Completación de una medida

Completación de una medida
Objetivos. Definir el concepto de medida completa y demostrar que toda medida posee
una completación.
Requisitos. σ-álgebra, medida.
1. Definición (medida completa). Sea (X, F, µ) un espacio con medida. Se dice que µ
es completa si para todo A ∈ F tal que µ(A) = 0 y para todo B ⊂ A se tiene que B ∈ F.
2. Definición (completación de una medida). Sea X un conjunto y sean µ : F → R+
y ν : G → R+ medidas sobre X. Se dice que ν es una completación de µ si F ⊂ G, ν es
completa y ν(E) = µ(E) para todo E ∈ F.
3. Lema. Sea (X, F, µ) un espacio con medida y sean E ⊂ X y A, B ∈ F conjuntos tales
que
A ⊂ E ⊂ B,
µ(B \ A) = 0.
Entonces
µ(A) = µ(B) = sup µ(F ) : F ∈ F, F ⊂ E = ı́nf µ(G) : G ∈ F, G ⊃ E .
4. Teorema (completación de una medida). Sea (X, F, µ) un espacio con medida.
Entonces existe una σ-álgebra F̃ sobre X y una medida completa µ̃ : F̃ → R+ tales que
F ⊂ F̃, µ̃ es completa y µ̃(E) = µ(E) para todo E ∈ F.
Demostración. Definamos F̃ y µ̃. Pongamos
F̃ := E ⊂ X : ∃A, B ∈ F A ⊂ E ⊂ B
∧
µ(B \ A) = 0 .
Para todo E ∈ F̃ definamos µ̃(E) mediante la fórmula:
µ̃(E) = ı́nf µ(G) : G ∈ F, E ⊂ G .
Por el lema, el ı́nfimo se alcanza y es igual con el siguiente supremo que también se
alcanza:
µ̃(E) = sup µ(F ) : F ∈ F, F ⊂ E .
Si E ∈ F, entonces poniendo A = B = E tenemos que A ⊂ E ⊂ B y µ(B \ A) = 0,
ası́ que E ∈ F̃ y µ̃(E) = µ(E). Esto quiere decir que F ⊂ F̃ y la función µ̃ es una extensión
de la función µ.
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Demostremos que F̃ es una σ-álgebra.
X ∈ F̃ porque X ∈ F y F ⊂ F̃.
Sea E ∈ F̃. Elijamos A, B ∈ F tales que A ⊂ E ⊂ B y µ(B \ A) = 0. Entonces
B c ⊂ E c ⊂ Ac ,
Ac \ B c = B \ A
y por lo tanto µ(Ac \ B c ) = 0, ası́ que E c ∈ F̃.
Sea (En )n∈N una sucesión en F̃. Elijamos An , Bn ∈ F tales que
An ⊂ En ⊂ Bn ,
Pongamos
F =
∞
[
En ,
C=
n=1
µ(Bn \ An ) = 0.
∞
[
An ,
∞
[
D=
n=1
Bn .
n=1
Entonces C ⊂ F ⊂ D y
D\C =
∞
[
n=1
!
Bn
c
∩C =
∞
[
c
(Bn ∩ C ) ⊂
n=1
por lo tanto
µ(D \ C) ≤
∞
[
(Bn ∩
Acn )
=
n=1
∞
X
∞
[
(Bn \ An ),
n=1
µ(Bn \ An ) = 0
n=1
y F ∈ F̃.
Demostremos que µ̃ es una medida.
Como ∅ ∈ F, µ̃(∅) = µ(∅) = 0.
Demostremos que µ̃ es σ-aditiva. Sea (En )n∈N una sucesión en F̃ de conjuntos disjuntos
y sean An , Bn , C, D, F como antes. Si i 6= j, entonces
Ai ∩ Aj ⊂ Ei ∩ Ej = ∅,
ası́ que los elementos de la sucesión (An )n∈N son disjuntos. Por lo tanto
µ̃(F ) = µ(C) =
∞
X
n=1
µ(An ) =
∞
X
µ̃(En ).
n=1
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