Septiembre 2006 B4

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Septiembre 2006
EJERCICIO B
PROBLEMA 4. Dados dos sucesos aleatorios independientes se sabe que la probabilidad de que ocurran los dos simultáneamente es
3/25 y la de que ocurra al menos uno de los dos es 17/25. Calcula la probabilidad de cada uno de los dos sucesos.
Solución:
Sean A y B los sucesos aleatorios. Sabemos que,
la probabilidad de que ocurran los dos simultáneamente es 3/25,
la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es 17/25
3
25
17
p( A U B ) =
25
p( A I B ) =
Busquemos una relación entre las probabilidades conocidas y las de los sucesos A y B.
Como los sucesos son independientes
p ( A B ) = p ( A) y
p (B A) = p (B )
p( A I B )
p( A I B )
→
= p ( A) → p( A I B ) = p ( A) . p (B )
p(B )
p (B )
Por otro lado sabemos que p( A U B ) = p( A) + p (B ) − p ( A I B )
como
p( A B ) =
Podemos plantear el siguiente sistema,
 p ( A U B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A I B )

 p ( A I B ) = p ( A) . p ( B )
3
17
 20
 25 = p( A) + p(B ) − 25
 25 = p ( A) + p(B )
→ 

 3 = p( A) . p(B )
 3 = p ( A) . p ( B )
 25
 25
20
de 1ª , p( A) =
− p(B )
25
3  20

sustituyendo en la 2 ª ,
=  − p (B ) . p (B )
25  25

3 20
2
=
p (B ) − [ p(B )]
25 25
[ p(B )]2 − 20 p(B ) + 3 = 0
25
25
2
20
3
 20 
20
400 12 20
400 300 20
100 20 10
±  −  − 4 .1 .
±
−
±
−
±
±
25
25
25


625 25 = 25
625 625 = 25
625 = 25 25 =
p(B ) =
= 25
2 .1
2
2
2
2
Sí
Sí
20 10
+
25 25
2
=
20 10
−
25 25
2
3
p(B ) =
5
1
p(B ) =
5
30
30 3
= 25 =
=
2 50 5
10
10 1
= 25 =
=
2 50 5
20 3 20 − 15 5 1
→ p( A) =
− =
=
=
25 5
25
25 5
20 1 20 − 5 15 3
→ p( A) =
− =
=
=
25 5
25
25 5
Por lo tanto las probabilidades de los dos sucesos pueden ser,
1ª )
p ( A) =
1
5
y
p(B ) =
3
5
p( A) =
3
5
y
p (B ) =
1
5
o
2ª )