Examen de Matem´aticas
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Examen de Matemáticas 1o de la Diplomatura en Óptica y Optometrı́a. Grupos A y B 29 de noviembre de 2008. Nombre y Apellidos: . Curso: Elegir cuatro de los siguientes ejercicios. Ejercicio 1. Esbozar la gráfica y enunciar las propiedades (dominio, imagen, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad, acotación, crecimiento, paridad y periodicidad) de las siguientes funciones: p x |x| (indicación para dibujar la gráfica: te(III) (I) 12 2 ner en cuenta cómo es la pgráfica de x ası́ como las propiedades de |x|) (II) arc sen(x) √ 2 Ejercicio 2. Consideramos la función f (x) = e x −4 . Estudiar: dominio, imagen, inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. A partir de ella, obtener una función biyectiva y calcular su inversa. Ejercicio 3. Estudiar si existen a y b números reales de modo que la función sea continua. bx si x < −1 e 2 x 1 + √ si − 1 ≤ x < 0 g(x) = x+1−1 √ log2 ( x2 + a) si x ≥ 0 Ejercicio 4. Estudiar las ası́ntotas de la siguiente función, ası́ como la posición de la misma respecto de las ası́ntotas x3 si x < −1 2 1) h(x) = 2(x − 2 x −x−6 si x > −1 3 2x − 4x2 − 2x + 4 Ejercicio 5. Consideramos la función f : R+ → R, f (x) = arc tg(x) sen(x). π tiene al menos una solución. 3 π (II) Demostrar que f (x) = tiene infinitas soluciones (indicación: recordar que la función seno es 3 periódica y las propiedades de la arcotangente). (I) Demostrar que f (x) = (III) Demostrar que f (x) = − π tiene infinitas soluciones. 3 (IV) ¿Qué puedes decir entonces del lı́mite de f cuando x tiende a +∞?
