X2 + 30X3 + 40X4 + 10X5 + 20X7
Sujeto a.
3X1 + 2X2 + X6 + X7 = 5.000
6.
Max z = X1 + 0.5X2
S.a.
X1/3 + 2X2/3 ≤ 8
Ingeniería Comercial
11
EMI
F2*
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
2X4 + X5 + X6 = 15.000
X2 +3X3 + 2X5 + X6 + 2X7 = 5.000
Xj > 0
4X1 + X2 ≤ 30
X1, X2 ≥ 0

Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar
por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura
pintara solo camiones, se podrían pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara
solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de
carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el
taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada
camión aporta 300$ a la utilidad, y cada automóvil, 200. Encuentre la programación lineal y
resuelva por el método gráfico para determinar la producción diaria que maximizará la
ganancia de la compañía.

Hay tres fábricas a lo largo del río. Cada fábrica descarga dos tipos de contaminantes al río.
Se puede reducir la contaminación del río si se procesan los desechos de cada fábrica. El
proceso de una tonelada de desechos de la fábrica 1, cuesta 22 dólares y cada tonelada de la
fábrica 1 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.8 toneladas y la cantidad de
contaminante 2 en 0.3 tonelada. El procesamiento de una tonelada de desechos de la fábrica
2, cuesta 17 dólares y cada tonelada de desechos reducirá la cantidad de contaminante 1 en
0.9 tonelada y la cantidad de contaminante 2 en 0.15 tonelada. El proceso de una tonelada de
desechos de la fábrica 3 cuesta 27 dólares y reducirá de 1 en 0.11 toneladas y la cantidad de
contaminante de 2 en 0.3 tonelada. El estado quiere reducir la cantidad de contaminante en
por lo menos 20 toneladas y de contaminante 2 en por lo menos 60 toneladas
2. ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El análisis de sensibilidad se refiere a los cambios de estado que pueden presentarse en el modelo,
esto cambios de estados pueden ser de manera exterior o interna, esto se puede tener varias
estructuras, para realizar estos cambios se puede considerar los siguientes puntos:
 La solución inicial se puede mantener es decir que se realiza los cambios y no cambia la
solución que tiene por lo tanto la Función Objetivo y las restricciones se mantienen.
 Las variables básicas óptimas mantienen sus valores pero el resultado de la Función Objetivo
no cambia.
 Que exista un cambio general del modelo en los cuales se distinguen:
o Cambio en b: Cambio en el vector de recursos o disponibilidades. Generalmente se
representa por cambios de manera externa e interna.
o Cambio en C: Cambio en el vector de coeficientes de la FOBJ, costos, ingresos,
utilidades, etc. Representa cambios relacionados con factores internos.
o Cambio en A: Cambio en la matriz de coeficientes tecnológicos. Esta relacionado con
cambios internos del modelo que pueden ser controlados.
Ingeniería Comercial
12
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
o Cambio en X: Incremento en las variables de decisión. Es de acuerdo a los cambios
de manera interna.
o Cambio en m: Incremento en las restricciones. Corresponde a los cambios de manera
interna.
El modelo que corresponde a los cambios existentes es relacionado con la forma canónica.
MAX Z = CX
AX ≤ b
X≥0
La manera matricial presentada en la tabla Simplex es la siguiente:
VB
Z
S1
S2
:
Sm
:
VB
Z
:
Z
VBOPT
Variables de decisión
X1
X2
…
-C
Xn
S1
Variables Básicas
S2
…
0
A
Z1-C1
Z2-C2
Sm
I
…
Zn-Cn
Zn+1-Cn+1
Zn+2-Cn+2
Π = CBB-1
B-1
πA-C
B-1A
SOL
0
b
Zn+m-Cn+m
…
ZB= CBXB
XB=B-1b
Cambio en b: Cambio en el vector de recursos o disponibilidades, el vector b incrementa su valor y cambia a
b*, es decir b  b * donde b* corresponde a b * b  b , por lo cual cambio la función canónica de la
siguiente manera
MAX Z = CX
AX ≤ b
X≥0
a
MAZ Z = CX
AX ≤ b*
X≥0
En el caso que la matriz XB ≥ 0 Se actualiza la tabla con los siguientes cambios
XB = B-1 b → XB = B-1 b*
ZB = CBXB → ZB = CBXB
En el caso que la matriz XB < 0 es una solución óptima pero Infactible, se deba aplicar el DUAL SIMPLEX y
dejar la celda de la solución de la tabla vació, para encontrar el valor de la celda solución se la realiza por el
cálculo de ZB = CBXB, el valor correspondiente a CB depende de las nuevas variables básicas en la solución de
la tabla Simplex.
Cambio en C: Cambio en los coeficientes de la FOBJ, es decir se presenta cambios en los valores de la FOBJ
y corresponde a lo siguiente: C  C * donde C* corresponde a C * C  C , por lo cual se presenta un
cambio en la FOBJ de la siguiente manera:
FOBJ MAZ = CX
a
FOBJ MAZ = C*X
Se debe borrar los valores de las variables de decisión y reemplazar por el siguiente cálculo
πA – C → πA – C*
Ingeniería Comercial
13
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
Después de eso se realiza el Simplex en caso que exista las condiciones de Variables de Salida
Cambio en A: Cambio en la matriz de coeficientes tecnológicos, este cambio se da con algunos valores y solo
con algunas columnas de la matriz A que corresponde a A  A* donde la matriz A esta compuesto por
columnas correspondiente a a1, a2, a3,…, an, que de acuerdo a la situación solo puede cambiar una de esta
columnas, se cambia la el MPL de la siguiente manera:
AX ≤ b
a
A*X ≤ b
De acuerdo a la ubicación del coeficiente de debe cambiar el subíndice J de la siguiente ecuación:
ZJ - CJ = π aJ*- CJ
Se reemplaza en la fila de Z y en la ubicación correspondiente
YJ = B-1aJ
Se reemplaza la columna correspondiente en la Matriz A
Si existe un la Fila Z un valor de acuerdo a la función objetivo que tenga las condiciones de Variable de
Salida por el cambio correspondiente de aplica el Simplex.
Es decir que se debe actualizar la columna correspondiente a π a J*- CJ. Si todos los valores correspondientes a
esta actualización se mantienen óptimos la solución anterior se mantiene, si al menos un valor de π a J*- CJ no
es óptimo, debe actualizarse el vector correspondiente de la siguiente manera: B  1 A  B  1 A* pero por lo
*
general solo se realiza el cambio en una columna vector Y j  B  1 a j  Y j  B  1 a j
Cambio en X: Incremento en las variables de decisión X, por un incremento en las variables de decisión se
debe calcular el valor correspondiente en la fila de la FOBJ, Z J - CJ = π aJ- CJ o directamente π aJ- CJ para las
variables añadidas, de la misma manera debe obtenerse los valores correspondientes al vector Y J = B-1aJ. si
todos los coeficientes de π a J- CJ son óptimos no se realiza ningún calculo, si no fueran óptimos se aplica el
Simplex para la actualización de la tabla.
Se aplica cuando se aumenta una nueva variable para esto se debe actualizar la tabla Simplex aumentando
columnas con los siguientes cambios.
ZJ +1 - CJ+1 = π aJ+1*-CJ+1 Se pone en la columna aumentada en Z
YJ+1 = B-1aJ+1
Se pone en la columna aumentada en la Matriz A
Cambio en m: Incremento en las restricciones, si se incrementa K restricciones se generara K líneas y estas
tendrán variables de holgura a que se adicionaran en la tabla y está también serán variables básicas, se debe
actualizar la tabla y en casos extremos aplicar el DUAL SIMPLEX.
Se aplica cuando se aumenta una restricción en este caso se debe aumentar en la tabla Simplex, con la
condición que siempre debe ser restricciones del tipo ≤, aumentando una variable de holgura en la columna
de Variables básicas, si fuese una restricción ≥ se debe multiplicar por una valor negativo para introducirla a
la tabla Simplex y aplicar el Dual Simplex.
Para la aplicación de estos cambios se realiza a continuación un ejemplo tipo.
En una empresa comercial que ofrece 2 productos (A, B), cuyo costo de producción es de 100 y 120
$; antes que sean vendidos, deben ser trasladados a un almacén, cuya capacidad es del 60 m 2; se
reserva una espacio para cada uno de los tipos de producto, se sabe que el producto B ocupa 6 m2,
que es doble del espacio que necesita el producto A, también se sabe que se dispone de
c/m2amiones cuya capacidad global por superficie es de 32 Kg/m2; el producto A tiene un peso/área
de 4 Kg/m2 que es el doble del peso por área del producto B. Si se quiere considerar un margen de
utilidad del 90% para el precio de venta de cada uno de los 2 productos. a) Formule el MPL para la
empresa comercial; b) Soluciones el modelo; c) que pasaría si se incrementa la capacidad del
almacén hasta 90 m2 ye l peso/área a 65 kg/m 2; d) con relación al anterior inciso al empresa sufre
una caída del muro del almacén lo que provoca una reducción en su capacidad del 60%, además
que por política el peso/área debe disminuirse en 10 Kg/m 2; e) La empresa quiere vender con
Ingeniería Comercial
14
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
factura cada producto lo que significa que se incrementa en 15% la utilidad; f) Para el producto B
hubo una restructuración, de manera independiente al producto A, se disminuyó el espacio que
ocupa a 2 m2 y el peso/área se disminuyó en 1 Kg/m2; g) El dueño de la empresa cree necesario
comercializar otro producto C, el cual tendría una utilidad de 100 $/u., que tiene un espacio de 1 m 2
y un peso/área de 1 Kg/m2; h) Para no tener problemas por la entrega de los productos y ser
sancionado, la empresa debe entregar al menos 5 productos de A y B.
Solución
a)
Producto
Costo ($/u)
A
B
100
120
FOBJ MAX Z =
Sa
Espacio
(m2/u)
3
6
60
Cap. Global Mg (%)
(Kg/m2-u)
4
90%
2
90%
32
Pu ($/u)
Util. ($/u)
190
228
90
108
90 XA + 108 XB
3 XA + 6 XB ≤ 60
4 XA + 2 XB ≤ 32
Xi ≥ 0
b)
VB
Z
S1
S2
Z
XB
S2
Z
XB
XA
XA
-90
3
4
-36
½
3
0
0
1
XB
-108
6
2
0
1
0
0
1
0
S1
0
1
0
18
1/6
-1/3
14
2/9
-1/9
S2
0
0
1
0
0
1
12
-1/6
1/3
SOL
0
60
32
1080
10
12
1224
8
4
OPERACIÓN
FO
F11/6
F1*
F2
FO +108 F1*
FO
F1*
F2-2 F1*
F21/3
FO +36 F2*
FO
F1 -1/2F2*
F1
F2*
F2*
Zopt = 90*4 + 108*4 = 1224
c)
FOBJ MAX Z =
Sa
90 XA + 108 XB
3 XA + 6 XB ≤ 60
4 XA + 2 XB ≤ 32
Xi ≥ 0
60
B=
32
FOBJ MAX Z = 90 XA + 108 XB
Sa
3 XA + 6 XB ≤ 90
4 XA + 2 XB ≤ 65
Xi ≥ 0
90
b*=
65
XB=B-1b
XB=
2/9
-1/6
Ingeniería Comercial
* 90
XB=B-1b*
= 55/6
XB= 55/6
15
≥0 es factible
EMI
Investigación Operativa I
-1/9
Ing. Jhonny Flores Flores
1/3
65
35/6
XA
XB
ZB=CBXB
VB
Z
XB
XA
108
ZB=CBXB =
XA
0
0
1
XB
0
1
0
35/3
90
55/6
35/3
*
S1
14
2/9
-1/9
S2
12
-1/6
1/3
=2040
SOL
2040
55/6
35/3
OPERACIÓN
FO
F1
F2
Zopt= 90*35/3+108*55/6 = 2040
d)
FOBJ MAX Z =
Sa
90 XA + 108 XB
3 XA + 6 XB ≤ 90
4 XA + 2 XB ≤ 65
Xi ≥ 0
90
B=
65
XB=B-1b
FOBJ MAX Z = 90 XA + 108 XB
Sa
3 XA + 6 XB ≤ 36
4 XA + 2 XB ≤ 55
Xi ≥ 0
36
b*=
55
XB=B-1b*
2/9
-1/6
36
-7/6
-7/6
*
=
XB=
< 0 es infactible
-1/9
1/3
55
43/3
43/3
Se dice infactible cuando uno de los elementos del vector es negativo, se debe actualizar la tabla
Simplex con el criterio del Simplex Dual.
XB=
VB
Z
XB
XA
Z
S2
XA
XA
0
0
1
0
0
1
XB
0
1
0
72
-6
2
ZB=CBXB
S1
14
2/9
-1/9
30
-4/3
1/3
S2
12
-1/6
1/3
0
1
0
ZB=CBXB =
SOL
OPERACIÓN
FO
F1(-6)
F1*
F2
FO -12F1*
FO
F1*
F2-1/3F1*
F2
-7/6
43/3
1080
7
12
0
90
7
12
*
=1080
Zopt= 90*112+108*0 = 1080
e)
FOBJ MAX Z =
Sa
90 XA + 108 XB
3 XA + 6 XB ≤ 36
4 XA + 2 XB ≤ 55
Xi ≥ 0
C= [90
30
Ingeniería Comercial
0
*
FOBJ MAX Z = 207/2 XA + 621/5 XB
Sa
3 XA + 6 XB ≤ 36
4 XA + 2 XB ≤ 55
Xi ≥ 0
108]
3
C*= [207/2
-
6
16
207/2
621/5]
621/5
=
-27/2
279/5
EMI
Investigación Operativa I
πA-C
Ing. Jhonny Flores Flores
4
πA-C* =
VB
Z
S2
XA
Z
S2
XA
XA
-27/2
0
1
0
0
1
XB
279/5
-6
2
414/5
-6
2
S1
30
-4/3
1/3
69/2
-4/3
1/3
2
S2
0
1
0
0
1
0
SOL
1080
7
12
1242
7
12
OPERACIÓN
FO
F1
F2*
FO +27/2F2*
FO
F1
F2*
Zopt= 207/2*12+621/5*0 = 1242
f)
FOBJ MAX Z =
Sa
207/2 XA + 621/5 XB
3 XA + 6 XB ≤ 36
4 XA + 2 XB ≤ 55
Xi ≥ 0
A=
3
4
FOBJ MAX Z = 207/2 XA + 621/5 XB
Sa
3 XA + 2 XB ≤ 36
4 XA + 1 XB ≤ 55
Xi ≥ 0
6
2
A*=
c1
C=[207/2
z2 –c2 = πa2-c2 =
XA
0
0
1
414/5
5/2
3/2
0
Yj=B-1A*
-4/3
1
1/3
0
y2 =
VB
Z
S2
XA
Z
S2
XB
69/2
XB
-276/5
-5/3
2/3
0
0
1
S1
69/2
-4/3
1/3
621/10
-1/2
1/2
3
4
c2
621/5]
2
*
- 621/5
1
y2=B-1a2*
2
-5/3
*
=
1
2/3
S2
0
1
0
0
1
0
SOL
1242
7
12
11178/5
37
18
2
1
=
-276/5
OPERACIÓN
FO
F1
F23/2
F2*
FO +276/5F2*
FO
F1+5/3F2*
F1
F2*
Zopt= 207/2*0+621/5*8 = 11178/5
g)
FOBJ MAX Z =
Sa
207/2 XA + 621/5 XB
3 XA + 2 XB ≤ 36
4 XA + XB ≤ 55
Xi ≥ 0
Z3 –c3 = πa3-c3 =
621/10
FOBJ MAX Z = 207/2 XA + 621/5 XB + 100 XC
Sa
3 XA + 2 XB + XC ≤ 36
4 XA + XB + XC ≤ 55
Xi ≥ 0
0
*
Yj=B-1A*
Ingeniería Comercial
17
1
1
y3=B-1a3*
100
=
-379/10
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
y3 =
VB
Z
S2
XA
Z
S2
XC
XA
414/5
5/2
3/2
393/2
1
3
XB
0
0
1
379/5
-1
2
-1/2
1/2
XC
-379/10
1/2
1/2
0
0
1
1
0
*
1
1
S1
621/10
-1/2
1/2
100
-1
1
=
S2
0
1
0
0
1
0
1/2
1/2
SOL
11178/5
37
18
3600
19
36
OPERACIÓN
FO
F1
F2 2
F2*
FO +379/10F2*
F1-1/2F2*
F1
F2*
FO
Zopt= 207/2*0+621/5*0+100*36 = 3600
h)
FOBJ MAX Z = 207/2 XA + 621/5 XB+100*XC
Sa
3 XA + 2 XB +XC≤ 36
4 XA + XB + XC≤ 55
FOBJ MAX Z = 207/2 XA + 621/5 XB + 100 XC
Sa
3 XA + 2 XB + XC ≤ 36
4 XA + XB + XC ≤ 55
XA + XB
≥5
Xi ≥ 0
Xi ≥ 0
VB
Z
S2
XC
S3
Z
S2
XC
XB
XA
393/2
1
3
-1
1207/10
2
1
1
XB
379/5
-1
2
-1
0
0
0
1
XC
0
0
1
0
0
0
1
0
S1
100
-1
1
0
100
-1
1
0
S2
0
1
0
0
0
1
0
0
S3
0
0
0
1
379/5
-1
2
-1
SOL
3600
19
36
-5
3221
24
26
5
OPERACIÓN
FO
F1
F2
F3 (-1)2
F3*
FO -379/5F3*
FO
F1+F3*
F1
F2-2 F3*
F2
F3*
Zopt= 207/2*0+621/5*5+100*26 = 3211
Con el desarrollo de este punto introducimos un análisis gráfico muy útil. Pero lo desarrollado aquí
es parte de un conjunto más amplio
Los z j  c j de las columnas de las variables principales son COSTOS DE OPORTUNIDAD (cuanto
disminuye el funcional por cada unidad producida de ese producto que no debo producir). Ese valor
z j  c j es lo que pierdo si yo fuerzo la producción de ese producto que no se produce. Y no se
produce porque z j  c j es distinto de cero y por ende no está en la base.
Llamaremos  a esta definición. La necesitaremos más adelante.
El z j  c j de las columnas de las variables slack es el beneficio marginal que yo obtendría si lograra
utilizar una unidad adicional de ese recurso j.
Ingeniería Comercial
18
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
A este valor se llama el precio sombra de ese recurso saturado. De los recursos no saturados el
precio sombra es cero.
Practica 4
 Una fábrica de muebles es especialista en la producción de muebles para comedores de 2 tipos
A y B, si estos deben tener el siguiente requerimiento:
Tipo de Muebles
Construcción (hrs/cliente)
Pintado (hrs/cliente)
A
6
8
B
12
4
El mueble A vende a 200 $ y el B 240 $. Solo se dispone de 120 Hrs de construcción y 64 hr por el
pintado. Formulé el modelo de modo que se maximice los ingresos de la fábrica.
a.
Por razones técnicas se produce una modificación en las disponibilidades de 200 hrs y
130hrs respectivamente.
b.
Debido a falta de personas se distribuyó de nuevo las disponibilidades en 60 hrs y 100
hrs respectivamente.
c.
Debido a la crisis en La Paz subieron el precio por venta de muebles a 220 y 250 $ de
A y B respectivamente.
d.
Se modifica la parte técnica de la fabricación en el mueble, ya que se podrá construir
en 5 hrs y pintar en 3 hrs.
e.
Según un experto en Marketing se cree que es necesario promover mueles de
computación, cada mueble arrojara como beneficio 240 $/und., demandará 2 hrs de
construcción y en el pintado.
f.
Debido a que se debe cumplir con contratos anteriores, se debe producir al menos 5
comedores para entrega inmediata

Un fabricante produce dos tipos de refresco, I y II, los cuales se venden a 12 y 8 $ el litro
respectivamente. En la empresa tienen recursos limitados en la parte de mano de obra, ya que
trabajan en la parte de producción 12 personas y se dispone sólo de un máximo costo de
producción de 28$ por hora de trabajo. Se estima que para la producción de 1 litro del
refresco I se requieren 4 personas, mientras que para producir un refresco de tipo II sólo dos
trabajadores. El costo de producir un litro del tipo I es de 7$, mientras que para el segundo es
de 8$.
a. Por razones técnicas se produce una modificación en las ventas de 20 personas y 33
$/hrs respectivamente.
b. Debido a falta de personas se modificación en las ventas de 10 personas y 13 $/hrs
respectivamente
c. Debido a la crisis en La Paz subieron el precio por venta de muebles a 13 y 8.5 $ de
los refrescos I y II respectivamente.
d. Se modifica la parte técnica de la fabricación en el refresco del tipo I, ya que por litro
se requieren 3 personas y 3 personas para producir 1 litro del refresco II.
e. Según un experto en Marketing se cree que es necesario promover jugos que tendra
un precio de 8 $/lt y demandará 3 personas/litro y con un costo de producción de 5 $/lt.
Ingeniería Comercial
19
EMI
Investigación Operativa I
Ing. Jhonny Flores Flores
f.
Debido a que se debe cumplir con contratos de distribución, se debe producir al
menos 10 litros del refresco del tipo I

Un granjero puede criar ovejas, cerdos, y ganado vacuno, este tiene espacio para 30 ovejas o
50 cerdos o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinación de éstos, con la relación
siguiente: 3 ovejas, 5 cerdos y 2 vacan usan el mismo espacio. Los beneficios por unidad son
5, 5 y10 $ por ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley al
menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. Encontrar los valores de ovejas, cerdos y
ganado vacuno que permita maximizar los beneficios.
a.
Si los beneficios por unidad cambian a 10, 4 y 18 $ por ovejas, cerdos y vacas
respectivamente
b.
Si cambia el espacio y puede ciar hasta 35 ovejas o 60 cerdos o 23 cabezas de ganado
vacuno, o cualquier combinación de éstos

Suponga que una persona acaba de heredar $ 6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia
dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios,
cada uno planteado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco
de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al
convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada
(ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del
segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo,
ambos amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la
sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción.
Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano
(600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación
que maximice la ganancia total estimada.
a)
Por razones personales se produce una modificación en las inversiones con un
incremento del 20% respecto al amigo 1 y 35% respecto al amigo 2..
b)
Debido a la crisis en La Paz disminuyeron las ganancias en un 10%.

Una fábrica de chocolates tiene que determinar cuantas barras de chocolate de menta y de
vainilla hay que hacer este año. Una barra de vainilla produce 25 bolsas de menta y requiere
15 horas semanales de trabajo. Una barra de menta produce 10 bolsas y requiere 5 horas
semanales de trabajo. Se puede vender toda la vainilla a 4 dólares la bolsa y toda la menta a
3 dólares la bolsa. Se dispone de 5 barras y de 40 horas semanales de trabajo. La producción
de menta en el año en curso es de por lo menos de 60 bolsas.
a.
Por razones técnicas se produce una modificación en la producción de 20 bolsas de
menta y 30 hrs semanales.
b.
Debido a la crisis en La Paz subieron el precio por venta en un 15% al de menta y en
un 20% al de vainilla.
3. MODELOS DE TRANSPORTE
Ingeniería Comercial
20
EMI
Investigación Operativa I

Ing. Jhonny Flores Flores
Una ciudad tiene 3 fábricas destinadas a la preparación de madera conglomerada, necesaria
para la elaboración de muebles de toque fino que requieren 3 ciudades, para su distribución
rige un tarifa de transporte que incluye las horas de transporte por kilómetro de cada pie
tablar de madera conglomerada, esta tabla se presenta a continuación:
Plantas
I
II
III
A
Ciudades (hr/km-und)
B
C
0,26
0,32
0,28
0,20
0,30
0,36
0,28
0,26
0,34
Se sabe que se tiene que recorrer 5,000 m para la distribución a cada ciudad, además que los costos
por hora trabajada son de 10 $/Hr. Las plantas tienen una capacidad productiva de 160, 200 y 240
unidades de pie tablar, se sabe que la demanda de las ciudades son de 250, 260 y 180 unidades de
pie tablar.
a. Formular el problema como un modelo de transporte
b. Encontrar la solución óptima por cualquier método
c. Validar la solución óptima del modelo

Para cada tabla se considera un ejercicio, dichas tablas representan los costos
unitarios, resolver por cualquier método y validar la solución óptima.
A
7
6
4
450
I
II
II
Demanda (u)
I
II
II
Demanda (u)
I
II
II
I
Demanda (u)
Ingeniería Comercial
A
12
3
5
550
A
12
3
5
11
450
B
5
3
7
160
C
4
7
6
320
Oferta (u)
150
350
430
930
B
5
11
10
250
C
5
6
8
350
D
4
7
8
400
Oferta (u)
300
350
450
B
5
11
10
3
170
C
5
6
8
4
320
D
4
7
8
9
340
Oferta(u)
150
350
430
600
1530
21
EMI