CENTRO UNIVERSITARIO SIGLO XXI
UNIDAD DE APRENDIZAJE:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
NOMBRE DEL ALUMNO:
LIZBETH ADRIANA AQUINO TORRES
NOMBRE DEL MAESTRO:
LIC. LUIS ALBERTO VARGAS CRUZ.
TITULO:
“HOJA DE PRESENTACION”
LICENCIATURA:
CONTABILIDAD Y FINANZAS
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AV. PERIFÉRICO No. 169 COL. CENTRO; CUNDUACÁN 25 DE JULIO 2020
INDICE
CONTENIDO
2.-ELEMENTOS DE PROBABILIDAD ..................................................................................... 5
2.2.- MODELO MATEMATICO.................................................................................................. 6
2.3.- FENOMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTICOS. .............................................. 7
2.4.-ESPACIO MUESTRA. ........................................................................................................ 8
2.5.- EVENTOS ELEMENTALES Y COMPUESTOS. ..................................................... 9
2.8.- DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD ....................................................... 13
1
El concepto de la probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza
los eventos futuros.
Es por ello que los estudios de probabilidades surgen como una herramienta
utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El
desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros
usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuó con el
estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación
en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de
error en los cálculos.
A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes
para definir la probabilidad y de terminar los valores de probabilidad los cuales son
el en foque clásico, el enfoque de frecuencia relativa y el en foque subjetivo estos
enfoques conceptuales se estarán definiendo en el transcurso de este en sayo.
1
DESARROLLO
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del
estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio
entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas
condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El
ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una
moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos,
hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia.
En principio no
1
2.-ELEMENTOS DE PROBABILIDAD
2.1.- ANTECEDENTES HISTORICOS.
Sabías que la probabilidad tiene su origen en los estudios de las posibilidades de
ganar en juegos de azar; en el siglo XVII.
Pues bien, en el año 1650, De meré un francés, jugador empedernido, se encuentra
con Blaise Pascal y le propone un problema que ya se había discutido durante la
Edad Media.
El juego consistía en que cada jugador elegía un número, tiraban un dado
alternadamente y el que conseguía primero tres veces el número elegido, ganaba.
El problema que le propone De Meré a Pascal consistía en cómo debían repartirse
el premio si al suspenderse, De Meré tenía dos puntos y su contrincante 1 punto.
Pascal le envía cartas a otro matemático famoso de la época; Pierre de Fermat,
contándole acerca de este problema.
En el año 1645, ambos matemáticos resuelven el problema argumentado de que si
cada uno de los jugadores había aportado 32 doblones y como De Meré tiene el
doble de posibilidades de ganar que su adversario, debería recibir 48 doblones.
1
Sobre estas investigaciones que Fermat y Pascal hicieron acerca del juego de
dados, surgieron las bases de la probabilidad, la que actualmente influye en muchos
aspectos de nuestra vida actual.
Por supuesto que estos son los primeros pasos de la teoría de la probabilidad, a
continuación, te presento un breve resumen del desarrollo histórico de la teoría de
la probabilidad.
2.2.- MODELO MATEMATICO.
Es uno de los tantos modelos científicos que nos va a permitir representar de
forma gráfica o visual y a través de ecuaciones matemáticas, relaciones, hechos,
variables, parámetros o comportamientos que son difíciles de observar en la
realidad. Cumpliendo el objetivo de los modelos científicos el cual es en general,
explorar, controlar y predecir.
1
Para obtener resultados correctos, es necesario decidir cuáles son las variables
significativas y aquellas que no son tan importantes, distinguir cuales son las
variables dependientes e independientes y definir correctamente las unidades de
medida de nuestro modelo matemático.
¿Para qué sirve un modelo matemático?
Este tipo de modelos son principalmente usados en estadística, ya sea para
representar problemas o situaciones del mundo real o para analizar, explicar o
describir fenómenos o procesos que podrían ocurrir a la hora de pasar a la práctica.
Un ejemplo de modelo matemático popular es lo que ocurrió con el puente "Del
Milenio" en Londres, que se movía por el flujo de gente que transitaba por él, a partir
de ello un grupo de investigadores desarrollo un modelo matemático que
consideraba el largo, ancho, así como los materiales que constituyen el puente y
basado en ello podría deducirse a partir de qué número de personas la estructura
genera un movimiento oscila
2.3.- FENOMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTICOS.
En estadística, un fenómeno aleatorio es aquel que, bajo el mismo conjunto
aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir,
no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej.
Lanzamiento de un dado). Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno
determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace
predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura
desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará
en llegar al suelo en condiciones de vacío.
Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones: Es posible
conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento (el
1
espacio muestra, constituido por diferentes sucesos). Es imposible predecir el
resultado exacto del mismo antes de realizarlo.
El espacio de resultados o espacio muestra, Ω, es el conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
El concepto de sistema determinista puede caracterizarse si el espacio de estados
posibles del sistema admite una medida de probabilidad. En ese caso si se
considera el conjunto de partes del conjunto de estados posibles, la evolución tras
un tiempo t puede definirse como una aplicación:
2.4.-ESPACIO MUESTRA.
Dentro de la estadística de probabilidades, el espacio muestras se define como el
conjunto de todos los resultados posibles que se obtienen al realizar
un experimento aleatorio (aquel del que no se puede predecir su resultado).
La denotación más habitual del espacio muestras es mediante la letra griega
omega: Ω. Entre los ejemplos más comunes de espacios muéstrales podemos
encontrar los resultados de lanzar una moneda al aire (cara y cruz) o de tirar un da
Espacios muéstrales múltiples
En muchos experimentos puede darse el caso de que coexistan varios espacios
muéstrales posibles, quedando a disposición de quién realiza el experimento elegir
aquel que más le convenga según sus intereses.
Un ejemplo de ello sería el experimento de sacar una carta de un mazo de póker
estándar de 52 naipes. Así, uno de los espacios muéstrales que podrían definirse
sería el de los diferentes palos que componen la baraja (picas, tréboles, diamantes
y corazones), mientras que otras opciones podrían ser un rango de cartas (entre el
dos y el seis, por ejemplo) o las figuras de la baraja (jota, reina y rey).
1
Incluso se podría trabajar con una descripción más precisa de los posibles
resultados del experimento combinando varios de estos espacios muéstrales
múltiples (sacar una figura del palo de corazones). En este caso se generaría un
solo espacio muestras que sería un producto cartesiano de los dos espacios
anteriores.
Do (1, 2, 3, 4, 5 y 6).
Espacio muestras y repartición de probabilidades
Algunos acercamientos a la estadística de probabilidades dan por hecho que los
diferentes resultados que se pueden obtener de un experimento están siempre
definidos de forma que todos tengan la misma probabilidad de suceder.
Sin embargo, hay experimentos en que esto es realmente complicado, siendo muy
complejo construir un espacio muestras donde todos los resultados tengan la misma
probabilidad.
Un ejemplo paradigmático sería el de lanzar una chincheta al aire y observar
cuantas veces cae con su punta hacia abajo o hacia arriba. Los resultados
mostrarán una clara asimetría, por lo que sería imposible sugerir que ambos
resultados tienen la misma probabilidad de suceder.
La simetría de probabilidades es lo más habitual a la hora de analizar fenómenos
aleatorios, pero eso no quita que sea de gran ayuda el hecho de poder construir un
espacio muestras en el que los resultados son al menos aproximadamente
parecidos, ya que esta condición es básica para poder simplificar el cálculo de
probabilidades. Y es que, si todos los posibles resultados del experimento tienen la
misma probabilidad de suceder, entonces el estudio de probabilidad se simplifica
enormemente.
2.5.- EVENTOS ELEMENTALES Y COMPUESTOS.
SUCESO ELEMENTAL.
1
Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento
aleatorio.
Cuando hablamos de suceso elemental, hablamos de un resultado simple. Se trata
del resultado más simple que podamos obtener de un experimento aleatorio. Así
por ejemplo, el lanzamiento de un dado una vez, está compuesto por seis sucesos
elementales. Cada una de los seis resultados posibles al lanzar el dado una vez, es
un suceso elemental o resultado elemental.
En teoría de la probabilidad es el primer concepto que se estudia. Y, cabe
mencionar, que se estudia junto con el concepto de espacio muéstrales. De tal
forma, que el espacio muéstrales está compuesto por todos los sucesos
elementales.
Otro ejemplo bien sencillo, sería lanzar una moneda una sola vez. Los sucesos
elementales del lanzamiento de una moneda son dos: cara y cruz.
Ejemplo de suceso elemental
Aunque ya hemos puesto dos ejemplos que dejan claro el significado de suceso
elemental, cabe destacar que no siempre es tan sencillo. En ocasiones, el
experimento aleatorio que se quiere estudiar no es tan sencillo. Supongamos,
entonces, un ejemplo algo más complejo.
Imaginemos que disponemos de una urna. En el interior de esta urna se encuentran
5 bolas rojas, 4 bolas azules y 2 bolas blancas. El experimento aleatorio consiste en
coger una bola y ver qué bola hemos sacado. Los sucesos elementales de este
experimento serán:
Ω = (Br1, Br2, Br3, Br4, Br5, Ba1, Ba2, Ba3, Ba4, Bb1, Bb2)
Es decir, un suceso elemental sería sacar, por ejemplo, la bola roja 1 (br1). Otro
suceso elemental podría ser sacar la bola blanca 2 (bb2). De este modo, la
extracción de cada una de las bolas es un suceso elemental.
EVENTO COMPUESTO.
1
Un suceso compuesto, también conocido como suceso, es un subconjunto del
espacio muestral.
En otras palabras un suceso compuesto, es un conjunto de sucesos elementales.
Se denomina suceso compuesto, porque está formado por varios sucesos simples.
Un suceso simple o suceso elemental, es el suceso más sencillo que puede existir.
Por ejemplo, el suceso elemental «salir un 5» en el lanzamiento de un dado.
Normalmente, se llaman solo sucesos. Es decir, no se habla de sucesos
compuestos. A menos, eso sí, de que sea necesaria hacer tal distinción.
Tipos de sucesos compuestos
Los sucesos compuestos —que pueden coincidir con un suceso simple—, pueden
ser de varios tipos según las características que se detallan en lo que sigue:
Sucesos compatibles: Decimos que dos sucesos son compatibles, cuando pueden
darse a la misma vez. Por ejemplo:
A = Que salga 1, 2 o 3
B = Que salga 1, 2 o 5
Si sale el dos, ocurrirá el suceso A y B al mismo tiempo. Por tanto, son sucesos
compatibles.
Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir
al mismo tiempo.
A = Que salga 1, 2 o 3
B = Que salga 4 o 5
La ocurrencia del suceso A impide la ocurrencia del B. Es decir, no pueden darse
al mismo tiempo.
Suceso complementario: El suceso complementario es el suceso contrario a otro
suceso.
A=1
1
Complementario de A = Que no salga 1
Es decir, puede salir cualquier número que no sea A
Sucesos independientes: Los sucesos independientes son aquellos cuya
ocurrencia no depende de ningún otro suceso.
Sucesos dependientes: Dos sucesos son dependientes, cuando la ocurrencia de
uno de ellos condiciona al otro.
Operaciones con sucesos compuestos
Al tratarse de conjuntos, son aplicables todas aquellas operaciones de conjuntos.
En el caso de los sucesos compuestos podemos destacar tres tipos de
operaciones:
Unión de sucesos
Intersección de sucesos
Diferencia de sucesos
Diferencia simétrica de sucesos
2.6.- ALGEBRA DE EVENTOS.
Consideremos un experimento aleatorio. Dicho experimento tendrá asociado un
espacio maestral (E). Consideremos también en dicho espacio muestral el conjunto
de todos los sucesos posibles de dicho experimento al que normalmente se le nota
con la letra griega omega.
El conjunto de todos los sucesos de un espacio muestral, junto con las operaciones
unión e intersección definidas anteriormente, cumple una serie de propiedades que
lo dotan de una estructura matemática conocida como álgebra de Boole.
1
En el siguiente cuadro se resumen las propiedades y consecuencias directas más
importantes que se desprenden de dicha estructura.
2.7.- DEFINICION ESTADISTICA DE PROBABILIDAD.
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado
resultado (suceso o evento) cuando se realza un experimento aleatorio.
Para calcular la probabilidad de un evento se toman en cuenta todos los casos
posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuentas formas puede ocurrir
determinada situación los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los
que cumplan con la condición que estamos buscando.
2.8.- DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD
La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones
para creer que este se realizará.
1
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de
dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento es
imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene
que ocurrir su probabilidad es 1.
La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad
de que no ocurra, entonces p + q = 1
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el
espacio que consiste en todos los resultados que son posibles.
Los resultados, que se denota por w1, w2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
2.9.- DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD
i
1
Un axioma es una proposición que, por el grado de evidencia y de certeza que
exhibe, es admitida sin demostración. En el terreno de la matemática, se llama
axioma a un principio fundamental que no puede demostrarse pero que se utiliza
para el desarrollo de una teoría.
A nivel general puede decirse que un axioma es una expresión que se acepta o
aprueba más allá de la ausencia de una demostración de su postulado. Se trata de
una proposición que no se deduce de otras: es el primer paso para la demostración
de otras fórmulas a partir de un proceso deductivo.
Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y
Teoremas que a continuación se enumeran.
1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y
uno.
0 £ p(A) ³ 1
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
p (d) = 1
3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p (AÈB) = p(A) + p
(B)
Generalizando:
1
Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A 1, A2, A3,.....An,
entonces;
P (A1ÈA2È.........ÈAn) = p (A1) + p (A2) + .......+ p (An)
2.10. - CALCULO DE PROBABILIDAD.
Suceso complementario a un suceso A: Es el suceso que se verifica si, como
resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con
el símbolo Ā
Sucesos incompatibles: Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente
excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.
A = {a, b}, B = {d, e}
Si tenemos dos sucesos cualesquiera A, B: A está contenido en B, entonces B no
está contenido en A,
A⊂B⇒B⊄A
1
Si tenemos dos sucesos cualesquiera A, B: donde A está contenido en B y B está
contenido en A, entonces A = B
A, B / A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A = B
2.11.- CONSTRUCCION INTUITIVA DE LA PROVABILIDAD
CONDICIONAL.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo
que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B)
o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede
preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede
causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o
temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden
desempeñar un papel o no, dependiendo de la interpretación que se le dé a los
eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado.
¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una
cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C).
Dado un espacio de probabilidad (Ω,Ƒ,P) y dos eventos (o sucesos) ˿Α, Β, € Ƒ con
P(Β) > 0 la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
2.12.- DEFINICION DE LA PROVABILIDAD CONDICIONAL.
1
Es importante tener en cuenta que no es necesario que exista una relación
temporal o causal entre A y B. Esto quiere decir que A puede producirse antes
que B, después o al mismo tiempo, y que A puede ser el origen o la consecuencia
de B o no tener un vínculo de causalidad.
Debemos resaltar que en el campo de la probabilidad no hay espacio para los
conceptos de relaciones temporales o relaciones causales, aunque pueden jugar un
rol determinado según la interpretación que el observador les dé a los sucesos.
La probabilidad condicional se calcula partiendo de dos sucesos o eventos (A y B)
en un espacio probabilístico, indicando la probabilidad de que ocurra A dado que ha
ocurrido B. Se escribe P (A/B), leyéndose como “probabilidad de A dado B”.
Veamos un ejemplo. En un grupo de 100 estudiantes, 35 jóvenes juegan al fútbol
y al baloncesto, mientras que 80 de los miembros practican fútbol. ¿Cuál es la
probabilidad de que uno de los estudiantes que juega al fútbol, también juegue
al baloncesto o básquet?
Como se puede advertir, en este caso conocemos dos datos: los estudiantes que
juegan al fútbol y al baloncesto (35) y los estudiantes que juegan al fútbol (80).
Evento
A: Que
un
estudiante
juegue
al
baloncesto
Evento
B: Que
un
estudiante
juegue
al
fútbol
Evento A y B: Que un estudiante juegue al fútbol y al baloncesto (35)
(x)
(80)
P (A / B) = P (A∩B) / P (B)
P (A / B) = 35 / 80
P (A / B) = 0,4375
P (A / B) = 43,75%
Por lo tanto, esta probabilidad condicional indica que la probabilidad de que un
estudiante juegue al baloncesto dado que también juega al fútbol es del 43,75%.
2.13.- TEOREMA DE MULTIPLICACION.
1
En matemática, el teorema de multiplicación es un cierto tipo de identidad que es
obedecida por muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma.
Para el caso explícito de la función gamma, la identidad es un producto de los
valores, de ahí el nombre. Las diversas relaciones que todas estas identidades
tienen vienen del mismo principio subyacente, es decir, la relación de una función
especial se puede derivar de la de las demás, y es simplemente una manifestación
de la identidad misma de diferentes formas.
Función gamma.
La fórmula de duplicación y el teorema de multiplicación de la función gamma son
los prototipos de ejemplos. La fórmula de duplicación de la función gamma es
Es también comúnmente llamada fórmula de duplicación de Legendre1
o relación de Legendre, en honor a Adrien-Marie Legendre. El teorema de
multiplicación es
para enteros k ≥ 1, y suele ser conocido también como fórmula de multiplicación
de Gauss,2 en honor a Carl Friedrich Gauss. El teorema de multiplicación para las
funciones gammas puede ser entendido como un caso especial, para el carácter
trivial, de la fórmula de Chowla–Selberg
2.14.- TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL.
1
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un
suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es
x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite
deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la
probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las
probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A
(probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la
probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que
contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el
100%).
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema
completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este
caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
1
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes
probabilidades de ser elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así,
si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que
participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
1
Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo
es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro
amigo...
2.15.- TEOREMAS DE BAYES.
1
El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso,
teniendo información de antemano sobre ese suceso.
Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A
cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes
entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El
teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los
resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A
condicionado a B.
El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido,
principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos
de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.
Fórmula del teorema de Bayes
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos,
necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los
distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la
probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En
cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla.
Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A (1), A (2) y A
(3), utilizaremos directamente A, B y C.
2.16.- DIAGRAMA DE ARBOL.
1
Un árbol de probabilidad o diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza
para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere
conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se
pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del
experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene
un número infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas
de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de
estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye, un nudo del cual
parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las
posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del
experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el
mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna
de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
1
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad
P ( alumna de 1o FACULTAD) = 0,5 . 6 = 0,3
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón
1
P (ALUMNO VARON) = 0,5. 0,4 +0,25. 0,4 = 0,4Pero también podría ser lo
contrario.
2.17.- EVENTOS INDEPENDIENTES.
Dos eventos son independientes, cuando la probabilidad de que suceda uno
de ellos, no está influenciada por el hecho de que el otro ocurra -o no
ocurra-, considerando que dichos eventos ocurren al azar.
Esta circunstancia se da siempre que el proceso que genera el resultado del
evento 1, no altere de ninguna manera la probabilidad de los posibles
resultados del evento 2. Pero si no sucede así, se dice que los eventos son
dependientes.
Una situación de eventos independientes es la siguiente: suponga que se
lanzan dos dados de seis caras, uno azul y el otro rosado. La probabilidad
de que salga un 1 en el dado azul, es independiente de la probabilidad de
que salga un 1 -o no salga- en el dado rosado.
1
Otro caso de dos eventos independientes es el de lanzar una moneda dos
veces seguidas. El resultado del primer lanzamiento no dependerá del
resultado del segundo y viceversa.
DESMOSTRACION DE DOS EVENTOS INDEPENDIENTES
Para comprobar que dos eventos son independientes, pasaremos a definir
el concepto de probabilidad condicionada de un evento respecto de otro.
Para esto es necesario diferenciar entre eventos excluyentes y eventos
incluyentes:
Dos eventos son excluyentes si los posibles valores o elementos del evento
A, no tienen nada en común con los valores o elementos del evento B.
Por lo tanto en dos eventos excluyentes, el conjunto de la intersección de A
con B es el vacío:
Eventos excluyentes: A∩B = Ø
Por el contrario, si los eventos son incluyentes, puede ocurrir que un
resultado del evento A también coincide con el de otro B, siendo A y B
eventos diferentes. En este caso:
Eventos incluyentes: A∩B ≠ Ø
Esto nos lleva a definir la probabilidad condicionada de dos eventos
incluyentes, en otras palabras, la probabilidad de ocurrencia del evento A,
siempre que ocurra el evento B:
P (A¦B) = P (A∩B)/P (B)
1
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es la probabilidad que ocurra A y
B dividida entre la probabilidad que ocurra B. También puede definirse la
probabilidad que ocurra B condicionada a A:
P (B¦A) = P (A∩B)/P(A)
1
CONCLUSION
Con el paso del tiempo el hombre siempre busca la forma o la manera de descubrir
lo desconocido. Por consiguiente llegamos a esta teoría “la teoría de la probabilidad”
que juega un papel muy importante en l vida del hombre, puesto que es 100% útil
en todo el campo de estudio y aprendizaje en que se necesite condiciones de azar.
Debemos tomar los puntos clave, tener el espacio muestral o en resultado ya
esperando en una determinada posición y poder dar un valor a ese ejemplo por lo
cual cave analizar cada paso a realizar para obtener un resultado más específico y
saber algunas ecuaciones que nos ayudan a dar respuestas a ellos de una manera
más rápida y clara
1
Comentado [L1]:
Comentado [L2R1]:
i
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