OpenStax-CNX module: m12900
1
Series de Fourier y los Sistemas LTI
*
Justin Romberg
Translated By:
Fara Meza
Erika Jackson
Based on
Fourier Series and LTI Systems
by
Justin Romberg
This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the
Creative Commons Attribution License 2.0
1 Introduciendo las Series de Fourier a los Sistemas LTI
Antes de ver este modulo, usted debería familiarizarse con los conceptos de Eigenfunciones de los sistemas
LTI. Recuerde, para
Figure 1:
donde
est
H
sistema LTI tenemos la siguiente relación
Señales de entrada y salida para nuestro sitema LTI.
es una eigenfunción de
H.
Su eigenvalor correspondiente
respuesta de impulsoh (t)
Z
∞
H (s) =
−∞
* Version 1.2: Jul 25, 2005 2:08 pm -0500
http://cnx.org/content/m10752/2.7/
http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/
http://cnx.org/content/m12900/1.2/
h (τ ) e−(sτ ) dτ
H (s)
pueden ser calculado usando la
OpenStax-CNX module: m12900
2
Así, usando la expansión de las series de Fourier para
f (t) =
X
f (t)periódica
donde usamos la entrada
cn eiω0 nt
n
en el sistema,
Figure 2:
nuestra salida
Sistema LTI
y (t)
será
y (t) =
X
H (iω0 n) cn eiω0 nt
n
Podemos ver que al aplicar las ecuaciones de expansión de series de fourier, podemos ir de
viceversa, y es lo mismo para la salida,
f (t)
a
cn
y
y (t)
2 Efectos de las Series de Fourier
Podemos pensar de un sistema LTI como el ir
moldeando
el contenido de la frecuencia de la entrada.
Mantenga en mente el sistema básico LTI que presentamos en Figure 2. El sistema LTI,
H,
multiplica todos
los coecientes de Fourier y los escala.
{cn }
Dado los coecientes de Fourier de la entrada
de Fourier de la salida, es
note:
{H (iw0 n) cn }
los eigenvalores,
y los eigen valores del sistema
H (iw0 n) describen
T = 2πw0
las series
completamente lo que un sistema LTI le hace a una
señal periódica con periodo
Example 1
¾Qué hace este sistema?
Figure 3
http://cnx.org/content/m12900/1.2/
{H (iw0 n)},
(una simple multiplicación de termino por termino).
OpenStax-CNX module: m12900
3
Example 2
Y, ¾esté sistema?
(a)
(b)
Figure 4
3 Examples
Example 3: El circuito RC
h (t) =
1 −t
e RC u (t)
RC
¾Qué es lo que este sistema hace a las series de fourier de la
f (t)?
Calcula los eigenvalores de este sistema
H (s)
=
R∞
=
R∞
=
=
=
−∞
h (τ ) e−(sτ ) dτ
−τ
1
e RC e−(sτ ) dτ
0 RC
R ∞ (−τ )( 1 +s)
1
RC
dτ
RC 0 e
1
(−τ )( RC
+s) ∞
1
1
e
|τ =0
1
RC RC
+s
1
1+RCs
(4)
Ahora, decimos que a este circuito RC lo alimentamos con una entrada
periodo
Vea los eigen valores para
periódica (con
s = iw0 n
|H (iw0 n) | =
El circuito RC es un sistema
frecuencias altas (
n
1
1
=√
2
|1 + RCiw0 n|
1 + R C 2 w0 2 n2
pasa bajas:
pasa frecuencias bajas
grandes).
Example 4: Pulsó cuadrado a través del Circuito RC
•
f (t)
T = 2πw0 ).
f (t)
1 sin π2 n
cn =
π
2
2n
Señal de entrada : tomando las series de Fourier
1
t en
n=0
http://cnx.org/content/m12900/1.2/
n
alrededor de
0)
atenúa
OpenStax-CNX module: m12900
•
4
Sistema : Eigenvalores
H (iw0 n) =
•
1
1 + iRCw0 n
Señal de salida: tomando las series de Fourier de
y (t)
1
1 sin π2 n
dn = H (iw0 n) cn =
π
1 + iRCw0 n 2
2n
1
1 sin π2 n
dn =
π
1 + iRCw0 n 2
2n
y (t) =
X
dn eiw0 nt
n
¾Qué podemos decir sobre
y (t)
de
{dn }?
y (t) real?
y (t) simétrico par? ¾simétrico impar?
¾Comó se y (t) ¾es mas suave que f (t)? (el
1. ¾Es
2. ¾ Es
3.
dn =
1
1 sin π2 n
π
1 + iRCw0 n 2
2n
|dn | = q
http://cnx.org/content/m12900/1.2/
radio de descomposición de
1
2
1 + (RCw0 ) n
1 sin π2 n
π
2 2
2n
dn
vs.
cn )
